必修3(第二章统计)知识结构

n
Q( , ) ( yi xi )2 i 1
随机误差ei yi bxi a(i 1, 2,....n) 其估计值为: eˆi yi yˆi yi bˆxi aˆ eˆi称为相应点(xi,yi )的残差
类比样本方差估计总体方差的思想
ˆ 2
4.计算相关系数 r = 0.9718
回归分析的内容与步骤：
回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释 另一变量的变化。
其主要内容和步骤是：
首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变 量；
其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间 的关系；
由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行 统计检验；
r
i=1
n
n
(xi - x)2× (yi - y)2
i=1
i=1
ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常：
r∈[-1,-0.75]--负相关很强;
r∈[0.75,1]—正相关很强;
r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般;
对r进行显 著性检验
r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
（1）由图形观察可以看出，样本点呈条状分 布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因 此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。
80 60 40 20
0 150
图表标题 y = 0.8485x - 85.712
yˆ
yˆ
160 170 180
体重 线性 (体重) 线性 (体重) 线性 (体重)
（2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条
直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次
函数ｙ＝ｂｘ＋ａ来描述它们之间的关系。这时我
们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：
ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ其中ａ和ｂ为模型的未知参数，e
是y与 之间的yˆ 误差,通常ｅ称为随机误差。
图表标题
y = 0.8485x - 85.712 80
60
体重
40
线性 (体重) 线性 (体重)
(xi - x)2 (yi - y)2
i=1
i=1
• 2．相关系数的性质
• (1)|r|≤1．
• (2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接 近于0，相关程度越小．
• 问题：达到怎样程度，x、y才线性相关呢？ 它们的相关程度怎样呢？
正相关
负相关
n
相关系数
(xi - x)(yi - y)
线 性 关 系,则 选 用 线 性 回 归 方 程y bx a);
4按 一 定规 则 估 计回 归 方程 中 的参 数( 如 最 小二
乘 法);
5得 出 结 果 后 分 析 残 差 图是 否 有 异 常(个 别 数 据 对
应 残 差 过 大,或 残 差 呈 现 不 随 机 的 规律 性 等 等),若 存 在 异 常,则 检 查 数 据 是 否 有 误,或 模 型 是 否 合 适 等. 330 345 365 405 445 450 455
y
500 水稻产量
450
· ··
400
·
350 · · ·
300
施化肥量
解: 1.画出散^ 点1图0
20 30
^
40 50
x
2.求出 b = 4.75, a = 256.79
3.写出回归方程 yˆ = 4.75x + 256.79
一般地,建立回归模型的基本步骤为:
1确定 研究 对象,明确 哪个 变量 是解释 变量,哪个 变
量 是 预 报 变 量;
2画 出确 定好 的 解释 主变 量和 预 报变 量的散 点图,
观 察它 们之 间 的关 系如 是否 存在 线 性关 系等;
3由经验 确定回归 方程类型(如我们 观察到数 据呈
4000
2000 0
残差
-2000 0
2
4
6
8
10
12
-4000
残差图的制作及作用。P85 • 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； • 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以
横轴为中心的带形区域； • 对于远离横轴的点，要特别注意。
身
高
异
与
常
体 重
点
残 差 图
• 错误数据 • 模型问题
2、现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；
商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等
探索1：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规
律？ 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365
y
500 水稻产量
450
· ··
400
·

1 n2
n i 1
eˆi2

1 Q(aˆ, bˆ)(n n2

2)
Q(aˆ, bˆ)称为残差平方和
（1）根据散点图来粗略判断它们是否线性相关。
（2）是否可以用线性回归模型来拟合数据
（3）通过残差 eˆ1,eˆ2,eˆ3,.....eˆn, 来判断模型拟合的效
果这种分析工作称为残差分析
残差
6000
(xi - x)(yi - y)
i=1 n
=
(xi - x)2
xi
- nxy
i
i=1
n xi2 - nx2
,
i=1
i=1
aˆ = y - bˆx
2.相应的直线叫做回归直线。
3、对两个变量进行的线性分析叫做线性 回归分析。
相关系数
• 1.计算公式
n
(xi - x)(yi - y)
r=
i=1
n
n
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
1、定义： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随 机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）：对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法叫回归分析。
··· 350
(xi ,yi )
300
10 20 30 40 50
施化肥量 x
n
Q(a,b)= (yi - bxi - a)2 取最小值时,a,b的值. i=1
推导过程可参阅P80
最小二乘法：yˆ = bˆ x + aˆ
n
n
bˆ =i=1i(n=x1i(-xxi)-(xy)i2-y) =
20
线性 (体重)
0
150 160 170 180
它的均值E(e)= 0,方差D(e)=σ2 > 0
线性回归模型
ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ E(e)= 0, D(e)=σ2
ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ其中ａ和ｂ为模型的未知参数，
e是y与 yˆ 之间的误差,通常ｅ称为随机误差。
为了衡量预报的精度,需要估计的σ2值?
xiyi - nxy
i=1 n
xi2 - nx2
,
i=1
aˆ =y-bˆx.
其中x
=
1 n
n xi,y i=1
=
1 n
n yi. i=1
(x,y) 称为样本点的中心。
2、回归直线方程：
1、所求直线方程 yˆ = bˆ x + aˆ 叫做回归直
---线方程；其中
n
n
y bˆ =
必修3(第二章 统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据 估计、推断
用样本估计总体 变量间的相关关系
简 分 系 用样本 用样本
线
单层 统 随抽 抽 机样 样 抽
的频率 分布估 计总体
数字特 征估计 总体数
性 回 归 分
样
分布
字特征
析
统计的基本思想
实际
样本
抽样
y = f(x)
分析
y = f(x)
统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、 预测因变量。
案例1 从某大学中随机选出8名女大学生，其身 高和体重数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的 回归方程，并预报一名身高为172ｃｍ的女 大学生的体重。
探究： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？如果不是，你能解析一下原因吗？
答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是 60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于 60.316kg。
即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm 的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均 体重的值。
分析：由于问题中 要求根据身高预报 体重，因此选取身 高为自变量，体重 为因变量．
1. 散点图；
2.回归方程： yˆ 0.849x 85.172 身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
本例中, r=0.798>0.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关 系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。
模拟
y = f(x)
复习、变量之间的两种关系
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间
的函数关系是 y = x2
确定性关系
问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否
-------有一个确定性的关系？