2018年中考数学《“3,4,5”直角三角形的奇思妙想》

“3,4,5”直角三角形的奇思妙想

提到三边长都是整数的直角三角形，我们往往首先想到的就是边长为“3,4,5”的直角三角形.早在西汉时期，算书《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载.其实，我们对“3,4,5” 直角三角形进一步探究，还能发现一些有趣且有用的结论. 一、基础准备

如图 1 , Rt ABC V 中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，5AB =，CAB α∠=，CBA β∠=，显然90αβ+=︒.延长CA 至点D ，使得5AD AB ==，连结BD ，则ABD V 是等腰三角形，2

D α

∠=

.在Rt BCD V 中，

31

tan tan 2453

BC D DC α∠====+

同样方法，可求得

41

tan tan

2352

AC E EC β

∠==

==+

同时90452222αβαβ+︒

+=

==︒

提炼如下：

1

tan

23α

=

, 1tan 22β=,

90αβ+=︒, 4522

α

β

+

==︒.

用文字语言表述为:

如果两个锐角的正切值分别为

13，1

2

，那么这两个锐角的和为45︒. 我们不妨用约定符号将上述结果简记为“13”+“12”=45︒.(其中“13”，“1

2

”分

别表示正切值为13，1

2

的锐角)

下面我们运用此结论来解决问题，并与常规解法进行比较.

二、运用策略

例1 如图2，在33⨯的网格中标出了1∠和2∠，则1+2=∠∠ .

解法1 构造三角形，从而发现1∠和2∠间的关系.

如图3，显然1=3∠∠，2=4∠∠， 并且90ABC ∠=︒，AB BC =,

1+23445∴∠∠=∠+∠=︒.

解法2 利用“13”+“1

2”=45︒的结论解决问题.

图2中，1tan 13∠=，1

tan 22

∠=.

根据结论“如果两个锐角的正切值分别为13，1

2

，那么这两个锐角的和为45︒，得

1+245∠∠=︒.

例2 如图4，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若3BE =，且45ECF ∠=︒，则CF 的长为( )

(A) (B) (C)

(D)

解法1 通过作辅助线，构造全等三角形.适当假设线段长，利用勾股定理得出等量关系

式，最终求出CF 的长.

解 如图5，延长FD 到G ，使DG BE =，连结CG 、EF .

∵四边形ABCD 为正方形，

CD CB =，90B CDG ∠=∠=︒, BCE DCG ∴≅V V ,

CG CE ∴=，DCG BCE ∠=∠,

45GCF DCG DCF BCE DCF ECF ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠,

GCF ECF ∴≅V V , GF EF ∴=.

设DF x =,

则6AF x =-，3EF GF GD DF x ==+=+. 在Rt AEF V 中,

222AE AF EF +=,

2223(6)(3)x x ∴+-=+.

解得2x =，则4DF =.

CF ∴=故选A

解法2 利用“13”+“1

2

”=45︒的结论求解. 易见图4中，

45DCF ECB ∠+∠=︒, 且31

tan 62

BE ECB BC ∠=

==. 根据“13”+“12”=45︒，得1tan 3DCF ∠=,

1

23

DF CD ∴==.

在Rt DCF V 中，求得CF ==故选A.

点评 比较两种做法，我们发现利用“13”+“1

2

”=45︒解决问题更加方便快捷. 再来一题试试看吧!

例3 如图6，在ABC V 中，45BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的高，3BD =，2DC =则AD 的长为 .

解法一 构造正方形，利用勾股定理求AD 长.

如图7，分别以AB 、AC 为对称轴，画出ABD V 、ACD V 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，得到四边形AEGF 是正方形.

根据对称的性质，可得

2BE BD ==，3CF CD ==.

设AD x =，则正方形AEGF 的边长是x ,

2BG EG BE x ∴=-=-,3CG FG CF x =-=-.

在Rt BCG V 中，根据勾股定理，可得222(2)(3)5x x -+-=, 解得:6x =或1-(舍去). 故边长是6.

解法2 构造全等三角形，利用相似求解.

如图8，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，交AD 于点F .

45BAC ∠=︒Q ，BE AE ∴=.

90C EBC ∠+∠=︒Q ,90C EAF ∠+∠=︒ EAF EBC ∴∠=∠,

AFE BCE ∴≅V V .

5AF BC BD DC ∴==+=，FBD DAC ∠=∠.

又90BDF ADC ∠=∠=︒Q ,

BDF ADC ∴V :V , FD BD DC AD

∴=. 设FD 长为x ，即3

25x x

=+

解得1x =,

即1FD =,

516AD AF FD ∴=+=+=.

故答案为6

解法3 凭借直觉经验，利用“13”+“1

2

”=45︒求解. 图6中，

45BAC BAD DAC ∠=∠+∠=︒，

联想到“13”+“1

2

”=45︒，发现当6AD =时，恰好有

1tan 2BAD ∠=，1

tan 3

DAC ∠=,

从而知6AD =.

点评解法1、解法2中需要作辅助线，构造全等或相似，利用勾股定理来求解，方法不容易想到，解决起来也比较耗时。像这样的选择题、填空题，我们不妨利用“如果两个锐角的正切值分别为13，1

2

，那么这两个锐角的和为45︒这一结论直接求解.既快又准确!