浅埋双孔平行隧道开挖围岩应力和位移分析_晏莉

体求解过程如下：
（1）第一步 Z 平面内仅存在洞 1 且洞周作用应
力 t，利用复变函数法求出两个解析函数 ϕ11(z1) 和
ψ
1 1
(
z1
)
。
（2）第二步利用
ϕ11 ( z1
)
和ψ
1 1
(
z1
)
，求出洞
1
存在
的条件下在洞 2 边界产生的附加面力 f11(σ 2 )（本文中
把洞边不为零的面力称为附加面力）。
2 计算过程
2.1 半无限平面内存在单洞的解
半无限平面内存在单孔圆形隧道，不考虑地表荷
载和位移，仅在洞室周边施加相等的均布径向荷载的
复变函数应力解已经由 Verruijt 解出[8]。 首先，采用保角映射，将单孔隧道所在的半无限
的 z1 平面（即 R 区域），映射为 ζ1 平面的圆环区域（即
由 ζ1 = α 和 ζ1 =1两个圆包围起来的 γ 区域，其中
(1. School of Civil Engineering and Architecture, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410004, China; 2. School of Civil Engineering and Architecture, Central South University, Changsha 410075, China)
作者简介：晏 莉(1979– )，女，讲师，主要从事隧道与岩土工程方面的教学与研究。E-mail: yl_21th@163.com。
Stress and displacement of surrounding rock with shallow twin-parallel tunnels
YAN Li1, YANG Jun-sheng2, LIU Bao-chen2
最
终
求
得
解
析
函
数
ϕ
1 1
(ζ
1
)
和
ψ
1 1
(ζ
1
)
的
形
式
分
别
为[8]
ϕ11 (ζ 1 ) P
=
−2i(1 +
α
2)
+
2iζ 1
+
2iα ζ1
2
，
(6)
ψ
1 1
(ζ
1
)
P
=
−3i(1 + α
2)
+
2iα 2ζ1
+
iζ
2 1
+
2i ζ1
+
iα 2
ζ
2 1
， (7)
式中
P
=
(1
−
α 2th α 2 )(1 −
摘 要：结合复变函数理论求解弹性力学平面带孔洞问题的优势，以及交替法简单的重复循环计算步骤，成功地解决
了半无限平面内双孔平行圆形隧道开挖的弹性问题，并且借助于计算机编程，获得了隧道开挖后围岩的应力场和位移
场。从附加面力的逼近精度、迭代计算的收敛度以及洞周位移三个不同的方面，对计算精度进行了讨论。此外，通过
图 1 半无限空间内两孔圆形洞室
Fig. 1 Half-plane with twin circular tunnels
1.2 解题思路
针对问题的特点，考虑采用复变函数法与交替法
联合进行求解。对于弹性体而言，加载次序及几何形
状改变次数与最终应力无关[7]。因此，将图 1 所示问
题简化为一系列半无限平面内存在单孔隧道问题，具
隧道存在的解；如果不为零，则要继续在洞 1 周边施
加一组反面力，使洞 1 周边的合面力为零，而洞 2 周
边又会产生附加面力。这样反复求解，直至两个孔边
的面力均为零，把每次迭代的计算结果叠加起来，就
得到问题的解。
本文定义，两孔周边各加一次反面力为完成一次
迭代（除第一次迭代外）。因此，上述 3 个步骤构成一 次完整的迭代过程。由于迭代计算次数有限，两孔周 边的附加面力大小不可能同时满足绝对为零。但随着 迭代次数增加，附加面力会迅速趋于零，当达到一定 次数后，计算结果具有足够能满足工程需要的精度。 下面详细介绍上述三个计算步骤的具体求解过程。
工程实例分析，将现场实测的单孔和双孔隧道施工后产生的地表沉降值与理论计算结果相比较，发现两者吻合较好，
其中地表产生的最大沉降值的计算结果与实测值的误差不超过 5%。 关键词：双孔平行隧道；交替法；复变函数；应力场；位移场
中图分类号：U452
文献标识码：A
文章编号：1000–4548(2011)03–0413–07
为由
ϕ
1 1
(ζ
1
)
和ψ
1 1
(ζ
1
)
在
σ2
所对应点处引起的附加面
力； γ1 则是 σ 2 经过映射变换 T2 = ω2 (σ 2 ) ，坐标平移
T1
=
T2
+
c
及逆映射变换
γ1
=
ω −1 1
(T1
)
得到的在
ζ1
平面
上洞 2 周边点坐标。其中，T1，T2 分别表示半无限平
面内各点分别在图 1 中所示 x1o1y1 和 x2o2y2 坐标系下
到任意次迭代后应力场及位移场的计算公式[4]。Kooi 等则采用双极坐标对考虑足够埋深下的两平行近距离 隧道的应力场进行了计算[5]。上述研究对象均是考虑 深埋隧道，即围岩条件可视为无限介质，初始应力场 为作用在无限远处的外荷载。但是，在浅埋条件下， 由于地表边界的存在，对隧道开挖后围岩的位移和应 力均产生一定影响，故计算时不可忽略，属于半无限 介质中洞室开挖问题。周小文和吴宏伟针对浅埋单孔 和多孔隧道开挖施工，提出了计算二维和三维地面沉 降近似的显式解析解，而对于隧道开挖产生的应力场 却无法得知[6]。
k =0
k =1
上述级数在 ζ1 平面的整个圆环域 γ 内均收敛。系 数 ak ， bk ， ck 和 dk 则由边界条件确定。
考虑洞室周边受到均布的径向应力，大小为 t，
经过变换，洞周应力边界条件可以表示为
F
=
2ithα (1 + α 2 )(1 − ασ
[α )
−σ
+
i(1 − ασ )]
。 (5)
1 问题的求解原理
1.1 问题描述 半无限平面内双孔圆形隧道的弹性问题，在 Z 平
面如图 1 所示。该平面的上边界为应力自由边界，荷 载施加在洞室边界上，且为关于洞室边界的一个已知 形式的函数。两个洞室大小相等，半径均为 r，埋深 （即洞室中心距地表的高度）相等为 h，洞室内部均 受到相等的均布径向压力为 t，两洞室的中心间距为 c。
（3）第三步假设洞 1 不存在，Z 平面内存在洞 2
且洞周作用应力 t 以及与 f11(σ 2 ) 大小相等、方向相反
的反面力，求出仅存在洞
2
时的解
ϕ21
(z2
)
和ψ
1 2
(z2
)
。
如果此时计算得到的洞 1 周边面力为零，则将
ϕ11
(
z1
)
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、ψ
1 1
(
z1
)
和
ϕ
1 2
(
z2
)
、ψ
1 2
(
z2
)
分别叠加就为双孔
0引 言
目前城市地铁均采用平行双洞甚至多洞室布置形 式。这些隧道大多距离地表面埋深很浅，且隧道之间 的间距也较小。因相互影响，双孔平行隧道开挖对地 表和围岩的影响程度和范围比单孔隧道施工更为显 著。
1948 年，Ling 利用双调和函数获得了无限介质中 的两等尺寸圆孔的应力场精确解[1]。潘家铮曾对在内 水压力下两对称相邻布置的等尺寸圆形水工隧洞进行 了应力分析，并获得了近似的应力解[2]。刘新宇等应 用复变函数方法推导了在任意侧压力系数的弹性地层 中，两孔深埋平行圆形隧道的应力解[3]。张路青运用 弹性理论中的复变函数法和 Schwarz 交替法对任意布 置方式下两任意形状孔洞平面弹性问题进行研究，得
415
数。而且， ϕ1(ζ1) 和ψ1(ζ1) 在 ζ1 平面的圆环域 γ 内处 处解析。因此，它们可以展开为洛朗级数形式：
∞
∞
∑ ∑ ϕ1(z1) = ϕ1(ζ1) =
ak
ζ
k 1
+
bk
ζ
− 1
k
，
(3)
k =0
k =1
∞
∞
∑ ∑ ψ1(z1) =ψ1(ζ1) =
ckζ
k 1
+
d
k
ζ
− 1
k
。
(4)
───────
基金项目：教育部新世纪优秀人才支持计划项目（NCET-09-0569）； 长沙理工大学桥梁与隧道工程重点学科基金项目 收稿日期：2009–10–14
414
岩土工程学报
2011 年
本文在复变函数求解半无限平面内单孔圆形隧道 开挖问题的基础上，运用交替法，获得了浅埋双孔隧 道开挖后围岩的应力和位移解，并通过计算编程获得 了实现。工程实例分析表明理论方法是有效的。
α
4
)
。
(8)
2.2 附加面力的确定
参 照 文 献 [4] ， 可 以 直 接 利 用 求 得 的 解 析 函 数
ϕ11
(ζ
1
)
和ψ
1 1
(ζ
1
)
计算洞
2
周边各点的附加面力，即
f1
(σ
2
)
=
ϕ1
(γ
1
)
+
ω1 (γ ω1′ (γ
1 1
) )
ϕ1′(γ
1
)
+
ψ
1
(γ
1
)
。 (9)
式中 σ 2 为洞 2 周边各点在 ζ 2 平面上的坐标；f1(σ 2 )
α < 1 ），如图 2 所示。保角映射的公式为
z1
=
ω1 (ζ 1 )
=
−ih 1 − 1+
α2 α2
1+ 1−
ζ1 ζ1
，
(1)
式中，α 是由洞室半径 r 和埋深 h 的比值（r/h）定义
的一个参数，可以表示为
r = 2α 。 h 1+α2
(2)
图 2 半无限平面单孔圆形隧道
Fig. 2 Half-plane with a circular tunnel
第 33 卷 第 3 期 2011 年 .3 月
岩土工程学报
Chinese Journal of Geotechnical Engineering
Vol.33 No.3 Mar. 2011
浅埋双孔平行隧道开挖围岩应力和位移分析
晏 莉 1，阳军生 2，刘宝琛 2
(1.长沙理工大学土木与建筑学院，湖南 长沙 410004；2.中南大学土木建筑学院，湖南 长沙 410075)
的坐标值，c 则表示两洞室之间的中心距。
如果要求出 R 区域内各点的应力和位移值，关键 在于找到两个在 R 区域内的解析函数 ϕ1(z1) 和ψ1(z1) 。 由于映射函数 ω1(ζ1) 在圆环 γ 区域内处处解析，那么 在 R 区域内的解析函数 ϕ1(z1) 和ψ1(z1) 可视为 ζ1 的函
第3期
晏 莉，等. 浅埋双孔平行隧道开挖围岩应力和位移分析
Abstract: The derivation of an explicit analytical solution is presented to calculate the stress and displacement fields due to the excavation of twin-parallel tunnels in a homogeneous elastic half plane. The solution, which is achieved successfully by the program with computer, is based on the advantage of the complex variables for solving the problems of the plane with hole and the simple repeated calculation steps of alternating method. The calculation precision is discussed from three different aspects of the approximation accuracy of additional surface force, the convergence degree of the iterative calculation and the displacement of tunnel boundary. Furthermore, the method is applied to a practical tunnel engineering. It is found that the calculated results of the surface displacements caused by excavation of a tunnel and twin tunnels agree with the measured results. The discrepancy of the maximum surface displacements between the analytical solution and the field measurement is less than 5%. Key words: twin-parallel tunnel; alternating method; complex variable; stress field; displacement field