高三数学摸底考试试题(含答案)
四川省2025届高三上学期入学摸底考试 数学试题[含答案]
![四川省2025届高三上学期入学摸底考试 数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/212f120cf11dc281e53a580216fc700aba685202.png)
四川省2025届新高三秋季入学摸底考试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．的虚部为（ ）96i2i i -+A ．B ．C ．D ．7-6-7i-6i-2．已知等差数列满足，则（）{}n a 399,3a a ==12a =A ．B ．1C ．0D ．2-1-3，则（ ）()ππsin 02αα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭tan α=A B C ．D ．4．函数的极值点个数为（ ）()240e 10xx x x f x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，，，A ．0B ．1C ．2D ．35．已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分X 布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（ ）()295,N σ()95110P X ≤≤=A ．B ．C ．D ．53251611323166．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空U 真子集且，那么称子集族构成集合()*12,,,N ,k A A A k ∈ 12kA A AU = {}12,,,k A A A的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（U k 2{N |650}I x x x =∈-+<I ）A ．3B ．4C ．14D ．167．已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台外接球的球心到4π,25π35π上底面的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．2782743783748．已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的O 2:2(0)C x py p =>F l F 直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则1l C ,M N M C 2l ,x y ,P Q （ ）PQ ON ⋅=A ．B ．C ．D ．1212-1414-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知函数，则（ ）()()π3sin ,3cos232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭A ．的最小正周期为()f x 4πB ．与有相同的最小值()f x ()g x C ．直线为图象的一条对称轴πx =()f x D ．将的图象向左平移个单位长度后得到的图像()f x π3()g x 10．已知函数为的导函数，则（ ）()()313f x x x f x =-'，()f x A ．()00f '=B ．在上单调递增()f x ()1,∞+C ．的极小值为()f x 23D ．方程有3个不等的实根()12f x =11．已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在1111ABCD A B C D -1,CC BC ,E F G 下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（ ）1111D C B A H 1AD 1GE AA =A ．三棱锥的体积为定值H DEF -B ．动点GC ．不存在点，使得平面G EG ⊥DEFD ．四面体DEFG 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知向量，若，则.(7,12),(6,)a b x =-= a b ⊥ x =13．已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为.3,5,7,,9x 14．已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点O 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>12,F F 在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐M 2F 2OF 1MF 2F 1MF C 近线交于点，且，则的离心率为.N 1F M MN =C 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知中，角所对的边分别为.ABC A B C ，，a b c ，，2sin cos sin B A b A =(1)求的值；A (2)若的面积为，周长为6，求的值.ABC 3a 16．如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为S ABCD -ABCD SA ⊥ABCD M N ，，棱的中点SB SC ，(1)证明：平面;//MN SAD (2)若，求直线与平面所成角的正弦值SA AD =SD ADNM17．已知椭圆，点在上.2222:1(0)x y C a b a b +=>>F (C (1)求的方程；C (2)已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，O A ():0l y kx m k =+≠l C FA l ⊥求的值.OA18．已知函数.()ln f x x x a=-+(1)若，求曲线在处的切线方程；0a =y =f (x )x =1(2)若时，求的取值范围；x >0()0f x <a (3)若，证明：当时，.01a <≤1x ≥()()1e 1x a f x x x -+≤-+19．已知首项为1的数列满足.{}n a 221144n n n n a a a a ++=++(1)若，在所有中随机抽取2个数列，记满足的数列的个数20a >{}()14na n ≤≤40a <{}n a 为，求的分布列及数学期望；X X EX (2)若数列满足：若存在，则存在且，使得{}n a 5m a ≤-{}(1,2,,12k m m ∈-≥ )*m ∈N .4k m a a -=（i ）若，证明：数列是等差数列，并求数列的前项和；20a >{}n a {}n a n n S （ii ）在所有满足条件的数列中，求使得成立的的最小值.{}n a 20250s a +=s1．A【分析】根据复数的运算化简得，再根据虚部的定义即可求解．67i --【详解】，则所求虚部为.2296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i --+=+=--+=--7-故选：A ．2．C【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.【详解】由可得：，399,3a a ==93391936a a d --===--所以，1293330a a d =+=-=故选：C 3．D【分析】利用诱导公式对进行化简，再利用进行()ππsin 02αα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭sin tan cos ααα=求解即可.，()ππsin 02αα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，cos 0αα+=因此可得，sin tan cos ααα==故选：D.4．B【分析】对分段函数中的每一段的函数分别探究其单调性情况，再进行综合考虑即得.【详解】当时，，0x ≥22()4(2)4f x x x x =-=--此时函数在上单调递减，在上单调递增，故此时函数有一个极小值点为2；[0,2][2,)+∞当时，，因恒成立，故函数在上单调递减，0x <()e 1xf x =-+()e <0x f x '=-()f x (,0)-∞结合函数在上单调递减，可知0不是函数的极值点.[0,2]综上，函数的极值点只有1个.()f x故选：B.5．B【分析】解法一，求出，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，3(80)16P X <=求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.【详解】解法一：依题意，得，15003(80)800016P X <==故；()()135951108095(95)(80)21616P X P X P X P X ≤≤=≤≤=<-<=-=解法二：数学成绩在80分至95分的有人，400015002500-=由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故.()2500595110800016P X ≤≤==故选：B.6．B【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分，即可得到所有划I I 分的个数.【详解】依题意，，{}{}{}2650152,3,4I x x x x x =∈-+<=∈<<=N N ∣的2划分为，共3个，I {}{}{}{2,3},{4},{2,4},{3},{3,4},{2}的3划分为，共1个，I {}{}{}{}2,3,4故集合的所有划分的个数为4.I 故选：B.7．C【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为，12,r r 则，则，2212π4π,π25πr r ==122,5r r ==设圆台的母线长为，l 则，解得，()12π35πr r l +=5l =则圆台的高，4h ==记外接球球心到上底面的距离为，x 则，解得.()2222245x x +=-+378=x 故选：C.8．C【分析】通过联立方程组的方法求得的坐标，然后根据向量数量积运算求得.,P Q PQ ON ⋅ 【详解】依题意，抛物线，即，则，设2:2C x y =212y x=1,0,2y x F ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，221212,,,22x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直线，联立得，则.11:2l y kx =+22,1,2x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩2210x kx --=121x x =-而直线，即，()21211:2x l y x x x -=-2112x y x x =-令，则，即，令，则，故，0y =12x x =1,02x P ⎛⎫ ⎪⎝⎭0x =212x y =-210,2x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭则，故.211,22x x PQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 2212121244x x x x PQ ON ⋅=--= 故选：C【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.9．ABD【分析】对于A ：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B ：根据解析式可得与的最小值；对于C ：代入求，结合最值与对称性分析判断；对于D ：根()f x ()g x ()πf 据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为，()()π3sin ,3cos232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭对于选项A ：的最小正周期，故A 正确；()f x 2π4π12T ==对于选项B ：与的最小值均为，故B 正确；()f x ()g x 3-对于选项C ：因为，()5π3π3sin362f ==≠±可知直线不为图象的对称轴，故C 错误；πx =()f x 对于选项D ：将的图象向左平移个单位长度后，()f x π3得到，故D 正确.()ππ3sin 3cos 3222x x f x g x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：ABD.10．BD【分析】利用导数和导数的几何意义分别判断即可.【详解】因为，所以，，A 说法错误；()313f x x x =-()21f x x '=-()01f '=-令解得或，令解得，()0f x '>1x <-1x >()0f x '<11x -<<所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，B 说法正确；()f x (),1∞--()1,1-()1,+∞的极大值点为，极大值，极小值点为，极小值()f x 1x =-()21132f -=>1x =，C 说法错误；()2103f =-<因为当时，，当时，，x →-∞()0f x <x →+∞()0f x >所以方程有3个不等的实根，分别在，和中，D 说法正确；()12f x =(),1∞--()1,1-()1,+∞故选：BD 11．ACD【分析】对于A ，由题意可证平面，因此点到平面的距离等于点到1AD ∥DEF H DEF A平面的距离，其为定值，据此判断A ；对于B ，根据题意求出正方体边长及的长，DEF 1C G 由此可知点的运动轨迹；对于C ，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，假设G DEF 点的坐标，求出的方向向量，假设平面，则平面的法向量和的G EG EG ⊥DEF DEF EG 方向向量共线，进而求出点的坐标，再判断点是否满足B 中的轨迹即可；对于D ，利G G 用空间直角坐标系求出点到平面的距离，求出距离的最大值即可.G DEF 【详解】对于A ，如图，连接、，1BC 1AD依题意，，而平面平面，故平面，EF ∥1BC ∥1AD 1AD ⊄,DEF EF ⊂DEF 1AD ∥DEF 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，H DEF A DEF 所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确；H DEF H DEF -A 对于B ，因为正方体的体积为8，故，则，而，1111ABCD A B C D -12AA =2GE =11EC =故1C G ==故动点的轨迹为以内的部分，即四分之一圆弧，G 1C 1111D C B A故所求轨迹长度为，故B 错误；12π4⨯=以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标1C 11111,,C D C B C C ,,x y z 系，则，故，()()()2,0,2,0,0,1,0,1,2D E F ()()2,0,1,0,1,1DE EF =--=设为平面的法向量，则故n =(x,y,z )DEF 0,0,n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 0,20,y z x z +=⎧⎨--=⎩令，故为平面的一个法向量，2z =()1,2,2n =--DEF 设，故，()()0000,,00,0G x y x y ≥≥()00,,1EG x y =-若平面，则，EG ⊥DEF //n EG 则，解得，但，001122x y -==--001,12x y ==22003x y +≠所以不存在点点，使得平面，故C 正确；G EG ⊥DEF 对于D ，因为为等腰三角形，故，DEF 113222DEFS EF =⋅== 而点到平面的距离，G DEF 0000222233EG n x y xy d n ⋅++++=== 令，则，0x θ=0π,0,2yθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则，d==1tan 2ϕ=则四面体体积的最大值为D 正确.DEFG 1332⨯故选：ACD.12．72【分析】利用向量数量积的坐标公式计算即得.【详解】由可得，解得，.a b ⊥ 42120a b x ⋅=-= 72x =故答案为：.7213．5.5【分析】由平均数的定义算出，再由百分位数的定义即可求解.6x =【详解】依题意，，解得，357965x ++++=6x =将数据从小到大排列可得：，3,5,6,7,9又，则分位数为.50.42⨯=40%565.52+=故答案为：.5.514【分析】由题意可得，由此求出，，即可求出点坐标，代21F M NF ⊥1F M 1230MF F ∠=N 入，即可得出答案.by xa =【详解】不妨设点在第一象限，连接，则，M 2F M 212,F M NF F M c ⊥=故，，1F M =1230MF F ∠=设，因为，所以为的中点，()00,N x y 1F M MN =M 1NF，故.，112NF F M ==0y =0sin30,cos302x c c ==⋅-=将代入中，故()2N c by x a =b a =c e a ===.15．(1)π3(2)2【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求出的值；A （2）根据三角形的面积公式、余弦定理即可求出的值.a【详解】（1，2sin cos sin sin A B A B A =因为，则sin 0,sin 0A B ≠≠sin A A =tan A =因为，故.()0,πA ∈π3A =（2）由题意.1sin 2ABC S bc A === 4bc =由余弦定理得，222222cos ()3(6)12a b c bc A b c bc a =+-=+-=--解得.2a =16．(1)证明见解析；(2).12【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可；//MN BC （2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量,,AB AD AS SD 与平面的法向量,再通过空间角的向量求解即可.ADNM 【详解】（1）分别为的中点M N 、,SB SC 为正方形//MN BC ABCD ∴ 平面平面//BC AD ∴//MN AD MN ∴ ⊄,SAD AD ⊂SAD平面.//MN ∴SAD （2）由题知平面SA ⊥,ABCD AB AD ⊥建立如图所示的空间直角坚标系，，则2SA AD ==设,()()()()()0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0S A D B C ,,,()()1,0,1,1,1,1M N ∴()0,2,2SD ∴=- ()0,2,0AD =()1,0,1AM = 设平面的一个法向量为ADNM n =(x,y,z )则,令则,200n AD y n AM x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1,x =0,1y z ==-()1,0,1n ∴=-设直线与平面所或的角为,SD ADNM θ，1sin cos ,2n SD n SD n SDθ⋅∴====⋅所以直线与平面所成角的正弦值为.SD ADNM 1217．(1)2212x y +=【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得；,,a b c （2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，Δ0=2221m k =+FA l ⊥写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得.FA l A 2||OA 【详解】（1）设，依题意，F (c,0)22222131,24c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得222,1,a b ==故的方程为.C 2212x y +=（2）如图，依题意，联立消去，可得，F (1,0)22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222214220k x kmx m +++-=依题意，需使，整理得（*）.()()2222Δ16421220k m k m =-+-=2221m k =+因为，则直线的斜率为，则其方程为，FA l ⊥FA 1k -()11y x k =--联立解得即1(1),y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩221,1,1km x kk m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩221,11km k m A k k -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭故，()()()()()2222222222222222211(1)()11||1111k m km k m k m k m mOA k k k k ++-++++++====++++将（*）代入得，故22221222,11m k k k ++==++OA =18．(1)10y +=(2)(),1-∞(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率即可得解；（2）利用导数求出函数的单调性，得到极值，转化为极大值小于0即可得解；（3）转化为证明，构造关于的函数，利用导数求最小值，再由()1e ln 10x a x x a ---+-≥a 导数求关于的函数的最小值，由不等式的传递性可得证.x【详解】（1）当时，，0a =()ln f x x x=-则，所以，1()1f x x '=-(1)0k f '==又，所以切线方程为.(1)1f =-10y +=（2），()111x f x x x -=-='当时，，单调递增；01x <<()0f x '>()f x 当时，，单调递减，1x >()0f x '<()f x 所以，又，()(1)1f x f a ≤=-+()0f x <所以，即，10a -+<1a <所以的取值范围为.a (),1∞-（3）由可得，()()1e 1x a f x x x -+≤-+()1e ln 10x a x x a ---+-≥即证当，时，，01a <≤1x ≥()1e ln 10x a x x a ---+-≥令，()()1e ln 1x a g a x x a-=--+-则，()()()()1e 111e 1x a x a g a x x --=-⋅--=--'由可知，，故在上单调递减，1x ≥()0g a '<()g a (]0,1所以，()()1(1)1e ln x g a g x x-≥=--令，则，()1()1eln x h x x x-=--()11111()e 1e e x x x h x x x x x ---=+--=-'当时，，，所以，1x ≥1e 1x x -≥11x ≤()0h x '≥故在上单调递增，所以，ℎ(x )[)1,+∞()(1)0h x h ≥=所以，即，()(1)()0g a g h x ≥=≥()1e ln 10x a x x a ---+-≥所以成立.()()1e 1x a f x x x -+≤-+【点睛】关键点点睛：本题第三问中，要证明不等式成立，适当转化为证明成立，首先关键在于构造视为关于的函数()1e ln 10x a x x a ---+-≥a ，由此利用导数求出，其次关键()()1e ln 1x a g a x x a-=--+-()()1(1)1e ln x g a g x x-≥=--在于构造关于的函数，利用导数求其最小值.x ()1()1eln x h x x x-=--19．(1)分布列见解析，1(2)（i ）证明见解析，（ii ）152022n S n n=-【分析】（1）根据递推关系化简可得，或写出数列的前四项，利用14n n a a +=+1,n n a a +=-古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i ）假设数列中存在最小的整数，使得，根据所给条件{}n a ()3i i ≥1i i a a -=-可推出存在，使得，矛盾，即可证明；{}1,2,,1k i ∈- 41ki a a =+≤-（ii ）由题意可确定必为数列中的项，构成新数列1,5,9,,2017,2021,2025------ {}n a ，确定其通项公式及，探求与的关系得解.{}n b 5072025b =-s a n b 【详解】（1）依题意，，故，221144n n n n a a a a ++=++22114444a n n n a a a a ++-+=++即，故，或()()22122n n a a +-=+14n n a a +=+1,n n a a +=-因为，故；121,0a a =>25a =则，:1,5,9,13;:1,5,9,9;:1,5,5,5;:1,5,5,1n n n n a a a a ----故的可能取值为，X 0,1,2故，()()()21122222222444C C C C 1210,1,2C 6C 3C 6P X P X P X =========故的分布列为X X012P162316故.1210121636EX =⨯+⨯+⨯=（2）（i ）证明：由（1）可知，当时，或；2n ≥1n n a a -=-124,5nn a a a -=+=假设此时数列中存在最小的整数，使得，{}n a ()3i i ≥1i i a a -=-则单调递增，即均为正数，且，所以；121,,,i a a a - 125i a a -≥=15i i a a -=-≤-则存在，使得，此时与均为正数矛盾，{}1,2,,1k i ∈- 41ki a a =+≤-121,,,i a a a - 所以不存在整数，使得，故.()3i i ≥1i i a a -=-14nn a a -=+所以数列是首项为1､公差为4的等差数列，{}n a 则.()21422n n n S n n n-=+⋅=-（ii ）解：由，可得，20250s a +=2025s a =-由题设条件可得必为数列中的项；1,5,9,,2017,2021,2025------ {}n a 记该数列为，有；{}n b ()431507n b n n =-+≤≤不妨令，则或，n jb a =143j j a a n +=-=-1447j j a a n +=+=-+均不为141;n b n +=--此时或或或，均不为.243j a n +=-+41n +47n -411n -+141s b n +=--上述情况中，当时，，1243,41j j a n a n ++=-=+32141j j n a a n b +++=-=--=结合，则有.11a =31n n a b -=由可知，使得成立的的最小值为.5072025b =-20250s a +=s 350711520⨯-=【点睛】关键点点睛：第一问数列与概率结合，关键在于得出数列前四项的所有可能，即可按照概率问题求解，第二问的关键在于对于新定义数列，理解并会利用一般的抽象方法推理，反证，探求数列中项的变换规律，能力要求非常高，属于困难题目.。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 求下列数列的通项公式：数列：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...A. a_n = nB. a_n = 1/nC. a_n = n^2D. a_n = 1/(n+1)答案：B3. 已知圆x^2 + y^2 = 9，点P(1, 2)，求点P到圆心的距离。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C4. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的夹角θ。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B5. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4x，求导数y'。
A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 5C. 3x^2 - 6x + 3D. 3x^2 - 6x + 2答案：A6. 已知等差数列的第5项为15，第8项为25，求公差d。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A8. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。
A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A9. 已知复数z = 1 + i，求z的共轭复数。
A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案：A10. 已知函数y = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。
A. 0B. 3C. 6D. 9答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f''(x)的值。
2024届新高三数学开学摸底考试卷03及答案解析(九省新高考专用)
2024届新高三数学开学摸底考试卷03及答案解析（九省新高考专用）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}25A x x =<<，2311x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B = （）A ．{}24x x -<≤B ．{}24x x <≤C ．{}14x x -<≤D ．{}15x x -<<【答案】B【分析】根据分式不等式求解即可化简B ,进而根据集合的交集即可求解.【详解】由2311x x -≤+，得23101x x --≤+，即401x x -≤+，所以{14}B x x =-<≤∣．又{25}A x x =<<∣，所以{24}A B x x ⋂=<≤∣．故选:B ．2．在ABC 中,若tan tan tan B C B C +=且sin 2B =则C =（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°【答案】C【分析】根据tan tan tan B C B C +=利用两角和的正切公式可得60B C += ,即可得120A =o ,根据sin 2B B 的范围可得30B = ,进而可求得30C = .【详解】解:因为tan tan tan B C B C +=所以)tan tan 1tan tan B C B C +=-,即()tan tan tan 1tan tan B CB C B C++==-因为B ,C 为ABC 的内角,所以60B C += ,即120A =o ,所以060B << ,02120B << ,因为sin 2B =所以260B = ,即30B = ,所以30C = .故选:C3．已知一组数据3，5，7，x ，10的平均数为6，则这组数据的方差为（）A ．335B ．6C ．285D ．5【答案】C【分析】先根据平均数公式求出x ，再利用方差公式求解.【详解】由题意得3571065x ++++=⨯，得5x =所以这组数据的方差2128(911116)55s =⨯++++=故选：C4．已知函数()cos f x x x =-.给出下列结论：①π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的最小值；②函数()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；③将函数2sin y x =的图象上的所有点向左平移11π6个单位长度，可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【分析】先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的性质即可判断①②，根据平移变换的原则即可判断③.【详解】()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，对于①，ππ2sin 232f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是()f x 的最小值，故①正确；对于②，当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，π2ππ,633x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上不具有单调性，故②错误；对于③，将函数2sin y x =的图象上的所有点向左平移11π6个单位长度，得()11πππ2sin 2sin 2π2sin 666y x x x f x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③正确，所以正确的有①③.故选：B.5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，点D 为准线l 与x 轴的交点，若30FMD ∠= ，则四边形AMDB 的面积为（）A B ．203C D ．163【答案】A【分析】由抛物线的定义可得AMF 是正三角形，设()(),,,A A B B A x y B x y ，根据几何性质求得A 点坐标，从而可得直线AB 的方程，联立直线与抛物线可求得B 点坐标，按照面积分割即可得四边形AMDB 的面积.【详解】如图，不妨设点A 在x 轴上方，由抛物线的定义可知AF AM =，因为30FMD ∠= ，所以903060AMF ∠=-= ，所以AMF 是正三角形.由24y x =可知()()1,0,1,0F D -，设()(),,,A A B B A x y B x y ，因为30,2FMD DF ∠==，所以4DM MF AM ===.所以413A x =-=.所以点A的坐标为(3,，所以直线AB313x -=-，整理得y =由24y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，得231030x x -+=，解得13,3A B x x ==.将13B x =代入直线AB的方程，得13B y =--B的坐标为1,3⎛ ⎝⎭.所以()112422233BDF AMDB AMDF S S S =+=⨯+⨯+⨯⨯=四边形四边形.故选：A .6．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A 表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B 表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C 表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（）A ．事件A 与B 相互独立B ．事件A 与C 为互斥事件C ．()13P C A =D ．()16P B A =【答案】D【分析】先求出每个体育馆至少派一名裁判总的方法数，再求出事件A ，B 分别发生的情况数与事件A ，B 同时发生的情况数，得到()()()P AB P A P B ≠，判断出A 错误，同理可得B 错误；利用条件概率求解公式得到C 错误，D 正确.【详解】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有2113421322C C C A 36A =种方法，事件A ：甲派往①，则若①体育馆分2人，则只需将乙、丙、丁与三个体育馆进行全排列即可，有33A 6=种，若①体育馆分1人：则将乙、丙、丁分为两组，与体育馆②③进行全排列，有212312C C A 6=种，共有6612+=种，∴121()363P A ==，同理121()363P B ==，若甲与乙同时派往①体有馆，则①体育馆分两人，只需将丙，丁与体育馆②③进行全排列，有22A 种，∴211(),()()()36189P AB P AB P A P B ==≠=，故事件A 与B 不相互独立，A 错误；同理可得，121()363P C ==，若甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有22C 1=种，若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有1122C C 4=种情况，综上：甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生的情况有145+=种，故(5(),)()()36P BC P BC P B P C =≠，B 错误；()()()1118163P AB P B A P A ===，D 正确；事件C ：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分2人，则只需将甲、丙、丁与三个体育馆进行全排列，有33A 6=种，若②体育馆分1人，则则将甲、丙、丁分为两组，与体育馆①③进行全排列，有212312C C A 6=种，共有6612+=种，∴121()363P C ==，若事件A ，C 同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有22C 1=种，若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有1122C C 4=种情况，综上：事件A ，C 同时发的情况有145+=种，∴()536P AC =，()()()55361123P AC P C A P A ===，C 错误；故选：D7．三棱锥A BCD -中，AC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥.若4AB =，2BD =，则该三棱锥体积的最大值为（）A ．163B ．4C ．83D ．2【答案】D【分析】设CD x =，其中0x >，利用勾股定理可求得AC ，并求出BCD △的面积，利用锥体的体积公式以及基本不等式可求得结果.【详解】设CD x =，其中0x >，如下图所示：因为AC ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以，AC BC ⊥，因为BD CD ⊥，所以，BC ==，又因为4AB =，所以，AC ===，由20120x x >⎧⎨->⎩可得0x <<11222BCD S BD CD x x =⋅=⨯=△，2211122336A BCDBCD x x V S AC x -+-=⋅=⋅≤= ，当且仅当2212xx =-时，即当x =时，该三棱锥体积取最大值为2.故选：D.8．函数()23cos22xx xf x =的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除AD ，再由()20f <可排除C ，即可得到结果.【详解】因为()23cos22x x x f x =，其定义域为R ，所以()()23cos22xx xf x f x -==，所以()f x 为偶函数，排除选项A ，D ，又因为()12cos423cos44f ==，因为3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos40<，所以()20f <，排除选项C.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m在区间[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围是：A. m≥4B. m≤4C. m≥0D. m≤02. 已知向量a=(3,-1)，b=(2,4)，则向量a+b的坐标为：A. (5,3)B. (1,3)C. (5,-3)D. (1,-3)3. 函数y=sin(x)的最小正周期为：A. πB. 2πC. π/2D. 4π4. 直线l：y=2x+3与x轴的交点坐标为：A. (-3/2,0)B. (3/2,0)C. (-3,0)D. (3,0)5. 已知数列{an}满足a1=1，且an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式：A. an=2^n-1B. an=2^nC. an=2^(n-1)+1D. an=2^(n-1)6. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的表达式：A. f'(x)=3x^2-3B. f'(x)=x^2-3xC. f'(x)=x^2-3D. f'(x)=3x^2-9x7. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，若双曲线C 的一条渐近线方程为y=√2x，则双曲线C的离心率e为：A. √2B. √3C. 2D. 38. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，求三角形ABC的形状：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不等边三角形9. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求函数f(x)的值域：A. (-∞,1]B. [1,+∞)C. (-∞,8]D. [8,+∞)10. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=1/2，求数列{bn}的前n 项和Sn：A. Sn=2(1-(1/2)^n)/(1-1/2)B. Sn=2(1-(1/2)^n)C. Sn=2(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)D. Sn=2(1-(1/2)^(n-1))二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(1)的值。
2024-2025学年广东省珠海市高三(上)第一次摸底数学试卷(含答案)
2024-2025学年广东省珠海市高三（上）第一次摸底数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={x|x>0}，集合A={x|1<x<2}，则∁U A=( )A. (−∞,1]∪[2,+∞)B. (0,1]∪[2,+∞)C. (−∞,1)∪(2,+∞)D. (0,1)∪(2,+∞)2.复数z=10−3+i(i为虚数单位)，z的共轭复数为( )A. −3−iB. −3+iC. 3−iD. 3+i3.在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=3DC，M是AD的中点，若BM=λBA+μBC，则λ+μ=( )A. 54B. 1 C. 78D. 584.已知点A(−1,0)，B(0,3)，点P是圆(x−3)2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最小值为( )A. 6B. 112C. 92D. 6−1025.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积从小到大之比为( )A. 1：3：2B. 1：3：4C. 3：2：23D. 3：2：66.已知函数f(x)={2 x− a,x≤0log12(|x|+1)−a,x>0，(a∈R)在R上没有零点，则实数a的取值范围是( )A. (1,+∞)∪{0}B. (0,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,1]7.函数f(x)=23sin2(ωx)+sin(2ωx+2π3)，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法错误的是( )A. ω=1B. 函数f(x)图象关于点(π3,3)对称C. 函数f(x)图象向右移φ(φ>0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为5π12D. 若x∈[0,π2]，则函数f(x)的最大值为3+18.若不等式bx+1≤e−x−ax2对一切x∈R恒成立，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a+b的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. (−∞,−1)C. (−∞,1]D. (−∞,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。
河南省名校联盟2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题(含答案)
2025届高三开学摸底联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}03,2,1,0,1,2A x x B =<<=--，则A B =∩（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}2,1,1,2--2．若复数z 满足3i1iz +=+,则z =（ ）A B C D 3．抛物线24y x =的焦点坐标为（）A ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,04．双曲线()22103x y t t t-=>的离心率为（ ）A B C D ．5．将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第n 组含12n -个数，分组如下：()()()1,2,3,(4,5,6,7),8,9,10,11,12,13,14,15, ,则2025在第（）组．A ．9B ．10C ．11D ．126．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3a =，4c =，且ABC △的面积)222S a c b =+-，若ABC ∠的平分线交AC 于点D ，则BD =（ ）A B C ．D ．7．已知面积为的正三角形ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，若三棱锥O ABC -的体积为，则球O 的表面积为（）A ．32πB ．64πC ．8πD ．16π8．已知函数()()ππsin sin 0562f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到()g x 的图象，若()g x 在π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-,则函数()12y g x =+在[]2π,2π-上的零点个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
广西七市联考2025届高三上学期10月摸底测试 数学含答案
2025届普通高中毕业班摸底测试数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
小本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{2}A x x =>∣，{23)B y y =<<∣，则A.=∅ A B B.= A B AC.= A B BD.= A B A2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为A.9B.5C.-8D.103.若向量()2,5AB = ，(),1AC m m =+，且A ，B ，C 三点共线，则m =A.23-B.23 C.32-D.324.在四棱锥P ABCD -中，“∥BC AD ”是“∥BC 平面PAD ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.433cos sin cos sin 551010i i ππππ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎝⎭⎝⎭A.1B.iC.-1D.-i6.已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 右支上一点，O 为坐标原点，Q 为线段1PF 的中点，T 为线段1QF 上一点，且QT OQ =，则1FT =A.3C.4D.57.定义在R 上的坷函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()202f x x - 的解集为A.)13⎛⎤-+ ⎥⎝⎦∞B.(11,,0,33⎡⎫⎡--⎪⎢⎢⎣⎭⎣ ∞C.{})103⎛⎤-+ ⎥⎝⎦∞D.(11,,0,33⎡⎤⎡--⎢⎥⎢⎣⎦⎣ ∞S.若数列{}n a 、{}n b 满足121a a ==，11+=-+n n b a n ，13+=-+n n b a n ，则数列{+n n a b 的前50项和为A.2500B.2525C.2550D.3000二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.广西壮族自治区有7个市区的面积大于1.3万平有千米，这7个市区为南宁市（22100平方千米）、柳州市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米），河池市（33500平方千米）。
数学新高三摸底试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为：A. 4B. 6C. 8D. 102. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an+1 + an-1的值为：A. 2a1B. 2a2C. 2a3D. 2a43. 下列各式中，正确的是：A. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβB. cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβC. tan(α + β) = tanα + tanβD. cot(α + β) = cotα + cotβ4. 已知函数f(x) = |x - 1|，则f(x)的图像为：A. 一次函数图像B. 二次函数图像C. 抛物线图像D. 双曲线图像5. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an^2的值为：A. a1qB. a1q^2C. a1q^3D. a1q^46. 下列各式中，正确的是：A. sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβB. cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβC. tan(α - β) = tanα - tanβD. cot(α - β) = cotα - cotβ7. 已知函数f(x) = 2x + 1，则f(-3)的值为：A. -5B. -7C. -9D. -118. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an + an-1的值为：A. 2a1B. 2a2C. 2a3D. 2a49. 下列各式中，正确的是：A. sin(α + β) = sinαcosβ - cosαsinβB. cos(α + β) = cosαcosβ + sinαsinβC. tan(α + β) = tanα + tanβD. cot(α + β) = cotα + cotβ10. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an^3的值为：A. a1qB. a1q^2C. a1q^3D. a1q^4二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求an的通项公式。
高三摸底测试数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各式中，绝对值最大的是（）A. |x| = 3B. |x| = -3C. |x| = 2D. |x| = 1答案：A解析：绝对值表示一个数与0的距离，所以绝对值总是非负的。
选项A中的绝对值为3，是所有选项中最大的。
2. 若函数f(x) = 2x - 3，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C解析：将x=2代入函数f(x) = 2x - 3中，得到f(2) = 22 - 3 = 4 - 3 = 1。
3. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an的值为（）A. 25B. 28C. 31D. 34答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n 为项数。
代入题目中的数据，得到a10 = 2 + (10 - 1)3 = 2 + 27 = 29，选项中最接近的是31。
4. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于直线y = x的对称点B的坐标为（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)答案：A解析：点A(2, 3)关于直线y = x的对称点B，其坐标的x值和y值互换，所以B 的坐标为(3, 2)。
5. 若log2(x - 1) = 3，则x的值为（）A. 3B. 5C. 7D. 9答案：B解析：由对数的基本性质，得到x - 1 = 2^3 = 8，解得x = 9，但需要满足x - 1 > 0，所以x的值为5。
二、填空题（每题5分，共50分）6. 函数y = x^2 - 4x + 3的顶点坐标为______。
答案：(-2, -1)解析：顶点坐标公式为(-b/2a, c - b^2/4a)，代入a=1, b=-4, c=3，得到顶点坐标为(-2, -1)。
7. 等比数列{an}的首项为4，公比为1/2，则第5项an的值为______。
答案：1/16解析：等比数列的通项公式为an = a1 r^(n-1)，代入a1=4, r=1/2, n=5，得到a5 = 4 (1/2)^4 = 1/16。
陕西省西安中学2025届高三摸底考试数学试题及参考答案
陕西省西安中学2025届高三摸底考试数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}42<=xx A ，{}31<<-∈=x N x B ，则=B A （）A.{}21<<-x x B.{}1,0 C.{}1 D.{}31<<-x x 2.下列说法正确的是（）A.若0>>b a ，则22bcac > B.若b a >，则22ba >C.若0<<b a ，则22b ab a >> D.若b a <，则ba 11>3.已知R b a ∈,，则“b a >”是“20242024b a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.随机变量ξ的分布列如下表：若()0=ξE ,则()=ξD （）A.21 B.31 C.41 D.615.若命题“[]3,1-∈∃x ，022≤--a x x ”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是（）A.1- B.0C.1D.36.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而已疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：3010.02lg ,9956.199lg ,0086.2102lg ≈≈≈）.A.85B.100C.150D.2257.某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一名老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（）A.124B.246C.114D.1088.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<+-+-≥+=1,321,2x a ax ax x a a x f x（0>a 且1≠a ），若函数()x f 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.⎥⎦⎤ ⎝⎛320， B.⎦⎤ ⎝⎛231， C.[)∞+，2 D.[)∞+，3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列运算结果为1的有（）A.814121-e e e B.5lg 2lg +C.213298- D.2log 4log 3log 432⨯⨯10.设0,0>>b a ，12=+b a ，则（）A.ab 的最大值为81B.224b a +的最小值为21C.ba 21+的最小值为8 D.ba42+的最小值为2211.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则下列说法中正确的有（）A.从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为32B.从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为356C.从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4D.从甲袋中任取2个球并放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为145三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 二项式展开式中，常数项为.13.已知样本321,,x x x 的平均数为2，方差为1，则232221,,x x x 的平均数为.14.定义：()(){}x g x f N ⊗表示不等式()()x g x f <的解集中整数解之和.若()x x f 2log =，()()212+-=x a x g ，()(){}6=⊗x g x f N ，则实数a 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题各15分，第18,19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知二次函数()x f y =的图象过点()3,1-，且不等式()07<-x x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛141，.（1）求()x f 的解析式；（2）设()()mx x f x g -=，若()x g 在()4,2上是单调函数，求实数m 的取值范围.16.甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立.已知甲答对每题的概率均为p ，乙答对每题的概率均为q （10<<<q p ），且某道题两人都答对的概率为103，都答错的概率为51.（1）求q p ,的值；（2）乙回答3题，记乙的积分为X ，求X 的分布列和期望()X E .17.随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线，某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据：（1）根据表中数据，依据01.0=α的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？（2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式及数据：()()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-=22χ，其中d c b a n +++=.18.已知函数()()2212m mx f x-++=.（1）当2=m 时，求()x f 的值域；（2）若()x f 的最小值为3-，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若不等式()82-≤ax f x有实数解，求实数a 的取值范围.19.创新是民族的灵魂，某大型企业对其产品进行研发与创新，根据市场调研与模拟，得到研发投入x （亿元）与研发创新的直接收益y（亿元）的数据统计如下：当170≤<x 时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：8.111.4ˆ+=x y；模型②：4.143.21ˆ-=x y ；当17>x 时，确定y 与x 满足的线性回归方程为：a x y+-=7.0ˆ.（1）根据下列表格中的数据，比较当170≤<x 时模型①、②的决定系数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测该企业对产品创新改造的投入为1亿元时的直接收益.（附：刻画回归效果的决定系数()()∑∑==---=n i ini i iy y yyR 12122ˆ1，1.417≈，决定系数数值越大，说明拟合效果越好）.（2）为鼓励科技创新，当研发的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，你叫研发改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.（附：()()()∑∑∑∑====---=-⋅-=n i ini i ini i ni i i x n x y y x xx n x yx n yx b1211221ˆ，x by a ˆ-=）（3）研发改造后，该公司F 产品的效率X 大幅提高，X 服从正态分布()201.052.0，N ，公司对研发团队的奖励方案如下：若F 产品的效率不超过50%，不与奖励；若F 产品的效率超过50%但不超过53%，每件F 产品奖励2万元；若F 产品的效率超过53%，每件F 产品奖励5万元.求每件F 产品获得奖励的数学期望.（附：随机变量ξ服从正态分布()2,σμN ，则()6826.0=+≤<-σμσμx P ，()9544.022=+≤<-σμσμx P ）参考答案一、选择题二、选择题三、填空题12.6013.514.⎥⎦⎤⎝⎛-0,423log 2四、解答题15.解：（1）∵不等式()07<-x x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛141，，∴41和1为关于x 的方程()07=-x x f 的两根，且二次函数()x f y =的开口向上，则可设()()1417-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x a x x f ，()0>a ，即()()x x x a x f 7141+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，由()x f 的图象过点()31，-，可得()()31711411=-⨯+--⎪⎭⎫⎝⎛--a ，解得4=a ，∴()()x x x x f 71414+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，即()1242++=x x x f .（2）∵()()()12412422+-+=-++=-=x m x mx x x mx x f x g 对称轴82mx --=，∵()x g 在()4,2上是单调函数，∴282≤--m 或482≥--m，解得18≤m 或34≥m ，即实数m 的取值范围为(][)∞+∞-，，3418 .题号12345678答案BCDAABCB16.解：（1）由题意得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<=-=10511103q p q p pq ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5321q p .（2）由题意知，X 的所有取值为0,40,80,120，则()12585310303=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==C X P ；()125365315340213=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅==C X P ；()125545315380223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C X P ；()1252753120333=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，故X 的分布列为：17.解：（1）零假设0H ：周平均锻炼时长与年龄无关联，由22⨯列联表中的数据，可得()01.022635.6256.101302702002005012080150400χχ=>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=，根据小概率值01.0=α的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联.（2）抽取的8人中，轴平均锻炼时长少于5小时的有2200508=⨯人，不少于5小时的有62001508=⨯人，则X 所有可能的取值为1,2,3，∴()2831381622===C C C X P ；()28152382612===C C C X P ；()14533836===C C X P ，∴随机变量X的分布列为：∴数学期望()491453281522831=⨯+⨯+⨯=X E .18.解：（1）设t x=2，∵2=m ，∴()0,322>-+=t t y ，其对称轴方程为：2-=t ，故函数在()∞+，0上单调递增，当0=t 时，1=y ，故所求值域为()∞+，1.（2）∵函数()()2212m mx f x-++=的最小值为3-，02>x ，当0≥m 时，()x f 在R 上单调递增，没有最小值；当0<m 时，可知m x-=2时，y 取得最小值21m -；即213m -=-，解得2-=m 或2=m （舍去），综上，2-=m .（3）由题意，不等式()82-≤a x f x 有实数解，即()823222-≤--ax x，可得42921-+≥x x a ，要使不等式有解，只需min42921⎪⎭⎫⎝⎛-+≥x x a 即可，∵692292=≥+x x，当且仅当3log 2=x 时等号成立，∴2464292min=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+xx，∴21≥a ，解得210≤<a ，即实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛210，.19.解：（1）由表格中的数据，有2.794.182>，即()()∑∑==->-7127122.794.182i i i i y y y y ，∴模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，∴当17=x 亿元时，研发改造直接收益的预测值为：93.724.141.43.214.14173.21=-⨯≈-⨯=y （亿元），（2）由已知可得：355432120=++++=-x ，∴23=x ，2.75665.785.860=++++=-y ，∴2.67=y ，∴3.83237.02.677.0=⨯+=+=x y a ，∴当17>x 亿元时，y 与x 满足的线性回归方程为3.837.0ˆ+-=x y，当20=x 亿元时，研发改造直接收益的预测值为3.693.83207.0ˆ=+⨯-=y，当20=x 亿元时，实际收益的预测值为3.79103.69=+亿元＞72.93亿元，∴研发改造投入20亿元时，公司的实际收益更大.（3）∵()9544.002.052.002.052.0=+<<-X P ，∴()9772.029544.0150.0=+=>X P ，()0228.029544.0150.0=-=≤X P ，∵()6826.001.052.001.052.0=+<<-X P ，∴()1587.026826.0153.0=-=>X P ，∴()8185.01587.09772.053.050.0=-=<<X P ，设每件F 产品获得奖励为Y （万元），则Y 的分布列为：∴每件F 产品获得奖励的期望值为：()4305.21587.058185.020228.00=⨯+⨯+⨯=Y E （万元）.。
河北省石家庄市2025届高三上学期教学质量摸底检测数学试卷(含答案)
石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2．已知复数z 满足，则复数z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知平面向量a ，b 满足，且，，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（）A BCD ．5．已知，，则（ ）A ．3B ．C ．D ．6．若数列为等差数列，为数列的前n 项和，，，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若，则（ ）{}|15A x x =∈≤<R {}2|340B x x x =∈--<R A B = (]1,1-()1,4-[)1,4[)1,5(1i)23i z +=+125212-52-()2⋅-=a a b 1=a 2=b 6π23π3π56πsin()2cos()αβαβ+=-4tan tan 3αβ+=tan tan αβ⋅=3-1313-{}n a n S {}n a 490a a +>110S <n S 5S 6S 7S 8S 22:148x y C -=1F 2F 112F A F B =AB =A ．B ．C ．D ．48．已知函数为定义在R 上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足，则下列选项正确的是（ ）A．B ．C ．D ．10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，在上单调递增B．若，且，则函数的最小正周期为C ．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则的最小值为3D ．若在上恰有4个零点，则的取值范围为11．如图，曲线C 过坐标原点O ，且C 上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．若直线与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为C ．周长的最小值为12D ．面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分()F x [)0,+∞212(log )(log )2(3)f a f a f -≤10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,8[)8,+∞0a b c >>>a c ab c b+>+lg0a cb c->-b ca b a c>--a b ++>()sin()(0)6f x x πωω=+>3ω=()f x 47,99ππ⎛⎫⎪⎝⎭12()()2f x f x -=12min2x x π-=()f x π()f x 12πω()f x []0,2πω2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭(,)P x y 1(,0)F a -2(,0)(0)F a a >3a =y kx =[)1,+∞12PF F △12PF F △9212．在等比数列中，，，则____________．13．已知函数，若与的图象相切于A 、B 两点，则直线的方程为____________．14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成____________部分（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为2且位于x 轴上方的点，A 到抛物线焦点的距离为．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点F 的直线l 交抛物线C 于B 、D 两点（异于O 点），连接、，若，求的长．16．（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，，，，，（1）设过点G 、B 、D 的平面交直线于点M ，求线段的长；（2）若，当二面角为直二面角时，求直四棱柱的体积．{}n a 11a =23464a a a ⋅⋅=5a =231,0()44,0x x x f x x x ⎧-+-≥⎪=⎨+<⎪⎩y x =()y f x =AB 2:2(0)C y px p =>52OB OD 12OBF ODF S S =△△BD ABCD A B C D ''''-13A G A D '''=AB BC ⊥1AB =BC =BD =A B ''GM AC BD ⊥B AC D ''--ABCD A B C D ''''-17．（本小题满分15分）在中，，，点D 在边上，且．（1）若，求的长；（2）若，点E 在边上，且，与交于点M ，求．18．（本小题满分17分）已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）设方程的所有根之和为T ，且，求整数n 的值；（3）若关于x 的不等式恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分17分）母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列，即用如下方法与一个函数联系起来：，则称是数列的生成函数．例如：求方程的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为，其中x 的指数代表的值．，则非负整数解的个数为．若，则，可得，于是可得函数的收缩表达式为：．故（广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”如下：共有项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意，ABC △AB =AC =BC BD CD =2BAD π∠=BC 3BAC π∠=AC 12AE EC =BE AD cos AMB ∠e ()x f x x=0x >()f x 21()x f x x+=(,1)T n n ∈+()ln e 1f x ax a x ≥-+-012,,,,n a a a a 2012()n n G x a a x a x a x =++++ ()G x {}n a 1210100t t t =+++ 210()(1)G x x x =+++ (1,2,3,,10)i t i = 210()(1)n n n G x x x a x +∞==+++=∑ 100a 2()1f x x x =+++ 23()xf x x x x =+++ (1)()1x f x -=()f x 1()1f x x=-101000111001001010101()((1)()()()1G x x C x C x C x x----==-=-+-++-+- 10010010010109(10)(11)(101001)10910810100!100!a C C --⨯-⨯⨯--+⨯⨯⨯==== {}n a {}n a 2m 2k m ≤，不同的“规范01数列”个数记为．（1）判断以下数列是否为“规范01数列”；①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．（2）规定，计算，，，的值，归纳数列的递推公式；（3）设数列对应的生成函数为①结合与之间的关系，推导的收缩表达式；②求数列的通项公式．石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学答案一、单选题：1-5CABCD6-8BAD 二、多选题：9．BCD10．ABD11．AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．1613．14．23四、解答题：本题共5小题，共77分。
高三数学模考试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = (x-1)^2在区间[0,2]上的单调性为：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 无单调性2. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项a10等于：A. 23B. 21C. 19D. 173. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为：A. (2,3)B. (3,2)C. (3,-2)D. (-2,3)4. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的取值范围是：A. z=0B. z=1C. z=-1D. z=±15. 已知等比数列{bn}的首项b1=4，公比q=2，则第5项b5等于：A. 32B. 16C. 8D. 46. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极值，则a、b、c之间的关系是：A. a+b+c=0B. a-b+c=0C. a+b-c=0D. a-b-c=07. 在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是：A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的图像关于原点对称的是：A. x=0B. x=1C. x=-1D. x=39. 若不等式2x-3<5，则x的取值范围是：A. x<2B. x<8C. x>2D. x>810. 在平面直角坐标系中，直线y=2x+1与y轴的交点坐标为：A. (0,1)B. (1,0)C. (0,-1)D. (-1,0)二、填空题（每题5分，共50分）11. 函数f(x) = (x-1)/(x+1)的图像与x轴的交点坐标是______。
12. 若等差数列{an}的通项公式为an = 3n-2，则该数列的前5项和为______。
13. 在三角形ABC中，若AB=AC，则角B和角C的度数分别为______和______。
高三数学模拟试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + 1，若f(x)的图像关于x = a对称，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定2. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = x^3B. y = x^2C. y = -x^2D. y = x^3 + 3x^23. 若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则第n项an等于（）A. a1 + (n - 1)dB. a1 - (n - 1)dC. a1 + ndD. a1 - nd4. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA的值为（）A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/55. 若log2x + log2y = 1，则x和y的取值范围是（）A. x > 0, y > 0B. x > 0, y ≤ 0C. x ≤ 0, y > 0D. x ≤ 0, y ≤ 06. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间(-∞, +∞)上单调递增，则a 的取值范围是（）A. a < 0B. a > 0C. a = 0D. a ≠ 07. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-3, -2)D. (-2, -3)8. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 实轴B. 虚轴C. 圆心在原点，半径为1的圆D. 直线y = x9. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则第n项an等于（）A. 2 3^(n-1)B. 2 3^nC. 2^n 3D. 2^n / 310. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a，b，c之间的关系是（）A. a > 0, b = 0, c < 0B. a > 0, b ≠ 0, c < 0C. a < 0, b = 0, c >0 D. a < 0, b ≠ 0, c > 0二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 25，S9 = 45，则S13 = _______。
广东省清远市2024-2025学年高三上学期8月摸底考试 数学含答案
广东省2025届高三摸底测试（8月份）数学（答案在最后）注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log ,1A y y x x ==>，{}2,1x B y y x -==>，则A B = （）A.∅B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,1 D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知等边三角形ABC 的边长为1，那么BC AC AC AB AB BC ⋅+⋅+⋅=（）A.32B.32-C.12-D.123.已知()1sin cos ,0,π5ααα+=∈，则2cos22sin 1tan2ααα+=-（）A.717-B.247-C.1-D.24.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.若直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（）A.//αβ，//l αB.α与β相交，且交线平行于lC.αβ⊥，l α⊥ D.α与β相交，且交线垂直于l5.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个10人的“群”，其中一人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（）A.56种B.120种C.84种D.210种6.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x 的图象在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝4x －3，则函数y ＝f (x )的极大值为（）A .1B.527-C.-2527D.－17.已知抛物线2:8C y x =，圆22(2):4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是A.1324M M M M ⋅ B.14FM FM ⋅C.1234M M M M ⋅ D.112FM M M ⋅8.已知函数()f x 是定义域为R 的函数，()()20f x f x ++-=，对任意1x ，[)21,x ∈+∞()12x x <，均有()()210f x f x ->，已知a ，b ()a b ≠为关于x 的方程22230x x t -+-=的两个解，则关于t 的不等式()()()0f a f b f t ++>的解集为（）A.()2,2- B.()2,0- C.()0,1 D.()1,2二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设,A B 两点的坐标分别是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，设直线AM BM ､的斜率分别为12k k ､，下列说法正确的是（）A.当1249k k =-时，点M 的轨迹是椭圆的一部分B.当1249k k =时，点M 的轨迹是双曲线的一部分C.当122k k -=时，点M 的轨迹是抛物线的一部分D.当122k k +=时，点M 的轨迹是椭圆的一部分10.已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，令()()()g x f x f x =-'，则下列说法正确的是（）A.π26g ⎛⎫=⎪⎝⎭B.函数()g x 图象的对称轴方程为()11ππ12x k k =+∈Z C.若函数()()2h x g x =+的两个不同零点分别为12,x x ，则12x x -的最小值为π2D.函数()g x 的图象上存在点P ，使得在点P 处的切线斜率为−211.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，()2f z z =就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式()1n n z f z +=，n ∈N 可以得到一列值012,,,,,n z z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅．如果存在一个正数M ，使得n z M <对任意n ∈N 都成立，则称0z 为()f z 的收敛点；否则，称为()f z 的发散点．则下列选项中是()2f z z =的收敛点的是（）A.2B.i- C.1i- D.13i 22-三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知ABC V 的三个内角分别为,,A B C ，若sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，则角B 的取值范围是__________.13.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体，,,,B D H F 对应四个三棱柱，A C I G ,,,对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为__________.14.袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的数学期望__________．四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知A ，B ，C 为ABC V 的三个内角，向量(22sin ,sin cos )m A A A =-+与(sin cos ,1sin )n A A A =-+ 共线，且0AB AC ⋅> .（1）求角A （2）求函数22sincos 22B C B y -=+的值域.16.如图，已知四边形ABCD 和四边形ABEF 都是边长为1的正方形，且它们所在的平面互相垂直.M N ､两点分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<.（1）当M N ､分别为AC BF ､的中点时，求证：MN ∥平面BCE ；（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值.17.一般地，我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.（1）请用上述定义证明反比例函数1y x=的图象是双曲线；（2）利用所学的知识，指出双曲线(0)ky k x=>的焦点坐标与渐近线方程；（3）我们知道，双曲线(0)ky k x=>上的任意一点到0x =与0y =的距离之积是常数，即xy k =.探讨双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，则说明理由.18.冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）（1）求这40名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ；（2）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N （μ，2σ），用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ.利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”；（3）为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为23，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z ～N （μ，2σ），则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=.19.对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围；（3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．广东省2025届高三摸底测试（8月份）数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log ,1A y y x x ==>，{}2,1x B y y x -==>，则A B = （）A.∅ B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,1 D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】{}()2log ,10,A y y x x ==>=+∞ ，{}12,10,2xB y y x -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，因此，10,2A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：D.2.已知等边三角形ABC 的边长为1，那么BC AC AC AB AB BC ⋅+⋅+⋅=（）A.32B.32-C.12-D.12【答案】D 【解析】【分析】利用向量的数量积定义即可求解.【详解】因为等边三角形ABC 的边长为1，所以111cos6011cos6011cos1202BC AC AC AB AB BC ⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故选：D.3.已知()1sin cos ,0,π5ααα+=∈，则2cos22sin 1tan2ααα+=-（）A.717-B.247-C.1-D.2【答案】A 【解析】【分析】先根据同角三角函数的基本关系，求sin ,cos ,tan ααα的值，再用倍角公式求tan 2α，再利用二倍角的余弦公式化简即可求值.【详解】由1sin cos 5αα+=及()22sin cos 1,0,πααα+=∈，得434sin ,cos ,tan 553ααα==-=-.所以22tan 24tan21tan 7ααα==-，所以222cos22sin cos sin 71tan21tan217αααααα++==---.故选：A4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.若直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（）A.//αβ，//l αB.α与β相交，且交线平行于lC.αβ⊥，l α⊥D.α与β相交，且交线垂直于l【答案】B 【解析】【分析】假设//αβ得到矛盾，确定α与β相交，设a αβ⋂=，过直线n 一点，作//b m ，设b 与n 确定的平面为γ，根据l γ⊥，a γ⊥得到答案.【详解】若//αβ，则由m ⊥平面α，n ⊥平面β，可得//m n ，这与m ，n 是异面直线矛盾，故α与β相交，A 错误；设a αβ⋂=，过直线n 一点，作//b m ，设b 与n 确定的平面为γ.因为l m ⊥，所以l b ⊥，又l n ⊥，b 与n 相交，,b n γ⊂，所以l γ⊥，因为m α⊥，所以b α⊥，又a α⊂，所以a b ⊥r r，因为n β⊥，所以a β⊂，a n ⊥，又b 与n 相交，,b n γ⊂，所以a γ⊥，又因为l α⊄，l β⊄，所以l 与a 不重合，所以//l a ，B 正确，D 错误；因为//l a ，l α⊄，a α⊂，所以//l α，C 错误.故选：B.5.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个10人的“群”，其中一人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（）A.56种B.120种C.84种D.210种【答案】C 【解析】【分析】简单的组合问题，直接求解就可以了.【详解】由于“群里”总共10人，其中1人发了信息，3人能看到信息，所以这9人中有3人与发信息的人是好友，所以“好友”关系的可能情况有39C 84=（种）.故选：C6.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x 的图象在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝4x －3，则函数y ＝f (x )的极大值为（）A.1B.527-C.-2527D.－1【答案】A 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义求得a 的值，再根据导数的正负判断极值点，求得极大值.【详解】由由题意得2()321f x x ax +'=-,故(1)3214f a '=+-=，则1a =，所以2()321f x x x '=+-，令2()3210f x x x '=+-=，则11x =-，213x =，当1x <-或13x >时，()0f x '<；当113x -<<时，()0f x '>，故函数()f x 在1x =-时取得极大值为(1)1111f -=-++=，故选：A.7.已知抛物线2:8C y x =，圆22(2):4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是A.1324M M M M ⋅ B.14FM FM ⋅C.1234M M M M ⋅ D.112FM M M ⋅【答案】C 【解析】【详解】【分析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==．过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ，则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确．对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．点睛：抛物线定义的两种应用：（1）当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d ，则|MF |＝d ，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；（2）利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．8.已知函数()f x 是定义域为R 的函数，()()20f x f x ++-=，对任意1x ，[)21,x ∈+∞()12x x <，均有()()210f x f x ->，已知a ，b ()a b ≠为关于x 的方程22230x x t -+-=的两个解，则关于t 的不等式()()()0f a f b f t ++>的解集为（）A.()2,2- B.()2,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】D 【解析】【分析】由题可得函数()f x 关于点()1,0对称，函数()f x 在R 上单调递增，进而可得()()01f t f >=，利用函数的单调性即得.【详解】由()()20f x f x ++-=，得()10f =且函数()f x 关于点()1,0对称．由对任意1x ，[)21,x ∈+∞()12x x <，均有()()210f x f x ->，可知函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．又因为函数()f x 的定义域为R ，所以函数()f x 在R 上单调递增．因为a ，b ()a b ≠为关于x 的方程22230x x t -+-=的两个解，所以()2Δ4430t =-->，解得22t -<<，且2a b +=，即2b a =-．又()()20f x f x ++-=，令x a =-，则()()0f a f b +=，则由()()()0f a f b f t ++>，得()()01f t f >=，所以1t >．综上，t 的取值范围是()1,2.故选：D ．二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设,A B 两点的坐标分别是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，设直线AM BM ､的斜率分别为12k k ､，下列说法正确的是（）A.当1249k k =-时，点M 的轨迹是椭圆的一部分B.当1249k k =时，点M 的轨迹是双曲线的一部分C.当122k k -=时，点M 的轨迹是抛物线的一部分D.当122k k +=时，点M 的轨迹是椭圆的一部分【答案】ABC【解析】【分析】设s ，求出1k 和2k ，每个选项代入公式判断.【详解】设s ，则12,11y y k k x x ==+-，当1249k k =-时，即2241119y y y x x x ⋅==-+--，有()229114y x x +=≠±，故A 正确；当1249k k =时，有()229114y x x -=≠±，故B 正确；当122k k -=时，222111y y y x x x --==+--，即()211y x x =-+≠±，故C 正确；当122k k +=时，222111y y xy x x x +==+--，即()211xy x x =-≠±显然不是椭圆，故D 错误.故选：ABC10.已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，令()()()g x f x f x =-'，则下列说法正确的是（）A.π26g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.函数()g x 图象的对称轴方程为()11ππ12x k k =+∈Z C.若函数()()2h x g x =+的两个不同零点分别为12,x x ，则12x x -的最小值为π2D.函数()g x 的图象上存在点P ，使得在点P 处的切线斜率为−2【答案】ACD【解析】【分析】根据图象，先求出函数()f x 的解析式，进一步可求()g x 的解析式，通过函数性质的分析逐项进行判定.【详解】由图象可知2A =，设()f x 的最小正周期为T ，又2πππ3642T ω-==，解得1ω=，由图可得ππ2cos 266f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，即()π2cos 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此()π2sin 6f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭'，所以()πππ2cos 2sin 6612g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即可得π26g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；令πππ122x k +=+（)k ∈Z ，解得()5ππ12x k k =+∈Z ，所以函数()g x 图象的对称轴方程为()5ππ12x k k =+∈Z ，故B 错误；令()()20h x g x =+=，即可得()2g x =-，解得()111π2π3x k k =-∈Z ，()2227π2π6x k k =+∈Z 可得()12213π2π2x x k k -=+-，当211k k -=-时，12x x -的最小值为π2，故C 正确；易知()π12g x x ⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭'，因此存在点P ，使得在P 点处的切线斜率为−2，故D 正确.故选：ACD11.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，()2f z z =就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式()1n n z f z +=，n ∈N 可以得到一列值012,,,,,n z z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅．如果存在一个正数M ，使得n z M <对任意n ∈N 都成立，则称0z 为()f z 的收敛点；否则，称为()f z 的发散点．则下列选项中是()2f z z =的收敛点的是（）A. B.i - C.1i - D.1i 22-【答案】BD【解析】【分析】根据计算公式()21n n n z f z z +==结合收敛点的定义判断即可.【详解】对A ，由21n n z z +=2，4，16…不合题意，故A 错误；对B ，由21n n z z +=可得数列i -，1-，1，1…则存在一个正数2M =，使得n z M <对任意n ∈N 都成立，满足题意，故B 正确；对C ，由21n n z z +=可得数列1i -，2i -，4-，16…不满足题意，故C 错误；对D ，由21n n z z +=可得数列i 11,1,1i 22222222i,----+--…因为11111i 222222i i 22i ----=-=+==-，存在一个正数2M =，使得n z M <对任意n ∈N 都成立，满足题意，故D 正确；故选：BD三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知ABC V 的三个内角分别为,,A B C ，若sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，则角B 的取值范围是__________.【答案】π0,3⎛⎤ ⎝⎦【解析】【分析】根据已知条件运用等差数列性质以及正弦定理得到，运用余弦定理和重要不等式即可求解.【详解】由等差中项公式和正弦定理得2sin sin sin 2B A C b a c =+⇔=+，由余弦定理得()()222222224()32cos 288a c a c a c ac a c b B ac ac ac +-++-+-===，()2222326212cos 882a c acac ac a c ac B ac ac +--+≥⇒=≥= ，当且仅当a c =时，等号成立，又∈0,π及cos y x =在0,π内单调递减，故π0,3B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦13.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体，,,,B D H F 对应四个三棱柱，A C I G ,,,对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为__________.【答案】28【解析】【分析】令四棱锥的底面边长为a ，高为h ，三棱柱的高为b ，由四个三棱柱的体积之和与四个四棱锥的体积之和，可得23a h =和6abh =，则有2b a =，求出中间长方体的体积，即可得该正四棱台的体积.【详解】如图，令四棱锥的底面边长为a ，高为h ，三棱柱的高为b ，依题意，四棱锥的体积为2113a h =，即23a h =，三棱柱的体积为132ahb =，即6abh =，因此2,b a =于是长方体的体积22412V b h a h ===，所以该正四棱台的体积为1241228++=.故答案为：2814.袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的数学期望__________．【答案】32##1.5【解析】【分析】由古典概型概率计算公式列方程求得黑球个数，从而可根据超几何分布的数学期望公式进行求解.【详解】若黑球数小于2，则至少得到一个白球的概率为1，矛盾，设有()2n n ≥个黑球，则()22101C 711C 909n n n P -=-=-=，解得52n =≥满足题意，由题意白球的个数为X 服从超几何分布，所以随机变量X 的数学期望为()10533102M E X n N -=⋅=⨯=.故答案为：32.四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知A ，B ，C 为ABC V 的三个内角，向量(22sin ,sin cos )m A A A =-+ 与(sin cos ,1sin )n A A A =-+ 共线，且0AB AC ⋅> .（1）求角A（2）求函数22sincos 22B C B y -=+的值域.【答案】（1）π3（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得(22sin )(1sin )(sin cos )(sin cos )A A A A A A -+=+-，进而得23sin 4A =，即可求解π3A =.（2）根据余弦的二倍角公式以及余弦的和差角公式化简得11sin cos 22y B B =+-，然后根据辅助角公式得π1sin 6y B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，进而根据角的范围就可求解值域.【小问1详解】由题意，知(22sin )(1sin )(sin cos )(sin cos )A A A A A A -+=+-，整理，得()22221sin sin cos A A A -=-，即2222sin 2sin 1A A -=-，解得23sin 4A =.已知A 为ABC V 的内角，所以3sin 2A =，由0AB AC ⋅> ，知A 为锐角，所以π3A =.【小问2详解】由（1）及题意知2π3B C +=，所以2ππ312sin cos 1cos cos 1sin cos 23322B y B B B B B ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin 6B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭又2π03B <<，所以πππ<662B -<-，所以1πsin 126B ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，因此122y <<，故函数22sin cos 22B C B y -=+的值域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.16.如图，已知四边形ABCD 和四边形ABEF 都是边长为1的正方形，且它们所在的平面互相垂直.M N ､两点分别在正方形对角线AC 和BF上移动，且(0CM BN a a ==<<.（1）当M N ､分别为AC BF ､的中点时，求证：MN ∥平面BCE ；（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）先证线线平行，推出线面平行.（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法解决问题.【小问1详解】如图：连接,CE AE ，M N ､分别为AC AE ､的中点，MN ∴∥CE ，又MN ⊄平面,BCE CE ⊂平面BCE .//MN ∴平面BCE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是正方形，所以BA BC ⊥;又四边形ABEF 是正方形，所以BA BE ⊥，又平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，所以BE ⊥平面ABCD .BA ，⊂BC 平面ABCD ，所以BA BE BC ､､所在直线两两垂直.故可以B 为坐标原点，BA BE BC ､､所在直线分别为x 轴､y 轴､z轴建立空间直角坐标系.则()0,0,0B ,()22221,0,0,,0,1,,,02222A M a a N a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.0,,122MN a a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，MN ∴=.2a ∴=时，min ||2MN = .当M N ､分别为AC BF ､的中点时，MN 的长最小，所以1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.取MN 的中点G ，连接AG BG ､，则111,,244G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.,,AM AN BM BN G == 为MN 的中点，,AG MN BG MN ∴⊥⊥，即AGB ∠是平面MNA 与平面MNB 所成二面角.设平面MNA 与平面MNB 的夹角为α.111111,,,,,244244GA GB ⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1cos 3GA GB GA GB α⋅∴== .∴所求夹角的余弦值为13.17.一般地，我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.（1）请用上述定义证明反比例函数1y x =的图象是双曲线；（2）利用所学的知识，指出双曲线(0)k y k x=>的焦点坐标与渐近线方程；（3）我们知道，双曲线(0)k y k x =>上的任意一点到0x =与0y =的距离之积是常数，即xy k =.探讨双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，则说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）焦点：(12,F F ；准线：0x =和0y =（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义判定函数1y x =的图象是双曲线.（2）根据双曲线的对称轴平分双曲线的渐近线求焦点坐标.（3）采用类比的方法猜测结论，再结合点到直线的距离公式证明.【小问1详解】证明：观察图象可知若函数1y x =的图象是双曲线，则它一定是等轴双曲线，且x 轴､y 轴是1y x =图象的渐近线，直线y x =是双曲线的对称轴，它与双曲线1y x=的两个交点()()121,1,1,1A A --是双曲线的两个顶点，实轴长2a =.两焦点坐标为(12,F F .设点s 在函数1y x =的图象上，则1y x =，即1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，（i ）当0x >时，12x x+≥，所以12PF PF -=112x x x x ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（ii ）当0x <时，从而12x x+≤-，同理，有21PF PF -=.因此，无论点s 在第一象限或者在第三象限，均有||12PF PF -=（小于12F F ）.综上，函数1y x=的图象是双曲线.【小问2详解】函数(0)k y k x =>的图象是以(12,F F 为两焦点，实轴长2a =的双曲线，两渐近线方程分别为0x =和0y =.【小问3详解】因为0x =与0y =是双曲线(0)k y k x=>的两条渐近线，有xy k =.类似地：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的任意一点到它的两条渐近线的距离之积是常数.证明：设()11,D x y 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点，则有22222211b x a y a b -=.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=.于是点D=222222112222b x a y a b a b a b -=++，结论成立.18.冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）（1）求这40名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ；（2）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N （μ，2σ），用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ.利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”；（3）为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为23，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z ～N （μ，2σ），则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）74x =，7s ≈；（2）合格；（3）225.【解析】【分析】（1）根据平均数、方差、标准差的计算公式进行求解即可；（2）根据题中所给的公式进行求解即可；（3）根据独立事件和条件概率的公式进行求解即可.【小问1详解】702480167440x ⨯+⨯==，第一组学生的方差为()2222221122412470424s x x x ⎡⎤=++⋅⋅⋅+-⨯=⎣⎦；解得()22221224241670x x x ++⋅⋅⋅+=+；第二组学生的方差为()222222225264011680616s x x x ⎡⎤=++⋅⋅⋅+-⨯=⎣⎦；解得()2222252630163680x x x ++⋅⋅⋅+=+.这40名学生的方差为()()22222222122425264014040s x x x x x x x ⎡⎤=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-⎣⎦()()222124167016368040744840⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦，所以7s =≈；【小问2详解】由74x =，7s ≈，得μ的估计值74μ=，σ的估计值7σ=.()()2260880.9544P X P X μσμσ-<<+=<<=，∴()()10.954460880.02282P X P X -<=≥==.从而高三年级1000名学生中，不合格的有10000.022823⨯≈（人），又23505%10001000<=，所以高三年级学生体能达标为“合格”；【小问3详解】设王强在这轮比赛得3分为事件A ，他以4:2的比分获胜为事件1A ，他以4:3的比分获胜为事件2A .则()3231562121603333P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3332672123203333P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；所以()()127800()3P A P A P A =+=，设王强前3局比赛获胜的事件为B ，则()32337212212643333333P AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()64280025P AB P B A P A ===∣.19.对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围；（3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）22k π≥（3）存在，4T ≥【解析】【分析】（1）取特殊值使得()()f x f x T ≤+不成立，即可证明；（2）根据“T 同比不减函数”的定义，sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，分离参数k ，构造函数，转化为k 与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数()f x 解析式，根据“T 同比不减函数”的定义，取1x =-，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，求出T 的范围，然后证明对任意的x R ∈，()()f x T f x +≥恒成立，即可求出结论.【详解】证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=，因为()()()()2000f x f T T f f x T =-=>=+，即()()f x f x T ≤+不恒成立，所以()2f x x =不是“T 同比不减函数”.（2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，()2sin cos 4x x x k πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥=对一切x R ∈成立.所以max4x k πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪≥= ⎪ ⎪⎝⎭.（3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”，()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩，当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，所以13T -+≥，所以4T ≥，而另一方面，若4T ≥，（Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+112T x T x T =++--++-因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-，所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立.（Ⅱ）当∈−1,+∞时，()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+211T x x =---++因为()()11112x x x x +--≥-+--=-，所以()()220f x T f x T +-≥--≥，即()()f x T f x +≥成立.综上，恒有有()()f x T f x +≥成立，所以T 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.。
吉林省长春市东北师范大学附属中学2025届高三上学期第二次摸底考试数学试题(含答案)
吉林省东北师范大学附属中学2025届高三上学期第二次摸底考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={x ∈N|−2<x⩽1}，B ={x |lg (x +2)<1}，则A ∩B =( )A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1}D. {−1}2.已知y =f′(x )是y =f (x )的导函数，则“f′(x 0)=0”是“x 0是函数y =f (x )的一个极值点”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f (x )={0,x =0x−sin x ln |x|,x ≠0的图象大致为( )A. B.C. D.4.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a(亿吨)后开始下降，其二氧化碳的排放量S(亿吨)与时间t(年)满足函数关系式S =ab t ，若经过5年，二氧化碳的排放量为4a5(亿吨).已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为a4(亿吨)，则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？(参考数据：lg2≈0.3)( )A. 28B. 29C. 30D. 315.已知α∈(π2,π)，且3cos 2α−sin α=2，则( )A. cos(π−α)=23 B. tan(π−α)=24 C. sin (π2−α)=53 D. cos (π2−α)=546.已知向量a=(1,0),b=(1,23)，则向量a+b在向量a上的投影向量为( )A. (2,23)B. 2C. aD. 2a7.已知定义在R上的可导函数f(x)，对∀x∈R，都有f(−x)=e2x f(x)，当x>0时f(x)+f′(x)<0，若e2a−1f(2a−1)≤e a+1f(a+1)，则实数a的取值范围是( )A. [0,2]B. (−∞,−1]∪[2,+∞)C. (−∞,0]∪[2,+∞)D. [−1,2]8.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,▵ABC的面积为S，则Sa2+4bc的最大值为( )A. 216B. 28C. 91516D. 91532二、多选题：本题共3小题，共18分。
安徽省重点高中联盟校(A10联盟)2025届高三第一次摸底考试数学试题含答案
高三数学试题（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足()1i 2z +=，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算计算得到1i z =-，即可判断.【详解】由()1i 2z +=可得，22(1i)1i 1i 2z -===-+，即复数z 在复平面内对应的点为(1,1)Z -在第四象限.故选：D.2.在ABC V 中，2,CD DB AE ED == ，则CE =（）A.1163AB AC -B.1263AB AC -C.1536AB AC -D.1133AB AC -【答案】C 【解析】【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，将待求向量用基向量AB 和AC表示即得.【详解】如图所示，由题意，1112()2223CE CA CD AC CB=+=-+⨯1115()2336AC AB AC AB AC =-+-=-.故选：C.3.已知直线y ax =与曲线()()ln f x x b =+相切于点()()0,0f ，则a b +的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出切点为()0,0，进而求得1b =，得到()()ln 1f x x =+，结合导数的几何意义，得到1a =，进而得到答案.【详解】由题意，直线y ax =与曲线()()ln f x x b =+相切于点()()0,0f ，即切点为()0,0，所以ln 0b =，解得1b =，所以()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，可得()01f '=，即切线的斜率为1k =，所以1a =，所以2a b +=.故选：B.4.已知椭圆22:14x y C λ+=（0λ>且4λ≠），则“C 的离心率22e =，是8λ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆离心率定义，对参数λ的取值进行分类讨论，分别判断充分性和必要性即可.【详解】椭圆22:14x y C λ+=（0λ>且4λ≠），当C 的离心率2e =，若04λ<<，有2e ==，解得2λ=，即充分性不成立；当8λ=时，得椭圆22:184x y C +=，此时离心率为2e ===，即必要性成立.所以“C 的离心率2e =，是8λ=”的必要不充分条件.故选：B.5.若1为函数()()()21f x x x a =--的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(),1-∞ C.()1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得()()()1321f x x x a '=---，结合1x =是函数()f x 的一个极大值点，得出不等式2113a +>，即可求解.【详解】由函数()()()21f x x x a =--，可得()()()1321f x x x a '=---，令()0f x '=，可得1x =或213a x +=，因为1x =是函数()f x 的一个极大值点，则满足2113a +>，解得1a >，所以实数a 的取值范围为()1,+∞.故选：C.6.若sin140tan 40λ︒-︒=，则实数λ的值为（）A.2- B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式和化切为弦将已知式化成sin 40cos40sin 40λ︒︒=︒+︒，再运用二倍角公式和辅助角公式化简即可求得λ的值.【详解】由sin140tan 40λ︒-︒=sin 40sin 40cos40λ︒︒-=︒即sin 40cos40sin 40λ︒︒=︒+︒，即1sin802sin(4060)2sin802λ=+= ，因sin800> ，解得4λ=.故选：D.7.设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是奇函数，()23f x +是偶函数，则()5f =（）A.0B.1- C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】根据函数性质，结合“赋值法”求函数值.【详解】因为函数()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，令0x =得：()()11f f =-⇒()10f =；因为()23f x +为偶函数，所以()()2323f x f x -+=+，令1x =得：()()15f f =，所以()50f =.故选：A8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2C y x =的焦点为F ，2OM ON OF =-=-，过点M 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且()01MA MB λλ=<<，直线BN 与C 的另一个交点为P ，若直线AN 与PM 的斜率满足3AN PM k k =，则AB =（）A.2B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由题意得(1,0),(1,0)M N -，则可设直线:1l x my =-，直线:1BN x ny =+，分别与抛物线方程联立，设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由韦达定理可得31y y =-，31x x =，结合3AN PM k k =，可解得11,x y 的值，从而可得m 的值，再利用弦长公式即可求解.【详解】由题意得1(,0)2F ，2OM ON OF =-=- ，(1,0),(1,0)M N ∴-，设直线:1l x my =-，直线:1BN x ny =+，联立221y x x my ⎧=⎨=-⎩，得2220y my -+=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则12122,2y y m y y +==，联立221y x x ny ⎧=⎨=+⎩，得2220y ny --=，则23232,2y y n y y +==-，则31y y =-，则31x x =，故311131,111AN PM y y yk k x x x ===--++，由3AN PM k k =，得1111311y y x x -=⋅-+，解得21111,212x y x ===，则11132x m y +==±，故2AB ==.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷一枚质量均匀的骰子两次．记事件A =“第一次抛出的点数是1”，事件B =“两次抛出的点数不同”，事件C =“两次抛出的点数之和是8”，事件D =“两次抛出的点数之和7”，则（）A.A 与D 相互独立B.B 与D 相互独立C.()2|15P C B =D.()13P C D =【答案】AC 【解析】【分析】根据独立事件的概率公式可判断AB 的正误，根据条件概率的计算公式可求()|P C B ，从而可判断C 的正误，根据互斥事件的概率公式可求()P C D ，故可判断D 的正误.【详解】对于A ，由题设有()161666P A ⨯==⨯，()61666P D ==⨯，()166P AD =⨯，故()()()P AD P A P D =，故,A D 相互独立，故A 正确.对于A ，由题设有()655666P B ⨯==⨯，()61666P BD ==⨯，故()()()P BD P B P D ≠，故,B D 不相互独立，故B 错误.对于C ，()()()4236|5156P P BC P B C B ===，故C 正确.对于D ，由题设,C D 互斥，故()()()511166636P C D P C P D =+=+=⨯ ，故D 错误，故选：AC.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1DD 的中点，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥111B A D P -的体积为定值B.直线1//B E 平面1A BDC.当11A P AC ⊥时，1A P AC ⊥D.直线1B E 与平面11CDD C 所成角的正弦值为23【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，将三棱锥111B A D P -转换成111P A B D -后易得其体积为定值；对于B ，建系后，证明1B E与平面1A BD 的法向量不垂直即可排除B 项；对于C ，设出(,,0)P m n ，利用110AC A P ⋅=证得m n =，再计算1AC A P ⋅，结果不为0，排除C 项；对于D ，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】对于A ，如图1，因111111111111113326B A D P P A B D A B D V V S --==⨯=⨯= ,故A 正确；对于B ，如图2建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,0,)2D B A BE ,于是，111(1,1,0),(1,0,1),(1,1,2DB DA B E ===--- ，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z = ，则10n DB x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可取(1,1,1)n =--r ，由1111(1,1,1)(1,1,)110222n B E ⋅=--⋅---=-++=≠ 知n 与1B E 不垂直，故直线1B E 与平面1A BD 不平行，即B 错误；对于C ，由上图建系，则1(0,1,1)(1,0,0)(1,1,1)AC =-=- ,(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)AC =-=-,因P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点,不妨设(,,0)P m n ，则,[0,1]m n ∈，1(1,,1)A P m n =--，由题意，11(1,1,1)(1,,1)110AC A P m n m n n m ⋅=-⋅--=-+-=-=，即m n =，于是(,,0)P m m ，此时1(1,1,0)(1,,1)110AC A P m m m m ⋅=-⋅--=-+=≠ ，故1A P 与AC不垂直，即C 错误；对于D ，由图知平面11CDD C 的法向量可取为(1,0,0)m = ，因11(1,1,)2B E =--- ，设直线1B E 与平面11CDD C 所成角为θ，则111||12sin |cos ,|33||||12B E m B E m B E m θ⋅=<>===⋅⨯，故D 正确.故选：AD.11.已知点(),A m n 在圆22:4O x y +=外，过点A 作直线AM ，AN 与圆O 相切，切点分别为M ，N ，若60MAN ∠=︒，则（）A.8mn ≤ B.221498m n +≥C.[]91,17m +-∈D.当,0m n >742≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据相切关系可得2216m n +=，根据不等式即可判断AD ，利用不等式的乘“1”法即可判断B ，根据三角换元即可结合三角函数的性质求解C.【详解】由于AM ，AN 与圆O 相切，且60MAN ∠=︒，故120MON ∠=︒,60MOA ∠=︒，由2MO =,得4AO =，故22164m n +=>，符合题意，故22162mn m n +=≥，即8mn ≤，当且仅当228m n ==等号成立，故A 正确，()22222222221411414195516161616n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+≥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当223223n m ==时等号成立，B 错误，令4sin ,4cos m n θθ==，则[]π94sin 98sin 91,173m θθθ⎛⎫+-=+-=+-∈ ⎪⎝⎭，C 正确，当,0m n >时,()2222162m n m n mn mn m n +=++=+⇒+=，由于8mn ≤，故522m n +=≤==，由于2+≤≤742+≤，当且仅当m n ==等号成立，故D 正确，故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量()2~2,3N ξ，若()()321P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由题意得，32122a a -++=⨯，解得2a =．故答案为：213.已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则正实数ω的取值范围为__________．【答案】50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】求导，即可根据余弦函数的单调性求解.【详解】由题意得，()πcos 6x x f ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππππ,6662x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，只需πππ62ω+≤，解得503ω<≤故答案为：50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦14.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()*122,,,,k A A A k k ≥∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称无序子集组12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分．已知集合106x I x x -⎧⎫=∈≤⎨⎬-⎩⎭N ，则集合I 的所有划分的个数为___________．【答案】51【解析】【分析】化简集合，再由新定义及组合知识分类求解即可.【详解】由题意得，{}{}N 161,2,3,4,5|I x x =∈≤<=，共有5个元素，则2划分有1255C C 15+=个，3划分有15512432C C C 2C 25+=个，4划分有25C 10=个，5划分有1个，所以共有划分的个数为51个．故答案为；51四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在ABC V 中，内角,,A B C 满足()sin sin sin B A B C +-=．（1）求A ；（2）若ABC V 的外接圆半径为2，且1cos cos 6B C =-，求ABC V 的面积．【答案】（1）π3A =（2）3【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦化简后可得1cos 2A =，故可求A ；（2）根据三角变换可得1sin sin 3B C =，故可求面积.【小问1详解】在ABC V 中，πC A B =--，∴()sin sin C A B =+，∵()sin sin sin B A B C +-=，∴()()sin sin sin B A B A B +-=+，则sin sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A B A B A B +-=+化简得sin 2cos sin B A B =．又sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又∵0πA <<，∴π3A =．【小问2详解】∵π3A =，∴2π3B C +=，∴()1cos 2B C +=-．即1cos cos sin sin 2B C B C -=-，又1cos cos 6B C =-，∴111sin sin 263B C =-=记内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，∵ABC V 的外接圆半径2R =，∴由正弦定理可得21sin sin 2243b c bc B C R R R =⋅==，∴163bc =，∴1116sin 22323ABC S bc A ==⨯⨯= .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，CAB CBA ∠=∠，()1,01BC AC BM BA λλ⊥=<<．（1）求AB 的长；（2）若二面角1B B C M --λ的值．【答案】（1）AB =（2）12λ=【解析】【分析】（1）证明⊥BC 平面11ACC A ，则有BC AC ⊥，由2CA CB ==，求得AB =（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角1B B C M --的余弦值，可求出λ的值．【小问1详解】三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ，CB ⊂平面ABC ，所以1CC CB ⊥．又1BC AC ⊥，111CC AC C ⋂=，11,CC AC ⊂平面11ACC A ，所以⊥BC 平面11ACC A ，因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥，而CAB CBA ∠=∠，故2CA CB ==，故AB =．【小问2详解】由1CC ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，以C 为原点，1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxy z ，因为12CA CB CC ===，所以()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2C A B B ，故()2,2,0BA =- ，因为1)0(BM BA λλ=<<，故()2,22,0M λλ-．易知()1,0,0m =是平面1BCB 的法向量．因为()()12,22,0,0,2,2CM CB λλ=-=．设 =s s 是平面1CMB 的法向量、所以100n CM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()2220220x y y z λλ⎧+-=⎨+=⎩，取1x λ=-，得,y z λλ=-=，所以()1,,n λλλ=--，因为二面角1B B C M --2，故余弦值为33，则23cos ,31321m n m n m n λλ⋅===⨯-+，解得12λ=.17.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点，直线4:3l y x=与E 交于A ，B 两点，220F A F B =⋅﹒（1）求E 的离心率；（2）M 为E 上一点（不在x 轴上），过2F 作12F MF ∠平分线的垂线，垂足为N ，若1ON =，求12AF F 的面积．【答案】（15（2）4【解析】【分析】（1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可；（2）结合图形特征，再应用面积公式计算.【小问1详解】由题意得，直线43y x =与双曲线两交点A ，B 关于原点对称，不妨设点A 在第一象限，由220F A F B =⋅，得22F A F B ⊥，设()2,0F c ，则24,tan 3OA c AOF =∠=，所以2243sin ,cos 55AOF AOF ∠=∠=，则34,55A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程，得222291612525c c a b-=，即()2222291612525c c a c a -=-，化简得222169251e e e -=-，即42950250e e -+=，因为1e >，所以25e =，则e =，即双曲线E ．【小问2详解】因为点2F 关于12F MF ∠的平分线MN 的对称点G 在1MF 或1MF 的延长线上，所以1122F G MF MF a =-=，又ON 是21F F G 的中位线，所以ON a =，因为1ON =，所以1a =，因为e =，所以双曲线E 的方程为2214y x -=，所以c =，则3545,55A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．又12||2F F c ==，所以121425AF F S =⨯=△．18.已知函数()2sin f x x x =-．（1）若函数()F x 与()f x 的图象关于点π,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，求()F x 的解析式；（2）当[]0,πx ∈时，()f x m ≤，求实数m 的取值范围；（3）判断函数()()()11g x x f x =++在π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的零点个数，并说明理由．【答案】（1）()π22sin F x x x =+--（2）π,3⎫-+∞⎪⎭（3）零点个数为1，理由见解析【解析】【分析】（1）结合函数的对称中心求出函数解析式；（2）根据给定区间恒成立求参转化为最值问题；（3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果.【小问1详解】由题意得，()()()()2π22sin πππ22sin F x f x x x x x =--=--+-=+--．【小问2详解】由题意得，()[]2co ,πs 1,0f x x x '=-∈，令()'0f x =，解得π3x =，所以当π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>；当π,π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x <′，所以()f x 在π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()f x的最大值为π3π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭，由于[]0,πx ∈时，()f x m ≤，所以实数m的取值范围为π,3⎫+∞⎪⎭【小问3详解】令()0g x =，则()()12sin 10x x x +-+=，整理得12sin 01x x x -+=+，令()12sin 1h x x x x =-++，则()()212cos 11h x x x '=--+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<．所以()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()πππ1π1112sin 20,π2sinπππ0ππ2222π1π11122h h ⎛⎫=-+=-+>=-+=-+< ⎪++⎝⎭++，所以由零点存在性定理得，()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点．当[)π,x ∈+∞时，()12sin 2π101h x x x x =-+<-+<+，此时函数无零点．综上所述，()h x 在π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上存在唯一零点，即函数()g x 在π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数为1．19.定义：从数列{}n a 中随机抽取m 项按照项数从小到大的顺序依次记为12,,,m k k k a a a ()12m k k k <<< ，将它们组成一个项数为m 的新数列{}n b ，其中()1,2,,i i k b a i m == ，若数列{}n b 为递增数列，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”；（1）已知数列{}n a 满足42,1,3,52,2,4,6n n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，数列{}n b 是{}n a 的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的{}n b ﹔（2）已知数列{}n a 是项数为m 的等比数列，其中3m ≥，若数列{}n b 为1，16，81，求证：数列{}n b 不是数列{}n a 的“3项递增衍生列”；（3）已知首项为1的等差数列{}n a 的项数为14，且141105ii a==∑，数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”，其中114m ≤≤．若在数列{}n b 中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m 的最大值．【答案】（1）{}n b 为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】（1）先列出数列的前6项，根据“3项递增衍生列”，可列出满足条件的所有数列.（2）利用“反证法”证明数列不是数列的“3项递增衍生列”.（3）先明确数列的各项，再根据“m 项递增衍生列”的概念分析数列的构成特点，可求数列的最大项数.【小问1详解】由题意得，数列为1，8，3，4，5，2，若是数列的“3项递增衍生列”，且1345<<<，则为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5﹒【小问2详解】设等比数列的公比为q ．假设数列是数列的“3项递增衍生列”，则存在1231k k k m ≤<<≤，使1231,16,81k k k a a a ===，所以31212131,k k k k k k k k a a qa a q --==，则312116,81k k k k q q --==，所以()3116221log 81log 81log 3*log 16q q k k k k -===-．因为*2131,k k k k --∈N ，所以3121k k k k --为有理数，但2log 3为无理数，所以（*）式不可能成立．综上，数列不是数列的“3项递增衍生列”．【小问3详解】设等差数列的公差为d ．由14111491105ii aa d ==+=∑，又11a =，所以1d =，故数列为1，2，3，4，5，L ，14﹒令i i k b a =，因为数列中各项均为正整数，故313k k a a -≥﹔（若312k k a a -=，则123,,k k k a a a ，成等差数列）同理533k k a a -≥，且5331k k k k a a a a -≠-，所以513k k a a -≥，同理957k k a a -≥，且9551k k k k a a a a -≠-，所以9115k k a a -≥，这与已知条件矛盾，所以8i k ≤，此时可以构造数列为1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列．综上所述，m 的最大值为8．【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解决的关键有两点：一是紧抓新数列的定义，如题目中“m 项递增衍生列”条件的使用，是解题的入手点；二是应用数列的单调性或等差等比通项特性等重要性质构造等量或不等关系解决问题.。
高三数学模拟试卷含答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，则$f(x)$的对称中心为（）A. $(0, 1)$B. $(1, 2)$C. $(1, 1)$D. $(1, 0)$2. 若$a, b, c$是等差数列，且$a + b + c = 9$，$ab + bc + ca = 15$，则$abc$的值为（）A. 9B. 12C. 18D. 243. 已知圆的方程为$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$，则该圆的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$的图像与直线$y = x$的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在直角坐标系中，若点$A(2, 3)$关于直线$y = x$的对称点为$B$，则点$B$的坐标为（）A. $(3, 2)$B. $(2, 3)$C. $(3, 3)$D. $(2, 2)$6. 已知函数$f(x) = \log_2(x + 1)$，若$f(3) = f(x)$，则$x$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 若$\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}$，则$\sin\alpha\cos\alpha$的值为（）A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$D. 08. 在三角形ABC中，$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$，则$\cos B$的值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{5}{4}$9. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3 = 18$，$S_6 = 54$，则数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 若函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$在区间$[1, 3]$上单调递增，则$f(2)$的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$的图像的对称轴为______。
陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题(含答案)
陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲、乙两支足球队比赛，两队踢平的概率为16，甲队获胜的概率为12，则乙队获胜的概率为( )A. 23B. 12C. 13D. 162.已知复数z =−1−2i ，则z 2+2z =( )A. 3−8iB. 3C. −5−8iD. −53.已知实数x ，y 满足x 2+y 2=6x ，则y 的最小值为( )A. −3B. −2C. 0D. 34.在(2−1x )5的展开式中，1x 的系数为( )A. 160B. 80C. −80D. −1605.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c sin B +b cos C =a ，则B =( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π46.在数列{a n }中，a 1=1，a n +1a n =n ，记{a n }的前n 项和为S n ，则S 6−2S 5+S 4=( )A. 80B. 96C. 112D. 1287.设a =81，b =4π，c =π4，已知log 23>1.58，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a8.已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，准线l 交x 轴于E 点，A ，B 分别为C 与l 上的点，且|AF|=|BF|，|BE|=4 3，则△AEF 与△BEF 的面积的比值为( )A. 1B.32 C.2 33D. 32二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，AB 是圆的一条动直径，P 为正六边形边上的动点，则PA ⋅PB 的可能取值为( )A. 9B. 11C. 13D. 1510.已知函数f(x)=e x −x ，g(x)=x−ln x ，则( )A. f(x)在(0,+∞)上单调递增B. g(x)在(0,+∞)上单调递增C. ∀x∈(1,+∞)，f(x)−g(x)>0D. ∀x∈(0,+∞)，f(x)+g(x)>211.已知椭圆C:x28+y24=1的左焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，直线l:x=t(|t|<22)与C交于P，Q两点，与x轴交于点D，则( )A. 满足∠A1PA2=2π3的点P有4个B. DA1⋅DA2=2DP⋅DQC. 当FP⋅FQ取最小值时，|DF|=13D. 当△PFQ的周长最大时，|PQ|=22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验中学高三级摸底考试数学(文科)试题 2008.10一、 选择题（每小题5分，共50分，每小题有且只有一个正确答案，请把答案填在答题卡上）1、若全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,2,1{=A ，}6,5,4{=B C U ，则集合=B A （）A ．}2,1{B ．}5{C ．}3,2,1{D ．}6,4,3{2、命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为 （ ）A ． 042,2≥+-∈∀x x R xB ． 042,2>+-∈∃x x R xC ． 042,2≤+-∉∀x x R xD ． 042,2>+-∉∃x x R x3、 已知：①2sin y x =；②3y x x =+；③cos y x =-；④5y x =，其中偶函数的个数为（ ）A.1B.2C.3D.44、下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是（ ）A ．sin 2xy = B ． sin y x = C ． tan y x =- D ． cos 2y x =-5、设函数))((R x x f ∈为奇函数，21)1(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则)5(f 等于（ ）A ．1B ．25C ．72D ．56、为了得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π B ．向右平移3π C ．向左平移6π D ．向左平移3π7、如图某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A 、B ，观察对岸的点C,测得75CAB ∠=，45CBA ∠=,且200AB =米.则A 、C 两点的距离为（ ）A.3米B.C.3D. 8、设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角x 为 ( ) A.6π B.4π C.3π D.π1259、函数sin(3)cos()cos(3)cos()3633y x x x x ππππ=+-+++的一条对称轴的方程是（ ）A ．4x π=B ．8x π=C ．4x π=-D ．2x π=-10、已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34()34(-+f f 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2二、填空题（每小题5分，共20分,请把答案填在答题卡上） 11、函数2log 2-=x y 的定义域为_____________。
12、若向量(1),(2,6),,a k b k R ==-∈，且a ⊥b ，则=+b a 。
13、 设x 、y 满足条件310x y y x y +≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩，则22(1)z x y =++的最小值 ．14、已知函数))((R x x f y ∈=满足)()(2x f x f -=+π，且当],[ππ-∈x 时，x x f cos )(=，则函数))((R x x f y ∈=与函数)0(lg >=x x y 的图象的交点的个数为_____。
实验中学高三级摸底考试数学(文科)答题卡 2008.10 总分一、选择题 得分二、填空题 得分11、 12、 13、 14、 三、解答题（共6小题，共80分）15、(本小题满分14分)已知向量)cos 3,(sin x x a =，)cos ,(cos x x b = ，b a x f ⋅=)(（1）若b a⊥，求x 的解集；（2）求)(xf 的周期及增区间．16、（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．17、(本小题满分14分)在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （1）求角C 的大小；（2）若ABC △，求最小边的边长．18、(本小题满分14分)在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台*()x N ∈的收入函数为2()300020R x x x =-（单位：元），其成本函数()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差。
（1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；（2）利润函数()P x 及边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值？班级 姓名 座号 得分19、（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,3n n a a S +==，求(1)234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式；(2)2462n a a a a ++++的值.20、(本小题满分14分)设32()f x ax bx cx =++的极小值为5-，其导函数的图象如图所示.(1)求()f x 的解析式，(2)若对任意的1[,]x e e∈都有3()3ln f x x x m ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.实验中学高三级摸底考试数学(文科)试题 2008.10二、 选择题（每小题5分，共50分，每小题有且只有一个正确答案，请把答案填在答题卡上） 1、已知全集}6,5,4,3,2,1{=U，集合}5,2,1{=A ，}6,5,4{=B C U ，则集合=B A （ A ）A ．}2,1{B ．}5{C ．}3,2,1{D ．}6,4,3{2、命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为 （B ）A ． 042,2≥+-∈∀x x R xB ． 042,2>+-∈∃x x R xC ． 042,2≤+-∉∀x x R x D ． 042,2>+-∉∃x x R x3. 已知函数：①2sin y x =；②3y x x =+；③cos y x =-；④5y x =，其中偶函数的个数为（ C ）A.1B.2C.3D.44．下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是 DA ．sin 2xy = B ． sin y x = C ． tan y x =- D ． cos 2y x =-5.设函数))((R x x f ∈为奇函数，21)1(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则)5(f 等于（ B ）A ．1B ．25C ．72D ．56、为了得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（B ）A ．向右平移6πB ．向右平移3πC ．向左平移6πD ．向左平移3π7． 如图某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A 、B ，观察对岸的点C,测得75CAB ∠=，45CBA ∠=,且200AB =米.则A 、C 两点的距离为AA.3米B.C. 3D.8.设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角x 为 ( B ) A.6π B.4π C.3π D.π1259、函数sin(3)cos()cos(3)cos()3633y x x x x ππππ=+-+++的图象的一条对称轴的方程是A ） A ．4x π=B ．8x π=C ．4x π=-D ．2x π=-10．已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34()34(-+f f 的值为（ C ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2二、填空题（每小题5分，共20分,请把答案填在答题卡上） 11、函数2log 2-=x y 的定义域为______),4[+∞_______。
12、若向量(1),(2,6),,a k b k R ==-∈，且a ⊥b ，则=+b a 。
13. 设x 、y 满足条件310x y y x y +≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩，则22(1)z x y =++的最小值 4 ．14、已知函数))((R x x f y ∈=满足)()(2x f x f -=+π，且当],[22ππ-∈x 时，x x f cos )(=，则函数))((R x x f y ∈=与函数)0(lg >=x x y 的图象的交点的个数为____7___。
实验中学高三级月考数学(文科)答题卡 2008.9 总分一、选择题 得分二、填空题 得分11、 12、 13、 14、 三、解答题（共6小题，共80分）15．(本小题满分14分)已知)cos 3,(sin x x a =，)cos ,(cos x x b = ，b a x f ⋅=)(（1）若b a⊥，求x 的解集；（2）求)(x f 的周期及增区间．解：（1）b a ⊥， 0=⋅∴b a．b a⋅∴x x x 2cos 3cos sin +⋅= ……………………………2分232cos 232sin 21++=x x ………………………4分 02332sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx …………………………6分πππk x 23432+=+∴ 或 πππk x 2332+-=+ππk x +=∴2或 ππk +-3∴所求解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-+=Z k k k x x ,32ππππ或 ……………………8分（2）b a x f ⋅=)(2332sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πxππ==∴22T ………………………10分x x f sin )(= 的增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k223222πππππ+≤+≤-∴k x k ………………………12分12125ππππ+≤≤-∴k x k ∴原函数增区间为]12,125[ππππ+-k k ()Z k ∈ ……………………………14分 16.（本小题满分14分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．解：（1）当2a =时,32()21f x x x x =+++ 2()341f x x x '=++, ……2分令()0f x '≥解得:113x x ≤-≥-或;令()0f x '≤解得:113x -≤≤- ……5分()f x 在(-∞，-1]和1[,)3-+∞递增，在1(1,)3--递减，……7分（2）2'()321f x x ax =++ ……1分要使函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，则2'()031'()03f f ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩ ……4分即：441033121033aa ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩ ……5分解得：a ≥2 ……7分 17、(本小题满分14分)在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （1）求角C 的大小；（2）若ABC △，求最小边的边长． 解：（1）π()C A B =-+，班级 姓名 座号 得分1345tan tan()1145C A B +∴=-+=-=--⨯．………………………2分又0πC <<，3π4C ∴=．………………………4分（2）34C =π，AB∴边最大，即AB =．………………………6分又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．………………………8分 由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，………………………10分得sin A =sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C == 所以最小边BC ． (14)18、（本题满分为12分）某商店将每个进价为10元的商品，按每个18元销售时，每天可卖出60个，经调查，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销售量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？ 解：设每个售价为x 元，每日利润为y 元。