应用随机过程第6章股票价格行为模式分析下

由于一个正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范 围内的概率为95％，因此，置信度为95％时： 3.71＜lnST＜4.274 即：40.85＜ST＜71.81 因此，6个月后A股票价格落在40.85元到71.81元之间的 概率为95％。
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小结—练习题3
3. 请问在上题中， A 股票在 6 个月后股票价格的期望值和 标准差等多少? E(ST)＝50e0.18×0.5 ＝54.71元
› 随机微积分
› Ito积分
› Ito定理
› 随机微分方程
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5 相关随机分析(2)—随机微积分
› 在普通函数的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建 立在极限概念的基础上。 › 在一般随机分析中，以随机序列极限为基础， 研究分析随 机过程的连续、导数和积分等概念和性质。 › 在以“均方收敛”定义的极限的基础上，建立起“随机微 积分与微分方程”理论。 › 这里所称“随机分析”是概率论的一个重要分支,它诞生于 20世纪40 年代,创始人K.Ito获得1987年Wolf数学奖. › 在对获奖工作的评价中写到:“他的随机分析可以看作随机 王国中的牛顿定律.它提供的支配自然现象的偏微分方程和 隐藏着的概率机制之间的直接翻译过程. › 其主要成分是Brown运动函数的微分和积分运算.由此产 11 生的理论是近代纯粹与应用概率论的基石.
•这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程; •它事实上适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生 证券的定价。 详见教材9.2节。
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小结—练习题1
1.设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年 18％，预期收益率以连续复利计为每年20％，其目前的 市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。 解：μ=0.20,σ=0.18，其股价过程为： dS/S＝0.20dt十0.18dB 在随后短时间间隔后的股价变化为: ΔS/S=0.20Δt+0.18(Δt)^ (1/2) ε 由于1 周等于0.0192年，因此 ΔS=100(0.00384+0.0249ε) =0.384+2.49ε 上式表示一周后股价的增加值是均值为 0.384元，标准差 为2.49元的正态分布的随机抽样值。
第6章 股票价格行为模 式分析（下）
布朗运动鞅随机积分及其在金融中的应用
2016-2017学年第2学期 统计与信息学院 张建新
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提要
1 股票价格行为特征、市场假设
2 股票价格行为模式
3 收益率变化模型 4 相关随机过程 Markov过程、Brown运动、鞅、 Ito过程 5 相关随机分析 随机微积分、Ito积分、Ito定理、随机微分 方程 6 随机分析的其他应用
› dS/S为股票价格收益率，上式表明 可以用漂移率的期望值为μ，方差率 的期望值为σ2的普通布朗运动表示。
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3 收益率变化模型（2）
› 股票收益率 dS/S=μdt+σdB › 可以用漂移率的期望值为μ，方差率的期望值为σ2的普通布 朗运动表示股票收益率 。 • 股票价格收益率的分布： • 记t到T时间内连续复利年利率为 则可以得： ST 1 1 ln (ln ST ln St ) T t St T t
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2 股票价格行为模式（2）
› 无红利支付股票价格遵循的随机过程
dS=μSdt+σSdB
› 其中 S=S(t)代表 t 时刻股票价格 › B=B(t) 是标准Brown运动，也称Wiener过程。 › 表达式“dS=μSdt+σSdB”表示股价S(t)可以由瞬态期望 漂移率(instantaneous expected drift rate)为μS和瞬态 方差率为σ2S2的Ito过程（几何布朗运动）表达。
dX t (t , X t )dt (t , X t )dBt
• Ito过程的积分形式：
• 当和
X (t ) X (0) ( X (s), s)ds ( X (s), s)dB(s)
0 0
t
t
均为常数时，称上述过程为广义Weiner过程。
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5 相关随机分析(1)
5 相关随机分析(3) —Ito积分
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5 相关随机分析(4) —Ito积分
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5 相关随机分析(5) —Ito积分
› 如何理解Ito积分？
– Ito积分的均值为0，方差为：
E[( X (t )dB(t )) ] E[ X 2 (t )dt ]
2 0 0
T
T
› 如何理解Ito定理（公式）？
› 应用Ito定理，可以对上述股票价格过程进行变形，得到显 示表达： 1
S (t ) exp{( 2 )t B(t )} 2
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2 股票价格行为模式（3）
› 无红利支付股票价格遵循的随机过程
dS=μSdt+σSdB
› 股价S(t)可以由瞬态期望漂移率(instantaneous expected drift rate)为μS和瞬态方差率为σ2S2的Ito过程 （几何布朗运动）表达。
– Ito公式研究Ito过程X(t)的复合函数Y(t)=f(t,X(t))
的泰勒展开式关于dt的一阶近似。
g (t , X t ) g (t , X t ) 1 2 g (t , X t ) 2 dYt dg (t , X t ) dt dX t ( dX ) t t X t 2 X t 2
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6 随机分析的其他应用
2 Black-Scholes期权定价 – 期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是 标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的 影响。 – 标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期 权价格变化也是一个相应的随机过程。 – 金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描 述。而数学家Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito 过程推导出衍生证券价格所遵循的随机过程。 – 在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随 机过程中， Black-Scholes发现，由于它们都只受到 同一种不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数 量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消 除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率。 从而得到一个重要的方程： Black-Scholes微分方程。 – 求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
› (dXt)2=? (dBt)2=? (dBt)(dt)=?
dB(t ) dB(t ) dt
› 关于上式的直观理解：
dt dB (t ) 0
– 布朗运动的二次变差公式得到
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5 相关随机分析(7) —Ito定理
• Ito在建立了随机版本的积分之后，又给出了随机版本的 牛顿定理。 • Ito定理：设X为Ito过程，g为二次可导的二元函数，则
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5 相关随机分析(8) —Ito定理
• 利用Ito定理推导股票价格公式
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6 随机分析的其他应用
› 1 红利情形下远期合约进行定价
• 远期合约与股票价格的关系为：
F Se
•
r (T t )
根据Ito定理，F满足的方程为
dF (u r ) Fdt FdWt
•
可以看出F的变化过程仍为一个几何布朗运动， 但是其变化期望增长率为u-r, 但不是u。
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小结—练习题2
2.设A股票价格的当前值为50元，预期收益为每年18%， 波动为每年的20%，该股票价格遵循几何布朗运动， 且该股票在6个月内不付红利，请问该股票在6个月后 的价格ST 的ห้องสมุดไป่ตู้率分布. 解：6个月后ST的概率分布为：
0.04 ln ST ~ N [ln 50 (0.18 ) 0.5,0.2 0.5] 2 ln ST ~ N (3.992,0.141)

由股票价格的对数正态分布性质知： 1 2 ~ N ((u ), )
2 T t
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4 相关随机过程—Ito过程
› 布朗运动的路径性质决定了我们不能按照，Riemann的思 想定义积分。 › 40年代，日本科学家Ito用新的思路引入了随机积分（对 布朗运动的积分），其基本思想就是，取左端点，求和， 取极限。 • 如下过程称为Ito过程
var(ST)＝2500e2×0.18×0.5×(e0.04×0.5一1)=60.46
半年后，A股票价格的期望值为54.71元，标准差为 √60.46或7.78。
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作业
› P170 习题8 3,4
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1 2 S (t ) exp{( )t B(t )} 2
• 股票价格服从对数正态分布，即取对数之后为正态分布
1 2 ln ST ~ N [ln St (u )(T t ), T t ] 2
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3 收益率变化模型（1）
› 无红利支付股票收益率遵循的随机 过程 › dS/S=μdt+σdB
– 为什么不写出其他的二次项？
– 因为他们都是dt的高阶无穷小量，可以略去。
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，
5 相关随机分析(6) —Ito积分
g (t , X t ) g (t , X t ) 1 2 g (t , X t ) 2 dYt dg (t , X t ) dt dX t ( dX ) t t X t 2 X t 2
g (t , X t ) g (t , X t ) 1 2 g (t , X t ) 2 dg (t , X t ) dt dX t dt 2 t X 2 X
• 对于股票价格S(t): 使用Ito定理便得到：
dS uSdt SdWt
1 2 S (t ) exp{(u )t B(t )} 2
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6 随机分析的其他应用