工业过程数学模型

3）对象动态特性的迟延性 ——迟延的主要来源是多个容积的存在，容积 的数目可能有几个直至几十个。容积愈大或数目 愈多，容积迟延时间愈长。 ——有些被控对象还具有传输迟延。 由于迟延的存在，调节阀动作的效果往往需要 经过一段迟延时间后才会在被控变量上表现出来。
4）被控对象的自平衡与非自平衡特性 自平衡——被控对象，当受到扰动作用致使原来的物 料平衡关系遭到破坏后，无须外加任何控制作用，依靠 对象本身，自动随着被控变量的变化，其不平衡量会愈 来愈小，最后能够自动地稳定在新的平衡点上。 具有这种特性的被控过程称为自平衡过程。 如图中的单容水槽,其阶跃响应如图所示。
3．单容积分水槽 单容积分水槽如图2-10 所示，它与图2-5中的单容水 槽只有一个区别。在它的流 图2-10 单容积分水槽 出侧装有一只排水泵。 在图2-10中，水泵的排水量仍然可以用负载阀R 来改变，但排水量并不随水位高低而变化。这样， 当负载阀开度固定不变时，水槽的流出量也不变， 因而在式(2-10)中有ΔQ。=0。由此可以得到水位在 调节阀开度扰动下的变化规律为 d H 1 dH 1 k k 或 dt F dt F
比较： 用测试法建模一般比用机理法建模要简单 和省力，尤其是对于那些复杂的工业过程更为明显。
2.2 机理法建模
2.2.1 单容对象的传递函数
在不同的生产部门中被控对象千差万别，但最终 都是可以由微分方程来表示的。微分方程阶次的高低 是由被控对象中储能部件的多少决定的。 最简单的一种形式，是仅有一个储能部件的单容 对象。
非自平衡特性——物质或能量平衡关系破坏后，不平
衡量不因被控变量的变化而改变，因而被控变量将以固 定的速度一直变化下去而不会自动地在新的水平上恢复 平衡。这种对象不具有自平衡特性，具有这种特性的被 控过程称为非自平衡过程。 例如图中的单容积分水槽，当进水调节阀开度改变， 其阶跃响应如图2-4所示
4）被控对象往往具有非线性特性 ——严格来说，几乎所有被控对象的动态特性都呈 现非线性特性，只是程度上不同而已。 ——除存在于对象内部的连续非线性特性外，在控 制系统中还存有另一类非线性，如调节阀、继电器等元 件的饱和、死区和滞环等典型的非线性特性。
(2-4)
上述4个公式只适用于自衡过程。对于非自衡过 程，其传递函数应含有一个积分环节，即 1 s G (s) e Ts (2-5) 和
1 G( s) e s T1 s(T2 s 1)
(2-6)
2.1.3 建立过程数学模型的基本方法 ——机理法和测试法 1．机理法建模 用机理法建模就是根据生产过程中实际发生的变 化机理，写出各种有关的平衡方程以及反映流体流 动、传热、传质、化学反应等基本规律的运动方程； 物性参数方程和某些设备的特性方程等，从中获得 所需的数学模型。 如：物质平衡方程；能量平衡方程；动量平衡 方程；相平衡方程。
图2-9 具有纯迟延的单容水槽
参照式（2-11）的推导关系式，可得具有纯迟延 的单容水槽的微分方程为 d H (t ) T H (t ) K (t 0 ) (2-16) dt 其中， 0 为纯迟延时间；其它参数定义同上。 对应式(2-16)的传递函数为
H ( s) K 0 s G( s) e (2-17) ( s) 1 Ts 0 s 与式(2-13)相比多了一个纯迟延环节 e 。
2 Ho k
2 Ho d H F) H (k ) dt k
(2-11)
如果假设系统的稳定平衡工况在原点，即各变量都 以自己的零值（H 0 0, 0 0）为平衡点，则可去掉上 式中的增量符号，直接写成
(
2 Ho k
2 Ho dH F) H (k ) dt k
1．建立数学模型的目的 (l) 设计过程控制系统和整定控制器的参数 (2) 控制器参数的整定和系统的调试 (3) 利用数学模型进行仿真研究 (4) 进行工业过程优化
2．被控对象数学模型的利用方式 离线 过去被控对象数学模型只是在进行控制系统的设计 研究时或在控制系统的调试整定阶段中发挥作用，这 种利用方式是离线的。 在线 近十多年来，由于计算机的发展和普及，相继推出 一类新型计算机控制系统，其特点是它要求把被控对 象的数学模型作为一个组成部分砌入控制系统中，如 预测控制系统。这种利用方式是在线的，它要求数学 模型具有实时性。
d H 1 1 (Qi Qo ) (Qi Qo ) dt F F
F为水槽的横截面积
(2-7)
当进水阀前后压差不变时，Qi 与 成正比关系， 即
Qi k
(2-8)
对于流出侧的负载阀，其流量与水槽的水位高度有 关，即 (2-9) Q k H
o
式(2-9)是一个非线性微分方程。这个非线性给下一 步的分析带来很大的困难，应该在条件允许的情况下尽 量避免。如果水位始终保持在其稳态值附近很小的范围 内变化，那就可以将上式加以线性化。
1．单容水槽 单容水槽如下图所示。不断有水流入槽内，同时 也有水不断由槽中流出。水流入量 Qi 由调节阀开度 加以控制，流出量Qo 则由用户根据需要通过负载阀 R 来改变。被控变量为水位H，它反映水的流入量与流 出量之间的平衡关系。现在分析水位在调节阀开度扰 动下的动态特性。
图2-5 单容水槽
K G(s) e s Ts 1
② 二阶惯性环节加纯迟延
K G( s) e s (T1 s 1)(T2 s 1)
(2-1)
(2-2)
③ n阶惯性环节加纯迟延
K s G( s) e (Ts 1) n
(2-3)
④ 用有理分式表示的传递函数
bm s m b1 s b0 s G( s) e , (n m) n an s a1 s a0
2．测试法建模 测试法一般只用于建立输入输出模型。 它是根据工业过程的输入和输出的实测数据进行某 种数学处理后得到的模型。 主要特点：是把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完全从
外特性上测试和描述它的动态性质，因此不需要深入掌握其内 部机理。 为了有效地进行这种动态特性测试，仍然有必要对过程 内部的机理有明确的定性了解，例如究竟有哪些主要因素在起 作用，它们之间的因果关系如何等等。
根据上式可得水位变化与阀门开度变化之间的传 递函数为 H ( s) k G(s) (2-18)
( s)
Fs
式(2-18)代表一个积分环节，它的阶跃响应
h(t ) kຫໍສະໝຸດ Ft(2-19)
为一条直线，如图2-11所示。
图2-11 单容积分水槽水位的阶跃响应
2.2.2 多容对象的传递函数
第2章 被控过程的数学模型
目 录
2.1 过程模型概述 2.2 机理法建模 2.3 测试法建模 2.4 利用MATLAB建立过程模型
2.1 过程模型概述
2.1.1 被控过程的动态特性
——在过程控制中，被控对象内部所进行的物理、 化学过程可以是各式各样的，但是从控制的观点看， 它们在本质上有许多相似之处。 ——在生产过程中，控制作用能否有效地克服扰 动对被控变量的影响，这就要对被控对象的动态特性 进行研究。
式(2-13)是最常见的一阶惯性系统，它的阶跃响应
y(t ) K (1 e )
是指数曲线，如图2-6所示。

t T
图2-6 单容水槽水位的阶跃响应
2. 具有纯迟延的单容水槽 对于如图2-9所示的单容水槽，它与图2-5不同是 进水调节阀距入槽有一段较长的距离。因此该调节 阀开度 变化所引起的流入量 Qi 变化，需要经过 一段传输时间 0 才能对水槽液位产生影响。
如考虑水位只在其稳态值附近的小范围内变化，故 由式(2-9)可以近似认为
Qo Qo 0 k 2 Ho ( H H o ) Qo 0 Qo k 2 Ho H k 2 Ho H
则
(2-10)
将式(2-8)和式(2-10)代入式(2-7)中得
或
(
d H 1 k (k H ) dt F 2 Ho
假设调节阀均采用线性阀，则有
1 1 Q o H 2 (2-22) Q1 H 1 ； Qi k ； R2 R1
将式(2-22) 代入式(2-20)和式(2-21)中，消去中间 变量后可得
d H 2 d H 2 T1 T2 (T1 T2 ) H 2 K (2-23) 2 dt dt T2 R2 F2 ； K k R2 T1 R1 F1 ； 其中，
5．被控对象数学模型的表达形式 (l ) 按系统的连续性划分为： 连续系统模型和离散系统模型。 (2) 按模型的结构划分为： 输入输出模型和状态空间模型。 (3) 输入输出模型又可按论域划分为： 时域表达（阶跃响应）和频域表达（传递函数）。
6. 被控过程传递函数的一般形式 根据被控过程动态特性的特点，典型工业过程控制 所涉及被控对象的传递函数一般具有下述几种形式： ① 一阶惯性加纯迟延
2.1.2 数学模型的表达形式与要求 ——研究被控过程的特性，就是要建立描述被控过程 特性的数学模型。 ——数学模型有静态模型和动态模型之分。 这里讨论工业过程的动态模型。 工业过程动态数学模型的表达方式很多，其复杂程度 可以相差悬殊，对它们的要求也是各式各样的，这主要 取决于建立数学模型的目的何在，以及它们将以何种方 式加以利用。
以上讨论的是只有一个储能部件的对象，实际对 控过程往往要复杂一些，即具有一个以上的储能部 件。 1．双容水槽 对于如图2-12 所示的双容水槽。
图2-12 双容水槽
根据图2-12可知，水槽1和水槽2的物料平衡方程分 别为 d H1 1 (Qi Q1 ) 水槽1： (2-20) dt F1 d H 2 1 (Q1 Qo ) 水槽2： (2-21) dt F2
1．被控过程的分析
——工业生产过程的数学模型有静态和动态之分 ——静态数学模型是过程输出变量和输入变量之间 不随时间变化时的数学关系。 ——动态数学模型是过程输出变量和输入变量之间 随时间变化时动态关系的数学描述。 过程控制中通常采用动态数学模型，也称为动态 特性。