解不等式知识点总结

一、知识点总结

（一）、不等式

1、定义：用不等号表示不等式关系的式子叫做不等式,

例：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。

①32>-；②21x ≤；③21x -；④s vt =；⑤283m x <-；⑥

1

24x x

->-；

⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩

230x

π

+>。

解：①②⑤⑦⑨⑩是不等式，其余不是；③是多项式，④⑧是等式，⑥是分式 补充：列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如：

“正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）” 练习：1、用不等式表示： ⑴a 是正数： ； ⑵x 的平方是非负数： ； ⑶a 不大于b ： ；

⑷x 的3倍与－2的差是负数： ；

⑸长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2

： 。

2、试判断237a a -+与32a -+的大小。

3、如果0a b +<，0b >，则, , , a b a b --的从打到小的排序是： 。

（二）、能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，比如:3是不等式2X ＜8的解，4和9不是不等式2X ＜8的解。一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集. 求不等式解集的过程叫做解不等式。如X ＜4就是不等式2X ＜8的解集 练习：1、不等式2-X ＞1的解集是（） A X ＞1 B X ＞-1 C X ＜1 D X ＜-1 2．x 取什么值时，代数式3x+7的值

（1）小于1？（2）不小于1？

2．求不等式3（x+1）≥5x －9的正整数解.

（三）．不等式的解集

1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系

解集和解那个的围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。如1-≤x 或x <-1等。 x <-1

②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别）

4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。

（四）不等式的基本性质：

有时，为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。

比如：不等式b >ax 的解集是a

b

x <

，一定会有0

①若3＜x ，则x 3；②若-2＜x ，则0 x +2； ③若－2a ≥8，则a 4；④若x ＞y ，则m 2

x m 2

y 。

⑵关于x 的一元一次方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m 的取值围是 。

⑶如果0<

A ．99-<-n m

B. n m ->-

C.

m n 11> D.1>n

m

（四）一元一次不等式的定义和解法：

⑴不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。其标准形式：ax+b ＜0或ax+b ≤0，ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．

⑵解一元一次不等式的一般步骤：

例：13

1

321≤---x x 解不等式：

解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （ （不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!） 移 项，得 23663-+≤-x x （移项要变号） 合并同类项，得 73≤-x （计算要正确） 系数化为1， 得 3

7

-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）

⑶根据实际问题列不等式并求解，主要有以下环节：

①审题，找出不等关系；②设未知数；③列出不等式；④求出不等式的解集； ⑤找出符合题意的值；⑥作答。

练习：⑴解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。

①4

1233

523+>--x x ； ②3

252

132x x x -≤--

【例题】

例1．用不等式表示：

（1）a 的2倍与4的差是正数 （2）b 的

2

1

与c 的和是负数

（3）a 的绝对值是非负数 （4）y 与4的差不大于3

（5）x 的绝对值与1的和不小于1 （6）a 是大于-1且不大于2的数

２.不等式基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等符号的方向不变，即：如果c b c a c b c a b a ->-+>+>,,那么；②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正整，不等号的方向不变，即：如果c

b c a bc ac c b a >>>>,

,0,那么并且；③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：如果

c

b c a bc ac c b a <<<>,

,0,那么并且. 例2．用“>”或“<”填空.

（1）41-

4

1-

(2)

31）（- 2

1）（- （3）若a a -<则,0 0

（4）,b a >要使bc ac <

（5）若)2()2(2,2+-+>-

a 25

3

+-a （7）47--x 47--y ，其中y x >

例3．根据不等式的性质，将下列不等式化为a x a x <>或的形式.