应力更新算法

因此塑性应变的更新是 的线性函数，而塑性流动残量恒为零： a(k) 0
唯一的内变量（各向同性硬化）是累积塑性应变，给出为 q1 , h 1
因此，内变量的更新也是 的线性函数，相应的残量为零，例如， b(k) 0
适合Newton迭代的塑性更新和屈服条件，省略n+1脚标
a
ε
p
ε
p n
r
0
ε
p n1
ε
p n
nrn
n tn
q n1 q n nh n
σ
n1
C : (ε
n1
ε
) p
n1
σ
n
Cep
:
ε
但在下一步，这些应力和内变量的更新值并不满足屈服条件，所以
f n1 f (σ n1 , q n1 ) 0
由于解答从屈服表面漂移，常常导致不精确的结果，因此不
受人青睐。公式也称为切线模量更新算法，形成了计算率无关塑 性早期工作的基础。
驱动塑性修正状态。因此，在弹性预测阶段，塑性应变和内变量保持固定，而 当塑性修正阶段，总体应变是不变的。在弹性预测阶段，由公式得到的结果为
σ n 1
C
:
ε
p n1
n1C
:
rn1
9 应力更新算法
完全隐式的图形返回算法
非线性代数方程组解答一般由Newton过程求解。基于分类线性化方程组的 Newton过程，和根据最近投射点的概念引导塑性修正返回到屈服表面。在
避免这点，采用了一个基于本构积分算法的系统线性化的算法模量 （也称为一致切线模量），代替了连续弹—塑性切线模量。
下面给出完全隐式向后Euler方法的算法模量的推导。
向后Euler更新算法切线模量定义为
C a lg
dσ dε
n1
C a lg
C~
(C~ : r) ( fσ : C~ : r
变和内变量值求解路径相关塑性方程时可能发生的伪卸载。
9 应力更新算法
完全隐式的图形返回算法
在时刻n ＋1，通过方程系统的解答获得了应变 ε n 1
如果解答过程是隐式的，可以理解应变 ε n1
是在隐式解答算法的最后迭代后的总体应变。
塑性应变增量给出为
ε
p n1
ε
p n1
ε
p n
r n1 n1
代入表达式
σ
n1
C : (ε
n1
ε
p n1
)
f n1 f (σ n1 , q n1 ) 0
0, f 0, f 0
q 内变量
h 塑性模量
是标量塑性流动率， r(σ ,q) 是塑性流动方向
f Y ( ) 0 屈服条件
塑性流动方向经常特指为 r σ ，这里 称为塑性流动势
Kuhn-Tucker条件，上面第一个条件表明塑性率参数是非负的，
第二个条件表明当塑性加载时，应力状态必须位于或限制在塑性表面上，f 0 最后条件也可以作为由已知一致性条件 f 0 的率形式。
它也是屈服表面的法向，即 r fσ
在偏应力空间，Mises屈服 表面是环状，法向是径向。在 塑性流动的方向（径向），定 义一个单位法向矢量为
nˆ r(0)
r (0)
σ
(0) dev
σ (0) dev
,
r(0)
3 2nˆ
9 应力更新算法
应用于J2流动理论—径向返回算法
算法的重要特性是 nˆ 保持在径向， 在整个塑性修正状态过程中不变化
σ (k 1) C : (ε n1 ε ) p(k 1) σ (k ) σ (k ) σ (k ) 2 (k )
3 nˆ 2
(k1) (k) (k)
(k1) (k) (k)
k k 1, go to 2
9 应力更新算法
算法模量
在隐式方法中，需要合适的切线模量。由于在屈服时突然转化 为塑性行为，连续弹—塑性切线模量可能引起伪加载和卸载。为了
a
ε
p
ε
p nrLeabharlann 0b q qn h 0
f f (σ ,q) 0
9 应力更新算法
完全隐式的图形返回算法
这组方程的线性化给出
a (k) C-1 : σ (k) (k) r (k) (k) r (k) 0
b (k) q (k) (k) h (k) (k) h (k) 0
f
(k)
脚标为偏导数
这样，塑性应变、内变量和塑性参数更新是
ε p(k 1) ε p(k ) ε p(k ) ε p(k ) C1 : σ (k ) q (k 1) q (k ) q (k ) (k1) (k ) (k ) Newton过程是连续计算直到收敛到足以满足准则的更新屈服表面。 这个过程是隐式的并包括了方程在单元积分点水平的结果。该方法的 复杂性在于需要塑性流动方向的梯度，不适合复杂本构。
算法的塑性修正阶段中，总体应变是常数，线性化是相对于塑性参数增量
在Newton过程中应用下面的标记：关于一个方程 g() 0 的线性化，
并有 (0) 0 在第k次迭代时记为
g (k)
dg
(k
)
(k)
0,
d
(k1) (k) (k)
为适合Newton迭代，以上面形式写出塑性更新和屈服条件，省略n+1脚标
fσ fq
: C~) Yh
C~ (C1 rσ )1 Y (I hq )1
对于J2流动理论的情况，算法模量是与径向返回应力更新一致的
9 应力更新算法
半隐式向后Euler方法
半隐式向后Euler方法（Moran, 1990）是对于塑性参数采用隐式， 而对于塑性流动方向和塑性模量采用显式的算法，即在步骤结束时计算 塑性参数的增量，而在步骤开始时计算塑性流动的方向和塑性模量。为 了避免从屈服面漂移，在步骤结束时强化屈服条件。积分方法为
关联塑性：塑性流动沿着屈服面的法线方向；否则，为非关联塑性
9 应力更新算法 径向返回算法－编程
1 设初始值
k 0:
ε
p(0)
ε
p n
,
(0) n ,
(0) 0,
σ (0) C : (ε n1 ε p(0) )
2 在第k次迭代时检查屈服条件
f (k) (k ) Y ( (k) ) ( (0) 3(k) ) Y ( (k) )
9 应力更新算法
率无关塑性的图形返回算法
这导致考虑另外一些方法进行率本构方程的积分，目的之一是
强化在时间步结束时的一致性，例如， fn1 0
为避免离开屈服面的漂移。有许多不同的积分本构算法，这里主 要关注一类方法－－返回图形算法，它是强健和精确的，被广泛应 用。著名的von Mises塑性径向返回方法是返回图形算法的特例。
如果
f (k) TOL1
则收敛，否则 go to 3
3 计算塑性参数的增量
(k) ( (0) 3(k) ) Y ( (k) ) 3 H (k)
4 更新塑性应变和内变量
nˆ
σ
(0) dev
σ (0) dev
,
ε p(k ) (k )
3nˆ , 2
(k ) (k )
ε p(k1) ε p(k) ε p(k)
在
n 1
时刻的应力给出为
σ n1
C : (ε n1 ε
p n1 )
求解的一致性条件给出
fσ : C :ε
fq h fσ : C : r
9 应力更新算法
率无关塑性的图形返回算法
设想能够应用这个塑性参数值以提供更新的应力率、塑性应变 率和内变量率，并且写出简单的向前Euler积分公式算法
ε n1 ε n ε
9 应力更新算法
本构方程率形式的积分算法称为应力更新算法（也称为本构更新 算法），包括：
径向返回算法的一类图形返回算法， 算法模量与基本应力更新方案一致的概念， 大变形问题的增量客观应力更新方案， 基于弹性响应的应力更新方案，即自动满足客观性的超弹性势能。
给出描述本构模型的某些其它连续介质力学观点， 展示Eulerian，Lagrangian和两点拉伸的概念， 描述后拉、前推和Lie导数的运算， 材料框架客观性，材料的对称性，以本构行为的张量表示讨论 了不变性的某些方面， 讨论由于热力学第二定律和某些附加的稳定性必要条件对材料 行为的约束。
f (k) σ
: σ (k)
f (k) q
q (k)
0
3个方程可以联立求解 σ (k) q (k ) (k)
r (k ) rσ(k ) : σ (k ) rq(k ) q (k )
h (k )
hσ(k )
: σ (k )
h
(k q
)
q (k )
一致性条件：在加卸载
过程中，材料的应力点始 终处于屈服面上
σ
n1
C : (ε
n1
ε
p n1
)
f n1 f (σ n1 , q n1 ) 0
在时刻n
给出一组
(ε
n
,ε
p n
,q
n
)
和应变增量
ε tε
公式是一组关于求解
(ε
n1 ,ε
p n1
,
q
n1
)
的非线性代数方程。注意到更新变量来自前一个时间步骤结束时的
收敛值，这就避免了非物理意义的效果，例如当用不收敛的塑性应
σ n 1
C
:
(ε n1
ε
p n
ε
p n1
)
C
:
(εn
ε
ε
p n
ε
p n1
)
C
:
(εn
ε
p n
)
C
: