七年级数学下册：教材P114T3拓展——与三角形角平分线相关的解题模型
初中数学几何模型之角平分线模型
①角分线与圆周角
模型分析：
如图，直线AB、CD相较于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE， ，则下列结论不正确的是（）
A.∠AOD与∠1互为补角B.∠1的余角等于
C. D.
【解析】
解：A.∠AOD与∠1互为补角，说法正确；
B.∠1的余角： ，说法正确；
C.∵OE⊥AB，
∴ ，
∵OF平分∠AOE，
∴ ，说法正确；
D. ，原题说法错误；
故选：D．
解题通法：掌握余角，补角，角平分线，垂线的性质，通过加减运算解决问题
模型精练：
1.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分 ， ，若 ，则 的度数为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 和射线OM平分 ，可求∠MOC=30°；再根据 ，即可求得∠CON．
【详解】解：∵ ，射线OM平分 ，
∴∠MOC=
∵
∴ =∠MON-∠MOC=90°-30°=60°，故选：C
【点睛】本题考查了角平分线和角的和差的知识，正确运用角的和差是解答本题的关键．
2.如图，点O是直线AD上一点，射线OC，OE分别平分∠AOB、∠BOD．若∠AOC＝28°，则∠BOE＝_____．
数学模型-角平分线常见解题模型
角平分线作为图形最基础的概念,在选择题,填空题和几何证明题中屡见不鲜,同学们除了掌握角平分线的概念和性质定理以外,还需要对常见的角平分线的模型进行了解,在与平行线、三角形、四边形、圆等背景知识的基础上,结合角平分线得到一些常见的结论并对此进行整理记忆．
对此将角平分线的常见模型分为如下六个模块,其中前五模块为基础模块,需要同学们掌握其中结论的证明步骤,第六模块为补充模块,只需要了并会运用即可．
角平分线的几种辅助线作法与三种模型
一、角平分线的三种“模型”模型一：角平分线+平行线→等腰三角形如图1，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作PE ∥OB ，交OA 于点E ，则EO=EP. AA A E P C E C D F E PO B B C O F B 图1 图2 图3例1 如图2，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形如图3，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作EF ⊥OC ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，则OE=OF ，PE=PF.例2 如图4，BD 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BD ，垂足为D ，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，沿角平分线AD 将△ABD 往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD ≌△AB /D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.D A EA P /BCD B / B C 图5 图6例3如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC.二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。
求证：1()2BE AC AB =-2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．21FEDCBAABDCE F图二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC于D ，AB ＋BC=2BD 。
求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。
七下第5讲三角形内外角平分线夹角模型归纳与内外角和计算方法总结
七下第5讲三⾓形内外⾓平分线夹⾓模型归纳与内外⾓和计算⽅法总结写在前⾯在前四讲中，我们对本章的重点内容作了归纳，剩下的知识点仅剩⼀个重要模型和内外⾓的相关题型变式，就以本讲作为本章的收尾，更多的难题，留⾄期中复习吧．⼀、三⾓形内外⾓平分线夹⾓模型模型呈现：如图，已知，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF．试探究∠BDC，∠BHC，∠BGC与∠A的关系．分析：这是本章的最后⼀个重要模型，要结合整体思想，外⾓定理综合运⽤．解答：补充结论：其实这个模型中，还能有许多发现，⽐如，∠GBD＝90°，∠DCH＝90°，理由是邻补⾓的⾓平分线互相垂直．∠BGC和∠BHC互余，∠BGC和∠BDC互补，在△DCH中，∠BDC作为外⾓，∠BDC＝90°＋∠BHC．例1：如图，O是三⾓形三条⾓平分线的交点，∠1＝15°，则∠2＝_____°．分析：本题的关键是，发现∠2的作⽤，∠2可以作为△AOB的外⾓，即∠OAB和∠OBA的和，⼜是∠AOB的邻补⾓，∠AOB是三⾓形两内⾓平分线的夹⾓，因此本题既可以⽤⼀步⼀步完成，也可⽤结论模型⼝算．解答：例2：如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝_______．分析：本题是⼀道将三个模型结合在⼀起的题⽬，我们要关注哪些⾓可以求，∠BDC是两内⾓平分线的夹⾓，则知道∠A即可求，∠E是两外⾓，∠MBC，∠NCB的⾓平分线的夹⾓，则知道∠BDC即可求，∠F是△EBC的内⾓∠EBC和外⾓∠ECQ的⾓平分线夹⾓，则知道∠E即可求．解答：例3：分析：解答：综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个．⼆、多边形内外⾓计算例1：⼀个学⽣计算多边形的内⾓和，少算了⼀个内⾓，得到答案是1400°，求少算的内⾓的度数及多边形边数．分析：显然，根据多边形内⾓和公式(n－2)·180°，可知内⾓和⼀定是180度的倍数，我们可以⽤1400除以180，算出其余数，那么⾃然可得，少算的那个内⾓与余数的和⼀定是180度的倍数，⽽根据多边形每个内⾓必然⼩于180°，则这个内⾓度数就是⽤180°减去这个余数即可．解答：1400°÷180°＝7······140°，180°–140°＝40°，设多边形边数为n，(n–2)·180＝1400＋40，n＝10答：少算的内⾓度数为40°，边数为10．例2：⼀个学⽣计算多边形的内⾓和，多算了⼀个外⾓，得到答案是1400°，求多算的外⾓的度数及多边形边数．分析：显然，本题是上⼀题的变式，⽅法还是⽤1400除以180，算出其余数，那么多算的外⾓度数，就是这个余数．解答：1400°÷180°＝7······140°，设多边形边数为n，(n–2)·180＝1400－140，n＝9答：多算的外⾓度数为140°，边数为9．例3：⼀个多边形每个内⾓都等于150°，求这个多边形的边数．分析：本题不难，但我们要学会多种思路解题，可以从多边形内⾓和公式⼊⼿，也可以逆向思维，求出每个外⾓的度数，⽤外⾓和除以每个外⾓的度数．解答：法1：设多边形边数为n，(n–2)·180＝150n，n＝12法2：180°－150°＝30°，360°÷30°＝12答：多边形边数为12．三、作图探究例：在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的⾓平分线，P是射线AC上任意⼀点(不与A、D、C三点重合)，过点P作PQ⊥AB，垂⾜为Q，交直线BD于E．(1)探索∠PDE与∠PED的关系，画出图形并说明理由．(2)作∠CPQ的⾓平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．分析：本题中，点P的位置不确定，在射线AC上，就有多种可能，线段AD上，线段DC上，线段DC延长线上，在延长线上时，⼜要考虑垂⾜Q的位置，可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上．因此，分四种情况讨论．碍于篇幅，我们将两⼩题的图汇总在⼀起．解答：①点P在线段AD上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠CDB＝90°，∵∠PDE＝∠CDB，∴∠CBD＋∠PDE＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)在四边形PQBC中，∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＋∠2＝90°∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3，PF∥BD②点P在线段DC上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)在四边形PQBC中，∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＋∠2＝90°∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3，PF∥BD③点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°∠CBA＋∠A＝90°∴∠CPQ＝∠CBA∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD④点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB延长线上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠ABD＝∠EBQ，∴∠PED ＋∠ABD＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠PDE＝∠PED；(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°∠CBA＋∠A＝90°∴∠CPQ＝∠CBA∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD上讲思考题答案。
角平分线的几种辅助线作法与三种模型
一、角平分线的三种“模型”模型一：角平分线+平行线→等腰三角形如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥OB，交OA于点E，则EO=EP.A A AE P C E CD FE PO B B C O F B图1 图2 图3例1如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE.模型二：角平分线+垂线→等腰三角形如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF.例2如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.模型三：角平分线+翻折→全等三角形在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.DA EA P/ B CD B/ B C图5 图6例3如图6，点P是△ABC的外角∠CAD的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC.二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形1、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。
求证：1()2BE AC AB=-2、在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD 于E．求证：∠ACE=∠B+∠ECD．21FED CBAABDCEF图1 / 22 / 2二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC于D ，AB ＋BC=2BD 。
求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠22、2、 如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：AE=ED3、（四（2））四、以角的平分线为对称轴构造对称图形例1 如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．2、例题：如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800，求证：AD=DC ．五、利用角的平分线构造等腰三角形1、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．N P EDC B AG21P F EC B AA G C H D E F图2B ACDE 图1 ABDE CB ACDE 图2。
初中数学常见模型之角平分线四大模型
角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
N M OAB P 2图4321A CP B D AB C图1A B DC模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
热搜精练1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC 的长。
A B DCPP O N M B A 图2DP AB C D C 1图P B A ABCD2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。
角平分线四大模型总结+习题+解析（最全版）
⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）⾓平分线四⼤辅助线模型⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。
⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:163．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB ，另⼀把直尺压住射线OA 并且与第⼀把直尺交于点P ，⼩明说：“射线OP 就是BOA ∠的⾓平分线．”他这样做的依据是( )A ．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B ．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C ．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确6．（2019秋?梁平区期末）如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=?，130ADG ∠=?，则DGF ∠=．7．（2018春?开江县期末）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆⼼，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆⼼，⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ．下列说法错误的是( ) A ．CAD BAD ∠=∠B ．若2CD =，则点D 到AB 的距离为2C ．若30B ∠=?，则CDA CAB ∠=∠D ．2ABD ACD S S ??=8．（2014秋?西城区校级期中）如图，点E 是AOB ∠的平分线上⼀点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂⾜分别是C ，D ．下列结论中正确的有( )（1）ED EC =；（2）OD OC =；（3）ECD EDC ∠=∠；（4）EO 平分DEC ∠；（5）OE CD ⊥；（6）直线OE 是线段CD 的垂直平分线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．（2019春?杜尔伯特县期末）如图：在ABC ?中，90C ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =，证明：（1）CF EB =．（2）2AB AF EB =+．10．（2019秋?垦利区期中）如图，ABC⊥⊥且平分BC，DE AB中，AD平分BAC∠，DG BC于E，DF AC⊥于F．（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；（2）如果8AB=，6AC=，求AE、BE的长．11．（2017秋?遂宁期末）某地区要在区域S内（即COD∠内部）建⼀个超市M，如图所⽰，按照要求，超市M到两个新建的居民⼩区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【核⼼考点⼆】⾓平分线+⾓两边垂线12．（2019秋?肥城市期末）如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直，垂⾜为A ，交CD 于D ，若8AD =，则点P 到BC 的距离是．13．（2015?湖州）如图，已知在ABC ?中，CD 是AB 边上的⾼线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE ?的⾯积等于( )A ．10B ．7C ．5D ．414．（2010秋?涵江区期末）如图所⽰，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC CD =+．15．（2012秋?蓬江区校级期末）如图，已知90∠=∠=?，M是BC的中点，DM平分B C∠．求证：ADC（1）AM平分DAB∠；（2）DM AM⊥．16．（2016秋?西城区校级期中）已知：如图，12∠=∠，P为BN上的⼀点，PF BC⊥于F，=，PA PC（1）求证：180∠+∠=?；PCB BAP（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．【核⼼考点三】⾓平分线+垂线17．（2017秋?和平区校级⽉考）如图．在ABC ?中，BE 是⾓平分线，AD BE ⊥，垂⾜为D ，求证：21C ∠=∠+∠．18．（2013秋?昌平区期末）已知：如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于点D ，DCB B ∠=∠，若10AC =，6AD=，求AB 的长．19．如图所⽰，ABC ?中，ACB ABC ∠>∠，AE 平分BAC ∠，CD AE ⊥于D ，求证：ACD B ∠>∠．20．已知：如图，在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21．（2019秋?下陆区期中）如图，BD 是ABC ∠的⾓平分线，AD BD ⊥，垂⾜为D ，20DAC ∠=?，38C ∠=?，则BAD ∠=．22．（2019秋?曲⾩市校级⽉考）如图，在ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，过C 作CE BD ⊥交BD 延长线于E ．求证：12CE BD =．23．（2019?沂源县⼀模）（1）如图（a）所⽰，BD、CE分别是ABC的外⾓平分线，过点A作AD BD⊥，AE CE⊥，垂⾜分别为D、E，连接DE，求证：1() 2DE AB BC AC=++；（2）如图（b）所⽰，BD、CE分别是ABC的内⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所⽰，BD为ABC的内⾓平分线，CE为ABC的外⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边⼜有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．24．（2017秋?夏⾢县期中）如图，在ABC ?中，ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于F ，过F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ?、CEF ?都是等腰三⾓形；②DE DB CE =+；③AD DE AE AB AC ++=+；④BF CF =．正确的有．25．（2019秋?垦利区期末）如图，平⾏四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =；，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ，则DE DF +的长度为．26．（2010秋?海淀区期末）如图，BD 是ABC ?的⾓平分线，//DE BC ，DE 交AB 于E ，若AB BC =，则下列结论中错误的是( )A ．BD AC ⊥B ．A EDA ∠=∠C ．2AD BC =D ．BE ED =27．如图，若BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过D 作//DE AB 交BC 于E ，作//DF AC 交BC 于F ，求证：BC 的长等于DEF ?的周长．28．（2018秋?邳州市期中）如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD >，∠，AB AD 下列结论正确的是()A．AB AD CB CD->-B．AB AD CB CD-=-C．AB AD CB CD-<-D．AB AD-与CB CD-的⼤⼩关系不确定29．（2012?⿇城市校级模拟）在ABC∠的外⾓平分线，P是AD上的任意中，AD是BAC⼀点，试⽐较PB PC+与AB AC+的⼤⼩，并说明理由．30．（2018秋?万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD ∠，CE AB⊥于=+．E，且180B D∠+∠=?，求证：AE AD BE31．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是BAC∠=?，C=+，31的⾓平分线，AC AB BD 求B∠的度数．32．（2019秋?平⼭县期中）如图，90∠=?，OM平分AOB∠，将直⾓三⾓板的顶点PAOB在射线OM上移动，两直⾓边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．33．（2016秋?丰宁县期中）如图，在ABC ?中，100A ∠=?，40ABC ∠=?，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD ⾄E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+．34．（2018秋?丰城市期中）在ABC ?中，2ACB B ∠=∠，（1）如图1，当90C ∠=?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，当90C ∠≠?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；（3）如图3，当AD 为ABC ?的外⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．35．（2019春?利津县期末）如图，在ABC∠平分线，AD的垂直平分线分中，AD是BAC别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）EAD EDA∠=∠；（2）//DF AC；（3）EAC B∠=∠．36．（2014?西城区⼆模）在ABC>，AD平分BAC∠交BC于点∠为锐⾓，AB AC，BACD．（1）如图1，若ABC是等腰直⾓三⾓形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若60∠=?，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；ABE②如图3，若AC AB+，求BAC∠的度数．⾓平分线四⼤辅助线模型--解析⼀．⾓平分线的性质与判定（共11⼩题）1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．【分析】⾸先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据⾓平分线的性质，即可求得PB 的值，⼜由垂线段最短，可求得PQ 的最⼩值．【解答】解：过点P 作PB OM ⊥于B ， OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，3PB PA ∴==，PQ ∴的最⼩值为3．故选：C ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利⽤⾓平分线的性质，可得出ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼相等，估计三⾓形的⾯积公式，即可得出ABD ?与ACD ?的⾯积之⽐等于对应边之⽐．【解答】解：AD 是ABC ?的⾓平分线，∴设ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼分别为1h ，2h ，12h h ∴=，ABD ∴?与ACD ?的⾯积之⽐:8:64:3AB AC ===，故选：B ．3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【分析】根据⾓平分线的性质得到ED EC =，计算即可．【解答】解：BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90ACB ∠=?， ED EC ∴=，3AE DE AE EC AC cm ∴+=+==，故选：B ．4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，根据⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等可得DE CD =，然后根据三⾓形的⾯积公式即可得到结论．【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，BD 是ABC ∠的平分线，90C ∠=?，DE CD m ∴==，ABD ∴?的⾯积122n m mn =??=，故选：A．5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB，另⼀把直尺压住射线OA并且与第⼀把直尺交于点P，⼩明说：“射线OP就是BOA∠的⾓平分线．”他这样做的依据是()A．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点C作CE AO=，再根据⾓⊥，CF BO⊥，根据题意可得CE CF的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上可得OP平分AOB∠；【解答】解：（1）如图所⽰：过两把直尺的交点P作PE AO⊥，⊥，PF BO两把完全相同的长⽅形直尺，PE PF∴=，∠（⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上），OP∴平分AOB故选：A．。
角平分线的解题模型
3、如图，△ABC 中，M 为 BC 边上中点，AD 平分∠A，ME∥DA 交 BA 延长线于点
F。
求证：（1）∠1=∠2
1
（2）、CF= （AB+AC）
2
9
2
C
D
B
2、已知如图 2-3，△ABC 的角平分线ＡＥ、ＣＦ相交于点Ｏ。 求证：∠ＡＢＣ的平分线也经过点Ｏ。
B
E FO
A
C
３、如图，已知 BF 是∠DBC 的平分线，CF 是∠ECB 的平分线，
求证：点 F 在∠BAC 的平分线上。
D
B F
A
C
E
4、已知：如图 2-7，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为 D，AE 平分∠
A
C
5
3、 已 知 ： 如 图 1-3， AB=2AC， ∠ BAD=∠ CAD，
A
DA=DB，求证 DC⊥AC
C E
（二）、异向截线 如果：OP 平分∠AOB，PM=PN，可以过 P 点向 B
OA、OB 作垂线分别交于点 C、点 D。 那么：△PCN≌△PDM，∠ONP+∠OMP=180º。
D
图 1- 3
那么：△PCN≌△PDM，OM=ON
A
C N
P
O
MD
B
例题： 1、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC＞ PB-PC
A
12 P
B
C D
2、如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠A、∠C 的角平分线 AE、CF 相交于 O．
求证：OE＝OF．
B
E FO
2、如图，若 AD 平分∠BAC 平分线，过 CE∥
专题16 角平分线四大模型(解析版)
专题16 角平分线四大模型(解析版)角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线是一种重要且常见的构造，它具有许多有用的性质和应用。
本专题将介绍角平分线的四大模型，并对其进行解析。
1. 模型一：角内角平分线模型角内角平分线是指从一个角的内部点出发，将该角分成两个相等的内角的线段。
这种模型在解决一些与角相关的问题时非常有用。
例如，考虑一个三角形ABC，D点在角BAC的内部，且BD与CD分别是角BAC的内角平分线，我们可以推导出：∠BDC = 1/2 * ∠BAC。
这个模型在证明角内角平分线性质时发挥了关键作用。
2. 模型二：角外角平分线模型角外角平分线是指从一个角的外部点出发，将该角的外角分成两个相等的外角的线段。
这种模型在解决一些与外角相关的问题时也非常有用。
以正五边形ABCDE为例，点F在边AB延长线上，且∠BCD为角ACD的外角，则可以得出：∠BCD = 1/2 * ∠ACD。
这个模型在讨论外接角平分线性质时起到了重要作用。
3. 模型三：角平分线的垂直性模型角平分线的垂直性模型是指在一个三角形中，三条角平分线相交于一个点，且该点与三个三角形的顶点连线垂直。
以三角形ABC为例，如果AD、BE、CF为三个角平分线，且它们交于点O，则有AO ⊥BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。
这个模型在解决垂直关系问题时具有重要的应用价值。
4. 模型四：角平分线的外角关系模型角平分线的外角关系模型是指一个三角形的三个外角等于一个直角的两倍。
以三角形ABC为例，∠BAC的外角是∠ACD，∠ABC的外角是∠BCE，∠BCA的外角是∠CAD，则∠ACD + ∠BCE + ∠CAD = 2 * 90°。
这个模型在研究外角关系时起到重要的辅助作用。
综上所述，角平分线四大模型提供了解决各种与角有关问题的有力工具。
这些模型不仅在几何学中具有广泛的应用，而且在其他科学领域中也有其独特的价值。
课件：与角平分线有关的基本模型
过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC.若 AN＝1，则 BC
的长为( B)
A．4
B．6
C．4 3
D．8
7．(2019·安顺节选)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AF 与 DC 的延长线交于点 F，点 E 是 BC 的中点．若 AE 是∠BAF 的平分线，试探 究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．
别是∠BAC，∠ABC 的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋
∠ACD＝(A ) A．75°Biblioteka B．80°C．85°
D．90°
3．(2018·深圳改编)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC， BE 平分∠ABC，AD，BE 相交于点 F，且 AF＝4，EF＝ 2，则 AE＝ 10．
解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角 平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两 端取相等的线段(截长或补短)构造全等三角形．
8．(2019·陕西)如图，在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E.若 DE＝1，则 BC 的长为(A )
A．2＋ 2 B. 2＋ 3 C．2＋ 3 D．3
9．(2019·永州)已知∠AOB＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点 D 为 OC 上一点，过 D 作直线 DE⊥OA，垂足为 E，且直线 DE 交 OB 于点 F，如图 所示．若 DE＝2，则 DF＝ 4 ．
10．(2019·威海改编)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，过点 C 作 CE⊥BC，交 AD 于点 E，且 EC 平分∠BED.连接 BE.若 AB＝6，则 CD＝ 3．
北师大版七年级数学下册第四章三角形中角度计算相关的模型讲义设计
三角形中与角度计算相关的模型两个定理：一、平面内，三角形的三个内角和为180°。
二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。
由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。
下面一一推导证明。
模型一：8字模型条件：AD、BC相交于点O。
结论：∠A+∠B=∠C+∠Ｄ。
(上面两角之和等于下面两角之和)证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，，∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD由对顶角相等：∠BOA=∠COD故有∠A+∠B=∠C+∠Ｄ应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°模型二：飞镖模型条件：四边形ABDC如上左图所示。
结论：∠D=∠A+∠B+∠C。
(凹四边形凹外角等于三个内角和)证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。
本质为两个三角形外角和定理证明。
应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。
模型三：两内角角平分线模型条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。
结论：AI2190证明：∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC212∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB213由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A+ABC 21+ACB 21=∠A+)180(21A =A 2190.应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。
(1)若∠A=60°，则∠I=120°(2)若∠I=110°，则∠A=40°(3)若∠A=α，则∠I=2190。
2024年北师大版七年级下册数学第四章三角形专项复习1 与三角形的高、角平分线有关的计算模型
90°－75°＝15°.
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模型1
同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数
1.在△ABC中，∠B＜∠C，AQ平分∠BAC，交BC于点Q，P
是AQ上的一点（不与点Q重合），PH⊥BC于点H.
（2）如图②，当△ABC是锐角三角形时，试探索∠QPH，
∠C，∠B之间的数量关系，并说明理由.
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解：（2）过点A作AG⊥BC于点G，
则∠PHQ＝∠AGQ＝90°，所以PH∥AG，
所以∠QPH＝∠QAG.
设∠QPH＝∠QAG＝x，因为AQ平分∠BAC，
所以∠BAQ＝∠QAC＝x＋∠GAC.
因为∠AQH＝∠B＋∠BAQ，∠AQH＝90°－x，
所以∠BAQ＝90°－x－∠B.
所以x＋∠GAC＝90°－x－∠B.
所以∠EBC＋∠DCB＝ ∠ABC＋ ∠ACB
＝ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∠ABC＋∠ACB）＝60°，
所以∠BOC＝180°－（∠EBC＋∠DCB）＝180°－60°＝120°.
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模型4
两内角平分线求角度
5.如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于
点O.
（2）当∠A＝100°时，求∠BOC的度数.
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模型4
两内角平分线求角度
5.如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于
点O.
（1）当∠A＝60°时，求∠BOC的度数.
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解：（1）因为∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°.
2020七年级数学下册试题 11.微专题：教材P114T3拓展——与三角形角平分线相关的解题模型
11．微专题：教材P114T3拓展——与三角形角平分线相关的解题模型◆类型一 同一顶点处的角平分线、高线夹角模型【方法点拨】三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一半．如图，AE ，AD 分别为△ABC 的角平分线和高线，则∠EAD ＝12(∠B －∠C )．1．如图①，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC 于E ，∠B ＝40°，∠C ＝70°. (1)求∠DAE 的度数； (2)如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC 于E ”，其他条件不变，求∠DFE 的度数．◆类型二 与三角形内外角平分线相关的夹角模型【方法点拨】①两内角平分线的夹角的度数：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角的度数的一半．如图①，∠BOC ＝90°＋12∠A .②一内角平分线与一外角平分线夹角的度数：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于第三角的度数的一半．如图②，BA 1，CA 1分别为△ABC 的一条内、外角平分线，BA 2，CA 2分别为△A 1BC 的一条内、外角平分线，则∠A 1＝12∠A ，∠A 2＝12∠A 1，……③两外角角平分线夹角的度数：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于90°减去第三角的度数的一半．如图③，BO ，CO 分别为△ABC 的两条外角平分线，则∠O ＝90°－12∠A .2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究，完成所提出的问题． (1)如图①，O 是△ABC 内一点，BO ，CO 分别平分∠ABO ，∠ACO .若∠A ＝46°，则∠BOC ＝________；若∠A ＝n °，则∠BOC ＝________________；(2)如图②，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数；(3)如图③，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数．参考答案与解析1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝70°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝35°，∴∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝75°.∵AE ⊥BC ，∴∠AEB ＝90°，∴∠DAE ＝90°－∠ADE ＝15°.(2)同(1)可得∠ADE ＝75°.∵FE ⊥BC ，∴∠FEB ＝90°，∴∠DFE ＝90°－∠ADE ＝15°.2．解：(1)113° 90°＋12n °(2)∵∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB )，而BO ，CO 分别平分∠CBE ，∠BCF ，∴∠OBC ＝12∠CBE ，∠OCB ＝12∠BCF ，∴∠BOC ＝180°－12(∠CBE ＋∠BCF )，而∠CBE ＝180°－∠ABC ，∠BCF ＝∠180°－∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－12(180°＋∠A )＝90°－12∠A ，∴∠BOC ＝90°－12n °.(3)∵∠BOC ＝∠OCD －∠OBD ，∠A ＝∠ACD －∠ABC ，而BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD ，∴∠ACD ＝2∠OCD ，∠ABC ＝2∠OBD ，∴∠A ＝2∠OCD －2∠OBD ＝2∠BOC ，∴∠BOC ＝12n °.。
初中数学常见模型之角平分线四大模型
角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
N M OAB P 2图4321A CP B D AB C图1A B DC模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
热搜精练1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC 的长。
A B DCPP O N M B A 图2DP AB C D C 1图P B A ABCD2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。
三角形角平分线四大模型
N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CP角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
16．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．17．如图∠BAC＝30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC且交AB于F．（1）求证：△ADF是等腰三角形．（2）若DF＝10cm，求DE的长．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5cm，求AB的长．19．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．20．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC．求证：∠PCB+∠BAP＝180°．P O N M B A 图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC BA模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
初中数学几何模型(一)角平分线模型
初中数学几何模型（一）角平分线模型角平分线模型：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1、过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等。
条件中出现角平分线，我们可以通过角平分线上的点作角两边的垂线，从而构造全等三角形。
如图，OC是∠AOB的平分线，过OC上一点P，作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,易证△OPD≌△OPE。
2、过角平分线上的点作角平分线的垂线，构造全等三角形和等腰三角形。
条件中出现角平分线，我们可以通过角平分线上的点作角平分线的垂线，从而构造全等三角形和等腰三角形。
如图，OC是∠AOB的平分线，过点P作OC的垂线，分别交OA、OB与点D、E。
易得，△OPD≌△OPE，△ODE是等腰三角形。
3、过角平分线上一点作角一边的平行线，与另一边相交，构造等腰三角形。
如图，OC平分∠AOB，过OC上的一点D作DE//OB，交OA与点E，易得△ODE是等腰三角形。
4、以角平分线为对称轴翻折（也可以采用截长补）构造全等三角形。
如图，BD是△ABC的角平分线，在BC上截取BE，使BE=BA，易得，△ABD≌△EBD；BA与ED的延长线交于点F，易得，△BDF≌△BDC、△ADF≌△EDC；5、内角平分线性质：如图，AD是△ABC的内角平分线，则ABAC =BDCD。
过点C作CE//DA，交BA的延长线于点E。
易得，△ACE是等腰三角形，则AC=AE；∵DA//CE，∴ABAE =BDCD，∴ABAC =BDCD典型例题：1、感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，易证：DB=DC；探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，求证：DB=DC；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，用a的代数式表示AB-AC。
探究略解：方法1：在AB上截取线段AE，使AE=AC。
易证，△ADC≌△ADE，∴DC=DE。
专题 探索三角形几何模型(双角平分线模型)(知识讲解)数学七年级下册(北师大版)
专题4.20 探索三角形几何模型 （双角平分线模型）（知识讲解）几何模型1：内角平分线+内角平分线模型1分别为ABC 的内角如图一00000=180-+1=180-+21=180--21=90BIC I CI ABC BICIBC ICB ABC ACB A A∠∴∠∠∠∠∠∠+∠分别为ABC 的内角I.证明：在中，B 、分别为ABC 的内角（）（）（180）模型2：内角平分线+外角平分线模型如图二212=12ABC PBC PCD P PBC P PBC P ∠∴∠=∠∠∴∠+∠∴∠+∠∴∠=分别为ABC 的内角的角平分线相交于点P.:、模型三：外角平分线+外角平分线模型0190.2CBE BCD A ∆∠∠∠-∠如图三、条件：ABC 的外角和外角的角平分线相交于点，结论：P=如图三00012180180180180EBC PBC P ∠∴∠=∠====分别为ABC 的外角的角平分线相交于点P.:、模型四：飞镖+角平分线模型1、飞镖模型内角关系模型：=++.=+,=+,=++.C A BD BCD BED CDE ABE BCD CED D CED A B C A B D ∠∠∠∠∠∠∴∠∠∠∠∠∠∴∠∠∠∠如图四：如图，在四边形ABCD 中，结论：证明：延长BC 交AD 于E ，则、分别为、外角，图四2、飞镖模型“内角平分线+内角平分线”模型：图五1-2=P PBA PBC A P ∠=∠∠=∠∴∠（）（）得1．如图，在△ABC 中，△ABC 和△ACB 的平分线相交于点P ．（1）若△ABC +△ACB ＝130°，求△BPC 的度数． （2）当△A 为多少度时，△BPC ＝3△A ？【答案】（1）115︒；（2）36A ∠=︒）PB 平分12PBC =∠△ABC +△ACB）PB 平分PBC ∴∠=PBC ∴∠+ABC ∠+∠PBC ∴∠+180()BPCPBCPCB1180(90)2A =︒-︒-∠1902A =+∠︒△BPC ＝3△A 和定理是解题的关键．类型二、内角平分线+外角平分线模型2．如图，在△ABD 中，△ABD 的平分线与△ACD 的外角平分线交于点E ，△A=80°，求△E 的度数【答案】40°【分析】由题意：设△ABE=△EBC=x ，△ACE=△ECD=y ，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．解：由题意：设△ABE=△EBC=x ，△ACE=△ECD=y ，则有2=2=y x A y x E +∠⎧⎨+∠⎩①② ，用参数构建方程组解决问题．类型三、外角平分线+外角平分线模型3．如图，已知射线OE⊥射线OF，B、A分别为OE、OF上一动点，ABE∠、∠的度数是否改变？∠的平分线交于C点.问B、A分别在OE、OF上运动的过程中，CBAF若不变，求出其值；若改变，说明理由.熟练掌握相关的性质是解题的关键．类型四、飞镖内角平分线+内角平分线模型4．（1）在锐角ABC ∆中，AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P ，110BPC ∠=︒，求A ∠的度数．（2）如图，AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠，当点D 在直线AC 上时，且B 、P 、D 三点共线，100APC ∠=︒，则B ∠=_________．（3）在（2）的基础上，当点D 在直线AC 外时，如下图：130ADC ∠=︒，100APC ∠=︒，求B ∠的度数．【答案】（1）70︒；（2）20︒；（3）70︒．【分析】（1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可；（2）法一：根据100APC ∠=︒以及AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠，算出BAD ∠和BCD ∠,从而算出B ∠；法二：根据三角形的外角定理得到△APC =△B +△P AB ＋△PCB ，再求出△P AB ＋△PCB ，故可求解；（3）法一：连接AC ，根据三角形的内角和与角平分线的性质分别求出2+4=30∠∠︒，110BAC BCA ∠+∠=︒，故可求解；法二：连接BD 并延长到G 根据三角形的外角定理得到△ADC ＝△2＋△4＋△APC ，再求出△2＋△4，故可求解．解：（1）如图AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P△90BDA CEA ∠=∠=︒ 又△110BPC ∠=︒ △110EPD BPC ∠=∠=︒△在四边形AEPD 中，内角和为360︒ △=360-110-90-90=70A ∠︒︒︒︒︒．（2）法一：△AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠△,BAP FAC BCE ACE ∠=∠∠=∠ 又△100APC ∠=︒△+18010080FAC ACE ∠∠=︒-︒=︒ △160BAC BCA ∠+∠=︒ △=180-160=20B ．法二：连接BD ，△B 、P 、D 三点共线 △BD 、AF 、CE 交于P 点△△APD =△BAP +△ABP ，△CPD =△BCP +△CBP ， △△APC =△B +△P AB ＋△PCB△AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠， △△P AC =△P AB ，△PCA =△PCB ， △△APC ＝100°，△△P AC ＋△PCA ＝180°−100°＝80°， △△P AB ＋△PCB ＝80°，△△B ＝△APC −（△P AB ＋△PCB ）＝100°−80°＝20°．（3）法一：如图：连接AC△130ADC ∠=︒，100APC ∠=︒△18013050,18010080DAC DCA PAC PCA ∠+∠=︒-︒=︒∠+∠=︒-︒=︒ △2+4=30∠∠︒又△AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠ △1+3=2+4=30∠∠∠∠︒ △110BAC BCA ∠+∠=︒ △=180-110=70B ．法二：如图，连接BD 并延长到G ，△△ADG ＝△2＋△APD ，△CDG ＝△4＋△CPD ， △△ADC ＝△2＋△4＋△APC ， △△2＋△4=30°同理可得△APC ＝△1＋△3＋△B ，△1＝△2，△3＝△4， △△B ＝△APC -△2-△4=100°-30°=70° △△B ＝70°．【点拨】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．类型五、双角平分线模型综合5．探究：△A．（1）如图1，在△ABC中，BP平分△ABC，CP平分△ACB．求证：△P＝90°+12（2）如图2，在△ABC中，BP平分△ABC，CP平分外角△ACE．猜想△P和△A有何数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，BP平分△CBF，CP平分△BCE．猜想△P和△A有何数量关系，请直接写出结论．116．如图，在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的角平分线交于O 点.（1）若40A ∠=︒，则BOC ∠= ︒；（2）若A n ∠=︒，则BOC ∠= ︒；（3）若A n ∠=︒，ABC ∠与ACB ∠的角平分线交于O 点，ABO ∠的平分线与ACO ∠的平分线交于点1O ，，2016O BD ∠的平分线与2016O CE ∠的平分线交于点2017O ，则2017O ∠=︒.12018等于180°．。
初中数学题型汇总：与三角形有关的角平分线模型
初中数学题型汇总：与三角形有关的角平分线模型推荐:学习方法技巧策略解题高手是怎样炼成的?文末”阅读原文“查看《初中数学典型题思路分析》及赠送资料.【方法技巧】角平分线性质+三角形内角和定理+三角形外角性质十整体思想，化归思想+设参数计算.类型一：角平分线+高线夹角模型（设参计算+整体思想）【典型例题1】(1)已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，如图1，设∠B=x，∠C=y，试用x，y表示∠DAE，并说明理由；(2)在图2中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，试用x，y表示∠DFE=________________；(3)在图3中，若把(2)中的“点F在AE上”改为“点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x，y表示∠DFE=________________；(4)在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x，y表示∠P=_______________．图1 图2 图3 图4【思路分析】(1)首先利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数,进而可求出∠BAD的度数，由垂直可得∠BAD=90°-x，进而可求∠EAD的度数；(2)(3)同(1)可得；(4)由题意可知：∠PAF=1/4(180°-x-y)，再利用已知条件、对顶角的性质和角平分线的性质即可求出∠P的度数【答案解析】类型二：燕尾形双角平分（设参计算+整体思想）【典型例题2】如图，BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD，它们交于点P．求证：∠P=1/2(∠A+∠D)．【思路分析】根据角平分线的性质及内角与外角的关系解答即可.【答案解析】延长BP交AC于点E，设∠PBA=∠PBD=x，∠PCA=△PCD=y，∠BPC=∠BEC+y=x+∠A+y，∴x+y=∠BPC-∠A，同理可得∠D=x+y+∠BPC=2∠BPC-∠A．∴2∠BPC=∠A+∠D,∴∠P=1/2(∠A+∠D)．更多内容见公众号：初中数学解题思路类型三：蝶形（8字形）双角平分（设参计算十整体思想）【典型例题3】（1）模型：如图1，AD，BC交于O点，求证：∠D+∠C=∠A+∠B．（2）模型应用：如图2，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E.①若∠D=30°，∠B=40°，则∠E的度数是_______；②直接写出∠E与∠D，∠B之间的数量关系是_______；（3）类比应用：如图3，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.若∠D=m°，∠B=n°，(m＜n)．求∠E的度数．（用含有m，n的式子表示）图1 图2 图3【思路分析】(1)用外角即可转换；(2)反复运用模型即可；(3)类比(2)的方法．【答案解析】(1)∠AOC既是△AOB的外角，又是△COD的外角，∴∠D+∠C=∠AOC=∠A+∠B；(2)①35°；②∠E=1/2(∠D+∠B)；(3)延长BC交AD于F，∴∠BFD=∠B+∠BAD，∴∠BCD= ∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D．∵CE平分∠BCD, AE平分∠BAD，∵∠ECD=∠ECB=1/2∠BCD，∠EAD=∠EAB=1/2∠BAD，∵∠E+∠ECB= ∠B+∠EAB，∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-1/2∠BCD=∠B-∠BAE-1/2（∠B+∠BAD+∠D）=1/2（∠B-∠D），∵∠D=m°，∠B= n°，即∠E=1/2（n-m）°．。
冀教版七年级数学上册-微专题：教材P114T3拓展-与三角形角平分线相关的解题模型
11．微专题：教材P114T3拓展——与三角形角平分线相关的解题模型◆类型一 同一顶点处的角平分线、高线夹角模型【方法点拨】三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一半．如图，AE ，AD 分别为△ABC 的角平分线和高线，则∠EAD ＝12(∠B －∠C )．1．如图①，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC 于E ，∠B ＝40°，∠C ＝70°.(1)求∠DAE 的度数；(2)如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC 于E ”，其他条件不变，求∠DFE 的度数．◆类型二 与三角形内外角平分线相关的夹角模型【方法点拨】①两内角平分线的夹角的度数：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角的度数的一半．如图①，∠BOC ＝90°＋12∠A .②一内角平分线与一外角平分线夹角的度数：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于第三角的度数的一半．如图②，BA 1，CA 1分别为△ABC的一条内、外角平分线，BA 2，CA 2分别为△A 1BC 的一条内、外角平分线，则∠A 1＝12∠A ，∠A 2＝12∠A 1，…… ③两外角角平分线夹角的度数：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于90°减去第三角的度数的一半．如图③，BO ，CO 分别为△ABC 的两条外角平分线，则∠O ＝90°－12∠A . 2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究，完成所提出的问题．(1)如图①，O 是△ABC 内一点，BO ，CO 分别平分∠ABO ，∠ACO .若∠A ＝46°，则∠BOC ＝________；若∠A ＝n °，则∠BOC ＝________________；(2)如图②，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数；(3)如图③，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数．参考答案与解析1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝70°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝35°，∴∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝75°.∵AE ⊥BC ，∴∠AEB ＝90°，∴∠DAE ＝90°－∠ADE ＝15°.(2)同(1)可得∠ADE ＝75°.∵FE ⊥BC ，∴∠FEB ＝90°，∴∠DFE ＝90°－∠ADE ＝15°.2．解：(1)113° 90°＋12n ° (2)∵∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB )，而BO ，CO 分别平分∠CBE ，∠BCF ，∴∠OBC＝12∠CBE ，∠OCB ＝12∠BCF ，∴∠BOC ＝180°－12(∠CBE ＋∠BCF )，而∠CBE ＝180°－∠ABC ，∠BCF ＝∠180°－∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－12(180°＋∠A )＝90°－12∠A ，∴∠BOC ＝90°－12n °. (3)∵∠BOC ＝∠OCD －∠OBD ，∠A ＝∠ACD －∠ABC ，而BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD ，∴∠ACD ＝2∠OCD ，∠ABC ＝2∠OBD ，∴∠A ＝2∠OCD －2∠OBD ＝2∠BOC ，∴∠BOC ＝12n °.。
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11．微专题：教材P114T3拓展——与三角形角
平分线相关的解题模型
◆类型一 同一顶点处的角平分线、高线夹角模型
【方法点拨】三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一
半．如图，AE ，AD 分别为△ABC 的角平分线和高线，则∠EAD ＝12
(∠B －∠C )．
1．如图①，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC 于E ，∠B ＝40°，∠C ＝70°.
(1)求∠DAE 的度数；
(2)如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC 于E ”，其他条件不变，求∠DFE 的度数．
◆类型二 与三角形内外角平分线相关的夹角模型
【方法点拨】①两内角平分线的夹角的度数：三角形的两个内角平分线交于一点，所形
成的夹角的度数等于90°加上第三角的度数的一半．如图①，∠BOC ＝90°＋12
∠A .
②一内角平分线与一外角平分线夹角的度数：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于第三角的度数的一半．如图②，BA 1，CA 1分别为△ABC
的一条内、外角平分线，BA 2，CA 2分别为△A 1BC 的一条内、外角平分线，则∠A 1＝12
∠A ，∠A 2＝12
∠A 1，…… ③两外角角平分线夹角的度数：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于90°减去第三角的度数的一半．如图③，BO ，CO 分别为△ABC 的两条外角平分线，则
∠O ＝90°－12
∠A . 2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究，完成所提出的问题．
(1)如图①，O 是△ABC 内一点，BO ，CO 分别平分∠ABO ，∠ACO .若∠A ＝46°，则∠BOC ＝________；若∠A ＝n °，则∠BOC ＝________________；
(2)如图②，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数；
(3)如图③，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数．
参考答案与解析
1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝70°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝35°，∴∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝75°.∵AE ⊥BC ，∴∠AEB ＝90°，∴∠DAE ＝90°－∠ADE ＝15°.
(2)同(1)可得∠ADE ＝75°.∵FE ⊥BC ，∴∠FEB ＝90°，∴∠DFE ＝90°－∠ADE ＝15°.
2．解：(1)113° 90°＋12
n ° (2)∵∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB )，而BO ，CO 分别平分∠CBE ，∠BCF ，∴∠OBC ＝12∠CBE ，∠OCB ＝12∠BCF ，∴∠BOC ＝180°－12
(∠CBE ＋∠BCF )，而∠CBE ＝180°－∠ABC ，∠BCF ＝∠180°－∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－12(180°＋∠A )＝90°－12
∠A ，∴∠BOC ＝90°－12
n °. (3)∵∠BOC ＝∠OCD －∠OBD ，∠A ＝∠ACD －∠ABC ，而BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD ，∴∠ACD ＝2∠OCD ，∠ABC ＝2∠OBD ，∴∠A ＝2∠OCD －2∠OBD ＝2∠BOC ，
∴∠BOC ＝12
n °.。