离散数学 图论 ppt课件
合集下载
离散数学教学课件-第8章 图论
解：以a,b,c,d,e,f,g作为顶点，能讲同一语言作一边
b
d
f
连通
a
g
c
e
§8.5 图的矩阵表示
复习：
R
传递闭包 R R R2 Rn
8.5.1 图的矩阵表示
G V , E V {v1, v2 , v3 ,, vn }
E {e1, e2 , e3 ,, em }
邻接矩阵
A (aij ) nn
起点
P v0 , v1,, vq
回
终点
路
P e1, e2 ,, eq
长度
8.2.1通路与回路
1
4
2 (1,2),(2,3) 1,2,3 (1,4),(4,3) 1,4,3
3
(1,2),(2,4),(4,1)
回路
8.2.1通路与回路
1
2 P:1,2,4,1,4,3
4
3 Q:1,2,4,3 复杂通路
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
0 1 0 0 0
2
4
1 0 1 0 0
A 0 1 0 0 0
图1
5
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 2 0
0
0
A2 1 0 1 0 0
0 0 0
1
0
0 0 0 0 1
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
1 0 1 0 0
2
4
0 2 0
cij 表示从 vi 到 v j 长度为 l 的通路数目
8.5.1 图的矩阵表示
定理 设邻接矩阵为A的无向简单图，则 Ak (k 1,2,....) 的元素
《离散数学图论》课件
最短路径问题
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
离散数学图论路与连通PPT课件
第18页/共26页
7.2.3 图的连通度
定义7-2.4 设无向图G =<V,E>是连通图,若有结点集V1V,使图 G中删除了 V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。
k(G)=min{|V1|| 是G的点割集} 称为图G的点连通度(nodeconnectivity) 。
现对G的每一条边e＝(u1,u2)，若u1,u2都在 V1上 ，则存 在两条 路P1与P2分别 连接u与 u1和u与u2， 且P1、 P2的长 度均为 偶数， 闭路P1∪P2∪ {e}的 长度为 奇数， 则不难 看出G中 有一条 长为奇 数的圈 ，矛盾 。同样 u1和u2不能同 时含在 V2中。 故e的 两个端 点分别 在V1和 V2中。 因此G是二分 图。
G 定理7.2.1 非平凡图 是二分图当且仅当 中不含长为奇数的回路。
G
证明 必要性是明显的。
充分性：不妨设G中每一对顶点之间有路连接（否则
只需考虑G的每个每一对顶点之间有路连接的极大子
图）。任取G的一个顶点u，由G的假设，对G的每个顶
点v，在G中存在u-v路。现利用u对G的顶点进行分类。
设
第24页/共26页
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
7.2.1 路
例1、(2)
图(2)中过 v2 的回路 (从 v2 到 v2 )有：
第7页/共26页
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
7.2.3 图的连通度
定义7-2.4 设无向图G =<V,E>是连通图,若有结点集V1V,使图 G中删除了 V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。
k(G)=min{|V1|| 是G的点割集} 称为图G的点连通度(nodeconnectivity) 。
现对G的每一条边e＝(u1,u2)，若u1,u2都在 V1上 ，则存 在两条 路P1与P2分别 连接u与 u1和u与u2， 且P1、 P2的长 度均为 偶数， 闭路P1∪P2∪ {e}的 长度为 奇数， 则不难 看出G中 有一条 长为奇 数的圈 ，矛盾 。同样 u1和u2不能同 时含在 V2中。 故e的 两个端 点分别 在V1和 V2中。 因此G是二分 图。
G 定理7.2.1 非平凡图 是二分图当且仅当 中不含长为奇数的回路。
G
证明 必要性是明显的。
充分性：不妨设G中每一对顶点之间有路连接（否则
只需考虑G的每个每一对顶点之间有路连接的极大子
图）。任取G的一个顶点u，由G的假设，对G的每个顶
点v，在G中存在u-v路。现利用u对G的顶点进行分类。
设
第24页/共26页
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
7.2.1 路
例1、(2)
图(2)中过 v2 的回路 (从 v2 到 v2 )有：
第7页/共26页
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
《离散数学课件图论》PPT课件
，m3n6为真. 否则G中含圈，每个面至少由l（l3）条边围成
，又
l 1 2
l 2 l 2
在l=3达到最大值，由定理17.11可知m3n6.
定理17.13 设G为n（n3）阶m条边的极大平面图，则m=3n6. 证明：由定理17.4, 欧拉公式及定理17.7所证。
定理17.14 设G 为简单平面图，则 (G)5. 证明： 阶数 n6，结论为真。 当n7 时，用反证法。否则会 推出2m6n m3n，这与定理17.12矛盾.
如上面的例子。
18
精选PPT
平面图与对偶图之间的关系
定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则d(v*i)=deg(Ri) 证明： (1)、(2)平凡 (3) 应用欧拉公式 (4) 的证明中注意，桥只能在某个面的边界中，非桥边在两
20
精选PPT
自对偶图
定义：设G*是平面图G的对偶图，若G*G，则称G为自 对偶图. 概念： n阶轮图（ Wn ）、奇阶轮图、偶阶轮图 轮图都是自对偶图。 画出W6和W7的对偶图，并说明它们都是自对偶图。
21
精选PPT
第十七章 小结
❖ 主要内容 ▪ 平面图的基本概念 ▪ 欧拉公式 ▪ 平面图的判断 ▪ 平面图的对偶图
22
精选PPT
练习1
1. 设G是连通的简单的平面图，面数r<12，(G)3. (1) 证明G中存在次数4的面 (2) 举例说明当r=12时，(1) 中结论不真.
解 设G的阶数、边数、面数分别为n, m, r.
图论离散数学离散数学第四版清华出版社PPT课件
12/19/2020
28
b
e1
e4
a
e2
d
e5
e3
c
e5, e1, e2, e3, e4是简单通路，不是基本通路， 因为c, a, b, c, d, b中b, c均出现了两次。但c,
d, b, c是基本通路，也是基本回路。
12/19/2020
29
[定理] 在一个n阶图中，若从顶点u到v (uv)
❖ 起始状态是“人狼羊菜”，结束状态是“空”。
❖ 问题的解：找到一条从起始状态到结束状态的 尽可能短的通路。
12/19/2020
26
“巧渡河”问题的解
❖ 注意：在“人狼羊菜”的16种组合中允 许出现的只有10种。
人羊狼菜 人狼菜 人羊狼 人羊菜 人羊
狼菜
狼
12/19/2020
菜
羊
空(成功)
27
[定义] 简单通路(Simple Path)
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。
在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
12/19/2020
30
[定义] 连通性(connectivity)
设G=<V，E>，若从vi到vj存在一条通 路，则称vi到vj连通(connective)或可达。
说明：对无向图而言，若vi到vj可达，则 vj到vi也可达。对有向图而言则未必。
离散数学教学图论【共58张PPT】
一 、图的基本概念
• 邻接和关联 • 无向图和有向图 • 零图和平凡图 • 简单图 • 完全图（无向完全图和有向完全图） • 有环图
一 、图的基本概念
• 有限图和无限图 设图G为< V，E，Ψ>
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。 （2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足
二、生成树
1、生成树定义：
若无向图的一个生成子图T是树，则称T 为G的生 成树，T中的边称为树枝，E（G）-E（T）称为树T 的补，其中的每一边称为树T 的弦。
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。
第三节 生成树、最短路径和关键路径 由结点a和它所有的后代导的子图，称为T的子树.
∴ T连通且具有m=n-1的图
{e5,e4,e8} ， {e7，e6，e5，e2，e4} 第四节 欧拉图和哈密顿图
第四节 特殊图（欧拉图和哈密顿图等）
第五节 树、二叉树和哈夫曼树
离散数学教学图论
（优选 欧拉图和哈密顿图
(3)2=>3 ∴W(T)≤W(T1) ∴W(ei+1)≥W(f) 二. 哈密顿图的由来—周游世界问题：
第二节 图的矩阵表示 第四节 欧拉图和哈密顿图
证明：若G中一个边割集和一生成 树无公共边，则表示该边割集所分离的结点不在生成树中，这导致与生成树的定义矛盾。 哈密顿图的由来—周游世界问题： c)对新图向下旋转45度。 ei之后将取f而不是ei+1
为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则起点为1,
终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于该节点的度数;其 中1的个数为该节点的出度,-1的个数为对应节点的入度;所有元 素的和为0,1的个数等于-1的个数,都等于边数m.
离散数学——图论 ppt课件
ppt课件
11
哥尼斯堡七桥问题
把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
ppt课件
12
欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
因此，尽管本教材介绍的是较为基础的图论内容， 但阅读理解与完成习题是学习图论必不可少的步骤。
ppt课件
8
图是人们日常生活中常见的一种信息载体， 其突出的特点是直观、形象。图论，顾名思 义是运用数学手段研究图的性质的理论，但 这里的图不是平面坐标系中的函数，而是由 一些点和连接这些点的线组成的结构 。
P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通 分支只有一个。
ppt课件
40
练习题---图的连通性问题
1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分 支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
ppt课件
41
2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
33
§8.2通路、回路与连通性
定义：通路与回路 设有向图G=<V,E>，考虑G中一条边的序列
（vi1,vi2,…, vik）,称这种边的序列为图的通路。 Vi1、vik分别为起点、终点。通路中边的条数称
为通路的长度。 若通路的起点和终点相同，则称为回路。
ppt课件
34
简单通路、基本通路
简单通路：通路中没有重复的边。 基本通路：通路中没有重复的点。 简单回路和基本回路。 基本通路一定是简单通路，但反之简单通路
离散数学PPT【共34张PPT】
15
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
【最新】离散数学之图论ppt模版课件
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
31
[定义] 无向图的连通性
若G=<V，E>中任意两个顶点都连通，则称 此无向图是连通的(connected)。
[定理] 任意一个连通无向图的任意两个不同顶
点都存在一条简单通路。
[定义] 连通分图(connected components)
图G可分为几个不相连通的子图，每一子 图本身都是连通的。称这几个子图为G的连通 分图。
[定义] 通路(path)
给定图G=<V, E>，设图G中顶点和边的交替 序列为T=v0e1v1e2…ekvk，若T满足如下条件：vi-1 和vi是ei的端点(当G为有向图时，vi-1是ei的始点， vi是ei的终点)，i=1,2,…,k，则称T为顶点v0到vk的 通路。此通路的长度为k。也可以用v0, v1, …, vk 表示通路，v0为始点，vk为终点。
8/13/2020 5:06 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
2
§1 无向图及有向图
❖ 本节介绍图的一些最常用的概念,主要有： 无向图，有向图，边，顶点(或结点，点)，
弧(或有向边)，顶点集，边集，n阶图，有限 图，关联，多重图，简单图，完全图，母图, 子图, 生成子图，导出子图，补图，图的同构， 入度，出度，度，孤立点等。
8/13/2020 5:06 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs) (2) 有向完全图 (3) 零图：E=. (4) 平凡图：E=且|V|=1. (5) 正则图：若图G＝<V, E>中每个顶点 的度均为n，称此图G是n-正则图(n-regular graph)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
了表示４个队之间比赛的情况， 我们作出图10.1.1的图形。 在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之为结点。 如果两队进行过比赛，则在表示该队的两个结点之间用一 条线连接起来，称之为边。这样利用一个图形使各队之间 的比赛情况一目了然。
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
10.1 图的基本概念(Graph) 10.2 路与图的连通性(Walks & Connectivity of
Graphs) 10.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 10.4 最短链与关键路（Minimal ） 10.5 欧拉图与哈密尔顿图(Eulerian Graph &
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
图 10.1.2
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
图 10.1.2
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
2. 图G的结点与边之间的关系 邻接点: 同一条边的两个端点。 孤立点: 没有边与之关联的结点。 邻接边: 关联同一个结点的两条边。 孤立边: 不与任何边相邻接的边。 自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，
e5=(v2，v3)。
图 10 .1. 3
在这个图中，e3是关联同一个结点的一条边,即 自回路；边e4和e5都与结点v2、 v3关联，即它们 是平行边。
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
3. 图G的分类 (1) 按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点, m
条边的图; (2) 特别地, (n,0)称为零图, (1,0) 图称为平凡图 。 (2) 按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简
单图; 多重图:含有平行边的图（如图 10 .1. 3） ； 线 图: 非多重图称为线图； 简单图:不含平行边和自环的图。
第10章 图论(Graph Theory )
G1、G2是多重图
G3是线图
G4是简单图
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图; 有向图：每条边都是有向边的图称为有向图 （图 10 .1.4 (b))； 无向图：每条边都是无向边的图称为无向图； 混合图：既有无向边, 又有有向边的图称为混合图。
v）或〈v，v〉）。 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
如例10.1.1中的图，结点集V＝｛a，b，c，d｝， 边集 E ＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝， 其中 e1＝（a，b），e2＝（a, c），e3＝（a，d）， e4＝（b, c）， e5＝（c, d）。 d与a、 d与c是邻接的， 但d与b不 邻接， 边e3与e5是邻接的。
若边e所对应的结点对是有序偶〈a,b〉,则称e 是有向边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的 端点。若边e所对应的结点对是无序偶(a,b) ,则称e是 无向边。这时统称e与两个结点a和b互相关联。
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
我们将结点a、b的无序结点对记为(a，b）， 有序 结点对记为〈a，b〉。 一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
Hamilton-ian Graph ) 10.6 平面图(Planar Graph) 10.7树与生成树(Trees and Spanning Trees) 10.8 二部图（bipartite graph）
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
10.1.1 图的基本概念 10.1.2 图的结点的度数及其计算 10.1.3 子图和图的同构
如果图 10.1.1中的４个 结点a， b， c， d分别 表示４个人，当某两 个人互相认识时， 则 将其对应点之间用边 连接起来。 这时的图 又反映了这４个人之 间的认识关系。
图 10.1.1
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
定义10.1.1一个图G是一个序偶〈V(G), E(G)〉， 记 为G＝〈V(G), E(G)〉。 其中V(G)是非空结点集合， E(G)是边集合， 对E(G)中的每条边， 有V(G)中的 结点的有序偶或无序偶与之对应。
【例10.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。 则图G可用图10.1.2(a)或(b)表示。
(4)按G的边旁有无数量特征分为加权图、无权图(如图 10.1.4);
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
(5)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn (如图 10.1.5)和不完全图(如图 10.1.6)。
图 10 .1. 4
第10章 图论(Graph Theory )
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
图 10.1.1哥尼斯堡七桥问题
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念 离散数学 图论
1.图的定义 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形 是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。
【例10.1.1】a， b， c， d 4个篮球队进行友谊比赛。 为
离散数学 图论
完全图：任意两个不同的结点都邻接的简单图称为
完全图。n 个结点的无向完全图记为Kn。
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
【例10.1.3】设图G＝〈V ,E〉 如图10.1.3所示。
这里V＝｛v1，v2，v3｝， E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝，
其中e1 =(v1, v2) ，e2=(v1，v3) ，
e3 =(v3, v3), e4 =(v2, v3),
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
10.1 图的基本概念(Graph) 10.2 路与图的连通性(Walks & Connectivity of
Graphs) 10.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 10.4 最短链与关键路（Minimal ） 10.5 欧拉图与哈密尔顿图(Eulerian Graph &
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
图 10.1.2
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
图 10.1.2
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
2. 图G的结点与边之间的关系 邻接点: 同一条边的两个端点。 孤立点: 没有边与之关联的结点。 邻接边: 关联同一个结点的两条边。 孤立边: 不与任何边相邻接的边。 自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，
e5=(v2，v3)。
图 10 .1. 3
在这个图中，e3是关联同一个结点的一条边,即 自回路；边e4和e5都与结点v2、 v3关联，即它们 是平行边。
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
3. 图G的分类 (1) 按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点, m
条边的图; (2) 特别地, (n,0)称为零图, (1,0) 图称为平凡图 。 (2) 按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简
单图; 多重图:含有平行边的图（如图 10 .1. 3） ； 线 图: 非多重图称为线图； 简单图:不含平行边和自环的图。
第10章 图论(Graph Theory )
G1、G2是多重图
G3是线图
G4是简单图
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图; 有向图：每条边都是有向边的图称为有向图 （图 10 .1.4 (b))； 无向图：每条边都是无向边的图称为无向图； 混合图：既有无向边, 又有有向边的图称为混合图。
v）或〈v，v〉）。 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
如例10.1.1中的图，结点集V＝｛a，b，c，d｝， 边集 E ＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝， 其中 e1＝（a，b），e2＝（a, c），e3＝（a，d）， e4＝（b, c）， e5＝（c, d）。 d与a、 d与c是邻接的， 但d与b不 邻接， 边e3与e5是邻接的。
若边e所对应的结点对是有序偶〈a,b〉,则称e 是有向边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的 端点。若边e所对应的结点对是无序偶(a,b) ,则称e是 无向边。这时统称e与两个结点a和b互相关联。
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
我们将结点a、b的无序结点对记为(a，b）， 有序 结点对记为〈a，b〉。 一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
Hamilton-ian Graph ) 10.6 平面图(Planar Graph) 10.7树与生成树(Trees and Spanning Trees) 10.8 二部图（bipartite graph）
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
10.1.1 图的基本概念 10.1.2 图的结点的度数及其计算 10.1.3 子图和图的同构
如果图 10.1.1中的４个 结点a， b， c， d分别 表示４个人，当某两 个人互相认识时， 则 将其对应点之间用边 连接起来。 这时的图 又反映了这４个人之 间的认识关系。
图 10.1.1
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
定义10.1.1一个图G是一个序偶〈V(G), E(G)〉， 记 为G＝〈V(G), E(G)〉。 其中V(G)是非空结点集合， E(G)是边集合， 对E(G)中的每条边， 有V(G)中的 结点的有序偶或无序偶与之对应。
【例10.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。 则图G可用图10.1.2(a)或(b)表示。
(4)按G的边旁有无数量特征分为加权图、无权图(如图 10.1.4);
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
(5)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn (如图 10.1.5)和不完全图(如图 10.1.6)。
图 10 .1. 4
第10章 图论(Graph Theory )
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
图 10.1.1哥尼斯堡七桥问题
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念 离散数学 图论
1.图的定义 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形 是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。
【例10.1.1】a， b， c， d 4个篮球队进行友谊比赛。 为
离散数学 图论
完全图：任意两个不同的结点都邻接的简单图称为
完全图。n 个结点的无向完全图记为Kn。
第10章 图论(Graph Theory )
离散数学 图论
【例10.1.3】设图G＝〈V ,E〉 如图10.1.3所示。
这里V＝｛v1，v2，v3｝， E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝，
其中e1 =(v1, v2) ，e2=(v1，v3) ，
e3 =(v3, v3), e4 =(v2, v3),