变化率和导数的概念.

t0
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平 均速度趋于确定值-13.1”.
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
例1 将原油精练为汽油、柴油、塑 胶等各种不同产品，需要对原油 进行冷却和加热。如果第 x(h)时， 原油的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2 （h) 和第6（h）时，原油温度的 瞬时变化率，并说明它们的意义。
练习：
1、已知 y 1 ，则 x
y |x3 ____
2、求函数y= x 在x=1处的导数.
小结：
1、函数的平均变化率 2、求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率
3、由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
在高台跳水运瞬动时中,速平度均速. 度不能准确
反映他在这段时间里运动状态.
我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
通过列表看出平均速度的变化当趋Δ势t趋：近于0
时,平均速度有
什么变化趋势?
瞬时速度
• 我们用 lim h(2 t) h(2) 13.1
2、已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x， 计算在[0，5]上f(x)，g(x)的平 均变化率。
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
计算运动员在 0 t 65 这段 时间里的平均速度 49
问题3：
（1）运动员在这段时间里是静止 的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动 员的状态有什么问题吗？
选修2-2第一章
变化率和导数的概念
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的 函数,求物体在任意时刻的速度与加速 度等;
• 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分百度文库核心概念之一它是研 究函数增减、变化快慢、最大（小） 值等问题最一般、最有效的工具。
(2)求平均变化率 （3）求极限
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员 相对于水面的高度h(单位：米) 与起跳后的时间t（单位：秒） h 存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
o
t
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
练习：
1、质点运动规律S=t2+3，则在时 间（3，3+△t）中相应的平均速 度为_________.
牛顿发现微积分的一般方法时， 他称之为“流数术”，他提出了 三个重要概念：流动量、流动率、 瞬。所谓流动量是指一个连续变 化的变量，瞬就是无限小量，流 动率就是变化率。那么什么是变 化率呢？
变化率问题
函数是研究一个变量随另一个变量变 化而变化的对应关系，如位移S是时间x的 函数S=S(x)，函数值y是x的函数y=f(x)。
有时我们不仅需要知道一个变量随另 一个变量变化而变化的对应关系，还需要 知道研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度。
这就是导数研究的问题----变化率问题。
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球,回忆一下吹 气球的过程,可以发现,随着气球内 空气容量的增加,气球的半径增加 越来越慢.从数学角度,如何描述这 种现象呢?