小升初之数论专题

数论

[知识要点]小学升初考试中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：

1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），

且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：

d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x＜y 与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按数论题的内容来分类讲解。

第一节整除

【专题简析】：在数的整除中要熟记数整除的特点，在用整除的知识来解决相关试题的时候要注意首先确定末尾那个数字，在确定其他的数字。

数整除的特征

数特点

被2整除一个整数的个位是0,2,4,6,8中的某一个

被3（或者9）整除一个整数的各位数字之和能被3（或者9）整除

被5整除一个整数的末尾不是5就是0

被4(或者25)整除一个整数的末两位能被4(或者25)整除

被8(或者125)整除一个整数的末三位能被8(或者125)整除

被11整除一个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数

字之和的差（较大数减较小数）能被11整除

被7(或者11或者13)整除一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（较大数减较小数）能

【例题精讲】

例1.老师买了72本相同价格的书，当时没有记住书的单价，只用铅笔记下了用的总钱数，回到学校后其中有两个数字已经模糊不清了，总钱数成了□13.7□元，你能帮忙补上□中数字吗？

练习1.马虎的采购员，买了72只桶，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到72只桶共 □67.9□元，□内的字迹已经看不清楚，请帮他算一下一共多少钱？

例2.在算式abcde13abcde 1=⨯中，不同字母代表不同的数，相同的字母代表相同的数，求abcde 这个五位数是多少？

练习2.一个六位数，他的个位数字是6，将6移动到最前面，所得的数是原数的4倍，求这个六位数。

例3.从0,3,5,7,这4个数中任选3个，组成没有重复数字的三位数，在组成的数中能同时被2、3、5整除的数有多少个？

练习3.从1、2、3、4、5中任取3个数组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中能同时被2和9整除的数有多少个？

【综合练习】

1.学校李老师一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□. 2□元，已知□处的数字相同，请问每支铅笔多少钱？

2.已知y

x1993。

x1993是45的倍数，求所有满足条件的六位数y

3.小明在一张纸上写下了一个没有重复数字的五位数，9□4 □5，其中十位数字和千位数字都看不清楚了，但已知这个数能被75整除，那么满足上述条件的五位数中，最大的一个数是多少？

4.在25 □79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，问□应填几？

5.五位数a

a2能被2整除，求这35能被3整除，它的末三个数字组成的数a

a2

个五位数？

6.已知六位数□8919□能被33整除，那么这个六位数是多少？

7.一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88商多少？

8.有一个整数，用它去除70、110、160等到三个余数之和是50，求此整数。

9.有一个正整数是一个有2008位的数，且是9的倍数，数字之和是A,A的数字

之和是B，B的数字之和是C,求C是多少？

第二节质数与合数的应用

【专题简析】

根据质数、合数的意义，解答与质数合数有关的问题，学习这部分内容，首先要记住20以内、100以内的质数，有利于顺利解题。

【例题精讲】

例1分别判断251，539是质数还是合数？

例2 A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，试求出满足要求的最小质数A。

例3如图，四个小三角形顶点处有6个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20。而且每个小三角形顶点圆圈的数之和相等，问这6个质

数的积是多少？

【基础练习】

1．试判断507，619，667是质数还是合数？

2．（1）如果两个质数的和是1999，那么这两个质数的积是多少？

（2）如果三个质数和是130，那么这三个质数的积最大是多少？

3．写出50以内5个连续自然数，要求每个数都是合数。

4.A是一个质数，且A+4，A+6，A+10都是质数，试求出满足要求的最小质数A。

5．把一个一位数的质数A，写在另一个两位质数B的后面，得到一个三位数，这个三位数是A的119倍，求A和B。

6．把一个两位质数写在另一个两位质数后面，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除，试求出所有这样的质数对。

7．填出下面加法算式中的6个质数。

8 质 9

+ 质 6 质

1 质质质

【拓展提高】

1．（1）写出5个质数，按从大到小的顺序排列，每相邻两数差是12。

（2）写出7个连续自然数，要求每个数都是合数。

2．判断数6666667111111是质数还是合数？