带答案对数与对数函数经典例题.

经典例题透析

类型一、指数式与对数式互化及其应用

1．将下列指数式与对数式互化：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).

思路点拨：运用对数的定义进行互化.

解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；

(6).

总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.

举一反三：

【变式1】求下列各式中x的值：

(1)(2)(3)lg100=x (4)

思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

解：(1)；

(2)；

(3)10x=100=102，于是x=2；

(4)由.

类型二、利用对数恒等式化简求值

2．求值：解：.

总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：

【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.

解：.

类型三、积、商、幂的对数

3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.

(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15

解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a

(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b

(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a

举一反三：

【变式1】求值

(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

解：

(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2

=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.

解：由3a=c得：

同理可得

.

【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.

证明：

.

【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.

证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb

即.

类型四、换底公式的运用

4．(1)已知log x y=a，用a表示；

(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.

解：(1)原式=；

(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.

方法一：a m=x，b n=x，c p=x

∴，

∴；

方法二：.

举一反三：

【变式1】求值：(1)；(2)；(3).

解：

(1)

(2)；

(3)法一：

法二：.

总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.

类型五、对数运算法则的应用

5．求值

(1) log89·log2732

(2)

(3)

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

解：(1)原式=.

(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

举一反三：

【变式1】求值：

解：

另解：设=m (m>0).∴，

∴，∴，

∴lg2=lgm，∴2=m，即.

【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?

解：∵∴，

类型六、函数的定义域、值域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.

6. 求下列函数的定义域：

(1)；(2).

思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.

解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；

(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域.

(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).

解：(1)因为，所以，

所以函数的定义域为(1，)(，2).

(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.

[1]当k≤0时，定义域为R；

[2]当k>0时，

(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；

(ii)若0

(iii)若a=2，则当0

【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.

思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4]. 类型七、函数图象问题

7．作出下列函数的图象：

(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.

解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).

类型八、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.