如何用梅逊公式求传递函数

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梅逊公式

回章首
回节首
21
解: 有三条前向通路，前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路，分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中，L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
特征式为
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4
回章首回节首 22
前向通路p1与四个回路均接触，
1 1
前向通路p2与四个回路均接触，
2 1
前向通路p3与回路L4不接触，
L3a L4 ,
a
3 1 L4
闭环传递函数为
Y (s) P 1 ( p11 p2 2 p3 3 ) R( s) p1 p2 p3 (1 L4 ) 1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4 G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1 ) 1 G2G3G4G5 H 2 G6G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1 G2G7 H 2G4 H1
(2-123)
回章首
回节首
18
特征式
的计算公式为
1 La Lb Lc
a b,c
d ,e, f
L
d
Le L f ....
(2-124)
L —所有独立回路增益之和； —所有每两个互不接触回路增益乘积之和； L L —所有每三个互不接触回路增益乘积之和。 L L L

a a

自动控制原理第六课动态结构图梅逊公式

§2-4 传递函数定义控制系统的传递函数为在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。

表示为Y ( s ) bm s m + bm -1 s m -1 + ... + b1 s + b0 G( s) = = n , n ³ m (2-95) n -1 U (s) s + a n -1 s + ... + a1 s + a0系统的输出可表示为传递函数与控制输入的乘积Y ( s) = G ( s) × U ( s)(2-96)U(s)G(s)Y(s)回章首回节首12-4-3 控制系统的传递函数 1．复数阻抗U R (s) Z R ( s) = =R I R (s)(2-100)ZC ( s) =UC (s) 1 = I C ( s ) Cs(2-101)U L ( s) Z L ( s) = = Ls I L (s)回章首回节首(2-102)22．典型环节 (1) 比例环节G(s) = Uo (s) =K Ui (s)(2) 积分环节G( s) = Uo ( s) 1 = Ui ( s) Ts(3) 微分环节U o (s) G (s) = = ts U i (s)3(4) 一阶惯性环节U o ( s) 1 G( s ) = = U i ( s) Ts + 1(5) 二阶振荡环节G( s) = U o ( s) 1 = 2 2 U i ( s ) T s + 2xTs + 1(6) 延迟环节G( s) = U o (s) = e -ts U i ( s)4画结构图时，所依据的原则是信号流通关系。

下面以实例来说明。

[例2-25] 已知两级RC网络如图2-33所示，作出该系统的结构图。

解设一个中间变量为电容C1 的电压Ux，采用复数阻抗法顺序写出各算子代数方程和方块图如下:回章首回节首5(1) U i ( s ) - U x ( s ) = U R1 ( s )(2) U R1 ( s ) × 1 = I ( s) R1(3) I ( s ) - I 2 ( s ) = I1 ( s )( 4) I 1 ( s ) × 1 = U x ( s ) C1 s(5) U x ( s ) - U o ( s ) = U R2 ( s )回章首回节首6(6) U R2 ( s ) × 1 = I 2 ( s ) R2 (7 ) I 2 ( s ) × 1 = U o ( s ) C2 s将各基本环节的方块按照信号流通方向连接起来就可以得到如图2-33所示的系统方块图。

梅逊公式的应用

系统信号流图及梅逊公式
②
-
1/G2(s) G2(s) H1(s)
①
H2(s) Y0 G4(s)
+
Xi(s)
+
G1(s)
+
X0(s)
-
-
-
G3(s)
③ ④
第二步、消去反馈回路①，另相加点（比较点）③前移
1/G2 H2
Xi(s)
+
G1
②
+
③
G3(1+G2H1)/G2G4
X0(s)
G2G4 /(1+G2 H1 )
P1=G1G2G3 G4G5；； P2=G1G4G5G6； P3=G1G2G7
有4个反馈回路，其传递函数分别为：L1=−G4H1； L2=−G2G7H2； L3=−G4G5G6H2； L4=−G2G3G4G5H2；有1个互不接触的反馈回路，即： L b L c G 4 H 1G 2 G 7 H 2
k
由梅逊公式求得系统的传递函数为：
G (s) G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 1 G 4 G 5 G 6 G 1 G 2 G 7 (1 G 4 H 1 ) 1 G 4 H 1 G 2 G 7 H 2 G 4 G 5 G 6 H 2 G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 G 4 H 1G 2 G 7 H 2
-
④
2.6
第三步、消去并联回路③和反馈回路②
系统信号流图及梅逊公式
Xi(s)
+
G1
G2G4-(1+G2H1)/G2G4
G2G4 /(1+G2 H1 + G2G4)
X0(s)

梅逊公式中南大学机械工程控制基础

俩俩互不接触回路:L1,L2
1 Li LiLj 1 G1G 2G 4 G 3G 5 G 2G 3 G1G 2G 4G 3G 5 P1 G1G 2G 3 1 1 C ( s ) P11 G ( s) R(s) G1G 2G 3 1 G1G 2G 4 G 3G 5 G 2G 3 G1G 2G 4G 3G 5
四.梅逊公式
1 P Pk k
式中 P-- 系统总增益（总传递函数） k -- 前向通路数 Pk --第k条前向通总传递函数 Δ-- 信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是Δ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ变化的只是其分子。
1 Li LiLj LiLjLk (1)n (LiLjLk )
P1 G1G 2G 3 1 1
C ( s) P11 G1G 2G 3 G( s) R( s ) 1 G1G 2 H 1 G1G 2G 3 G 2G 3 H 2
例. 图所示系统方块图,用梅森公式求系统的传递函数。
L1 G1G 2 H 1 1 G1G 2 H 1 G 2G 3 H 2 G1G 2G3 G1G 4 G 4 H 2 L 2 G 2G 3 H 2 P1 G1G 2G3 1 1 L3 G1G 2G 3 P 2 G1G 4 2 1 L 4 G1G 4 L5 G 4 H 2
其中： Li ――所有不同回路增益乘积之和；
LL
i j k
i j
――所有任意两个互不接触回路增益乘积之和； ――所有任意m个不接触回路增益乘积之和。
(L L L )
k :

如何用梅逊公式求传递函数

X4 X5 H2
输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如：X1，X9。输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如： X8。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如： X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。
通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的开通路叫前向通路。
二、梅逊增益公式
用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到
输出节点之间的总传输。（即总传递函数）
其表达式为：P
1
n k 1
Pk k
式中： P 总传输（即总传递函数）；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
Pk 第k个前向通道的总传输；
流图特征式；其计算公式为：
Sunday, March 22, 2020
12
梅逊公式
P
1
n k 1
Pk k
1 La LbLc Ld LeLf ...（正负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
Ld LeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征余子式；其值为中除去与第k个
通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。
回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回
路增益。

2.7 梅逊公式

△1= 1
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 将中△与第K条前向通道相接触条前向通道相接触（ △k：将中△与第条前向通道相接触（有重合部分）回路所在项去掉之后的余子式。重合部分）回路所在项去掉之后的余子式。
例：试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。试用梅逊公式求传函。
一、梅逊公式
∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i G = G1 G3 2 △ 1、G(S)：从输入通道到输出通道总的传递、： H1 H2 H3 函数（总增益）。函数（总增益）。 2、△：称为系统主特征式、 △=1- ∑La+ ∑LbLc-∑LdLeLf+…
所有单独回路增益回路增益之和 ∑La — 所有单独回路增益之和 ∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和所有三个互不接触回路增益乘积之和
R G1 G2 1 H2 G3 H4 H1 4 G4 C
2 H3
G5
G6 3
解： 3、G(S) 、
△＝1＋G2G3H2 ＋G4G5H3 ＋G3G4H4 ＋G1G2G3G4G5G6H1＋G2G3G4G5H2 H3
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 ∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i = △
= G1 G2 G3 G4G5 G6
n
△
应用梅逊公式，应用梅逊公式，将大大简化结构变换的计算。变换的计算。但当系统结构较复杂时，容易将前向通道、杂时，容易将前向通道、回路数及余子式判断错，需格外注意。及余子式判断错，需格外注意。
例：试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。试用梅逊公式求传函。 G4 4 G3 2 H2

梅森公式-信号流图

L4 a23a34a45a52
x5 L5 a23a35a52
P
a12 a23a34 a45 (1 a44 )a12 a23a35
1 (a23a32 a23a34a42 a44 a23a34a52 a23a35a52 ) a23a32 a44 a23a35a52a44
G3(s)
梅逊公式求E(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
G1(s)
NNN((s(ss)))
G2(s)
GGG2(22s(()ss))
CCC(s(()ss))
HHH2(22s(()ss)) H3(s)
HHH3(33s(()ss))
C(s)
R(s)
E(S) P1=H–P1G(s1)2=H13 △△1=11=+G1 2HH2 2(s)P1△1= ?
E(s)= R(s)[ (1+G2H2) +(- G3G2H3)] +(–G2H3)N(s)
1 G1H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G4G5G7 H1H 2
x1
x2
x3
x7 I(s) x4
x5
o在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，
1/R1 1+R1C1s R2
它一般代表系统的输入变量。
-1
•阱节点（输出节点）：
在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它

第二章传递函数-梅逊公式

点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
R(s) 1 G(s)H(s)
R(s)
C(s)
Φ(s)
同理 E(s) R(s) B(s)(正反馈时） (s)= C(s) G(s)
R(s) 1 G(s)H(s)
闭环传递函数的通式为
前向通道的传递函数
(s) 1闭环的开环传递函数
负反馈时，分母项取“+”；正反馈时，取 “-”
（1）前向通道：G(s)
传递函数为： G(S)= Uc(S)/ Uc(S) =1/(TS)＝k/S
2.2 传递函数
惯性
惯性环节：Tdc(t)/dt + c(t)=kr(t) 传递函数： G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)
当T=∞时，惯性环节近似为积分环节；当T=0时，
环节
阶跃响应： R(S)=1/S C(t)=k(1-e-1/T) C(S)=kR(S)
a
n
sn1
1
……
a1s
a
0
R(s)
传递函数，记作G（s）
传递函数的定义：对线性定常系统（环节），在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记作G(s)
G(s)
C(s) R(s)
|零初始条件

02 数学模型 - 10梅逊公式

第二章控制系统的数学模型第10讲梅逊公式王燕舞梅逊(Mason)公式◆梅逊(Mason)公式是美国麻省理工学院S.J. Mason于20世纪50年代提出的。

借助于梅逊公式，不经任何结构变换，便可以得到系统的传递函数。

•∑L i ：所有回路(n 条)的回路增益之和。

•∑L i L j ：所有两两互不接触回路(n 2条)的回路增益乘积之和。

•∑L i L j L k ：所有三三互不接触回路(n 3条)的回路增益乘积之和。

•P k ：从输入节点到输出节点第k 条前向通路的增益。

•Δk ：在Δ中，将与第k 条前向通路相接触的回路除去后所余下的部分的Δ ，称为余子式。

•m ：从输入节点到输出节点所有前向通路的条数。

∆∆=∑=m k kk P s G 1)(+-+-=∆∑∑∑321111n kj i n j i n i L L L L L L ◆梅逊公式的表达式为：•G(s)：待求的总传递函数。

•Δ称为特征式，◆梅逊公式的证明：参见：1.Samuel J. Mason, “Feedback theory-Some properties ofsignal flow graphs,” Proc. IRE, vol. 41, no. 9, pp. 1144-1 156, Sept. 1953.2.Samuel J. Mason, “Feedback theory-Further properties ofsignal flow graphs,” Proc. IRE, vol. 44, no. 7, pp. 920-926, July 1956.3.W.K. Chen, “Applied Graph Theory, Graphs and ElectricalNetworks,” North-Holland, Amsterdam, 1976.4.陈景明, “S.J. Mason讯号流图增益公式的另一个证明,” 吉林大学自然科学学报, no. 4, pp. 137-146, 1979.G 3H 2G 2G 1G 4H 1CR G 5G 6H 4H 3-H 2G 2G 3-H 4G41G 6G 5-H 3CB E F G x 3H IR A 1G 1-H 11结构图信号流图求图示控制系统的传递函数。

第二章传递函数-梅逊公式

R(s)
G(s)
C(s)
C(s)=G(s)R(s)
2.3.2传递函数的性质
1）只适用于线性定常系统，不适用于非线性系统或时变系统。
2）传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，取决于它本身的结构和参数，与其输入信号的大小、形式无关。
3）表示了特定的输出量与输入量之间的关系。
4）传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数n大于等于分子多项式的次数m。
I I1 R1
U1
R2
U2
步骤一列写方程组 U1(S)-U2(S)=I1(S)R1=I2 (S)／CS I1(S)+I2 (S)=I(S)
U2(S)=I(S)R2
步骤二画出对应方程的部分结构图步骤三依次连接得到系统结构图
U1(S) _
ΔU (S) U2(S)
1／R1 CS
I1(S) I2(S)
u(t)
Kt
d (t)
dt
输入量取角度时的传递函数即为微分环节。
进行拉氏变换得到 U (s) Kt s(s)
那么该元件的传递函数为
G(s)
U (s) (s)
Kts
微
分环
一阶微分环节： c(t)= Tdr(t)/dt + r(t) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)= TS+1 方框图：
4564la3g2sg3sh2s单独回路两两相互接触所以l该前向通路与三个单独回路都不接触所以2控制装置的传递函数包括了执行调节机构在内的广义被控对象控制通道的传递函数被控对象的干扰通道传递函数检测变送装置的传递函数25系统的典型传递函数及自动控制系统的典型环节一控制系统的典型传递函数根据信号传递关系常用闭环系统传递函数odcdcrcderedodcrcdt能很好地跟踪rt变化使跟踪误差et0即跟踪准确及时二自动控制系统的典型环节比例环节代数方程

梅逊增益公式及应用

例: 试利用梅逊公式求下图所示信号流的总增益。
解：首先确定信号流图中由输入节点到输出节点间的前向通路数,由图可知：
n= 2，且有： P1=acegi P2=kgi L1=ab＋cd＋ef＋ gh＋ij＋ kfdb L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij L3=abefij
增益乘积之和所有三个互不接触回路益乘积之和所有两个互不接触回路所有不同回路增益之和第k条前向通路的信号流图特征式的余子式即从中除去与第k条前向通路相接触的闭环回路后余下的部分又称为因子
梅逊增益公式及应用
信号流图上从输入节点（源节点）输出节点到(汇节点)的总增益公式，即梅逊公式(Mason)，表达式为：
L1 L2
L3
(acegi
kgi
kgicd) /
[1 (ab cd ef gh ij kfab) (abef abgh
abij cdgh cdij efij kfabij) abefij]
求C(s)/R(s)与E(s)/R(s)
R(s)+ E(s)+
+ G1
H1
G4
k——第K条前向通路的信号流图特征式的余子式，即从中除去与第K条前向通路相接触的闭环回路后余下的部分( 又称为因子)。
这个公式看起来是不是很难呢？实际上
！它很容易掌握的，我们来做几个例题吧
试用梅逊公式计算图示系统的总增益。 -G6
R(s) 1
G1
G2① G3
G4
1 C(s)
-G5 ②
③ -G7
1 L1 L2 L3 (1)m Lm
式中： L1——信号流图中所有不同回环的增益之和； L2——所有两个互不接触回环增益的乘积之和； L3——所有三个互不接触回环增益的乘积之和； ………………… Lm——所有m个互不接触回环增益的乘积之和。

2.4 系统信号流图及梅逊公式

Fc(s)
cs
例：绘制如图所示系统的方块图
R1 i1(t) ui(t) C1
A
R2
i2(t)
uA(t)
u0(t)
C2
U i s - U A s = R1 I 1 s
拉氏变换后方程组
U A s - U 0 s = R2 I 2 s 1 I2 s = U0 s c2 s
Ө(t)
D
f(t)
P74 2-25 已知：f(t)为输入力，θ(t) 为轴的输出转角，弹簧刚度k,轴的转动惯量J，阻尼系数D,轴的半径r，求系统的传递函数。
解：该系统可以看作是一个质量、弹簧、阻尼系统。
对于质量,这里用转动惯量J来代替。对J、k、D分别列方程，有
J t f t r TK TD
1 I1 s - I 2 s = UA s c1 s
各环节的方块图如下所示。
Ui s -U A s = R1 I1 s
Ui(s)
+
1/R1
I1(s)
1 I1 s I 2 s UA s c1s
I1(s)
TK K t TD D t
J t f t r K t D t J t D t K t f t r
拉氏变换后，得 2 Js s Ds s K s F s r
X0(s)
H(S)
-H(s)
从图中可以我们可以定义：通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。节点：用来表示变量或信号的点，像输回路：起点与终点重合且与任何节点前向通路：从输入节点到输出节点的通路上通入节点、输出节点、比较点以及引出点，支路：定向线段，箭头表明信号的流向，相交不多于一次的通路。过任何节点不多于一次的通路。标明有传递函数。用符号“。”表示。

7_梅森公式的证明及应用

梅森公式的推导
• 以上我们用一个比较简单但是又不是一般性的图导出了梅森定理。对于一般性的情况，证明也是类似的。
• 一般情况的证明是很麻烦的，下面简述其证明过程中的关键步骤。
梅森公式的推导
• 梅森定理证明的关键步骤: • 从上面的证明可以看出，信号流图中的一些量与
写出来的节点方程组得系数矩阵的一些量是由一定的联系的，事实上它们之间是必然联系的。 • 为了了解这其中的联系，我们引进信号流图的矩阵描述。 • 信号流图有两个显著的特点，即支路和节点的关联，即支路和节点的赋权。因此，我们自然联想到用矩阵来描叙它。
• 定理3 B和S对应方子矩阵F1和F2(它们有同样的行和列所定义)均为非奇异的，当且仅当对应于F1和F2 的列的支路形成环或不接触环集。不接触环集是由一些不接触环组成的集合。不接触的意义是该集合众人和两个环都没有公共节点。
梅森公式的推导
• 定理4 设F1和F2分别为B和S的非奇异子矩阵，令 L1，L2，…Lr为对应于F1和F2的列的支路所形成的不接触环集。N为环集（L1，L2，…Lr）中有偶数支路的环数。当且仅当N为偶数时。F1 和F2的行列式（即都为1和-1）。
梅森公式的推导
根据克莱姆法则得
C
V2
2
[bde f (1 m dl) bg]R
1 (m dl ke h gkl) mh dlh
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
1
y
2
... ... ... ...
...
a a n1
...

自动控制原理梅森公式求系统传递函数

1 2 3 1 4
1 2 H1 2 3 H2 1 2 3
L1 G1G2H1 L2 G2G3H 2 L3 G1G2G3
P1 G1G2G3 P2 G1G4
4 H2 1 4
L4 G4H2 L5 G1G4
8
R(s)
-
G4
A
G1
G2
-B
H1
P

1
2
Pk k
k 1

G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1
1 G1H1 G3H 2 G1G2G3H1H 2 G1G3H1H 2
6
G4
求 E(s) R(s)
R
E
-
G1
G2
+
-
G3
C
+
H1
H2
P1 1, 1 1 G3H2
P2 G3G4H1H2 , 2 1
△2=1
△3=1+G2(s)H1(s)
Cs N s

P11

P2 2

P33
1 Gn sG1sG2 s Gn sG1sG3s Gn sG1sG2 sG3sH1s]

23
练习
已知系统的结构如图,求传递函数 Y , Y , Y
9
练习求传递函数
-
G1
R
Y
-
-
G2
GY
G2 G1 G1G2 G1G2
R 1 G2 G1 G1G2 G1G2 G1G2
G2 G1 2G1G2 1 G2 G1 3G1G2
10
2.3.5 闭环控制系统的传递函数

用梅逊公式求传递函数

用梅逊(S.J.Mason)公式求传递函数
梅逊公式一般形式为
n
Pk k
(s) k1
式中 (s)为待求的总传递函数。
称为特征式，且
其中
1 Li Li L j Li L j Lk Li ——所有不同回路传递函数之和。 Li L j ——所有两两互不接触回路的回路传递函数乘积之和。 Li L j Lk ——所有三个互不接触回路的回路传递函数乘积之和。
P1 G1G2G3G4G5G6 1 1 由梅逊公式求得系统的传递函数为
(s) P11

G1G2G3G4G5G6
1 G1G2G3G4G5G6 H1 G2G3 H 2 G4G5 H 3 G3G4 H 4 G2G3G4G5 H 2 H 3
注意应用梅逊公式可以方便地求出系统的传递函数，而不必进行结构图变换。但当结构图较复杂时，容易遗漏前向通路、回路或互不接触回路。因此在使用时应特别注意。

C(s) R(s)

1
G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)H (s)
Φr(s)为输入信号r(t)作用下系统的闭环传递函数。此时系统输出的拉氏变换式为
C
(s)

r(s)R(s) Nhomakorabea1

G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)H
(s)

R(s)
7
2). 扰动 n(t)作用下系统的闭环传递函数

Pk ——第k条前向通路传递函数。 k ——在中，将与第k条前向通路接触的回路所在项除去后所余
下的部分，称为第k条前向通路的特征余子式。
1
例2-5 用梅逊公式求下图所示系统的传递函数。

梅逊公式

2-7 结构图等效变换及梅逊公式求传递函数时，需要对微分方程组（或变换方程组）进行消元，最后仅剩下输入、输出两个变量，因此中间变量的传递过程得不到反映。

若采用结构图，它就能形象地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。

另外，下面将会看到，利用结构图，也便于求取传递函数。

所以，结构图在控制理论中应用十分广泛。

一、结构图在第2-6节中，我们曾采用消元法求得图2-24所示RC 网络的传递函数。

这里，我们采用结构图的方法求其传递函数。

RC 网络的微分方程组如下：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰idt C u u Ri u c cr 1对上两式进行拉氏变换，得)()()(s U s RI s U c r +=或[])()()(1s I s U s U Rc r =- （2-54） )(1)(s I Css U r =（2-55）方程（2-54）可用图2-29)(a 表示，方程（2-55）可用图2-29)(b 表示。

将图2-29)(a )(b 按信号传递方向结合起来，网络的输入量置于图示的左端，输出量置于最右端，并将同一变量的信号连在一起，如图2-30)(a 所示，即得RC 网络结构图。

对图2-30)(a 进行所谓“等效变换”就可得出网络传递函数，因此网络结构就更为简单,如图2-30)(b 所示。

关于结构图等效变换的方法将另作介绍。

（1）建立控制系统各元、部件的微分方程。

（2）对各元、部件的微分方程进行拉氏变换，并做出各元、部件的结构图。

（3）按系统中各信号的传递顺序，依次将各元件结构图连接起来，便得到系统的结构图。

下面以图1-7所示随动系统为例。

把组成该系统各元部件的微分方程（2-18）进行拉氏变换，可得方程组（2-56e a ~），其中比较元件 )()()(s s s c r θθθε-=（2-56a ）电位器 )()(1s K s U εεθ= （2-56b ）放大器 )()(2s U k s U ε=（2-56c ）电动机 )()()1(s U K s s T s m m =+εθ（2-56d ）减速器)(1)(s is c θθ=（2-56e ）各元、部件的结构图如图2-31所示。

第二章2-3系统方框图梅森公式及系统传递函数

? G (s)
综合点后移等效关系图
R(s)

Q(s)
C(s)
G(s)
R(s) G(s)
C(s)

Q(s)
G(s)
综合点前移
R(s)
G(s)
C(s)
Q(s)
R(s)

C(s)
G(s)
？ Q(s)
综合点前移证明推导（移动前）
R(s)
C(s)
G(s)

Q(s)
C(s) R(s) G(s) Q(s)
3
-
-2
H1(s)
?
G3 ( s ) H3(s)
C(s)
G4 ( s )
例2 （解题方法一之步骤3）
R(s)
1
G1(s)
-
G2 ( s )
3
G2 ( s) H 2 ( s )
-
-2
G3 ( s )
H3(s)
H1(s)
C(s)
G4 ( s )
例2 （解题方法一之步骤4）
• 内反馈环节等效变换
1
R(s)
• 内反馈环节等效变换结果
R(s) 1
-
G1 ( s )G2 ( s )
G3 ( s )G4 ( s )
C(s)
1 G2(s)G3(s)H2(s) G3(s)G4(s)H3(s)
两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形
式的连接称为并联连接。
3. 反馈连接
R(s)
－
C(s) G(s)
H(s)
一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。

【优质】结构图的等效变换求系统的传递函数PPT文档

1 11
3 (2)x3、x4、x3，L2=bf
由系统结构图绘制
△ = 1 信号流2图
去掉第k条前向通路后所求的△
L5 = – G1G2G3
HHH1(11s(()ss))
P △ =? 由系2统结构图2 绘制

HHH2(22s(()ss)) H3(s)
2、在结构图比较点之前没有引出点，只需要在比较点后设置一个节点便可
由信系号统流结图前构图向绘制通路：从输入到输出，每个节点只通过一次，
由信系号统流结图前构图向绘制通路增益：通路上各支路增益之乘积， p k
∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和
数学模型：微分方程、传递函数、结构图、信号流图及其相互间的关系
(1)x1、x2、x3、x4、x5、x6，前向通路增益p1=abc 回路：起点和终点是同一节点，信号通过每一节点不多于一次的闭合通路，回路增益表示
R(s) E(S) P =H–PG(s)=H1 △△=1=+G1 HH (s)P △ = ? 1 2当动、综，在合不结点能构和用图引方比出框较点图点出化之现简前相的没交方有叉法引的来出情求点况传，时递只函,如需数上要，图在1所比示较系点统后1,设综置合2一点个A因3节为点取便出可点C1、D的1 存在，取2出点因2 为2 综合点A1、B的1存在不能前后移
CCC(s(()ss))
信号流图
HHH(s(()ss)) C(s) 当动综，合不点能和用引方出框点图出化现简相的交方叉法的来情求况传时递函,如数上，图所示系统,综合点A因为取3出3点3 C、D的存在，取出点因为综合点A、B的存在不能前后移 G (s) ∑1、Ld支Le路Lf增—益所为有1三的个相互邻不节接点触，回可路以增合益并乘为积一之个和节点，但1源节点和阱节点不能合并

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