5年高考圆锥曲线难题集粹
圆锥曲线难的题目总汇编
圆锥曲线难题汇编我经过反思与整理，写成此文。
一、圆锥曲线的光学性质1．1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。
二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l 与曲线c 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线c 在点M 处的法线。
此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明预备定理 1.若点00(,)P x y 是椭圆22221x y a b+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：00221x x y ya b+=。
高考重难点突破圆锥曲线50道题(3)含详细解析
高考重难点突破圆锥曲线50道题（3）含详细解析1．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点P（2，1），交抛物线于A，B两点．（1）若P为AB中点，求l的方程．（2）求|AF|+|BF|的最小值．．2．已知抛物线C：y2＝2x，过点M（2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点P是直线上的动点，且PO⊥AB于点Q．（Ⅰ）若直线OP的倾斜角为，求|AB|；（Ⅱ）求的最小值及取得最小值时直线l的方程．3．设F为抛物线C：y2＝2px的焦点，A是C上一点，F A的延长线交y轴于点B，A为FB 的中点，且|FB|＝3．（1）求抛物线C的方程；（2）过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交干M、N两点，直线l2与C交于D，E两点，求四边形MDNE面积的最小值．4．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，A，B为椭圆C上位于x轴同侧的两点，△AF1F2的周长为6，∠F1AF2，的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若∠AF1F2+∠BF2F1＝π，求四边形AF1F2B面积的取值范围．5．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的短轴长等于2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，过右焦点F的直线与椭圆C交于A、B两点（A、B不在x轴上），若，求四边形AOBE面积S的最大值．6．设椭圆E：＞的右焦点为F，上顶点为M；CD是过点F且垂直于x 轴的椭圆E的弦，|CD|＝3．（1）求椭圆E的方程；（2）圆F的半径为1，直线1过点M与圆F交于A、B两点，O为坐标原点，若|OA|•|OB|＝1，求直线l的方程．7．已知抛物线C：y2＝4x上有一点P位于x轴的上方，且|PF|＝2．（Ⅰ）求P点的坐标；（Ⅱ）若直线P A，PB的倾斜角互补，分别交曲线C于A，B两点（点A，B，P不重合），试判断直线AB的倾斜角是否为定值，若是，求出此值，若不是请说明理由．8．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，△AF2B的周长为8，（1）求该椭圆C的方程．（2）设P为椭圆C的右顶点，Q为椭圆C与y轴正半轴的交点，若直线l：y x+m，（﹣1＜m＜1）与圆C交于M，N两点，求P、M、Q、N四点组成的四边形面积S的取值范围．9．已知椭圆C：1（a＞b＞0）过点A（2，0），双曲线1的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点O作两条射线OM，ON分别交椭圆C于M，N两点，当OM，ON斜率分别为k1，k2且△OMN的面积为1时，试问k1•k2是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．10．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线距离为2．（1）若点E（1，1），且点P在抛物线C上，求|PE|+|PF|的最小值；（2）若过点N（0，b）的直线与圆M：x2+（y﹣2）2＝4相切，且与抛物线C有两个不同交点AB，求△AOB的面积．11．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2过点F2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3，）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．12．已知椭圆C：y2＝1，斜率为l的直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1＞x2．（Ⅰ）若A，B两点不关于原点对称，点D为线段AB的中点，求直线OD的斜率；（Ⅱ）若存在点E（3，y0），使得∠EBA＝∠AEB＝45°，求直线AB的方程．13．已知O为坐标原点，点F1，F2为椭圆M：1（a＞b＞0）左右焦点，G为椭圆M上的一个动点，△GF1F2的最大面积为，椭圆M的离心率为．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过抛物线N：y一点P与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A、B两点，设AB的中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值．14．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（1，﹣2），且焦点为F，直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）O为坐标原点．若，证明直线l必过一定点，并求出该定点．15．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．（1）求点A横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN中点．16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点B（m，2）在抛物线C上，A（0，），且|BF|＝2|AF|．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点P（1，2）作直线PM，PN分别交抛物线C于M，N两点，若直线PM，PN 的倾斜角互补，求直线MN的斜率．17．已知点P（1，2）到抛物线C：y2＝2px（p＞0）准线的距离为2．（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，求直线P A与PB的斜率之积．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P（4，2），点M在x轴上，过点M的直线交椭圆C交于A，B两点．①若直线AB的斜率为，且AB，求点M的坐标；②设直线P A，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在定点M，使得k1+k2＝2k3恒成立？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．19．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．20．已知椭圆C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过焦点F2的直线l交椭圆C于A、B两点，当直线l垂直于x轴时，|AB|．（1）求椭圆C的标准方程：（2）已知椭圆上顶点为P，若直线l斜率为k，求证：以AB为直径的圆过点P．21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0的焦点为F，点M（2，m）（m＞0）在抛物线上，且|MF|＝2．（1）求抛物线C的方程；（2）若点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，过点F作切线l0的垂线，垂足为Q，则点Q是否在定直线上，若是，求定直线的方程；若不是，说明理由．22．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的短轴长等于2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）若过点（﹣3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O为坐标原点，求•的取值范围．23．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，且椭圆过点（，1）（1）求椭圆C的标准方程（2）设直线l与C交于M，N两点，点D在C上，O是坐标原点，若，判定四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．24．已知椭圆C：，（a＞b＞0）过点（1，）且离心率为．（Ⅰ）求椭圈C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的右顶点为P，A，B是椭圆上异于点P的两点，直线P A，PB的斜率分别为k1k2，若k1+k2＝1，试判断直线AB是否经过一个定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，则说明理由．25．已知椭圆：＞＞的离心率为，，为焦点是，的抛物线上一点，H为直线y＝﹣a上任一点，A，B分别为椭圆C的上，下顶点，且A，B，H三点的连线可以构成三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）直线HA，HB与椭圆C的另一交点分别交于D，E，求证：直线DE过定点．26．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的方程是1（a，b＞0）．（1）当a＝1，b＝2时，求曲线C围成的区域的面积；（2）若直线l：x+y＝1与曲线C交于x轴上方的两点M，N，且OM⊥ON，求点（，）到直线l距离的最小值．27．在直角坐标系中，已知椭圆E经过点M（2，），且其左右焦点的坐标分别是（﹣3，0），（3，0）．（1）求椭圆E的离心率及标准方程；（2）设P（﹣3，t）为动点，其中t∈（，），直线l经过点P且与椭圆E相交于A，B两点，若P为AB的中点，是否存在定点N，使|NA|＝|NB|恒成立？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由28．已知椭圆C：y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上在第二象限内的一点，且直线PF2的斜率为．（1）求P点的坐标；（2）过点Q（﹣2，0）作一条斜率为正数的直线l与椭圆C从左向右依次交于A，B两点，是否存在实数λ使得∠AF1B＝λ∠AF1P？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．29．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）30．已知椭圆：＞＞经过点，，左焦点，，直线l：y ＝2x+m与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△OAB面积为1，求直线l的方程．31．已知F1、F2为椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点（，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，若0，求直线l的方程．32．设椭圆：＞＞的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆Γ截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）如图，A、B分别为椭圆Γ的左、右顶点，过点F的直线l与椭圆Γ交于C、D两点．若，求直线l的方程．33．已知椭圆C：＞＞经过点（，1），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（2，0）的直线l交椭圆于A，B两点，F为椭圆C的左焦点，若，求直线l的方程．34．已知F1，F2分别为椭圆：＞＞的左右焦点，上顶点为M，且△F1MF2的周长为，且长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（0，3），若直线y＝2x﹣2与椭圆C交于A，B两点，求．35．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆C短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程．（2）P为椭圆C上一点，且∠F1PF2，求△PF1F2的面积．36．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合．（1）求抛物线C的方程及焦点到准线的距离；（2）若直线y x+1与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求y1y2的值．37．已知离心率为的椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点为F1，过F1作长轴的垂线交椭圆于M，N两点，且|MN|＝2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB 长度的最小值．38．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，2）到焦点F的距离|MF|，倾斜角为α的直线经过焦点F，且与抛物线交于两点A、B．（1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）若α为锐角，作线段AB的中垂线m交x轴于点P．证明：|FP|﹣|FP|•cos2α为定值，并求出该定值．39．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y2＝2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F 的距离为．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）不过圆点的动直线l交抛物线于A、B两点，且满足OA⊥OB．（i）求证直线l过定点：（ii）设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程．40．设抛物线C：y2＝2px（P＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且|AF|+|BF|＝6．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l（斜率存在）经过焦点F，求直线l的方程．41．己知点M为抛物线C：y2＝4x上异于原点O的任意一点，F为抛物线的焦点，连接MF 并延长交抛物线C于点N，点N关于x轴的对称点为A．（Ⅰ）证明：直线MA恒过定点：（Ⅱ）如果|FM|＝λ|OM|，求实数λ的取值范围．42．在直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x与圆C：（x﹣a）2+y2＝a2交于O，A，B三点，且O、A、B将圆C三等分（1）求a的值；（2）设直线l与抛物线交于M，N两点，点A位于第一象限，若直线AM，AN的斜率之和为，证明当线MN过定点，并求出定点坐标．43．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点．（1）若|AF|＝2|BF|，求直线l的斜率；（2）设线段AB的垂直平分线交x轴于点D，求证：|AB|＝2|DF|．44．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2﹣mx+2m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）求证：过A，B，C三点的圆过定点，并求出该定点的坐标．45．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点M（﹣1，0）．（1）求抛物线C的方程；（2）设过点（2，0）的直线l1，l2分别与抛物线C交于点D，E和点G，H，且l1⊥l2，求四边形DGEH面积的最小值．46．在平面直角坐标系中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到双曲线x21的渐近线的距离为．（1）求该抛物线的方程；（2）设抛物线准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为P，AB的中垂线交x轴于N，求点N横坐标的取值范围．47．已知点P（6，﹣2）是抛物线C：y2＝mx上一点，直线y＝k（x﹣2）（k≠0）与抛物线C交于A，B两点．（1）求P到抛物线C焦点的距离；（2）若M的坐标为（0，1），且MA⊥MB，求k的值．48．已知点O为坐标原点椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，点P，Q分别是椭圆C的左顶点、上顶点，△POQ的边PQ上的中线长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l交椭圆于A、B两点直线P A、PB分别交直线x＝2a于M、N两点，求．49．已知椭圆1（a＞b＞0），若在（2，0），（，），（，）（，）四个点中有3个在M上．（1）求椭圆M的方程；（2）若点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，且C（﹣4，0），求•的取值范围．50．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点M（﹣1，0）．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线：与抛物线C交于R，S两点，点N为曲线E：上的动点，求△NRS面积的最小值．高考重难点突破圆锥曲线50道题（3）含详细解析参考答案与试题解析1．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点P（2，1），交抛物线于A，B两点．（1）若P为AB中点，求l的方程．（2）求|AF|+|BF|的最小值．．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2＝4，y1+y2＝2又，两式相减可得：（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2）．∴2（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2）．，即直线l的斜率为2，∴直线l的方程为y＝2（x﹣2）+1．即y＝2x﹣3．（2）直线l的方程为x＝m（y﹣1）+2由⇒y2﹣4my+4m﹣8＝0．y1+y2＝4m，∵|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1＝x1+x2+2＝m（y1﹣1）+2+m（y2﹣1）+2+2＝m（y1+y2）﹣2m+6＝4m2﹣2m+6当m时，|AF|+|BF|取最小值．最小值为．2．已知抛物线C：y2＝2x，过点M（2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点P是直线上的动点，且PO⊥AB于点Q．（Ⅰ）若直线OP的倾斜角为，求|AB|；（Ⅱ）求的最小值及取得最小值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意可设直线OP的方程为：y＝x﹣2．联立，可得x2﹣6x+4＝0，所以AB2．（Ⅱ）设直线l的方程为x＝my+2．由得y2﹣2my﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．∴AB．又PQ：y＝﹣mx，故P（，）∴点P到直线l的距离d＝|PQ|．∴3令m2+4＝t，f（t）．函数f（t）在[4，+∞）单调递增，∴f（t）min＝f（4），此时m＝0∴3，∴的最小值为，此时直线l的方程为x＝2．3．设F为抛物线C：y2＝2px的焦点，A是C上一点，F A的延长线交y轴于点B，A为FB 的中点，且|FB|＝3．（1）求抛物线C的方程；（2）过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交干M、N两点，直线l2与C交于D，E两点，求四边形MDNE面积的最小值．【解答】解：（1）如图，∵A为FB的中点，∴A到y轴的距离为，∴|AF|，解得p＝2．∴抛物线C的方程为y2＝4x；（2）由已知直线l1的斜率存在且不为0，设其方程为y＝k（x﹣1）．由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．∵△＞0，设M（x1，y1）、N（x2，y2）。
圆锥曲线大题专题及答案
解析几何大题专题第一类题型 弦长面积问题1．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．2. （本小题14分） 已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.3．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>离心率等于12，(2,3)P、(2,3)Q-是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值.4．（本小题满分14分）已知椭圆C：2231(0)mx my m+=>的长轴长为O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若||||BA BP=，求四边形OPAB面积的最小值.5．（本小题共14分）已知椭圆C：2214xy+=，F为右焦点，圆O：221x y+=，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧.（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率;（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值.6.（本小题13分）已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（II）若OA OB，求△AOB面积的最小值.第二类题型 圆过定点问题（ 包括点在圆上 点在圆外 点在圆内）1．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。
圆锥曲线难题集锦(共75题)
圆锥曲线难题集锦徐荣先汇编1. 如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．}2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．）3. 已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．；4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且．\（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．—5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．￥}6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．：7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；—（2）当的面积等于时，求的值．【8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．【·9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．}?10. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．【11. 已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值若是，求出该值；若不是，说明理由．&：12. 已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．，13. 设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，．:?14. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．）15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．？￥16. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．,17. 已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．#]18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，．求直线的斜率．19. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．{；20. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．:21. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；·（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．·22. 已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且．（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．|—24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．/25. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．~（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．~26. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．【27. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．}\28. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．；29. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．…（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．！30. 如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．~31. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．'32. 已知点为椭圆：的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若的取值范围．^33. 已知点100(,)P x y 为双曲线22221(8x y b b b -=为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于点2P ． （1）求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程；（2）设轨迹E 与x 轴交于B ，D 两点，在E 上任取一点Q 111()(0)x y y ≠，，直线QB ，QD 分别交于y 轴于M ，N 两点．求证：以MN【@34. 如图，已知圆G ：222(2)x y r -+=是椭圆2216x y +=1的内接ABC △的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点． （1）求圆G 的半径r ；（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．—x35. 设点00(,)P x y 在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，定点10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方 程；（2）求证：A M B 、、三点共线．"36. 作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于,A B 两点（如图所示），且P 在直线l 的左上方.（1）证明：PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60oAPB ∠=，求PAB ∆的面积.《AxyOPB37. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>3x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与1C 相交与,D E .①证明：MD ME ⊥；￥②记MAB ∆,MDE ∆的面积分别是1S ，2S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =请说明理由.】38. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （1）证明：点F 在直线BD 上； （2）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .！39. (,)()o o o P x y x a ≠±是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上一点，,M N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线,PM PN 的斜率之积为15. （1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值.…40.已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率e =（1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积．41.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． ~（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i）若12AF BF -=1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．;42.如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．(43.设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.…44../45. 已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=2其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.%46.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由《47. 平面内与两定点12(,0),(,0)(0)->A a A a a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加 上A 1、A 2两点所在所面的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线.(Ⅰ)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C 1：对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，对应的曲线为C2， ；设F 1、F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面 积2S m a =，若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.:48.已知一条曲线C 在y 轴右边，每一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (Ⅰ)求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0FA FB •<若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
(完整)历年高考数学圆锥曲线试题汇总,推荐文档
2 3 5 35 23 2 高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题x 2y 2 1. 设双曲线- = 1（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x 2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( a 2 b 2C )（A ） （B ）2（C ） （D ）2. 已知椭圆C : x2+ 2 = 1 的右焦点为 F ,右准线为l ，点 A ∈ l ，线段 AF 交C 于点 B ，若 2FA = 3FB ,则| AF |=(A). (B). 2 (C). (D). 33. 过双曲线 x 2 - y 2= 2 1 (a > 0, b > 0) 的右顶点 A 作斜率为- 1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 a b 21的交点分别为 B , C ．若 AB = BC ，则双曲线的离心率是 () 2A. B ． C ． D ． 4. 已知椭圆 x 2 + y 2= 1 (a > b > 0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B 在椭圆上，且 BF ⊥ x 轴，a2b 2直线 AB 交 y 轴于点 P ．若 AP = 2PB ，则椭圆的离心率是（）A.3 C. 3B.2D. 1 2 5. 点 P 在直线l : y = x -1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y = x 2 于 A , B 两点，且| PA =| AB | ，则称点 P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A. 直线l 上的所有点都是“点”B. 直线l 上仅有有限个点是“点”C. 直线l 上的所有点都不是“点”D. 直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”6. 设双曲线 x 2a 2 - y 2b 2 = 1的一条渐近线与抛物线 y=x2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为().1 610y5 36 A.5 B. 5 C.D. 427. 设斜率为 2 的直线l 过抛物线 y 2 = ax (a ≠ 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ).A. y 2 = ± 4xB. y 2 = ± 8xC. y 2 = 4xD. y 2 = 8xx 2 - y 2 8. 双曲线63= 1 的渐近线与圆(x - 3)2 + y 2 = r 2 (r > 0) 相切，则 r=（A ） （B ）2（C ）3（D ）69. 已知直线 y = k (x + 2)(k > 0) 与抛物线 C: y 2 = 8x 相交 A 、B 两点，F 为 C 的焦点。
高考重难点突破圆锥曲线50道题(4)含详细解析
高考重难点突破圆锥曲线50道题（4）含详细解析1．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>及点(2,0)M ，动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，4AB =． （1）求p 的值；（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点为C ，直线1l 经过点C 且垂直于y 轴，直线2l 经过点M 且垂直于直线l ，记1l ，2l 相交于点P ，求证：点P 在定直线上．2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合．（1）求抛物线C 的方程及焦点到准线的距离； （2）若直线112y x =+与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，求12y y 的值． 3．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点A C ∈，A 在l 上的射影为B ，且ABF ∆是边长为4的正三角形． （1）求p ；（2）过点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 交于P ，Q 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，设POQ ∆的面积为1S ，MON ∆的面积为2(S O 为坐标原点），求2212S S +的最小值．4．已知抛物线22(0)y px p =>上一点0(M x ，到焦点F 的距离03||2x MF =，倾斜角为α的直线经过焦点F ，且与抛物线交于两点A 、B ． （1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）若α为锐角，作线段AB 的中垂线m 交x 轴于点P ．证明：2||sin 2FP α=5．已知F 是椭圆22184x y +=的右焦点，过F 的直线!与椭圆相交于1(A x ，22)(x B x ，2)y 两点． （1）若1285x x =，求弦AB 的长；（2）O 为坐标原点，AOB θ∠=，满足tan OA OB θ=l 的方程． 6．已知椭圆222:22(0)C x y b b +=>． （1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若1b =，斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，且||3AB =，求A O B ∆的面积．7．已知中心在原点，一焦点为0)的双曲线被点线47y x =-被得弦中点的横坐标为2，求此双曲线的方程8．已知抛物线2:8C y x =，焦点为F ，准线为l ，线段OF 的中点为G ．点P 是C 上在x 轴上方的一点，且点P 到l 的距离等于它到原点O 的距离 （1）求P 点的坐标；（2）过点(1,0)Q -作一条斜率为正数的直线L 与抛物线C 从左向右依次交于A ，B 两点，求证：2AGB AGP ∠=∠．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(,0)F c -，2(,0)F c 分别为椭圆的左、右焦点，点4(,)3c 在椭圆上．（1）求C 的方程；（2）若直线(1)y k x =-与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否在点D ，当k 变化时，总有ODA ODB ∠=∠？若存在求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由．10．已知以椭圆2222:(0)x y E l a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．（1）求椭圆E 的方程；（2）若(,)x y 是椭圆E 上的动点，求2x y +的取值范围；（3）直线:(0)l y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M ，若直线BC ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，试判断122k k +是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．11．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，焦距为(2,1)在该椭圆上． （1）求椭C 的方程；（2）直线2x =与椭圆交于P ，Q 两点，P 点位于第一象限，A ，B 是椭圆上位于直线2x =两侧的动点．当点A ，B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆222:()2pM x y R -+=的一个公共点为(2,2)A ．（1）求圆M 的方程；（2）已知过点A 的直线l 与抛物线C 交于另一点B ，若抛物线C 在点A 处的切线与直线OB 垂直，求直线l 的方程．13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点1)2-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与椭圆C 相交于A 、B 两点，且直线OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列，求直线l 的斜率．14．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，Γ的四个顶点围成的四边形面积为（1）求Γ的方程；（2）过Γ的右焦点F ，且斜率不为0的直线l 与P 交于A ，B 两点线段AB 的垂直平分线经过点(0,M ，求MAB ∆的面积．15．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>(0,1)P 作斜率为k 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，当直线垂直于y 轴时，||AB =． （Ⅰ）求椭圆E 的方程（Ⅱ）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．16．已知抛物线22(0)y px p =>上点(2,)P t 到焦点的距离是3． （Ⅰ）求抛物线的标准方程及P 点坐标；（Ⅱ）设抛物线准线与x 轴交于点Q ，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，证明：直线QA ，QB 关于x 轴对称．17．椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>离心率为12，P是椭圆上一点．（1）求椭圆方程；（2）1F ，2F 是椭圆左右焦点，过焦点1F 的弦AB 中点为1(2E -，)t ，求线段2EF 长．18．设椭圆2222:1x y C a b+=的左、右顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，焦点为(,0)F c ．（Ⅰ）若有一正方形的四个顶点都在椭圆C 上，且焦点在正方形内部，求椭圆离心率e 的取值范围；（Ⅱ）若1c =，过F 作直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ．①若l 与x 轴重合，且||||3FP FQ =，求椭圆C 的方程； ②若直线l 不平行于x 轴，证明：12k k 为定值，并求此定值（用a 表示）． 19．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0x y C a b a b +=>>的左焦点、右焦点，椭圆上的点与1F 的最大距离等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形2F MN ；（1）求椭圆的标准方程 （2）求圆E 半径的最大值20．已知椭圆22:1(1)x E y m m+=>，过点(1,0)P 的直线与椭圆E 交于A ，B不同的两点，直线0AA 垂直于直线4x =，垂足为0A ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求证：直线0A B 恒过定点．21．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，左、右焦点分别为1F 、2F ，B 是椭圆上的一点，且三角形12BF F的面积最大值为（1）求椭圆的方程及其长轴长；（2）过右焦点2F 且不与x 轴重合的直线交椭圆于P 、Q 两点，记PQ 的中点为N ，直线ON 交直线3x =于M ，求证：以QM 为直径的圆一定经过右焦点2F ．22．已知椭圆2212:1(0)8x y C a a +=>与抛物线22:2(0)C y px p =>有公共的焦点F ，且公共弦长为 （1）求a ，p 的值（2）过F 的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于M ，N 两点，且AM BN =，求||AB 23．已知抛物线2:2(0)E y px p =>上任意一点P 到直线2x =-的距离比到焦点F 距离大1． （1）求抛物线E 方程；（2）若A ，B ，C 是抛物线上不同的三点，点(M m ，11)()4m >是AB 中点，且焦点F 是ABC ∆重心，求证：||||2||FA FB FC +=．24．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的3倍，且点3(1,)2P 在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点(1,1)M 任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A 、B 两点，l 与直线:34120m x y +-=交于C 点，记直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k 、3k ．试探究12k k +与3k 的关系，并证明你的结论．25．已知抛物线24x y =，过点(0,2)M 的动直线1l 交抛物线予A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为C ，连接CB ，直线CB 与y 轴交于点N ． （1）求证：N 为定点；（2）过点N 作y 轴的垂线2l ，是否存在直线1l ，使得在直线3l 上在在点P 满足PAB ∆为等边三角形，若存在，求出直线方程1l ；若不存在，说明理由．26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的实轴长为4，焦距为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线经过点(2,1)P -且与椭圆C 交于不同的两点M ，N （异于椭圆的左顶点）设点Q 是x 轴上的一个动点，直线QM ，QN 的斜率分别为1k ，2k ，试问：是否存在点Q ，使得1211k k +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由， 27．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆2245x y +=相切于点2(5M ，4)5．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆E 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且斜率存在的直线L 与椭E 相交于A 点，且22||||2||AF BF AB +=，求直线L 的方程28．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，一条准线方程为2x =．过点(0,2)T 且不与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点线段AB 的垂直平分线分别交AB 和y 轴于点M ，N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：线段MN 的中点在定直线上；（3）若ABN ∆为等腰直角三角形，求直线l 的方程．29．已如椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线:(0)l y t t =+≠交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点T ，点T 关于坐标原点O 的对称点为D ，以D 为圆心，||DO 为半径的圆记作D ，过线段AB 的中点M 作D 的两条切线，切点分别为P 、Q ，证明：cos PMQ ∠为定值．30．已知圆C 经过椭圆221164x y +=的右顶点2A 、下顶点1B 、上顶点2B 三点．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 经过点(1,1)与10x y ++=垂直，求圆C 被直线l 截得的弦长．31．已知抛物线2:4C x y =，焦点为F ，设A 为C 上的一动点，以A 为切点作C 的切线，与y 轴交于点B ，以FA ，FB 为邻边作平行四边形FANB ．（1）证明：点N 在一条定直线上；（2）设直线NF 与C 交于P ，Q 两点．若直线NF的斜率k ∈，求OPN OQN S S ∆∆的最小值．32．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，A ，B 分别为椭圆C 的右、下顶点，且2OA OB =．（1）求椭圆C 的方程； （2）设点P 在椭圆C 内，满足直线PA ，PB 的斜率乘积为14-，且直线PA ，PB 分别交椭圆C 于点M ，N ．①若M ，N 关于y 轴对称，求直线PA 的斜率； ②若PMN ∆和PAB ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S ．33．已知A 、B 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个顶点，点P 是双曲线上异于A 、B 的一点，O 为坐标原点，射线OP 交椭圆22222:1x y C a b+=于点Q ，设直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k ．（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±，且过点1)2，求1C 的方程；（2）在（1）的条件下，如果12158k k +=，求ABQ ∆的面积； （3）试问：1234k k k k +++是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 34．已知抛物线2:(0)y ax a Γ=>的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点满足||4MN =． （1）求抛物线Γ的方程；（2）若P 为Γ上动点，BC 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．35．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A ．B两点．（1）若l 的倾斜角为2π，a =1F AB 是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程． （2）a b l =．若l 的斜率存在，且12()0F A F B AB +=，求l 的斜率．（3）证明：点P 到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值2222a b a b +是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．36．已知曲线22:143x y C +=的左右顶点是A 、B ，点M 是曲线C 上异于A 、B 两点的动点且M 关于x 轴的对称点是N ．（1）若直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：1234k k =． （2）若曲线2:2C y px '=的焦点F 是曲线C 的右焦点，过点F 的直线l 分别交曲线C 和曲线C '于P 、Q 和R 、H ，APQ ∆与ARH ∆面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值．37．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距与短轴长相等，椭圆上一点Q 到两焦点距离之差的最大值为4． （1）求椭圆的标准方程；（2）若点P 为椭圆上异于左右顶点A ，B 的任意一点，过原点O 作AP 的垂线交BP 的延长线于点M ，求M 的轨迹方程．38．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A 若△12AF F是面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知M ，N 是椭圆C 上的两点，且|MN =，求使OMN ∆的面积最大时直线MN 的方程(O 为坐标原点）39．已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为1(1,0)F -，点(1,B 在椭圆C 上， （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，点P 在y 轴上，且||||PM PN =，求点P 纵坐标的取值范围．40．在平面直角坐标系中，椭圆2222:(0x y C l a b a b+=>>，右焦点2F 为(,0)c ．（1）若其长半轴长为2，焦距为2，求其标准方程．（2）证明该椭圆上一动点P 到点2F 的距离d 的最大值是a c +．41．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点．（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．42．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，焦距为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程．43．已知斜率为1的直线l 与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点为3(1,)4A -，椭圆C 的上顶点为B ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线:(l y kx m m '=+≠与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线BM 与BN 的斜率之和为2，证明：l '过定点．44．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为，且过点1)2． （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率大于0且过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，若223MF F N =，求直线l 的方程．45．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（Ⅱ）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ，P 点关于x 轴的对称点为P '． ①证明：PQG ∆是直角三角形；②求直线PQ 与直线P G '的斜率的积的最小值，并写出此时直线PG 的方程．46．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN =-恒成立？若存在求出点Q 的坐标：若不存在，说明理由．47．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点P ，1)2，且离心率e =．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过椭圆E 的右焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，当(AOB O ∆为坐标原点）的时，求直线l 的方程．48．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =且圆222x y +=过椭圆C 的上、下顶点（1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点(2,1)A -是椭圆C 上一点，若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，证明：0AE AQ k k +=．49．如图，过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，过AB 中点M 且与AB 垂直的直线与x 轴交于点N ． （1）求||||FN AB 的值； （2）若2p =，求NA NB 的取值范围．50．已知抛物线2:2(0)M y px p =>．（1）设R 为抛物线M 上横坐标为1的定点，S 为圆221:()24p N x y -+=的一个动点，若M ，N 无公共点，且||RS 的最小值为65128，求p 的值； （2）已知AC ，BD 分别是抛物线的一条弦，且都不与x 轴垂直，AC 与BD 相交于点(,0)2p，2OA OB p =-，若四边形ABCD 的四条边都存在斜率且0CD k ≠，求证：12AB CD k k =．高考重难点突破圆锥曲线50道题（4）含详细解析参考答案与试题解析1．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>及点(2,0)M ，动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，4AB =． （1）求p 的值；（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点为C ，直线1l 经过点C 且垂直于y 轴，直线2l 经过点M 且垂直于直线l ，记1l ，2l 相交于点P ，求证：点P 在定直线上．【解答】（1）解：当直线l 过点(2,0)M ，且垂直于x 轴时， 由4AB =，知抛物线22(0)y px p =>过点(2,2)， 代入抛物线方程，得422p =⨯，解得1p =；（2）证明：由题意设直线l 的方程为：(2)y k x =-，且0k ≠， 点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22(2)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去x ，化简得2240ky y k --=，由根与系数的关系得122y y k+=，124y y =-； 又点C 在直线AB 上，则1212C y y y k+==，所以直线1l 的方程为1y k =；又直线2l 过点M 且与直线l 垂直，则直线2l 的方程为1(2)y x k =--；联立11(2)y k y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得11x y k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点1(1,)P k ，所以点P 在定直线1x =上．2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合．（1）求抛物线C 的方程及焦点到准线的距离； （2）若直线112y x =+与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，求12y y 的值． 【解答】解：（1）双曲线2213x y -=的右焦点为(2,0)，可得22p=，即4p =，可得抛物线的方程为28y x =，焦点到准线的距离为4； （2）直线112y x =+与抛物线28y x =联立，消去x 可得 216160y y -+=，则1216y y =．3．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点A C ∈，A 在l 上的射影为B ，且ABF ∆是边长为4的正三角形． （1）求p ；（2）过点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 交于P ，Q 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，设POQ ∆的面积为1S ，MON ∆的面积为2(S O 为坐标原点），求2212S S +的最小值． 【解答】解：（1）设准线与y 轴的交点为点H ，连结AF ，AB ，BF ， 因为ABF ∆是正三角形，且4BA AF BF ===， 在BHF ∆中，90BHF ∠=︒，30FBH ∠=︒，4BF =， 所以2HF p ==．（2）设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由(0,1)F ，。
(完整版)历年高考数学圆锥曲线试题汇总,推荐文档
A． ( 15 , 8) 33
B． ( 15 , 7) 3
C． ( 4 , 8) 33
D． ( 4 , 7) 3
37.圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A． x2 ( y 2)2 1
B． x2 ( y 2)2 1
我C去． (人x 1也)2 就(y 有3)2 人1 ！为UDR．扼x2 腕(y入 3)2站1内信不存在向你偶同意调剖沙
Dy 1 x 2
16.已知双曲线
x2 2
y2 2
1的准线过椭圆
x2 4
y2 b2
1的焦点，则直线
y
kx 2 与椭圆至多有一个
交点的充要条件是
A.
K
1 2
,
1 2
B.
K
,
1 2
1 2
,
C.
K
2 ,
2
2
2
D.
K ,
2 2
2 2
,
x2
17.已知双曲线
2
y2 b2
只有一个公共点，则双曲线的离心率为(
).
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
Word 完美格式
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A.
4
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B. 5
C.
2
.
D. 5
7.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ax (a 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)
的面积为 4,则抛物线方程为( ).
.
.
(B) (x 1)2 ( y 1)2 2
(C) (x 1)2 ( y 1)2 2
(D) (x 1)2 ( y 1)2 2
(完整版)全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
14. 已知双曲线 a 2 b2
的左右两个焦点分别为 F1、F2 ，点 P 在双曲线右支上。
3 41 16
(
（Ⅰ）若当点 P 的坐标为
5
, 5 ) 时, PF1 PF2 ，求双曲线的方程；
（Ⅱ）若| PF1 | 3 | PF2 | ,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程。
x2 y2 1 15. 若 F1 、F 2 为双曲线 a b 的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的左支上，点 M 在
20. 在平面直角坐标系中，若 a (x
3, y),b (x
3,
y) ，且
a
b
4 ,
(1）求动点 Q(x, y) 的轨迹 C 的方程；
（2）已知定点 P(t, 0)(t 0) ,若斜率为1的直线 l 过点 P 并与轨迹 C 交于不同的两点 A, B ，且对于
轨迹
C
上任意一点
M
,都存在
x
的一条准线方程是
25 , 4 其左、右顶点分别
C2 是 A、B;双曲线
x2 :
a2
y2 b2
1 的一条渐近线方程为 3x－5y=0。
（Ⅰ）求椭圆 C1 的方程及双曲线 C2 的离心率；
(Ⅱ）在第一象限内取双曲线 C2 上一点 P，连结 AP 交椭圆 C1 于点 M，连结 PB 并延长交椭圆 C1
于点 N，若 AM MP 。 求证: MN AB 0.
(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹 C 的方程．
(Ⅱ）过点 D 且不与 l1、l2 垂直的直线 l 交（Ⅰ)中的轨迹 C 于 E、F 两点；另外平面上的点 G、H
满足：
AG AD( R); GE GF 2GH ; GH EF 0.
2005年高考全国试题分类解析(圆锥曲 线)
2005年高考全国试题分类解析（圆锥曲线）一、选择题：1重庆卷) 若动点(x ,y )在曲线14222=+b y x (b >0)上变化，则x 2+2y 的最大值为(A ) (A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b bb b ；(B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b ；(C) 442+b ； (D) 2b 。
2. (浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( B ) (A)18 (B)41 (C) 21(D)1 3. （天津卷）设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ C ）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43±4．（天津卷）从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m 和n,则能组成落在矩形区域B={(x ,y)| |x |<11且|y|<9}内的椭圆个数为（B ）A ．43B ． 72C ． 86D ． 905. （上海）过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在6. （山东卷）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ B ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47 (全国卷Ⅰ)已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（A ）（A ）23 （B ）23 （C ）26 （D ）332 A ．)22,22(- B ．)2,2(-C ．)42,42(D ．)81,81(-8.(全国卷II) 双曲线22149x y -=的渐近线方程乃是( C)(A) 23y x =± (B) 49y x =± (C) 32y x =± (D) 94y x =±9. (全国卷II)已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为(C )(A)(B) (C) 65 (D) 5610. 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为(D )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 11. (全国卷III)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率乃是（D ）（A （B （C ）2 （D 1 12. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离乃是（ B ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2113 .（江苏卷）抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标乃是( B) ( A )1617 ( B ) 1615 ( C ) 87( D ) 014. （江苏卷）(11)点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =-2反射后经过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A ) ( A )33 ( B ) 31 ( C ) 22( D ) 2115.（湖南卷）已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（D ） A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º16. （湖南卷）已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ D ） A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º17. （湖北卷）双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ A ）A ．163B ．83 C ．316 D ．38 18. （福建卷）已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值乃是（ C ）A ．21B ．23 C ．27 D ．5 19. （福建卷）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值乃是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-20. （广东卷）若焦点在轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m=(B)32（Ｃ）83（Ｄ）2321. (全国卷III)已知双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（C ）（A ）43 （B ）53 （C（D22.（福建卷）已知F 1、F 2乃是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率乃是（ D ）A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+二、填空题：1．（江西卷）以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 ③④ （写出所有真命题的序号）2. (重庆卷)已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21A ，B 乃是圆F ：42122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为22413x y +=。
高考圆锥曲线难题集粹
高考数学圆锥曲线训练1.已知△ ABC 的顶点A , B 在椭圆X 23y 24上，C 在直线l: y x 2上，且AB // l •(I)当AB 边通过坐标原点 0时，求AB 的长及△ ABC 的面积; (n)当 ABC 90°，且斜边AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程.且AB 边通过点(0,0)，所以AB 所在直线的方程为 y x •(n)设AB 所在直线的方程为23y 4得 4x 26mxX m此时AB 所在直线的方程为y X 1 •2y1(a b 0)的一个焦点为F (1, 0),且过点(2,0) • b(I)求椭圆C 的方程；(n)若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线I : x 4与x 轴交 于点N ，直线AF 与BN 交于点M •(i) 求证：点M 恒在椭圆C 上; (ii) 求△ AMN 面积的最大值.设A , B 两点坐标分别为 (x i ,y i ),(x 2,2X y 2)•由y3y 2 4 '得 X 1 •所以AB 近 X 1 X 2 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线 I 的距离•所以V 2 , S A ABC^lABgh因为A B 在椭圆上，所以 12m 264 0 • 设A , B 两点坐标分别为 (x i , y i ),(x 2, y 2)，则 X i X 23mT, X 1X 23m 244所以AB 近 X 1 X 2J 32 6m 2又因为BC 的长等于点(0,m)到直线I 的距离,BC所以AC 2ABBC m 2 2m 10(m1)2 11 •所以当m 1时，AC 边最长，(这时12 64 0)解：(I)因为 AB //I , 3m 2x22.如图，椭圆C :令a2 2(I)由题设a 2, c i ，从而b 2ax 3 .所以椭圆C 的方程为—— 4y- i .3 (n) (i)由题意得 F(10) , N(4,0), 2 设 A(m, n)，则 B(m, n)(n 0),巴4 i .……①AF 与BN 的方程分别为：n(x 1) (m I)y 0 , n(x 4) (m 4)y 0. 设M(X 0, y 。
圆锥曲线高考题汇编[带详细解析]
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第八章 圆锥曲线方程●考点阐释圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用.（2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求．（3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）2.（2003京春理，7）椭圆⎩⎨⎧=+=ϕϕsin 3cos 54y x （ϕ为参数）的焦点坐标为（ ）A.（0，0），（0，－8）B.（0，0），（－8，0）C.（0，0），（0，8）D.（0，0），（8，0）3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ）A.－1B.1C.5D. －55.（2002全国文，11）设θ∈（0，4π），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为（ ）A.（0，21） B.（22,21） C.（2,22） D.（2，＋∞）6.（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A.x ＝±y 215B.y ＝±x 215 C.x ＝±y 43D.y ＝±x 43 7.（2002天津理，1）曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）A.21B.22 C.1 D.28.（2002全国理，6）点P （1，0）到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为（ ）A.0B.1C.2 D.29.（2001全国，7）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（３，0），则其离心率为（ ） A.43B.32C.21 D.41 10.（2001广东、河南，10）对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是（ ）A.（－∞，0）B.（－∞，2]C.［0，2］D.（0，2）11.（2000京皖春，9）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ） A.43B.554C.358D.334 12.（2000全国，11）过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ） A.2aB.a21C.4aD.a4 13.（2000京皖春，3）双曲线2222ay b x -＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A.2B.3C.2D.2314.（2000上海春，13）抛物线y =－x 2的焦点坐标为（ ）A.（0，41） B.（0，－41） C.（41，0）D.（－41，0） 15.（2000上海春，14）x =231y -表示的曲线是（ ）A.双曲线B.椭圆C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分 16.（1999上海理，14）下列以t 为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy =1所表示的曲线完全一致的是（ ）A.⎪⎩⎪⎨⎧==-2121t y t xB.⎪⎩⎪⎨⎧==||1||t y t xC.⎩⎨⎧==ty tx sec cosD.⎩⎨⎧==ty tx cot tan17.（1998全国理，2）椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍18.（1998全国文，12）椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）A.±43 B.±23 C.±22D.±43 19.（1997全国，11）椭圆C 与椭圆4)2(9)3(22-+-y x ，关于直线x +y =0对称，椭圆C 的方程是（ ） A.19)3(4)2(22=+++y xB.19)3(4)2(22=++-y xC.14)3(9)2(22=+++y xD.19)3(4)2(22=-+-y x20.（1997全国理，9）曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x （t 是参数，t ≠0），它的普通方程是（ ）A.（x －1）2（y －1）＝1B.y ＝2)1()2(x x x --C.y ＝1)1(12--x D.y ＝21xx-＋1 21.（1997上海）设θ∈（43π，π），则关于x 、y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ=1所表示的曲线是（ ） A.实轴在y 轴上的双曲线 B.实轴在x 轴上的双曲线 C.长轴在y 轴上的椭圆 D.长轴在x 轴上的椭圆22.（1997上海）设k ＞1，则关于x 、y 的方程（1－k ）x 2+y 2=k 2－1所表示的曲线是（ ） A.长轴在y 轴上的椭圆 B.长轴在x 轴上的椭圆 C.实轴在y 轴上的双曲线 D.实轴在x 轴上的双曲线 23.（1996全国文，9）中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为21的椭圆方程是（ ） A.3422y x +＝1B.4322y x +＝1 C.42x ＋y 2＝1D.x 2＋42y ＝124.（1996上海，5）将椭圆92522y x +＝1绕其左焦点按逆时针方向旋转90°，所得椭圆方程是（ ） A.19)4(25)4(22=-++y xB.19)4(25)4(22=+++y xC.125)4(9)4(22=-++y xD.125)4(9)4(22=+++y x25.（1996上海理，6）若函数f （x ）、g （x ）的定义域和值域都为R ，则f （x ）>g （x ）（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）A.有一个x ∈R ，使f （x ）>g （x ）B.有无穷多个x ∈R ，使得f （x ）>g （x ）C.对R 中任意的x ，都有f （x ）>g （x ）+1D.R 中不存在x ，使得f （x ）≤g （x ）26.（1996全国理，7）椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51cos 33y x 的两个焦点坐标是（ ）A.（－3，5），（－3，－3）B.（3，3），（3，－5）C.（1，1），（－7，1）D.（7，－1），（－1，－1）27.（1996全国文，11）椭圆25x 2－150x +9y 2+18y +9=0的两个焦点坐标是（ ） A.（－3，5），（－3，3） B.（3，3），（3，－5） C.（1，1），（－7，1） D.（7，－1），（－1，－1）28.（1996全国）设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为（ ） A.2B.3C.2D.33229.（1996上海理，7）若θ∈［0，2π］，则椭圆x 2+2y 2－22x cos θ+4y sin θ=0的中心的轨迹是（ ）30.（1995全国文6，理8）双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是（ ） A.y =±3xB.y ＝±31x C.y ＝±3xD.y ＝±x 3331.（1994全国，2）如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A.（0，＋∞） B.（0，2） C.（1，＋∞） D.（0，1）32.（1994全国，8）设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A.1B.25C.2D.533.（1994上海，17）设a 、b 是平面α外任意两条线段，则“a 、b 的长相等”是a 、b 在平面α内的射影长相等的（ ）A.非充分也非必要条件B.充要条件C.必要非充分条件D.充分非必要条件34.（1994上海，19）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程是y =cos x ，现在平移坐标系，把原点移到O ′（2π，－2π），则在坐标系x ′O ′y ′中，曲线C 的方程是（ ）A.y ′=sin x ′+2πB.y ′=－sin x ′+2πC.y ′=sin x ′－2π D.y ′=－sin x ′－2π二、填空题35.（2003京春，16）如图8—1，F 1、F 2分别为椭圆2222by a x +=1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是_____.36.（2003上海春，4）直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____.37.（2002上海春，2）若椭圆的两个焦点坐标为F 1（－1，0），F 2（5，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为 ．38.（2002京皖春，13）若双曲线m y x 224-＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，则双曲线的焦点坐标是 ． 39.（2002全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．能使这抛物线方程为y 2＝10x 的条件是 ．（要求填写合适条件的序号）40.（2002上海文，8）抛物线（y －1）2＝4（x －1）的焦点坐标是 ．41.（2002天津理，14）椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝ ．42.（2002上海理，8）曲线⎩⎨⎧+=-=1212t y t x （t 为参数）的焦点坐标是_____.43.（2001京皖春，14）椭圆x 2＋4y 2＝4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．44.（2001上海，3）设P 为双曲线-42x y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．45.（2001上海，5）抛物线x 2－4y －3＝0的焦点坐标为 ．46.（2001全国，14）双曲线16922y x -＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 .47.（2001上海春，5）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_____.48.（2001上海理，10）直线y =2x －21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos sin y x （ϕ为参数）的交点坐标是_____.49.（2000全国，14）椭圆4922y x +＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_____.图8—150.（2000上海文，3）圆锥曲线916)1(22y x --＝1的焦点坐标是_____.51.（2000上海理，3）圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtan 31sec 4y x 的焦点坐标是_____.52.（1999全国，15）设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 .53.（1999上海5）若平移坐标系，将曲线方程y 2+4x －4y －4=0化为标准方程，则坐标原点应移到点O ′ ( ) .54.（1998全国，16）设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .55.（1997全国文，17）已知直线x －y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是_____.56.（1997上海）二次曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x （θ为参数）的左焦点坐标是_____.57.（1996上海，16）平移坐标轴将抛物线4x 2－8x ＋y ＋5＝0化为标准方程x ′2＝ay ′（a ≠0），则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是 ．58.（1996全国文，16）已知点（－2，3）与抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的距离是5，则p =_____.59.（1996全国理，16）已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.60.（1995全国理，19）直线L 过抛物线y 2＝a （x +1）（a >0）的焦点，并且与x 轴垂直，若L 被抛物线截得的线段长为4，则a = .61.（1995全国文，19）若直线L 过抛物线y 2＝4（x +1）的焦点，并且与x 轴垂直，则L 被抛物线截得的线段长为 .62.（1995上海，15）把参数方程⎩⎨⎧+==1cos sin ααy x （α是参数）化为普通方程，结果是 ．63.（1995上海，10）双曲线98222y x -=8的渐近线方程是 . 64.（1995上海，14）到点A （－1，0）和直线x =3距离相等的点的轨迹方程是 . 65.（1994全国，17）抛物线y 2＝8－4x 的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 ．66.（1994上海，7）双曲线22y －x 2=1的两个焦点的坐标是 .三、解答题67.（2003上海春，21）设F 1、F 2分别为椭圆C ：22228by a x + =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点A （1，23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； （2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线12222=-by a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明. 68.（2002上海春，18）如图8—2，已知F 1、F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°．求双曲线的渐近线方程．69.（2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |＋|F 2B |＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围． 70.（2002全国理，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2．求m 的取值范围．71.（2002北京，21）已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3.（Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线； （Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．72.（2002江苏，20）设A 、B 是双曲线x 222y -＝1上的两点，点N （1，2）是线段AB的中点．（Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么?73.（2002上海，18）已知点A （3-，0）和B （3，0），动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y =x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．74.（2001京皖春，22）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）.过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB |≤2p .（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.75.（2001上海文，理，18）设F 1、F 2为椭圆4922y x +＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求||||21PF PF 的值．76.（2001全国文20，理19）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O.图8— 2图8—377.（2001上海春，21）已知椭圆C 的方程为x 2+22y =1，点P （a ，b ）的坐标满足a 2+22b ≤1，过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：（1）点Q 的轨迹方程；（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.78.（2001广东河南21）已知椭圆22x +y 2=1的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且BC ∥x 轴.求证：直线AC 经过线段EF 的中点.79.（2000上海春，22）如图8—4所示，A 、F 分别是椭圆12)1(16)1(22-++x y ＝1的一个顶点与一个焦点，位于x 轴的正半轴上的动点T （t ，0）与F 的连线交射影OA 于Q ．求：（1）点A 、F 的坐标及直线TQ 的方程；（2）△OTQ 的面积S 与t 的函数关系式S =f （t ）及其函数的最小值；（3）写出S =f （t ）的单调递增区间，并证明之．80.（2000京皖春，23）如图8—5，设点A 和B 为抛物线y 2＝4px （p ＞0）上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．81.（2000全国理，22）如图8—6，已知梯形ABCD 中，|AB |＝2|C Ｄ|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当32≤λ≤43时，求双曲线离心率e 的取值范围．图8—5 图8—6 图8—782.（2000全国文，22）如图8—7，已知梯形ABCD 中|AB |＝2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线离心率．83.（2000上海，17）已知椭圆C 的焦点分别为F 1（22-，0）和F 2（22，0），长轴长为6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．84.（1999全国，24）如图8—8，给出定点A （a ，0）（a ＞0）和直线l ：x =－1.B 是直线l上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.注：文科题设还有条件a ≠185.（1999上海，22）设椭圆C 1的方程为2222by a x +=1（a ＞b ＞0），曲线C 2的方程为y =x1，图8— 4图8—8且C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P .（Ⅰ）试用a 表示点P 的坐标.（Ⅱ）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S （a ）的值域；（Ⅲ）设min ｛y 1，y 2，…，y n ｝为y 1，y 2，…，y n 中最小的一个.设g （a ）是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数f （a ）=min ｛g （a ），S （a ）｝的表达式.86.（1998全国理，24）设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1.（Ⅰ）写出曲线C 1的方程；（Ⅱ）证明曲线C 与C 1关于点A （2,2st ）对称； （Ⅲ）如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =43t －t 且t ≠0.87.（1998全国文22，理21）如图8—9，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1.以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6.建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.88.（1998上海理，20）（1）动直线y =a 与抛物线y 2=21（x －2）相交于A 点，动点B的坐标是（0，3a ），求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程；（2）过点D （2，0）的直线l 交上述轨迹C 于P 、Q 两点，E 点坐标是（1，0），若△EPQ 的面积为4，求直线l 的倾斜角α的值.89.（1997上海）抛物线方程为y 2=p （x +1）（p ＞0），直线x +y =m 与x 轴的交点在抛物线的准线的右边. （1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q 、R ，OQ ⊥OR ，求p 关于m 的函数f （m ）的表达式；（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F 到直线x +y =m 的距离为22，求此直线的方程； （理）在（2）的条件下，若m 变化，使得原点O 到直线QR 的距离不大于22，求p 的值的范围. 90.（1996全国理，24）已知l 1、l 2是过点P （－2，0）的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2－x 2＝1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2.（Ⅰ）求l 1的斜率k 1的取值范围；（Ⅱ）（理）若|A 1B 1|＝5|A 2B 2|，求l 1、l 2的方程.（文）若A 1恰是双曲线的一个顶点，求|A 2B 2|的值.91.（1996上海，23）已知双曲线S 的两条渐近线过坐标原点，且与以点A （2，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S 的一个顶点A ′与点A 关于直线y =x 对称.设直线l 过点A ，斜率为k .（1）求双曲线S 的方程；图8—9图8—10（2）当k =1时，在双曲线S 的上支上求点B ，使其与直线l 的距离为2；（3）当0≤k ＜1时，若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2，求斜率k 的值及相应的点B 的坐标，如图8—10.92.（1995全国理，26）已知椭圆如图8—11，162422y x +＝1，直线L ：812y x +＝1，P是L 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2.当点P 在L上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.93.（1995上海，24）设椭圆的方程为2222ny m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜2π＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点，（Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ； （Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，4π］上变化时，求S 的最小值u ；（Ⅲ）如果μ>mn ，求nm的取值范围. 94.（1995全国文，26）已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.95.（1994全国理，24）已知直线L 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A （－1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程.96.（1994上海，24）设椭圆的中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q 、点P 在该直线上，且1||||2-=t t OQ OP ，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.答案解析1.答案：D解析一：将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：x b ay b y a x -==+22222,111.因为a ＞b ＞0，因此，ab 11>＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项. 解析二：将方程ax +by 2=0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明：ax +by 2=0的图形关于x 轴对称，排除B 、C，图8—11又椭圆的焦点在y 轴.故选D.评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.2.答案：D解析：利用三角函数中的平方和关系消参，得925)4(22y x +-=1，∴c 2=16，x －4=±4，而焦点在x 轴上，所以焦点坐标为：（8，0），（0，0），选D.如果画出925)4(22y x +-=1的图形，则可以直接“找”出正确选项. 评述：本题考查将参数方程化为普通方程的思想和方法，以及利用平移变换公式进行逻辑推理，同时也考查了数形结合的思想方法.3.答案：A解析：由第一定义得，|PF 1|+|PF 2|为定值 ∵|PQ |=|PF 2|，∴|PF 1|+|PQ |为定值，即|F 1Q |为定值. 4.答案：B解析：椭圆方程可化为：x 2+ky 52=1∵焦点（0，2）在y 轴上，∴a 2=k5，b 2=1，又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =1 5.答案：D解析：∵θ∈（0，4π），∴sin θ∈（0，22）， ∴a 2=tan θ，b 2=c ot θ∴c 2=a 2+b 2=tan θ+c ot θ，∴e 2=θθθθ222sin 1tan cot tan =+=a c ，∴e =θsin 1， ∴e ∈（2，+∞）6.答案：D解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上 ∴椭圆焦点（2253n m -，0），双曲线焦点（2232n m +，0）∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2∴m 2=8n 2又∵双曲线渐近线为y =±||2||6m n ⋅·x∴代入m 2=8n 2，|m |=22|n |，得y =±43x 7.答案：D解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ∴d =|x |+|y |=|co s θ|+|sin θ| 设θ∈［0，2π］∴d =sin θ+cos θ=2sin （θ+4π）∴d max =2.8.答案：B解法一：将曲线方程化为一般式：y 2=4x ∴点P （1，0）为该抛物线的焦点由定义，得：曲线上到P 点，距离最小的点为抛物线的顶点. 解法二：设点P 到曲线上的点的距离为d ∴由两点间距离公式，得d 2=（x －1）2+y 2=（t 2－1）2+4t 2=（t 2+1）2∵t ∈R ∴d min 2=1 ∴d min =1 9.答案：C解析：由F 1、F 2的坐标得2c ＝3－1，c ＝1， 又∵椭圆过原点a －c ＝1，a ＝1＋c ＝2， 又∵e ＝21=a c ，∴选C. 10.答案：B解析：设点Q 的坐标为（420y，y 0），由 |PQ |≥|a |，得y 02+（420y －a ）2≥a 2.整理，得：y 02（y 02+16－8a ）≥0，∵y 02≥0，∴y 02+16－8a ≥0.即a ≤2+820y 恒成立.而2+820y的最小值为2.∴a ≤2.选B.11.答案：D解析：由题意知a =2，b =1，c =3，准线方程为x =±ca 2，图8—12∴椭圆中心到准线距离为334． 12.答案：C解析：抛物线y =ax 2的标准式为x 2＝a1y ， ∴焦点F （0，a41）. 取特殊情况，即直线PQ 平行x 轴，则p =q .如图8—13，∵PF ＝PM ，∴p ＝a21，故a pp p q p 421111==+=+． 13.答案：C解析：渐近线方程为y =±b a x ，由b a ·（－ba ）＝－1，得a 2＝b 2， ∴c ＝2a ，e ＝2．14.答案：B解析：y =－x 2的标准式为x 2＝－y ，∴p ＝21，焦点坐标F （0，－41）． 15.答案：D 解析：x =231y -化为x 2＋3y 2＝1（x ＞0）．16.答案：D解析：由已知xy =1可知x 、y 同号且不为零，而A 、B 、C 选项中尽管都满足xy =1，但x 、y 的取值范围与已知不同.17.答案：A解析：不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23，|PF 1|=2147，因此|PF 1|=7|PF 2|，故选A.评述：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向. 18.答案：A解析：由条件可得F 1（－3，0），PF 1的中点在y 轴上，∴P 坐标（3，y 0），又P 在31222y x +=1的椭圆上得y 0=±23，图8—13∴M 的坐标（0，±43），故选A. 评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力. 19.答案：A解析：将已知椭圆中的x 换成－y ，y 换成－x 便得椭圆C 的方程为9)3(4)2(22+++y x ＝1，所以选A. 评述：本题考查了椭圆的方程及点关于直线的对称问题.20.答案：B 解法一：由已知得t ＝x -11，代入y ＝1－t 2中消去t ，得y ＝122)1()2()1(1x x x x --=--，故选B. 解法二：令t ＝1，得曲线过（0，0），分别代入验证，只有B 适合，故选B.评述：本题重点考查参数方程与普通方程的互化，考查等价转化的能力． 21.答案：C解析：由已知得方程为θθcos sin 22y x -=1 由于θ∈（43π，π），因此sin θ＞0，cos θ＜0，且|sin θ|＜|cos θ| ∴原方程表示长轴在y 轴上的椭圆. 22.答案：C解析：原方程化为11222+--k x k y =1 由于k ＞1，因此它表示实轴在y 轴上的双曲线. 23.答案：A解析：由已知有⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2142a c c a a ＝2，c ＝1，b 2＝3,于是椭圆方程为3422y x +＝1,故选A. 评述：本题考查了椭圆的方程及其几何性质，以及待定系数法和运算能力.24.答案：C解析：如图8—14，原点O 逆时针方向旋转90°到O ′，则O ′（－4，4）为旋转后椭圆的中心，故旋转后所得椭圆方程为25)4(9)4(22-++y x ＝1．所以选C. 25.答案：D 解析：R 中不存在x ，使得f （x ）≤g （x ），即是R 中的任意x 都有f （x ）>g （x ）， 故选D.26.答案：B解析：可得a ＝3，b ＝5，c ＝4，椭圆在新坐标系中的焦点坐标为（0，±4），在原坐标系中的焦点坐标为（3，3），（3，－5），故选B.图8—14评述：本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点，考查数形结合的能力． 27.答案：B解析：把已知方程化为25)1(9)3(22++-y x =1，∴a =5，b =3，c =4 ∵椭圆的中心是（3，－1），∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）. 28.答案：A解析：由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为43c ，则有c ba ab 4322=+， 又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0∴e 2=4或e 2=34. 而0＜a ＜b ，得e 2=222221ab a b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2. 评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e 后还须根据b＞a 进行检验.29.答案：D解析：把已知方程化为标准方程，得2)cos 2(2θ-x +（y +sin θ）2=1.∴椭圆中心的坐标是（2cos θ，－sin θ）.其轨迹方程是⎩⎨⎧-==θθsin cos 2y x θ∈［0，2π］.即22x +y 2=1（0≤x ≤2，－1≤y ≤0）.30.答案：C解法一：将双曲线方程化为标准形式为x 2－32y ＝1，其焦点在x 轴上，且a =1，b =3，故其渐近线方程为y＝±abx ＝±3x ，所以应选C. 解法二：由3x 2－y 2＝0分解因式得y ＝±3x ，此方程即为3x 2－y 2＝3的渐近线方程，故应选C.评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质. 31.答案：D解析：原方程可变为ky x 2222+＝1，因为是焦点在y 轴的椭圆，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>220k k ，解此不等式组得0<k <1，因而选D.评述：本题考查了椭圆的方程及其几何意义以及解不等式的方法，从而考查了逻辑思维能力和运算能力.32.答案：A解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P （x ，142-x ），由已知F 1P ⊥F 2 P ，有151451422-=+-⋅--x x x x ，即1145221,52422=-⋅⋅==x S x ，因此选A. 解法二：S △=b 2cot221PF F =1×cot45°=1. 评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力. 33.答案：A 解析：a 、b 长相等a 、b 在平面α内的射影长相等，因此选A. 34.答案：B解析：由已知得平移公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=22ππy y x x 代入曲线C 的方程，得y ′－2π=cos （x ′+2π）.即y ′=－sin x ′+2π. 35.答案：23解析：因为F 1、F 2为椭圆的焦点，点P 在椭圆上，且正△POF 2的面积为3，所以S =21|OF 2|·|PO |sin60°=43c 2，所以c 2=4.∴点P 的横、纵坐标分别为23,2c c ，即P （1，3）在椭圆上，所以有2231b a +=1，又b 2+c 2=a 2，⎩⎨⎧+==+22222243ba b a a b 解得b 2=23.评述：本题主要考查椭圆的基本知识以及基本计算技能，体现出方程的思想方法. 36.答案：（3，2）解法一：设直线y =x －1与抛物线y 2=4x 交于A (x 1，y 1),B （x 2，y 2）,其中点为P （x 0，y 0）.由题意得⎩⎨⎧=-=x y x y 412，（x －1）2=4x ，x 2－6x +1=0.∴x 0=221x x +=3.y 0=x 0－1=2.∴P （3，2）.解法二：y 22=4x 2，y 12=4x 1，y 22－y 12=4x 2－4x 1121212))((x x y y y y -+-=4.∴y 1+y 2=4，即y 0=2，x 0=y 0+1=3.故中点为P （3，2）.评述：本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法.37.答案：1625)2(22y x +- =1 解析：由两焦点坐标得出椭圆中心为点（2，0），焦半径c =3∵长轴长为10，∴2a =10， ∴a =5，∴b =22c a -=4∴椭圆方程为1625)2(22y x +-=1 38.答案：（±7，0）解析：由双曲线方程得出其渐近线方程为y =±2mx ∴m =3，求得双曲线方程为3422y x -=1，从而得到焦点坐标. 39.答案：②，⑤解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤. 40.答案：（2，1）解析：抛物线（y －1）2=4（x －1）的图象为抛物线y 2=4x 的图象沿坐标轴分别向右、向上平移1个单位得来的.∵抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）∴抛物线（y －1）2=4（x －1）的焦点为（2，1） 41.答案：－1解析：椭圆方程化为x 2+ky 52-=1∵焦点（0，2）在y 轴上， ∴a 2=k-5，b 2=1 又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =－142.答案：（0，1）解析：将参数方程化为普通方程：（y －1）2=4（x +1）该曲线为抛物线y 2=4x 分别向左，向上平移一个单位得来. 43.答案：2516 解析：原方程可化为42x ＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1∴a ＝2，b ＝1，c ＝3 当等腰直角三角形，设交点（x ，y ）（y ＞0）可得2－x ＝y ， 代入曲线方程得：y ＝54 ∴S ＝21×2y 2＝2516 44.答案：x 2－4y 2＝1解析：设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ） ∴2,200yy x x ==∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝145.答案：（0，41） 解析：x 2＝4y ＋3⇒x 2＝4（y ＋43） ∴y ＋43＝1，y ＝41，∴坐标（0，41） 46.答案：516解析：设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ） a ＝3 b ＝4 c ＝5∴m －n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4×25－36＝64 mn ＝32.又利用等面积法可得：2c ·y ＝mn ，∴y ＝516 47.答案：16922y x -=1解析：由已知a =3，c =5，∴b 2=c 2－a 2=16又顶点在x 轴，所以标准方程为16922y x -=1. 48.答案：（21,21） 解析：⎩⎨⎧-=-==⇒⎩⎨⎧==ϕϕϕϕϕ22sin 211cos 2sin 2cos sin y x y x ①代入②得y ＝1－2x 2⇒2x 2＋y ＝1 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=122122y x x y解方程得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121y x∴交点坐标为（21,21） 49.答案：5353<<-x 解析：已知a 2＝9，b 2＝4，∴c ＝5，∵x PF x ex a PF 353||,353||21+=-=-= 由余弦定理，)959(195||||2||||||cos 2221221222121x x PF PF F F PF PF PF F --=⋅⋅-+=，∵∠F 1PF 2是钝角，∴－1＜cos F 1PF 2＜0，即0)959(195122<--<-x x ，解得5353<<-x ． 评述：本题也可以通过PF 1⊥PF 2时，找到P 点的横坐标的值.类似问题，在高考命题中反复出现，本题只是改变了叙述方式.50.答案：（6，0），（－4，0）①②解析：令⎩⎨⎧'='=-y y x x 1原方程化为标准形式191622='-'y x ．∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝25，c ＝5，在新坐标系下焦点坐标为（±5，0）．又由⎩⎨⎧='=±='=-051y y x x 解得⎩⎨⎧==06y x 和⎩⎨⎧=-=04y x所以焦点坐标为（6，0），（－4，0）．51.答案：（－4，0），（6，0）解析：由⎩⎨⎧=+=θθtan 31sec 4y x得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-θθtan 3sec 41y x由③2－④2，得916)1(22y x --＝1．令⎩⎨⎧'='=-y y x x 1把上式化为标准方程为91622y x '-'＝1． 在新坐标系下易知焦点坐标为（±5，0），又由⎩⎨⎧='=±='=-051y y x x解得⎩⎨⎧==06y x 和⎩⎨⎧=-=04y x ，所以焦点坐标为（6，0），（－4，0）. 52.答案：21解析：由题意知过F 1且垂直于x 轴的弦长为a b 22∴c ca ab -=222 ∴c a 12=∴21=a c ，即e =21① ② ③ ④评述：本题重点考查了椭圆的基本性质. 53.答案：（2，2）解析：将曲线方程化为（y －2）2=－4（x －2）.令x ′=x －2，y ′=y －2，则y ′2=－4x ′，∴h =2，k =2 ∴坐标原点应移到（2，2）. 54.答案：316 解析：如图8—15所示，设圆心P （x 0，y 0）则|x 0|＝2352+=+a c ＝4，代入16922y x -＝1，得y 02＝9716⨯ ∴|OP |＝3162020=+y x ． 评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想. 55.答案：（4，2）解析：将x －y =2代入y 2＝4x 得y 2－4y －8＝0，由韦达定理y 1＋y 2＝4，AB 中点纵坐标y ＝221y y +＝2，横坐标x ＝y ＋2＝4．故AB 中点坐标为（4，2）． 评述：本题考查了直线与曲线相交不解方程而利用韦达定理、中点坐标公式以及代入法等数学方法. 56.答案：（－4，0）解析：原方程消去参数θ，得92522y x +=1 ∴左焦点为（－4，0）. 57.答案：（1，－1）解析：将4x 2－8x ＋y ＋5＝0配方，得（x －1）2＝41-（y ＋1）， 令⎩⎨⎧'=+'=-y y x x 11则⎩⎨⎧-'=+'=.1,1y y x x 即新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（1，－1）.58.答案：4解析：∵抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点坐标是（2p ，0），由两点间距离公式，得223)22(++p =5. 解得p =4.59.答案：2解析：已知圆的方程为（x －3）2+y 2=42，∴圆心为（3，0），半径r =4. ∴与圆相切且垂直于x 轴的两条切线是x =－1，x =7（舍）而y 2=2px （p ＞0）的准线方程是x =－2p.图8—15∴由－2p=－1，得p =2，∴p =2. 60.答案：4解析：如图8—16，抛物线的焦点坐标为F （4a－1，0），若l 被抛物线截得的线段长为4，则抛物线过点A （4a －1，2），将其代入方程y 2＝a （x ＋1）中得 4＝a （4a －1＋1），a ＝±4，因a >0，故a =4.评述：本题考查了抛物线方程及几何性质，由对称性设焦点坐标以及数形结合法、待定系数法、代入法等基本方法.61.答案：4解析：如图8—17，抛物线y 2＝4（x ＋1）中，p =2，2p=1，故可求抛物线的焦点坐标为（0，0），于是直线L 与y 轴重合，将x =0代入y 2＝4（x ＋1）中得y =±2，故直线L 被抛物线截得的弦长为4.62.答案：x 2+（y －1）2=163.答案：y =±43x 解析：把原方程化为标准方程，得91622y x=1 由此可得a =4，b =3，焦点在x 轴上， 所以渐近线方程为y =±ab x ，即y =±43x .64.答案：y 2=－8x +8解析：由抛物线定义可知点的轨迹为抛物线，焦点为A （－1，0），准线为x =3.所以顶点在（1，0），焦点到准线的距离p =4，开口向左.∴y 2=－8（x －1），即y 2=－8x +8.65.答案：x =3 （x －2）2+y 2=1解析：原方程可化为y 2=－4（x －2），p =2，顶点（2，0），准线x =2p+3， 即x =3，顶点到准线的距离为1，即为半径，则所求圆的方程是（x －2）2+y 2=1.66.答案：（0，－3），（0，3） 67.解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a=2.图8—16图8—17又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111yy x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx ny k m x n y k PN PM ++=--=,， 得k PM ·k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++⋅--，将22222222,ab n b x a b y =-=m 2－b 2代入得k PM ·k PN =22a b . 评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意.68.解：（1）设F 2（c ，0）（c ＞0），P （c ，y 0），则2222b y a c -=1.解得y 0=±a b 2∴|PF 2|=ab 2在直角三角形PF 2F 1中，∠PF 1F 2=30°解法一：|F 1F 2|=3|PF 2|，即2c =ab 23将c 2=a 2+b 2代入，解得b 2=2a 2解法二：|PF 1|=2|PF 2|由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=2a .∵|PF 2|=a b 2，∴2a =ab 2，即b 2=2a 2，∴2=a b故所求双曲线的渐近线方程为y =±2x .69.（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知2a =|F 1B |+|F 2B |=10，得a =5，又c =4 所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. （Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得 |F 2B |=|y B |=59.（如图8—18） 因为椭圆右准线方程为x =425，离心率为54 根据椭圆定义，有|F 2A |=54（425－x 1），|F 2C |=54（425－x 2）由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得54（425－x 1）+54（425－x 2）=2×59由此得出x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为P （x 0，y 0） 则x 0=28221=+x x =4. （Ⅲ）由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x 由④－⑤得9（x 12－x 22）+25（y 12－y 22）=0. 即)))(2(25)2(921212121x x y y y y x x --+++=0（x 1≠x 2） 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+（k ≠0）代入上式，得 9×4+25y 0（－k1）=0（k ≠0）. 图8—18④⑤由上式得k =3625y 0（当k =0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m . 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称，如图8—18）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516. 注：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k =0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”的均不扣分. 70.解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题设得||||x y =2，即 y =±2x ，x ≠0 ① 因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得 ||PM |－|PN ||＜|MN |=2 ∵||PM |－|PN ||=2|m |＞0 ∴0＜|m |＜1因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上，故112222=--m y m x ②将①式代入②，并解得x 2=mm m 51)1(22--∵1－m 2＞0∴1－5m 2＞0 解得0＜|m |＜55. 即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）. 71.（Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得重心G （3,31cb +），外心F （cb c b 2,2122-+），垂心H （b ，c b b 2-）.。
圆锥曲线10类大题梳理(解析版)
圆锥曲线大题梳理考情分析圆锥曲线问题是高考的热点问题之一，多数情况在倒数第二题出现，难度为中高档题型。
纵观近几年高考试卷，圆锥曲线的大题主要有以下几种类型：已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程或斜率、多边形面积或面积最值、证明直线过定点或点在定直线上等。
各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可循。
热点题型突破题型一：最值问题1(2024·安徽合肥·统考一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F 0,1，过点F的直线l与C交于A,B两点，过A,B作C的切线l1,l2，交于点M，且l1,l2与x轴分别交于点D,E.(1)求证：DE= MF；d1d(2)设点P是C上异于A,B的一点，P到直线l1,l2,l的距离分别为d1,d2,d，求2d2的最小值.【思路分析】(1)利用导函数的几何意义求得直线l1,l2的表达式，得出D,E,M三点的坐标，联立直线l与抛物线方程根据韦达定理得出 DE= MF；d1d2d2k=221+1≥2，可求出d d12d2(2)利用点到直线距离公式可求得【规范解答的最小值.】(1)因为抛物线C的焦点为F 0,1，所以p=2，即C的方程为：x2=4y，如下图所示：设点A x 1,y 1,B x 2,y 2，由题意可知直线l 的斜率一定存在，设l :y =kx +1 ，=y =联立 x kx 2 y 4+1得x 2-4kx -4=0，所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.11由x 2=4y ，得y =4x 2,y =2x ，所以l 1:y -y 1=x 1 x -x 1，即y =x 122x -x 14.2令y =0，得x =x 12x12，即D ,0 ，同理l 2:y =x 222x -x 24x22，且E ,0 ，1 1所以 DE =2 x 1-x 2=2 x 1+x 22-4x 1x 2=2k 2+1.x 122x 14x 22x -x -2x 24由y =y ==2y ，得 x =-k1，即M 2k ,-1 .所以 MF =4k 2+4=2 k 2+1，故 DE = MF .(2)设点P x 0,y 0，结合(1)知l 1:y -y 1=x12x -x 1，即l 1:2x 1x -4y -x 2=101因为x 2=4y 1,x 2=4y 00，所以d 1=4y -x 022x 1x 01-24x 1+16=0-2x 0-x 21 2x 1x42x 1+16x =1-x 0222x 1+4.同理可得d 2=x 2-x 022x 2+24，所以d 1d 2=x x 10- 222x 1+4-x ⋅2x 0222x 2+4x =1-2x 0x +x 21 + 0x x 22x 42x 122+4x + 1x 222 +16-4=kx -0+4 x 022k 322+1.又d =y kx 0+01-k 2+12=x 04kx 0+1-+k 21 4kx 0+2=x 04-4k 2+1，d 1所以d 2d 2-4=kx 0 -04+x 2232+k 2116⋅k 2+1 -2x 04kx 0 +42k =221+1≥2.当且仅当k =0时，等号成立；d21即直线l 斜率为0时，d 1d 2取最小值2；求最值及问题常用的两种方法：(1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决；(2)代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。
历年高考圆锥曲线真题汇总以及解析
（2）若点P在 轴的上方，当 的面积最小时，求直线 的斜率 .
附：多项式因式分解公式：
24.
已知椭圆C： 过点 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为 的直线 与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点 ，求 的取值范围．
25.
已知直线x＝﹣2上有一动点Q，过点Q作直线l，垂直于y轴，动点P在l1上，且满足 (O为坐标原点)，记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知定点M( ，0)，N( ，0)，点A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．
试卷答案
1.A
【分析】
根据x=-1是抛物线 的准线，则点P到x=-1的距离等于PF，根据垂直线段最短，利用数形结合法，得到点F到直线2x-y+3=0的距离，即为P到直线 和直线 的距离之和的最小值求解.
（2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（3）若l过点 ，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．
12.
已知两动圆 和 （ ），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与 轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B满足： .
9.
已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，点 ，椭圆C短轴的一个端点恰为准线方程是_____.
11.
已知椭圆E： ，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）若 ，点K在椭圆E上， 、 分别为椭圆的两个焦点，求 的范围；
（1）求抛物线的方程；
高考数学圆锥曲线试题汇编
高考数学圆锥曲线试题汇编重庆文〔12〕以F 1〔2,0〕,F 2〔2,0〕为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点,那么椭圆的长轴长为〔A 〕23〔B 〕62〔C 〕72〔D 〕24〔21〕〔本小题总分值12分,〔Ⅰ〕小问4分,〔Ⅱ〕小问8分〕如题〔21〕图,倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F,且与抛物线交于A 、B 两点.题〔21〕图 〔Ⅰ〕求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；〔Ⅱ〕假设a 为锐角,作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ,证实|FP|-|FP|cos2a 为定值,并求此定值.〔21〕〔本小题12分〕〔Ⅰ〕解：设抛物线的标准方程为px y 22=,那么82=p ,从而.4=p 因此焦点)0,2(pF 的坐标为〔2,0〕.又准线方程的一般式为2p x -=. 从而所求准线l 的方程为2-=x .答〔21〕图〔Ⅱ〕解法一：如图〔21〕图作AC ⊥l ,BD ⊥l ,垂足为C 、D ,那么由抛物线的定义知 |F A |=|FC |,|FB |=|BD |.记A 、B 的横坐标分别为x x x z ,那么 |F A |＝|AC |＝4cos ||22cos ||2+=++=+a FA p p a FA p x x 解得aFA cos 14||-=, 类似地有a FB FB cos ||4||-=,解得aFB cos 14||+=.记直线m 与AB 的交点为E ,那么aaa a FB FA FB FA FA AE FA FE 2sin cos 4cos 14cos 1421|)||(|212||||||||||||=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=+-=-=所以a a FE FP 2sin 4cos ||||==. 故8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=-aa a aa FP FP .解法二：设),(A A y x A ,),(B B y x B ,直线AB 的斜率为a k tan =,那么直线方程为)2(-=x k y .将此式代入x y 82=,得04)2(42222=++=k x k x k ,故22)2(k k k x x B A +=+.记直线m 与AB 的交点为),(E E y x E ,那么 22)2(22kk x x x B A E +=+=, kx k y E E 4)2(=-=,故直线m 的方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=-224214k k x k k y . 令y =0,得P 的横坐标44222++-kk x P 故a k k x FP P 222sin 4)1(42||=+=-=. 从而8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=-aaa a a FP FP 为定值. 重庆理〔16〕过双曲线422=-y x 的右焦点F 作倾斜角为0105的直线,交双曲线于PQ 两点,那么|FP||FQ|的值为__________.(22) (本小题总分值12分)如图,中央在原点O 的椭圆的右焦点为F 〔3,0〕,右准线l 的方程为：x = 12.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ,使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠,证实||1||1||1321FP FP FP ++为定值,并求此定值.浙江文〔10〕双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 是准线上一点,且P F 1⊥P F 2,｜P F 1｜⋅｜P F 2 ｜＝4ab ,那么双曲线的离心率是(B)(C)2 (D)3(21)(此题15分)如图,直线y ＝kx ＋b 与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点,记△AOB 的面积为S ．(I)求在k ＝0,0＜b ＜1的条件下,S 的最大值； 〔Ⅱ)当｜AB ｜＝2,S ＝1时,求直线AB 的方程．〔21〕此题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等根底知识,考查解析几何的根本思想方法和综合解题水平．总分值15分．(I)解：设点A 的坐标为(1(,)x b ,点B 的坐标为2(,)x b ,由2214x y +=,解得1,2x =±所以22121||2112S b x x b b =-=≤+-=当且仅当b =,．S 取到最大值1． 〔Ⅱ〕解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kbx b +++-=2216(41)k b ∆=-+ ①｜AB12|2x x -== ② 又由于O 到AB的距离21||Sd AB === 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理,得424410k k -+= 解得,2213,22k b ==,代入①式检验,△＞0 故直线AB 的方程是y x =+y x =-或y x =+y x =． 浙江理〔9〕双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为1F ,2F ,P 是准线上一点,且12PF PF ⊥,124PF PF ab =,那么双曲线的离心率是〔〕Ｃ．2Ｄ．3天津文〔7〕设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，,且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合,那么此双曲线的方程为〔 〕Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 〔22〕〔本小题总分值14分〕设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点,212AF F F ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．〔Ⅰ〕证实a =；〔Ⅱ〕求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ,2Q 两点,那么12OQ OQ ⊥．〔22〕本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等根底知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法及推理、运算水平．总分值14分．〔Ⅰ〕证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，,2(0)F c ，,不妨设点()A c y ，,其中 0y >,由于点A 在椭圆上,有22221c y a b +=,222221a b y a b-+=, 解得2b y a =,从而得到2b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,直线2AF 的方程为2()2b y x c ac =+,整理得 2220b x acy b c -+=．由题设,原点O 到直线1AF 的距离为113OF ,即23c =将222c a b =-代入原式并化简得222a b =,即a =．证法二：同证法一,得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，,过点O 作1OB AF ⊥,垂足为H ,易知112F BC F F A △∽△,故211BO F A OF F A=由椭圆定义得122AF AF a +=,又113BO OF =,所以 2212132F AF A F A a F A==-, 解得22aF A =,而22b F A a =,得22b a a =,即a =． 〔Ⅱ〕解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=．当(0)t b ∈，时,圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内,故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ,因此点111()Q x y ，,222()Q x y ，的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ①②的解．当00y ≠时,由①式得 200t x xy y -=代入②式,得22220022t x x x b y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,即22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=,于是2012220042t x x x x y +=+,422122200222t b y x x x y -=+ 2201121201t x x t x x y y y y --=422012012201()t x t x x x x x y ⎡⎤=-++⎣⎦ 242242200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭ 422220022t b x x y -=+． 假设12OQ OQ ⊥,那么42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++． 所以,42220032()0t b x y -+=．由22200x y t +=,得422320t b t -=．在区间(0)b ，内此方程的解为3t b =． 当00y =时,必有00x ≠,同理求得在区间(0)b ，内的解为t =． 另一方面,当t =时,可推出12120x x y y +=,从而12OQ OQ ⊥． 综上所述,(0)3t b b =∈，使得所述命题成立． 天津理 22．〔本小题总分值14分〕设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点,212AF F F ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．〔Ⅰ〕证实a =；〔Ⅱ〕设12Q Q ，为椭圆上的两个动点,12OQ OQ ⊥,过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ,垂足为D ,求点D 的轨迹方程．22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等根底知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法及推理、运算水平．总分值14分．〔Ⅰ〕证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，,2(0)F c ，,不妨设点()A c y ，,其中0y >．由于点A 在椭圆上,有22221c y a b +=,即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =,从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+,整理得2220b x acy b c -+=． 由题设,原点O 到直线1AF 的距离为113OF ,即23c =,将222c a b =-代入上式并化简得222a b =,即a =．证法二：同证法一,得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥,垂足为B ,易知1F BO △∽12F F A △,故211BO F A OF F A=．由椭圆定义得122AF AF a +=,又113BO OF =, 所以2212132F AF A F A a F A==-, 解得22aF A =,而22b F A a =,得22b a a =,即a =． 〔Ⅱ〕解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时,由12OD Q Q ⊥知,直线12Q Q 的斜率为0x y -,所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+,或y kx m =+,其中00x k y =-,200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式,得2222()2x kx m b ++=, 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=,于是122412kmx x k+=-+,21222212m b x x k -=+． 由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k---=++=+++··． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+, 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式,整理得2220023x y b +=．当00y =时,直线12Q Q 的方程为0x x =,111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==,12y =，． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=,即2220202b x x --=, 解得22023x b =． 这时,点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上,点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，,直线OD 的方程为000y x x y -=,由12OD Q Q ⊥,垂足为D ,可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+〔显然0m ≠〕,点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ② 由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=． 整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=,于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦ 将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=, 整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=,于是22212220022m b x y y x y -=+． ⑧ 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++, 22220032()0m b x y -+=．将2200m x y =+代入上式,得2220023x y b +=． 所以,点D 的轨迹方程为22223x y b +=．四川文〔5〕如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是(A)364 (B)362 (C)62 (D)32 (10)抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B,那么|AB|等于A.3B.4C.32D.42 解析：选C ．设直线AB 的方程为y x b =+,由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩,进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+,又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =,∴220x x +-=,由弦长公式可求出AB ==量增大．〔21〕(本小题总分值12分)求F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. 〔Ⅰ〕假设r 是第一象限内该数轴上的一点,221254PF PF +=-,求点P 的作标； 〔Ⅱ〕设过定点M 〔0,2〕的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ,且∠ADB 为锐角〔其中O 为作标原点〕,求直线l 的斜率k 的取值范围.解析：此题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等根底知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理计算水平．〔Ⅰ〕易知2a =,1b =,c =∴1(F,2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．那么22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=---=+-=-,又2214x y +=,联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得221134x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩(1,2P ． 〔Ⅱ〕显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+,设11(,)A x y ,22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+,1221614kx x k+=-+ 由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>,2430k ->,得234k >．① 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>, ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++ 22212(1)21641414k k kk k +⋅=-+++ 224(4)014k k -=>+ ∴2144k -<<．② 综①②可知2344k <<,∴k的取值范围是3(2,(,2)2-． 四川理20〕〔本小题总分值12分〕设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. 〔Ⅰ〕假设P 是该椭圆上的一个动点,求1PF ·2PF 的最大值和最小值;〔Ⅱ〕设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,且∠AOB 为锐角〔其中O 为坐标原点〕,求直线l 的斜率k 的取值范围.〔20〕此题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等根底知识,以及综合应用数学知识解决问题及推理计算水平.解：〔Ⅰ〕解法一：易知2,1,a b c ===所以())12,F F ,设(),P x y ,那么())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=---=+-()2221133844x x x =+--=-由于[]2,2x ∈-,故当0x =,即点P 为椭圆短轴端点时,12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±,即点P 为椭圆长轴端点时,12PFPF ⋅有最大值1 解法二：易知2,1,a b c ===所以())12,F F ,设(),P x y ,那么22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅((22222211232x y x y x y ⎡⎤=++++-=+-⎢⎥⎣⎦〔以下同解法一〕〔Ⅱ〕显然直线0x =不满足题设条件,可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-,联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：2k <或2k >- 又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++,即24k < ∴22k -<<故由①、②得2k -<<2k << 上海理8、双曲线22145x y -=,那么以双曲线中央为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____21、半椭圆()222210x y x a b +=≥与半椭圆()222210y x x b c+=≤组成的曲线称为“果圆〞,其中222,0,0a b c a b c =+>>>,012,,F F F 是对应的焦点.〔1〕假设三角形012F F F 是边长为1的等边三角形,求“果圆〞的方程； 〔2〕假设11A A B B >,求ba的取值范围；〔3〕一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦.是否存在实数k ,使得斜率为k 的直线交果圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？假设存在,求出所有k 的值；假设不存在,说明理由. 21．[解]〔1〕∵F 0〔c,0〕F 1〔0,22c b --〕,F 2〔0,22c b -〕∴| F 0F 1 |＝1)(222==+-b c c b ,| F 1F 2 |＝1222=-c b 于是432=c ,47222=+=c b a ,所求“果圆〞方程为 17422=+y x 〔x ≥0〕,13422=+x y 〔x ≤0〕． ……4分〔2〕由题意,得a ＋c ＞2b ,即a b b a ->-222． ∵〔2b 〕2＞b 2＋c 2,∴a 2－b 2＞〔2b －a 〕2,得54<a b ……7分又b 2＞c 2＝a 2－b 2,∴2122>a b ． ∴)54,22(∈a b ． 〔3〕设“果圆〞的方程为12222=+b y a x 〔x ≥0〕12222=+ax b y 〔x ≤0〕记平行弦的斜率为k ．当k ＝0时,直线y ＝t 〔－b ≤t ≤b 〕与半椭圆12222=+b y a x 〔x ≥0〕的交点是),1(22t b t a p -,与半椭圆12222=+a x b y 〔x ≤0〕的交点是Q 〔t bt c ,122--〕． ∴P 、Q 的中点M 〔x ,y 〕满足⎪⎩⎪⎨⎧=--=t y b t c a x 2212得22221()2x y a c b +=-． ∵a ＜2b ,∴02222)2(22≠+-⋅--=--bc a b c a b c a ． 综上所述,当k ＝0时,“果圆〞平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆……14分1当k ＞0时,以k 为斜率过B 1的直线l 与半椭圆12222=+b y a x 〔x ≥0〕的交点是),2(2223222222b a k b b a k b a k b ka +-+ 由此,在直线l 右测,以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kb y 22=上,即不在某一椭圆上．……17分 当k ＜0时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． ……18分上海文21．〔此题总分值18分〕此题共有3个小题,第1小题总分值4分,第2小题总分值5分,第3小题总分值9分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆〞,其中222c b a +=,0>a ,0>>c b ．如图,设点0F ,1F ,2F 是相应椭圆的焦点,1A ,2A 和1B ,2B 是“果圆〞 与x ,y 轴的交点,M 是线段21A A 的中点．〔1〕假设012F F F △是边长为1的等边三角形,求该 “果圆〞的方程；〔2〕设P 是“果圆〞的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时,P 在点12B B ，或1A 处；〔3〕假设P 是“果圆〞上任意一点,求PM 取得最小值时点P 的横坐标． 21．解：〔1〕((012(0)00F c F F -，，，，,021211F F b F F ∴====，,于是22223744c a b c ==+=，,所求“果圆〞方程为2241(0)7x y x +=≥,2241(0)3y x x +=≤．〔2〕设()P x y ，,那么2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤, 0122<-cb ,∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时,P 在点12B B ，或1A 处．〔3〕||||21MA M A = ,且1B 和2B 同时位于“果圆〞的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上,所以,由〔2〕知,只需研究P 位于“果圆〞的半椭圆22221(0)x y x a b+=≥上的情形即可． 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=． 当22()2a a c x a c -=≤,即2a c ≤时,2||PM 的最小值在222)(c c a a x -=时取到, 此时P 的横坐标是222)(c c a a -．当a c c a a x >-=222)(,即ca 2>时,由于2||PM 在a x <时是递减的,2||PM 的最小值在a x =时取到,此时P 的横坐标是a ．综上所述,假设2a c ≤,当||PM 取得最小值时,点P 的横坐标是222)(c c a a -；假设c a 2>,当||PM 取得最小值时,点P 的横坐标是a 或c -． 陕西文3.抛物线y x =2的准线方程是 〔A 〕014=+x 〔B 〕014=+y 〔C 〕012=+x〔D 〕012=+y9.双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是 〔A 〕a(B)b(C)ab(D)22b a +22. (本小题总分值14分)椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为23,求△AOB 面积的最大值.22．〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕设椭圆的半焦距为c ,依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=,∴所求椭圆方程为2213x y +=．〔Ⅱ〕设11()A x y ，,22()B x y ，． 〔1〕当AB x ⊥轴时,AB ． 〔2〕当AB 与x 轴不垂直时, 设直线AB 的方程为y kx m =+．2=,得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程,整理得222(31)6330k x kmx m +++-=,122631kmx x k -∴+=+,21223(1)31m x x k -=+． 22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤． 当且仅当2219k k =,即k =时等号成立．当0k =时,AB =,综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时,AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 山东理〔13〕设O 是坐标原点,F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,A 是抛物线上的一点,FA 与x 轴正向的夹角为60,那么OA 为 ． 〔21〕〔本小题总分值12分〕椭圆C 的中央在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．〔Ⅰ〕求椭圆C 的标准方程；〔Ⅱ〕假设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点〔A B ，不是左右顶点〕,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>3,1a c a c +=-=,22,1,3a c b ===221.43x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ,由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=,22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->,22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-,1212122y yx x ∴⋅=---,1212122()40y y x x x x +-++=, 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++,2271640m mk k ++=,解得1222,7km k m =-=-,且满足22340k m +->. 当2m k =-时,:(2)l y k x =-,直线过定点(2,0),与矛盾；当27k m =-时,2:()7l y k x =-,直线过定点2(,0).7综上可知,直线l 过定点,定点坐标为2(,0).7全国2理11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点,假设双曲线上存在点A ,使1290F AF ∠=且123AF AF =,那么双曲线的离心率为〔 〕A B CD 12．设F 为抛物线24y x =的焦点,A B C ，，为该抛物线上三点,假设FA FB FC ++=0,那么FA FB FC ++=〔 〕 A ．9B ．6C ．4D ．320．〔本小题总分值12分〕在直角坐标系xOy 中,以O为圆心的圆与直线4x -=相切． 〔1〕求圆O 的方程；〔2〕圆O 与x 轴相交于A B ，两点,圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列,求PA PB 的取值范围．20．解：〔1〕依题设,圆O 的半径r 等于原点O到直线4x =的距离,即2r ==．得圆O 的方程为224x y +=．〔2〕不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，．设()P x y ，,由PA PO PB ，，成等比数列,得2222(2)x x y -+=+,即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =-----，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内,故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，．全国2文11．椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么椭圆的离心率等于〔 〕 A ．13B．3C ．12D ．212．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．假设点P 在双曲线上,且120PF PF =,那么12PF PF +=〔 〕AB ．CD ．全国1理〔4〕双曲线的离心率为2,焦点是(40)-，,(40)，,那么双曲线方程为〔 〕 A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -=〔11〕抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F x 轴上方的局部相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,那么AKF △的面积是〔 〕A ．4B ．C ．D ．8〔21〕〔本小题总分值12分〕椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点,过2F 的直线交椭圆于A C ，两点,且AC BD ⊥,垂足为P ．〔Ⅰ〕设P 点的坐标为00()x y ，,证实：2200132x y +<； 〔Ⅱ〕求四边形ABCD 的面积的最小值．〔21〕证实：〔Ⅰ〕椭圆的半焦距1c ==,由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上,故22001x y +=,所以,222200021132222y x y x ++=<≤． 〔Ⅱ〕〔ⅰ〕当BD 的斜率k 存在且0k ≠时,BD 的方程为(1)y k x =+,代入椭圆方程22132x y +=,并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，,22()D x y ，,那么2122632k x x k +=-+,21223632k x x k -=+2212221(1)()4BD x x k x x x x ⎡=-=++-=⎣；由于AC 与BC 相交于点P ,且AC 的斜率为1k-, 所以,2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时,上式取等号．〔ⅱ〕当BD 的斜率0k =或斜率不存在时,四边形ABCD 的面积4S =． 综上,四边形ABCD 的面积的最小值为9625． 宁夏理6．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点111222()()P x y P x y ，，，,333()P x y ，在抛物线上, 且2132x x x =+, 那么有〔 〕 Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =·13．双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,那么该双曲线的离心率为 ．3 19．〔本小题总分值12分〕在平面直角坐标系xOy 中,经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． 〔I 〕求k的取值范围；〔II 〕设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，,是否存在常数k ,使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在,求k 值；如果不存在,请说明理由．19．解：〔Ⅰ〕由条件,直线l 的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭,解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为22⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． 〔Ⅱ〕设1122()()P x y Q x y ，，，,那么1212()OP OQ x x y y +=++，,由方程①,12212x x k +=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =-，，．所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+,将②③代入上式,解得2k =．由〔Ⅰ〕知2k <-或2k >,故没有符合题意的常数k ． 辽宁理11．设P 为双曲线22112y x -=上的一点,12F F ，是该双曲线的两个焦点,假设12||:||3:2PF PF =,那么12PF F △的面积为〔 〕A ．B ．12C ．D ．2414．设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10,F 是该椭圆的左焦点,假设点M 满足1()2OM OP DF =+,那么||OM = ． 20．〔本小题总分值14分〕正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上,其中O 为坐标原点,设圆C 是OAB 的内接圆〔点C 为圆心〕 〔I 〕求圆C 的方程；〔II 〕设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=,过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，,切点为E F ，,求CE CF ，的最大值和最小值． 本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等根本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的水平．总分值14分．〔I 〕解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，,由题设知=． 解得221212y y ==,所以(6A ,(6B -，或(6A -，,(6B ． 设圆心C 的坐标为(0)r ，,那么2643r =⨯=,所以圆C 的方程为 22(4)16x y -+=． ······················································································· 4分解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，,22()x y ，,由题设知22221122x y x y +=+．又由于2112y x =,2222y x =,可得22112222x x x x +=+．即1212()(2)0x x x x -++=．由10x >,20x >,可知12x x =,故A B ，两点关于x 轴对称,所以圆心C 在x 轴上．设C 点的坐标为(0)r ，,那么A 点坐标为32r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,于是有23222r r ⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭,解得4r =,所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=． ······························································· 4分 〔II 〕解：设2ECF a ∠=,那么2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-． ·································· 8分在Rt PCE △中,4cos ||||x PC PC α==,由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=,||||1716PC MC -=-=≥,所以12cos 23α≤≤,由此可得 1689CE CF --≤≤．那么CE CF 的最大值为169-,最小值为8-．江西理9．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=,右焦点为(0)F c ，,方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ,那么点12()P x x ，〔 〕 Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能21．〔本小题总分值12分〕设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ,2APB θ∠=,且存在常数(01)λλ<<,使得212sin d d θλ=．〔1〕证实：动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程； 〔2〕过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点,试确定λ的范围,使OM ON =0,其中点O 为坐标原点．解法一：〔1〕在PAB △中,2AB =,即222121222cos 2d d d d θ=+-,2212124()4sin d d d d θ=-+,即122d d -==<〔常数〕,点P 的轨迹C 是以AB ，为焦点,实轴长2a =方程为：2211x y λλ-=-． 〔2〕设11()M x y ，,22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ，,(11)N -，在双曲线上．即211111012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-,由于01λ<<,所以12λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-．y由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦, 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦,所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x kλλλ=--=--． 由于0OM ON =,且M N ，在双曲线右支上,所以2121222122212(1)0(1)2101131001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩． 由①②知23λ<． 解法二：〔1〕同解法一〔2〕设11()M x y ，,22()N x y ，,MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时,221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-,由于01λ<<,所以λ=； ②当12x x ≠时,221102202211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 220001(1)21x x x λλ==+---．所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=-由于01x >,所以2(1)123λλ->-,又01λ<<,解得：1223λ<<．由①②知1223λ<≤． 江西文7．连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ,设点O 为坐标原点,那么三角形OAM 的面积为〔 〕Ａ．1-+Ｂ．32Ｃ．1+Ｄ．32+12．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=,右焦点为(0)F c ，,方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ,那么点12()P x x ，〔 〕Ａ．必在圆222x y +=上 Ｂ．必在圆222x y +=外 Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能22．〔本小题总分值14分〕设动点P 到点1(10)F -，和2(10)F ，的距离分别为1d 和2d ,122F PF θ=∠,且存在常数(01)λλ<<,使得212sin d d θλ=．〔1〕证实：动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程；〔2〕如图,过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A B ，两点．问：是否存在λ,使1F AB △是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形？假设存在,求出λ的值；假设不存在,说明理由．22．解：〔1〕在12PF F △中,122F F =22221212121242cos 2()4sin d d d d d d d d θθ=+-=-+212()44d d λ-=-12d d -=2的常数〕故动点P 的轨迹C 是以1F ,2F 为焦点,实轴长2a =方程为2211x y λλ-=-． 〔2〕方法一：在1AF B △中,设11AF d =,22AF d =,13BF d =,24BF d =． 假设1AF B △为等腰直角三角形,那么12343421323422πsin 4d d a d d a d d d d d d λ⎧⎪-=⎪-=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩①②③④⑤ 由②与③得22d a =,那么1343421)d ad d d a a=⎧⎪=⎨⎪=-=⎩由⑤得342d d λ=,21)2a λ=(8)2λλ--=,(01)λ=，故存在λ=方法二：〔1〕设1AF B △为等腰直角三角形,依题设可得21212212122πsin π81cos 4πsin 24AF AF AF AF BF BF BF BF λλλλ⎧⎧===⎪⎪⎪⎪-⇒⎨⎨⎪⎪=⎪=⎪⎩⎩所以12121πsin (21)24AF F S AF AF λ==+△,121212BF F S BF BF λ==△． 那么1(22)AF B S λ=+△．① 由12122221AF F BF F S AF S BF ==+△△,可设2BF d =,那么2(21)AF d =+,1(22)BF AB d ==+． 那么122211(22)22AF B S AB d ==+△．② 由①②得2(22)2d λ+=．③根据双曲线定义12221BF BF a λ-==-可得,(21)21d λ+=-．平方得：22(21)4(1)d λ+=-．④由③④消去d 可解得,1222(01)17λ-=∈， 故存在122217λ-=满足题设条件． 江苏理3．在平面直角坐标系xOy 中,双曲线中央在原点,焦点在y 轴上,一条渐近线方程为20x y -=,那么它的离心率为A ．5B ．52C ．3D ．2 15．在平面直角坐标系xOy 中,ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ,顶点B 在椭圆2212516x y +=上,那么sin sin sin A CB+= .19、〔本小题总分值14分〕如图,在平面直角坐标系xOy 中,过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线,与抛物线2y x=相交于AB 两点,一条垂直于x 轴的直线,分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q ,〔1〕假设2OA OB ⋅=,求c 的值；〔5分〕BAxyOC QlP〔2〕假设P 为线段AB 的中点,求证：QA 为此抛物线的切线；〔5分〕 〔3〕试问〔2〕的逆命题是否成立？说明理由.〔4分〕解：〔1〕设过C 点的直线为y kx c =+,所以()20x kx c c =+>,即20x kx c --=,设A ()()1122,,,x yB x y ,OA =()11,x y ,()22,OB x y =,由于2OA OB ⋅=,所以12122x x y y +=,即()()12122x x kx c kx c +++=,()221212122x x k x x kc x x c +-++=所以222c k c kc k c --++=,即220,c c --=所以()21c c ==-舍去 〔2〕设过Q的切线为()111y y k x x -=-,/2y x =,所以112k x =,即2211111222y x x x y x x x =-+=-,它与y c =-的交点为M 11,22x c c x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,又21212,,2222x x y y k k P c ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以Q ,2k c ⎛⎫- ⎪⎝⎭,由于12x x c =-,所以21c x x -=,所以M 12,,222x x k c c ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以点M 和点Q 重合,也就是QA 为此抛物线的切线.〔3〕〔2〕的逆命题是成立,由〔2〕可知Q ,2k c ⎛⎫- ⎪⎝⎭,由于PQ ⊥x 轴,所以,2P k P y ⎛⎫⎪⎝⎭由于1222x x k+=,所以P 为AB 的中点. 9．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=〔0a b >>〕的左、右焦点,假设在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ,那么椭圆离心率的取值范围是〔 〕 A ．02⎛⎝⎦，B．0⎛⎝⎦C．12⎫⎪⎪⎣⎭D．1⎫⎪⎪⎣⎭20．〔本小题总分值12分〕双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．〔I 〕假设动点M 满足1111FM F A F B FO =++〔其中O 为坐标原点〕,求点M 的轨迹方程； 〔II 〕在x 轴上是否存在定点C ,使CA ·CB 为常数？假设存在,求出点C 的坐标；假设不存在,请说明理由．20．解：由条件知1(20)F -，,2(20)F ，,设11()A x y ，,22()B x y ，． 解法一：〔I 〕设()M x y ，,那么那么1(2)FM x y =+，,111(2)F A x y =+，, 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，,由1111FM F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时,121224822y y y y x x x x -==----,即1212()8y y y x x x -=--． 又由于A B ，两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8yy y x x x -=--代入上式,化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ，,也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．〔II 〕假设在x 轴上存在定点(0)C m ，,使CA CB 为常数．当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．那么12x x ，是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-,于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 由于CA CB 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA CB =1-．当AB 与x 轴垂直时,点A B ，的坐标可分别设为(2,(2-，, 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，,使CA CB 为常数．解法二：〔I 〕同解法一的〔I 〕有12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩，当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．那么12x x ，是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-．21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．由①②③得22441k x k -=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时,0y ≠,由④⑤得,4x k y-=,将其代入⑤有 2222444(4)(4)(4)1x y x y y x x yy -⨯-==----．整理得22(6)4x y --=． 当0k =时,点M 的坐标为(40)，,满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ，,也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．〔II 〕假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，,使CA CB 为常数,当AB 不与x 轴垂直时,由〔I 〕有212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-．以上同解法一的〔II 〕．湖南文9．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=〔0a b >>〕的左、右焦点,P 是其右准线上纵坐标为〔c 为半焦距〕的点,且122||||F F F P =,那么椭圆的离心率是〔 〕AB ．12CD19．〔本小题总分值13分〕双曲线222x y -=的右焦点为F ,过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点,点C 的坐标是(10)，．〔I 〕证实CA ,CB 为常数；〔II 〕假设动点M 满足CM CA CB CO =++〔其中O 为坐标原点〕,求点M 的轨迹方程． 19．解：由条件知(20)F ，,设11()A x y ，,22()B x y ，．〔I 〕当AB 与x 轴垂直时,可设点A B ，的坐标分别为(2,(2-，, 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． 当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=,有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．那么12x x ，是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-,于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++-- 22(42)411k k =--++=-．综上所述,CA CB 为常数1-．〔II 〕解法一：设()M x y ，,那么(1)CM x y =-，,11(1)CA x y =-，,22(1)CB x y =-，,(10)CO =-，,由CM CA CB CO =++得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，。
历年高考圆锥曲线试题归纳.doc
全国历年髙考圆锥曲线试题2010 文(5)中心在原点，焦点在X 轴上的双曲线的-•条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为(A) V6⑹厉(c)¥(D)T(20)(本小题满分12分)设F| ,佗分别是椭圆E ：F+gj (0<b< 1)的左、右焦点，过倂的直线/与E 相交于A 、B 两点,且\AF 2\f \AB\f \BF 2\成等差数列。
(I )求|AB|(II)若直线I 的斜率为1,求b 的值。
2010 理(12)已知双曲线E 的屮心为原点，P(3,0)是E 的焦点，过F 的直线/与E 相交于A, B 两点，且AB 的中点为/V(-12,-15)，则E 的方程式为(20)(本小题满分12分)设件巧分别是椭圆E:〔 + — = l(d>b>0)的左、右焦点，过斥斜率为1的直线i cr Zr 与E 相交于A,B 两点,且\AF 2\]AB\]BF 2\成等差数列。
(1)求E 的离心率；(2)设点卩(0,-1)满足|PA| = |PB|,求E 的方程 2011 文 X 2 y 24.椭圆 -- F -— = 1的离心率为16 8 ,1 1 , V3 yf232327y4 522X y5 4⑻1(D) 19•己知直线/过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直./与C 交于A,B 两点,AB =12, P为C的准线上一点，则4ABP的面积为A.18B. 24C. 36D. 4820.(本小题满分12分)在平面直角坐标系兀oy中，曲线y = X2-6%+1与坐标轴的交点都在圆C上(I )求圆C的方程；(II)若圆C与直线x-y^a = 0交与A, B两点，且0A丄0B,求a的值.2011理(7)设直线力过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，厶与C交于A ,Z?两点，AB\为Q的实轴长的2倍，则Q的离心率为(A)近(B) >/3 (C) 2 (D) 3注：基本量之间的关系，方程的列出，离心率的求法(14)在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点斥,鬥在兀轴上，离心率为V3。
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高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集1.如图，直线 l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是 A，点 B、D 在直线 l1上(B、D 位于点 A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是 N，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹 C 的方程．(Ⅱ)过点 D 且不与 l1、l2垂直的直线 l 交(Ⅰ)中的轨迹 C 于E、F 两点；另外平面上的点G、H 满足：①AG =AD(∈ R); ②GE +GF ③求点 G 的横坐标的取值范围．e =2.设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率上的点的最远距离是 4，求这个椭圆的方程. ，已知点P(0,3) 到这个椭圆x 2 y 2 253.已知椭圆C1 :2+2= 1(a >b > 0) x =的一条准线方程是,4 其左、右顶点分别3l2MA D NB l1a b是A、B；双曲线x 2 y 2C2 :a 2-b 2= 1的一条渐近线方程为 3x－5y=0.（Ⅰ）求椭圆 C1的方程及双曲线 C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP 交椭圆C1于点M，连结PB 并延长交椭圆C1于点 N，若 AM =MP . 求证： MN •AB = 0.4.椭圆的中心在坐标原点 O,右焦点 F（c,0）到相应准线的距离为 1，倾斜角为45°的直线交椭圆于 A，B 两点.设 AB 中点为 M，直线 AB 与OM 的夹角为 a.（1）用半焦距 c 表示椭圆的方程及 tan;（2）若2<tan<3，求椭圆率心率 e 的取值范围.x2 +y2 e =65.已知椭圆a2b2 （a＞b＞0）的离心率 3 ，过点 A（0，-b）和 B（a，0）的直3线与原点的距离为2（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D 两点问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由6. 在直角坐标平面中， ∆ABC 的两个顶点 A , B 的坐标分别为 A (-1,0) ， B (1,0) ，平面内两点G , M 同时满足下列条件：① GA + GB + GC = 0 ；② == ；③ GM ∥ AB （1） 求∆ABC 的顶点C 的轨迹方程； （2） 过点P (3,0) 的直线l 与（1）中轨迹交于 E , F 两点，求 PE ⋅ PF 的取值范围x , y ∈ Ri , j7.设，为直角坐标平面内 x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若= a = xi + ( y + 2) j , bxi + ( y - 2) j | a ，且 | +| b |= 8 （Ⅰ）求动点 M(x,y)的轨迹 C 的方程；（Ⅱ）设曲线 C 上两点 A ．B ，满足(1)直线 AB 过点（0，3），(2)若OP = OA + OB ，则 OAPB为矩形，试求 AB 方程．yD CEAO A 1 xD 1C 1y 2= m (x + n ),(m ≠ 0, n > 0) 8. 已知抛物线 C ：的焦点为原点，C 的准线与直线l : kx - y + 2k = 0(k ≠ 0) 的交点 M 在x 轴上， l 与 C 交于不同的两点 A 、B ，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线 C 的方程； （Ⅱ）求实数 p 的取值范围；（Ⅲ）若 C 的焦点和准线为椭圆 Q 的一个焦点和一条准线，试求 Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴 AA 1 在x 轴上.以 A 、A 1 为焦点的双曲线交椭圆于1 AE =C 、D 、D 1、C 1 四点，且|CD|＝ 2 |AA 1|.椭圆的一条弦 AC 交双曲线于E ，设 EC ，当 2 ≤ ≤ 334 时，求双曲线的离心率 e 的取值范围.4x 2+ 5 y =2 80 10. 已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆点（点 A 在 y 轴正半轴上）.上，且点 A 是椭圆短轴的一个端 若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程; 若角 A 为900，AD 垂直 BC 于 D ，试求点 D 的轨迹方程.x 2 = 4 yP (0, m ) (m > 0)11.如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A ,B 两点，点Q 是点 P 关于原点的对称点.(1) 设点 P 分有向线段 AB 所成的比为，证明:QP ⊥ (QA -QB ) ;(2) 设直线 AB 的方程是 x - 2 y +12 = 0 ，过 A , B 两点的圆C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆C 的方程.1 +p 2 p12. 已知动点 P （p ，-1），Q （p ， 2 ），过 Q 作斜率为 2 的直线 l ，P Q 中点 M 的轨迹为曲线 C.（1） 证明：l 经过一个定点而且与曲线 C 一定有两个公共点； （2） 若（1）中的其中一个公共点为 A ，证明：AP 是曲线 C 的切线； （3） 设直线 AP 的倾斜角为，AP 与l 的夹角为，证明：+ 或- 是定值.7 3 113.在平面直角坐标系内有两个定点F 1、F 2 和动点 P ， F 1、F 2 坐标分别为 F 1 (-1,0) 、| PF 1 | =F 2 (1,0) ，动点 P 满足| PF 2 | 2 ，动点 P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线 y = x 的对称曲线为曲线C ' ，直线 y = x + m - 3 与曲线C' 交于 A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的 面积为 ，（1）求曲线 C 的方程；（2）求m 的值。
圆锥曲线单选难题20题
圆锥曲线单选难题20道1．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，若12PF F △的内切圆1O 的半径与12QF F 的内切圆2O 的半径的乘积为2a ，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C D故选：A2．（2021秋·重庆北碚·高二重庆市朝阳中学校考期中）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22224:5b C x y +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎛ ⎝⎭C．⎫⎪⎣⎭D．⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆离心率最值的求法，应用椭圆的有界性以及参数关系求离心率范围是解题的关键，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题3．（2023秋·重庆铜梁·高二校联考期末）如图，O 是坐标原点，P 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则E 的离心率为（）A ．4B ．3C D 由对称性可知，点O 是线段PQ 是有PFQF ' 是矩形，设FR m =，则|||2∣PF FQ m '==在Rt F PR ' 中，2(2)(32m m a +-从而有82,||33a a PF PF ='=，Rt 173c e a ==，所以双曲线E 的离心率为173．故选：B4．（2022·重庆·校联考模拟预测）已知F 1，F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1=2r2，则直线l的斜率为（）A．1BC．2D．5．（2023秋·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期末）设1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左､右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ，N 两点，且135MAN ∠=︒，（如图），则该双曲线的离心率为（）ABC ．2D6．（2022秋·重庆云阳·高二重庆市云阳凤鸣中学校校考期末）双曲线C ：()222210,0x y a ba b -=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C交于A ，B 两点，且222AF F B = ，160ABF ∠=︒，点M 为线段2AF 的中点，则112F MF F =（）A ．43B ．7C ．53D ．87．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F 与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且4||||5DE AB =，则直线l 的方程为（）A ．10x -=B ．10x y ±-=C ．220x y ±-=D ．210x y ±-=由抛物线的定义知2(||1)MN +=故||1MN r =-，所以228||2(1)5DE r r r =--=，即21650250r r -+=，8．（2023秋·重庆渝北·高二为明学校校考期末）已知F 1、F 2是双曲线E ：220x y a b-=(a >0，b >0）的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P 、Q ．若119FQ F P =，M 为PQ 的中点，且12FQ F M ⊥uuur uuuur，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．2C ．4D ．49．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线22:5C y x -=与直线2x =±所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体Γ，下列平面图形绕其对称轴（虚线所示）旋转一周所得几何体与Γ的体积相同的是（）B．图②，长为宽为4的矩形的两端补上两个弦长为4､半径为3的弓形C．图③，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形D．图④，长为宽为4的矩形的两端补上两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形故选：B.【点睛】关键点点睛：本题以祖暅原理为载体，考查了旋转体截面面积的求解问题；解题关键是能够充分理解祖暅原理，根据直线与平面图形的相交弦来确定旋转后所得的图形，并求得图形面积，根据“幂势既同，则积不容异”来得到结论10．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（）A ．2B ．3C ．52D 【答案】D【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解.11．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ y ⊥轴，四边形1F APQ 是等腰梯形，直线1F P 与y 轴交于点4N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）．A ．14B ．2C ．2D ．12【答案】D【分析】做PM x ⊥轴于点M ，得到点P 的纵坐标，从而得到PM ，然后根据11F NO F PM ，列出方程，即可得到结果.【详解】由题意，做PM x ⊥轴于点M ，因为四边形1F APQ 是等腰梯形，则1F O AM c ==，OM a c=-12．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考开学考试）已知焦点在x 轴上的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．2⎛ ⎝⎦B ．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,3⎛ ⎝⎦D ．3⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【分析】设AB 所在直线方程为x ty c =-，与椭圆方程联立，利用弦长公式及两平行线13．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知椭圆C ：221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得△PF 1F 2的内切圆的半径为2c，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．305⎛⎤⎥⎝⎦，B ．40，5çúçúC ．3，15÷ê÷êD ．4，15÷ê÷ê14．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，内、外椭圆的离心A 和短轴的一个端点B 分别向内层椭圆引切线,AC BD ，若,AC BD 的斜率分别为12,k k ，则2212k k +的最小值为（）A ．13B ．23C ．43D ．3215．（2023春·四川广元·高二四川省剑阁中学校校考阶段练习）已知两点,M P 在双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右支上，点M 与点N 关于原点对称，NP 交y 轴于点T ，若0MN MP ⋅= ，27OT ON OT =⋅，则双曲线C 的离心率为（）ABCD．因为O 为MN 的中点，故OQ ∥设11112(,)(0,0),(,N x y x y P x <<,N P 在双曲线上，则221122x y a b -=即2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=+-，而11y x ++即2020NPb x a k y =；又因为0MN MP ⋅=，则MN ⊥即10101y y x x ⋅=-，即0101x y y x =-，所以又27OT ON OT =⋅，则2||OT = 即|||cos 77|NO OT ON T =∠=16．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点2F 与抛物线()22:20C y px p =>的焦点重合，点P 为1C 与2C 的一个交点，若△12PF F 的内切圆圆心的横坐标为4，2C 的准线与1C 交于A ，B 两点，且92AB =，则1C 的离心率为（）A ．94B ．54C ．95D ．74所以1122,,PD PE DF KF EF KF ===，又|PF 则1212()()PD DF PE EF DF EF KF +-+=-=所以K 为双曲线右顶点，又△12PF F 的内切圆圆心的横坐标为故29b =，则5c =，所以离心率为54c e a ==.故选：B17．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆:163x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 在第一象限内的一点，12π3F PF ∠=，直线2PF 与C 的另一个交点为Q ，O 为坐标原点，则OPQ △的面积为（）A ．35322+B ．35311+C ．611+D ．1211+【答案】C【分析】设1PF m =，2PF n =，在12F F P 中，由余弦定理结合椭圆定义可得据12F F P 面积相等，即可得P 点纵坐标，进而得方程，与椭圆联立可得Q 点纵坐标，进而求得三角形面积【详解】解：因为22:163x y C +=，所以6,a =设1PF m =，2PF n =，在12F F P 中，18．（2023·广东·统考一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点B 的坐标为()0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB b ≥，则C 的离心率取值范围是（）A ．11,2⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．1,2∞⎫++⎪⎪⎣⎭C ．(D ．)+∞19．（2023·江苏南通·二模）已知F 1，F 2分别是双曲线C ：22221(00)y x a b a b -=>>，的左、右焦点，点P 在双曲线上，12PF PF ⊥，圆O ：22229()4x y a b +=+，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为29b ，则C 的离心率为（）A ．54B ．85C D ．5圆O ：22229()4x y a b +=+，圆心为设1PF n =，2PF m =，点P 在双曲线上，可得22mn b =，过O 作MN 的垂线，垂足为D ，O20．（江西省八所重点中学2023届高三下学期3月联考数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F .点P 在C 上且位于第一象限，圆1O 与线段1F P 的延长线，线段2PF 以及x 轴均相切，12PF F △的内切圆为圆2O .若圆1O 与圆2O 外切，且圆1O 与圆2O 的面积之比为9，则C 的离心率为（）A ．12B ．35C ．2D ．2设圆1O 、2O 与x 轴的切点分别为。