组合数学课件--第四章第一节 贝恩塞特引理与波利亚定理

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4.2 置换群
置换运算的定义 1 2 3 p1 3 1 2
1 2 3 p1 p2 3 1 2 1 2 3 2 4 3
1 2 p1 p2 3 1 1 2 2 4 3
4 1 2 , p2 4 3 4 4 1 2 3 4 4 3 2 1 , 4 4 , 1
交换群
若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba时,称G为交换 群,或Abel群。
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4.1 群的概念
4.1.2 群的基本性质 定理4.1 群的单位元是唯一的
定理4.2 ab=acb=c,ba=cab=c
定理4.3 G中每一个元素的逆元素是唯一的 定理4.4
(a1a2 a3 ...an1an ) a a ...a a a
1
1 1 n n 1
1 1 1 3 2 1
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4.1 群的概念
定理4.5 G是有限群,h=G,设G={a1,a2,...,ah},设 a是G的任意元素,则必存在一个最小正整数r(a),使得 ar(a)=e 而且a-1=ar(a)-1 证明:h是群G的阶G,aG, 构造:a,a2,...,ah,ah+1共h+1项, 其中至少有两项相等,设am=an,m≠n
1 4 2 3 4 , 1
3 2
4 , 1
4 3 2 4 2 3 4 , 3 1
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4.2 置换群
n个元素形成的置换集合在以上运算下形成一个
群。 (1)封闭性
1 p1 a 1
2 a2
n ... an ...
1 p2 b 1
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4.2 置换群
群同构的定义
设(G1,+),(G2,*)是群，如果存在一个一一对应： G1G2，使得a,bG1有 (a+b)=(a)*(b) 则称群G1与G2同构; 例:
0,1,2模3相等
1 p0 1 1 p2 3
2 2 2 1
3 3 3 2
(b)普通加法满足结合律
(c)0是单位元素 (d)对于任意aG,a+(n-a)=0 modn
n-a是a的逆。
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4.1 群的概念
例4.2 设R={00,900,1800,2700,}表示几何图形绕 轴心顺时针旋转角度的4种状态,设“•”是R上的二元运 算,a•b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转状态, 并规定旋转3600等于原来的状态，也就是没有旋转。 证明集合A在运算“•”构成一个群。
设m>n
取所有am=an,m≠n,m-n的最小值, 令m-n=r(a), ar(a)=e, aar(a)-1=e,即a-1=ar(a)-1。
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4.1 群的概念
子群定义4.1 设G是群,H是G的子集,若H在G的 原来定义的运算下也构成群,则称H为群G的子群。 例4.2 若x是群G的一个元素，存在一最小的正整数 m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：C={e,x,x2,…,xm-1} 是G的一个子群 证明： (1) 封闭性成立。 (2)结合律 (3)单位元(4)逆元素
a2 2
... ...
an n
1 a 1
2 a2
... ...
n a1 an 1
an n
1 1
2 2
... ...
n n
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4.2 置换群
例4.4 圆圈上装有A,B,C三颗珠子,正好构成圆内 接等边三角形ABC, (a)绕过圆心o垂直于圆平面的轴,沿反时针方向旋 转0度,120度,240度; (b)沿过圆心o及A(或B或C)点的轴线翻转180度, 经过(a),(b)变换A,B,C三颗珠子两两重合,但顶点 交换了位置,经过以上变换形成的所有置换构成群。 用1代表A,2代表B,3代表C,
0
0 90 180 270 0 90 180 270
90
90 180 270 0
180
180 270 0 90
270
270 0 90 180
(a)封闭性成立 (b)结合律成立 (c)0是单位元素 (d)逆原素存在
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4.1 群的概念
有限群和无限群 当群的元素个数是有限时,称为有限群, 当群的元素个数为无限时,称为无限群. 有限群G的元素个数叫做群的阶，记作G
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4.2 置换群
第二步:证明 这些置换构 成群
a1 p1 a a 1 1 a1 p2 a a 1 2 a1 pn a a 1 n a1 p a 1 a2 a2 a2 a2 a1 a2 a2 a2 a2 a2 an a3 a3 ... ... a3 a3 a1 a3 a3 a2 a3 a3 an an an ... ... ... ... ... ... an an a1 an ... an a 2 an an an
(b)满足结合律: (c)存在单位元素 (d)存在逆元素 称集合G在运算“•”之下是一个群,有时也称G 是一个群, 运算a•b简记为ab。
4
4.1 群的概念
例4.1 对于任意两个整数,当除以n的余数相等时, 说他们是相等的,或mod n相等.
集合G={0,1,2,...,n-1}对mod n在加法下是一个群. (a)封闭性成立 除以n的余数只能是0,1,2,...,n-1
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an 1 c cn 1
4.2 置换群
(3)单位元（恒等置换）
1 1 2 2 ... ... n n
(4)逆元素（逆映射）
1 a 1 2 a2 ... ... n an
1
a1 1
a2 2 ... ...
1 p1 1 1 p3 3 2 2 2 1 3 1 p2 2 3 3 2 2 3 3 1
A
B
C
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4.2 置换群
设A代以1,B代以2,C代以3,可得:
1 p1 1 1 p3 3 1 p5 3 2 2 2 1 2 2 3 3 3 2 3 1 1 p2 2 1 p4 1 1 p6 2 2 3 2 3 2 1 3 1 3 2 3 3
1 p1 2
2 3
3 1
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4.2 置换群
定理：任何一个群都同构于一个置换群 证明的方法是建立起有限群G={a1,a2,...,an}的元 素ai和某一置换群的某一置换一一对应,并且同构。 对于G的某一元素ai,构造对应序列: a1ai,a2ai,...,anai
其中所有元素都不相同,如若不然,ahai=amai,两 端同乘以ai的逆可得ah=am
A
B
C
1、封闭性成立 3、单位元存在
2、结合律成立 4、逆元素存在
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4.2 置换群
n个元素的置换的个数以及n个元素的置换群
1 p a 1 2 a2 3 a3 ... ... n an
有n!个置换
这n!个置换构成一个群,称为n个文字的对称群, 记作Sn; Sn的任一子群称为置换群; 任一n阶有限群都和一个n个文字的置换群同构。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 群的概念 置换群 循环、奇循环与偶循环 Burnside引理 Polya 定理 举例 母函数形式的Polya定理 图的计数 Polya定理的若干推广 1 1 1 2 3 3 * * *
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第四章
贝恩塞特引理与波利亚定理
一个田字格，用两种颜色染色，共有多 少种方案？旋转能够重叠的算一种方案。
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第四章
贝恩塞特引理与波利亚定理
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C10
C11
C12
C13
C14
C15
C16
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4.1 群的概念
4.1.1 群的定义:
给定一个集合G={a,b,c,...}和集合G上的二 元运算“•”,并满足下列4个条件 (a)封闭性:
a1 pi a a 1 i a2 a2 ai a3 a3ai ... ... an an ai
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是一个置换
4.2 置换群
令ai和置换
a1 pi a a 1 i a2 a2 ai a3 a3ai ... ... an an ai
对应,即(ai)=pi
2 b2
n ... bn ...
a1 p2 bi 1
a2 bi
2
... an ... bi n
2 bi
2
1 p1 p2 bi 1
n ... bi n ...
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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4.2 置换群
(2)结合律
1 a 1 1 b 1 1 a 1 1 a 1 2 a2 2 b2 2 a2 2 a2 ... ... ... ... ... ... ... ... n a1 an b1 n b1 bn c1 n a1 an b1 n a1 an c1 a2 b2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 ... ... ... ... ... ... ... ... an b1 bn c1 bn 1 cn c1 an b1 bn c1 b2 c2 2 c2 b2 c2 ... ... ... ... ... ... 2 c2 bn cn n cn bn cn ... ... n cn
***** 10
4.2 置换群
置换的定义 假定n个元素为1,2,3,...,n, 若元素1被1到n中某一元素a1所取代,2被其中某一 元素a2所取代，...,n被an所取代, 并且若ij, aiaj, i,j=1,2,...,n
1 p a 1 2 a2 3 a3 ... ... n an
an对应
a2 a3 ... an a2 a3 ... an a1 a1 a a a a a a ... a a a a a a a a ... a a 1 j 2 j 3 j n j n i 1 i 2 i 3 i
因此上述对应关系是一一对应。
单位元存在，结合律成立 需证明封闭性和逆元素。
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4.2 置换群
a1 pi a a 1 i a2 a2 ai a3 a3ai ... ... an an ai
a2 a3 ... an a1 pj a a a2 a j a3 a j ... an a j 1 j a2 ai a3ai ... an ai a1ai pj a a a 1 i j a2 ai a j a3 ai a j ... an ai a j a2 a3 ... an a1 pi p j a a a a2 ai a j a3 ai a j ... an ai a j 1 i j a2 a3 ... an a1 pi p j a a 1 k a2 ak a3 ak ... an ak
有限集合S到自身的一一对应称为S上的一个置换。
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4.2 置换群
说明：只要对应一样，就是同一个置换
置换与表示方式或顺序无关
1 p 4 2 3 3 2 4 1 1 4 3 2 2 3 4 1 1 4 3 2 4 1 2 3
首先证明上述对应关系是一一对应：
第二步:证明这些置换构成群 进而需证:若(ai)=pi,(aj)=pj,
则(aiaj)=pipj,
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4.2 置换群
首先证明上述对应关系是一一对应：
a1对应 a2对应
a1 p1 a a 1 1 a1 p2 a a 1 2 a1 pn a a 1 n a2 a2 a1 a2 a2 a2 a2 a2 an a3 a3 a1 a3 a3 a2 a3 a3 an ... ... ... ... ... ... an an a1 an ... an a 2 an an an