江西财经大学 微积分 本科 专升本内部资料 导数与微分

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分析: lim f (2x) f (3x)
x0
x
lim f (2x) f (0) f (3x) f (0)
x0
x
lim f (2x) f (0) lim f (3x) f (0)
x0
x
x0
x
2 lim f (2x) f (0) 3lim f (3x) f (0)
x0
2x
法线方程:
2020/8/1
y
y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
9
例4.曲线 y x2 x 2 在点_______处的切线斜率等于3
在点_______处的切线平行OX轴.
分析: y 2x 1 3, 得x 1,由y 2x 1 0, 得x 1 2
即在点x 1 处的切线斜率等于3,在点 x 1 处的切线
xa x a
xa
xa
lim g(x) g(a) xa
注: 常见不可导情形
从函数图形看,光滑的曲线处处可导; 在2020角/8/1 点或尖点处函数不可导.
y
x0
6x
y
(1) f ( x) x 在x 0不可导，f ( x)
x x0 在x x0不可导；
1, x 0
(2)
f
(x)
1, 0,
x
分析: lim f ( x0 2x) f ( x0 )
x0
x
2 lim x0
f ( x0
2x) 2x
f ( x0 )
2 f ( x0 )
(2)设函数f ( x)在点x 0处可导，且
f (0) 0，f (0) 1,则lim f (2x) f (3x)
x0
x
___
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x0
3x
2 f (0) 3 f (0) 2 3 5
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例2. 设 f (x) (x a)g(x),其中g(x)在点a 处连续中，求
求 f (a)
解：题目未给出 g(x) 可导的条件，不能用导数的乘法
公式，只能用导数定义来求.
f (a) lim f (x) f (a) lim (x a)g(x) 0
(8) (cotx) csc2 x, d (cotx) csc2 xdx
(9) (secx) sec x tan x, d (secx) sec x tan xdx
(10) (cscx) cscx cot x, d (cscx) cscx cot xdx
第二章 导数与微分 一、基本概念及结论
1.导数定义的形式及特征
f
(
x0
)(1)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) (2) lim x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
lim f ( x0 t) f ( x0 ) lim f (t) f ( x0 )
t0
t
t x0
x x
0 , 0
f
(
x)
0, 1,
x x
0 0
在x 0处不连续， 不可导.
x0 x
2.函数在点 x0 处可导的充要条件是其左、右
导数存在且相等，求分段函数（包括含绝对值
符号的函数）在分段点处的导数要用左、右导
数法。即
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f ( x0 )存在 f( x0 ) f( x0 ),其中
如果函数f(x)在点 x0 处可导，则在点 x0 处一定
連续，反之不然；不連续则一定不可导。
4.曲线的切线斜率与切线方程
几何上f (x0 )表示曲线y f (x)在点x0处的切线斜
率，求曲线y f (x)在x0的切线斜率，就是f (x0 ),
于是有过点(x0 , y0 )的: 切线方程：y y0 f (x0 )(x x0 )
t x0
x00 f (0) lim f ( x) f (0)
x0
x
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1
注 : (1) f ( x)在点x0有定义是f ( x)在点x0可导的 必要条件;
(2)"
y x
"表示自变量x从x0改变到x0
x时
函数的平均变化率(速度); f ( x0 )表示函数
f ( x)在点x0处的变化率(速度);几何上, 表
示曲线y f ( x)在点x0处的切线斜率;经济上
表示某经济函数f ( x)在点x0的边际.
(3)求函数的导数用定义形式(1);求函数在某点的
导数特别是分段函数在分段点的导数用定义形式
2020/8/1(2)简便.
2
特征：导数是两个改变量比的极限，分子是
两点 x0与x0 x 函数值的改变量，其中有一项是 f ( x0 ) ；分母是两点 x0与x0 x 自变量的改变量，
a
,
d (loga
x)
1 x ln
a
dx
(ln x) 1 , x
d (ln x) 1 dx x
(5) (sin x) cosx, d (sin x) cosxdx
(6) (cosx) sin x, d (cosx) sin xdx
(7) (tan x) sec2 x, d (tan x) sec2 xdx
f( x0 )
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f (x0 ) x x0
f百度文库 (
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
ln(1 x), x 0
例3.
f
(x)
0,
x 0, 求 f (0)
sin x,
x0
解：
f(0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
sin x lim
x x0
1,
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f(0)
lim
x0
f (x) f (0)
ln(1 x)
lim
1
x0
x0
x
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由于f(0) f(0), f (0)不存在.
3.可导与連续的关係：
2
平行OX轴
5.基本求导公式
(1) (C) 0, dc 0;
(2) (x ) x1, d (x ) x1dx(为实数)
(3) (ax ) ax ln a, d (ax ) ax ln adx
(e 2020/8/1 x ) ex ,
dex exdx
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(4)
(loga
x)
1 x ln
显然有： ( x0 x) x0 x（分母）
注意 x 要从 0 和0
两侧趋近于0；x
要从
x
0
和
x0
两侧趋近于0
当函数可导时，満足上述特征的极限可用导数表 示。
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例1.填空
（1）若f ( x)在点x0处可导，则
lim f ( x0 2x) f ( x0 ) ______
x0