梁的弯曲变形1

机械传动机构中的齿轮轴，当变 形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的 啮合处将产生较大的挠度和转角，这 不仅会影响两个齿轮之间的啮合，以 致不能正常工作；而且还会加大齿轮 磨损，同时将在转动的过程中产生很 大的噪声；此外，当轴的变形很大使 轴在支承处也将产生较大的转角，从 而使轴和轴承的磨损大大增加，降低 轴和轴承的使用寿命。
34
小挠度微分方程及其积 分
积分法小结
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
35
第8章 梁的弯曲变形
积分法 叠加法
36
工程中的叠加法
若材料的应力一应变关系满足胡克定律 ，又在弹性范围内加载，则位移与力之间均存在 线性关系。因此，不同的力在同一处引起的同一 种位移可以相互叠加。
46
工程中的叠加法
叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形
对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力 与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变 为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布 载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布 载荷，最后应用叠加法。
47
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形
2
第8章 梁的弯曲变形
本章将在分析变形与位移关系的基础上， 建立确定梁位移的小挠度微分方程及其积分的概 念，同时还介绍工程上应用的叠加法以及梁的刚 度设计准则。
3
第8章 梁的弯曲变形
基本概念 小挠度微分方程及其积分 工程中的叠加法 简单的静不定梁 梁的刚度设计 结论与讨论
4
第8章 梁的弯曲变形
x
－
3 4
FP x＋FP
x－ l 4
l 4
x
l
积分后，得
EI1
3 8
FP x 2
C1
EBiblioteka Baiduw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
2
C2
EIw2＝－81
FP
x 3＋1 6
FP
x－ l 4
3
C2
x
D2
其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和 AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
2
C2
EIw2＝－81
FP
x 3＋1 6
FP
x－ l 4
3
C2
x
D2
x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0
x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2
D1＝D2 =0
C1＝C2
31
小挠度微分方程及其积
分
积分常数的确定约束条件与连续条件-例题
1
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
2
C2
EIw2＝－81
FP
x 3＋1 6
FP
x－ l 4
3
C2
x
D2
解： 4． 利用约束条件和连续 条件确定积分常数
在下列关系： dw tan dx
在小变形条件下，挠曲线较为平
坦，即很小，因而上式中tan。
于是有
dw
dx w＝ w（x），称为挠度方程。
12
基本概念
梁的位移与约束密切相关
13
基本概念
梁的位移与约束密切相关
三种承受弯曲的梁
AB 段 各 横 截 面 都 受 有 相 同 的 弯 矩 （ M ＝ Fa ） 作
挠度方程与转角方程：
dw M x
dx
l
EI
dx C
w
l
l
M x
EI
dx
dx
Cx
D
其中C、D为积分常数。
24
小挠度微分方程及其积分
积分常数的确定 约束条件与连续条件
25
小挠度微分方程及其积
分
积分常数的确定约束条件与连续条件
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。 约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：
17
第8章 梁的弯曲变形
小挠度微分方程及其积分
18
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程 积分常数的确定 约束条件与连续条件
19
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程
20
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程
力学中的曲率公式
1M
EI
高等数学中的曲率公式
d2w
1
dx 2
3
1
dw
43
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形－例题
2.由挠度表查得3种情形下C截 面的挠度；B截面的转角。
wC1
5 384
ql 4 EI
,
wC 2
1 48
ql 4 EI
,
wC 3
1 16
ql 4 EI
B1
1 24
ql 3 EI
,
B2
1 16
ql 3 EI
,
B3
1 3
ql 3 EI
,
44
38
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形
39
工程中的叠加法
叠加法应用于 多个载荷作用的情形
40
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形
当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其 分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这 些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便 得到几种载荷同时作用的结果。
第8章 梁的弯曲变形
1
第8章 梁的弯曲变形
在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲 成平面曲线，梁的横截面变形后依然保持平面。 由于发生弯曲变形，梁横截面的位置发生改变， 这种改变称为位移。
位移是各部分变形累加的结果。位移与变 形有着密切联系，但又有严格区别。杆件横截面 的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约 束有关。
梁的挠度与转角
8
基本概念
梁的挠度与转角
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种 位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度，用w表示；
变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转
过的角度，称为转角用表示；
9
基本概念
梁的挠度与转角
横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形－例题
3. 应用叠加法，将简单载荷作用 时的结果分别叠加
将上述结果按代数值相加，
分别得到梁C截面的挠度和支座B
处的转角:
wC
3
wCi
i 1
11 ql 4 384 EI
,
B
3
Bi
i 1
11 48
ql 3 EI
45
工程中的叠加法
叠加法应用于 间断性分布载荷作用的情形
16
基本概念
梁的位移分析的工程意义
工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件 的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量 产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都 是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，板簧既可以 承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形， 吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，受到抗振和抗冲击的 效果。
2． 分段建立梁的弯矩方程
因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两
段建立弯矩方程。
28
小挠度微分方程及其积
分
积分常数的确定约束条件与连续条件-例题
解： 2． 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为
AB段 BC段
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
M2
x
3 4
FP x－FP
37
工程中的叠加法
在很多的工程计算手册中，已将各种支承 条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和 转角表达式一一列出，简称为挠度表。
基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线 和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以 及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用-叠 加法-由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下 梁的位移。
基本概念
梁弯曲后的挠度曲线 梁的挠度与转角 梁的位移与约束密切相关 梁的位移分析的工程意义
5
基本概念
梁弯曲后的挠度曲线
6
基本概念
梁弯曲后的挠度曲线
梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加 载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续 光滑曲线称为弹性曲线，或挠度曲线。
7
基本概念
2
4
7
l2
128
wx FP 1 x3 7 l 2 x
EI 8 128
wx
FP
1
x3
1 x
l
3
7
l 2 x
EI 8 6 4 128
据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分
别为
wB
3 256
FPl 3 EI
A
7 128
FPl 2 EI
B
－ 5 128
FPl 2 EI
x－ l 4
l 4
x
l
29
小挠度微分方程及其积
分
积分常数的确定约束条件与连续条件-例题
1
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
M2
x
3 4
FP x－FP
x－ l 4
l 4
x
l
解： 3． 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积
分
EI
d 2 w1 dx2
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
2
2
dx
21
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程
小挠度情形下
dw
2
<<
dx 1
d2w
1
dx2
3
1
dw dx
2
2
d2w M dx2 EI
弹性曲线的小挠度微分方程，式中
的正负号与w坐标的取向有关。
22
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程
d2w 0,M 0
dx 2
d2w 0,M 0 dx 2
d2w M dx 2 EI
d2w M dx2 EI
23
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程
采用向下的w坐标系，有
d2w M dx2 EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程
M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的
在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠
度等于零：w=0;
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：
w=0，θ＝0。
连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线 将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中 力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相
等：w1= w2，θ1＝θ2等等。
26
小挠度微分方程及其积
41
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形
例题8-2
已知：简支梁受力
如图示，q、l、EI
均为已知。
求：C截面的挠度 wC ；B截面的转角 B
42
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形－例题
解：1.将梁上的载荷变 为3种简单的情形。
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
用。
三种情形下，AB段梁 的曲率（1／）处处对应相
等，因而挠度曲线具有相同 的形状。但是，在三种情形 下，由于约束的不同，梁的 位移则不完全相同。
对于没有约束的梁，因 为其在空间的位置不确定， 故无从确定其位移。
14
基本概念
梁的位移分析的工程意义
15
基本概念
梁的位移分析的工程意义
位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。 工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。 弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生 刚度失效。
7 128
FPl 2
33
小挠度微分方程及其积
分
积分常数的确定约束条件与连续条件-例题
1
解： 5． 确定转角方程和挠度 方程以及指定横截面的挠度与转 角
将所得的积分常数代入后, 得到梁的转角和挠度方程为：
AB段 BC段
x
FP EI
3 8
x2
7 l2 128
x
FP EI
3
8
x2
1 2
x
l
或水平位移，用u表示。 在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与
挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。
10
基本概念
梁弯曲后的挠度曲线
根据上一章所得到的结果， 弹性范围内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横截面上的 弯矩、弯曲刚度之间存在下列 关系：
1＝M
EI
11
基本概念
梁的挠度与转角
在Oxw坐标系中，挠度与转角存
在支座A、C两处挠度应为零，即 x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0
因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段
梁交界处的挠度和转角必须分别相等:
x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2
32
小挠度微分方程及其积
分
积分常数的确定约束条件与连续条件-例题
1
解： 4． 利用约束条件和连续 条件确定积分常数
分
积分常数的确定约束条件与连续条件
例题8-1
已知：简支梁受力如图示。
FP、EI、l均为已知。 求：加力点B的挠度和支承 A、C处的转角。
27
小挠度微分方程及其积
分
积分常数的确定约束条件与连续条件-例题
解：1． 确定梁的约 束力 首先，应用静力学方法
求得梁在支承A、C二处的约束力
分别如图中所示。
EI
d 2 w2 dx2
＝－M 2
x
－
3 4
FP
x＋FP
x－
l 4
l 4
x
l
30
小挠度微分方程及其积
分
积分常数的确定约束条件与连续条件-例题
1
解： 3． 将弯矩表达式代入小 挠度微分方程并分别积分
EI
d 2 w1 dx2
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
EI
d 2 w2 dx2
＝－M 2