七年级数学下册：教材P114T3拓展——与三角形角平分线相关的解题模型

11．微专题：教材P114T3拓展——与三角形角

平分线相关的解题模型

◆类型一 同一顶点处的角平分线、高线夹角模型

【方法点拨】三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一

半．如图，AE ，AD 分别为△ABC 的角平分线和高线，则∠EAD ＝12

(∠B －∠C )．

1．如图①，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC 于E ，∠B ＝40°，∠C ＝70°.

(1)求∠DAE 的度数；

(2)如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC 于E ”，其他条件不变，求∠DFE 的度数．

◆类型二 与三角形内外角平分线相关的夹角模型

【方法点拨】①两内角平分线的夹角的度数：三角形的两个内角平分线交于一点，所形

成的夹角的度数等于90°加上第三角的度数的一半．如图①，∠BOC ＝90°＋12

∠A .

②一内角平分线与一外角平分线夹角的度数：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于第三角的度数的一半．如图②，BA 1，CA 1分别为△ABC

的一条内、外角平分线，BA 2，CA 2分别为△A 1BC 的一条内、外角平分线，则∠A 1＝12

∠A ，∠A 2＝12

∠A 1，…… ③两外角角平分线夹角的度数：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于90°减去第三角的度数的一半．如图③，BO ，CO 分别为△ABC 的两条外角平分线，则

∠O ＝90°－12

∠A . 2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究，完成所提出的问题．

(1)如图①，O 是△ABC 内一点，BO ，CO 分别平分∠ABO ，∠ACO .若∠A ＝46°，则∠BOC ＝________；若∠A ＝n °，则∠BOC ＝________________；

(2)如图②，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数；

(3)如图③，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数．

参考答案与解析

1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝70°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝35°，∴∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝75°.∵AE ⊥BC ，∴∠AEB ＝90°，∴∠DAE ＝90°－∠ADE ＝15°.

(2)同(1)可得∠ADE ＝75°.∵FE ⊥BC ，∴∠FEB ＝90°，∴∠DFE ＝90°－∠ADE ＝15°.

2．解：(1)113° 90°＋12

n ° (2)∵∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB )，而BO ，CO 分别平分∠CBE ，∠BCF ，∴∠OBC ＝12∠CBE ，∠OCB ＝12∠BCF ，∴∠BOC ＝180°－12

(∠CBE ＋∠BCF )，而∠CBE ＝180°－∠ABC ，∠BCF ＝∠180°－∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－12(180°＋∠A )＝90°－12

∠A ，∴∠BOC ＝90°－12

n °. (3)∵∠BOC ＝∠OCD －∠OBD ，∠A ＝∠ACD －∠ABC ，而BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD ，∴∠ACD ＝2∠OCD ，∠ABC ＝2∠OBD ，∴∠A ＝2∠OCD －2∠OBD ＝2∠BOC ，

∴∠BOC ＝12

n °.