江西财经大学 微积分 本科 专升本内部资料 导数与微分
专升本数学知识常识
专升本数学知识常识1. 数学的定义数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念及其相互关系的学科。
它通过符号、公式和推理等方式来描述和解决问题。
2. 数学的重要性数学在现代社会中扮演着重要的角色，它被广泛应用于科学、工程、经济等领域。
数学的研究能够培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力，对个人的综合素质提升有很大帮助。
3. 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是一项数论中的猜想，它指出任意一个大于2的偶数都可以被表示为两个素数的和。
虽然这个猜想在数学上还没有得到证明，但它激发了人们对于素数分布规律的研究。
4. 导数和微分导数和微分是微积分中的重要概念。
导数描述了函数在某一点上的变化率，微分是导数的几何意义。
它们被广泛应用于计算机科学、物理学等领域的模型建立和问题求解中。
5. 三角函数三角函数是数学中的一类特殊函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们在几何学、物理学、工程学等学科中的运用非常广泛，用于描述和计算角度、周期性变化等现象。
6. 排列组合排列组合是组合数学中的一个重要分支，用于研究对象的有序和无序排列方式的计数。
它广泛应用于概率统计、密码学、图论等领域，对于解决实际问题具有重要意义。
7. 矩阵和行列式矩阵和行列式是线性代数的基础内容。
矩阵是由数字排成的长方形阵列，行列式是矩阵的一种特殊表示方式。
它们在计算机图形学、电路分析、经济学等领域中有广泛的应用。
8. 概率与统计概率与统计是数学中的一门分支，用于研究随机事件和数据的规律性。
概率论研究随机事件的发生概率，统计学则处理数据的收集、整理和分析。
它们在风险评估、市场调查、医学试验等方面发挥重要作用。
以上是关于专升本数学知识常识的简要介绍。
数学作为一门广泛应用于各个领域的学科，学习数学能够提升个人思维能力和问题解决能力，是一项重要的学科。
第二章导数与微分(专升本微积分)
(e x ) e x , de x e xdx
(4)
(loga
x)
1, x lna
1
d (loga
x)
dx x lna
(ln x) 1 , x
d(ln x) 1 dx x
(5) (sin x) cos x, d(sin x) cos xdx
(6) (cos x) sin x, d(cos x) sin xdx
y
x0
x
(1) f ( x) x 在x 0不可导，f ( x)
y
x x0 在x x0不可导；
x0 x
1, x 0
(2)
f
(
x)
1, 0,
x x
0 ,
0
f
(x)
0, 1,
x x
0 0
在x 0处不可导.
2.函数在点 x0 处可导的充要条件是其左、右
导数存在且相等，求分段函数（包括含绝对值
符号的函数）在分段点处的导数要用左、右导
数法。即
f ( x0 )存在 f( x0 ) f( x0 ),其中
f (
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f (x0 ) x x0
f (
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
t x0
x00 f (0) lim f ( x) f (0)
x0
x
特征：导数是两个改变量比的极限，分子是
两点 x0与x0 x 函数值的改变量，其中有一项是 f ( x0 ) ；分母是两点 x0与x0 x 自变量的改变量，
江西财经大学09-10 微积分答案
江西财经大学09-10学年第一学期期末考试试卷答案和评分标准试卷代码：03023B 授课课时：48课程名称：微积分 Ⅰ 适用对象：2009级试卷命题人 杨寿渊 试卷审核人 邹玉仁、罗世华一、填空题（每小题2分，共14分）1．2133x x -- 2．0 3．1-4．不存在 5．xα 6．22ln ln y xy y x xy x--7．1ln p C+二、单项选择题（每小题2分，共14分）1.B2.D3.B4.B5.A6.D7.C三、求极限（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.）1．21lim 0, sin cos 2,n n n n →∞=+≤ (2分)21lim (sin cos )0n n n n→∞+= (4分)2． 22222222000111lim 1limexp ln 1exp lim ln 122222x x x x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1分） 221111exp lim ln 1exp lim ln 1222t t t t t t →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2分）111212exp lim exp(0)11t t →+∞⎛⎫∙ ⎪- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（4分） 3. 2220001sin 1sin 1sin limln lim ln 1lim x x x x x x x xx x x x x x →→→--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（2分） 3200sin cos 1limlim 3x x x x x x x →→--== （3分） 2202sin 12lim.36x xx →-==- （4分） 四、求导数（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.）1．()()'21'ln ln y x x =-（2分） ()21ln x x =-（4分）2．两边取对数，得ln csc ln y x x = （1分）两边对x 求导数，得'1csc cot ln csc ,y x x x x y x=-∙∙+ （2分） 得csc 1'csc cot ln csc .x y x x x x x x ⎛⎫=-∙∙+ ⎪⎝⎭（4分）3. ''y x =（2分）'1x ⎛⎫=⎪⎪⎭ （3分）11⎛⎫=+⎪⎪⎭（4分）五、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）解：由导数的定义，得()00()(0)()(0)()()limlim x x f ax f f bx f f ax f bx x x→→----= （3分） 00()(0)()(0)limlim x x f ax f f bx f a b ax bx→→--=- （6分） '(0)'(0).af bf a b =-=- （8分）六、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 解：方程两边取对数，得 211ln ln ,22x y xy --= （3分） 两边取微分，得2112,22dx dyy dx xydy x y--=+ （6分） 解得()32224y xy dy dx x y x+=-+ （8分） 七、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）解：'1ln ,y x =+ （2分）()''1''1ln ,y x x=+=（4分） (2)()(2)11(2)!(1).n n n n n yx x----⎛⎫==- ⎪⎝⎭（8分）八、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）解：(1), 0,(2), 0,'1, 0 '', 0,(1), 0.(2), 0.x x x x x e x x e x y x y x x e x x e x --⎧⎧->->⎪⎪====⎨⎨⎪⎪+<+<⎩⎩不存在 （3分）令''0y =解得12当(,2)x ∈-∞-时''0y <，图像下凹； 当(2,0)x ∈-时''0y >，图像上凹； 当(0,2)x ∈时''0y <，图像下凹；当(2,)x ∈+∞时''0y >，图像上凹； （6分） 函数的拐点为22(2,2), (2,2), (0,0).e e ---- （8分）九、应用题（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）解：（1）需求价格弹性为：'()2()EQ Q p p Ep Q p ==- （1分） 总利润函数为1/2()()()()()100100L Q R Q C Q Q p Q C Q Q Q =-=∙-=-- （2分）1/23/250'()501, ''(),2L Q Q L Q Q --=-=-由'()0L Q =解得02500Q = （3分） 且在这一点处的二阶导数值小于0，因此这一点是极大值点，也是最大值点，此时的价格为0 2.p = （4分） （2）新的税收政策出台后厂商的总利润函数为1/2()()()1001002L Q R Q C Q T Q Q =--=-- （5）1/23/250'()502, ''(),2L Q Q L Q Q --=-=-由'()0L Q =解得1625Q = （7分） 且在这一点处的二阶导数值小于0，因此这一点是极大值点，也是最大值点，此时的价格为1十、证明题（请写出推理步骤及结果，8分.）（1）.证明：设M 是()f x 与()g x 共有的最大值，并设()f x 在1(,)x a b ∈处取得最大值M ，()g x 在2(,)x a b ∈处取得最大值M ，令()()()x f x g x ϕ=-，则 12()0, ()0.x x ϕϕ≥≤ （2分） 如果12x x =，则令1x η=便有()()f g M ηη==。
成人高考(专升本)高等数学(一)知识点复习资料
C.关于坐标原点对称 D.关于直线 y=x对称 [答]B.
，由于不论 x为何值，总有 ，所以它的图形总是在 x轴的上 。
[主要知识内容] （一）函数的概念 1.函数的定义
由方程 为隐函数。
确定的函数关系
（4）在 ，称
内，下列函数中是无界函数的是
定义 设在某个变化过程中有两个变量 x和 y，变量 y 例如
母 y换成 x得
（1）各组函数中，两个函数相等的是
3）对分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相 结论：
应范围的公式中去求；
这就是
的反函数。
A.
4）分段函数的定义域是各段定义域的并集。
（1）直接函数
与它的反函数 y=
的
例 4.分段函数
图形，必定对称于直线 y=x（一般地，二者是不同的函
B.
数，其图形是不同的曲线）；
， 等都是初等函数。
y=arcsin x 和 。
的定义域都是 附录：常用的初等数学基本公式
一、乘法公式；反之，因式分解公式
，
第一节 极限
[复习考试要求]
个常数 1.我们称：当
1.理解极限的概念（对极限定义
、
、有
等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的 （3）当 左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必
就是一个隐函数，它可以转化成显 (A)
(B)
随变量 x的变化而变化，如果变量 x在实数集合 D或 D 的某一个子集合中每取一数值时，变量 y依照某一法则 函数的形式
(C) y=sin x(D)
f总有一个确定的数值与之对应，则称变量 y为变量 x 要注意的是：并非所有隐函数都可以转化为成显函数。 （四）反函数
专升本高等数学【导数与微分】知识点及习题库
第二章导数与微分【考试要求】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．【考试内容】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、导数（一）导数的相关概念1．函数在一点处的导数的定义设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为0()f x '，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆，也可记作x x y ='，x x dy dx=或()x x df x dx=．说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=和000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-；式中的h 即自变量的增量x ∆．2．导函数上述定义是函数在一点处可导．如果函数()y f x =在开区间I 内的每点处都可导，就称函数()f x 在区间I 内可导．这时，对于任一x I ∈，都对应着()f x 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数()y f x =的导函数，记作y '，()f x '，dy dx 或()df x dx．显然，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '就是导函数()f x '在点0x x =处的函数值，即00()()x x f x f x =''=．3．单侧导数（即左右导数）根据函数()f x 在点0x 处的导数的定义，导数0000()()()lim h f x h f x f x h→+-'=是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此0()f x '存在（即()f x 在点0x 处可导）的充分必要条件是左右极限000()()lim h f x h f x h-→+-及000()()lim h f x h f x h+→+-都存在且相等．这两个极限分别称为函数()f x 在点0x 处的左导数和右导数，记作0()f x -'和0()f x +'，即0000()()()lim h f x h f x f x h--→+-'=，0000()()()lim h f x h f x f x h ++→+-'=．现在可以说，函数()f x 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在并且相等．说明：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，就说()f x 在闭区间[,]a b 上可导．4．导数的几何意义函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线的斜率，即0()tan f x α'=，其中α是切线的倾角．如果()y f x =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线0x x =为极限位置，即曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处具有垂直于x 轴的切线0x x =．根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线方程和法线方程分别为：切线方程：000()()y y f x x x '-=-；法线方程：0001()()y y x x f x -=--'．5．函数可导性与连续性的关系如果函数()y f x =在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处必连续，但反之不一定成立，即函数()y f x =在点0x 处连续，它在该点不一定可导．（二）基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式（1）()0C '=；（2）1()xx μμμ-'=；（3）(sin )cos x x '=；（4）(cos )sin x x'=-；（5）2(tan)sec x x'=；（6）(cot)csc x x'=-；（7）(sec )sec tan x x x '=；（8）(csc )csc cot x x x'=-；（9）()ln xx aa a'=；（10）()xxee '=；（11）1(log )ln a x x a'=；（12）1(ln )x x'=；（13）(arcsin )x '=；（14）(arccos )x '=；（15）21(arctan )1x x '=+；（16）21(arccot )1x x '=-+．2．函数的和、差、积、商的求导法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()uv u v '''±=±；（2）()Cu Cu ''=（C 是常数）；（3）()uv u v uv '''=+；（4）2(u u v uv v v ''-'=（0v ≠）．3．复合函数的求导法则设()y f u =，而()u g x =且()f u 及()g x 都可导，则复合函数[()]y f g x =的导数为dy dy dudx du dx=⋅或()()()y x f u g x '''=⋅．（三）高阶导数1．定义一般的，函数()y f x =的导数()y f x ''=仍然是x 的函数．我们把()y f x ''=的导数叫做函数()y f x =的二阶导数，记作y ''或22d y dx ，即()y y ''''=或22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭．相应地，把()y f x =的导数()f x '叫做函数()y f x =的一阶导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数， ，一般的，(1)n -阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作y '''，(4)y ， ，()n y 或33d y dx ，44d y dx ， ，n nd ydx ．函数()y f x =具有n 阶导数，也常说成函数()f x 为n 阶可导．如果函数()f x 在点x 处具有n 阶导数，那么()f x 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．隐函数的求导方法主要有以下两种：1．方程两边对x 求导，求导时要把y 看作中间变量．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dy dx．解：方程两边分别对x 求导，()(0)yx xexy e ''+-=，得0ydy dy e y x dx dx ++=，从而ydy ydx x e =-+．2．一元隐函数存在定理x y F dydx F '=-'．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dydx．解：设(,)y F x y e xy e =+-，则()()yx yy y e xy e F dy y x dx F e x e xy e y∂+-'∂=-=-=-∂'++-∂．（五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩确定y 是x 的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为()()dy t dx t φϕ'='，上式也可写成dy dy dt dxdx dt=．其二阶导函数公式为223()()()()()d y t t t t dx t φϕφϕϕ''''''-='．（六）幂指函数的导数一般地，对于形如()()v x u x （()0u x >，()1u x ≠）的函数，通常称为幂指函数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：1．复合函数求导法将幂指函数()()v x u x 利用指数函数和对数函数的性质化为()ln ()v x u x e的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的()ln ()v x u x e 恢复为()()v x u x 的形式．例如：求幂指函数xy x =的导数dydx．解：因ln x x xx e =，故()ln ln (ln )(1ln )x xx x x dy d e e x x x x dx dx'==⋅=+．2．对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求y 对x 的导数．例如：求幂指函数x y x =的导数dy dx．解：对幂指函数x y x =两边取对数，得ln ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x的函数，得11ln dyx y dx⋅=+，故(1ln )(1ln )x dy y x x x dx =+=+．二、函数的微分1．定义：可导函数()y f x =在点0x 处的微分为00()x x dyf x dx='=；可导函数()y f x =在任意一点x 处的微分为()dy f x dx '=．2．可导与可微的关系函数()y f x =在点x 处可微的充分必要条件是()y f x =在点x 处可导，即可微必可导，可导必可微．3．基本初等函数的微分公式（1）()0d C dx=；（2）1()d xx dxμμμ-=；（3）(sin )cos d x xdx =；（4）(cos )sin d x xdx =-；（5）2(tan )sec d x xdx=；（6）(cot )csc d x xdx=-；（7）(sec )sec tan d x x xdx=；（8）(csc )csc cot d x x xdx=-；（9）()ln xx d aa adx =；（10）()xx d ee dx=；（11）1(log )ln ad x dx x a =；（12）1(ln )d x dx x=；（13）(arcsin )d x =；（14）(arccos )d x =-；（15）21(arctan )1d x dx x=+；（16）21(arccot )1d x dx x=-+．4．函数和、差、积、商的微分法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()d uv du dv±=±；（2）()d Cu Cdu =（C 是常数）；（3）()d uv vdu udv=+；（4）2()u vdu udv d v v -=（0v≠）．5．复合函数的微分法则设()y f u =及()u g x =都可导，则复合函数[()]y f g x =的微分为()()x dy y dx f u g x dx '''==．由于()g x dx du '=，所以复合函数[()]y f g x =的微分公式也可写成()dyf u du'=或udy y du '=．由此可见，无论u 是自变量还是中间变量，微分形式()dyf u du '=保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式()dy f u du '=并不改变．【典型例题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料【例2-1】以下各题中均假定0()f x '存在，指出A 表示什么．1．000()()limx f x x f x A x∆→-∆-=∆．解：根据导数的定义式，因0x∆→时，0x -∆→，故0000000()()()()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆，即0()A f x '=-．2．设0()limx f x A x→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在．解：因(0)0f =，且(0)f '存在，故00()()(0)lim lim (0)0x x f x f x f f x x →→-'==-，即(0)A f '=．3．000()()limh f x h f x h A h→+--=．解：根据导数的定义式，因0h →时，0h -→，故00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h h →→+--+-+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+-000()()2()f x f x f x '''=+=，即02()A f x '=．【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．1．讨论函数322,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩在1x =处的可导性．解：根据导数的定义式，3211122()(1)233(1)lim lim 1)2113x x x x f x f f x x x x ----→→→--'===++=--，2112()(1)3(1)lim lim11x x x f x f f x x +++→→--'===+∞--，故()f x 在1x =处的左导数(1)2f -'=，右导数不存在，所以()f x 在1x =处不可导．2．讨论函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x=处的可导性．解：因20001sin()(0)1(0)limlim lim sin 0x x x x f x f x f x x x x→→→--'====-，故函数()f x 在0x =处可导．3．已知函数2,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处连续且可导，求常数a 和b 的值．解：由连续性，因(1)1f =，211(1)lim ()lim 1x x f f x x ---→→===，11(1)lim ()lim()x x f f x ax b a b +++→→==+=+，从而1a b += ①再由可导性，2111()(1)1(1)lim lim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--，11()(1)1(1)lim lim 11x x f x f ax b f x x +++→→-+-'==--，而由①可得1b a =-，代入(1)f +'，得11()(1)(1)lim lim 11x x f x f ax a f a x x +++→→--'===--，再由(1)(1)f f -+''=可得2a =，代入①式得1b =-．【例2-3】已知sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，求()f x '．解：当0x <时，()(sin )cos f x x x ''==，当0x ≥时，()()1f x x ''==，当0x =时的导数需要用导数的定义来求．0()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f x f x x ---→→-'===-，0()(0)0(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→--'===-，(0)(0)1f f -+''==，故(0)1f '=，从而cos ,0()1,0x x f x x <⎧'=⎨≥⎩．【例2-4】求下列函数的导数．1．(sin cos )x y e x x =+．解：()(sin cos )(sin cos )x x y e x x e x x '''=+++(sin cos )(cos sin )x x e x x e x x =++-2cos x e x =．2．2sin1y x =+．解：222222sin cos 111x x x y x x x ''⎛⎫⎛⎫'==⋅ ⎪ +++⎝⎭⎝⎭2222222(1)(2)cos 1(1)x x x x x +-=⋅++22222(1)2cos (1)1x x x x -=++．3．ln cos()x y e =．解：1ln cos()cos()cos()xxx y e e e '''⎡⎤⎡⎤==⋅⎣⎦⎣⎦1sin()()cos()x xx e e e '⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦1sin()cos()x x x e e e ⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦tan()x x e e =-．4．ln(yx =+．解：ln((y x x '⎡⎤''=+=+⎣⎦21⎡⎤'=+⎢⎣1⎡⎤=+⎢⎣==．【例2-5】求下列幂指函数的导数．1．sin x y x =（0x >）．解：sin sin ln sin ln ()()(sin ln )x x x x x y x e e x x ''''===⋅sin ln 1(cos ln sin )x xex x x x=⋅+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数sin x y x =两边取对数，得ln sin ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得11cos ln sin y x x x y x'⋅=+⋅，故1(cos ln sin )y y x x x x '=+⋅sin sin (cos ln )xx x x x x =+．2．1xx yx ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（0x >）．解：ln ln 11ln 11x x x x x xx x x y e e x x x ++'''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫'===⋅⎢⎥ ⎪ ⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦ln 11ln 11xx xx x x ex xx x +⎡⎤'+⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅⋅ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()ln1211ln 11x x xx x x x ex x x x +⎡⎤++-=⋅+⋅⋅⎢⎥++⎢⎥⎣⎦1ln 111xx x x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭两边取对数，得ln ln 1xy x x=+，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得111ln ln 1111x x x x y x y x x x x x'+⎛⎫'⋅=+⋅⋅=+ ⎪++++⎝⎭，故11ln ln 11111xx x x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数．1．xy yx =（0x >）．解：等式两边取对数，得lnln x y y x =，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得ln ln x y y y y x y x ''+⋅=+，整理得(ln )ln x yx y y y x'-=-，则22ln ln ln ln yy y xy yx y xx xy x x y --'==--．2．y=．解：等式两边取对数，得21ln lnln 2y ==，即2212ln ln(1)ln(2)5y x x =+-+，也即2210ln 5ln(1)ln(2)y x x =+-+，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得221010212x x y y x x '=-++，故222210*********y x x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭．【例2-7】求下列抽象函数的导数．1．已知函数()yf x =可导，求函数1sin ()xy f e=的导数dy dx．解：111sin sin sin ()()()x x x dy d f e f e e dx dx ⎡⎤'==⋅⎢⎥⎣⎦11sin sin 1()()sin x x f e e x '=⋅⋅1111sin sin sin sin 22cos cos ()()sin sin xxx x x x f eef e x x-=⋅⋅=-．2．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f x g x +≠，试求函数y =的导数dy dx．解：22()()f x g x dy d dx dx '⎡⎤+==''''==．【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数()y y x =的导数．1．220xxy y -+=．解：方程两边分别对x 求导，得220dy dyx y x y dx dx--⋅+⋅=，整理得(2)2dy x y x y dx -=-，故22dy x ydx x y-=-．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设22(,)F x y x xy y =-+，则2222x y F dy x y x y dx F x y x y '--=-=-='-+-．2．1y yxe =+．解：方程两边分别对x 求导，得0y y dy dye xe dx dx=++⋅，整理的(1)y y dy xe e dx -=，故1yydy edx xe =-．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设(,)1y F x y xe y =+-，则11y yx y yy F dy e e dx F xe xe '=-=-='--．【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数()y y x =的导数．1．2t tx e y e -⎧=⎨=⎩．解：()()21222t t ttt dye dy e dt dx dx e e e dt--'-====-'．2．111x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．解：()()2211111111t t t dy t dy t dt dx dx dt t t '+-⎛⎫ ⎪++⎝⎭====--'⎛⎫ ⎪++⎝⎭．【例2-10】求下列函数的微分．1．22()tan (12)f x x =+．解：因22222()tan (12)2tan(12)sec (12)4f x x x x x ''⎡⎤=+=+⋅+⋅⎣⎦，故222()8tan(12)sec (12)dy f x dx x x x dx '==++．2．()f x =．解：因()()f x ''==⋅=-故()dy f x dx '==-．3．2()arctan f x x =解：因(22()arctan 2arctan f x x x x ''==，故2()2arctan dy f x dx x dx ⎡'==⎢⎣．4．22()sin ln(1)f x x x =+．解：因222222()sin ln(1)2sin cos ln(1)sin 1xf x x x x x x x x ''⎡⎤=+=++⎣⎦+，故2222sin ()sin 2ln(1)1x x dy f x dx x x dx x ⎡⎤'==++⎢⎥+⎣⎦．【例2-11】求曲线x y xe -=在点(0,1)处的切线方程和法线方程．解：()x x x y xe e xe ---''==-，01x y ='=，故曲线在点(0,1)处的切线方程为11(0)y x -=⋅-，即10x y -+=；法线方程为11(0)y x -=-⋅-即10x y +-=．【例2-12】求曲线224xxy y ++=在点(2,2)-处的切线方程和法线方程．解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有220x y xy y y ''+++⋅=，即22x y y x y+'=-+；由导数的几何意义，曲线在点(2,2)-处的斜率为2222212x x y y x y y x y===-=-+'=-=+，故曲线在点(2,2)-处的切线方程为21(2)y x +=⋅-，即40x y --=；法线方程为21(2)y x +=-⋅-，即0x y +=．【例2-13】求椭圆2cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在点4t π=处的切线方程和法线方程．解：将4t π=代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又4cos 2cot 2sin t t y t y t x t''===-'-，切线斜率为442cot 2t t y tππ=='=-=-，故所求切线方程为2(y x -=--，即20x y +-=；所求法线方程为1(2y x -=--，即20x y +-=．【历年真题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、选择题1．（2010年，1分）已知(1)1f '=，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆等于（）（A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2-解：根据导数的定义，00(12)(1)[1(2)](1)lim2lim2x x f x f f x f x x∆→∆→-∆-+-∆-=-∆-∆2(1)2f '=-=-，选（D ）．2．（2010年，1分）曲线2y x =在点(1,1)处的法线方程为（）（A ）y x =（B ）322x y =-+（C ）322x y=+（D ）322x y =--解：根据导数的几何意义，切线的斜率1122x x ky x =='===，故法线方程为11(1)2y x -=--，即322x y =-+，选（B ）．3．（2010年，1分）设函数()f x 在点0x 处不连续，则（）（A ）0()f x '存在（B ）0()f x '不存在（C ）lim()x f x →∞必存在（D ）()f x 在点0x 处可微解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B ）正确．4．（2009年，1分）若000()()lim h f x h f x h A h→+--=，则A =（）（A ）0()f x '（B ）02()fx '（C ）0（D ）01()2f x '解：000()()limh f x h f x h A h→+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+-000()()2()f x f x f x '''=+=，选项（B ）正确．5．（2008年，3分）函数()f x x =，在点0x =处()f x （）（A ）可导（B ）间断（C ）连续不可导（D ）连续可导解：由()f x x =的图象可知，()f x 在点0x =处连续但不可导，选项（C ）正确．说明：()f x x =的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．6．（2008年，3分）设()f x 在0x 处可导，且0()0f x '≠，则0()f x '不等于（）（A ）000()()limx x f x f x x x →--（B ）000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆（C ）000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆（D ）000()()lim()x f x x f x x ∆→-∆--∆解：根据导数的定义，选项（C ）符合题意．7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数()f x 在点0x 处的导数定义的选项是（）（A ）001lim [()()]n n f x f x n →∞+-（B ）000()()limx x f x f x x x →--（C ）000()()limx f x x f x x x ∆→+∆--∆∆（D ）000(3)()limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆解：选项（A ）000001(()1lim [()()]lim()1n n f x f x n n f x f x f x nn+→∞→∞+-'+-==，选项（C ）0000()()lim2()x f x x f x x f x x∆→+∆--∆'=∆，选项（D ）0000(3)()lim 2()x f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，故选（B ）．8．（2007年，3分）若()f u 可导，且(2)x y f =，则dy =（）（A ）(2)x f dx '（B ）(2)2x x f d '（C ）[(2)]2x xf d '（D ）(2)2x x f dx'解：因(2)(2)2(2)2ln 2x x x x x dy df f d f dx''===，故选项（B ）正确．9．（2006年，2分）设()u x ，()v x 为可导函数，则(ud v =（）（A ）du dv（B ）2vdu udv u -（C ）2udv vdu u +（D ）2udv vdu u -解：222()(u u u v uv u vdx uv dx vdu udvd dx dx v v v v v ''''---'====，选（B ）．10．（2005年，3分）设()(1)(2)(99)f x x x x x =--- ，则(0)f '=（）（A ）99!-（B ）0（C ）99!（D ）99解：当0x=时，()f x '中除(1)(2)(99)x x x --- 项外，其他全为零，故(0)(01)(02)(099)99!f '=---=- ，选项（A ）正确．11．（2005年，3分）设ln y x =，则()n y =（）（A ）(1)!nnn x --（B ）2(1)(1)!nn n x ---（C ）1(1)(1)!n nn x ----（D ）11(1)!n n n x --+-解：由ln y x =可得，1y x '=，21y x''=-，433222!x y x x x-'''=-==，2(4)64233!x yx x⋅=-=-， ，对比可知，选项（C ）正确．12．（2005年，3分）2sin ()d xd x =（）（A ）cos x（B ）sinx-（C ）cos 2x （D ）cos 2x x解：2sin cos cos ()22d x xdx xd x xdx x==，选项（D ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）若曲线()yf x =在点00(,())x f x 处的切线平行于直线23y x =-，则0()f x '=．解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故0()2f x '=．2．（2010年，2分）设cos(sin )y x =，则dy =．解：cos(sin )sin(sin )cos dyd x x xdx ==-．3．（2008年，4分）曲线21y x =+在点(1,2)的切线的斜率等于．解：由导数的几何意义可知，切线斜率(1,2)(1,2)22k y x'===．4．（2008年，4分）由参数方程cos sin x t y t=⎧⎨=⎩确定的dy dx=．解：(sin )cos cot (cos )sin t t y dy t t t dx t tx ''====-'-'．5．（2006年，2分）曲线2sin y x x =+在点(,1)22ππ+处的切线方程是．解：切线的斜率(,1)(,1)2222(12sin cos )1k y x x ππππ++'==+=，故切线方程为(11()22y x ππ-+=⋅-，即1y x =+．6．（2006年，2分）函数2()(1)f x x x x=-不可导点的个数是．解：2222(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，显然，当0x ≠时，()f x 可导；当0x=时，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x+++→→-+'===-，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x-+-→→--+'===-，故(0)0f '=．故函数()f x 的不可导点的个数为0．7．（2006年，2分）设1(1xy x=+，则dy =．解：因11ln(1)ln(1)21111[(1)][][ln(1)()]11x x x x x y e e x x x x x++'''=+==++⋅⋅-+111(1)[ln(1)]1x x x x =++-+，故111(1)[ln(1)]1x dy dx x x x =++-+．三、计算题1．（2010年，5分）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定，求x dydx=．解：方程2xyx y =+两边对x 求导，考虑到y 是x 的函数，得2ln 2()1xy dy dy y xdx dx ⋅+=+，整理得2ln 22ln 21xy xydy dy y x dx dx+⋅=+，故2ln 2112ln 2xy xydy y dx x -=-．当0x =时，代入原方程可得1y =，所以0012ln 21ln 21ln 2112ln 21xy x x xy y dy y dx x ===--===--．说明：当得到2ln 2()1xydy dyy xdx dx⋅+=+后，也可直接将0x =，1y =代入，得ln 21dy dx =+，故0ln 21x dydx==-．2．（2010年，5分）求函数sin x y x =（0x >）的导数．解：sin sin ln sin ln sin ln 1()()()(cos ln sin )x x x x x x xy x e e e x x x x ''''====+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+．3．（2009年，5分）设22sin1xy x =+，求dy dx．解：因22sin1x y x =+，故22(sin )1dy x dx x'=+2222222222(1)22222cos cos 1(1)(1)1x x x x x x x x x x +-⋅-=⋅=++++．4．（2006年，4分）设()f x可导，且()f x '=，求df dx ．解：df f dx ''=⋅2x x==-．5．（2005年，5分）已知sin ,0(),0x tdtx f x xa x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰．（1）()f x 在0x =处连续，求a ；（2）求()f x '．解：（1）因sin lim ()limlimsin 0xx x x tdt f x x x→→→===⎰，故由()f x 在0x =处连续可得，0lim()(0)x f x f →=，即0a =．（2）当0x ≠时，002sin sin sin ()x x tdt x x tdt f x x x '⎛⎫- ⎪'== ⎪⎝⎭⎰⎰；当0x =时，2000sin sin ()(0)(0)lim limlimxxx x x tdt tdt f x f xf x xx →→→-'===-⎰⎰0sin 1lim22x x x →==．故2sin sin,0 ()1,02xx x tdtxxf xx⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰．关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料。
第二章 (专升本)导数与微分
第二章 导数与微分第一讲：导数的概念一、是非题1.])([)(00'='x f x f ； （ ）2.曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处有切线，则)(0x f '一定存在； （ ）3.若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >； （ ）4.周期函数的导函数仍为周期函数； （ ）5.偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数； （ ）6.)(x f y =在0x x =处连续，则)(0x f '一定存在。
（ ） 二、填空题1.设)(x f 在0x 处可导，则______________)()(lim000=∆-∆-→∆xx f x x f x ，___________)()(lim000=--+→hh x f h x f h ；2.若)0(f '存在且0)0(=f ，则_______________)(lim=→xx f x ； 3.已知⎩⎨⎧-=,,)(22x x x f ,0,0<≥x x 则)0(f '＝ ； 4.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体在时刻t 的冷却速度为 ；5.物体作直线运动，运动方程为t t s 532-=，则物体在s 2到s t )2(∆+的平均速度为 ，物体在s 2时的速度为 。
三、选择题1.函数)(x f 的)(0x f '存在等价于（ ）；A 、)]()1([lim 00x f nx f n n -+∞→存在 B 、h x f h x f h )()(lim000--→存在 C 、x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000存在 D 、xx x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()3(lim 000存在2.若函数)(x f 在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处（ ）； A 、可导 B 、不可导 C 、连续但未必可导 D 、不连续四、利用定义求下列函数的导数1.21x y = 2.x y cos =3.),(为常数b a b ax y +=五、设)(x ϕ在a x =处连续，)()()(x a x x f ϕ-=，求)(a f '。
专升本高数数学知识点总结
专升本高数数学知识点总结一、微积分微积分是高等数学的重要组成部分，它包括导数和积分两个部分。
导数是一个函数对自变量的变化率的描述，而积分则是对函数曲线下的面积的计算。
1. 导数导数是描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点的变化速率。
通常用f'(x)或者dy/dx 表示。
导数的定义是函数在某一点的极限值，即f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
在计算导数时，我们可以使用求导法则，包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、乘法法则、除法法则、复合函数求导法则等。
2. 积分积分是对函数曲线下的面积的计算，它的定义是函数$f(x)$在区间[a,b]上的定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$表示曲线$f(x)$与$x$轴所围成的面积。
在计算积分时，我们可以使用不定积分和定积分两种方式。
不定积分通常写作$\int f(x)dx$，其结果是一个函数。
定积分通常写作$\int_{a}^{b}f(x)dx$，其结果是一个数值。
3. 微分方程微分方程是微积分的一部分，它描述了变量之间的关系，并且包含了导数。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是以导数为主要变量的方程，通常用于描述物理现象的规律。
偏微分方程是以偏导数为主要变量的方程，通常用于描述空间中的变化规律。
二、线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支，它包括向量、矩阵、行列式、特征值、特征向量等概念。
1. 向量向量是线性代数中的基本概念，它表示具有大小和方向的物理量。
通常用a或者b表示。
向量可以进行加法、数乘等运算，也可以用点积和叉积来描述。
2. 矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是一个按照行和列排列的数表。
矩阵可以进行加法、数乘、转置等运算，也可以进行矩阵的乘法运算。
3. 行列式行列式是描述矩阵性质的重要工具，它表示矩阵所代表的线性变换的相似性。
行列式的定义是一个关于矩阵元素的多重求和。
专升本第二讲导数与微分
第二讲 导数与微分考点：1、理解导数的概念，掌握导数的定义。
2、能利用导数定义判断函数的可导性，会判断分段函数分段点处的可导性。
3、掌握导数的几何意义，会表示切线方程与法线方程。
4、了解可导性与连续性之间的关系。
5、熟练掌握导数计算的基本公式，四则运算法则，复合函数求导链式法则，隐函数求导法，参数方程求导法，对数求导法以及高阶导数的计算。
6、理解函数微分的基本概念，会求函数的微分，了解可导与可微之间的关系。
典型题目：1、求)1ln(2x x y ++=的导数2、求函数x ey 1sin 2=的导数 3、 已知0=-+e xy e y ,求dy dx 4、22ln arctan y x xy += 5、求曲线03275=--+x x y y 上在0=x 的点处的切线方程6、 sin (tan )x y x =，求y '. 7、 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y ()4>x 的导数 8、设()0f x m '=,求下列极限:(1) ()()x x f x x f x ∆-∆-→∆0003lim ; (2) ()()xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆23lim 000 9、设)(x f 在]1,1[-上有界,2sin )()(x x f x g =,求)0(g '.10、 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0;0,1sin )(x x x x g x f 且)0()0(g g '==0,证明:0)0(='f . 11、 设()x x x y sin +=,求dxdy . （导数()x f '为()x f 的边际函数）12、 某企业每月生产x 吨产品的总成本C (单位:千元)是产量x 的函数()20102+-=x x x C .如果每吨产品的销售价格为2万元,试求每月生产8吨时的边际利润.13、 设市场对某商品的需求量Q 是价格p 的函数275p Q -=,求4=p 时的边际需求,并说明其经济意义.（ 对于一般的x ,如果()x f y =是可导函数,且()0f x ≠,则：()().y x f x f x η'= 是x 的函数,称为()x f 的弹性函数(简称为弹性)）14、 设某种商品的需求函数为p Q -=50,p 为价格()500<<p ,试求:当30p =的需求弹性，并解释其经济意义。
专转本导数与微分
旳极限即为
vt0
vt0
lim
t 0
st0
t
t
st0
s
lim lim v
t 0 t
t 0
2: 曲线旳切线斜率 L
切线旳一般定义:
设 P 是曲线 L 上旳一种定点, Q 是曲线 L 上旳另一种点,
过点 P 与点 Q 作一条直线 PQ, 称 PQ 为曲线 L 旳 割线, 当点 Q 沿着曲线 L 趋向定点 P 时, 割线 PQ 旳极限位置 PT
所以y 0
(2)算比值 y 0 x
(3)取极限: y lim y 0
x0 x
即 (c)' 0
例2 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
lim a xx a x x0 x
a x lim ax 1 x0 x
Q 越接近于 P ,
PQ 越接近于 PT, tan 越接近于 k ,
即:
k tan lim y
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x 0
x
曲线在 P 处旳切线斜率为:
函数旳增量与自变量增量之比,
当自变量旳增量趋于 0 时旳极限.
二. 导数旳定义
1. 导数定义: 设函数 y f (x)在 x0旳某个邻域内有定义, 若极限
在几何上表达曲线 y f (x)
y
M
Hale Waihona Puke 在点 M(x0 , f (x0 )) 处旳切线旳斜率,
α
x0
x
即 f '( x0 ) tan
假如函数 y f (x) 在点 x0处可导, 则曲线 y f (x) 在点 P(x0, f (x0 )) 旳切线方程为
(专升本)一元函数微分学复习
求曲线上一点处的切线方程与 法线方程
掌 握
导数公式及四则运算法则
复合函数的求导方法 隐函数的求导方法
参数方程的一阶导数求导法
初等函数的二阶导数求法 微分的运算法则
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知识回顾
1．回忆函数的基本导数公式 公式1 公式2
C 0（C 为常数）
n n1 ( x ) n x ( n Q)
2
1 3
ln( x 1 ),
y
1 2
1 x 1
2
2x
1 x
1 3( x 1)
x x 1
2
1 3( x 1)
例12 求函数 y e 解
y e
sin 1 x
sin
的导数.
sin 1 x
(sin
sin
1 x
1 x
) e
cos
cos
1
1 ( ) x x
2
1 ln x
2
1 2 1 ln x
2
2 ln x ln x
ln x x 1 ln x
2
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例题讲解
例6 求 y ( x 1) 3 (3 x 1) ( x 2 ) 的导数．
2
解：
ln y ln x 1
1 y y 1 x 1 2
法则
dy d t y t . dx dx x t dy tx
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知识回顾
8．回顾微分的概念．
d y f ( x ) d x
9．回顾微分的运算法则．
高等数学本科第二章 导数与微分例题讲解附答案
高等数学本科第二章导数与微分例题讲解附答案
例1 设函数，讨论函数在处是否连续，是否可导？
解：思路：根据定义。
，所以，函数在处连续。
又，此极限不存在，所以函数在处不可导。
例2 求函数的导数。
解：思路：熟记求导公式及复合函数求导方法。
例3 求函数的导数。
解：思路：熟记求导公式及复合函数求导方法。
例4 求函数的导数。
解：思路：熟记求导公式及复合函数求导方法。
例5 求方程确定的函数的导数。
解：思路：熟记求导公式及复合函数求导方法。
方程两边关于自变量求导，有
例6 求曲线与直线交点处的切线方程。
解：思路：切线斜率就是曲线方程函数在切点的导数。
显然，交点为（1，2），切线的斜率为，
所以，切线方程为。
例7求函数的微分。
解：思路：熟记微分公式。
专升本高等数学 第三章微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用【考试要求】1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义．2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“0∞”型未定式极限的方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．【考试内容】一、微分中值定理1．罗尔定理如果函数()yf x =满足下述的三个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得()0f ξ'=．说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若0()0f x '=，则称点0x 为函数()f x 的驻点．2．拉格朗日中值定理如果函数()y f x =满足下述的两个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式）成立：()()()()f b f a f b a ξ'-=-．说明：当()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只能()0f ξ'=，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．3．两个重要推论（1）如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数．证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证），应用拉格朗日中值公式可得 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<）． 由假定，()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明()f x 在区间I 上的函数值总是相等的，即()f x 在区间I 上是一个常数．（2）如果函数()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=，则这两个函数在(,)a b 内至多相差一个常数，即()()f x g x C -=（C 为常数）．证：设()()()F x f x g x =-，则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，根据上面的推论（1）可得，()F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=．二、洛必达法则1．x a →时“”型未定式的洛必达法则如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）在点a 的某个去心邻域内()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x a f x F x →''存在（或为无穷大），那么 ()()lim lim()()x a x a f x f x F x F x →→'='． 说明：这就是说，当()lim ()x a f x F x →''存在时，()lim ()x a f x F x →也存在且等于()lim ()x a f x F x →''；当()lim()x a f x F x →''为无穷大时，()lim ()x a f x F x →也是无穷大． 2．x →∞时“”型未定式的洛必达法则 如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x →∞时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）当x X >时()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x f x F x →∞''存在（或为无穷大），那么 ()()lim lim ()()x x f x f x F x F x →∞→∞'='．说明：我们指出，对于x a →或x →∞时的未定式“∞∞”，也有相应的洛必达法则． 3．使用洛必达法则求“00”型或“∞∞”型极限时的注意事项（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“00”型或“∞∞”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：2sin lim x xx π→就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故2sin sin 22lim 2x x x ππππ→==． （2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“0”型或“∞∞”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推． （3）洛必达法则是求“00”型或“∞∞”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求2tan limtan x x xx x→-时，可先用~tan x x 进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====． （4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求0lnsin 2limlnsin3x xx+→时，0000lnsin 2sin3cos222sin323lim lim lim lim 1lnsin3sin 2cos333sin 232x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子cos2x 和分母上的因子cos3x 当0x +→时极限均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当()lim ()f x F x ''不存在时（等于无穷大的情况除外），()lim ()f x F x 仍可能存在．例如：极限sin lim x x xx→∞+，(sin )1cos lim lim lim(1cos )1x x x x x x x x →∞→∞→∞'++==+' 极限是不存在的，但是原极限是存在的，sin sin sin lim lim(1)1lim 101x x x x x x x x x x→∞→∞→∞+=+=+=+=．4．其他类型的未定式除了“00”型或“∞∞”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”及“0∞”型等．对于“0⋅∞”和“∞-∞”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“00”或“∞∞”型；对于“1∞”、“00”及“0∞”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“0⋅∞”型，然后再转化成“00”型或“∞∞”型未定式．三、函数单调性的判定法1．单调性判定法设函数()yf x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，（1）如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； （2）如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少．说明：① 如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立； ② 若判定法中()f x '在(,)a b 内只有有限个点上()0f x '=，而在其余点上恒有()0f x '>（或()0f x '<），则函数()f x 在区间[,]a b 上仍然是单调增加（或单调减少）的．2．单调区间的求法设函数()f x 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数()f x 的单调性的步骤如下：（1）求出函数()f x 的定义域；（2）求出函数()f x 的导数()f x '，并令()0f x '=求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得()f x '分母为零的点）；（3）用函数()f x 的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．3．用单调性证明不等式函数()f x 的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为()f x ，根据要证明的式子找出不等式成立的x 的范围I ； （2）求()f x 的导数()f x '，判断()f x '在上述I 范围内的符号（即正负）；（3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．例如：试证明当1x>时，13x>-．证明：原不等式即为 13x -+ ，故令1()3f x x=-+，0x >，则2211()(1)f x xx '=-=- ，()f x 在[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内()0f x '>，因此在[1,)+∞上()f x 单调增加，从而当1x >时，()(1)f x f >，又由于(1)0f =，故()0f x >，即 130x -+>，亦即 13x>-． 四、函数的凹凸性与拐点1．函数凹凸性的定义设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x 、2x ，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有1212()()22x xf x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数()f x 在I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示．2．函数凹凸性的判定法设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的； （2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．说明：若在(,)a b 内除有限个点上()0f x ''=外，其它点上均有()0f x ''>（或()0f x ''<），则同样可以判定曲线()y f x =在[,]a b 上为凹曲线（或凸曲线）．3．曲线的拐点的求法一般地，设()y f x =在区间I 上连续，0x 是I 的内点（除端点外I 内的点）．如果曲线()y f x =在经过点00(,())x f x 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点00(,())x f x 为这曲线的拐点．我们可以按照下述步骤求区间I 上的连续函数()y f x =的拐点：（1）求()f x ''；（2）令()0f x ''=，解出这方程在区间I 内的实根，并求出在区间I 内()f x ''不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点00(,())x f x 是拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是拐点．在[,]a b 上单3．基本初等函数的微分公式说明：若要求函数()yf x =的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间I 分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定()f x ''的符号，若()0f x ''>，则该部分区间为凹区间，若()0f x ''<，则该部分区间为凸区间．五、函数的极值与最值1．函数极值的定义设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，如果对于去心邻域0()U x 内任一x ，有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值（或极小值）．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果0()f x 是函数()f x 的一个极大值，那只是就0x 附近的一个局部范围来说，0()f x 是()f x 的一个最大值，如果就()f x 的整个定义域来说，0()f x 不见得是最大值．关于极小值也类似．2．函数取得极值的必要条件设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0()0f x '=．说明：这也就是说，可导函数()f x 的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，3()f x x =的导数2()3f x x '=，(0)0f '=，因此0x =是这函数的驻点，但0x=却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()f x x =在点0x =处不可导，但函数在该点取得极小值．3．判定极值的第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域0()U x 内可导．（1）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '>，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；（2）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '<，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0(,)x U x δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值．4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数()f x 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下： （1）求出导数()f x '；（2）求出()f x 的全部驻点与不可导点；（3）考查()f x '的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得函数()f x 的全部极值．5．判定极值的第二充分条件设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么（1）当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值； （2）当0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极小值．说明：该极值判定条件表明，如果函数()f x 在驻点0x 处的二阶导数0()0f x ''≠，那么该驻点0x 一定是极值点，并且可按二阶导数0()f x ''的符号来判定0()f x 是极大值还是极小值．但如果0()0f x ''=，则该判定条件失效．事实上，当0()0f x '=，0()0f x ''=时，()fx 在0x 处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，41()f x x =-，42()f x x =，33()f x x =这三个函数在0x =处就分别属于上述三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．6．求()f x 在区间[,]a b 上的最值的步骤设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值的步骤如下：（1）求出()f x 在(,)a b 内的驻点1x ，2x ，，m x 及不可导点1x '，2x '，，n x '；（2）计算()i f x （1,2,,i m =），()j f x '（1,2,,j n =）及 ()f a ，()f b ；（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是()f x 在[,]a b 上的最大值，最小的便是()f x 在[,]a b 上的最小值．说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数()f x 确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果()f x 在定义区间内部只有一个驻点0x ，那么不必讨论0()f x 是不是极值，就可以断定0()f x 是最大值或最小值．六、函数的渐近线的求法1．水平渐近线若lim()x f x a →∞=（包括lim ()x f x a →-∞=或lim ()x f x a →+∞=），则直线y a =就是函数()f x 的水平渐近线．2．垂直渐近线（或称铅直渐近线）若0lim()x x f x →=∞（包括0lim ()x x f x -→=∞或0lim ()x x f x +→=∞），则直线0x x =就是函数()f x 的垂直（铅直）渐近线．【典型例题】【例3-1】验证罗尔定理对函数()ln sin f x x =在区间5[,]66ππ上的正确性．解：显然函数()ln sin f x x =在闭区间5[,]66ππ上连续，在开区间5(,)66ππ上可导，1()(lnsin )cos cot sin f x x x x x ''==⋅=，且5()()ln 266f f ππ==-，故满足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点5(,)66ππξ∈，使得()0f ξ'=，即cot 0ξ=，2πξ=即为满足条件的点．【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数2()482f x x x =--在区间[0,1]上的正确性．解：显然函数2()482f x x x =--在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，()88f x x '=-，根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-，即6(2)88ξ---=-，可得1(0,1)2ξ=∈，12ξ=即为满足条件的点．【例3-3】不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个零点，这些零点分别在什么范围． 解：显然()f x 是连续可导的函数，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，故()f x 在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上满足罗尔定理的条件，所以在区间(1,2)内至少存在一点1ξ，使得1()0f ξ'=，即1ξ是()f x '的一个零点；在区间(2,3)内至少存在一点2ξ，使得2()0f ξ'=，即2ξ是()f x '的一个零点；又在区间(3,4)内至少存在一点3ξ，使得3()0f ξ'=，即3ξ也是()f x '的一个零点．又因为()f x '是三次多项式，最多只能有三个零点，故()f x '恰好有三个零点，分别在区间(1,2)，(2,3)和(3,4)内．【例3-4】证明arcsin arccos 2x x π+=，其中11x -≤≤．证明：设()arcsin arccos f x x x =+，[1,1]x ∈-，因为()(0f x '=+=，所以()f x C =，[1,1]x ∈-．又因为(0)arcsin 0arccos0022f ππ=+=+=，即2C π=，故arcsin arccos 2x x π+=．说明：同理可证，arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞．【例3-5】求下列函数的极限．1．求 332132lim 1x x x x x x →-+--+．解：该极限为1x →时的“00”型未定式，由洛必达法则可得原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---． 2．求arctan 2lim 1x x xπ→+∞-．解：本题为x →+∞时的“00”型未定式，由洛必达法则可得原式222211limlim 111x x x x x x→+∞→+∞-+===+-． 3．求0lnsin 2limlnsin3x xx+→． 解：该极限为0x+→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式0001cos 222sin 323sin 2lim lim lim 113sin 232cos33sin 3x x x x x x x x xx x+++→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅． 4．求 2tan lim tan3x xx π→．解：本题为2x π→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式2222222sec cos 32cos3(sin3)3lim lim lim 3sec 33cos 6cos (sin )x x x x x x x x x x x πππ→→→⋅-⋅===⋅- 22cos33sin3lim lim 3cos sin x x x x x x ππ→→-===-．5．求2tan limtan x x xx x→-． 解：该极限为0x →时的“00”型未定式，结合等价无穷小的替换，运用洛必达法则可得原式22320000tan sec 12sec tan 21lim lim lim lim 3663x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⋅=====． 说明：此题也可这样求解（运用公式22sec1tan x x =+和等价无穷小替换来简化运算）：原式22232220000tan sec 1tan 1lim lim lim lim 3333x x x x x x x x x x x x x →→→→--=====． 6．求11lim()sin x x x→-． 解：该极限为0x →时的“∞-∞”型未定式，解决方法为先化为“1100-”型，然后通分化为“”型，故 原式20000sin sin 1cos sin lim lim lim lim 0sin 22x x x x x x x x x xx x x x →→→→---=====．7．求lim x x x +→． 解：该极限为0x +→时的“00”型未定式，解决方法为取对数化为“0ln 0⋅”型，进而化为“”型，故 原式020001lim ln 1lim ln limlim ()ln 00lim 1x x x x xx x xx x x xx x e ee e e e +→+++→→→+--→=======．8．求cos limx x xx→∞+．解：原式1sin lim lim(1sin )1x x x x →∞→∞-==-，最后的极限不存在，不满足洛必达法则的条件，实际上，原式cos cos lim(1)1lim 101x x x xx x→∞→∞=+=+=+=．【例3-6】求下列函数的单调区间． 1．32()29123f x x x x =-+-．解：因2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，得11x =，22x =．用1x ，2x 将函数的定义域(,)-∞+∞分成三个区间(,1)-∞，(1,2)，(2,)+∞，其讨论结果如下表所示：由上表可得，函数的单调递增区间为(,1]-∞和[2,)+∞，单调递减区间为[1,2]．2．()f x = ．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，()f x '=（0x ≠），当0x =时导数不存在．将函数定义域分成两个区间(,0)-∞和(0,)+∞，讨论结果如下表所示：所以函数的单调递增区间为[0,)+∞，单调递减区间为(,0]-∞． 【例3-7】利用函数的单调性证明不等式． 1．试证当0x>时，ln(1)x x >+成立．证明：设()ln(1)f x x x =-+，则1()111x f x x x'=-=++， 因()f x 在区间[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，且 ()0f x '>， 故()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，又因为(0)0f =，所以当0x >时，()0f x >，即ln(1)0x x -+>，也即 ln(1)x x >+成立．2．试证当1x >时，13x>-．证明：令1()(3)f x x =--，则2211()(1)f x xx '=-=-， 因()f x 在区间[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内可导且()0f x '>， 故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加，又因为(1)0f =，所以当1x >时，()0f x >，即1(3)0x -->，也即13x>- 成立．【例3-8】证明方程510x x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．证明：令5()1f x x x =++，因为()f x 在闭区间[1,0]-上连续，且(1)10f -=-<，(0)10f =>，根据零点定理，()f x 在区间(0,1)内至少有一个零点．另一方面，对于任意实数x ，有4()510f x x '=+>，所以()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，因此曲线5()1f x x x =++与x 轴至多有一个交点．综上所述，方程510xx ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．【例3-9】求下列函数的极值． 1．32()395f x x x x =--+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得驻点11x =-，23x =，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(1)10f -=，极小值为(3)22f =-．2．233()2f x x x =-．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有13()1f x x-'=-=，令()0f x '=，得驻点1x =，当0x =时()f x '不存在，驻点1x =以及不可导点0x =将定义域分成三个区间，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(0)0f =，极小值为1(1)2f =-． 【例3-10】求函数32()231214f x x x x =+-+在区间[3,4]-上的最值．解：因为2()66126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=，得 12x =-，21x =，计算(3)23f -=，(2)34f -=，(1)7f =，(4)142f =，比较上述结果可知，最大值为(4)142f =，最小值为(1)7f =．【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点． 1．43()341f x x x =-+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有32()1212f x x x '=-，2()36()3f x x x ''=-，令()0f x ''=，得10x =，223x =， 列表讨论如下：由上表可得，曲线()f x 的凹区间为(,0]-∞和2[,)3+∞，凸区间为2[0,]3，拐点为(0,1)和211(,)327．2．()f x =解：函数的定义域为(,)-∞+∞，当0x ≠时有231()3f x x -'=，532()9f x x -''=-，当0x =时，()f x '和()f x ''均不存在，但在区间(,0)-∞内，()0f x ''>，故曲线在(,0]-∞上是凹的；在区间(0,)+∞内，()0fx ''<，故曲线在[0,)+∞上是凸的．所以曲线的凹区间为(,0]-∞，凸区间为[0,)+∞，拐点为(0,0)．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）若函数()y f x =满足0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的（ ）（A ）极大值点 （B ）极小值点 （C ）驻点 （D ）拐点 解：若0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的驻点，选（C ）． 23 x()f x2(,)3+∞ 0 (,0)-∞2(0,)3+-+对应拐点对应拐点凹凸凹()f x ''2．（2009年，1分）当0x >时，曲线1siny x x=（ ） （A ）没有水平渐近线 （B ）仅有水平渐近线（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线，又有铅直渐近线解：由1sin1lim sinlim 11x x x x x x→∞→∞==可知，1y =为曲线的水平渐近线； 01lim sin 0x x x+→=，故曲线无铅直渐近线．选项（B ）正确．3．（2008年，3分）函数()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于（ ）（A ）ln 2 （B ）ln1 （C ）ln e （D ）1ln 2解：对函数()ln f x x =在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理，(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-，即 1ln 20ξ-=，故 1ln 2ξ=．选（D ）． 4．（2007年，3分）曲线33yx x =-上切线平行于x 轴的点为（ ）（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0) （D ）(1,2)- 解：切线平行于x 轴的点即为一阶导数等于零的点．由2330y x'=-=可得，1x =±；1x =时，2y =-，1x =-时，2y =，故曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点为(1,2)-和(1,2)-．选项（D ）正确． 5．（2007年，3分）若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函数()f x 在该区间内（ ）（A ）单调增加，曲线为凸的 （B ）单调增加，曲线为凹的 （C ）单调减少，曲线为凸的 （D ）单调减少，曲线为凹的 解：()0f x '>可得()f x 单调增加，()0f x ''<可得曲线为凸的，故选（A ）．二、填空题1．（2010年，2分）函数32()2912f x x x x =-+的单调减区间是 ．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =；当1x<时，()0f x '>，当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，故函数的单调递减区间为[1,2]．2．（2009年，2分）当62x ππ≤≤时，sin ()x f x x=是 函数（填“单调递增”、“单调递减”）．解：当6x π=时，sin36()66f ππππ==；当2x π=时，sin22()22f ππππ==；故当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是单调递减函数． 3．（2009年，2分）函数32()29121f x x x x =-++在区间[0,2]上的最大值点是 ． 解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =．比较函数值(1)6f =，(2)5f =，(0)1f =，可知，函数的最大值为(1)6f =，故函数的最大值点为1x =．4．（2007年，4分）曲线24x t y t ⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为 ．解：将1t =代入参数方程可得切点为(1,4)，切线斜率11422t t t t y k tx =='==='，故切线方程为42(1)y x -=-，即 22y x =+．5．（2005年，3分）x y xe -=的凸区间是 ．解：()(1)x x x x y xe e xe x e ----''==-=-，(1)(2)x x x y e x e x e ---''=---=-． 令 (2)0x y x e -''=-=可得，2x =，且当2x>时，0y ''>，当2x <时，0y ''<，故函数x y xe -=的凸区间是(,2]-∞．6．（2005年，3分）曲线x y x =通过(1,1)点的切线方程为 ．解：因ln ln ()()(ln 1)(ln 1)x x x x x x y x e e x x x '''===⋅+=+，故切线斜率1[(ln 1)]1x x k x x ==+=，所以切线方程为11(1)y x -=⋅-，即 y x =．三、应用题或综合题1．（2010年，10分）现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？ 解：设剪区的小正方形边长为x ，则纸盒的容积2(962)yx x =-，048x <<．2(962)2(962)(2)(962)(966)y x x x x x '=-+⋅--=--，令0y '=，可得 16x =（48x =舍去）．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪区的小正方形边长为16厘米时，做成的无盖纸箱容积最大． 2．（2010年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，并且对于[0,1]上的任意x 所对应的函数值()f x 均为0()1f x ≤≤，证明：在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．解：令()()F x f x x =-，由于()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续．(0)(0)0(0)F f f =-=，(1)(1)1F f =-．而对[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤，故(0)0F ≥，(1)0F ≤．若(0)0F =，即(0)00f -=，(0)0f =，则0ξ=； 若(1)0F =，即(1)10f -=，(1)1f =，则1ξ=；当(0)0F ≠，(1)0F ≠时，(0)(1)0F F ⋅<，而()F x 在[0,1]上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=，即()0f ξξ-=，()f ξξ=．综上，在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．3．（2009年，10分）某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材 料最省？解：设堆料场的宽为x m ，则长为512x m ，设砌墙周长为y ，则5122y x x=+， 令251220y x'=-=，得 2256x =，16x =（16x =-舍去）．因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当16x =时，函数有最小值．即当宽为16m ，长为32m 时，才能使砌墙所用的材料最省． 4．（2009年，10分）当0x >，01a <<时，1a x ax a -≤-．解：原不等式即为 10a x ax a -+-≤．设()1a f x x ax a =-+-，则（1）当1x=时，()110f x a a =-+-=，即10a x ax a -+-=成立；（2）当01x <<时，111()(1)0a af x ax a a x--'=-=->，故()f x 单调增加，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立；（3）当1x>时，111()(1)0a af x ax a a x--'=-=-<，故()f x 单调减少，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立．综上，当0x>，01a <<时，不等式10a x ax a -+-≤成立，即1ax ax a -≤-．5．（2008年，8分）求函数233y x x =-的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞．先求单调区间和极值．令2633(2)0y x xx x '=-=-=，得驻点0x =，2x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,0)-∞，(0,2)，(2,)+∞．当(,0)x ∈-∞时，0y '<，函数单调减少；当(0,2)x ∈时，0y '>，函数单调增加；当(2,)x ∈+∞时，0y '<，函数单调减少．故函数的单调增加区间为[0,2]，单调减少区间为(,0]-∞和[2,)+∞；极小值(0)0f =，极大值(2)4f =．再求凹凸区间和拐点．令660y x ''=-=，得1x =．当(,1)x ∈-∞时，0y ''>，函数为凹的；当(1,)x ∈+∞时，0y ''<，函数为凸的，且当1x =时，2y =，故函数的凹区间为(,1]-∞，凸区间为[1,)+∞，拐点为(1,2)．6．（2007年，8分）求函数11y x x =++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．解：函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞．先求单调区间和极值．令221(2)10(1)(1)x x y x x +'=-==++，得驻点2x =-，0x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,2)-∞-，(2,1)--，(1,0)-，(0,)+∞．当(,2)x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当(2,1)x ∈--时，0y '<，函数单调减少；当(1,0)x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(0,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为(,2]-∞-和[0,)+∞，单调减少区间为[2,1)--和(1,0]-；极大值(2)3f -=-，极小值(0)1f =．再求凹凸区间和拐点．因432(1)2(1)(1)x y x x -+''=-=++，故当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<，函数为凸的；当(1,)x ∈-+∞时，0y ''>，函数为凹的，故函数的凸区间为(,1)-∞-，凹区间为(1,)-+∞．凹凸性改变的点为1x =-，不在定义域内，故函数没有拐点．7．（2007年，8分）在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？解：设扇形的半径为x ，则弧长为2lx -，设扇形的面积为y ，则由题意211(2)22y l x x x lx =-=-+．令202l y x '=-+=得，4l x =．唯一的极值点即为最大值点．故当扇形的半径为4l时，扇形的面积最大． 8．（2006年，10分）求函数321y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞． 先求单调区间和极值．令2321(31)(1)0y xx x x '=--=+-=，得驻点13x =-，1x =，用驻点将整个定义域分为三个区间1(,)3-∞-，1(,1)3-，(1,)+∞．当1(,)3x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当1(,1)3x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(1,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为1(,]3-∞-和[1,)+∞，单调减少区间为1[,1]3-；极大值132()327f -=，极小值(1)0f =．再求凹凸区间和拐点．令620y x ''=-=，得13x =．当1(,)3x ∈-∞时，0y ''<，函数为凸的；当1(,)3x ∈+∞时，0y ''>，函数为凹的，且当13x =时，1627y =，故函数的凸区间为1(,]3-∞，凹区间为1[,)3+∞，拐点为116(,)327．9．（2006年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且()0f x >．证明方程11()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．证明：先证存在性．设011()()()x xF x f t dt dt f t =+⎰⎰，[0,1]x ∈．因()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续，且011011(0)00()()F dt dt f t f t =+=-<⎰⎰，11(1)()0()0F f t dt f t dt =+=>⎰⎰，故由零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ=，即在(0,1)内方程至少存在一个根．再证唯一性，即证()F x 的单调性．1()()0()F x f x f x '=+>，故()F x 单调增加，所以结合上面根的存在性可知，方程011()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．10．（2005年，8分）已知()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在(0,0)处切线相同，写出该切线方程并求2lim ()n nfn→∞． 解：切线斜率()22arctan arctan 02011x xtx x e k e dtx --==⎛⎫'===⎪ ⎪+⎝⎭⎰，故切线方程为01(0)y x -=⋅-，即 y x =．因()yf x =过点(0,0)，故(0)0f =，且(0)1f '=，故 222()()()2lim ()lim lim 2(0)211()n n n f f n n n nf f n n n→∞→∞→∞'''===='．。
数学专升本导数知识点总结
数学专升本导数知识点总结一、导数的定义及几何意义1.1 导数的定义函数y=f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中f'(a)为函数f(x)在点x=a处的导数。
导数的定义是利用极限的概念来描述函数在某一点处的瞬时变化率。
1.2 导数的几何意义导数可以解释函数在某一点处的切线斜率，也可以表示函数在该点的瞬时变化率。
直观来说，导数就是函数曲线在某一点处的斜率，可以描述函数在该点的变化情况。
1.3 导数的图形表示导数的图形表示是函数的切线斜率的曲线图形，可以通过导数曲线的斜率正负来判断函数的递增和递减区间，以及函数的凹凸性质。
二、导数的计算方法及性质2.1 基本导数公式在微积分中，有一些基本函数的导数公式，例如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
(1) 幂函数的导数对于函数y=x^n，其中n是任意实数，则该函数的导数为：y' = nx^(n-1)(2) 指数函数的导数对于函数y=a^x，其中a为常数，该函数的导数为：y' = a^x * ln(a)(3) 对数函数的导数对于函数y=log_a(x)，其中a为常数，该函数的导数为：y' = 1/(xlna)(4) 三角函数的导数三角函数的导数公式包括sinx、cosx、tanx、cotx、secx、cscx的导数公式。
2.2 导数的基本运算法则导数的基本运算法则包括了导数的加法法则、乘法法则、商法则和复合函数的导数公式。
(1) 导数的加法法则若函数y=f(x)和y=g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则这两个函数的和(差)的导数为：(f+g)' = f' + g'(2) 导数的乘法法则若函数y=f(x)和y=g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则这两个函数的乘积的导数为：(fg)' = f'g + fg'(3) 导数的商法则若函数y=f(x)和y=g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则这两个函数的商的导数为：(f/g)' = (f'g - fg') / g^2(4) 复合函数的导数若函数y=f(g(x))，其中f和g都可导，则该复合函数的导数为：y' = f'(g) * g'2.3 隐函数的导数对于隐函数的导数计算，通常使用求导公式结合隐函数求导法则进行计算。
江西专升本高等数学教材psf
江西专升本高等数学教材psf 江西专升本高等数学教材高等数学，作为一门重要的学科，广泛应用于各个领域，为学生提供了解决实际问题和丰富数学知识的基础。
作为江西专升本教材的一部分，高等数学教材旨在向学生传授高等数学的核心概念和方法，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
第一章导数与微分一、导数的定义与运算1.导数的定义2.基本导数运算法则3.高阶导数与高阶导数的运算二、微分中值定理与其应用1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理3.柯西中值定理4.泰勒公式与展开式第二章不定积分与定积分一、不定积分1.不定积分的概念和表示方法2.常见函数的不定积分3.分部积分法4.换元积分法二、定积分1.定积分的概念与性质2.黎曼积分与黎曼可积性3.定积分计算的方法4.定积分在应用中的意义第三章无穷级数与级数收敛性一、无穷级数的概念与性质1.等比级数与调和级数2.级数收敛的概念与条件3.级数收敛判断的方法二、函数项级数1.函数项级数的收敛性2.傅里叶级数与泰勒级数3.维尔斯特拉斯逼近定理第四章偏导数与多元函数微分法一、偏导数的概念与计算1.偏导数的定义与性质2.高阶偏导数与混合偏导数3.隐函数及其偏导数二、全微分与多元函数微分法1.全微分的定义与性质2.多元复合函数微分法3.多元隐函数微分法第五章重积分与曲线曲面积分一、二重积分1.二重积分的概念与性质2.二重积分的计算方法3.极坐标与二重积分的转化二、三重积分1.三重积分的概念与性质2.三重积分的计算方法3.柱坐标与球坐标下的三重积分综上所述，江西专升本高等数学教材主要包括导数与微分、不定积分与定积分、无穷级数与级数收敛性、偏导数与多元函数微分法以及重积分与曲线曲面积分等内容。
通过学习这些知识，学生可以掌握高等数学的基本概念、方法和应用，为他们今后的学习和工作打下坚实的数学基础。
江西财经大学精品课件【历年试题】07-08 微积分
江西财经大学07-08学年第一学期期末考试试卷试卷代码：03023A 授课课时：48课程名称：微积分Ⅰ 适用对象：2007级试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1．已知xx x f -=1)(，则)]2([x f f =________. 2. 当0→x 时，x sin 是比x 的________无穷小.3. 极限ekx x x 1)1(lim 10=+→，则=k ________. 4. 已知)(x f 为连续可导的奇函数，41)1('-=f ,则曲线)(x f y =在点))1(,1(--f 的法线斜率=k _______.5. 曲线x x x f 23)(31+=的下凹区间为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.）1. 若714lim 24-=+++-→b ax x x x , 则常数b a ,为________. A .12,1==b a B . 12,1=-=b a C . 12,1-=-=b a D .12,1-==b a .2. 函数)(x f 在点0=x 处可导，且0)0(=f ，1)0('=f ，则0(2sin )lim x f x x→=______. A.不存在 B.0 C.1 D.2.3. ________式中未知函数C x x f +=arctan )(,C 为任意常数.A .)(x df xdx =B . )(112x df dx x=+ C . )(2x df dx xe x = D . )(tan x df xdx =. 4. )1(f 是函数x x x f 23)(32-=在]2,1[-上的________.A.最大值B.极小值C.极大值D.最小值5. 下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理的是________.A ．22[1,1]1x y x x=∈-+B ．[1,2]y x x =∈-C ．32452[0,1]y x x x x =-+-∈ D ．2ln(1)[0,3]y x x =+∈.三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求1ln(1)lim arccot x x x→+∞+. 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求10)xx +→. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 已知2ln(21)(1)(2)x y x x -=--, 求函数的间断点,并分类. 六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）设()arcsin 2x f x x =求dy . 七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）设函数()cos x f x xe x =+，求)()30(x f八、（请写出主要计算步骤及结果，10分.）已知tan()y x y =+确定y 是x 的函数,求y ''.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）商店销售某商品的价格为x e x P -=)((x 为销售量), 假定产销平衡, 求:(1)收益最大时的价格，(2)需求对价格的弹性.十、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 证明函数在其可导的点处一定连续.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点)1,0(∈ξ,使得'()(2)()0f f ξξξξ++=.。
专升本导数知识点总结
专升本导数知识点总结1. 导数的定义导数的定义可以通过极限的方式来进行说明。
对于函数y = f(x)，在某一点a处的导数可以定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h) - f(a))/h其中，f'(a)代表了函数在点a处的导数，h代表自变量x的增量。
这个定义直观地表示了函数在点a处的变化率，也就是斜率，当h趋向于0时，我们可以得到函数在点a处的切线斜率。
2. 导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。
具体来说，对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的导数f'(x)就代表了函数在这一点的切线斜率。
这个斜率表示了函数在这一点上的瞬时变化率，也就是在该点处函数图像的陡峭程度。
通过导数，我们可以得到函数在各个点上的切线斜率，从而推断函数的整体特性。
3. 导数的计算导数的计算是微积分中的一个重要部分，因为它能够帮助我们得到函数在各个点处的瞬时变化率。
在实际计算中，我们可以利用一些基本的求导法则，例如：(1) 常数法则：如果f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0；(2) 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n为整数，则f'(x) = nx^(n-1)；(3) 和差法则：如果f(x) = g(x) + h(x)，则f'(x) = g'(x) + h'(x)；(4) 积法则：如果f(x) = g(x) * h(x)，则f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)；(5) 商法则：如果f(x) = g(x) / h(x)，则f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / h(x)^2。
通过这些基本的求导法则，我们可以对各种函数进行求导，从而得到它们在各个点上的切线斜率。
4. 导数的性质导数在数学中具有一些重要的性质，这些性质对于导数的运算和理解都非常重要。
专升本数学导数知识点解析
专升本数学导数知识点解析在专升本数学的学习中，导数是一个非常重要的知识点。
导数不仅在数学学科中有着广泛的应用，对于解决实际问题也具有重要的意义。
下面，我们就来详细解析一下专升本数学中导数的相关知识。
一、导数的定义导数的定义是导数这一概念的基础。
设函数 y ＝ f(x) 在点 x₀的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x₀处取得增量Δx （点 x₀＋Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy ＝ f(x₀＋Δx) f(x₀) ；如果Δy 与Δx 之比当Δx→0 时的极限存在，则称函数 y ＝ f(x) 在点 x₀处可导，并称这个极限为函数 y ＝ f(x) 在点 x₀处的导数，记为 f'（x₀) 。
用式子表示就是：f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx从几何意义上来说，导数 f'（x₀) 就是函数 y ＝ f(x) 在点（x₀,f(x₀)）处的切线斜率。
二、导数的几何意义函数在某一点的导数的几何意义是曲线在该点处的切线斜率。
如果函数在某点处可导，那么曲线在该点处就存在切线。
通过导数，我们可以求出曲线在某点处的切线方程。
设曲线 y ＝f(x) 在点（x₀, y₀) 处的导数为 f'（x₀) ，则切线方程为 y y₀＝ f'（x₀)（x x₀) 。
例如，对于函数 y ＝ x²，其导数为 y' ＝ 2x 。
在点（1, 1) 处，导数为 2，那么切线方程就是 y 1 ＝ 2(x 1) ，即 y ＝ 2x 1 。
三、基本函数的导数掌握基本函数的导数是学好导数的关键。
以下是一些常见基本函数的导数：1、常数函数：若 f(x) ＝ C （C 为常数），则 f'（x) ＝ 0 。
2、幂函数：若 f(x) ＝xⁿ （n 为实数），则 f'（x) ＝nxⁿ⁻¹。
例如，f(x) ＝ x²，则 f'（x) ＝ 2x ；f(x) ＝ x³，则 f'（x) ＝ 3x²。
江西财经大学2012年专升本内部老师微积分讲义
一、基本概念及结论
1.三个基本定理
1 罗尔定理 : 设函数f ( x )满足条件 (1)在闭区间 [a , b]上连续; ( 2)在开区间(a , b)上可导; ( 3) f ( a ) f ( b )
A
0
y f ( x)
B
a
b
则在(a , b)内至少存在一点 , 使f ( ) 0
2.函数的增、减、极值
（1）函数f(x)在其定义区间X上的增减（单调）性 有以下四种： 4
单增:
f ( x) 0( 0)
允许个别点取等号
单减： f ( x) 0( 0) 有增有减
允许个别点取等号 ： f ( x ) 有正有负
不增不减 : f ( x ) 0
*
f ( x ) ＞0是f(x)单增的充分条件而非必要条件
R(Q), R(Q) R(t )dt
0
Q
(3)总利润函数：L(Q ) R(Q ) C (Q ) (售后利润）
边际利润： L(Q ) R(Q ) C (Q ),
L总(Q ) L( t )dt C 0
0
Q
最大利润原则：在 Q0 处取得最大利润的 必要条件是： L(Q) 0 R(Q0 ) C (Q0 )
y f ( x)
B
几何意义： A 条件（1）说明曲线 y f ( x) 在A、B两点之间是连续曲线 a b （包括端点A，B） 条件（2）说明曲线 y f ( x) 在A，B之间是光滑的， 结论说明曲线 y f ( x) 在A点和B点之间（不包括A，B） 至少有点，它的切线与割线AB是平行的.
18
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x0
3x
2 f (0) 3 f (0) 2 3 5
2020/8/1
5
例2. 设 f (x) (x a)g(x),其中g(x)在点a 处连续中，求
求 f (a)
解：题目未给出 g(x) 可导的条件，不能用导数的乘法
公式，只能用导数定义来求.
f (a) lim f (x) f (a) lim (x a)g(x) 0
(x)
0,
x 0, 求 f (0)
sin x,
x0
解：
f(0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
sin x lim
x x0
1,
2020/8/1
f(0)
lim
x0
f (x) f (0)
ln(1 x)
lim
1
x0
x0
x
8
由于f(0) f(0), f (0)不存在.
3.可导与連续的关係：
2
平行OX轴
5.基本求导公式
(1) (C) 0, dc 0;
(2) (x ) x1, d (x ) x1dx(为实数)
(3) (ax ) ax ln a, d (ax ) ax ln adx
(e 2020/8/1 x ) ex ,
dex exdx
10
(4)
(loga
x)
1 x ln
(8) (cotx) csc2 x, d (cotx) csc2 xdx
(9) (secx) sec x tan x, d (secx) sec x tan xdx
(10) (cscx) cscx cot x, d (cscx) cscx cot xdx
如果函数f(x)在点 x0 处可导，则在点 x0 处一定
連续，反之不然；不連续则一定不可导。
4.曲线的切线斜率与切线方程
几何上f (x0 )表示曲线y f (x)在点x0处的切线斜
率，求曲线y f (x)在x0的切线斜率，就是f (x0 ),
于是有过点(x0 , y0 )的: 切线方程：y y0 f (x0 )(x x0 )
显然有： ( x0 x) x0 x（分母）
注意 x 要从 0 和0
两侧趋近于0；x
要从
x
0
和
x0
两侧趋近于0
当函数可导时，満足上述特征的极限可用导数表 示。
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3
例1.填空
（1）若f ( x)在点x0处可导，则
lim f ( x0 2x) f ( x0 ) ______
x0
第二章 导数与微分 一、基本概念及结论
1.导数定义的形式及特征
f
(
x0
)(1)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) (2) lim x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
lim f ( x0 t) f ( x0 ) lim f (t) f ( x0 )
t0
t
t x0
xa x a
xa
xa
lim g(x) g(a) xa
注: 常见不可导情形
从函数图形看,光滑的曲线处处可导; 在2020角/8/1 点或尖点处函数不可导.
y
x0
6x
y
(1) f ( x) x 在x 0不可导，f ( x)
x x0 在x x0不可导；
1, x 0(2)fFra bibliotek(x)
1, 0,
t x0
x00 f (0) lim f ( x) f (0)
x0
x
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1
注 : (1) f ( x)在点x0有定义是f ( x)在点x0可导的 必要条件;
(2)"
y x
"表示自变量x从x0改变到x0
x时
函数的平均变化率(速度); f ( x0 )表示函数
f ( x)在点x0处的变化率(速度);几何上, 表
x
分析: lim f ( x0 2x) f ( x0 )
x0
x
2 lim x0
f ( x0
2x) 2x
f ( x0 )
2 f ( x0 )
(2)设函数f ( x)在点x 0处可导，且
f (0) 0，f (0) 1,则lim f (2x) f (3x)
x0
x
___
2020/8/1
a
,
d (loga
x)
1 x ln
a
dx
(ln x) 1 , x
d (ln x) 1 dx x
(5) (sin x) cosx, d (sin x) cosxdx
(6) (cosx) sin x, d (cosx) sin xdx
(7) (tan x) sec2 x, d (tan x) sec2 xdx
示曲线y f ( x)在点x0处的切线斜率;经济上
表示某经济函数f ( x)在点x0的边际.
(3)求函数的导数用定义形式(1);求函数在某点的
导数特别是分段函数在分段点的导数用定义形式
2020/8/1(2)简便.
2
特征：导数是两个改变量比的极限，分子是
两点 x0与x0 x 函数值的改变量，其中有一项是 f ( x0 ) ；分母是两点 x0与x0 x 自变量的改变量，
f( x0 )
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f (x0 ) x x0
f (
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
ln(1 x), x 0
例3.
f
法线方程:
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y
y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
9
例4.曲线 y x2 x 2 在点_______处的切线斜率等于3
在点_______处的切线平行OX轴.
分析: y 2x 1 3, 得x 1,由y 2x 1 0, 得x 1 2
即在点x 1 处的切线斜率等于3,在点 x 1 处的切线
4
分析: lim f (2x) f (3x)
x0
x
lim f (2x) f (0) f (3x) f (0)
x0
x
lim f (2x) f (0) lim f (3x) f (0)
x0
x
x0
x
2 lim f (2x) f (0) 3lim f (3x) f (0)
x0
2x
x x
0 , 0
f
(
x)
0, 1,
x x
0 0
在x 0处不连续， 不可导.
x0 x
2.函数在点 x0 处可导的充要条件是其左、右
导数存在且相等，求分段函数（包括含绝对值
符号的函数）在分段点处的导数要用左、右导
数法。即
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7
f ( x0 )存在 f( x0 ) f( x0 ),其中