数学物理方程主要内容

2 2 u u 2 平面上的拉普拉斯算子 2 u 2 2 x y
回顾二：偏微分方程的一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程；
(2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和
非线性（包括半线性，拟线性，完全非线性）微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程； (4) 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和 变系数微分方程； (5) 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
u af ( x at ) ag ( x at ) t 2u 2 2 a f ( x at ) a g ( x at ) 2 t u f ( x at ) g ( x at ) x 2u f ( x at ) g ( x at ) 2 x
解为：
u g ( x at) h( x at)
2u 0
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例 验证 u( x, t ) f ( x at ) g ( x at ) 是方程
2 2u u 2 a 0 的解，其中f,g是任意两个二阶 2 2 t x
连续可微函数，a为正常数。 解：
一维非齐次波动方程的cauchy问题： 考虑无界弦的强迫振动问题 utt a 2u xx f ( x, t ), x , t 0, （A） u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
utt a uxx , x , t 0, （B） u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
u |s f (t )
u1
S
(3) 第三类（Robin）边界条件 牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
u dQ h(u u1 )dSdt k dSdt n u1 周围介质的温度, k为热传导系数 h 热交换系数；
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
u hu k hu1 n S
定解问题

泛定方程

演化方程
稳定方程

波动方程
输运方程 拉普拉斯方程
边界条件


线性边界条件


泊松方程
第一类边界条件 第二类 第三类 周期性边界条件 有界性条件
自然边界条件 初始状态
初始条件
初始速度
2、定解问题的适定性
一个定解问题是否能够反映实际，从数学的角度看主要是三个方面的问题：
• 解的存在性: 在给定的定解条件下，定解问题是否有解? • 解的唯一性: 在给定的定解条件下，定解问题的解若存在， 是否唯一? • 解的稳定性：当定解条件及方程中的参数有微小变动时， 解是否有相应的微小变动。如果当定解条件及方程中的参 数有微小变化时，其解仅有微小的变动, 则称该定解问题 的解是稳定的，否则称它的解是不稳定的。因为定解条件 中的一些已知量，通常总是利用实验得到的数据，不可避 免地会有一定的误差，所以人们自然会关心定解条件的微 小扰动是否会导致解的变化很大。
2 2u u 2 a , 移项即证。 2 2 t x
故
特解
2u 1 u 1 2u 2 0 的一些特解： 例：二维Laplace方程 2u 2 2 r r r r
1 中心对称解： u ln ( r 0) r
周期称解：
u e x sin y
物理上，几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同 原因单独产生的效果的累加。利用此原理，可以把一个复杂 的线性问题分解成若干个简单线性问题来求解。。
-设
ui (i 1,2,3, ) 满足方程 Lui fi (i 1,2,3, ), i (i 1,2,3, ) 为常数，而级数
u i ui
1.5.1 叠加原理：线性方程的解具有有限（无限）叠加特性
Lui f i
f
i i
f
u iui
u iui
n
Lu i Lui i fi f
Lu 0
, xn )的偏微分算子，
Lui 0
这里，L为关于空间坐标x ( x1 ,
n 2 比如： L= aij bi c; i为常数。 xi x j i 1 xi i , j 1
琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡 等
u ☆热传导方程： a 2 u f ( x, y, z, t ) t
热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动
☆调和方程： u f 或 u f 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布
2
第一章 偏微分方程定解问题
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
x a
k u x a 或
u k u 0 x T xa
B、热传导方程的边界条件 (设S为给定区域V 的边界)
(1) 第一类（Dirichlet）边界条件
n
dS
当f (t ) 0 (齐次边界条件) u (2) 第二类（Neumann）边界条件 V u 热场 k q (t ) 当q(t ) 0 （齐次，表示绝热） n s
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla ˆ ˆ ˆ i j k x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
rotA A
2 2 2 拉普拉斯算子 3 2 2 2 2 x y z
2
解记为 u1 ( x, t )
（可由达朗贝尔公式给出）
utt a 2u xx f ( x, t ), t 0, x , （C） 解记为 u2 ( x, t ) u ( x,0) 0, ut ( x,0) 0.
由叠加原理可知
u( x, t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ).
• 初始条件：用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。
• 边界条件：用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。
注：初始条件的个数与方程中出现的未知函数u对时间变量t的导数 的阶数有关。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 • 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
1.5.2 齐次化原理（冲量原理）
一维非齐次波动方程的cauchy问题： 考虑无界弦的强迫振动问题 utt a 2u xx f ( x, t ), x , t 0, （A） u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
utt a uxx , x , t 0, （B） u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
i 1
收敛，且能够逐项微分两次，则 程 Lu f ，若级数
u
满足方
f i fi
收敛。
i 1

另，参见课本230页的（积分）叠加原理3。
叠加原理的应用
• 应用： – 齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解； – 非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为 非齐次方程的解； – 两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐 次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同 样组合。 多个非齐次方程的解的线性组合情况类似。
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0,
或： u (a, t ) 0
(2)自由端：弹性杆x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u x
u T x
xa
0 或：u (a, t ) 0 x
多项式称解：
ux y
2
2
什么是定解问题？
• 泛定方程：描述某类物理现象共同规律的数学表达 式— —偏微分方程（比如，波动方程、热传导方程、拉普拉 斯方程等等）。 注--它的解可含任意函数，因而不能用
来确定或反映一个真实的物理过程。
基 本 概 念ห้องสมุดไป่ตู้
• 定解条件：伴随一个完整的物理过程发生的具体条件， 一般包括初始条件与边界条件 。
定解问题的适定性（存在 + 唯一 + 稳定）： 如果一个定解问题存在唯一的稳定解，则此问题是适定的。 否则就称它为不适定的。
由于许多数学物理问题均可以用适定的定解问题 来处理，长期以来，人们认为不适定数学物理问题 的研究是没有意义的，然而在实际问题中经常遇到不 适定的问题。 例如，对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的 温度分布，那么在初始时刻物体应当具有一个什么样的 温度分布才能达到此目的？ 这就是一个不适定的问题它是所谓的数学物理问题 的反问题。 通过研究，人们找到了处理这类不适定问题的 一些办法。现在对不适定问题的研究已成为偏微分 方程的一个重要的研究方向。
作变量代换
x x at
u a 0
解为：u f ( x at)
f
为任意函数
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举例（未知函数为二元函数）
3.
2u 0 xt
解为： u g ( x) h(t )
2 2u u 2 a 0 4. 2 2 t x
变换
x at x at
当u1 =0（第三类齐次边界条件），
S
当u1 0（第三类非齐次边界条件）
定解问题的概念
1、定解问题
(1) 初始问题（Cauchy问题）=泛定方程+初始条件：
只有初始条件，没有边界条件的定解问题；
(2) 边值问题=泛定方程+边界条件： 没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题=泛定方程+初始条件+边界条件： 既有初始条件，也有边界条件的定解问题。