质点动力学.
质点动力学
a2 b2
可见，质点的运动轨迹是以
a、b 为半轴的椭圆。对运动方
程求二阶导数，得加速度
13
aaxy
x a 2 cost y b 2 sint
2x 2 y
即
a axi ay j 2r
将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影
FFxy
max may
m 2x m 2 y
dv dt
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
d v v d v , 再分离变量积分。 dt ds
16
[例3] 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为
F F0 cos t ，其中 F0， 均是常数，初始时 x0 0，v0 0 。
求质点运动规律。
解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程
再积分一次
19
代入初始条件得 :
c1 v0 cos0 , c2 v0 sin 0 , c3 c4 0
则运动方程为:
则轨迹方程为:
xv0tcos0,yv0tsin0
y
xtg
0
1 2
g
v0
2
x02
c os2
0
1 2
gt
2
代入最高点A处值，得： d y dt
v0
sin 0
gt
0,
即
t v0 sin0
即 F Fxi Fy j m 2r
可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
14
第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。
已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
质点动力学
质点动力学
t t0
Fi
dt
n
mi vi
n
mi vi0
i 1
i 1
其分量式： t t0
Fixdt
mivix
mi
vi
0
x
t t0
Fiydt
miviy
mi
vi
0
y
t t0
Fizdt
miviz
mivi0 z
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于 在该方向上质点系动量分量的增量。
1）动量定理说明，质点动量的改变是由外力和 外力作用时间两个因素，即由冲量决定的。
2）冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与 动量增量的方向相同。
质点动力学
3） 动量定理 P 是矢量式，其直角坐标
的分量式为：
I Ixi Iy j Izk
I x
t2 t1
Fx
dt
mv2 x
mv1 x
2）若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量 为 0，则在该方向上动量守恒。
ΣFix 0 , ΣFiy 0 , ΣFiz 0 ,
px mi vix C x p y mi viy C y pz mi viz C z
质点动力学
3）自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系 统的内力 >> 外力，可近似认为动量守恒。在碰 撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中， 往往可忽略外力。
1、恒A 力F直c线os运 动| 的rr |功：F
Δr
r
r
F
F
θ
位移无限小时：dA
r F
drr
Δr
dA F cos drv F cosds = Fτ ds
笫二章质点动力学
F
13
四、力的分类
在目前的宇宙中，存在着四类基本的相互作用，所有的 运动现象的原因都逃不出这四类基本的力,各式各样的力只不 过是这四类基本力在不同情况下的不同表现.
四种力：万有引力，电磁力，强力和弱力
万有引力 电 磁 力
强力
弱力
适用范围 m
相互作用举 例
长程力
长程力
1015
1016
恒星结合在一 电子和原子核 质子和中子结 表征核子
起形成银河系 结合形成原子 合形成原子核 衰变的力
相对强度
1039
102
1
105
14
㈣ 牛顿运动定律应用
一、动力学的典型问题可归结为两类：
笫一类问题：己知作用于物体（质点）上的力，由力 学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态.
笫二类问题：己知物体的运动情况或平衡状态，由 力学规律来推究作用于物体上各种力.
d 2
d 2
,
cos
d 2
1
整理以上方程可得：
dT N
1 dTd Td N
2
18
TA TB
dT T
0d
ln TA TB
TB TAe
讨论： 如果 0.25
则： 时， TB 0.46TA
2时， TB 0.21TA
10时， TB 0.00039TA
19
例题2－2 从实验知道,当物体速度不大时,可认为空 气阻力正比于物体的速度,问以初速度竖直向上运动 的物体,其速度将如何变化？
一、万有引力与重力
F
G
m1m2 r2
mr
1
m
2
重力:地球对表面物体的 万有引力mg
g
质点动力学的相关概念
质点的动量定理：质点在运动过程中，所受合外力在给定时间内的冲量等于质点在此时间内动量的增量。
质点系的动量定理：在一段时间内，作用于质点系的外力的矢量和的冲量等于质点系总动量的增量。
动量守恒定律：当系统不受合外力或受合外力的矢量和为零时，系统的总动量不变，即恒矢量==0p p 以及力与位移、力作用点位移的大小等于力的大小功：力对物体所做的功s F , 的乘积。
之间夹角余弦θcos当n 个力同时作用于质点上时，这些力在某一过程中分别对质点做功的代数和，等于这n 个力的合力在同一过程中对质点所做的功。
即n F F F F +++= 21 ， ⎰∙=BL A dr F W )(功率：力在单位时间内所做的功瞬时功率：瞬时功率等于力在速度方向上的投影和速度大小的乘积，或者说瞬时功率等于力矢量与速度矢量的标量。
重力弹性力 非保守力：摩擦力万有引力质点的动能定理：合外力对质点所做的功，等于质点动能的增量。
动能反应了运动物体的做功本领。
质点系动能定理：作用于质点系的合力所做的功，等于质点系的动能增量。
（合力是指内力+外力）（质点系的动量定理中的合外力是指物体所受的外力，不包括内力）质点系的动能增量，等于作用于质点系各质点的外力和内力做功之和。
即∑∑∑+=外内W W W i i质点系内所有内力做功之和并不一定为零，因此可以改变系统的总动能。
质点系的功能原理：外力和非保守力所做功之和等于质点系机械能的增量。
E E E E E E E W p k p k p k ∆=+∆=+-+=+∑∑)()(W 1122）（非保内外质点系的机械能守恒定律：仅当外力和非保守内力都不做功或其元功的代数和为零时，质点系内各质点间动能和势能可以相互转化，但它们的总和（即总机械能）保持不变。
机械能守恒定律只适用于惯性参考系，并且物体的位移、速度必须相对同一惯性参考系。
能量守恒定律：对于一个封闭性系统来说，系统内的各种形式的能量可以相互转换，也可以从系统的一部分转移到另一部分，但无论发生任何变换，能量既不能产生也不能消失，能量的总和是一个常量。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结基本概念：质点：具有质量但没有体积和形状的物体模型。
力：质点动力学研究的核心内容，包括恒力、变力和约束力。
运动方程：描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
动量：描述质点运动状态的重要物理量，等于质点的质量乘以速度。
动能：描述质点运动状态的另一个重要物理量，等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2。
势能：描述质点在外力场中的势能状态的物理量，势能的大小与质点所处位置有关。
角动量和角动量定理：与质点的旋转运动相关的物理量和定理。
基本理论：牛顿运动定律：描述了质点在作用力作用下运动的规律，即F=ma，其中F表示合外力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
动量定理：通过动量的概念揭示了力与运动之间的内在联系，即合外力的冲量等于物体动量的变化量，表达式为Ft=mV-mv。
动能定理：引入动能的概念，建立了力学与能量之间的关系，即合外力做的功等于物体的动能的改变量，表达式为W=1/2mV^2-1/2mv^2。
分析方法：矢量方法：利用矢量运算符对问题进行矢量分析。
微分方程方法：将运动方程化为微分方程，然后求解微分方程获得运动规律。
能量方法：利用能量守恒定律等能量原理分析运动问题。
实际应用：军事方面：应用在导弹、卫星、航天器和飞机等领域，研究其受力情况和运动规律，从而提高军事制式的效率和效果。
经济方面：应用在金融市场和交通运输领域，分析市场变化和流动性，以及货运运输的效益和优化策略。
社会方面：研究城市交通拥堵问题、人口迁移以及城市规律，以提高城市的运作效率和质量。
总的来说，质点动力学涉及到质点的运动规律、动量、动能、势能等基本物理量的研究，以及相关的理论和实际应用。
通过学习和掌握质点动力学的知识，可以更好地理解物体在外力作用下的运动规律，以及如何利用这些规律解决实际问题。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
20第5章第二十讲 质点动力学
第五章质点动力学动力学的任务•研究物体机械运动一般规律动力学基本线索动力学内容•质点动力学、动力学普遍定理、刚体动力学、动静法、分析力学物体机械运动状态改变量力对物体机械作用量动力学两类问题第一类问题•已知运动，求力第二类问题•已知力，求运动舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞若已知初速度、飞离甲板的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需要多长的跑道。
若已知推力和跑道长度，则需要多大的初速度和多长时间才能达到飞离甲板所需速度。
ABv1v2载人飞船的交会与对接质点动力学(dynamics of a particle)本章研究质点在惯性与非惯性系中的运动微分方程。
1.惯性系质点动力学基本方程2.非惯性系质点动力学基本方程3.地球自转对质点运动的影响1.惯性系质点动力学基本方程质点动力学基本方程（牛顿第二定律）（1683-1727）1. 惯性系质点动力学基本方程•矢量形式•直角坐标形式xy质点运动微分方程∑∑∑===iizi iyi ixF zm F ym F xm1.惯性系质点动力学基本方程•自然坐标形式•极坐标形式？质点运动微分方程∑∑∑===bi ni τi FF sm F s m 02ρ1. 惯性系质点动力学基本方程求解质点动力学问题的过程与步骤大致如下1.确定研究对象，选择适当的坐标系；2.进行受力分析，画受力图；3.进行运动分析，计算运动参数；4.列出质点的运动微分方程，分清是第一类问题还是第二类问题，分别用微分或积分法求解；对第一类问题，需要确定加速度，对第二类问题，加速度方向要和投影轴方向一致，并写出初条件。
5.根据需要对结果进行必要的分析讨论。
【例】圆锥摆。
质量为1kg 的重物，被绳限制在水平面内作圆周运动，成为锥摆形状；绳长l =30cm ，与铅垂线角度θ=60°。
求：速度v 及张力T 的大小。
1. 惯性系质点动力学基本方程G解：以小球为研究的质点，作用力：重力G ，绳子拉力T 。
第二章--质点动力学2
W W1 W2
o
r
r1 dr r2
（3）功是过程量：功总是和质点旳某个运
动过程相联络
W dW F dr F cos d r
2、重力、引力、弹性力旳功
（1）重力作功
物体m沿途径 A 过B程中重力
旳功
W
B
dW
B mg dr
y2 mgdy
W
A
mgy2A
mgy1
y1
t1
i1 若 Fi合 0
i 1 n
则 P
mivi
恒矢量
i 1
动量守恒定律：
当系统合外力为零时，系统
旳总动量保持不变。t2
nn
讨论：
Fi合dt mivi mivi0
t1
i 1
i 1
（1）合外力为零或不受外力作用系统总
动量保持不变。
（2）合外力不为零，但合力在某方向分量 为零，则系统在该方向上旳动量守恒。
W mgy2 mgy1 重力势能 Ep mgh
W
G
m'm rB
G
m'm rA
W
1 2
kx22
1 2
kx12
引力势能 弹性势能
Mm
Ep G r
Ep
1 2
kx2
所以能够得到保守力旳功与势 能旳关系式
W Ep2 Ep1 Ep
（2）势能旳讨论 势能是属于存在保守内力旳系统旳， 具有保守力才干引入势能旳概念。 势能是状态旳函数。 势能值旳相对性与势能差旳绝对性。
式
（2）直角坐标系中，定理分量式 t2
I x Fxdt px2 px1
t1 t2
I y Fydt py2 py1
大学物理-质点动力学学(2024版)
在同一直线上。
(2) 分别作用于两个物体上，不能抵消。
F F
(3) 属于同一种性质的力。 (4) 物体静止或运动均适用。
四、牛顿定律的应用 例2-1. 质量为m的物体被竖直上抛，初
解题步骤： (1) 确定研究对象。隔离
速度为v0，物体受到的空气阻力数值与 其速率成正比，即f = kv，k为常数，求
曲线下面的面积表示。
F
A F dx
O xa
xb x
力 位移曲线下的面积表示力F 所作的功的大小。
一、功
元功
dA F dr
dA F dr
Fxdx Fydy Fzdz
例2-1、一质点做圆周运动 ，有一力 F F0 xi yj
作用于质点，在 质点由原点至P(0， 2R)点过程中，F 力做的功为多少？
惯性质量:物体惯性大小的量度。 引力质量: 物体间相互作用的“能 力”大小的量度。 思考：什么情况下惯性质量与引 力质量相等？
2. 牛顿第一定律(惯性定律)
任何物体都保持静止
或匀速直线运动态，直至
其它物体所作用的力迫使
它改变这种状态为止。
3. 力的数学描述： 大小、方向、作用
点—矢量
二、牛顿第二定律
L2
路 径 绕 行 一 周 ， 这 些
力所做的功恒为零，
a 若 A
F dr 0,
具有这种特性的力统
L
称为保守力。
若
A
F dr 0,
没有这种特性的力，
L
F 为保守力。 F 为非保守力。
统称为非保守力 或耗
保守力：重力、弹性力、万有引力、
散力。
静电力。
非保守力：摩擦力、爆炸力
五、势能
理论力学11质点动力学基本方程
m
研究小球
受力分析
运动分析
FT
建立直角坐标系， 根据质点运动微分方程
Fix max: FT sin ma0
y
mg
Fiy may: mg FT cos 0
x
a0 a0
FT sin ma0 mg FT cos 0
解得绳的倾角以及绳中的张力分别为
arctan a0
g FT m a02 g2
y
v
积分两次，得到
m
v0
x C1t C3
y
1 2
gt2
C2 t
C4
O
mg
x
根据运动初始条件，求出积分常数，得物体的运动方程
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt 2
从运动方程中消去时间参数 t ，即得物体的轨迹方程
y
tan x
2v02
g
cos2
x2
可见，其轨迹为抛物线
[例4] 摆动输送机由曲柄带动货架 AB 输送质量为 m 的木箱。已知曲
动力学
动力学： 研究力与运动之间的关系 动力学第Ⅰ类问题： 已知运动求力 动力学第Ⅱ类问题： 已知力求运动
第十一章 质点动力学基本方程
一、质点动力学基本方程
F ma 式中，m 为质点质量、 a 为质点加速度
F 为作用于质点上的合力，即 F Fi
一、质点动力学基本方程
F ma
说明： 1）在国际单位制中，m 的单位为 kg、a 的单位为 m/s2、 F 的单位为 N
0.35
O1
0 aA
A
O2
m
B
所以，木箱与货架间静摩擦因数的最小值
动力学的质点
动力学的质点动力学是研究物体运动规律和受力情况的学科，而质点是动力学中研究对象的一种抽象。
质点假设为没有大小、形状和内部结构的物体，只具有质量和位置属性。
本文将深入探讨动力学的质点理论，从基本概念、牛顿力学及其应用等方面进行讨论。
一、基本概念动力学的质点理论中有一些基本概念需要清楚理解。
首先是质点的质量和位置。
质点的质量是指其固有的物质量，通常用符号m表示。
位置是指质点在空间中的位置坐标，通常用符号r表示。
力是质点运动的原因，它改变质点的运动状态。
动力学的基本定律是牛顿第二定律，它描述了质点在力作用下的加速度与所受力的关系，即F=ma，其中F是质点受到的力，a是质点的加速度。
二、牛顿力学牛顿力学是经典力学的重要分支，它涉及了动力学的质点理论。
牛顿力学研究的对象是宏观物体，质点是宏观物体的抽象，通过分析质点的运动状态可以推导出宏观物体的运动规律。
牛顿力学的三大定律是质点运动的基本原理。
1. 牛顿第一定律（惯性定律）：一个物体如果没有外力作用，将保持静止或匀速直线运动。
这意味着质点在受力为零时，速度将保持不变。
2. 牛顿第二定律（运动定律）：质点的加速度与作用在它上面的力成正比，与质点的质量成反比。
这条定律可用公式F=ma表示。
3. 牛顿第三定律（作用与反作用定律）：任何一个力的作用都会有一个与之大小相等、方向相反的力作用在另一个物体上。
三、应用领域动力学的质点理论在工程、天文学、生物学等领域有着广泛的应用。
以下是其中几个应用领域的简要介绍。
1. 空间工程：通过动力学的质点理论，可以对航天器在宇宙中的运动轨迹进行分析和计算，从而确定航天器的轨道和姿态控制。
2. 汽车工程：动力学的质点理论可以应用于汽车的运动学和动力学分析，包括汽车的加速度、速度和位移等参数的计算。
3. 生物力学：生物力学研究生物体的力学特性和运动方式，动力学的质点理论在分析人体运动和身体力学方面具有重要作用。
4. 天体力学：天体力学是研究天体运动和相互作用的学科，动力学的质点理论在行星运动、日食月食等天文现象的预测和解释中发挥着关键作用。
大学物理1,第2章 质点动力学
O
x
mg
tan a1 , arctan a1
g
g
l
m
a1
(2)以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运
动时，分析受力如图，建立图示坐标系。
x方向：FT2 sin(α θ) mg sin α ma2
FT 2
y方向：FT2 cos(α θ) mg cos α 0 a2
m
FT2 m 2ga22 sin α a22 g 2
• 强力（strong interaction）
在原子核内（亚微观领域）才表现出来，存在于 核子、介子和超子之间的、把原子内的一些质子和中 子紧紧束缚在一起的一种力。
其强度是电磁力的百倍，两个相邻质子之间的强 力可达104 N 。力程：<10-15 m
• 弱力（weak interaction）
亚微观领域内的另一种短程力。导致衰变放出 电子和中微子。两个相邻质子之间的弱力只有10-2 N 左右。
重力（gravity） 重力是地球表面物体所受地球引力的一个分量。
G mg
g g0 (1 0.0035cos2 φ)
地理纬度角 g0 是地球两极处的重力加速度。
重力
引力
重力与重力加速度的方向都是竖直向下。
忽略地球自转的影响物体所受的重力就等于它所受的
万有引力：
mg
G
mEm R2
弹力（elastic force）
物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合 外力的大小成正比，与物体的质量成反比；加速度的
方向与合外力F的方向相同。 F kma
比例系数k与单位制有关，在国际单位制中k＝1
瞬时性：是力F的瞬m时a 作m用d规v律 dt
F
大学物理 第二章 质点动力学
A Fs cos
A F s
（2-27）
式中为力F与位移 s之间的夹角。 根据矢量标积的定义，上式可以写成：
（2-28） 注意：如果力为变力，或质点作曲线运动，力作的功就不 能用上式来计算,而应该应用微积分的方法来计算力作的功。
设质点在变力 F 的作用下，沿曲线从A点运动到B点。将A 到B 的路径分成许多小段，任取一小段位移，用 d r 来表示。由 于 d r 非常微小，可以认为质点在这段位移元上所受的力为恒 力，则力对质点作的元功为：
A
在直角坐标系中:
A Fx dx Fy dy Fz dz Fx dx Fy dy Fz dz
二、质点的动能定理：
dr vB B 1 2 1 2 dv A m dr m dv mvdv mvB mvA A A vA dt dt 2 2 即：合力对质点所作的功等于质点始、末两状态的动能 的增量。 所以说：功是动能变化的量度。
F dv 解： 6t m dt
dx v 3t dt
2
dx 3t 2dt
A
x
0
3 36 t F 3 t d t Fdx dt 144J
2 0
t
2
0
2 P F v 12t 3t 288W
补充例题
例4 已知用力 F从竖直方向缓慢拉质量为m 的小球，且 F 保持方向不变。 求 = 0 时，F 作的功。 L θ 解： F T sin θ 0 T cosθ mg 0 T
B
课后思考及作业
阅读：P60-68 作业：习题2-25、习题2-26
2 2 2 4 2 2
由点(2，0) 到点（2，4）由于x=2为常量，dx=0，所以:
《大学物理》第二章《质点动力学》课件
相对论中的质点动力学
相对论简介
01
相对论是由爱因斯坦提出的理论，包括特殊相对论和广义相对
论，对经典力学和电动力学进行了修正和发展。
质点动力学
02
在相对论中，质点的运动遵循质点动力学规律，需要考虑相对
论效应。
实际应用
03
相对论中的质点动力学在粒子物理、宇宙学和天文学等领域具
有重要意义，如解释宇宙射线、黑洞和宇宙膨胀等现象。
牛顿运动定律的应用
通过牛顿第二定律分析质点在各种力作用下的运动规律。
弹性碰撞和非弹性碰撞
碰撞的定义
两个物体在极短时间内相互作用的过 程。
弹性碰撞
两个物体碰撞后，动能没有损失，只 发生形状和速度方向的改变。
非弹性碰撞
两个物体碰撞后，动能有一定损失， 不仅发生形状和速度方向的改变，还 可能有物质交换。
01
运动分析
火箭发射过程中，需要分析火箭的加速 度、速度和位移等运动参数，以确定最 佳发射时间和条件。
02
03
实际应用
火箭发射的运动分析对于航天工程、 军事和商业发射等领域具有重要意义。Fra bibliotek球自转的角动量守恒
1 2
地球自转
地球绕自身轴线旋转，具有角动量。
角动量守恒
在没有外力矩作用的情况下，地球自转的角动量 保持不变。
相对论和量子力学
随着科学技术的不断发展，相对论和量子力学逐 渐兴起，对质点动力学产生了深远的影响。相对 论提出了新的时空观念和质能关系，而量子力学 则揭示了微观世界的奇特性质。
牛顿时代
牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了三大运 动定律和万有引力定律，奠定了经典力学的基础 。
现代
现代物理学在继承经典理论的基础上，不断探索 新的理论框架和实验手段，推动质点动力学的发 展和完善。
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第七章质点动力学静力学研究了作用于物体上力系的简化和平衡条件。
运动学从几何方面分析了物体在非平衡力系作用下的运动规律，但没有涉及运动和作用力之间的关系。
静力学和运动学所研究的内容相互独立，只是物体机械运动的一种特殊情况。
动力学则对物体的机械运动进行全面地分析，研究作用于物体的力与物体运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍规律。
动力学以牛顿定律为基础，属于经典力学。
实践证明经典力学适用范围在两方面受到限制，一是研究的物体运动的速度远小于光速(3 x 105 km /s)，二是研究的运动对象不能太小，系统作用量(能量时间)远大于普朗克常数(6.626 10-34Js)。
在通常的工程问题中，遇到的物体大都是宏观物体，而且其运动的速度也远小于光速。
有关的力学问题用经典力学的理论分析和解决已足够精确。
动力学中研究的物体模型分为质点和质点系。
质点是具有一定质量但几何尺寸大小可以忽略的物体。
如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系。
有限或无限个有某种联系的质点所组成的系统称为质点系。
它包括了刚体、固体、流体以及由几个物体组成的机构。
动力学可分为质点动力学和质点系动力学，而前者是后者的基础。
本章首先根据动力学基本定律建立质点动力学模型，然后分析和求解一个质点的动力学问题，最后讨论在非惯性系中质点的运动。
§ 7.1质点运动的动力学建模1动力学基本定律质点动力学的基础是牛顿三定律，这些定律是牛顿在总结了前人、特别是伽利略研究成果的基础上提出来的。
这三个定律描述了动力学的最基本的规律，是经典力学的核心。
第一定律：不受力作用的质点，将保持静止或匀速直线运动。
这个定律说明任何物体都具有保持静止或匀速直线运动状态的特性，物体的这种保持运动状态不变性质称为惯性，而匀速直线运动也称为惯性运动。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，所以又成为惯性定律。
第二定律：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即m a = F (7.1.1) 上述方程建立了质点的加速度a、质量m与作用力F之间的关系，称为质点动力学的基本方程。
若质点受到多个力作用时，则力F应为此汇交力系的合力。
第二定律表明了质点运动的加速度与其所受力之间的瞬时关系，同时说明加速度矢量不仅取决于作用力矢量，而且加速度的大小与质点的质量成正比。
这说明支点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。
因此，质量是质点惯性的度量。
在地球表面，任何物体都受到重力的作用。
在重力的作用下，物体的加速度用g表示,(7.1.2)应该注意，虽然物体的质量和重量存在着上述关系，但是它们的意义却有本质的区别。
在经典力学中，作为物体惯性的度量，质量是常量，而重量是物体所受重力的大小，由于地球表面各处的重力加速度的数值略有不同，因此物体的重量在地面各处也有所不同，在工程实际计算中，一般取 g = 9.80 m / s2。
在国际单位制（SI）中，长度、质量和时间的单位是基本单位，分别取为m （米）、kg （千克）和s （秒）;力的单位是导出单位。
质量为1kg的质点，获得1 m / s2的加速度时，作用于2 该质点的力为 1 N （牛顿），即卩1 N = 1kg X 1 m / s。
第三定律：两个物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。
这一定律在静力学中曾作为公里叙述过，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。
在动力学中，第三定律仍然是分析两个物体相互作用关系的依据。
必须指出，质点动力学的三个基本定律是人们在观察天体运动和生产实践中的一般机械运动的基础上总结出来的，并且被实践证明在一定的范围内适用。
第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系，这就是惯性参考系。
有了第一定律作为基础，才能进一步谈及第二定律。
我们在讲述运动学时，可以选择任意的参考系，完全取决于求解问题的方便。
但是在动力学中，因为要用到牛顿定律，必须严格区分惯性参考系和非惯性参考系。
只有对于惯性参考系，式（7.1.1）才成立。
对于非惯性系，不能简单的运用方程（7.1.1），详细讨论见本章§ 7.3节。
综上所述，惯性参考系就是不受外力作用的质点在其中保持静止或匀速直线运动的参考系。
在一般的实际工程问题中，把固定在地面的坐标系或相对于地面作匀速直线平动的坐标系作为惯性系，可以得到相当精确的结果。
如果物体运动的尺度很大，所研究的问题精度要就又很高，比如人造卫星的运动轨道，那末地球自转的影响就必须考虑，应该取地心系作为惯性参考系。
在进一步，研究天体的运动时，地心运动的影响也不可忽略，必须取日心系作为惯性参考系。
在本书中，如无特殊说明，我们均取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系。
2质点运动微分方程质点动力学第二定律，建立了质点的加速度与作用力之间关系的方程式，是质点动力学的基本模型。
当质点受到n个力F i（i= 1,2,…,n）作用时，式（7.1.1）应写为nm a 八F ii =1(7.1.3)d2r dt2n二m r 八F ii 1(7.1.4)其中r 为质点矢径，上标“ •”表示对时间的二阶导数，以后将在动力学中使用，不另行说明。
式（7.1.4）是矢量形式的微分方程，也称为质点动力学基本方程。
在分析和计算实际问 题时，可根据不同的坐标系将基本方程表示为相应形式的微分方程组，以便应用。
（1）直角坐标形式的质点运动微分方程 设矢径r 在直角坐标轴上的投影分别为x, y, z,力F i （i = 1,2,…，n ）在坐标轴上的投影分别为F xi , F yi , F zi ,则基本方程（7.1.4）在直角坐标轴上的投影形式为（2）自然坐标形式的质点运动微分方程如果质点M 的运动轨迹已知，则在质点上建立其运动轨迹的局部自然坐标系 M.nb,如图7-1所示。
设s 为质点沿已知轨迹的弧坐标，并将基本方程（7.1.4）投影到自然轴系上，得n 2 n n二' F T , m v F ni , 0 = 'F bii 1■' i 1i A式中F , F n 和F b 分别是作用于质点的各力 F i 在切线、主法线和副法线上的投影； 二为运动轨迹在该点处的曲率半径；v 是质点的速度。
式（7.1.5 ）和（7.1.6）是质点运动微分方程两种常用的投影形式。
§ 7・2质点运动的动力学分析1质点动力学的两类基本问题质点动力学问题可分为两类：一类是已知质点的运动，求作用于质点的力；另一类是已 知作用于质点的力，求质点的运动。
这两类问题构成了质点动力学的两类基本问题。
求解质 点动力学第一类基本问题比较简单，因为已知质点的运动方程，所以只需求两次导数得到质 点的加速度，代入到质点运动方程中，得到一代数方程组，即可求解。
求解质点动力学第二 类基本问题相对比较复杂。
因为求解质点的运动，一般包括质点的速度和质点的运动方程。
在数学上归结为求解微分方程的定解问题。
在用积分方法求解微分方程时应注意根据已知的 初始条件确定积分常数。
因此，求解第二类基本问题时，除了要知道作用于质点上的力，还 应知道运动的初始条件。
此外，有些质点动力学问题是 第一类和第二类问题的综合。
一般的解题步骤可归纳如下：（1）根据题意选取某质点作为研究对象；（2）分析作用在质点上的主动力和 约束反力；（3）根据质点的运动特征，建立适当的坐标 系。
如果需要建立运动微分方程，应对质点的一般位置 做出运动分析；（4）利用动力学关系进行求解。
例7.2-1 :质点M 在固定平面 Oxy 内运动，如图所 示。
已知质点的质量为m,运动方程为d 2x dt 2n八 F xi ，i 1m 写dt 2 n八 F yii 4d 2 z'm TFn八F zi i =1(7.1.5)d 2 s(7.1.6)例7.2-1图x = acoskt, y = bsin kt式中a, b, k均为常量。
求作用于质点 M的力F。
解：本例题属于第一类问题。
由运动方程求导可得到质点的加速度在固定坐标轴投影分量，即x, y上的… 2 2 … 2 2 a x= x - -k acoskt - -k x,a y= y - -k bsin kt - -k y (a)代入到方程(7.1.5)中得2 2F x = -mk x, F y= -mk y (b) 于疋力可表示成2 2F = F x i F y j 二-mk (x i y j) = —mk r(c)可见作用力F与质点M的矢径r方向相反，恒指向固定点 0。
这种作用线恒通过固定点的力称为有心力，这个固定点称为力心。
例7.2-2:质量为m的质点在有阻尼的介质(如空气、水或油等)中无初速地自由下落。
已知阻力R的大小与质点下落的速度成正比，比例系数为c,求质点的运动规律。
解：本例题属于第二类问题。
质点受到重力m g和阻力R的作用。
由于质点做一维运动，可建立一维坐标 Ox，坐标原点取为质点的下落点，x轴竖直向下，那末 m g = mg i, R =-cx i，其中负号表示阻力与速度反向。
于是，质点的运动微分方程是mx = mg - cx初始条件是x(0) =0, x(0)=0 令v = mg/c，将(a)式写成分离变量x和t，并求积分，得(b)dxdt=g i (c)v dx01 -x/v*t二0gdt (d)设x= v < v*，积分后得* xv In 1 _F = _gtI V丿从上式将x解出得(e)(f)从式(f)可以看出，质点初始时速度为零，以后越来越大，最后当t趋于无穷时，速度x趋于v *，所以v *称为极限速度。
另外，在得出式(e)时我们曾假定x < V *，这个假定是成立的，所 以得到的解有效。
这个解说明质点在下落的过程中，开始时重力大于阻力，因此质点是加速 的，随着速度曾大阻力也曾大，加速度就减小了。
因为重力不变，最后阻力实际上与重力相 等，质点就不再加速了，几乎以极限速度等速下降。
将关系式(f)进一步进行积分，求得质点的运动方程(g)为了便于分析，将式(g)写作量纲一变量的形式x t t/- 1 -ev其中*T=v /g =m/c当t 很小(t << )时，将式(h)右端按变量t /展成幕级数，得到(j)略去高阶小量，并注意到式 (i)，得到x > gt 2/2式(k)表明质点近似作无阻尼的自由落体运动。
当t 很大(t >> )时，式(h)可写成*X ： V (t - .)式(I)表明质点几乎作匀速直线运动， 速度为v *。
这和前面讨论的结果完全吻合。
需要指出的是,由式(i)定义的 称为特征时间。
通过这个例子可以看出，要解决一个力学问题，必须在解题的全过程中结合物理意义及 时分析和讨论。