组合数学课件--第四章第一节 贝恩塞特引理与波利亚定理
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组合数学(引论)
也就是：机智+精巧。
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
第 10 页
结束
1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第 22 页
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
第4页
结束
一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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结束
1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
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结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
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一、一组、合组数合学数简学介简介
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总统 副总统 财务大臣 秘书
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1
一种选法 一一对应 一个四位数
组合数学课件-第四章第三节波利亚(Polya)定理
换句话说，如果一个封闭曲线与区域内的任意直线都没有交点，那么这个封闭曲 线必然完全位于区域外。
波利亚定理的重要性
波利亚定理在几何学中有着广泛的应 用，它可以帮助我们解决一些与图形 和空间有关的问题。
例如，在几何图形中，我们可以通过 应用波利亚定理来判断一个点是否在 某个区域内，或者判断一个封闭曲线 是否与某个区域相交。
第二步
根据已知条件和数学原理，推导出与结论 相关的中间结论，这是证明的关键环节。
B
C
第三步
通过逻辑推理和数学推导，逐步推导出最终 结论，这一步需要严谨的逻辑推理和精确的 数学表达。
第四步
对推导出的结论进行验证，确保其正确性和 可靠性，这一步也是证明的重要环节。
D
定理证明的结论
波利亚定理的证明结论是：在一定条件下，一个数学问题可 以通过逐步转化和化简，最终转化为一个更简单或更易于解 决的问题，从而找到问题的解。
03
多变量版本的波利亚定理
该定理将单变量版本的波利亚定理扩展到多变量函数，提供了解决多变
量问题的新工具。
定理在其他数学领域的应用
在几何学中的应用
波利亚定理在几何学中有着广泛的应用，例如在计算几何形状的 面积和体积，解决几何问题等方面。
在组合数学中的应用
波利亚定理在组合数学中有着重要的应用，例如在解决组合问题、 计数问题、排列问题等方面。
B
C
波利亚定理的证明方法有多种，其中最常用 的是数学归纳法。
波利亚定理在数学教育中也具有重要意义， 它有助于培养学生的逻辑推理能力和数学思 维能力。
D
对波利亚定理的展望
随着数学的发展，波利亚定理的应用范围将不断扩大， 将有更多的数学问题可以通过波利亚定理得到解决。
波利亚定理的重要性
波利亚定理在几何学中有着广泛的应 用，它可以帮助我们解决一些与图形 和空间有关的问题。
例如，在几何图形中，我们可以通过 应用波利亚定理来判断一个点是否在 某个区域内，或者判断一个封闭曲线 是否与某个区域相交。
第二步
根据已知条件和数学原理，推导出与结论 相关的中间结论，这是证明的关键环节。
B
C
第三步
通过逻辑推理和数学推导，逐步推导出最终 结论，这一步需要严谨的逻辑推理和精确的 数学表达。
第四步
对推导出的结论进行验证，确保其正确性和 可靠性，这一步也是证明的重要环节。
D
定理证明的结论
波利亚定理的证明结论是：在一定条件下，一个数学问题可 以通过逐步转化和化简，最终转化为一个更简单或更易于解 决的问题，从而找到问题的解。
03
多变量版本的波利亚定理
该定理将单变量版本的波利亚定理扩展到多变量函数，提供了解决多变
量问题的新工具。
定理在其他数学领域的应用
在几何学中的应用
波利亚定理在几何学中有着广泛的应用，例如在计算几何形状的 面积和体积，解决几何问题等方面。
在组合数学中的应用
波利亚定理在组合数学中有着重要的应用，例如在解决组合问题、 计数问题、排列问题等方面。
B
C
波利亚定理的证明方法有多种，其中最常用 的是数学归纳法。
波利亚定理在数学教育中也具有重要意义， 它有助于培养学生的逻辑推理能力和数学思 维能力。
D
对波利亚定理的展望
随着数学的发展，波利亚定理的应用范围将不断扩大， 将有更多的数学问题可以通过波利亚定理得到解决。
《组合数学第一讲》课件
概率的乘法公式
如果事件A和B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
贝叶斯公式
用于计算在已知其他相关概率的情况下，某一事件发生的概率。
概率的应用实例
赌博游戏
概率可以用于计算赌博游戏中各种结果的可能性 。
保险业
保险公司使用概率来计算各种风险的赔付概率和 保费。
天气预报
气象学家使用概率来预测天气的发生可能性，例 如降雨的概率。
在排列中，各个元素的位置是独立的，互不影响。
排列的传递性
如果a>b且b>c，则a>c。
排列的公式与定理
排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，记 为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
排列数的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=m!/[(n-m)!*m!]。
03
CATALOGUE
组合数学中的计数问题
计数原理
01 02
计数原理
在数学中，计数原理是一种基本原理，用于计算在特定条件下可能发生 的事件的数量。它通常用于组合数学中的计数问题，以确定不同排列和 组合的数量。
分类计数原理
分类计数原理是计数原理的一种，它涉及到将问题分解为几个独立的部 分，然后分别计算每个部分的可能性，最后将各部分的计数相加。
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《组合数学第一 讲》ppt课件
目录
• 组合数学简介 • 组合数学的基本概念 • 组合数学中的计数问题 • 组合数学中的排列问题 • 组合数学中的组合问题 • 组合数学中的概率问题
01
CATALOGUE
组合数学第四章ppt课件
.
9
例1
例1．以下两表格不可能用相邻位置的与0对换
互相转化。
1
2
3
4
15 14 13 12
5
6
7
8
11 10 9
8
9
10 11 12
7
6
5
4
13 14 15
0
3
2
1
0
证明：两个表格的转化相当于对换的乘积
(1 15)(2 14)(3 13)(4 12)(5 11)(6 10)(7 9)(8)(0)，这是
逆元素：p=
1 a1
2 a2
Hale Waihona Puke n an ，p-1= a11
a2 2
an n
.
5
例1
例1．等边三角形三个顶点记为1,2,3,绕中 心逆时针旋转120度,240度,沿三条中线翻 转180度,三角形仍与自身重合,但顶点换了 位群PP26==置。1312.例这1212 如23些33 ,.P变P{2P3换=4P=112P分, 632P.2别13,,P记P34,=为P411,PP3215=23,P11,622}P构533=成，13 一22 13个 ,
.
17
四．Burnside引理
设G={g1, …, gl}, 把gp分解为不相交的循 环乘积，记c1(gp)为gp中1阶循环的个数， 即gp:N→N的不动点个数, 例如G={e, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)}，c1(e)=4, c1((1 2))=2, c1((3 4))=2, c1((1 2)(3 4))=0。
.
6
第三节．循环、奇循环与偶循环
记(a a …a )= 1 2 m
前言-组合数学概述ppt课件
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27
Ramsey数
推广为一般问题：给定任意正整数a和b， 总存在一个最小整数 r(a,b)，使得r(a,b) 个人中或者有 a 个人互相认识，或者 有 b 个人互相不认识。称 r(a,b) 为 Ramsey数。
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28
Erdös -Szekeres 定理
Ramsey定理是由Erdös和Szekeres于1935年提 出的。它是下述定理的一个推广：
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13
Euler 定理
如果一个图包含一条经过每条边恰好一次的闭途 径，则称这个图为欧拉图。
对任意的非空连通图，若它是欧拉的, 当且仅当它 没有奇度点。
Königsberg桥对应的图
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14
36 军官问题 (欧拉 1779)
The Great Frederic的阅兵难题-------欧拉的困惑
1 1，1 1，2，1 1，3，3，1 1，4，6，4，1 1，5，10，10，5，1 1，6，15，20，15，6，1
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12
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问 题—穿过Königsberg城的七座桥，要求每座桥 通过一次且仅通过一次。
Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。
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21
中国邮递员问题
1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著 名的“中国邮递员问题”。
一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖 的每一条街道，然后返回邮局。那么如何 选择一条尽可能短的路线。
ppt精选版
22
中国邮递员问题
这个问题可以转化为：给定一个具有非负 权的赋权图G，
（1）用添加重复边的方法求G的一个Euler赋
组合数学课件第四章第三节 波利亚(polya)定理
v3
(v2)(v1v3v4) (v2)(v1v4v3) (v3)(v1v2v4) (v3)(v1v4v2)
(v4)(v1v2v3) (v4)(v1v3v2)
22
x v1 u
v4
v2
v
y
v3
2、绕过两对边的中点旋转180度。
(v1 v2)(v3v4) (v1 v3)(v2v4) (v1 v4)(v2v3)
8
4.5 波利亚(Polya)定理
p2 (432)1 p 2 ( c 1 ) c 2 ) ( c 3 c 4 ( c 5 c 6 ) c 7 c 8 ( c 9 c 1 ) c 1 0 c 1 ( ) 1 c 1 2 c ( 1 c 3 1 c 4 1 ) 5 6 4转换成3，3转换成2，2转换成1，1转换成4； 四个方格的颜色必须都相等，共有两种21； p3 (13)(24)
定理4.12(Polya定理) 设 G是n个对象的一个置换 群,用m种颜色涂染这n个对象,则不同染色的方案数为:
l1[mc(a1)mc(a2)...mc(ag)] G
其G 中 {a1,a2,..a.g},c,(ak)为置 ak的 换 循环节
12
4.5 波利亚定理
n个对象可用1,2,...,n编有序号,故 可当G 作 (1,2,...,n)的一个置换群.
lG 1[c1(a1)c1(a2).. .c1(ag)]
实例
在用Burnside引理解决染色方案数问题时，元素 是染色方案数：
例如：对4个方格用两种颜色染色，方案数是16；
如果对6个方格用4种颜色进行染色，方案数是 4096；
4
4.5 例子,一个正方形分成四个格子,如图所示,用 两种颜色对4个格子着色,问能得到多少种不同的图像? 经过旋转能够吻合的,算是同一方案。
组合数学课件
。
例 2 以 g (m, n) 表示由 m 个元素集合 A 到 n 个元素集合 B 的满 射的个数 (m ≥ n) ，求证
k g ( m, n) = ∑ ( 1) n k C n k m k =1 n
。
证明： 是任一取定的正整数， n,由 证明：设 m 是任一取定的正整数，则对任一个正整数 n,由 m
(3)
C
r m +n
=
∑
r
k =0
C nk C
rk m
证明 从 n 名男生，m 名女生，共 m+n 名学生中选出 r 名学生 名男生， 名女生，
r C m + n 种选法，但也可以选男 0，女 r;男 1，女 代表， 选法，但也可以选男 r;男 代表，显然有 0 r 1 r r 0 C n C m + C n C m1 + + C n C m 1;… r,女 依积则、 r-1;…,男 r,女 0，依积则、和则有
n x1n1 x2 2 xtnt 出现的次数为 是项
n1 n2 nk C n C n n1 C n n1 nk1
n ! (n n )! (n n n n = n !(n n )! n !(n n n )! n !0!
m
k g ( m, n) = ∑ ( 1) n k C n k m k =1 n
。
棋盘，每格涂一种颜色。 例 3 以 m( m ≥ 2) 种颜色去涂 1× n 棋盘，每格涂一种颜色。以
h( m, n) 表示使得相邻格子异色且每种颜色都用上的涂色的方
法数， 的计数公式。 法数，求 h( m, n) 的计数公式。
k n
(1) 证法1
k kCn = n × 2 n 1 其中 n ≥ 1 ∑ k =1
组合数学(第二版)波利亚(Pólya)定理
波利亚(Pólya)定理
图 6.2.3 十五子智力游戏
波利亚(Pólya)定理
波利亚(Pólya)定理
定理 6.2.6
当n≥2时,Sn 中偶置换的全体构成一个n!/2阶
的子群,称为交代群,记为An.
证 先证An 为群.
(1)封闭性:设p1,p2∈An,显然p1p2∈An,因为将二者分解的
结果相乘,仍得偶数个对换的乘积.
波利亚(Pólya)定理
6.3.3 等价类
定义 6.3.4 设G 是集S={1,2,…,n}上的置换群,若存在
i,j∈S ,满足p(i)=j, 则称i与j等价,记为i~j,S 中与i等价的元素的
全体记为Ei,称为元素i的“轨迹”或 “踪迹”.Ei 中元素的个
数称为轨迹的长度．
不难看出,元素i与j的这种等价关系满足如下三条性质:
关于普通乘法不存在单位元.而在 Z、Q、R、C中,虽然关于
普通乘法有单位元1,但数0没有逆元.
波利亚(Pólya)定理
波利亚(Pólya)定理
波利亚(Pólya)定理
6.1.2 群的性质
定理 6.1.1 群具有以下性质:
(1)单位元e唯一;
(2)逆元唯一;
(3)满足消去律:即对a,b,c∈G,若ab=ac,则b=c;若ba=ca,则
【例 6.3.3】 将S3 按共轭情况分类的结果见表6.3.1
波利亚(Pólya)定理
【例 6.3.4】 4次置换群
G={(1)(2)(3)(4),(12),(34),(12)(34)},共有3个 共轭类:
其中第2类含2个置换
波利亚(Pólya)定理
定理 6.3.1 在n 元对称群Sn 中,
证 设置换p 为(λ1,λ2,…,λn)型,将p 用轮换表示为
组合数学讲义_Polya定理
置换群
[1,n]上的所有n阶置换在上面的乘法定义下是一个群。
验证是否满足群的性质
Dept of Computer Science and Engineering， Shanghai Jiaotong University
例：圆圈上装有A，B，C三颗珠子，正好构成等 边三角形，（1）绕过圆心垂直于圆平面的轴， 沿反时针方向旋转0，120，240；（2）沿过圆心 及A点的轴线翻转180度。经过1，2变换A，B，C三颗
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
概念
有限群：元素个数有限的群 无限群 有限群G的元素个数叫做群的阶,记做|G| 交换群（Abel群） 任意元素a,b ab=ba
例: G={-1,1}在乘法运算下是 一个群
封闭性:(1)(-1)=-1;(1)(1)=1; (-1)(1)=1,(-1)(-1)=1; 结合性：显然 单位元素：e=1 逆元素 由于(1)(1)=1 (-1)(-1)=1故 （-1）-1 =1，（-1）-1=-1
珠子两两重合，但顶点交换位置。
以1代A，2代B，3代C
⎛1 2 3 ⎞ ⎛1 2 3 ⎞ ⎛1 2 3 ⎞ p1 = ⎜ ⎜1 2 3 ⎟ ⎟ p2 = ⎜ ⎜ 2 3 1⎟ ⎟ p3 = ⎜ ⎜31 2⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 2 3 ⎞ ⎛1 2 3 ⎞ ⎛1 2 3 ⎞ p4 = ⎜ ⎜1 3 2 ⎟ ⎟ p5 = ⎜ ⎜ 3 2 1⎟ ⎟ p6 = ⎜ ⎜ 2 1 3⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 这六个置换是一个群
群的性质
定理：群的单位元是唯一的 证：假设有两个单位元e1,e2
e1e2=e2 e1e2=e1 e 1 = e2
组合数学PPT课件
k 0
k 0
2n
C C 另一方面，从展开式 (1 x)2n
k x k 知道 x n 的系数为 n ，因而得
2n
2n
k 0
n
2
C C ( k) n
n
2n
k 0
2021/6/16
20
n
2
C C 例 4-1（2006 复旦） 求证： ( k) n
n
2n
k 0
法二（构造模型） 某班共有 2n 名学生，现从中选出 n 个学生参加某项活动，显然这样
个数互不相邻的子集
{a1, a2 ,, a6}, ai 1 ai1, i 1,2,3,4,5 记满足（1）式的所有 6 元子集的集合为 A ，并令
f : (a1, a2 ,, a6 ) (b1, b2 ,, b6 ) 其中
（1） （2）
bi ai i 1,i 1,2,3,4,5,6.
一类是 Sn 与 S1 不同色，此时的染色方法有 an 种；另一类是 Sn 与 S1 同色，则将 Sn 与 S1 合并为一个扇形，
并注意到此时 Sn1 与 S1 不同色，故这时的的染色方法有 an1 种，由加法原理得 ≥2）
an + an1 = m(m 1)n1（ n
（3）求 an 。令 bn
= an (m 1)n
C 的选法共有 n 种；另一方面，将这 2n 名学生分成 A 、B 两组，每组 n 2n
个学生，若从 A 组中选出 0 个学生，从 B 组中选出 n 个学生，有
C C C 0 n ( 0)2 种选法；从 A 组中选出 1 个学生，从 B 组中选出 n 1个
C 由于 || B | 就是集合 {1,2,, n 4} 的四元子集的个数，即 4 ，从而 n4
组合数学(第四章二项式系数)PPT课件
四个推论
) n
推论4.1.1：如 nN, x,yR,有 (xy)n
n nkxkynk
k0
) ) n
n kxnkykn
n nkxnkyk
k0
k0
) ) 推论4.1.2：如 n N , x R ,有 ( 1 x ) n nn k x k nn n k x k
k 0
k 0
k0
证明：在推论4.1.2中令x=1，即可得证。
利用组合分析，等式左端相当于从A={an}中任意选择k(0≤k≤n)个 元素的所有可能数目，即对n个元素，每一个都有被选择和不被
选择的可能，总的可能数为2n。
另外，该等式还表明A的所有子集个数为2n。
2021
8
§§44.1.1二二项项式定式理定推论理2
里都取x，而从剩下的n-k个因子(x+y)中选取y作乘积得到，因此
xkyn-k的系数为上述选法的个数C(n,k)。故有
证毕。
) n
(xy)n
n kxkynk
k0
注：可用数学归纳法证明，证明略；
C(n, k)又称二项式系数。
2021
7
§§44..11二二项项式定式理定推论理1
四个推论
) n
推论4.1.1：如 nN, x,yR,有 (xy)n
) n(n1)(n2)...(nk1) n
k
(k 1)(k 2)...1
k
n1 k 1
knnnknk1
knnkk1kn 1
证：某班有n名同学，要选出k位班委会成 员，再选1名作书记，这名书记不可以是班 委会成员，问有多少种不同的方案？ 2021
证明：从n名同学中选出k位组成班
委，在k位班委中选1人做班长，问有
组合数学 第一章课件
2、f(0,0)=0,f(0,1)=0,f(1,0)=0,f(1,1)=1。 ………… 对应着长度为22的字符串，每一位都可以取0或1;
乘法：2^22
自变量数为n个时：2^2n
*8
1.2 一一对应
1、从n个数中找出最大值问题 2、n个人参加单淘汰赛，最后产生冠军的 过程。
9
1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 解：9个人站成一排的方案数是9!， 设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排， 可构成一个方阵 给定一个方阵 a 1a 2a 3 b 1b 2b 3 a 4a 5a 6 b 4b 5b 6 a 7a 8a 9 b 7b 8b 9 也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9
17
1.3：排列与组合
例1.7:由5种颜色的星状物,20种不同的花共25 个元素中任取5个排成如下图案：两边是星状物,中 间是3朵花，问共有多少种这样的图案？ ★ ★
解1：5×20×19×18×4=136800 解2：5种颜色的星状物取两个排列的排列数为 P(5,2)=5!/3!=5*4=20 20种不同的花取3种排列的排列数为： P(20,3)=20!/17!=20*19*18=6840 根据乘法法则，共有图案数为： 6840*20=136800
定义：在排列中，如果我们不横排而是将 各元素排列在一个圆周上，那么我们称这种排 列方式为圆周排列。
规定相对位置不变算一个排列。 在排列中1234,2341,3412,4123为四个不 同的排列，而在圆排列中这些排列是一个.
20
1.4：圆周排列
将从n中取r个作圆排列的排列数记作Q(n,r)。 从n中取r个作排列，与圆排列相比，重复了r倍；
乘法：2^22
自变量数为n个时：2^2n
*8
1.2 一一对应
1、从n个数中找出最大值问题 2、n个人参加单淘汰赛，最后产生冠军的 过程。
9
1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 解：9个人站成一排的方案数是9!， 设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排， 可构成一个方阵 给定一个方阵 a 1a 2a 3 b 1b 2b 3 a 4a 5a 6 b 4b 5b 6 a 7a 8a 9 b 7b 8b 9 也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9
17
1.3：排列与组合
例1.7:由5种颜色的星状物,20种不同的花共25 个元素中任取5个排成如下图案：两边是星状物,中 间是3朵花，问共有多少种这样的图案？ ★ ★
解1：5×20×19×18×4=136800 解2：5种颜色的星状物取两个排列的排列数为 P(5,2)=5!/3!=5*4=20 20种不同的花取3种排列的排列数为： P(20,3)=20!/17!=20*19*18=6840 根据乘法法则，共有图案数为： 6840*20=136800
定义：在排列中，如果我们不横排而是将 各元素排列在一个圆周上，那么我们称这种排 列方式为圆周排列。
规定相对位置不变算一个排列。 在排列中1234,2341,3412,4123为四个不 同的排列，而在圆排列中这些排列是一个.
20
1.4：圆周排列
将从n中取r个作圆排列的排列数记作Q(n,r)。 从n中取r个作排列，与圆排列相比，重复了r倍；
组合数学ch04107页PPT文档
二、具有两种性质的情形 设S为有穷集,
P1和P2分别表示两种性质。 A1表示S中具有性质P1的子集。 A2表示S中具有性质P2的子集。
则S中既不具有性质P1也不具有性质 P2的元素个数为：
|A 1IA 2| |S | |A 1| |A 2| |A 1IA 2|
例 在1-n的全排列中，1不在第一个位置，并且2 不在第二个位置的排列数是多少？
例4.1.2 求在1-1000中不能被5,6,8 整除的数的个数。
解：令P1,P2和P3分别表示一个整数能被5，6 和8整除的性质。 S={x|x是整数 并且 1<x<1000}, Ai={x|x∈S ⋀ x具有性质Pi}, i=1,2,3. 则有下面结果： |A1|=⌊ 1000/5 ⌋=200, |A2|=⌊ 1000/6 ⌋=166, |A3|=⌊ 1000/8 ⌋=125,
一、具有一种性质的情形
例4.1.1 求在1,2,…,500中不能被5整除的数 的个数。
解 先求在1和500之间可以被5整除的个 数有 500 ÷ 5 =100个，则不能被5整除的 数有500－100=400个。
• 例 在1-n的全排列中，1不在第一个位置的 排列数是多少？
• 这两个例子实际上用到如下原理： 如果A是集合S的子集，则在A中的元素个数 等于S的元素个数减去不在A中的元素个数。
可以写成 A S A 或者 A S A
其中A 为A相对于S的补集.
例 从{1,2, …,9}中取7个不同的数字构 成七位数，如果不允许5和6相邻，问 有多少种方法？
解：先求5和6相邻的七位数的个数N1.
N1=2×6!×C(7,5)=30240
不同数字的七位数有P(9,7)个，根据 定理5.1,所求的七位数个数 N= P(9,7)N1=151200
组合数学复习总结(2008)PPT课件
主要算法相关问题 排列生成算法
递归方法 邻位替换 逆序生成算法
.
14
第4章：生成排列和组合（续）
生成组合算法
－字典序 －组合压缩序 －反射Gray序
生成r-组合算法
字典序r-组合生成算法
.
15
第5章 二项式系数
PASCAL公式： knnk1kn 11
牛顿二项式：
(xy) k 0kxkyk
.
24
考试安排
命题范围：主要1－7，9章。 考试方式：闭卷 题型组成
填空题 计算题 证明题
时间：17周，星期 ？？
.
25
1
(1x)k
n 0nnk1xn
.
16
第6章 容斥原理及应用
主要内容
容斥原理：集合交、并的计数 容斥原理的应用 （1）多重集组合计数 （2）特殊问题排列计数：错位排列、禁位排列
等
.
17
6.1 容斥原理
集合S不具有性质P1,P2,…,Pm的物体的个数：
|A1A2 Am|＝|S||Ai|+|Ai Aj| |Ai Aj Ak |+…+ (1)m|A1A2…Am|
n!
Dn满足如下递推关系: (1) Dn=(n1)( Dn2+Dn1), (2) Dn=nDn1+(1)n
(n=3,4,…) (n=2,3,…)
.
20
容斥原理应用于排列计数
禁位排列应用
绝对禁止位置排列 相对禁止位置排列
Qnn!kn 1 1(1)knk1(nk)!
.
21
第7章 递推关系和生成函数
.
18
容斥原理在多重集组合计数应用
求多重集的r-组合数的一般方法
递归方法 邻位替换 逆序生成算法
.
14
第4章：生成排列和组合（续）
生成组合算法
－字典序 －组合压缩序 －反射Gray序
生成r-组合算法
字典序r-组合生成算法
.
15
第5章 二项式系数
PASCAL公式： knnk1kn 11
牛顿二项式：
(xy) k 0kxkyk
.
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考试安排
命题范围：主要1－7，9章。 考试方式：闭卷 题型组成
填空题 计算题 证明题
时间：17周，星期 ？？
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1
(1x)k
n 0nnk1xn
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第6章 容斥原理及应用
主要内容
容斥原理：集合交、并的计数 容斥原理的应用 （1）多重集组合计数 （2）特殊问题排列计数：错位排列、禁位排列
等
.
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6.1 容斥原理
集合S不具有性质P1,P2,…,Pm的物体的个数：
|A1A2 Am|＝|S||Ai|+|Ai Aj| |Ai Aj Ak |+…+ (1)m|A1A2…Am|
n!
Dn满足如下递推关系: (1) Dn=(n1)( Dn2+Dn1), (2) Dn=nDn1+(1)n
(n=3,4,…) (n=2,3,…)
.
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容斥原理应用于排列计数
禁位排列应用
绝对禁止位置排列 相对禁止位置排列
Qnn!kn 1 1(1)knk1(nk)!
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21
第7章 递推关系和生成函数
.
18
容斥原理在多重集组合计数应用
求多重集的r-组合数的一般方法
组合数学课件--第四章第二节 贝恩塞特(Burnside)引理
a2=(12) =(12)(3)(4),
a3=(34)=(1)(2)(34), a4=(12)(34),
c1(a2)=2;
c1(a3)=2; c1(a4)=0;
20
贝恩塞特(Burnside)引理
Burnside引理.设G={a1,a2,...,ag},是 N={1,2,...,n}上的置换群,G在N上可引出不同的等 价类,其不同的等价类的个数为： 意义 1
Ei Zi G , i 1,2,3..., l
ki ai , i 1,2,..., m
p
即置换pi使数k变为等价类中的ai. P={p1,p2,...,pm}是属于群G的置换的集合。
15
4.4.2.重要定理.
置换pi使数k变为等价类中的ai,i=1,2,…,m
P={p1,p2,...,pm}是属于群G的置换的集合。 因为Zkp1、Zkp2、...、Zkpm互不相交 只要证明：G=Zkp1∪Zkp2∪...∪Zkpm G=Zkp1+Zkp2+...+Zkpm =mZk =EkZk
与n!个排列相比较，重复来自。 (a)由循环(a1a2a3...ak)=(a2a3... aka1)=...= (aka1a2...ak-1)引起, 一个k阶循环重复k倍,ck个k阶循环共重复了kck倍 共重复了： 1 2 ...n
c1 c2 cn
9
1、共轭类
()()...()()()...()...( ...)
设G是1,2,...,n的置换群,G是Sn的一个子群,若k 是1到n中的某个整数,G中使k保持不变的置换全体,记 以Zk,叫做G中使k保持不动的置换类,或简称k不动置换 类。 如G={e,(12),(34),(12)(34)} 这里e是单位元,(12)实际上是(12)(3)(4)的缩写
组合数学课件
§2.1 鸽笼原理
例 题
§2.1 鸽笼原理例9
例9、证明：把5个顶点放到 边长为2的正方形中，至少 存在两个顶点，它们之间的 距离小于或等于 。 2
证明：把边长为2的正方形分成四个全等的边长为1的小正方形， 则每个小正方形的对角线长为 2 。 如果把每个小正方形当作一个盒子，由鸽笼原理知，把5个顶点 放到4个盒子中，必有一个盒子中放入了两个顶点。 即必有一个小正方形中有2个顶点；而小正方形的对角线长 为 2 ，也就是说小正方形中任意两点的最大距离为 2 。 这就证明了本题。
§2.1 鸽笼原理
例 题
§2.1 鸽笼原理例7
例 7 、设 a1a2…am是正整数的序列，则至少 存 在 整 数 k 和 l ， 1≤k ＜ l≤m ， 使 得 和 ak+1+ak+2+…+al是m的倍数。 （m≥2）
证明：构造一个序列 s1 a1 , s2 a1 a2 , ..., sm a1 a2 ... am。 则 s1 s2 ... sm 此时有两种可能： （1）若这m个和中有一个sh(1≤h≤m)是m 的倍数，则结论成立。 （2）若这m个和中没有一个 是m 的倍数，则这些和被m除时必有 1,2,…,m-1这样的余数。 由于有m个和，且只有m-1个余数，于是我们可以构造m-1个盒子， 第i个“盒子”是被m除余数为i的数，(i=1,2,…,m-1)。 由鸽笼原理知，用m除各和时，至少有两个和的余数是相同的。 则存在整数k和l (k＜l) ，使得sk和sl 被m除有相同的余数， 即 sk≡sl （ mod m ）。 sl sk ak 1 ak 2 ... al 0(mod m ) 故
§2.1 鸽笼原理
§2.1 鸽笼原理例8
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1 p1 2
2 3
3 1
20
4.2 置换群
定理：任何一个群都同构于一个置换群 证明的方法是建立起有限群G={a1,a2,...,an}的元 素ai和某一置换群的某一置换一一对应,并且同构。 对于G的某一元素ai,构造对应序列: a1ai,a2ai,...,anai
其中所有元素都不相同,如若不然,ahai=amai,两 端同乘以ai的逆可得ah=am
A
B
C
1、封闭性成立 3、单位元存在
2、结合律成立 4、逆元素存在
18
4.2 置换群
n个元素的置换的个数以及n个元素的置换群
1 p a 1 2 a2 3 a3 ... ... n an
有n!个置换
这n!个置换构成一个群,称为n个文字的对称群, 记作Sn; Sn的任一子群称为置换群; 任一n阶有限群都和一个n个文字的置换群同构。
1
第四章
贝恩塞特引理与波利亚定理
一个田字格，用两种颜色染色，共有多 少种方案？旋转能够重叠的算一种方案。
2
第四章
贝恩塞特引理与波利亚定理
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C10
C11
C12
C13
C14
C15
C16
3
4.1 群的概念
4.1.1 群Βιβλιοθήκη 定义:给定一个集合G={a,b,c,...}和集合G上的二 元运算“•”,并满足下列4个条件 (a)封闭性:
首先证明上述对应关系是一一对应：
第二步:证明这些置换构成群 进而需证:若(ai)=pi,(aj)=pj,
则(aiaj)=pipj,
22
4.2 置换群
首先证明上述对应关系是一一对应：
a1对应 a2对应
a1 p1 a a 1 1 a1 p2 a a 1 2 a1 pn a a 1 n a2 a2 a1 a2 a2 a2 a2 a2 an a3 a3 a1 a3 a3 a2 a3 a3 an ... ... ... ... ... ... an an a1 an ... an a 2 an an an
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 群的概念 置换群 循环、奇循环与偶循环 Burnside引理 Polya 定理 举例 母函数形式的Polya定理 图的计数 Polya定理的若干推广 1 1 1 2 3 3 * * *
(b)满足结合律: (c)存在单位元素 (d)存在逆元素 称集合G在运算“•”之下是一个群,有时也称G 是一个群, 运算a•b简记为ab。
4
4.1 群的概念
例4.1 对于任意两个整数,当除以n的余数相等时, 说他们是相等的,或mod n相等.
集合G={0,1,2,...,n-1}对mod n在加法下是一个群. (a)封闭性成立 除以n的余数只能是0,1,2,...,n-1
23
4.2 置换群
第二步:证明 这些置换构 成群
a1 p1 a a 1 1 a1 p2 a a 1 2 a1 pn a a 1 n a1 p a 1 a2 a2 a2 a2 a1 a2 a2 a2 a2 a2 an a3 a3 ... ... a3 a3 a1 a3 a3 a2 a3 a3 an an an ... ... ... ... ... ... an an a1 an ... an a 2 an an an
设m>n
取所有am=an,m≠n,m-n的最小值, 令m-n=r(a), ar(a)=e, aar(a)-1=e,即a-1=ar(a)-1。
9
4.1 群的概念
子群定义4.1 设G是群,H是G的子集,若H在G的 原来定义的运算下也构成群,则称H为群G的子群。 例4.2 若x是群G的一个元素，存在一最小的正整数 m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：C={e,x,x2,…,xm-1} 是G的一个子群 证明： (1) 封闭性成立。 (2)结合律 (3)单位元(4)逆元素
1
1 1 n n 1
1 1 1 3 2 1
8
4.1 群的概念
定理4.5 G是有限群,h=G,设G={a1,a2,...,ah},设 a是G的任意元素,则必存在一个最小正整数r(a),使得 ar(a)=e 而且a-1=ar(a)-1 证明:h是群G的阶G,aG, 构造:a,a2,...,ah,ah+1共h+1项, 其中至少有两项相等,设am=an,m≠n
(b)普通加法满足结合律
(c)0是单位元素 (d)对于任意aG,a+(n-a)=0 modn
n-a是a的逆。
5
4.1 群的概念
例4.2 设R={00,900,1800,2700,}表示几何图形绕 轴心顺时针旋转角度的4种状态,设“•”是R上的二元运 算,a•b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转状态, 并规定旋转3600等于原来的状态，也就是没有旋转。 证明集合A在运算“•”构成一个群。
2 b2
n ... bn ...
a1 p2 bi 1
a2 bi
2
... an ... bi n
2 bi
2
1 p1 p2 bi 1
n ... bi n ...
14
4.2 置换群
(2)结合律
1 a 1 1 b 1 1 a 1 1 a 1 2 a2 2 b2 2 a2 2 a2 ... ... ... ... ... ... ... ... n a1 an b1 n b1 bn c1 n a1 an b1 n a1 an c1 a2 b2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 ... ... ... ... ... ... ... ... an b1 bn c1 bn 1 cn c1 an b1 bn c1 b2 c2 2 c2 b2 c2 ... ... ... ... ... ... 2 c2 bn cn n cn bn cn ... ... n cn
15
an 1 c cn 1
4.2 置换群
(3)单位元（恒等置换）
1 1 2 2 ... ... n n
(4)逆元素（逆映射）
1 a 1 2 a2 ... ... n an
1
a1 1
a2 2 ... ...
***** 10
4.2 置换群
置换的定义 假定n个元素为1,2,3,...,n, 若元素1被1到n中某一元素a1所取代,2被其中某一 元素a2所取代，...,n被an所取代, 并且若ij, aiaj, i,j=1,2,...,n
1 p a 1 2 a2 3 a3 ... ... n an
12
4.2 置换群
置换运算的定义 1 2 3 p1 3 1 2
1 2 3 p1 p2 3 1 2 1 2 3 2 4 3
1 2 p1 p2 3 1 1 2 2 4 3
4 1 2 , p2 4 3 4 4 1 2 3 4 4 3 2 1 , 4 4 , 1
0
0 90 180 270 0 90 180 270
90
90 180 270 0
180
180 270 0 90
270
270 0 90 180
(a)封闭性成立 (b)结合律成立 (c)0是单位元素 (d)逆原素存在
6
4.1 群的概念
有限群和无限群 当群的元素个数是有限时,称为有限群, 当群的元素个数为无限时,称为无限群. 有限群G的元素个数叫做群的阶，记作G
a2 2
... ...
an n
1 a 1
2 a2
... ...
n a1 an 1
an n
1 1
2 2
... ...
n n
16
4.2 置换群
例4.4 圆圈上装有A,B,C三颗珠子,正好构成圆内 接等边三角形ABC, (a)绕过圆心o垂直于圆平面的轴,沿反时针方向旋 转0度,120度,240度; (b)沿过圆心o及A(或B或C)点的轴线翻转180度, 经过(a),(b)变换A,B,C三颗珠子两两重合,但顶点 交换了位置,经过以上变换形成的所有置换构成群。 用1代表A,2代表B,3代表C,
1 p1 1 1 p3 3 2 2 2 1 3 1 p2 2 3 3 2 2 3 3 1
A
B
C
17
4.2 置换群
设A代以1,B代以2,C代以3,可得:
1 p1 1 1 p3 3 1 p5 3 2 2 2 1 2 2 3 3 3 2 3 1 1 p2 2 1 p4 1 1 p6 2 2 3 2 3 2 1 3 1 3 2 3 3
有限集合S到自身的一一对应称为S上的一个置换。
11
4.2 置换群
说明：只要对应一样，就是同一个置换
置换与表示方式或顺序无关
1 p 4 2 3 3 2 4 1 1 4 3 2 2 3 4 1 1 4 3 2 4 1 2 3
19
4.2 置换群
群同构的定义
设(G1,+),(G2,*)是群，如果存在一个一一对应： G1G2，使得a,bG1有 (a+b)=(a)*(b) 则称群G1与G2同构; 例: