2013年北京中考数学复习专题讲座八：归纳猜想型问题(二)

，AD2=
，AD 3=
，…，
ADn=
，
又 APn= ADn，
故 AP1= ，AP2= ，AP3=
…APn=
，ຫໍສະໝຸດ Baidu
故可得 AP6=
．
故选 A． 点评： 此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式， 从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．
例 10 （2012•广州）如图，在标有刻度的直线 l 上，从点 A 开始，
A．
B．
C．
D．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。810360 专题： 规律型。 分析： 利用正方形的性质以及平行线的性质分别得出 D1E1=B2E2= ，B2C2= ，进而得出
B3C3= ，求出 WQ= × = ，FW=WA3•cos30°= × = ，即可得出答案．
解答： 解：过小正方形的一个顶点 W 作 FQ⊥x 轴于点 Q，过点 A3F⊥FQ 于点 F， ∵正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴∠B3C3 E4=60°，∠D1C1E1=30°，∠E2B2C2=30°， ∴D1E1= D1C1= ，
-5-
例 13 （2012•无锡）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形 ABCDEF，其中 C、D 的坐标
分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着 x 轴向右滚动，则在滚
动过程中，这个六边形的顶点 A、B、C、D、E、F 中，会过点（45，2）的是点
．
考点： 正多边形和圆；坐标与图形性质；旋转的性质。810360 专题： 规律型。 分析： 先连接 A′D，过点 F′，E′作 F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，由正六边形的性质得出 A′的坐标， 再根据每 6 个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论． 解答： 解：如图所示： 当滚动一个单位长度时 E、F、A 的对应点分别是 E′、F′、A′，连接 A′D，点 F′，E′作 F′G⊥A′D， E ′H⊥A′D， ∵六边形 ABCD 是正六边形， ∴∠A′F′G=30°，
-3-
考点： 规律型：图形的变化类。810360 分析： 根据已知图形得出第 4 个半圆的半径是第 3 个半圆的半径，进而得出第 4 个半圆的 面积与第 3 个半圆面积的关系，得出第 n 个半圆的半径，进而得出答案． 解答： 解：∵以 AB=1 为直径画半圆，记为第 1 个半圆； 以 BC=2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆； 以 CD=4 为直径画半圆，记为第 3 个半圆； 以 DE=8 为直径画半圆，记为第 4 个半圆，
点评： 本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边 形的性质求出 A′点的坐标是解答此题的关键．
例 14 （2012•绥化）长为 20，宽为 a 的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个
边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个
例 16 （2012•黄石）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速
地计算出 1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 S=1+2+3+…+98+99+100
①
S=100+99+98+…+3+2+1
②
①+②：有 2S=（1+100）×100 解得：S=5050
∴第 4 个半圆的面积为：
=8π，
第 3 个半圆面积为：
=2π，
∴第 4 个半圆的面积是第 3 个半圆面积的 =4 倍；
根据已知可得出第 n 个半圆的直径为：2n﹣1，
则第 n 个半圆的半径为：
=2n﹣2，
第 n 个半圆的面积为：
=22n﹣5π．
故答案为：4，22n﹣5π． 点评： 此题主要考查了数字变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第 n 个半圆 的直径为：2n﹣1 是解题关键．
2013 年中考数学复习专题讲座八：归纳猜想型问题（二）
一、中考 专题诠释 归纳猜想 型问题在中考中 越来越被命题者所 注重。这类题要 求根据题目中的图 形或者数
字，分析 归纳，直观地发 现共同特征，或者 发展变化的趋势 ，据此去预测估计 它的规律或者 其他相关 结论，使带有猜 想性质的推断尽可 能与现实情况相 吻合，必要时可以 进行验证或者 证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲
由于猜想 本身就是一种重 要的数学方法，也 是人们探索发现 新知的重要手段， 非常有利 于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考 考点精讲 考点四： 猜想数量关系
数量关系 的表现形式多种 多样，这些关系不 一定就是我们目 前所学习的函数关 系式。在 猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。 例 8 （2012•苏州）已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示）， 点 B1 在 y 轴上，点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 在 x 轴上．若正方形 A1B1C1D1 的边长为 1， ∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点 A3 到 x 轴的距离是（ ）
围成一圈后中间形成一个正方形，如图 1，用 n 个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图
2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则 n 的值为
．
考点： 平面镶嵌（密铺）。810360 专题： 应用题。 分析： 根据正六边形的一个内角为 120°，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角， 继而可求出这个正多边形的边数． 解答： 解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为 240°， 故如果要密铺，则需要一个内角为 120°的正多边形， 而正六边形的内角为 120°， 故答案为：6． 点评： 此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的 一个内角的度数，有一定难度．
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A．
B．
C．
D．
考点： 专题： 分析：
翻折变换（折叠问题）。810360 规律型。 先写出 AD、AD1、AD2、AD3 的长度，然后可发现规律推出 ADn 的表达式，继而根
据 APn= ADn 即可得出 APn 的表达式，也可得出 AP6 的长．
解答： 解：由题意得，AD= BC= ，AD1=AD﹣DD1=
归纳猜想 型问题对考生的 观察分析能力要求 较高，经常以填 空等形式出现，解 题时要善 于从所提 供的数字或图形 信息中，寻找其共 同之处，这个存 在于个例中的共性 ，就是规律。 其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类 认识新生 事物的一般过程 。相对而言，猜想 结论型问题的难 度较大些，具体题 目往往是直观 猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样 ：计算、验证、类比、比较、 测量、绘图、移动等等，都能用到。
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∴D1E1=B2E2= ，
∴cos30°=
=
，
解得：B2C2= ， ∴B3E4= ，
cos30°=
，
解得：B3C3= ，
则 WC3= ， 根据题意得出：∠WC3 Q=30°，∠C3 WQ=60°，∠A3 WF=30°， ∴WQ= × = ，
FW=WA3•cos30°= × = ，
则点 A3 到 x 轴的距离是：FW+WQ= + =
∴A′G= A′F′= ，同理可得 HD= ，
∴A′D=2， ∵D（2，0） ∴A′（2，2），OD=2， ∵正六边形滚动 6 个单位长度时正好滚动一周， ∴从点（2，2）开始到点（45，2）正好滚动 43 个单位长度，
∵ =7…1，
∴恰好滚动 7 周多一个， ∴会过点（45，2）的是点 B． 故答案为：B．
请类比以上做法，回答下列问题：
若 n 为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则 n=
．
考点： 有理数的混合运算。810360 专题： 规律型。 分析： 根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可． 解答： 解：设 S=3+5+7+…+（2n+1）=168①， 则 S=（2n+1）+…+7+5+3=168②， ①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168， 整理得，n2+2n﹣168=0， 解得 n1=12，n2=﹣14（舍去）． 故答案为：12． 点评： 本题考查了有理数的混合运算，读懂题目提供的信息，表示出这列数据的和并列出 方程是解题的关键．
考点五： 猜想变化情况 随着数字 或图形的变化， 它原先的一些性质 有的不会改变， 有的则发生了变化 ，而且这
种变化是 有一定规律的。 比如，在几何图形 按特定要求变化 后，只要本质不变 ，通常的规律 是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作 为猜想的一个参考依据。 例 11 （2012•常德）若图 1 中的线段长为 1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边 三角形，然后去掉这一段，得到图 2，再将图 2 中的每一段作类似变形，得到图 3，按上述方 法继续下去得到图 4，则图 4 中的折线的总长度为（ ）
以 AB=1 为直径画半圆，记为第 1 个半圆；
以 BC=2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆；
以 CD=4 为直径画半圆，记为第 3 个半圆；
以 DE=8 为直径画半圆，记为第 4 个半圆，
…按此规律，继续画半圆，则第 4 个半圆的面积是第 3 个半圆面积的
的面积为
（结果保留π）
倍，第 n 个半圆
当 n=3 时，折线的长度为： + × = ；
当 n=4 时，折线的长度为： + × = ．
故选 D．
点评： 此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，同时考查学生分析归纳问题的能力，
其关键是读懂题意，找出规律解答．
例 12 （2012•河北）用 4 个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，
②如果 20﹣a＜2a﹣20，即 a＞ ，那么第三次操作时正方形的边长为 20﹣a．
则 20﹣a=（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得 a=15． ∴当 n=3 时，a 的值为 12 或 15． 故答案为：12 或 15． 点评： 此题考查了折叠的性质与矩形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分 类讨论思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系． 考点六： 猜想数字求和
边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第 n 次操作后，
剩下的矩形为正方形，则操作停止．当 n=3 时，a 的值为
．
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考点： 翻折变换（折叠问题）。810360 专题： 规律型。 分析： 首先根据题意可得可知当 10＜a＜20 时，第一次操作后剩下的矩形的长为 a，宽为 20 ﹣a，第二次操作时正方形的边长为 20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为 20﹣a， 2a﹣20．然后分别从 20﹣a＞2a﹣20 与 20﹣a＜2a﹣20 去分析求解，即可求得答案． 解答： 解：由题意，可知当 10＜a＜20 时，第一次操作后剩下的矩形的长为 a，宽为 20﹣a， 所以第二次操作时正方形的边长为 20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为 20﹣a， 2a﹣20． 此时，分两种情况： ①如果 20﹣a＞2a﹣20，即 a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为 2a﹣20． 则 2a﹣20=（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得 a=12；
，
故选：D．
点评： 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用等知识，根据已知得出 B3C3 的长是解题关键．
例 9 （2012•绍兴）如图，直角三角形纸片 ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边 BC 中点，第 1 次将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与 AD 交与点 P1；设 P1D 的中点为 D1，第 2 次将 纸片折叠，使点 A 与点 D1 重合，折痕与 AD 交于点 P2；设 P2D1 的中点为 D2，第 3 次将纸片 折叠，使点 A 与点 D2 重合，折痕与 AD 交于点 P3；…；设 Pn﹣1Dn﹣2 的中点为 Dn﹣1，第 n 次将 纸片折叠，使点 A 与点 Dn﹣1 重合，折痕与 AD 交于点 Pn（n＞2），则 AP6 的长为（ ）
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A．2
B．
C．
D．
考点： 规律型：图形的变化类；等边三角形的性质。810360 分析： 当 n=2 时，折线的长度为：1+ = ；当 n=3 时，折线的长度为： + × = ；当 n=4
时，折线的长度为： + × = ，从而可求出折线的总长度．
解答： 解：由题意得：当 n=2 时，折线的长度为：1+ = ；