含有一元二次函数型单调性问题

导数含有一元二次函数型函数的单调性问题
莘县一中 田昌喜
1. 已知函数).0()(≠++
=x b x a x x f ，其中R b a ∈,，讨论函数)(x f 的单调性. 解: (1)21)('x a
x f -=，
当0≤a 时，显然)('x f >0(x ≠0),这时f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)内是增函数； 当0>a 时，令)('x f =0，解得=x a ±，
当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：
2. 已知函数,)(2a
ax x e x f x
++=其中a 为实数,当)(x f 的定义域为R 时，求)(x f 的单调区间.
解： )(x f 的定义域为R ,∴方程02=++a ax x 无实根，即042
<-=∆a a ,解得：40<<a .
又222222)
())2(()()2()()(a ax x x a x e a ax x a x e a ax x e x f x x x ++-+=+++-++=', 由0)(='x f ，得0=x 或a x -=2.
当02=-a 即2=a 时,0)(≥'x f ，此时当且仅当0=x 时，取等号，所以，)(x f 的增区间为),(∞+-∞;
当02>-a 即42<<a 时,
若),0()2,(∞+⋃--∞∈a x ，则0)(>'x f ，
若)0,2(a x -∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 的增区间为),0(),2,(∞+--∞a ，减区间为)0,2(a -；
当02<-a 即20<<a 时,
若),2()0,(∞+-⋃-∞∈a x ，则0)(>'x f ，
若)2,0(a x -∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 的增区间为),2(),0,(∞+--∞a ，减区间为)2,0(a -.
3. 在实数集R 上定义运算：.)((为常数）a y a x y x -=⊗令x e x f =)(，
,
2)(2x e x g x +=-)()()(x g x f x F ⊗=,求函数)(x F 的单调区间. 解：12)2()(22--=--=-x x x x e x ae x e a e x F ,
)42()(2a x x e x F x +--='∴,
当0≤∆即2-≤a 时,0422
≤+--a x x ，所以0)(≤'x F ,故)(x F 的单调减区间为),(∞+-∞;
当0>∆即2->a 时,令0)(='x F ，得2
242,224221a x a x ++-=+--=, 若),(21x x x ∈,则0)(>'x F ,此时，)(x F 的单调增区间为)2242,2242(
a a ++-+--, 若),(),(21∞+⋃-∞∈x x x ,则0)(<'x F ,此时，)(x F 的单调减区间为),2242(,)2242,
(∞+++-+---∞a a .。