杨氏弹性模量的测定

实验七杨氏弹性模量的测定

测量材料杨氏模量的方法很多，诸如拉伸法、压入法、弯曲法和碰撞法等。拉伸法是最常用的方法之一。但该方法使用的载荷较大，加载速度慢，且会产生驰豫现象，影响测量结果的精确度。另外，此法还不适用于脆性材料的测量。本实验借助于新颖的动态杨氏模量测量仪用振动法测量材料的杨氏模量。该方法可弥补其不足，同时还可扩大学生在物体机械振动方面的知识面，不失为一种非常有用和很有特点的测量方法。

【实验目的】

1．了解振动法测量材料杨氏模量的原理；

2．学会用作图外推求值法测量振动体基频共振频率和杨氏模量；

3. 测量试件机械振动的本征值

4．观察铝平板的振型；

5．通过实验,逐步提高综合运用各种测量仪器的能力。

【实验仪器】

DY-D99型多用途动态杨氏模量测量仪、YXY-3D型音频信号源、示波器（Y轴灵敏度5-10m V)、毫米刻度钢皮尺(250mm长)、0.02mm精度游标卡尺、物理天平（精度0.05克）。

DY-D99型多功能动态杨氏模量测量仪简介

图3 DY-D99型多功能动态杨氏模量测量仪

1电动式激振器、6电动式拾振器、2试件（圆棒）、17试件（金属铝板）、

3、5刀口、26导轨标尺、9标尺支架、25试件压板、24压板固定螺钉、

10接线箱、11试件选择旋钮、12输入接口、13输出接口、22声整流罩、

19发声元件、18小导轨、20声激振器固定螺钉、14-16水平调节螺钉、

4刻度指示板、8备用试件安放支架、7试件限位装置、23底板

该仪器如图3所示。它由棒材试件杨氏模量定量测量装置和板材试件振型演示观察装置两部分组成。两部分用接线箱连接和转换。前一装置包含两个换能器（电动式换能器）、导轨标尺及其支架。其中一个电动式换能器用作激振器，在音频信号发生器输出的音频正弦信号电压的作用下，作机械振动，进而激励试件作机械振动。另一个电动式换能器当作拾振器，将由试件传递过来的机械振动信号转变为电信号，并输到示波器观察波形。当音频信号发生器的信号频率调到与试件的固有频率相同时，试件产生共振，示波器显示的波形幅度达到最大。两个换能器的作用可互换。它们各自设有一个刀口，可搁置棒材试件。标尺用于指示换能器或刀口在试件上的位置。

矩形金属板试件和带有声整流罩的声激振器是振动体振型演示观察装置的基本组成部

分。声激振器在音频信号电压的作用下，通过声压，激励板材试件振动。当音频信号发生器的信号电压频率达到板材试件的某一阶谐振频率时，则均匀撒在板表面的沙粒形成一个相应的振型图案。

【实验原理】

一、振动法测杨氏模量的物理基础

振动法测杨氏模量是以自由梁的振动分析理论为基础的。两端自由梁振动规律的描述要解决两个基本问题：即固有频率和固有振型函数。本实验只讨论前一个问题，然后以此为基础，导出杨氏模量的计算公式。

当图1所示的均质等截面两端自由梁作横向振动时，其振动方程为

022044=∂∂+∂∂t

y

m x y EI (1) 其中E 为杨氏模量，I 为惯性矩，m 0为单位长度质量。

图1 两端自由梁的基频振动

方程（1）可用分离变量法求解。令

)()(),(t T x Y t x y = (2)

代入方程（1），并经整理得

2

2442d )

(d )(1d )(d )(t

t T t T x x Y x Y a -= （3） 由于上式中的4

4

/)(dx x Y d 、)(x Y 和2

2

/)(dt t T d 、)(t T 既非x 的函数，亦非t 的函数，而是等于一个常数（称为分离常数），即

2

2

2442d )(d )(1d )(d )(ω=-=t

t T t T x x Y x Y a （4） 于是由上式可得到两个独立的常微分方程：

0)()(2

2

2=+t T dt

t T d ω （5）

0)(d )(d 22

4

4=-X Y a

x x Y ω (6) 这两个线性常微分方程的解分别为

)cos()(ϕω+=t A t T （7）

x a

C x a

C x a

C x a

C x Y ω

ω

ω

ω

cos

sin

ch

sh

)(4321+++= （8）

两端自由梁弯曲振动方程的通解为

)cos(cos sin ch sh ),(4321ϕωωωωω+⨯⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++=t A x a C x a C x a C x a C t x y (9) 对于两端自由梁，如果搁置试件的两个刀口处在试件的节点附近，则边界条件为：两自由端的横向作用力=F -0)/(/3

3

=∂∂-=∂∂x y EI x M ,两自由端的弯矩

0)/(22=∂∂=x y EI M ,即：

⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫========0

2

20

2

2330

33l

x x l

x x dx Y d dx Y d dx Y d dx Y d （10） 将通解代入上式表示的边界条件，则得：

⎪⎭

⎪

⎬⎫=-===-==0

:0/,00:0/,031334222C C dx Y d x C C dx Y d x （11a ） ⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫

=+-+===+-+==0sin cos ,0,

0cos sin :0,43213

34

3212

2l a C l a C l a sh C l a ch C dx

Y d l x l a C l a C l a ch C l a sh C dx Y d l x ω

ωωωω

ωωω（11b ） 由前两式可得,,4232C C C C ==代入后两式得：

⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛++⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛

-0sin cos 0

cos

sin

2121l a l a sh C l a l a ch C l a l a ch C l a l a sh C ωωωωωω

ωω

（12） 21,C C 的非零解的条件是判别行列式等于零：