复变函数-积分变换-场论期末复习2010-2011-1(定稿)
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题（A）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是（）；2.)1(iLn+-的主值是（）；3. 211)(zzf+=，=)0()5(f（）；4．0=z是4sinzzz-的（）极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs（）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；（A）yxiuuzf+=')(；（B）yxiuuzf-=')(；（C）yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B）2)1(3--zz；（C）2)2()1(3--zz；（D）2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在（A）2-=z点条件收敛；（B）iz2=点绝对收敛；（C）iz+=1点绝对收敛；（D）iz21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数)(zf在z点可导，则)(zf在z点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（i 432ln 21π+ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分）1----5 B D C B D三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换复习提纲(仅供参考)
例18 设f(z)= sin z ，则Res［f(z),0］=______ z
例19
1
Res e z ,
0 =
.
例20
z=i是f(z)=
(z 2
1 1)2
的____________
（填孤立奇点的类型(若是极点说明其级数)）
例21
设函数
f
(z)
e iz (z 2 1) 2
虚部，已知虚部会求实部)
第四章：重点是展开级数，求收敛域，求和函数
1. 理解复数列级数的概念，理解泰勒，罗朗级数的定义 2. 掌握幂级数求法，求收敛半径(比值和根值判别法) 3. 使用已知级数(识记五种简单级数展开式)和间接法展开泰
勒级数和罗朗级数(P117定理四)，注意在不同点展开后是 不一样的。收敛域的求法。
1 z
的实部，虚部和模。
z 例3
函数 w 1 将 z
平面上的曲线
(x 1)2 y 2 1 变成 w 平面上的曲线
是________.
例4 若 (1 i)n (1 i)n
试求n的值
例5 设 z rei , 试证
Re[ln(z 1)] 1 ln(1 r 2 2r cos )
1. 理解拉普拉斯变换的概念 2. 灵活应用拉普拉斯变换的性质(4条)和卷积定理来求拉普拉
斯变换，以及理解用留数定理求拉普拉斯逆变换的方法 3. 掌握微分和积分方程的拉普拉斯解法 4. 熟记若干简单的函数的拉普拉斯变换(拉普拉斯逆变换)
例1 计算 3 8
例2 求复数 1 z (复数z 1)
在上半平面的所有孤立奇点；
（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数； （3）利用以上结果计算积分
复变函数与积分变换复习重点及 习题
双曲函数 shz ez ez , chz ez ez ；
2
2
shz 奇函数， chz 是偶函数。 shz, chz 在 z 平面内解析，且 shz chz,chz shz 。
（四）解析函数的概念
1．复变函数的导数
1）点可导：
f
z0
=
lim
z 0
f
z0
z
z
f
z0
；
2）区域可导： f z 在区域内点点可导。
c
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：设 f z 在单连域 B 内解析， c 为 B 内任一闭曲线，则
f z dz 0
c
6
2．复合闭路定理： 设 f z 在多连域 D 内解析，c 为 D 内任意一条简单闭曲线，c1, c2, cn 是 c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以 c1, c2, cn 为
复变函数与积分变换期末考试复习知识点
(一)复数的概念
1.复数的概念： z x iy ， x, y 是实数, x Re z , y Im z . i2 1.
注：两个复数不能比较大小.
2.复数的表示
1）模： z x2 y2 ；
2）幅角：在 z 0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为 Arg z （多值函数）；主值 arg z 是位于 ( , ] 中的幅角。
2 i n!
f
n z0
n
曲线 c 内有多于一个奇点： f z dz
f z dz （ ci 内只有一个奇点 zk ）
c
k 1 ck
n
或： f z dz 2i Re s[ f (z), zk] （留数基本定理）
复变函数积分方法总结定稿版
复变函数积分方法总结 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分∫f (z )dz c=limδ 0∑f (?k )nk −1?z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c −.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)=b-a∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.(2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则∑2= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数和积分变换重要知识点归纳
.WORD.格式.复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22z x y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctany z x=； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题（A）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是（）；2.)1(iLn+-的主值是（）；3. 211)(zzf+=，=)0()5(f（）；4．0=z是4sinzzz-的（）极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs（）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；（A）yxiuuzf+=')(；（B）yxiuuzf-=')(；（C）yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B）2)1(3--zz；（C）2)2()1(3--zz；（D）2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在（A）2-=z点条件收敛；（B）iz2=点绝对收敛；（C）iz+=1点绝对收敛；（D）iz21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数)(zf在z点可导，则)(zf在z点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分）1----5 B D C B D三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数第二章解析函数u （x, y ） iv （x, y ）可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
幕函数与根式函数3、对数函数1,（3）在单值解析分枝上：（In z ）'kz kiz ize e cosz2iz ize e sin z2i5、反三角函数（了解）掌握利用C-R 方程U x V y 掌握复变函数的导数:U y判别复变函数的可导性与解析性。
V xf'⑵匚UxiVxiU y VyU x iU yiVxn nr (cos i sin ) (cosni sinnn inr e单值函数1 i arg z2 k n nr ek =o 、 1、2、…、n-1)n 多值函数2、 指数函数：w e z e x(cos y i siny)性质：（1）单值.（2） 复平面上处处解析, (e z )'(3)以 2 i 为周期w Lnz lnz i(arg z2k ) lnz i2k（k=0、土 1、土 2 . ）性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析（3）周期性 （4）无界、复变数和复变函数U x, y 二、复变函数的极限与连续iv x, y极限 lim f (z)z z连续 lim f (z)f (z 0)z z、复变函数w f （z ） 1、 性质：（1 ）多值函数，（2） 除原点及负实轴处外解析4、三角函数:反正弦函数 wArc sin z丄L n(iz 、1 z 2) i反余弦函数 w Arccosz !Ln （z z 2 1）i性质与对数函数的性质相同。
s sLnz s[ln z| （2k arg z ） i]6、一般幂函数：z e e（k =o 、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1） 调和函数：2u （x, y ） 02） 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部） 有三种方法：a ）全微分法b ）利用C-R 方程 c）不定积分法第三章解析函数的积分一、 复变函数的积分| f z dz udx vdy i vdx udy 存在的条件。
【复变函数与积分变换期末复习题】
试确定解析函数 f (z) u iv ，且 f (0) 0 .（8 分）
解：u v 3x y 且 f (z) u iv 解析
ux vy
则
u
y
ux
vx vx
3
uy vy 1
求出 u 2 x y c,v x 2 y c
F (s)
106 页积分性质
0
s
（3 分）
L [ f (t)] F (s)
（4 分）
lim L[
s0
t 0
f
(t
)dt
]
lim
s0
1
cos s2
4s
lim
s0
2sin 2 2s s2
lim
s0
22s2
s2
8
(8 分)
7.已知 u, v 均是以 x, y 为自变量的实二元函数，且 u v 3x y ，
为正向圆周：
z
7
。（6
分）
3. 计算积分 Im(z2 z)dz ，其中 C 为从原点到1 i 的直线段。（6 分） C
4. （1）求 Im(tani) 。（6 分）
4.（2）求（1 i）i 。 (6 分)
5.已知函数 F
(f
(t
2
))
e2 1
j
j
，求 F
(tf
(t
)) 1
cos i ch1
Im(tani) th1
4.（2）求（1 i）i 。 (6 分)
解：
（1 i）i = eLn(1i)i
e e = iLn(1i) = i[ln 1i iArg (1i)]
复变函数与积分变换知识点总结
复变函数与积分变换知识点总结复变函数与积分变换是数学中重要的概念和工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值，积分变换是指通过对函数进行积分操作来获得新的函数。
本文将对复变函数与积分变换的相关知识进行总结，包括复变函数的定义与性质、积分变换的定义与性质、常见的复变函数以及常见的积分变换。
一、复变函数的定义与性质1. 复变函数的定义：复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值。
一般来说，复变函数可以写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy表示复平面上的点，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
2.复变函数的性质：（1）连续性：复变函数在复平面上连续，当且仅当实部和虚部函数分别在该点连续。
（2）可微性：复变函数在复平面上可微，当且仅当实部和虚部函数具有一阶连续偏导数，并满足复合函数的求导法则。
（3）调和函数：实部和虚部函数都是二阶偏导数连续的函数，若满足拉普拉斯方程△u=0，则称u(x,y)为调和函数。
二、积分变换的定义与性质1. 积分变换的定义：积分变换是一种将函数通过积分操作转换为另一种函数的方法。
一般来说，积分变换可以写成F(s)=∫f(t)e^(-st)dt，其中s为复变量，f(t)为原函数。
2.积分变换的性质：（1）线性性：积分变换具有线性性质，即对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有积分变换[a*f(t)+b*g(t)](s)=a*F(s)+b*G(s)。
（2）平移性：若对于函数f(t)，其积分变换为F(s)，则e^(at)*f(t)的积分变换为F(s-a)。
（3）卷积性：若函数f(t)和g(t)的积分变换分别为F(s)和G(s)，则f(t)*g(t)的积分变换为F(s)*G(s)。
三、常见的复变函数1. 复指数函数：复指数函数的表达式为e^(z)=e^(x+iy)=e^x*cos(y)+ie^x*sin(y)，其中x和y分别是实部和虚部。
复变函数和积分变换期末整理复习
当点 z 沿直线 z x iy0 ( x )趋于z0 时,有
f (z) z
f (z0 ) z0
1
x x
x0 x0
2
21
例4 研究 f (z) z Re z 的可导性.
当点 z 沿直线 z x0 iy ( y )趋于z0 时,有
f
(z) z
f (z0 ) z0
1
i(
y
0
y0 )
10
2)三角函数
定义 性质
sin z eiz eiz ,称为正弦函数 . 2i
cos z eiz eiz ,称为余弦函数 . 2
(1) sin z 是奇函数,cos z 是偶函数.
sin(z) sin z, cos(z) cos z.
(2) 正弦函数和余弦函数都 以 2π 为周期. sin(z 2) sin z, cos(z 2) cos z.
处解析,且
(ln z) 1 . z
15
4)幂函数
定义 设是任意复数 , 对于z 0, 用下列等式定义
z 的幂函数 : w z e Ln z (z 0).
当 是正实数时 , 补充规定 z 0 时, z 0.
性质 (1) 一般说来, z是一个无穷多值函数 . 当Ln z 取主值 ln z时, z e ln z称为幂函数 z 的主值;
设简单光滑曲线 C 的参数方程是
z z(t ) x(t ) iy(t ) (a t b)
则
C
f
( z )dz
b a
f [z(t )]
z(t )dt.
27
4. 积分的性质
设 f (z), g(z)沿曲线C连续.
(1) C f (z)dz C f (z)dz;
复变函数与积分变换期末试题附有答案
复变函数与积分变换期末试题附有答案Last revision on 21 December 2020复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -2.)1(i Ln +-的主值是（）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ；3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换复习题汇总(答案)
复变函数与积分变换复习题汇总(答案) 复变函数与积分变换复习题汇总(答案)一、填空2(cosisin)2ei41、33，2、(2k12)i3、1212i，1212i4、6xyi(3x23y2)5、z0，二级极点6、437、x[(2)(2)]8、1ss，Re(ss0)009、110、011、tan1bax12、z1，本性，z，可去13、mn14、nzn1，1015、2ki16、(t)12[(t2)(t2)]二、证明题1、ux2vxyyx2xuy0vxyvyx当xy0时，f(z)才可导，即f(z)仅在z0可导f(z)处处不解析2、|sin2i||ei(2i)ei(2i)2i||e2e22|1|cos2i|同理可证。
三、判断正误1、×2、×3、×4、√5、×6、√7、√√10、×11、×四、计算题1、由Cauclcy-Rieman方法易知，f(z)在复平面上处处解析且f"(z)(3x23y2)i6xy或f(z)(xiy)3z3f"(z)3z22、左式11dz2i[231dz24)zi]0C(z4)ziC(z或：左式Res[f(z),zi]Res[f(z),zi]03、a在c处解析，左式=0a在c处解析，za是三级极点左式2i2!(sinz)""zaisina4、f(z)2i(3271)"z2i[6z7]f"(z)12if"(1i)12i15、f(z)z12(1nz1n11z1)()022、×9、121122n36、左式22z(z1)zz0z2z3(111)21|1zz2z31zz|12jt2jtF(2sincost)F(sin2t)F(ee)7、2jtj[(2)(2)]t1a8、L(1ate)L(1)aL(te)S(s1)219、f(t)21||jwteedwecostd01jt1jte(ee)d220t扩展阅读：复变函数与积分变换复习题+答案复变函数与积分变换复习题汇总一、填空题1、1i3的三角函数表示为_____________________；2i的指数函数表示为______________________；1i2、ln(1)___________________；3、i有两个根，他们分别是_________________和_______________；4、f(z)y3xyi(x3xy)，则3232f(z)___________________；5、ez1的孤立奇点为Z=______________，其类型为_________________；3z1e2z，0]________________；6、Res[4z7、g[1]2()，则g[cos2t]__________________；s0t[e]____________________;8、3nnz9、的收敛半径是_______________；n13ndz_____________，其中C：10、2z2z4c11、Zabi，a与b是实数，且a12、sin|z正向；0，b0，则argZ________;1有两个奇点，一个是Z=_______，是_________奇点；另一个是Z=________，是_________1z奇点；13、Z0是14、f(z)15、exp f1(z)与f2(z)的m级和n级极点，则Z0是f1(z)f2(z)的___________级极点；1展为Z的幂级数后的结果为________，其收敛半径为_____________;(1z)2z的周期是________________；216、2cos的Fourier逆变换为________________；二、证明题1、函数f(z)x2ixy在平面上处处不解析2、对于z2i,|sinz|1和|cosz|1均不成立三、判断正误（请在括号内划“√”或“×”）1、i2i；（）2、z是任意复数，则z2|z|2；（）3、f"(z0)存在，那么f(z)在z0处解析；（）4、u和v都是调和函数，v是u的共轭调和函数，则-u是v的共扼调和函数；（5、u、v都是调和函数，则u+iv必为解析函数；（）6、f(z)uiv解析，则uvuxy，yvx；（）7、f(z)解析，则下面的导数公式全部正确。
(完整word版)复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换期末考试复习题及参考答案-专升本
《复变函数与积分变换》复习题一、填空题1、写出复数1i +的其他两种表示形式：______________________；______________；2、ln(3)-= __________________；3、221Re [3,]s z z z++∞=___________； 4、映射2w z =，在1z i =+处的旋转角是___________，伸缩率_____________；5、设2()cos f t t t =+，则()f t 的拉氏变换为______________。
6、3270z +=的根为__________；7、1i e -+ 的模__________；8、2213Re [2(1),1](1)1s z z z ++-=--__________； 9、3,02i z e θθπ=≤≤，表示何种曲线_________；10、映射21w z =-，在z i =处的旋转角是________，伸缩率_________。
二、计算题1、解方程 380z +=2、(1Re )Cz dz +⎰，其中C 为沿虚轴从i -到i 3、()21z zdz z =-⎰ 4、112cos z z dz z=⎰ 5、用留数定理计算积分22sin (1)z z dz z z =-⎰，6、()=w F ()()()11i w w πδδ-++的傅氏逆变换式。
7、求幂级数21nnz n ∞=∑的收敛半径，并指出在收敛圆周上的敛散性；8、C z dz ⎰，其中C 为沿虚轴从i -到i 。
9、5sin 2z zdz z π=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰10、74zz e dz z =⎰ 11、用留数定理计算积分21sin (1)z z zdz z e =-⎰，12、已知()2,t f t e cos t =求()f t 的拉普拉斯变换；13、()=w F ()()()22w w πδδ-++的傅氏逆变换式。
14、判断级数112n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛性，绝对收敛性；三、解答题1、讨论函数()3223f z x y i =+的连续性、可导性及解析性；2、3cos 1(1)z z z --的奇点？各属何类型？如是极点，指出它的阶数。