高中数学选修4-4,4-5知识点总结
【精编】高中数学选修4-4知识点清单
高中数学选修44坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：2.设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标＝ρcosθ，＝ρsinθＷ.(2)直角坐标化极坐标2＝x2＋y2，θ＝yx（x≠0）.三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r (0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cos_θ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0即)cos(2002022θθρρρρ--+=r 3．直线的极坐标方程00△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1．柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z ）(z ∈R )表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z ∈R ．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z．2．球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ．第二讲：一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y ＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
高中数学知识点总结(最全版)
高中数学知识点总结(最全版)高中数学知识点总结引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。
选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。
选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。
系列3：由6个专题组成。
选修3—1：数学史选讲。
选修3—2：信息安全与密码。
选修3—3：球面上的几何。
选修3—4：对称与群。
选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6：三等分角与数域扩充。
系列4：由10个专题组成。
选修4—1：几何证明选讲。
选修4—2：矩阵与变换。
选修4—3：数列与差分。
选修4—4：坐标系与参数方程。
选修4—5：不等式选讲。
选修4—6：初等数论初步。
选修4—7：优选法与试验设计初步。
选修4—8：统筹法与图论初步。
选修4—9：风险与决策。
选修4—10：开关电路与布尔代数。
2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >> |x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）． （3①()f x ②()f x ③()f x ⑤tan y x =中，⑦若()f x 域的交集．应由不等式a g ≤（4②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的作f 素a （1如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）yxo如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n=∈∈>，且n N+∈，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根n是偶数时，正数a的正的n n次方根用符号0的n次方根是0；负数a没有n次方根．n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a≥．③根式的性质：n a=；当n a=；当n为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N+=>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m mn na a m n Na-+==>∈且1)n>．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈（4〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即log N ；自然对数：ln N ，即log N （其中 2.71828e =…）． （4（一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4 ①k ＜②x 1③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑥k 1＜x 1＜（5）二次函数f 设()f x①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
高中数学知识点总结(最全版)
高中数学知识点总结引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。
选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。
选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。
系列3：由6个专题组成。
选修3—1：数学史选讲。
选修3—2：信息安全与密码。
选修3—3：球面上的几何。
选修3—4：对称与群。
选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6：三等分角与数域扩充。
系列4：由10个专题组成。
选修4—1：几何证明选讲。
选修4—2：矩阵与变换。
选修4—3：数列与差分。
选修4—4：坐标系与参数方程。
选修4—5：不等式选讲。
选修4—6：初等数论初步。
选修4—7：优选法与试验设计初步。
选修4—8：统筹法与图论初步。
选修4—9：风险与决策。
选修4—10：开关电路与布尔代数。
2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：yxo要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =xxxxx x(q)0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
高中数学选修4-4知识点
高中数学选修4-4知识点总结1、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：6。
圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r=ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a=θρcos .8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
高中数学-选修4-5不等式的基本性质
性质6 若a > b>0 ，且 c >d>0，那么 ac > bd . 也就是说，两边都是正数的同向不等式相乘，所得 的不等式和原不等式同向。
即 乘法法则：同向可相乘
性质7 如果 a > b>0, 那么an bn.(n N, n 1)
也就是说，当不等式的两边都是正数时，不等式两 边同时乘方所得的不等式与原不等式同向
第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
ab0 a b ab0 a b ab0 a b
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
二、不等式的基本性质
性质1： 如果 a > b ，那么 b < a ；
如果 b < a ，那么 a > b.
题型3：利用不等式的性质求取值范围
例4：已知12 a 60,15 b 36,求a b 及 a的取值范围。
b
例5：已知f (x) ax2 c,且 4 f (1) 1, 1 f (2) 5,求f (3)的取值范围。
a>b b<a
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c
等价命题是： c<b, b<a
a>c c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么 a + c < b + c
(2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b
高中数学知识点总结选修4
高中数学知识点总结选修4一、函数与方程函数是高中数学中的核心概念之一，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在选修4中，我们主要学习了以下几种函数：1. 指数函数：形如y=a^x的函数，其中a是正实数且a≠1。
指数函数的图像是单调的，当a>1时，函数是增长的；当0<a<1时，函数是衰减的。
2. 对数函数：形如y=log_a(x)的函数，其中a是正实数且a≠1。
对数函数与指数函数互为反函数，其图像也是单调的，但与指数函数的单调性相反。
3. 三角函数：包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
这些函数在解决与角度和三角形有关的问题时非常重要。
4. 函数的运算：包括函数的四则运算、复合函数、反函数等。
这些运算规则帮助我们理解和变换函数。
方程是数学中另一个重要的概念，它描述了变量之间的相等关系。
在选修4中，我们学习了解一元二次方程、指数方程、对数方程等。
二、数列与数学归纳法数列是由按照一定顺序排列的数构成的，它可以是有限个数，也可以是无限个数。
在选修4中，我们主要学习了等差数列和等比数列。
1. 等差数列：每一项与前一项的差是常数的数列。
等差数列的通项公式和求和公式是解决相关问题的关键。
2. 等比数列：每一项与前一项的比是常数的数列。
等比数列的通项公式和求和公式同样非常重要。
数学归纳法是一种证明方法，它通过证明基础情况和归纳步骤来证明与自然数相关的命题。
数学归纳法在证明数列的性质时非常有用。
三、解析几何解析几何是研究几何图形的代数性质的数学分支。
在选修4中，我们学习了以下几个重要的主题：1. 直线与圆的方程：通过代数方程来描述直线和圆的位置关系，包括相交、相切和平行。
2. 圆锥曲线：包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线的方程和性质在解决实际问题时非常有用。
3. 参数方程与极坐标：这些是描述几何图形的另外两种方法，它们在某些情况下比直角坐标系更为方便。
四、概率与统计概率论是研究随机事件的数学分支，而统计学则是收集、分析、解释和呈现数据的科学。
高三数学选修4_4知识点
高三数学选修4_4知识点在高三的数学学科中，选修4_4是一个重要的知识点。
下面将介绍选修4_4的主要内容及其相关应用。
一、排列组合排列组合是高中数学中的一个基础概念，也是选修4_4的核心内容之一。
排列指的是从一组元素中选取若干个进行有序排列，而组合则是从一组元素中选取若干个进行无序组合。
排列组合的计算方法主要包括阶乘、排列数和组合数。
1.1 阶乘阶乘是指自然数从1连乘到该数的乘积，用符号"!"表示。
阶乘在排列组合中起到了非常重要的作用，常用于计算排列数和组合数。
1.2 排列数排列数是指从一组元素中选取若干个进行有序排列的方法数，用符号"An"表示。
根据排列数的计算公式可知，An=n!/(n-m)!,其中n表示元素个数，m表示选取的个数。
1.3 组合数组合数是指从一组元素中选取若干个进行无序组合的方法数，用符号"Cn"表示。
组合数的计算公式为Cn=n!/(m!(n-m)!)，其中n 表示元素个数，m表示选取的个数。
二、二项式定理二项式定理是选修4_4的另一个重要内容。
它用于展开一个任意指数幂的二项式式子，并且提供了一个快速计算的方法。
二项式定理的表达式为(a+b)^n，其中a和b为实数，n为自然数。
二项式定理的展开式可以用组合数进行求解，展开后的式子包括n+1项。
三、贝叶斯定理贝叶斯定理是选修4_4的进阶内容，它是概率论中一个重要的定理，由于其在实际问题中的广泛应用而备受关注。
贝叶斯定理描述了在已知相关先验信息和观测数据的情况下，如何更新对该事件的概率估计。
贝叶斯定理的公式为P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率。
四、应用领域选修4_4的知识点在实际问题中有广泛的应用。
在组合数学、概率论、统计学等学科中，排列组合和贝叶斯定理是解决问题的重要工具。
在计算机科学中，排列组合常被用于算法设计和数据结构的研究中。
高中数学理科选修知识点(2-2,2-3,4-1,4-4,4-5)
数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 一、导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.函数()y f x c ==的导数2.函数()y f x x ==的导数3.函数2()y f x x ==的导数4.函数1()y f x x ==的导数基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()logxa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x '=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤:找出两类事物的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
高中数学选修4-4(人教A版)第一讲坐标系1.3知识点总结含同步练习及答案
第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程
一、知识清单
极坐标与极坐标方程
二、知识讲解
1.极坐标与极坐标方程 描述： 极坐标系 在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取 逆时针方向），合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox称为极轴．平面任一点M 的位置可以由 线段OM 的长度ρ 和从Ox到OM 的角度θ 来刻画．这两个数组成的有序对(ρ, θ)称为点M 的极坐 标．ρ 称为极径，θ 称为极角． 在极坐标系(ρ, θ)中，一般限定ρ ≥ 0．当ρ = 0时，就与极点重合，此时θ 不确定．给定点的极坐 标(ρ, θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有 无穷多种表示形式．事实上，(ρ, θ)和(ρ, θ + 2kπ)代表同一个点，其中k 为整数．可见，平面上的 点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处，如果限定ρ ≥ 0， 0 ≤ θ ≤ 2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系． ρ < 0，此时极坐标(ρ, θ)对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ 角的射线的反向 延长线上，它到极点O 的距离为|ρ|，即规定当ρ < 0时，点M (ρ, θ)就是点M (−ρ, θ + π)． 极坐标与直角坐标系的关系 设M 为平面上的一点，它的直角坐标系为(x, y)，极坐标为(ρ, θ)．则有{ x = ρ cos θ 或
⎧ ρ2 = x 2 + y 2 ⎨ ⎩ tan θ = y (x ≠ 0) ，ρ < 0也成立． x
y = ρ sin θ
曲线的极坐标方程 在给定的平面上极坐标系下，有一个二元方程F (ρ, θ) = 0．如果曲线C 是由极坐标(ρ, θ)满足方程 的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ, θ) = 0为曲线C 的极坐标方程． 圆心(a, 0)在极轴上且过极点的圆，其极坐标方程是ρ = 2a cos θ ；圆心在点(a, 圆，其极坐标方程是ρ = 2a sin θ，0 ≤ θ ≤ π．
高中数学选修4-4知识点归纳
高中数学选修4-4知识点归纳高中数学选修4-4主要内容是复数的运算和应用。
复数是实数与虚数的和，形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
1.复数的表示和性质：复数可以用直角坐标系表示，实部和虚部分别对应于横坐标和纵坐标。
复数具有加法、减法、乘法和除法四则运算，遵循实数的运算法则。
复数的共轭复数表示为a-bi，共轭复数具有性质：两个复数的和等于其实部的和加上虚部的和，两个复数的积等于实部的积减去虚部的积。
2.复数的平方根与n次方：对于任意一个复数z=a+bi，令w=x+yi是z的平方根，则w^2=z，即(x+yi)^2=a+bi。
将等式两边展开，得到x^2-y^2+(2xy)i=a+bi。
由此得到实部的方程组x^2-y^2=a和虚部的方程组2xy=b。
解这两个方程组，就可以得到平方根w的实部和虚部。
同样的方法，我们可以计算复数的n次方。
3.复数的模和辐角：复数的模表示复数到原点的距离，记为|z|，计算公式是|z|=√(a^2+b^2)。
复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角，记为θ，计算公式是tanθ=b/a。
复数的辐角一般用弧度表示，可以在求辐角时使用反正切函数。
复数的模和辐角与复数的实部和虚部之间有一定的关系，可以通过公式a=|z|cosθ，b=|z|sinθ进行互相转换。
4.复数的指数形式和三角形式：复数的指数形式表示为z=|z|e^(iθ)，其中e是数学常数自然常数，e≈2.71828。
将复数的指数形式进行展开，可以得到z=|z|(cosθ+isinθ)。
这个形式叫做复数的三角形式，其中|z|表示模，θ表示辐角。
三角形式可以用于复数的运算和求解复数方程。
指数形式可以用于复数乘法和除法的运算，有简洁的表达方式。
5.复数的应用：复数广泛应用于科学和工程领域，尤其是在电学和物理学中。
在电学中，复数可以描述交流电的电压和电流，计算复数的平均功率和相位差。
在物理学中，复数可以描述波的传播和干涉现象，求解复杂的波动方程。
高中数学选修4-5完整知识点知识讲解
高中数学 选修 4--5 知识点1、不等式的基本性质① （对称性） a b ba② （传递性）a b,b cac③ （可加性） a b ac bc（ 同向可加性） ab ,cd a c b d（ 异向可减性） a b ,c d a c b d ④ （可积性） a b ,c 0ac bc a b,c 0 ac bc⑤（ 同向正数 可乘性） a b 0,c d 0 ac bd（ 异向正数 可除性） a b 0,0 c d a bcd⑥ （平方法则） a b 0 a n b n （n N,且n 1）⑦（开方法则）a b 0na nb （n N,且n 1）1 11 1⑧（倒数法则） a b 011;ab 01 1a ba b2、几个重要不等式 a 2 b 2① a 2 b 2 2ab a ，b R , （当且仅当 a b 时取 " "号）. 变形公式： ab a b2变形公式： a b 2 ab ab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） ，要注意满足三个条件 “一正、二定、 ③（三个正数的算术—几何平均不等式） a b c 3 abc （a 、 b 、c R ） （当且仅当 a3等号） . ④ a 2 b 2 c 2 ab bc ca a ， b R （当且仅当 a b c 时取到等号） .⑤a 3b 3c 3 3abc （ a 0,b 0,c 0） （当且仅当 a b c 时取到等号） .ba⑥ 若ab 0,则 2（当仅当 a=b 时取等号）ab ba若ab 0,则 2（当仅当 a=b 时取等号）abb b m a n a⑦ 1 ，（其中 a b 0， m 0， n 0） a a m b n b规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小 .② （基本不等式）ab 2aba ，b R ,（当且仅当 a b 时取到等号）三相等” .b c 时取到⑧当a 0时，x a x 2 a 2x a 或xa;xa⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式②幂平均不等式：21 a n （a 1 a2 ..n③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式：(a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd)2 (a,b,c,d R).当且仅当 ad bc 时，等号成立 .⑦ 向量形式的柯西不等式：成立 .⑧ 排序不等式（排序原理）且仅当a 1 a 2... a n 或 b 1 b 2 ... b n 时，反序和等于顺序和 ⑨琴生不等式 :（特例 :凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数 f （x ） ,对于定义域中任意两点 x 1,x 2（x 1 x 2）,有2 2 2 2 2 2 (a1 a2 a 3)(b 1 b 2 b 3 ) (a 1b 1⑥ 一般形式的柯西不等式：①平均不等式： a 1 b 1ab222b a 2b，（a,b R ，当且仅当 a b时取" 号）即调和平均 变形公式： 几何平均 算术平均平方平均） .abab 222ab 2b 2(a b)22x 12 2y 1222x 22 y 22(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2 (x 1,y 1,x 2, y 2 R).x a.b.22 a 1 a2a n )2. a 2b 2a 3b 3)2. 2 2 2 2 2(a 1 a 2 ... a n )(b 1 b 2b n 2)(a 1b 1 a 2b 2 ... a n b n ) .ur ur设 , 是两个向量，则ur ur ur ur ur ur ,当且仅当 是零向量，或存在实数k ，使 urk 时，等号a 1b n设a 1 a2a n ,b 1 b 2 b n 为两组实数 .c 1,c 2,...,c n 是 b 1,b 2,...,b n 的任一排列，a 2bn 1a nb 1a 1c 1 a 2c 2 ... a n c n a 1b 1 a 2b 2 ... a n b n .( 反序和乱序和顺序和 ），当4、不等式证明的几种常用方法常用方法有： 比较法（作差，作商法） 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、 常见不等式的放缩方法：f(x 1 x 2) f(x 1) f (x 2) f( 2 )2或 f(x1 2x2)22f (x 1) f (x 2).则称 f(x)2为凸 或凹）函数 .①舍去或加上一些项，如 （a 12)2(a12)2②将分子或分母放大 缩小） 如k 12 1 k(k 1)1k 2k(k 1 1)5、 (k N ,k1)等.元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax 2 bx c 0(或 0) (a 0, b 2 4ac 0） 解集的步骤： 一化 二判 三求 四画 化二次项前的系数为正数 . 判断对应方程的根 . 求对应方程的根 . 画出对应函数的图象 . 五解集：根据图象写出不等式的解集 . 规律：当二次项系数为正时，小于取中间， 6、高次不等式的解法： 穿根法 .分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（ 式的解集 . 7、分式不等式的解法：先 移项通分 标准化，则 大于取两边 奇穿偶切 ），结合原式不等号的方向，写出不等f(x) g(x) f (x) g(x) 0 f(x)g(x) f(x) g(x) 0 (“ 或 ”时同理) g(x) 0 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解 无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 8、 f(x) a(a0)f(x) f(x)f(x) a(a0)f(x) f(x)、综合法、分析法； 构造法，函数单调性法，数学归纳法 等 .⑶f(x)g(x)f (x) 0 g(x) 0 或 f (x) [g(x)]2f(x) 0g(x) 0⑷f(x)g(x)f (x) 0g(x) 02f (x) [g(x)]2⑸ f (x)g(x) f (x) 0 g(x) 0f (x) g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解9、指数不等式的解法：⑴当a 1时, a f(x) a g(x)f(x) g(x)⑵当0 a 1时, a f(x)a g(x) f (x)g(x)规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法f(x)0⑴当a1时, log a f(x) log a g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0⑵当0 a 1时, log a f (x) log a g(x)g(x)0f(x)g(x)规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：a a a ((a a00))⑵平方法：f(x) g(x) f 2(x) g2(x).⑶同解变形法，其同解定理有：①xa a x a(a 0);②xa x a或x a(a 0);③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x) (g(x) 0)④f(x)g(x) f (x) g(x)或f(x)g(x) (g(x) 0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如ax2 bx c 0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0 的大小；⑵讨论与0 的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式ax2 bx c 0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是①当a 0 时 b 0,c0;②当a 0 时a00.⑵不等式ax2 bx c 0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是①当a 0 时b 0,c0;②当a 0 时a00.⑶ f （x） a 恒成立 f (x)maxa;f (x) a 恒成立 f (x)max a;⑷ f （x） a 恒成立 f (x)min a;f (x) a 恒成立 f (x)min a.15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线Ax By C 0的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C 后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（ x0 , y0）（如原点），由Ax0 By0 C 的正负即可判断出Ax By C 0 （或0）表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据Ax By C 0 （或0），观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，Ax By C 0 （或0）表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 . ⑶利用线性规划求目标函数 z Ax By （ A, B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数 z Ax By （ x 、y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值 都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应 z 值，最大的那个 数为目标函数 z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 l 0 : Ax By 0 ，平移直线 l 0 （据可行域，将直线 l 0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解（x, y ）；第四步，将最优解 （x,y ）代入目标函数 z Ax By 即可求出最大值或最小值 第二步中 最优解的确定方法：A z z利用 z 的几何意义： yx , 为直线的纵截距 . B B B① 若 B 0,则使目标函数 z Ax By 所表示直线的纵截距最大的角点处， z 取得最大值， 使直线的 纵截距最小的角点处， z 取得最小值；② 若 B 0,则使目标函数 z Ax By 所表示直线的纵截距最大的角点处， z 取得最小值， 使直线的 纵截距最小的角点处， z 取得最大值 . ⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型： z Ax By;③“距离”型： z x 2 y 2或zx 2 y 2;z (x a)2 (y b)2或 z (x a)2 (y b)2.在求该 “三型” 的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的 几何意义 求解，从而使问题简单化⑤三维形式的柯西不等式：②“斜率”型： z y 或 zxyb xa。
高中数学选修4知识点总结(全)
高中数学选修4知识点总结(全)
一、函数的圆心极坐标方程：
1 、双曲线的圆心极坐标方程：
x=acoshu；
y=bsinhu；
其中，a为椭圆的焦距，b为另一维的焦距，u为S的极角；
圆心极坐标系是一种以圆心和极角为坐标的极坐标系统，它是一就用以表示空间各点位置的最主要的坐标系统。
所谓的极坐标系（Polar Coordinate System），指的是以固定的极轴为坐标轴，空间各点的位置由极轴上的极角和到极轴的距离来确定。
由于圆心极坐标以圆心作为极轴，所以，圆心极坐标系又称为圆极坐标系。
圆心极坐标系能够完美地描述双曲线和椭圆，将原来由圆点拟合所得到的复杂函数简单化为一个关于极角u的函数。
圆心极坐标系不仅仅可以描述双曲线和椭圆，它还可以描述球面的极坐标，和其他的几何体的极坐标，这使得它特别的有用。
1、圆的极坐标方程：
r = a
其中，a为曲线的半径；
四、三次曲线：
三次曲线指的是由三个参数确定唯一曲线形状的曲线，即存在常数a，b，c，使曲线y=ax^3+bx^2+cx满足给定函数的条件，这类曲线一般可以在直角坐标系中用抛物线画出。
一般的，三次曲线有神符式的表达形式：
y = ax^3+bx^2+cx+d
其中d为常数。
此外，三次曲线在圆心极坐标系中也有表示方法：
r =a +bsinu +csin^2u
其中a、b、c为常数，u为极角。
六、椭圆圆心极坐标表示：。
高中数学选修4-4-参数方程
参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。
高中数学知识点总结(最全版)
选修3—1：数学史选讲。
选修3—2：信息安全与密码。
选修3—3：球面上的几何。
选修3—4：对称与群。
选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6：三等分角与数域扩充。
系列4：由10个专题组成。
选修4—1：几何证明选讲。
选修4—2：矩阵与变换。
选修4—3：数列与差分。
选修4—4：坐标系与参数方程。
⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用
（7）已知集合 有 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空子集，它有 非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
且
（1）
（2）
（3）
并集
或
（1）
（2）
（3）
补集
1 2
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
③根式的性质： ；当 为奇数时， ；当 为偶数时， ．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是： 且 ．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 且 ．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
① ②
③
【2.1.2】指数函数及其性质
高中数学知识点总结(最全版)
③描述法：{ | 具有的性质}，其中 为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集( ).
【1.1.2】集合间的基本关系
⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用
⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用
⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用
（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图
象上升为增）
（4）利用复合函数
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．
（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图
象下降为减）
（4）利用复合函数
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数 ，令 ，若 为增， 为增，则 为增；若 为减， 为减，则 为增；若 为增， 为减，则 为减；若 为减， 为增，则 为减．
（2）打“√”函数 的图象与性质
（4）指数函数
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
最新人教版高中数学选修4-5《基本不等式》知识讲解
数学人教B 选修4-5第一章1.2 基本不等式1．了解两个或三个正数的算术平均值和几何平均值． 2．理解定理1和定理2(基本不等式)．3．探索并了解三个正数的算术—几何平均值不等式的证明过程． 4．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．1．定理1设a ，b ∈__，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当____时，等号成立．【做一做1】已知θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则sin θcos θ的最大值为__________． 2．定理2(基本不等式或平均值不等式)(1)如果a ，b 为____，则a ＋b2≥ab ，当且仅当____时，等号成立．(2)称______为正数a ，b 的算术平均值，____为正数a ，b 的几何平均值．(3)基本不等式可用语言叙述为：两个正数的________大于或等于它们的__________．(1)a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．有些同学易忽略这一点，例如：(－1)2＋(－4)2≥2×(－1)×(－4)成立，而(－1)＋(－4)2≥(－1)×(－4)不成立．(2)a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式．“当且仅当a ＝b 时，等号成立”这句话的含义是“a ＝b ”是“＝”成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它，往往会导致解题错误．(3)由公式a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2≥ab 可得到结论：①a b ＋b a ≥2(a ，b 同号)；②21a ＋1b ≤ab≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b 是正数)．(4)定理中的a ，b 可以是数字，也可以是比较复杂的代数式． 【做一做2－1】下列不等式中正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2B ．若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC ．若x ＜0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D ．若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2【做一做2－2】若log 2x ＋log 2y ＝4，则x ＋y 的最小值是__________． 3．定理3(三个正数的算术—几何平均值不等式或平均值不等式)(1)如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥____，当且仅当________时，等号成立．(2)称________为正数a ，b ，c 的算术平均值，______为正数a ，b ，c 的几何平均值． (3)定理3可用语言叙述为三个正数的____________不小于它们的________． 【做一做3】已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞) D ．[3lg 2，＋∞)4．定理4(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1，a 2，a 3，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，并且当且仅当__________时，等号成立．【做一做4】若a ，b ，c ，d 是正数，则b a ＋c b ＋d c ＋ad的最小值为__________．答案：1．R a ＝b【做一做1】12 由a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，得ab ≤a 2＋b 22，∴sin θcos θ≤sin 2θ＋cos 2θ2＝12.当且仅当sin θ＝cos θ，即θ＝π4时等号成立．2．(1)正数 a ＝b (2)a ＋b2ab (3)算术平均值 几何平均值【做一做2－1】D 对于选项A ，当a ·b ＞0时，b a ＋ab≥2；对于选项B ，当x ＞1，y ＞1时，有lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；对于选项C ，当x ＜0时，x ＋4x＝－⎝⎛⎭⎫－x －4x ≤－24＝－4. 【做一做2－2】4 由题意可知x ＞0，y ＞0，log 2xy ＝4， ∴xy ＝4.∴x ＋y ≥2xy ＝4，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立． 故x ＋y 的最小值为4.3．(1)3abc a ＝b ＝c (2)a ＋b ＋c 33abc (3)算术平均值 几何平均值【做一做3】B ∵x ，y ，z 是正数，∴xyz ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y ＋z 33＝23.∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg xyz ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立． 4．a 1＝a 2＝…＝a n 【做一做4】4 由定理4可得，b a ＋c b ＋d c ＋ad ≥44b a ·c b ·d c ·a d＝4，当且仅当a ＝b ＝c ＝d时，等号成立．1．三个或三个以上正数的平均值不等式的应用条件是什么？剖析：“一正”：不论是三个数的平均值不等式或者n 个数的平均值不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a ＋b ＋c ≥33abc .取a ＝b ＝－2，c ＝2时，a ＋b ＋c ＝－2，而33abc ＝6，显然－2≥6不成立．“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n 个正数的和为定值(即a 1＋a 2＋…＋a n 为定值)，求其积a 1a 2…a n 的最大值；二是已知乘积a 1a 2…a n 为定值，求其和a 1＋a 2＋…＋a n 的最小值．“三相等”：取“＝”号的条件是a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ，不能只是其中一部分值相等． 2．如何使用基本不等式中的变形与拼凑方法？剖析：为了使用基本不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y ＝4x 4＋x 2＝4x4＋x 22＋x 22，其中把x 2拆成x 22＋x 22，这样可满足不等式成立的条件，若变形为y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 24＋34x 2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法满足了，这是因为取“＝”号的条件是4x 4＝x 24＝34x 2，显然x 无解．题型一 利用基本不等式比较大小【例题1】设a ，b ∈(0，＋∞)，试比较a ＋b 2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b的大小，并说明理由．分析：解答本题应充分利用基本不等式及其变形，不等式的性质．反思：基本不等式有着重要的应用，在使用时还应记住重要的变形公式．如a ，b 是正数，且b ≥a 时，a ≤2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22≤b ，其中2ab a ＋b ＝21a ＋1b 为a ，b 的调和平均值，ab 为a ，b 的几何平均值，a ＋b 2为a ，b 的算术平均值，a 2＋b 22为a ，b 的平方平均值．要注意公式的推导和结论的运用：调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值．题型二 利用基本不等式求最值【例题2】(1)已知x ，y 是正数，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值；(3)已知x ＜54，求y ＝4x －1＋14x －5的最大值；(4)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值； (5)已知x 是正数，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值； (6)θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最值．分析：根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件．反思：解题时要注意考察“三要素”：(1)函数中的相关项必须都是正数；(2)变形后各项的和或积有一个必须是常数；(3)当且仅当各项相等时，才能取到等号，可简化为“一正二定三相等”．求函数的最值时，常将不满足上述条件的函数式进行“拆”、“配”等变形，使其满足条件，进而求出最值．题型三 基本不等式的实际应用【例题3】某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？分析：表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系列出函数表达式，再应用不等式求最值．反思：解答不等式的实际应用问题，一般可分为如下四步：①阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且多数应用题篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型．这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．②建立数学模型：根据①中的分析，把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．③讨论不等关系：根据题目要求和②中建立起来的数学模型，讨论与结论有关的不等关系，得出有关理论参数的值．④得出问题结论：根据③中得到的理论参数的值，结合题目要求得出问题的结论． 题型四 易错辨析易错点：利用基本不等式求最值时，应注意不等式成立的条件，即变量为正实数，和或积为定值，等号成立，三者缺一不可．【例题4】求函数y ＝1－2x －3x 的值域．错解：∵y ＝1－2x －3x ＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x ，而2x ＋3x ≥22x ×3x ＝26，当且仅当2x ＝3x，即x ＝±62时，等号成立，故值域为(－∞，1－26]．错因分析：在应用基本不等式时未保证2x ，3x为正值这一条件成立．答案：【例题1】解：∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时取等号)，1a ＋1b ≥2ab， ∴ab ≥21a ＋1b＝2aba ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)．又⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22.∴a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．综上，2aba ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．【例题2】解：(1)因为x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋x y≥3＋22y x ·xy ＝3＋22，当且仅当2y x ＝xy，x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝1－22时，等号成立．所以当x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y取最小值3＋2 2.(2)xy ＝135(5x ·7y )≤135⎝⎛⎭⎫5x ＋7y 22＝135×⎝⎛⎭⎫2022＝207， 当且仅当5x ＝7y ＝10，即x ＝2，y ＝107时，等号成立，此时xy 取最大值207.(3)因为x ＜54，所以4x －5＜0，故5－4x ＞0.所以y ＝4x －1＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋4.因为5－4x ＋15－4x ≥2(5－4x )·15－4x＝2，所以y ≤－2＋4＝2.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．所以当x ＝1时，y 取最大值2.(4)a 1＋b 2＝a 2⎝⎛⎭⎫12＋b 22＝2a ·12＋b 22≤22⎣⎡⎦⎤a 2＋⎝⎛⎭⎫12＋b 22＝324， 当且仅当a ＝12＋b 22，即a ＝32，b ＝22时，等号成立，此时a 1＋b 2有最大值324.(5)∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2，∴y 2≤12⎝⎛⎭⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时，等号成立．∴y ≤239，即y max ＝239.(6)y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)(1－sin 2θ) ≤12⎝⎛⎭⎫233＝427， 当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时，等号成立．∴y max ＝239.【例题3】解：(1)由题意可设 3－x ＝kt ＋1(k ≠0)．将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1.当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3.当销售x 万件时，年销售收入为150%⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3＋12t .由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，此时y max ＝42，∴当促销费投入为7万元时，企业的年利润最大．【例题4】正解：当x ＞0时，y ＝1－2x －3x＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x ≤1－26，当且仅当2x ＝3x ，即x ＝62时，等号成立．当x ＜0时，y ＝1＋⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2(－2x )·⎝⎛⎭⎫－3x ＝1＋26， 当且仅当－2x ＝－3x ，即x ＝－62时，等号成立．∴所求函数的值域为(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．1下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2C ．y ＝sin x ＋sec x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 D ．y ＝7x＋7－x2(2012·山东青岛一模)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．14B ．4C ．12D ．23若a ＞b ＞0，则a ＋1b (a －b )的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．64周长为l 的矩形的面积的最大值为__________，对角线长的最小值为__________．5若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则a 2＋b 2的最小值为__________，1a 2＋1b2的最小值为__________．答案：1．D 对于选项A ，需考虑x 的符号；对于选项B ，不能用基本不等式求最值，等号不成立；对于选项C ，x ＝π2时sec x 无意义．对于选项D ，y ＝7x ＋7－x ≥27x ·7－x ＝2，当且仅当7x＝7－x ，即x ＝0时，等号成立．2．C3．A ∵a ＞b ＞0，∴a ＋1b (a －b )＝(a －b )＋b ＋1b (a －b )≥33(a －b )·b ×1b (a －b )＝3，当且仅当a －b ＝b ＝1b (a －b )，即a ＝2，b ＝1时等号成立．4．l 216 24l 设矩形的两邻边长分别为x ，y ，则x ＋y ＝l 2，∴面积S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝l 216(当且仅当x ＝y 时取等号)，对角线长a ＝x 2＋y 2≥(x ＋y )22＝24l (当且仅当x ＝y 时取等号)．5．12 8 因为a ＞0，b ＞0，则a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号， 1a 2＋1b 2＝a 2＋b 2a 2b 2≥2ab ≥2⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝8，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．1设x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．2答案：D ∵x ，y ∈(0，＋∞)，42x y+≤.44x y+＝10，∴xy ≤100. ∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2.当且仅当x ＝4y ，即x ＝20，y ＝5时等号成立．2若a ＞b ＞1，P 1(lg lg )2Q a b ＝+，lg 2a b R +⎛⎫⎪⎝⎭＝，则( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q答案：B ∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0且2a b+>∴Q ＝1(lg lg 2a b -P .R ＝lg 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭1(lg lg )2a b +＝Q ， ∴R ＞Q ＞P .3若x ＞0，则294x x+的最小值是( )A ．9B ．C ．13D ．不存在答案：B 因为x ＞0，所以294x x +＝2922x x x ++≥，当且仅当292=x x ，即x 时等号成立． 4已知不等式1()9a x y x y ⎛⎫+≥⎪⎝⎭＋对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案：B 1()a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭＝1+ax ya y x ++≥1+a +＝2(当且仅当yx=)． ∵1()a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴2≥9.∴a ≥4.5若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是______．答案：[9，＋∞) t (t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥3， 则有t 2≥2t ＋3，即t 2－2t －3≥0.解得t ≥3或t ≤－1(不合题意，舍去)．3.∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．6若正实数x ，y ，z 满足x －2y ＋3z ＝0，则2y xz的最小值是______．答案：3 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝32x z +，代入2y xz，得229666=344x z xz xz xzxz xz +++≥，当且仅当x ＝y ＝3z 时取“＝”．7若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则11a b+的最小值是__________．答案：4 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(－1,2)． 又直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)过圆心(－1,2)， 所以－2a －2b ＋2＝0，化简得：a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)．所以111a b a b ab ab++==. 又2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以1114a b ab +=≥，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 8(2012·江苏徐州第一次质检)已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1·a 2·…·a n ＝1，求证：(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n.答案：证明：因为a 1是正数，所以2＋a 1＝1＋1＋a 1≥同理2＋a j ＝1＋1＋a j ≥j ＝2,3，…，n )，将上述不等式两边相乘，得(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n 因为a 1·a 2·…·a n ＝1，所以(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时，等号成立．9如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积． 答案：解：(1)设AN ＝x (x ＞2)，则ND ＝x －2.由题意，得ND AN DC AM =，∴23x x AM-=.∴3=2xAM x -.∴S 矩形AMPN ＝32xx x ⋅-＞32. ∴3x 2－32x ＋64＞0.∴(3x －8)(x －8)＞0. ∴2＜x ＜83或x ＞8. ∴AN 的长的范围是82,3⎛⎫⎪⎝⎭∪(8，＋∞)．(2)S 矩形AMPN ＝2233(2)12(2)1222x x x x x -+-+=-- ＝123(2)++122x x --≥， 当且仅当x ＝4时取“＝”．∴当AN 的长度为4米时，矩形AMPN 的面积最小，矩形AMPN 的最小面积为24平方米．10求函数y =a ＜b )的最大值． 答案：解：解法一：函数的定义域为[a ，b ]，y ＞0， 所以y 2＝b a -+2(b －a )，当且仅当=2a bx -时，等号成立． 所以y解法二：利用不等式22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.22=22y ⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()()22x a b x b a-+--≤=， 所以y 2≤2(b －a )，即y ≤当且仅当x －a ＝b －x ，即2b ax +＝时，等号成立，所以max y。
最新人教版高中数学选修4-5《一般形式的柯西不等式》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)2(b 12+b 22)2，当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式： 对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2,以下不等式成立：22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1+a 2b 2|; 22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称(a 1,a 2),(b 1,b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0,那么a 1b 2-a 2b 1=0⇔2211b a b a =.若b 1·b 2=0,我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0,原不等式化为(a 12+a 22)b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0,b 2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b 1·b 2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a b a =,这种写法在表示一般形式(n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立. 学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a =（b i 为零时，a i 为零，i=1，2）. 定理3 （二维形式的三角不等式）设x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式：用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1，用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式 定理 设a i ,b i ∈R (i=1,2, …,n),则(∑∑∑===≤ni i ni in i i i b a b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)2(b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2,…,n ）中等号成立的条件是2211b a b a ==…=n n b a. 记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设a i ∈R ，bc>0(i=1,2, …,n),则∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)(,等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n). 变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则∑∑∑≥=i i i ni iib a a b a 212)(,等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .深化升华要求a i ，b i 均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a 1, …,a n ;b 1, …,b n 都表示实数）是： （1）a 12+a 22+…+a n 2=1,b 12+b 22+…+b n 2=1,则|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |≤1; （2）a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≤a 12+a 22+a 32;（3）(a 1+a 2+…+a n )2≤n(a 12+a 22+…+a n 2);（4）(a+b)(a 1+b1)≥4=(1+1)2，其中a 、b ∈R +; （5）(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥9=(1+1+1)2,其中a 、b 、c ∈R +.柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题知识点一： 用柯西不等式证明不等式 例1 设a 1>a 2>…>a n >a n+1,求证：11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-=-++ >0. 思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a 1-a n+1)·［13221111+-++-+-n n a a a a a a ］>1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n+1写成a 1-a n+1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ …+(a n -a n+1),于是 ［(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+…+(a n -a n+1)］·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）≥n 2>1.即(a 1-a n+1)·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）>1, ∴11132211111++->-++-+-n n n a a a a a a a a , 故11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-+-++ >0. 方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二： 用柯西不等式证明条件不等式 例2 （经典回放）设x 1,x 2, …,x n ∈R +,求证：123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2+x 3+…+x n +x 1)，也即嵌以因式(x 1+x 2+…+x n )，由柯西不等式即可得证.证明：(123221x x x x x x x x nn ++++ )·(x 2+x 3+…+x n +x 1) =［(21x x )2+(22x x )2+…+(nn x x 1-)2+(1x x n )2］ ［(2x )2+(3x )2+…+(n x )2+(1x )2］ ≥(21x x ·2x +22x x ·3x +…+nn x x 1-·n x +1x x n ·1x ) =(x 1+x 2+…+x n )2,于是123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 巧解提示柯西不等式中有三个因式∑∑∑===ni ii ni ini iba b a 11212,,，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三： 用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,试求a 的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解. 解：由柯西不等式得，有 (2b 2+3c 2+6d 2)(613121++)≥(b +c+d)2, 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2. 由条件可得，5-a 2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当6/163/132/12dc b ==时等号成立. 代入b=1,c=31,d=61时，a max =2; b=1,c=32,d=31时,a min =1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 如：已知a,b 为正常数，且0<x<2π,求y=x bx a cos sin +的最小值. 解：利用柯西不等式，得)(32323232b a b a +=+(sin 2x+cos 2x)≥(3a sinx+3b cosx)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.于是33232a b a ≥+sinx+3b cosx.再由柯西不等式，得3232b a +(xbx a cos sin +) ≥(3a sinx+3b cosx)(xb x a cos sin +） ≥(xb xb x a x a cos cos sin sin 66+)2=(a 32+b 32)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.从而y=xb x a cos sin +≥(a 32+b 32)32.于是y=xb x a cos sin +的最小值是(a 32+b 32)32. 问题·探究 思想方法探究问题 试探究用柯西不等式导出重要公式.如n 个实数平方平均数不小于这n 个数的算术平均数，即若a 1,a 2,…,a n ∈R ，则na a a n a a a nn 2222121+++≤+++ . 探究过程:由柯西不等式可知(a 1+a 2+…+a n )2≤(a 1·1+a 2·1+…+a n ·1)2≤(a 12+a 22+…+a n 2)·(12+12+…+12)=(a 12+a 22+…+a n 2)·n,所以n a a a n 221)(+++ ≤a 12+a 22+…+a n 2,故na a a na a a nn2222121+++≤+++ .不等式na a a n a a a nn 2222121+++≤+++ ,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即nn a a a 21≤na a a n a a a nn 2222121+++≤+++ ，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题. 交流讨论探究问题 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳.探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证cb a ac c b b a ++>+++++9222.我们可以如此分析：∵a 、b 、c 均为正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)［ac c b b a +++++111］>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a 、b 为非负数，a+b=1,x 1,x 2∈R +,求证(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b ∈R -,x 1,x 2∈R +，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若a>b>c ，求证c b b a -+-11≥ca -4.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.∵a-c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a-c>0,∴结论改为(a-c)(cb b a -+-11)≥4.人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,c ∈R +，求证b ac a c b c b a +++++≥23.我们可以如此分析：左端变形c b a ++1+ac b ++1+b a c ++1=(a+b+c)(b a a c c b +++++111),∴只需证此式≥29即可.探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.。
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选修4-4知识点一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：6。
圆的极坐标方程： 在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
9．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x . 抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==. 经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为参数）. 10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致.选修4--5知识点 1、不等式的基本性质①（对称性）b a >②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式） 2a b +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b>+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）. （即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等. 5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔>⑵当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0Ax By C ++>(或0)<，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(或0)<表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,z B为直线的纵截距. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x=或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。