4-1运输问题的数学模型
数学建模之运输问题
数学建模之运输问题1. 引言运输问题是指在给定产地到销售地之间有若干个供应点和需求点的情况下，如何安排运输使得总运输成本最低。
这是一个经济管理中的经典问题，也是数学建模中常见的一个研究方向。
2. 问题描述假设有n个供应点和m个需求点，其中每个供应点的供应量和每个需求点的需求量已知，并且每个供应点到每个需求点的运输成本也已知。
我们的目标是确定供应点到需求点的运输量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立数学模型，我们可以引入一个矩阵来表示供应点和需求点之间的运输成本。
设C为一个n行m列的矩阵，其中Cij表示供应点i到需求点j的运输成本。
我们需要引入决策变量X，其中Xij表示从供应点i到需求点j的运输量。
那么，目标函数可以定义为最小化总运输成本，即$$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} C_{ij} X_{ij}$$同时，我们需要保证供应点和需求点的供需平衡，即满足每个供应点的供应量和每个需求点的需求量。
这可以表示为以下约束条件：1. 对于每个供应点i，有 $\sum_{j=1}^{m} X_{ij} = s_i$，其中$s_i$ 表示供应点i的供应量。
2. 对于每个需求点j，有 $\sum_{i=1}^{n} X_{ij} = d_j$，其中$d_j$ 表示需求点j的需求量。
进一步地，我们需要确保运输量的非负性，即$X_{ij} \geq 0$。
4. 求解方法对于较小规模的问题，我们可以使用线性规划方法求解运输问题。
线性规划是一种数学优化方法，可以在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值。
对于大规模的问题，我们可以使用近似算法或启发式算法进行求解。
这些算法可以快速找到较好的解，但不能保证找到最优解。
常用的算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
5. 应用领域运输问题在许多实际应用中都有广泛的应用。
例如，在物流管理中，优化运输方案可以减少运输成本、提高运输效率；在生产计划中，合理安排运输可以确保供应链的稳定性和高效性。
运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
运输问题的数学模型例题
运输问题的数学模型例题运输问题是指在运输过程中，如何最优地分配资源，使得运输成本最小，运输效率最高。
运输问题的数学模型包括最小化成本、最大化效益等多种形式。
下面我们来看一个例题。
问题描述：某物流公司有3个仓库和4个客户，每个仓库和客户之间的距离已知。
现在需要将货物从仓库运送到客户，每个客户需要的货物量也已知。
假设每个仓库的货物量都足够满足所有客户的需求，如何安排运输方案，使得总运输成本最小？解题思路：我们可以用线性规划来解决这个问题。
设每个仓库和客户之间的运输量为$x_{ij}$，其中$i$表示仓库编号，$j$表示客户编号。
则总运输成本可以表示为：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$其中$c_{ij}$表示从仓库$i$到客户$j$的单位运输成本。
同时，对于每个客户$j$，要求其所需货物量$q_j$必须满足：$$%sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j$$对于每个仓库$i$，要求其供应的货物量$y_i$必须满足：$$%sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i$$另外，由于$x_{ij}$必须非负，所以还要满足：$$x_{ij}%geq 0$$综上所述，我们可以得到如下线性规划模型：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$$$s.t.% %sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j,% j=1,2,3,4$$$$% % % % % % % % % %sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i,% i=1,2,3$$ $$% % % % % % % % % x_{ij}%geq 0,% i=1,2,3,% j=1,2,3,4$$这是一个标准的线性规划模型，可以用常见的线性规划求解器求解。
求解结果就是每个仓库和客户之间的运输量$x_{ij}$，以及总运输成本。
总结：运输问题是一个常见的优化问题，在实际生产和物流中经常会遇到。
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1 1
1
1
v2 1
vn
1
1
1
1
1
n行
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即
21
2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB-1Pij， i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当 所有的cij−CBB-1Pij≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格 检验数的方法。 1.闭回路法； 2.位势法
22
2.2 最优解的判别
1.闭回路法
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
A2
3
43 7
1
4
A3
6
39
销量
36 56
12
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地
运筹学运输问题
当出现检验数<0，证明原初始方案或改 进方案还不是最优→如何进行基变量的 调入调出？
给检验数<0的非基变量赋值，越大 越好。但要考虑产销平衡问题。
11
8、运输问题的校验方法2 —位势法
利用行位势和列位势两类数据，将检验数与 单位运价联系起来
12
检 验 数 方 程
13
λ
= c – u – v ij ij i j
A、位势法求检验数的步骤
第一步：根据最小元素法或Vogel法确定的初始运量表做 一表格，将基变量（或运量）数据替换成与之对应的单位 运价；（或对单位运价表进行修改，只保留与基变量对应的运价信
息）
第二步：在右侧增加一列，下侧增加一行，用于填写位势 数据。右侧表示行位势ui（i=1，2...m），下侧表示列位 势vj（j=1，2...n）； 第三步：对于基变量对应的单位运价处，ui+vj=cij。随便 确定任一个位势，即可求解全部行和列位势； 第四步：在非基变量对应的空格处，计算检验数λij=cij（ui+vj）。并将检验数填入检验数表中； 第五步：判断检验数λij是否大于0，如是，则表示较优。 如不是，则需要调整基变量。 第六步：基变量的调整采用闭回路法进行。
收点 发点 9
B1
4
B2
1
B3
11
B4 -1
10 5
发量
偶 点 0 减 ， 2 奇 点 加 5
A1
14 ③奇点 9 18 1 A2 x x 1 9 11 6 8 0 A3 1 3 x 14 ②偶点 12 2
11 21 22 31
x 3 2
x 6 7
5
13
偶点④
9
管理运筹学运输问题
管理运筹学运输问题引言运筹学是管理学的一个分支，旨在研究和开发决策支持工具和技术，以优化各种问题的决策过程。
其中，运输问题是运筹学领域中一个重要的问题之一，它涉及到如何有效地分配有限的资源，以实现最佳的运输方案。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，并探讨其解决方法。
运输问题概述运输问题是在给定供应地和需求地之间寻找最佳运输方案的数学模型。
一般来说，这个问题可以分为两个主要的组成部分：供应地和需求地。
•供应地：这是物品或产品的来源地，例如工厂或仓库。
每个供应地都有一定数量的可供应物品，同时还有一个运输成本与不同需求地之间的运输。
•需求地：这是物品或产品的目的地，例如商店或客户。
每个需求地都有一定数量的需求，同时还有一个运输成本与不同供应地之间的运输。
运输问题的目标是找到一种分配方案，以最小化总运输成本，并满足供应地和需求地的限制。
运输问题可以用数学模型描述，其中包括以下变量和约束条件：•变量：–xi：从第i个供应地运输的物品数量–yj：向第j个需求地运输的物品数量•约束条件：–供应地约束：∑xi ≤ si，其中si为第i个供应地可供应的物品数量–需求地约束：∑yj ≥ dj，其中dj为第j个需求地的需求物品数量–非负约束：xi ≥ 0，yj ≥ 0，物品数量不能为负数•目标函数：–最小化总运输成本：Minimize ∑(cij * xi * yj)，其中cij为从供应地i到需求地j的单位运输成本这个数学模型可以通过线性规划方法进行求解，其中运输问题可以转化为标准线性规划问题，并使用相应的算法和技术进行求解。
求解运输问题的方法可以分为以下几种：1.传统方法：传统的方法包括北西角法、最小元素法、Vogel法等。
这些方法通过逐步分配物品数量，计算运输成本，并根据不同的策略进行调整，直到找到最优解。
2.网络流方法：网络流方法将运输问题转化为最小成本流问题，并利用网络流算法进行求解。
这些算法可以有效地处理大规模的运输问题，并提供较快的求解速度。
运筹学运输问题-图文
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学中的运输问题
1 运输问题基本概念
例1 某公司有三个加工厂A1、A2、A3生产某产品，每日 的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别 运往四个销售点B1、B2、B3、B4，各销售点每日销量分 别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单 位产品运价如表1所示。问该公司应如何调运这些产品， 在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
（3）销大于产（供不应求）运输问题
（以满足小的产量为准） i
j=
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各 季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。 如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压 一个季度需储存、维护等费用1500元。要求在完成 合同的情况下，做出使该厂全年生产（包括储存、 维护）费用最小的决策。
表1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨）
B1
B2
B3
B4 产量（吨）
A1
3
A2
1
A3
7
销量（吨） 3
11
3
10 7
9
2
84
4
10
5
9
6
5
6
对于例1，其数学模型如下： 首先，三个产地A1、A2、A3的总产量为7＋4＋9＝20；四个
销地B1、B2、B3、B4的总销量为3＋6＋5＋6＝20。由于总产 量等于总销量，故该问题是一个产销平衡的运输问题。
3 各种变形的运输问题建模
现实生活中符合产销平衡运输问题每一个条件的情况很少。一 个特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合产销平衡运 输问题条件的运输问题却经常出现。 下面是要讨论的一些特征：
运筹学运输问题.
b K bK aL ，划掉运价表的第L行；反之，
'
若 x LK bK ，则令a L
的第k列。
'
aL bK ，划掉运价表
（2）在运价表剩余元素中重复（1），直
至运价表元素全部被划掉。
例：某糖果公司下设三个工厂，每日产量分别为：A1 — 7吨、A2 —4吨、A3 —9吨。该公司将这些产品运往四个 门市部，各门市部每日销量为：B1 —3吨、B2 —6吨、 B3 —5吨、B4 —6吨。各工厂到各门市部的单位运价如 下表，试确定最优的运输方案。
运输问题求解思路图
下面通过例子介绍它的计算步骤。
一、初始方案的给定
1、最小元素法★ 2、Vogel法★
1、最小元素法
基本思路是：就近供应，即从运价表中 最小运价开始确定调运量，然后次小，一直 到给出初始调运方案为止。
（1）找出运价表中最小元素 CLK ，确 定 xLK minaL , bK ，若 x LK a L，则令
x11 x21 xm1 b1 x x x b 12 22 m2 2 x1n x2n xmn bn xij 0(i 1,2,m; j 1,2,n)
min
Z cij xij
若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省
的调运方案。
建 模 ： 设 xij 为 从 产 地 Ai 运 往 销 地 Bj 的 物 资 数 量 （i=1，…m；j=1，…n。 销地 产地 A1 A2
. . .
B1 X11 X21
. . .
B2 X12 X22
. . .
... ... ...
. . .
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第4章 运输问题
第四章运输问题4.1 运输问题的数学模型4.1.1 运输问题的模型本章研究物资的运输调度问题，其典型情况是：设某种物品有m个产地，A1，A2，…，A m；各产地的产量分别是a1，a2，…，a m；有n个销地B1，B2，…，B n；各销地的销量分别是b1，b2，…，b n；假定从产地向销地运输单位物品的运价是c ij；问：怎样调运这些物品才能使总运费最小?设变量ij x为第i个产地运往第j个销地的产品数量。
为直观起见，可将产品产地、销地的产销量以及运输物品的单价为一个汇总表，如表4-1所示。
表4-11A2A1B2BmAnB"#11c12c1n c2ncmnc2mc1mc21c22c11x12x1n x21x22x2n x1mx2m x mn x1a2ama1b2b n b"#如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===njjmiiba11(4-1)则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：m nij iji1i1nij ij1mij ji1ijmin z c xx a,i1,2,,mx b,j1,2,,nx0,i1,2,,m,j1,2,,n=====⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩≥==∑∑∑∑""""目标函数约束条件决策变量(4-2)其中，约束条件右侧常数a i，和b j，满足总量平衡条件。
在模型(4-2)中，目标函数表示运输总费用极小化；约束条件前m个约束条件的意义是：由某一产地运往各个销地的物品数量之和等于该产地的产量；中间n个约束条件是指由各产地运往某一销地的物品数量之和等于该销地的销量；后m×n个约束条件为变量非负条件。
运输问题模型是线性规划问题特例。
因而可用单纯形法求解，但是，需要引进很多个人工变量，计算量大而复杂。
应该寻求更简便的、更好的解法。
例4.1某公司经销甲产品。
运筹学：运输问题
运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
运输问题数学模型详细讲解,有案例 多种方法
5 7 4 2 4 B2 3 7 A1 6
B1
A3 3 6 4 B4
2 4
B5
8 B3 5 8 A2
4
图 4-9
解题步骤：
第一步：变有圈为无圈。 方法：“丢边破圈”。即丢掉一条边，破 去一个圈。 注意：丢边时，往往是丢掉圈中长度最大 的边。如图所示
第一步： “丢边破圈”
迂回运输的判断
6
6 （4） 4 4 4 2 2 图：5-5 （4） 图：5-6 4
显然：图5-5为迂回运输
（3）、正规（最优）流向图
正规（最优）流向图：一个最优的调运方 案，它的流向图必是无对流、无迂回的流 向图，称这种流向图为正规流向图。 物资调运的图上作业法就是寻找一个无对 流、无迂回的正规流向图。 步骤如下：
5 7
B1
A3 3 6 4 B4
2 4
B5
4 2
8 B3 5 8 A2
4
B2 3 7 A1 64源自 第二步：在无圈的交通图上作流向图。 原则：先外后内，先端点后中间点， 要求每个边都有流向。当某条边无流 向时，必须填上运输量为零的虚流向。
第二步：作流向图
5 7
B1
（4） （3）
A3 3
（5）
i 1 j 1
将约束方程式展开可得
x11 x1n x x 21 2n xm1 xmn x21 xm1 x11 x12 x22 xm 2 x1n x2 n xmn
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
B5
4 2
（2）
8 B3
（6）
4
B2 3
（8） （1）
管理运筹学04运输问题
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
2024/3/29
例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
7
•- •+
A2 3
1
4
•-
•+
A3 + (10) 6
•-
3
9
销量 3
65
6
20
2024/3/29
闭合回路法求检验数
产
销地
产
地
B1
B2
B3
B4
量
A1 (1)
(2)
4
3
7
A2
3 (1)
1 (-1)
4
A3 (10)
6 (12)
3
9
销量
3
6
5
6 20
2024/3/29
例4-1(伏格尔法)
产
销
地
产
地 B1
(6)
销量
3
6
运输问题—数学模型及其解法
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
12
3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
管理运筹学讲义 第3章 运输问题(6学时)
... 1
其系数列向量的结构是：
A ij (0,..., 0,1, 0,..., 0,1, 0,..., 0) T , 除第i个和第（m j）个分量为 1外，其他分量全等于零。因此，运输问题具有以下特点： 约束条件系数矩阵的元素为0或1； 约束矩阵每一列都有两个非零元素，这对应于每一个变量在 前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方程中出现一次。
Ai
Bj
表 3－ 5
B1 x11 C11 x21
B2 x12 C12 x22 C22 x31 x32 C32 b2
运价表（元/吨） B4 产量
A3
需要量
3 5 4 5
2 3 1 7
6 8 2 8
3 2 9 3
10 8 5 23
解:设xij ( i =1,2,3；j =1,2,3,4)为i个产粮地 运往第j个需求地的运量，这样得到下列运输问题的数 学模型：
Min z = 3x11+ 2x12+ 6x13+ 3x14+ 5x21+ 3x22+ 8x23+ 2x24 + 4x31+ x32+ 2x33+ 9x34 x11 x12 x13 x14 10 x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x x x x 8 21 22 23 24 x13 x23 x33 8 x x x x 5 31 32 33 34 x14 x24 x34 3
下表中填有数字的格为基变量，它们对应的约束 方程组的系数列向量线型无关：
B1
4
B2
12
运输问题的数学模型
运输问题的数学模型
运输问题是指将一定数量的物资从一个地点运输到另一个地点，
在实现最优运输方案的过程中，可能途径多个中间节点。
由于数据可
能很庞大，特别是考虑到影响运输成本的一系列不确定因素，因此，
将运输问题的解决变成一个数学优化模型就显得尤为重要。
数学优化模型是一种描述和尝试求解优化问题的表达型语言，其
中包括一系列变量、目标函数和约束。
根据优化原理，通常优化模型
可以定义为如下公式：
min/max f(x)
s.t. g(x,y) = 0
h(x,y) ≥ 0
其中，f(x)是目标函数，用来描述给定的优化问题的目标；g(x,y) = 0和h(x,y) ≥ 0分别是约束函数，用来限制优化变量的取值，以达到问题的最优解。
运输问题的数学模型包括以下三个部分：
首先，定义运输问题的优化变量。
一般来说，优化变量包括运输量、源点到各中间节点的运输量以及中间节点到收货站的运输量。
其次，描述给定优化变量的目标函数，也就是运输成本最低的最
优化目标，也称为最低成本目标函数：
Minimize Sum[i=1->n] (c(i,j)xij)
其中，c(i,j)是从源点i到收货点j的运输单价，xij是从源点i
到收货点j的运输量。
最后，定义运输问题的限制条件，比如发货量不能大于源点库存；收货量不能大于收货点需求；各中间节点运输出量不能大于运输入量，即xij-xji≥0。
由以上确定的运输问题数学模型，就可以通过解析或者随机算法
等方法进行优化，以获得最优运输解决方案，尽可能地降低运输成本。
运筹学07-运输问题
X
0
A3 X
X
1
6
0
销量 0
0
0
0
B1 B2 B3 B4 产量
A1 3
6
A2
2
3
A3
1
6
销量
• 首先是一个可行解 • 其次个数正好等于6 • 可以证明，这是一个基可行解，
B1 B2 B3 B4 产量
A1 3
6
2
9
A2
2
3
3
4
A3 销量
1
6
2
5
Z (0) 3*2 6*9 2*3 3*4 1* 2 6*5 110
• 也就是从运价表的西北角位置（即x11处） 开始，依次安排m个产地和n个销地之间 的运输业务，从而得到一个初始调运方 案，我们称这种方法为西北角法（或左 上角法）．
说明
• 西北角法所遵循的规则纯粹是一种人为 的规定，没有任何理论依据和实际背 景．
• 但它容易操作，特别适合在计算机上编 程计算，因而仍不失为一种制定初始调 运方案的好方法，受到广大实际工作者 青睐．
• 在剩下最后一个空格时，只能填数（必 要时可取0）并画圈，以保证画圈的数为 m+n-1．
• 在某一行（或列）填最后一个数时，如 果行和列都同时饱和，则规定只划去该 行（或列)下次再遇到该列时，应写0并 画圈．
B1 B2 B3 B4 产量
A1 2
1
X
X
0
A2 X
0
5
X
0
A3 X
X
8
销量 0
0
2
6
1
7
8
A2
0
5
6
《运输问题》课件
动态规划模型
动态规划是一种数学方法，用于解决具有重叠子问题和最 优子结构的问题。在运输问题中，动态规划模型通常用于 解决具有时间序列或阶段性的运输问题。
动态规划模型将运输问题分解为一系列的子问题，并逐一 解决这些子问题以找到最优解。
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的 算法，用于在可接受的时间内找到近 似最优解。在运输问题中，启发式算 法通常用于解决大规模或复杂的运输 问题。
注意事项：载重优化需要考虑货物的特 点和限制条件，如易碎、易燃、易腐蚀 等货物需要特殊处理，同时需要关注货 物的安全性和稳定性，防止发生意外事
故。
时间优化
总结词
时间优化是运输问题中的关键策略，通过合理安排运输时间，降低运输延迟和提高运输效率。
详细描述
时间优化主要考虑如何将运输时间进行合理的安排和管理，以最小化运输延迟和提高运输效率。这需 要考虑运输需求的时间分布、交通状况、天气等多种因素，以及如何合理安排运输计划和调度。
分类
根据货物的需求量、运输能力、运输方式等因素，运输问题可以分为多种类型 ，如产销平衡运输问题、产销不平衡运输问题、多品种运输问题、多模式运输 问题等。
运输问题的特点
01
优化目标
最小化运输成本。
02
03
04
约束条件
货物的需求量、运输能力、时 间限制等。
决策变量
每个运输路线的运输量。
线性规划
运输问题的目标函数和约束条 件都是线性的，可以使用线性
04
运输问题的优化策略
路径优化
总结词
路径优化是运输问题中常用的策略，通 过合理规划运输路线，降低运输成本和 时间。
VS
详细描述
路径优化主要考虑如何选择最佳的运输路 径，以最小化运输时间和成本。这需要考 虑路况、距离、交通状况等多种因素，以 及如何合理安排车辆和人员，确保运输效 率最大化。
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n
x ij a i , i 1 , 2 , , m
j1
m
x ij b j , j 1 , 2 ,
,n
i1
x ij mj0和个,，i产1应地, 该2运1,等,到2于销,销n地地j的j,的运m销量量的。总
5
举例说明
某部门三个工厂生产同一产品的产量,四个 销售点的销量及单位运价如下表：
i
ei em j
m+j
0
10
运输问题的对偶问题
对产销平衡运输问题
u1,u2,L,um前m个约束等式相应的对偶变量
v1,v2,L,vn后n个约束等式相应的对偶变量
即对偶变量为
Y ( u 1 ,u 2 ,L ,u m ,v 1 ,v 2 ,L ,v n )
11
x11 x12 L x1n a1
1
b2
B 产量 n
x a c 1 n 1n 1
x a c 2 n 2n 2
x a cmn mn m
bn
3
产销平衡问题—总产量=总销量 即
m
n
ai bj
i 1
j 1
产销不平衡问题—总产量=总销量
4
产销平衡问题的数学模型
min z 产和m 地，i运应n 到该cn等个ij于x销产ij地地的i的运产量量的。总 i1 j1
销量： b1,b2,,bn
从产地 A i 到销地B j 的单位运价是c ij 。
求总运费最小的调度方案。
2
决策变量 x ij 表示由 A i 到 B j 的运量。
B1 B2
A x x c11
c12
1 11 12
A x x c21
c 22
2 21 22
A x x c m 1
cm2
m m1 m 2
b 销量
r(A)mn1
7
把m+n个约束分别展开，
x11 x12 L x1n a1
m个Lx21
x22 L
L L
x2n L
a2
xm1 xm2 L xmn am
写出其 (m+n) *(m*n)
x11 x21 L xm1 b1
维的
n个
Lx12
x22 L
L L
xm2 L
b2
系数 矩阵
x1n x2n L xmn bn
u1
m个Lx21
x22 L
L L
x2n L
a2
u2 M
xm1 xm2 L xmn am u m
x11 x21 L xm1 b1
v1
n个
Lx12
x22 L
L L
xm2 L
b2
v2 M
x1n x2n L xmn bn v n
12
运输问题的对偶问题
运输问题的对偶问题可写为
m
B1 B 2 B 3 B 4 产量
A1
4 12
4 11 1 6
A2
2 10
3 9 10
A3
8
5 11
6 22
销量 8 1 4 1 2 1 4 4 8
6
运输问题数学模型的特点
运输问题肯定有最优解
运输问题约束条件的系数矩阵（下页）
– 约束条件系数矩阵每一列只有两个1，其余 为0；
对产销平衡问题
– 约束条件均为等式，且产量之和=销量之和； – 约束条件的独立方程最多有m+n-1个，即
8
x 1 x 1 1 2 x 1 n x 2 x 2 1 2 x 2 n x m 1 x m 2 x m
1 1
1
1
1 11
P2n
1 1
1
1
1
Hale Waihona Puke 11 11 m
1
n
1
9
x ij 的列向量
0
其中
ei
0 1 0 0
0
P ij
0 1 0 0 1 0
第一节 运输问题及其数学模型
运输问题是一类特殊的线性规划 问题，本节介绍运输问题的数学模型 及其约束方程组的系数矩阵结构的特 殊性，运输问题的对偶问题及其对偶 变量。
1
典型背景：单一物资的运输调度问题
设某种物品有: m个产地： A 1,A 2,,A m
产量： a1,a2,,am
n个销地： B 1,B 2,,B n
n
m ax z aiu i b j v j
i 1
j 1
u i v j cij , i 1,L , m ;
s .t .
j 1,L , n.
ui
,
v
j
无
约
束
13
下一节 表上作业法
最小元素法 伏格尔法
14