振动力学4多自由度系统振动之一动力学方程
多自由度系统振动
= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：
《结构动力学》-第六章-多自由度系统振动(一)
问题：[A]中元素是否一定为正？
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
x1 k2
m2
x2 k3
x3 m3
解：易得刚度矩阵为：
k1 k2 K k2 0 k2 k 2 k3 k3 0 k3 k5
m1上加单位力，各质量的位移分别为：
1
mj mn yj yn
m j j y mn n y
m1 1 y
(b)
i
ii
j
ji
1
(c)
i
ij
j
jj
于是： 若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产 生的位移将是aij*F； x 若在第j个质量上作用的是惯性力 m j j ，方向与坐标相 反，则在第i个质量上产生的位移将是 aij m j j ； x 若所有质量都有惯性力，则：
d L 2 x x M m( L cos L sin ) dt x
L kx x
d L d m[(x L cos )(L cos ) L2 sin 2 ] dt dt d x m[ xL cos L2 ] L cos x L sin L2 dt
L m Lx sin m gLsin
d L 2 x x M m( L cos L sin ) dt x
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
1 k1 1 可以验证 [ A] k1 1 k1
x1 k2
m2
x2 k3
x3 m3
机械振动基础 第四章 多自由度系统
{x} {u} coswt
其中，{u}和w是待求的振型和固有频率。
将
{x} {u} coswt
} [ K ]{x} 0 [M ]{ x
2
代入方程
2 ( w [M ]{u} [ K ]{u}) coswt 0 得到
(w [M ] [ K ]){u} 0
kij w 2 mij 0
1 T } [ M ]{x } ET {x 2 1 T } [C ]{x } D {x 2 1 T U {x} [ K ]{x} 2
2D 2 ET cij mij i x j x i x j x
2U kij xi x j
2) 求偏导
2 ET 2 ET mij m ji xi x j x j xi 2D 2D cij c ji xi x j x j xi 2U 2U kij k ji xi x j x j xi
设有可逆线性变换[u]，使得
{x} [u ]{y}
因而有
} [u]{y }, { } [u]{ } {x x y
称{x}为旧坐标系，{y}为新坐标系。
系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关， 也就是说，它们是坐标变换下的不变量, 因此有：
1 T 1 })T [ M ]([u ]{y }) ET {x} [ M ]{x} ([u ]{y 2 2 1 1 }T [u ]T [ M ][u ]{y } { y }T [ M 1 ]{y } {y 2 2
} [C ]{x } [ K ]{x} {F (t )} [M ]{ x
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；
振动力学［PDF］
第四章多自由度系统的振动4.1多自由度系统运动方程的建立4.2 耦合与坐标变换4.3 固有频率和主振型4.4振型矩阵、主坐标和正则坐标4.5 固有频率相等的情况4.6 固有频率为零的情况4.7 无阻尼系统对初始条件的响应4.8 无阻尼系统对任意激励的响应4.9 多自由度系统的阻尼4.10 有阻尼系统的响应4.11 一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应i nj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i Q q k q c q m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}Q q k q c q m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211••••••n 11•••n 11n 11n 11inj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i P x k x c x m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••n 2121•i ••i1m 12m 23m 3ii •i i Q q Dq T =∂∂+∂∂•1m 12m 23m 32222)2221k +2222•2221⎟⎠⎞+•x c jjj j q W δδ11x δ11P 111x P δ1x δ22P 33P 2⎟⎠⎞21221212212111••••122121221211123323212332321222•••••2332321233232122233323332333••••33323332333•••••••••321333322221321321321333322221321321000000003213213333222213213213333222210•1•1θv ••2θv •1•=1θ•2•=2θ22θ−+mg l 22θl +k Oθ222yk+=•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••••••••n n i j j i i 1111•••nn i j j i i 1111in n i j j i i 1111i j刚度影响系数k i j 若系统各自由度的广义速度和广义加速度为零，除j i i j i 。
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
机械振动4两自由度系统的动力学方程1-2全解
c2
m m 轮
c3 k3
m轮
c3
优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相 互耦合，模型较为精确 需多个独立坐标 问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
《机械振动》 4
本章教学内容
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 自由振动 静力耦合和动力耦合 任意初始条件的自由振动 简谐激励的强迫振动 动力减振器
m1 x 1 k11 x1 k12 x2 0
k2 k11 k12 k2 k3 k21 k22
m2 x 2 k21 x1 k22 x2 0
（4.1-4）
x1 u1 f (t ), x2 u2 f (t )
找x1与x2同步运动的解：
x2 k3
k1x1
k2(x1-x2)
m1
1 m1 x
m1 x 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0
k2(x1-x2)
m2
k3x2
m2 x 2 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 0
写成矩阵形式： 其中：
2 m2 x
M x Kx 0
代入方程得：
(k11 2 m1 )u1 k12u2 0 k21u1 (k22 m2 )u2 0
2
（4.1-10）
代数方程，有非零解的条件：
2 k m1 k12 2 11 ( ) 0 2 k21 k22 m2
《机械振动》
特征行列式，
9
2 k m1 k12 2 11 ( ) 0 2 k21 k22 m2
《机械振动》
5
§4.1
自由振动
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
第四章 多自由度体系(自由振动)
第四章多自由度体系无阻尼自由振动主要内容1 多自由度体系的自振振型和自振频率2 振型的正交性3 位移的振型展开和能量的振型展开1 多自由度体系的自振振型和自振频率所谓振型就是结构体系在无外荷载作用时的自由振动时的位移形态，N个自由度体系有N个不同的振型。
当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的常量。
因此对N个自由度体系，一般情况下有个N个自振频率。
多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。
因此在讲到结构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频率。
结构的自振振型和频率，可通过分析结构的无阻尼自由振动方程获得。
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：其中[M ]、[K ]为N ×N 阶的质量和刚度矩阵，{u }和{ü}是N 阶位移和加速度（或广义坐标）向量，{0}是N 阶零向量。
上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程，下面分析当位移向量{u }是什么形式时可以满足此式要求。
[]{}[]{}{}0=+u K uM根据前面经验，多自由度体系的振动形式可写为：{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，不随时间变化，称为振型。
ω—简谐振动的频率，θ—相位角。
上式对时间求两次导数可得{}{}{})sin()(θωφ+==t t u u {}{}{})sin()(2θωφω+−==t t u u对于稳定结构体系，其质量阵与刚度阵具有实对称性和正定性，所以相应的频率方程的根都是正实根。
对于N 个自由度的体系，频率方程是关于ω2的N 次方程，由此可以解得N 个根（ω12<ω22<ω32…<ωN 2）。
ωn (n =1, 2, …, N )即为体系的自振频率。
其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T 1=2π/ω1叫基本周期)从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。
按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
第4章：多自由度系统的振动
频率方程:
4 2 a b c 0
第4章 多自由度系统的振动
( 4 . 1 . 10 )
2 2 a m m m , c k k k k m k m 2 k m , 1122 12 b 11 22 12 11 22 22 11 12 12
特征根—固有频率:
( b b 4 ac 4 . 1 . 11 )
2 1 a 1 , 2 2 2
1—第一阶固有频率： 代入齐次方程组 (4.1.9)，得
2 2 A k m k m 21 11 111 21 1 21 1 2 2 A k m k m 11 12 112 22 1 22
k1x1
c 1 x 1
m 1 x1
k2 (x2 x1)
F1(t)
2 x 1) c 2(x
k
1
x1 (t )
k
c
x 2 (t)
k
c
m
3
1
m
c1
1
m
2
2
3
x2 k2 (x2 x1) m 2
2 x 1) c 2(x
k3 x2
F 2 (t)
(a)
m
2
图4.1.1 两个自由度系统的受迫振动
x ( t ) φ q ( t )
( 4 . 1 . 16 )
—模态矩阵或振型矩阵， q(t)—广义位移矢量 。
第4章 多自由度系统的振动
四个待定常数： 四个初始条件：
A1 1 A12
多自由度系统振动理论及应用
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
上一页
第4章-多自由度系统振动(d)
ΦN
(1) ,
m p1
(2) ,
mp2
(3)
mp3
1
1 6m
2 1
3 0 3
2
2
2
正则模态和主模态之间的关系：
φ( i ) N
1 φ(i)
mpi
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
小结：模态的正交性，主质量和主刚度
若 i j 时， φ(i)T Mφ( j) 0
φ(i)T Kφ( j) 0
模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性
当 i＝j 时，
φ(i)T Mφ(i) mpi
φ(i)T Kφ(i) k pi
第 i 阶模态主质量 第 i 阶模态主刚度
第 i 阶固有频率：
i
k pi m pi
mpi φ(i)T Mφ(i)
第 i 阶模态主质量
k pi φ(i)T Kφ(i)
第 i 阶模态主刚度
正则模态：i 1~ n
φ(i) N
φ φ M (i)T
(i)
N
N
1
第 i 阶正则模态
主质量为1
2019年7月8日 《振动力学》
φ φ K (i)T
(i)
N
N
i2
固有频率的平方
9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
模态矩阵： 1 1 1
Φ (1) , (2) , (3) 2 0 1
1 1 1
机械振动-第五章多自由度系统的振动
x1 A1(1) sin p1t 1
(1) x2 A2 sin p1t 1 (1) xn An sin p1t 1
每个坐标均以同一圆频率p1及同一相位角 1作简谐振动，称为 系统第一阶主振动。
1 类似的，当系统在某些特殊的初始条件下，还可以产生系统的 第二阶、第三阶、…一直到第n阶主振动，具有与第一阶主振动 完全类似的性质。
2 2 2 m p A k m p A k m p 21 21 j 1 22 22 j 2 2 n 1 2 n 1 j An 1
k1n m1n p 2 j An k 2 n m2 n p 2 j An
y1 11 P 1 m1 y1 12 P 2 m2 y 2 1n P n mn y n y2 21 P 1 m1 y1 22 P 2 m2 y 2 2 n P n mn yn yn n1 P 1 m1 y1 n 2 P 2 m2 y2 nn P n mn y n
化简后得
1 K1 K 2 x1 K 2 x2 P m1 x 1 2 K 2 x1 K 2 K 3 x2 K 3 x3 P2 m2 x 3 K 3 x2 K 3 x3 P3 m3 x
此式可用矩阵形式表达式
K x P M x
11 12 1n 2n 21 22 , n1 n 2 nn
m1 0 0 m 2 M 0 0
0 0 mn
机械振动4两自由度系统的动力学方程
实际振动为：
x(t ) x ( 2) (t ) x ( 2) (t )
1 1 C1 sin(1t 1 ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 17) r1 r2
其中C1、C2和1、2由初始条件确定。
《振动力学》 12
例4.1-1： m1 m, m2 2m，
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根，即两个固有 频率。 每个i 代入方程 (4.1 10)，得到： 2 k u k12 2 11 i m1 2 (k11 i m1 )u1 k12u2 0 u1 k12 k22 i2 m2
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称 为 振 型 向 量 或 模 态 向
量 ， 分 别 对 应 于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin( i t i )， 对每个 i： (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin( i t i )，
以O点为参考点，O点与质心C的距离为a，距离A、B点分 别为l1、l2，相对静平衡位置O0的位移为x，刚性杆相对平 衡位置的偏角为θ 。 试建立系统的动力学方程。
《振动力学》 19
解：以x、θ 为广义坐标
xc x a sin
θ 为小量
θ
xc x a
k1
x O0
k2
系统的动能：
T 1 2 1 2 C I c C mx 2 2 1 ) 2 1 J 2 a m( x 2 2
m人
k1 c1
m车
机械振动4两自由度系统的动力学方程1-2分析
间的相互影响
《机械振动》
2
m人
k1
c1
m车
建模方法2：
车、人的质量分别考虑，并考虑各自 的弹性和阻尼
k2
c2
需两个独立坐标
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合
缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
《机械振动》
3
建模方法3：
车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼
m人
k1
弹性耦合
矩阵形式： m
0
0 J
x
k1 k2 (k1l1 k2l2
)
《机械振动》
(k1l1 k2l2 k1l12 k2l22
)
x
0 0
23
若以弹簧支承处的位移
x1 和x2为广义坐标来建 立的振动微分方程：
x1 x l1 x2 x l2
θ x
x l1x2 l2 x1 l1 l2
代入微分方程，得：
(k11 m 2 ) X k12 0
k21X (k22 J 2 ) 0
特征方程： (k11 m 2 )(k22 J 2 ) k122 0 固有频率：
12 1 (k11J k22m) 1 ( k11J k22m)2 4 (k11k22 k122 )
22 2
两弹簧的伸缩量为：
xA x l1 xB x l2 立动力学方程：
x k1(x l1 )
θ k2 (x l2 )
mx k1(x l1 ) k2 (x l2 ) J k1(x l1 )l1 k2 (x l2 )l2
移项并写出矩阵形式：
m
0
0 J
x
k1 k2 (k1l1 k2l2
第四章 多自由度系统振动(b)
k 2k k
2
0 k 3k
3k m k 0
3 1 0
2
k 2k m k
1 0
2
1 k 2 0 2 3 k m 3 0
K M 0
柔度矩阵与刚度矩阵的关系： F K 1
2012年8月20日 《振动力学》
FK I
3
位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：耦合与坐标变换
质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。 刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。
不出现惯性耦合时，一个坐标上 产生的加速度只在该坐标上引起 惯性力. 不出现弹性耦合时，一个坐标 上产生的位移只在该坐标上引 起弹性恢复力.
( t ) f f (t )
φ Kφ φ Mφ
T
T
2
( t ) f
2
f (t ) 0
a、b、 为常数
f ( t ) a sin( t ), f ( t ) at b ,
0 0
（1）正定系统
0
主振动
只可能出现形如 X φ a sin( t ) 的同步运动。 系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。 （2）半正定系统
2012年8月20日 《振动力学》
f (t ) R
1
运动规律的时间函数
X [ x1
x2
xn ]
T
φ [ 1
2
n ]
T
10
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
振动力学第四章多自由度系统的振动
2k K k 0
k 2k k
0 k k
2 将M和K代入频率方程 K p M 0
2k p 2 m k 0
k 2k p 2 m k
0 k k 2 p2m 0
4.1 固有频率 主振型
4.1.3位移方程的解
当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有 代入位移方程 x 0 Mx
xi Ai sin( pt )
sin( pt )
i 1,2,3,n
p 2 MA A 0
LM
( M 1 I)A 0 2 p
例 题
(2k p 2 m)(k 2 p 2 m) k 2 adj B k ( k 2 p 2 m) 2 k
(2k p 2 m)(k 2 p 2 m) k ( 2 k p 2 m) k ( 2 k p 2 m) ( 2 k p 2 m) 2 k 2 k ( k 2 p 2 m) k2
1 I 2 p
特征矩阵
频率方程
M
1 I 0 2 p
求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩 阵adjL将pi值代入而求出.
4.1 固有频率 主振型
例 题
例 图是三自由度振动系统，设k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，试求系统的固有频率和主振型。 解：选择x1、 x2、 x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚 度矩阵分别为
FT
11
l
FT
11
3l
1
11
3l 4T
由图中三角形的几何关系可解出
21 11
第4章多自由度系统的振动
解：我们用Lagrange方程来建立振 动方程。
co s i sin j ) v1 l ( 1 1 1 1 v 2 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 ) i s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 v 3 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 3 c o s 3 ) i s in s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 3 3
qj 1
其余广义坐标的加速度为 0 ，为此而需要在各个广义坐标 方向上施加的广义力向量就是质量矩阵的第 j 列。
《振动力学》讲义 第4章 多自由度系统的振动 对于直梁，经常用几个位置的挠度作为广义坐标，来近似 描述直梁的振动。这时，采用影响系数法，建立梁的柔度矩 阵更方便的，因而需要用到简单边界条件下梁的挠度公式。 简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为 P
第四章 多自由度系统的振动
大部分实际系统都是多自由度系统，其中的一类， 系统本身为近似的集中参数系统，可以简化为多自由度 系统，另一类是将分布参数系统通过一定的建模方法简 化得到的。本章只学习线性多自由度系统的分析方法和 基本规律，解决问题的基本方法是模态叠加法，就是将 n自由度系统分解成 n 个单自由度系统，每个单自由度 系统对应于原系统的一种特定的振动形态（即模态）， 将各个单自由度系统的振动叠加便得到原系统的振动。 因此，本章的学习重点是要理解和掌握模态的求解和使 用。
系统的动能为
m1 1 1 2 2 2 1 m 2 y 2 m 3 y 3 ) { y1 , y 2 , y 3 } 0 T ( m1 y 2 2 0 0 m2 0 0 0 m3 y1 y2 y 3
4多自由度系统振动之一动力学方程
使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产 生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第j列 结论：质量矩阵M中的元素 mij 是使系统仅在第j个坐标上产生 单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力
mij、 ij 又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的 k 物理意义可以直接写出矩阵 M 和 K，从而建立作用力方程，这 种方法称为影响系数方法 。质量影响法与刚度影响法所形成的 力都是施加在不同物体上的。
矩阵形式：
I1 0
0 k 1 k 2 1 k I 2 2 2
k 2 1 M 1 (t ) M (t ) k 2 k 3 2 2
坐标间的耦合项
例2：
可统一表示为：
M X K X P (t )
质 量 矩 阵 加 速 度 向 量 刚 度 矩 阵 位 移 向 量 激 励 力 向 量
作用力方程
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
作用力方程： MX KX P (t )
讨论 M
X Rn
假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移 即： X = 0
则有：
MX P (t )
0 P (t ) m11...m1 j ...m1n m1 j 1 P (t ) m ...m ...m 0 m 2n 2j 2 21 2 j P (t ) .......... 1 .......... . 0 Pn (t ) mn1...mnj ...mnn mnj 0
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所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第 j 列
kij（i=1~n） ：在第 i 个坐标上施加的力
结论：刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生 单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
KX P (t ) 作用力方程： MX √
例2：转动运动
两圆盘
外力矩 M 1 (t ), M 2 (t )
转动惯量 I 1 , I 2
轴的三个段的扭转刚度
1
k 1 , k 2 , k 3
2
k 1
M1 (t )
k 2
M 2 (t )
k 3
I2
I1
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
建立坐标：
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
k 11
k 2 (1 2 ) k 2 (2 1 )
k 3 3
M1 (t )
I1 1
M 2 (t )
I 2 2
建立方程：
k k ( ) M (t ) I 1 1 1 1 2 1 2 1 I 2 2 k 2 ( 2 1 ) k 3 3 M 2 (t )
k13 0
k21 k2
k 31 0
T
k 22 k 2 k3 k5 k6
k32 k3
T
k 23 k3
k33 k3 k4
k3 k3 k 4 0
k1 k2 刚度矩阵： K k2 0
k2 k 2 k3 k5 k 6 k3
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 k5
P2(t)
k6
P3(t) m3
例：写出 M 、 K 及 运动微分方程 解：先只考虑静态
令 令 令
X 1 0 0 X 0 1 0 X 0 0 1
T
k1
P1(t) m1
k2
m2
k3
k4
k11 k1 k 2
k12 k 2
I1 0 k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
多自由度系统振动
主讲：周利东
太原科技大学
机械工程学院
2010-10-26
多自由度系统振动
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动
m
k 要求：对轿车的上下振动进行动力学建模 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合 建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之 间的相互影响 c
k 1
M1 (t )
M 2 (t ) 2
k
k 3
I2
I1
I1 0
k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
讨论 M
X Rn
假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移 即： X = 0
则有：
P (t ) MX
0 m11...m1 j ...m1n m1 j P 1 (t ) P (t ) m ...m ...m 0 m 21 2j 2n 2j 2 P (t ) 1 .......... .......... . 0 mnj Pn (t ) mn1...mnj ...mnn 0
k2
c2
k2
c2
m m 轮
k3何描述各个质量之间的相互耦合效应？
多自由度系统振动
教学内容
• • • • • 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
受力分析： 设某一瞬时： 角位移 1 , 2
k 11
, 角加速度 1 2
k 2 (1 2 )
k 1
M1 (t )
1
k 2
M 2 (t )
2
k 3
I2
M1 (t )
I1 1
I1
k 2 (2 1 )
k 3 3
M 2 (t )
I 2 2
m1
x1 k2
P2(t)
m2
x2 k3
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
k1
P1(t)
m1
x1
k2
P2(t)
m2
x2
k3
建立坐标：
x1 , x2 的原点分别取在 m1 , m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移
x1、x2
P2(t)
1、 2 加速度 x x
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
0 k11...k1 j ...k1n k1 j P 1 (t ) P (t ) k ...k ...k 0 k 21 2j 2n 2j 2 P (t ) 1 .......... .......... . 0 k nj Pn (t ) k n1...k nj ...k nn 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 k5 k1
P1(t) m1 P2(t)
k6
P3(t) m3
k2
m2
k3
k4
只考虑动态
1 0 0T 令 X 0 1 0T 令 X 0 0 1T 令 X
使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产 生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第j列 结论：质量矩阵M中的元素 mij 是使系统仅在第j个坐标上产生 单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力
mij、 kij 又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的 物理意义可以直接写出矩阵 M 和 K，从而建立作用力方程，这 种方法称为影响系数方法 。
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：
例1：
1 k1 k2 x m1 0 m 0 2 k2 2 x
受力分析：
P1(t)
k1x1 k2(x1-x2)
m1
k2(x1-x2)
m2
k3x2
1 m1 x
2 m2 x
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
P1(t)
k1x1 k2(x1-x2)
m1
P2(t) k2(x1-x2)
m2
k3x2
建立方程：
1 m1 x
2 m2 x
x1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P m1 1 (t ) 力量纲 x2 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 P2 (t ) m2
例2：
可统一表示为：
K X P (t ) MX
质 量 矩 阵 加 速 度 向 量 刚 度 矩 阵 位 移 向 量 激 励 力 向 量
作用力方程
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
KX P (t ) 作用力方程： MX
• 多自由度系统的动力学方程
• • • • • 作用力方程 刚度矩阵和质量矩阵 位移方程和柔度矩阵 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 耦合与坐标变换
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 作用力方程
先看几个例子
例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力
不计摩擦和其他形式的阻尼
P1(t) k1
矩阵形式：
1 k1 k2 x m1 0 0 m 2 x2 k2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
坐标间的耦合项
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
假设作用于系统的是这样一组外力，它们使系统只在第 j 个 坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移
T T X [ x ,..., x , x , x ,..., x ] [ 0 ,..., 0 , 1 , 0 ,..., 0 ] 即： 1 j 1 j j 1 n
0 k11...k1 j ...k1n k1 j P 1 (t ) P (t ) k ...k ...k 0 k 21 2j 2n 2j 1 代入，有 ： P (t ) 2 .......... .......... . 0 k nj Pn (t ) k n1...k nj ...k nn 0
X Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？ 先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统 则： 加速度为零