材料物理性能作业及课堂测试

热学作业（一）

1. 请简述关于固体热容的经典理论. 爱因斯坦热容模型解决了热容经典理论存在的什么问题？其本身又存在什么问题？为什么会出现这样的问题？德拜模型怎样解决了爱因斯坦模型的问题？

答：固体热容的经典理论包括关于元素热容的杜隆-珀替定律，以及关于化合物热容的柯普定律。前者内容为：恒压下元素的原子热容约为25 J/(K·mol)。后者内容为：化合物分子热容等于构成该化合物的各元素原子热容之和。

爱因斯坦热容模型解决了热容经典理论中C m 不随T 变化的问题。在高温下爱因斯坦模型与经典理论一致，与实际情况相符，在0K 时C m 为0，但该模型得出的结论是C m 按指数规律随T 变化，这与实际观察到的C m 按T 3变化的规律不一致。

之所以出现这样的问题是因为爱因斯坦热容模型对原子热振动频率的处理过于简化——原子并不是彼此独立地以同样的频率振动的，而是相互间有耦合作用。

德拜模型主要考虑声频支振动的贡献，把晶体看作连续介质，振动频率可视为从0到ωmax 连续分布的谱带，从而较为准确地处理了热振动频率的问题。

2. 金属Al 在30K 下的C v,m =0.81J/K·mol ，其θD 为428K. 试估算Al 在50K 及500K 时的热容C v,m .

解：50K 远低于德拜温度428K ，在此温度下，C v 与T 3成正比，即3T A C v ⋅=

则 53310330

81

.0-⨯===

T C A v J/mol·K 4 故50K 时的恒容热容75.3501033

53=⨯⨯=⋅=-T A C v J/mol·K

500K 高于德拜温度，故此温度下的恒容摩尔热容约为定值3R ，即： 9.2431.833=⨯=⋅=R C v J/mol·K

热学作业（二）

1、晶体加热时，晶格膨胀会使得其理论密度减小. 例如，Cu 在室温（20℃）下密度为8.94g/cm 3，待加热至1000℃时，其理论密度值为多少？（不考虑热缺陷影响，Cu 晶体从室温~1000℃的线膨胀系数为17.0×10-6/℃） 解：因为3202020a m V m D ==

，31000

10001000a m

V m D ==

又由)

201000(2020100020-⋅-=∆⋅∆=

a a a T a a l α，得201000)1980(a a l ⋅+⋅=α

故203

3

20331000

1000)1980(1

)1980(D a m a m

D l l ⋅+⋅=⋅+⋅=

=

αα 94.8)

1100.17980(1

3

6⨯+⨯⨯=-= 8.79g/cm 3 或者：

由体膨胀系数l V V V V T V V αα3)

201000(2020100020≈-⋅-=∆⋅∆=

，

得201000)12940(V V l ⋅+⋅=α 故2020

1000

1000)

12940(1

)12940(D V m

V m D l l ⋅+⋅=

⋅+⋅=

=

αα

94.8)

1100.172940(1

6

⨯+⨯⨯=

-= 8.51g/cm 3

2、利用热膨胀原理，将一根外径为10.00mm 的钨棒与一根内径为9.98mm 的不锈钢环组装在一起. 将不锈钢环加热到一定温度后取出，在室温（20℃）下迅速与钨棒组装. 为了保证能够组装，至少应加热至多高温度？（钨的热膨胀系数取4.5×10-6/℃，不锈钢的热膨胀系数取16.0×10-6/℃） 解：根据热膨胀系数定义式有：

α=∆⨯-T

D D D f 00

在组装时，不锈钢环的温度为T f1，内径为D c ，钨棒的温度为T 0=20℃，外径为D r ；D c = D r = 10.00mm 。则有：

600100.16)

20(98.998

.900.10-⨯=-⨯-=

∆⨯-f f T T

D D D

则：3.1452010

0.1698.998

.900.106

=+⨯⨯-=-f T ℃

热学性能课堂练习（一）

1. 试画出典型的无机非金属材料（如氧化铝陶瓷）摩尔热容随温度的变化曲线，并简述在不同温度范围内热容随温度变化的规律. 典型的金属材料热容与温度的变化规律有何不同？为什么？

答：（图略，注意横纵坐标内容，以及是否表现出平台值3R ）在低温区域，C V ,m ∝T 3（德拜三次方定律）；在德拜温度附近C V ,m 趋近于一常数3R ，符合杜隆-珀替定律。典型的金属材料在极低温区（几K ），C V ,m ∝T ；在比德拜温度高得多的高温区，C V ,m >3R 平缓上升。因为在这些温区，金属中的原子对热容的贡献趋于稳定，而大量自由电子对热容的贡献表现得较为明显。

2. 氧化铝的比热为750J/K·kg ，氧化镁为940J/K·kg ，试估算镁铝尖晶石（Al 2O 3·MgO ）的比热.（摩尔质量: Al-27.0, O-16.0, Mg-24.3）

解：氧化铝摩尔质量为0.10230.1620.27=⨯+⨯，氧化镁摩尔质量为3.400.163.24=+ 根据复合材料比热公式，镁铝尖晶石的比热为：

kg

K J g c g c c Mg Mg Al Al MgAl ⋅=+⨯++⨯

=⨯+⨯=/8.8033

.400.1023

.409403.400.1020.102750 或者：

（根据化合物摩尔热容公式计算如下：

氧化铝摩尔热容mol K J M c C Al Al Al ⋅=⨯⨯=⨯=-/5.760.102107503

氧化镁摩尔热容mol K J M c C Mg Mg Mg ⋅=⨯⨯=⨯=-/9.373.40109403

则镁铝尖晶石摩尔热容mol K J C C C Mg Al MgAl ⋅=+=+=/4.1149.375.76， 化为比热kg K J M C c MgAl MgAl Mg ⋅=⨯==/9.80310)3.142/4.114(/3

）

3. 利用双球模型，请简述晶体热膨胀的物理本质.

答：固体热膨胀的物理本质可归结为点阵结构中质点间平均距离随温度升高而增大的结果。晶格热振动实为非简谐振动，相邻质点间作用力是非线性的，即质点在平衡位置r 0两侧的受力是不对称的：两质点相互靠近时，斥力随位移增大得较快；两质点相互远离时，引力随位移增大得较慢。所以质点振动时的平均位置就不在平衡位置r 0处，而要大于r 0。温度越高，振幅越大，质点在r 0两侧受力的不对称情况越显著，振动平均位置比r 0越来越大，即晶格间距越来越大，宏观变现为晶体的热膨胀。

4. 日用瓷釉层的热膨胀系数与坯体相比，应满足什么条件？为什么？

答：釉的热膨胀系数应略小于坯体的热膨胀系数。因为在冷却过程中釉层与坯体热膨胀系数