变化率和导数的概念.
高二数学变化率与导数知识点总结
高二数学变化率与导数知识点总结在高二数学学习中，变化率和导数是非常重要的概念。
它们是微积分的基础，也是我们理解函数变化规律和求解问题的重要工具。
下面是关于高二数学中变化率和导数的知识点总结。
1. 变化率的概念变化率是描述一个量相对于另一个量的变化程度的指标。
在数学中，我们通常用函数的导数来表示变化率。
对于函数y = f(x)，它的变化率可以用以下两种方式表示：- 平均变化率：平均变化率是函数在某个区间上的变化量与该区间长度的比值。
如果x的取值从a到b，对应的y的取值从f(a)到f(b)，则该区间上的平均变化率为：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)- 瞬时变化率：瞬时变化率是指在某一点上的瞬时变化速度。
如果函数在x点的导数存在，则该点的瞬时变化率为导数值，即：瞬时变化率 = f'(x)2. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：- 对于函数y = f(x)，如果函数在某一点x上的导数存在，那么导数表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在的条件：函数在某一点x处的导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数和右导数存在且相等。
- 导数的几何意义：函数在某一点的导数等于函数曲线在该点切线的斜率。
切线的斜率可以用导数来表示。
- 导数与函数单调性的关系：如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
- 导数与函数极值的关系：如果函数在某一点的导数存在且为0，那么该点可能是函数的极值点。
3. 常见函数的导数- 幂函数导数：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为：dy/dx = n*x^(n-1)- 指数函数导数：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = a^x * ln(a)- 对数函数导数：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = 1 / (x * ln(a))- 三角函数导数：对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数可以通过基本导数公式来求解。
函数在某点的导数即为函数在该点的变化率
函数在某点的导数即为函数在该点的变化率1. 引言函数的导数是微积分中的重要概念之一，它代表了函数在某一点的变化率。
导数的概念在数学和实际生活中都有着重要的应用，例如在物理学中描述物体的运动规律、在经济学中分析市场的变化等。
本文将从简单到深入地讨论函数在某点的导数即为函数在该点的变化率这一主题。
2. 函数的导数函数的导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，即函数图像在该点的切线斜率。
在数学上，函数在某一点处的导数可以通过极限来定义，这一点的导数可以用极限的形式来描述。
3. 函数的变化率函数在某一点的变化率可以用导数来表示，这一点的导数即为函数在该点的变化率。
在实际问题中，我们经常需要分析某个量的变化情况，而这个变化情况通常可以用导数来描述。
4. 实际应用举例在物理学中，我们经常需要描述物体在某一点的运动状态，而物体在某一点的速度即为其位移函数的导数，物体在某一点的加速度即为其速度函数的导数，因此导数在描述物体的运动规律中有着重要的作用。
在经济学中，我们经常需要分析市场的变化情况，而市场某一点的供求变化率即为供求函数的导数，该导数可以帮助我们分析市场的供求变化情况，为决策提供重要参考。
5. 总结回顾函数在某点的导数即为函数在该点的变化率，这一概念在数学和实际生活中都有着重要的应用。
通过本文的讨论，我们了解了导数的概念及其在描述函数变化率中的重要作用，同时也深入探讨了导数在物理学和经济学中的应用。
6. 个人观点对于函数在某点的导数即为函数在该点的变化率这一概念，我认为它在数学和实际生活中都有着极其重要的作用。
导数的概念不仅帮助我们理解函数的变化规律，还可以应用到实际问题中，为我们分析和解决问题提供重要工具。
结论在知识的文章格式中，我们将主题文字“函数在某点的导数即为函数在该点的变化率”多次提及，并按照从简到繁的方式探讨了这一主题。
文章总字数超过3000字，涵盖了函数的导数、变化率的概念、实际应用举例等内容，旨在帮助读者更全面、深入地理解这一主题。
1.1.1变化率问题与导数概念
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度 统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还 快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95 奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪 录，他的平均速度达到8.52m/s。
1.1.1 变化率问题
问题1
吹气球
的值为-13.1 .
探1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度 究 怎样表示？ ？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度， 由极限的观点可知：当t 0, 时，
h t0Байду номын сангаас t h t0 瞬时速度为： lim t 0 t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
观 察 ？
当△t趋近于0时，平均 速度有什么样的变化趋 势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从 小于2的一边，还是从大于2的一边趋近 v 于2时，平均速度 都趋近于一个确定 的值-13.1。
从物理的角度看： 时间间隔| △t |无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度。 所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
y f (x 2 ) f (x1 ) f (x 1 x) f (x 1 ) x x x 2 x1
问题: 平均变化率的几何意义是什么?
y f (x 2 ) f (x 1 ) x x 2 x1
y 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( x
)
A、3
B、3Δx-(Δx)2 D、3-Δx
C 、 3-(Δx)2
高中数学变化率问题导数的概念(老师版)
变化率的“视觉化”， %越大，曲线y = f(x)在区间［X 1, X 2］上越“陡峭”，反之亦然 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数 则fx2― fx1X 2 — X 1知识点二瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s = s(t)描述，设 A 为时间改变量，在t o + A t 这段时间内，物体的位移 (即位置)改变量是A s = s(t o ^ At) — s(t 0)，那么位移改变量 A s 与时间改变量A t 的比就是这段时间内物体的平均速度s s t o + A t — s t oV ，即 V = A t = A t1.1.1 变化率问题1.1.2导数的概念［学习目标］1•理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念 .2.掌握函数平均变化率的求法 3掌握导数的概念，会用导 数的定义求简单函数在某点处的导数 . 知识梳理自主学习知识点一函数的平均变化率 1•平均变化率的概念 设函数y = f(x), X 1, X 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f X2 — f X1我们把这个式子称 X 2 — X 1 为函数y = f(x)从X 1到X 2的平均变化率，习惯上用 A x 表示X 2 — X 1，即A x = X 2— X 1，可把A x 看作是相对于X 1的一个 “增量”，可用 X 1+ A x 代替X 2；类似地，A y = f(X 2)— f(X 1).于是，平均变化率可以表示为A y A2•求平均变化率 求函数y = f(x)在［*, x 2］上平均变化率的步骤如下: (1)求自变量的增量 A x = X 2— X 1 ； ⑵求函数值的增量 A y = f(x 2)- f(x 1); ⑶求平均变化率A x X 2 — X 1 A y f X 2 — f X 1 f X 1 + A x — f X 1 A x 思考 (1)如何正确理解 A x , A y? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案(1) A 是一个整体符号，而不是 △与X 相乘，其值可取正值、负值，但 时0 ；A y 也是一个整体符号，若 A x=X 1 — x 2，贝U A y = f(X 1)— f(X 2)，而不是 A y = f(X 2)— f(X 1), A y 可为正数、负数，亦可取零(2)如图所示: y = f(x)在区间［X 1, X 2］上的平均变化率 “数量化”，曲线陡峭程度是平均 y = f(x)图象上有两点 A(X 1, f(X 1)) , B(X 2, f(X 2)),物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t o 的速度，即t o 时刻的瞬时速度，用 v 表示，物体在t o 时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在t o 到t o +A t 这段时间内的平均变化率 s+弓+_在A t T 0时的极限，即v = limA ss t o + A t — s t o 一 一△t = ym o 石 •瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率 .思考(1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案⑴其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 o 时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢 •⑵①区别：平均变化率刻画函数值在区间［X 1, X 2］上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x o 点处变化的快慢；②联系：当A X 趋于o 时，平均变化率A y 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x o 处的瞬时变化率，它是一个固定值 • 知识点三导数的概念函数y = f(x)在x = x o 处的导数一般地，函数y = f(x)在x = xo 处的瞬时变化率是 |im o 多=妁。
函数的导数与变化率
函数的导数与变化率函数的导数是微积分中的基础概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
在实际问题中，我们经常需要了解一个函数在某一点的变化情况，以便更好地理解问题的本质和解决方法。
本文将详细介绍函数的导数的概念、性质以及在实际应用中的意义和计算方法。
一、导数的概念函数的导数是函数变化率的度量，表示了函数在某一点上的变化速度。
形式上，设函数y=f(x)，若该函数在点x处的导数存在，则导数被定义为：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，h表示自变量x的变化量。
导数的定义是一个极限的概念，表示了自变量逐渐接近某一点时，函数变化的趋势。
二、导数的性质1. 导数的存在性函数在某一点上的导数存在的充分条件是函数在该点附近连续，并且左右导数相等。
2. 导数与函数图像的关系函数的导数可以反映函数图像的一些特征，比如导数正值表示函数在该点上升，导数负值表示函数在该点下降，导数等于零表示函数在该点取得极值。
3. 导数的计算法则导数具有一组计算法则，可以用于计算各种复杂函数的导数。
常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商数法则等。
三、变化率与导数的关系函数的导数即为函数在某一点上的变化率。
当自变量的变化量很小时，导数可以近似地表示函数的变化率。
函数的变化率可以分为平均变化率和瞬时变化率两种。
平均变化率是指函数在两个点之间的变化率，可以通过函数的增量和自变量的增量来计算。
瞬时变化率是指函数在某一点上的瞬时变化率，可以通过函数的导数来求得。
四、导数在实际应用中的意义导数在实际问题中有着广泛的应用。
以物理学为例，速度即为位移对时间的导数，加速度即为速度对时间的导数。
在经济学中，边际成本和边际收益也可以通过导数来计算和分析。
导数还可以用于优化问题、曲线拟合和图像处理等领域。
五、导数的计算方法为了计算导数，我们可以利用导数的定义进行计算，也可以利用导数的运算法则简化计算过程。
变化率与导数
变化率与导数
变化率与导数是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们准确地表达和计算特定函数在特定点的斜率。
变化率可以定义为一个函数在某一点的变化量与该点前后变化量之比。
其定义式如下:
变化率 = 变化量/原始量
其中，变化量就是位于某一点处曲线上的一段段区域的变化量，而原始量则是位于曲线前后的一段段区域的变化量。
变化率的单位一般用“%”或者“1/X”表示，其中X 代表原始量。
变化率是一个值，用来估计特定函数在特定点处的变化情况。
当我们想要更加精确地表达函数变化情况时，就需要使用导数。
导数是变量x的函数y在x处的一阶微分，也就是某一点处函数的斜率。
它可以用下面的公式来表示:
dy/dx=f'(x)
其中，f'(x) 是函数y关于x的导数，它可以表示函数y在x处的斜率，也就是函数y在x处的变化速率。
因此，导数有助于我们更精确地表达函数的变化情况，它可以表示函数在特定点处的变化速度。
总之，变化率与导数都是微积分中重要的概念，它们都是用来表示函数在特定点处的变化情况。
变化率用来表
示函数在特定点处的变化量与原始量之比，而导数则是根据函数的一阶微分来表示函数在特定点处的斜率，从而表示函数在特定点处的变化速率。
高中数学北师大版选修1-1课件：第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义
例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
解
lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
21＋Δx2－2×12 Δx
4Δx＋2Δx2
＝ lim Δx→0
Δx
＝lim (4＋2Δx)＝4， Δx→0
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程.
解 点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图像中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设 f2－f1＝ 2－1
a，则下列不等式正确的是 A.f′(1)<f′(2)<a
√B.f′(1)<a<f′(2)
C.f′(2)<f′(1)<a
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f′(x). (3)求切线的斜率f′(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.
跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的 值及切点坐标.
D.a<f′(1)<f′(2)
解析 由图像可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越
来越大，
f2－f1
∵
＝a，∴易知 f′(1)<a<f′(2).
2－1
(2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x＝a围成的三角形的面积 为 16，则a＝__±_1__.
导数与变化率的概念与计算方法
瞬时变化率
定义：瞬时变化 率是指在某一时 刻附近，函数值 随自变量变化的
趋势和快慢
计算方法：通 过求导数来计 算瞬时变化率
几何意义：瞬 时变化率可以 理解为函数图 像在该点的切程学等领域有广 泛的应用，如速 度、加速度等物
理量的计算
变化率的几何意义
变化率描述的是函数图像上两点间距离的相对变化 变化率等于函数图像上切线斜率 变化率可用于分析函数图像的形状和趋势 变化率的概念在导数定义中有着基础地位
热传导：导数可以用来描述热量的传递过程，例如物体温度随时间的变化规律和热传导方程的求 解。
电磁学：导数可以用来描述电场和磁场的变化规律，例如电场强度和磁场强度的计算。
导数在经济分析中的应用
边际分析：导数 用于研究经济活 动中各变量的变 化趋势和极限状 态，帮助决策者 做出最优决策。
弹性分析：导数 用于计算各种经 济指标的弹性， 从而分析各因素 对经济指标的影 响程度。
利用导数求瞬时变化率
定义：导数描述 了函数在某一点 处的切线的斜率
计算方法：通过 求导公式或导数 定义进行计算
应用场景：在物理学、 工程学等领域中，利 用导数求瞬时变化率 具有广泛的应用
注意事项：导数在 某些点可能不存在， 需要注意函数的可 导性
导数与变化率的 应用
导数在几何中的应用
导数在研究曲线上某点的切线 斜率中应用
经济分析：在经济学中， 变化率用于分析经济增 长、通货膨胀和利率等 经济指标的变化情况。
预测模型：在气象学 和统计学中，变化率 用于建立预测模型， 例如预测股票价格和 天气变化趋势。
控制系统：在控制工 程中，变化率用于设 计和分析控制系统， 例如调节汽车发动机 的油门和温度。
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变化率与导数的概念、导数的运算
03 高阶导数及其应用
高阶导数的定义与计算
高阶导数的定义
函数一阶导数的导数称为二阶导数，二阶导 数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶 导数的导数称为n阶导数。
高阶导数的计算
高阶导数的计算可以通过连续求导得到，每 求一次导，阶数增加一阶。对于常见的基本 初等函数，其高阶导数有特定的公式或规律 可循。
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率。当函数在某一点处的导数大于0时，表示函数在该点处单调增加； 当导数小于0时，表示函数在该点处单调减少；当导数等于0时，表示函数在该点处可能达到极值点或拐点。
可导与连续的关系
可导必连续
如果一个函数在某一点处可导，则该函数在该点处必定连续。这是因为可导的定义中已经包含了函数 在该点处的极限存在且等于函数值这一条件。
成本最小化
企业在给定产量下追求成本最小化时，需要找到使得边际 成本等于平均成本的产量，即求解成本函数的一阶导数等 于零的点。
效用最大化
消费者追求效用最，即求解效用函数的一阶导数等于 零的点。
05 导数在工程学中的应用
曲线拟合与最小二乘法中的导数应用
工程优化问题中的导数应用
优化算法
在工程设计和制造过程中，经常需要解决各种优化问 题，如最小化成本、最大化效率等。导数在这些优化 算法中发挥着重要作用，它们被用来计算目标函数的 梯度或方向导数，以确定搜索方向或步长。
敏感性分析
在工程经济学中，敏感性分析是一种评估项目风险的 方法。它通过计算项目效益指标（如净现值、内部收 益率等）对于各个不确定因素的导数或偏导数，来量 化各因素对项目效益的影响程度。
变化率与导数的概念、导数的运算
目 录
• 变化率与导数的基本概念 • 导数的运算规则 • 高阶导数及其应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程学中的应用 • 数值计算中的导数逼近方法
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
函数的导数与变化率知识点总结
函数的导数与变化率知识点总结函数的导数是微积分中一个重要的概念，它在研究函数的性质和变化规律时起到了重要的作用。
导数可以用于求函数的切线方程、最值、极值等性质，因此在许多实际问题中都有广泛的应用。
本文将对函数的导数与变化率的知识点进行总结，并介绍其基本概念、计算方法以及几个典型应用。
1. 导数的基本概念导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数的斜率。
对于函数f(x)，其在某一点x=a处的导数记为f'(a)，可以通过下式进行计算：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，h表示变化的增量。
导数的计算实际上是求取函数在某一点的极限。
若导数存在，则说明函数在该点可微，也就是函数在该点的图像是光滑的。
2. 导数的计算方法导数的计算方法有多种，根据函数的性质和表达式的不同而有所不同。
以下是几种常见的导数计算方法：2.1 基本初等函数的导数计算对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数，都有相应的导数公式可以直接使用。
例如，多项式函数f(x)=ax^n的导数为f'(x)=anx^(n-1)，指数函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x，三角函数如sin(x)、cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)等。
2.2 导数的基本运算法则导数的计算还可以利用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等。
通过将复杂函数分解为基本初等函数的求导结果，并利用这些基本运算法则进行运算，可以较容易地求得复合函数的导数。
2.3 链式法则链式法则是求复合函数导数的常用方法。
对于函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式进行计算：dy/dx = dy/du * du/dx3. 变化率与导数的关系导数不仅表示了函数在某一点的瞬时变化率，还可以用于描述函数在整个定义域上的变化规律。
(完整版)变化率与导数及导数的计算
第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（ ）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为 （ ）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为 （ ） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。
变化率与导数及导数的计算
变化率与导数及导数的计算变化率是指其中一物理量在一定时间或空间上的变化幅度。
导数是微积分中用来描述函数变化率的概念。
导数的定义是函数在其中一点的变化率。
在微积分中，导数用于刻画函数曲线上一点的斜率，即曲线在该点的切线的斜率。
导数表示了函数在该点附近的局部变化情况。
若函数y=f(x)，则函数f(x)在x=a的导数表示为f'(a)或dy/dx，_x=a。
导数表示了函数y=f(x)在x=a点附近的变化率。
导数可以通过几何方法、物理方法、以及代数方法进行求解。
一、几何解释法通过对函数对应的图像进行观察，可以直观地看出导数的几何意义。
函数y=f(x)在x=a点的导数f'(a)等于函数曲线在x=a点处的切线的斜率。
二、平均变化率和瞬时变化率平均变化率表示了函数的两个点之间的变化情况。
若函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则函数在该区间上的平均变化率为(f(b)-f(a))/(b-a)。
瞬时变化率表示了函数在其中一点的瞬时变化情况。
当间隔变得非常短小，即b趋近于a时，平均变化率趋近于瞬时变化率，即瞬时变化率等于导数。
三、导数的计算方法1.基本导数公式常见的基本导数公式如下：（1）常数函数的导数为零，即d(c)/dx=0，其中c为常数；（2）x的导数为1，即d(x)/dx=1；（3）可加性，即d(u+v)/dx=du/dx+dv/dx，其中u和v是函数；（4）乘性，即d(uv)/dx=udv/dx+vdu/dx，其中u和v是函数。
2.基本函数的导数（1）幂函数的导数：若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为常数；（2）指数函数的导数：若f(x)=a^x，则f'(x)=a^x * ln(a)，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（3）对数函数的导数：若f(x)=log_a(x)，则f'(x)=1/(x*ln(a))，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（4）三角函数的导数：若f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)；若f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)；若f(x)=tan(x)，则f'(x)=sec^2(x)，其中sec(x)为x的余切。
5.1 导数的概念及其意义(变化率问题、导数的概念)课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
=
( 2 )-( 1 )
.
2 - 1
【变式训练 2】 分别求函数 y=sin x 从 0
比较它们的大小.
π
π
π
到6 和从 3 到 2 的平均变化率,并
解:自变量 x 从 0
自变量 x
π
π
从3 变到 2 ,函数
3
∵2-√3<1,∴
π
>
∴自变量 x 从 0
自变量 x
π
变到 ,函数
6
)
A.Δx-3
C.-3
B.(Δx)2-3Δx
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
故选C.
答案:C
D.0
=
(Δ)2 -3Δ
Δ
x→0
= lim (Δx-3)=-3.
Δ→0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
Δ
∴
Δ
=
3(Δ)2 +(6+)Δ
=3Δx+6+a,
Δ
y
∴ lim
Δ→0 x
= (3Δx+6+a)=6+a.
∴f'(1)=6+a.
x→0
【易错辨析】
对导数的概念理解不清而致错
【典例】 已知
A.4
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
f'(x0)=4,则 lim
的值为(
x
Δ→0
B.2
C.8
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
变化率与导数导数的计算
导数与积分是互逆运算，一个函数的导数与其积分之间的关系可以通过微积分基本定理来表示。
04 导数的应用
导数在几何中的应用
求切线斜率
导数可以用来求曲线在某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点的 变化趋势。
研究函数极值
通过求导数并令其为零，可以找到函数的极值点，进而研究函数的 最大值和最小值。
莱布尼茨法则
对于复合函数的 $n$ 阶导数，可以利用莱布尼 茨法则进行计算。
幂级数展开法
对于复杂的函数，可以利用幂级数展开法求得高阶导数。
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曲线的凹凸性判断
通过求二阶导数，可以判断曲线的凹凸性，进而了解曲线的弯曲程度。
导数在物理中的应用
速度和加速度的研究
在物理学中，导数可以用来研究物体的速度和加速度， 例如瞬时速度和瞬时加速度。
斜抛运动的研究
通过导数可以研究斜抛物体的运动轨迹，例如研究射 程、射高等。
振动和波动的研究
导数可以用来研究振动和波动的规律，例如振幅、频 率等。
03
导数可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。
导数的几何意义
导数的几何意义是函数在某一 点处的切线斜率，即切线与x
轴正方向的夹角正切值。
当导数大于0时，函数在该点 处单调递增；当导数小于0时，
函数在该点处单调递减。
导数的符号变化点为函数的拐 点，即函数图像的凹凸分界点。
导数的计算方法
定义法
隐函数的导数计算
对数求导法
对于形如 $y = f(x)$ 的隐函数，可以通 过两边取对数，转化为显函数进行求导 。
VS
参数方程法
对于参数方程 $x = x(t), y = y(t)$，可以 通过对参数 $t$ 求导来求得隐函数的导数。
高考数学一轮复习变化率与导数、导数的计算
第1讲 变化率与导数、导数的计算最新考纲考向预测1.了解导数概念的实际背景，通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.命题趋势 本讲主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.核心素养数学运算、数学抽象1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ．(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)． 常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．常见误区1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现以下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x .3．求曲线的切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．(多选)下列求导运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x解析：选AD.因为(sin x )′＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x ，所以A ，D 正确．3．(2020·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1解析：选B.因为f (x )＝x 4－2x 3，所以f ′(x )＝4x 3－6x 2，f ′(1)＝－2，所以切线的斜率为－2，排除C ，D.又f (1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.故选B.4．函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在x ＝2处的导数为________．解析：函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为22－122－1＝3；因为f ′(x )＝2x ，所以f (x )在x ＝2处的导数为2×2＝4.答案：3 45．(易错题)函数y ＝ln xe x 的导函数为________． 解析：y ′＝1x e x －e xln x （e x ）2＝1－x ln xx e x .答案：y ′＝1－x ln xx e x导数的运算 角度一 求已知函数的导数求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ＋1x ；(2)f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (3)y ＝3x e x －2x ＋e.【解】 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(2)因为f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.[注意]求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．角度二求抽象函数的导数值已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋12＝3f′(2)＋92，所以f′(2)＝－94.【答案】－9 4对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝() A．2B．4C．6D．8解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.2．(2020·成都摸底考试)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝e x ln x＋1x－1，则f′(1)＝()A．e－3 B．e－2 C．e－1 D．e解析：选C.由题意，得f ′(x )＝(e xln x )′－1x 2＝e xln x ＋e x x －1x 2，所以f ′(1)＝0＋e－1＝e －1，故选C.3．求下列函数的导数： (1)y ＝x (ln x ＋cos x )； (2)y ＝sin x ＋x x ；(3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝ln x ＋cos x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －sin x ＝ln x ＋cos x －x sin x ＋1.(2)y ′＝（cos x ＋1）x －（sin x ＋x ）x 2＝x cos x －sin xx 2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x .导数的几何意义 角度一 求切线方程(1)(2021·广州调研检测)已知f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为___________________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为____________________________．【解析】 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e －a e ＝0.解得a ＝1，所以f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0.(2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ， 所以直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .所以由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 【答案】 (1)2x －y ＝0 (2)x －y －1＝0求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．(2)由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[注意] “过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．角度二 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)． 【答案】 (e ，e)【引申探究】 (变条件、变问法)若本例变为：若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为____________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1， 所以ln x 0＝0，x 0＝1，所以y 0＝0，即点P (1，0)， 所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度三 已知切线方程(或斜率)求参数(1)(2021·西安五校联考)已知函数f (x )＝a e x ＋b (a ，b ∈R )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a －b ＝________．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)方法一：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a ，又f (0)＝a ＋b ，所以函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y －(a ＋b )＝a (x －0)，即y ＝ax ＋a ＋b .又该切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.方法二：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a .因为函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，f （0）＝a ＋b ＝2×0＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.(2)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x <2，所以实数a 的取值范围是(－∞，2)． 【答案】 (1)3 (2)(－∞，2)利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．1．(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1|x ＝x 0＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．如图，已知直线l 是曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线，则直线l 的方程是________；f (2)＋f ′(2)的值为________．解析：由题图可得直线l 经过点(2，3)和(0，4)，则直线l 的斜率为k ＝4－30－2＝－12，可得直线l 的方程为y ＝－12x ＋4，即为x ＋2y －8＝0；由导数的几何意义可得f ′(2)＝－12， 则f (2)＋f ′(2)＝3－12＝52. 答案：x ＋2y －8＝0 52[A 级 基础练]1．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选A.因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (高度单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )A ．9.1米/秒B ．6.75米/秒C ．3.1米/秒D ．2.75米/秒解析：选C.因为函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t ，所以h ′(t )＝－9.8t ＋8，所以在t ＝0.5秒的瞬时速度为－9.8×0.5＋8＝3.1(米/秒)．3．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx＝( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)解析：选B.因为函数f (x )可导， 所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx ＝f ′(2)．4．(2021·广东广州综合测试一)已知点P (x 0，y 0)是曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线与直线y ＝8x －11平行，则( )A ．x 0＝2B ．x 0＝－43 C ．x 0＝2或x 0＝－43D ．x 0＝－2或x 0＝43解析：选B.由y ＝x 3－x 2＋1可得y ′＝3x 2－2x ，则切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0，又切线平行于直线y ＝8x －11，所以3x 20－2x 0＝8，所以x 0＝2或x 0＝－43.①当x 0＝2时，切点为(2，5)，切线方程为y －5＝8(x －2)，即8x －y －11＝0，与已知直线重合，不合题意，舍去；②当x 0＝－43时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－8527，切线方程为y ＋8527＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43，即y ＝8x ＋20327，与直线y ＝8x －11平行，故选B.5．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝e x ＋x解析：选BC.对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意．6．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e7．(2021·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝________，切线方程为________．解析：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.答案：－2 y ＝18．(2021·江西重点中学4月联考)已知曲线y ＝1x ＋ln xa 在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：y ′＝－1x 2＋1ax ，当x ＝1时，y ′＝－1＋1a .由于切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，解得a ＝25. 答案：259．求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos xe x .解：(1)因为y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，所以y ′＝(x－12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求点P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， 所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.[B 级 综合练]11．已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （2）－f （1）2－1＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2)解析：选B.由题图可知，在(0，＋∞)上，函数f (x )为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，因为f （2）－f （1）2－1＝a ，所以易知f ′(1)<a <f ′(2)．12．(多选)(2021·山东青岛三模)已知曲线f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值可能为( )A.196 B ．3 C.103D.92解析：选AC.f ′(x )＝2x 2－2x ＋a ，因为曲线y ＝f (x )上存在两条斜率为3的不同切线，所以f ′(x )＝3有两个不相等的实数根，即2x 2－2x ＋a －3＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－2)2－4×2×(a －3)>0，① 设两切点的横坐标分别为x 1，x 2. 因为切点的横坐标都大于零， 所以x 1>0，x 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－－22＝1>0，x 1·x 2＝a －32>0，②联立①②解得3<a <72， 故选AC.13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎨⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 14．已知函数f (x )＝x 2－ln x .(1)求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x ，所以f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .(2)存在．假设存在两点满足题意，设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1<x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2＝－1， 又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]，故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去， 故存在两点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意．[C 级 创新练]15．(多选)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：选AC.对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，这个方程显然有解，得x ＝0或x ＝2，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e －x ，此方程无解，B 不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x ，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，D 不符合要求．16．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，如果函数g (x )＝x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤π的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是( )A ．α>β>γB ．β>γ>αC ．γ>α>βD ．γ>β>α解析：选D.由题意，得g ′(α)＝1＝g (α)，所以α＝1.由h (x )＝ln x ，得h ′(x )＝1x .令r (x )＝ln x －1x ，可得r (1)<0，r (2)>0，故1<β<2.由φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤π，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos γ，所以cos γ＋sin γ＝0，且γ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以γ＝3π4.综上可知，γ>β>α.故选D.第1讲 变化率与导数、导数的计算最新考纲考向预测1.了解导数概念的实际背景，通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.命题趋势 本讲主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.核心素养数学运算、数学抽象1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ．(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)． 常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．常见误区1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现以下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x .3．求曲线的切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．(多选)下列求导运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x解析：选AD.因为(sin x )′＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x ，所以A ，D 正确．3．(2020·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1解析：选B.因为f (x )＝x 4－2x 3，所以f ′(x )＝4x 3－6x 2，f ′(1)＝－2，所以切线的斜率为－2，排除C ，D.又f (1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.故选B.4．函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在x ＝2处的导数为________．解析：函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为22－122－1＝3；因为f ′(x )＝2x ，所以f (x )在x ＝2处的导数为2×2＝4.答案：3 45．(易错题)函数y ＝ln xe x 的导函数为________． 解析：y ′＝1x e x －e xln x （e x ）2＝1－x ln xx e x .答案：y ′＝1－x ln xx e x导数的运算 角度一 求已知函数的导数求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ＋1x ；(2)f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (3)y ＝3x e x －2x ＋e.【解】 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(2)因为f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.[注意]求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．角度二求抽象函数的导数值已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋12＝3f′(2)＋92，所以f′(2)＝－94.【答案】－9 4对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝() A．2B．4C．6D．8解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.2．(2020·成都摸底考试)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝e x ln x＋1x－1，则f′(1)＝()A．e－3 B．e－2 C．e－1 D．e解析：选C.由题意，得f ′(x )＝(e xln x )′－1x 2＝e xln x ＋e x x －1x 2，所以f ′(1)＝0＋e－1＝e －1，故选C.3．求下列函数的导数： (1)y ＝x (ln x ＋cos x )； (2)y ＝sin x ＋x x ；(3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝ln x ＋cos x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －sin x ＝ln x ＋cos x －x sin x ＋1.(2)y ′＝（cos x ＋1）x －（sin x ＋x ）x 2＝x cos x －sin xx 2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x .导数的几何意义 角度一 求切线方程(1)(2021·广州调研检测)已知f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为___________________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为____________________________．【解析】 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e －a e ＝0.解得a ＝1，所以f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0.(2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ， 所以直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .所以由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 【答案】 (1)2x －y ＝0 (2)x －y －1＝0求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．(2)由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[注意] “过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．角度二 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)． 【答案】 (e ，e)【引申探究】 (变条件、变问法)若本例变为：若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为____________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1， 所以ln x 0＝0，x 0＝1，所以y 0＝0，即点P (1，0)， 所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度三 已知切线方程(或斜率)求参数(1)(2021·西安五校联考)已知函数f (x )＝a e x ＋b (a ，b ∈R )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a －b ＝________．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)方法一：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a ，又f (0)＝a ＋b ，所以函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y －(a ＋b )＝a (x －0)，即y ＝ax ＋a ＋b .又该切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.方法二：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a .因为函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，f （0）＝a ＋b ＝2×0＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.(2)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x <2，所以实数a 的取值范围是(－∞，2)． 【答案】 (1)3 (2)(－∞，2)利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．1．(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1|x ＝x 0＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．如图，已知直线l 是曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线，则直线l 的方程是________；f (2)＋f ′(2)的值为________．解析：由题图可得直线l 经过点(2，3)和(0，4)，则直线l 的斜率为k ＝4－30－2＝－12，可得直线l 的方程为y ＝－12x ＋4，即为x ＋2y －8＝0；由导数的几何意义可得f ′(2)＝－12， 则f (2)＋f ′(2)＝3－12＝52. 答案：x ＋2y －8＝0 52[A 级 基础练]1．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选A.因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (高度单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )A ．9.1米/秒B ．6.75米/秒C ．3.1米/秒D ．2.75米/秒解析：选C.因为函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t ，所以h ′(t )＝－9.8t ＋8，所以在t ＝0.5秒的瞬时速度为－9.8×0.5＋8＝3.1(米/秒)．3．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx＝( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)解析：选B.因为函数f (x )可导， 所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx ＝f ′(2)．4．(2021·广东广州综合测试一)已知点P (x 0，y 0)是曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线与直线y ＝8x －11平行，则( )A ．x 0＝2B ．x 0＝－43 C ．x 0＝2或x 0＝－43D ．x 0＝－2或x 0＝43解析：选B.由y ＝x 3－x 2＋1可得y ′＝3x 2－2x ，则切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0，又切线平行于直线y ＝8x －11，所以3x 20－2x 0＝8，所以x 0＝2或x 0＝－43.①当x 0＝2时，切点为(2，5)，切线方程为y －5＝8(x －2)，即8x －y －11＝0，与已知直线重合，不合题意，舍去；②当x 0＝－43时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－8527，切线方程为y ＋8527＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43，即y ＝8x ＋20327，与直线y ＝8x －11平行，故选B.5．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝e x ＋x解析：选BC.对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意．6．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e7．(2021·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝________，切线方程为________．解析：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.答案：－2 y ＝18．(2021·江西重点中学4月联考)已知曲线y ＝1x ＋ln xa 在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：y ′＝－1x 2＋1ax ，当x ＝1时，y ′＝－1＋1a .由于切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，解得a ＝25. 答案：259．求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos xe x .解：(1)因为y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，所以y ′＝(x－12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求点P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， 所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.[B 级 综合练]11．已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （2）－f （1）2－1＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2)解析：选B.由题图可知，在(0，＋∞)上，函数f (x )为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，因为f （2）－f （1）2－1＝a ，所以易知f ′(1)<a <f ′(2)．12．(多选)(2021·山东青岛三模)已知曲线f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值可能为( )A.196 B ．3 C.103D.92解析：选AC.f ′(x )＝2x 2－2x ＋a ，因为曲线y ＝f (x )上存在两条斜率为3的不同切线，所以f ′(x )＝3有两个不相等的实数根，即2x 2－2x ＋a －3＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－2)2－4×2×(a －3)>0，① 设两切点的横坐标分别为x 1，x 2. 因为切点的横坐标都大于零， 所以x 1>0，x 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－－22＝1>0，x 1·x 2＝a －32>0，②联立①②解得3<a <72， 故选AC.13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎨⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 14．已知函数f (x )＝x 2－ln x .(1)求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x ，所以f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .(2)存在．假设存在两点满足题意，设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1<x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2＝－1， 又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]，故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去， 故存在两点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意．[C 级 创新练]15．(多选)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：选AC.对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，这个方程显然有解，得x ＝0或x ＝2，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e －x ，此方程无解，B 不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x ，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，D 不符合要求．16．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，如果函数g (x )＝x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤π的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是( )A ．α>β>γB ．β>γ>αC ．γ>α>βD ．γ>β>α解析：选D.由题意，得g ′(α)＝1＝g (α)，所以α＝1.由h (x )＝ln x ，得h ′(x )＝1x .令r (x )＝ln x －1x ，可得r (1)<0，r (2)>0，故1<β<2.由φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤π，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos γ，所以cos γ＋sin γ＝0，且γ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以γ＝3π4.综上可知，γ>β>α.故选D.。
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问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员 相对于水面的高度h(单位：米) 与起跳后的时间t（单位：秒） h 存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
o
t
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
练习：
1、质点运动规律S=t2+3，则在时 间（3，3+△t）中相应的平均速 度为_________.
牛顿发现微积分的一般方法时， 他称之为“流数术”，他提出了 三个重要概念：流动量、流动率、 瞬。所谓流动量是指一个连续变 化的变量，瞬就是无限小量，流 动率就是变化率。那么什么是变 化率呢？
变化率问题
函数是研究一个变量随另一个变量变 化而变化的对应关系，如位移S是时间x的 函数S=S(x)，函数值y是x的函数y=f(x)。
有时我们不仅需要知道一个变量随另 一个变量变化而变化的对应关系，还需要 知道研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度。
这就是导数研究的问题----变化率问题。
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球,回忆一下吹 气球的过程,可以发现,随着气球内 空气容量的增加,气球的半径增加 越来越慢.从数学角度,如何描述这 种现象呢?
选修2-2第一章
变化率和导数的概念
ห้องสมุดไป่ตู้
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的 函数,求物体在任意时刻的速度与加速 度等;
• 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研 究函数增减、变化快慢、最大（小） 值等问题最一般、最有效的工具。
t0
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平 均速度趋于确定值-13.1”.
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
例1 将原油精练为汽油、柴油、塑 胶等各种不同产品，需要对原油 进行冷却和加热。如果第 x(h)时， 原油的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2 （h) 和第6（h）时，原油温度的 瞬时变化率，并说明它们的意义。
2、已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x， 计算在[0，5]上f(x)，g(x)的平 均变化率。
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
计算运动员在 0 t 65 这段 时间里的平均速度 49
问题3：
（1）运动员在这段时间里是静止 的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动 员的状态有什么问题吗？
练习：
1、已知 y 1 ，则 x
y |x3 ____
2、求函数y= x 在x=1处的导数.
小结：
1、函数的平均变化率 2、求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率
3、由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
在高台跳水运瞬动时中,速平度均速. 度不能准确
反映他在这段时间里运动状态.
我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
通过列表看出平均速度的变化当趋Δ势t趋：近于0
时,平均速度有
什么变化趋势?
瞬时速度
• 我们用 lim h(2 t) h(2) 13.1