2第二章 导数与微分答案

第二章 导数与微分答案

第一节 导数概念

1．填空题. （1）

()'f 0= 0；

（2） (2, 4) （3） 1 .

（4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题.

（1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知

()().5)21(lim 2

)

22(lim 22lim )2()2(22222'

=++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t

4．设()ϕ

x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-ϕ，

求()'f a ；若)(||)(x a x x g ϕ-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()ϕ

x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a

x ϕϕ=→，所以

()()()).()(lim 0

)(lim lim

)('a x a

x x a x a x a f x f a f a x a x a

x ϕϕϕ==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知

()()()),(0

)(lim lim )('

a a

x x a x a x a g x g a g a x a x ϕϕ=---=--=++

→→+

()()()).(0)(lim lim )('

a a

x x a x a x a g x g a g a x a x ϕϕ-=----=--=--→→-

可见当()0=a ϕ时，()0)('

==a a g ϕ；当()0≠a ϕ时，())('

'

a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y

x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程.

解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为

,4|4|131'1=====x x x y k

从而所求切线方程为

),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .

所求法线的斜率为

,4

1112-=-

=k k 于是所求法线方程为

),1(41

)2(--

=--x y 即 4

7

41--=x y .

6．证明函数()⎪⎩

⎪

⎨⎧≤>-+=0 , 00 ,1

1x x x

x x f 在点x =0处连续，但不可导. 证明 因)0(021

lim 11lim )(lim

000f x

x

x x x f x x x ===-+=+++→→→，又易知)0(0)(lim _

0f x f x ==→，故()x f 在点x =0处连续。

而()(),21lim 0

1

1lim

0lim )0(2

30

00

'∞==--+=-=+

++

→→→+h h

h

h

h h

f h f f h h h ， 故右导数不存在.

7. 设)100()1()(--=x x x x f ，求).0('f 解 由导数定义知

()()!.1000

)100()2)(1(lim 0lim

)0(00

'=----=-=→→x

x x x x x f x f f x x

第二节 函数的求导法则

1．选择题.

（1） D ； （2）D ； （3） A ； 2．求下列函数的导数.

（1）.2ln 33-+=x y x 解 .33ln 32

'x y x += （2）(

)

.cos 2x x x y +

=

解 .2

1

2s i n c o s 2)21s i n ()(c o s 223

221

2

'

x x x x x x x x x x

x y +-=+-++=-

（3）()()().321---=x x x y

解 ()()'')]3)(2)[(1(32---+--=x x x x x y

.

11123)23)(1()3)(2(2

+-=-+--+--=x x x x x x x

(4) ).1,0(sin 3≠>+=a a e a x x y x x 解

x

x x x e a e a a x x x x y +++=-)ln (cos sin 3131

32'

)l n (c o s s i n 3

131

32

ae e a x x x x x x ++=-

（5）.ln cot 2x x x y = 解

.

cot ln csc ln cot 2)1

cot ln csc (ln cot 2)ln (cot ln cot 22222'

2'x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x y +-=+-+=+=

（6）.sec x xe y x

=

解 ).tan 1(sec )tan sec sec (sec '

x x x x e x x e x e x x e y x

x

x

x

++=++= 3．设y

x x x

=+

ln 1

，求x y d d 及

.d d 1

=x x y

解 ,2

11ln )21(1ln d d 2

3

23

---+=-+⋅+=x x x x x x x y

因而

2

1211d d 1

=-

==x x

y

. 4. 在下列各题中，设

f u ()为可导函数，求

d d y x

. （1）)].cos (sin [x x f f y +=

解 ).sin )(cos cos (sin )]cos (sin ['

'

'

x x x x f x x f f y -++=