圆锥曲线性质
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中非常重要的一部分，它包括直角双曲线、抛物线和椭圆。
这些曲线都是由一个平面与一个旋转椭球体相交得到的，具有广泛的应用价值。
以下是对于圆锥曲线的知识点总结：一、直角双曲线直角双曲线由于其特殊的形状和性质，在物理学、工程学和数学等方面都有应用。
直角双曲线的方程可以表示为以下形式：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中a和b是正实数。
在直角双曲线上，存在两个焦点以及两个称为顶点的特殊点。
双曲线还具有渐近线，与其方程的斜率相关。
二、抛物线抛物线是一种类似于开口向上或开口向下的弧线。
它的方程通常表示为：y = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数且a不等于零。
抛物线的焦点是它的特殊点，而直径称为准线。
抛物线具有对称性质，其形状可以用焦点和准线的位置来确定。
三、椭圆椭圆是圆锥曲线中最常见的类型，它的形状类似于椭圆形。
椭圆的方程可以表示为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1其中a和b是正实数。
椭圆具有两个焦点，椭圆的形状和大小由焦距和长短轴决定。
椭圆还具有较为特殊的直径，它称为主轴。
四、参数方程与极坐标方程除了直角坐标系下的方程表示，圆锥曲线还可以用参数方程和极坐标方程来描述。
参数方程是将x和y表示为参数t的函数，通过参数的变化来确定曲线上的点。
极坐标方程是使用角度和极径来定义曲线上的点。
五、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有许多重要性质和性质。
其中一些重要的性质包括：切线的斜率、焦点与直线的关系、曲率和弧长等。
这些性质在求解问题和绘图中都有重要的应用。
总结：圆锥曲线是数学中的重要概念，它包括直角双曲线、抛物线和椭圆。
每种曲线都具有独特的形状和性质，可以通过方程、参数方程或极坐标方程来描述。
了解圆锥曲线的基本知识对于解决实际问题和深入理解数学概念都是非常重要的。
掌握圆锥曲线的知识点，将有助于我们在几何学和解析几何学领域更加灵活和熟练地运用相关概念。
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
解读数学中的圆锥曲线与双曲线
解读数学中的圆锥曲线与双曲线圆锥曲线和双曲线是数学中重要的概念和研究对象。
它们在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将对圆锥曲线和双曲线进行解读，并介绍它们的定义、性质以及应用。
一、圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥相交所得到的曲线。
根据平面与圆锥的位置关系，圆锥曲线分为三种类型：椭圆、抛物线和双曲线。
1. 椭圆：当平面与圆锥的切线小于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为椭圆。
椭圆具有以下性质：a. 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越接近于圆形；b. 椭圆的焦点是椭圆的特殊点，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常数；c. 椭圆的长轴、短轴及焦点之间存在一定的关系，可以通过这些参数来确定椭圆的形状和大小。
2. 抛物线：当平面与圆锥的切线等于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为抛物线。
抛物线具有以下性质：a. 抛物线具有对称性，焦点是抛物线的特殊点，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离；b. 抛物线的形状由焦点和准线的位置决定，焦点越靠近准线，抛物线越扁平。
3. 双曲线：当平面与圆锥的切线大于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为双曲线。
双曲线具有以下性质：a. 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线的形状越扁平；b. 双曲线的焦点是双曲线的特殊点，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是常数；c. 双曲线的长轴、短轴及焦点之间存在一定的关系，可以通过这些参数来确定双曲线的形状和大小。
二、双曲线的应用双曲线在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 光学：双曲线是抛物面镜和双曲面镜的截面曲线，这些曲线具有聚焦和发散光线的特性，被广泛应用于光学系统中，如望远镜、显微镜等。
2. 电磁场：在电磁学中，双曲线是电场和磁场的等势线，它们的分布和形状对电磁场的性质和行为有着重要的影响。
3. 天体力学：在天体力学中，双曲线被用来描述天体的轨道形状，如彗星的轨道就是一个双曲线。
圆锥曲线的一些性质
圆锥曲线是一种二维的曲线，其形状类似于圆锥的侧面。
它可以被定义为一个平面上的点组成的集合，使得该点组成的集合到一条直线（称为锥轴）的距离之和为常数。
圆锥曲线有许多有趣的性质，下面我们来介绍一些它的性质。
圆锥曲线是单峰曲线。
这意味着它在整个曲线上只有一个极值。
圆锥曲线是对称的。
这意味着，如果将曲线翻转过来，它仍然是完全相同的曲线。
圆锥曲线是平滑的。
这意味着，在曲线上没有任何突出的部分。
圆锥曲线的斜率在曲线的所有位置都是连续的。
这意味着，无论在曲线的哪个位置，都可以找到一条直线来拟合这段曲线。
圆锥曲线的曲率在曲线的所有位置都是连续的。
这意味着，无论在曲线的哪个位置，都可以找到一个圆来拟合这段曲线。
圆锥曲线是无限的。
这意味着，无论往哪个方向延伸，都可以找到一段曲线。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它具有许多独特的光学性质和应用。
在本文中，我们将探讨圆锥曲线的光学性质以及其在现实生活中的应用。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面上的一根直线和一个点所决定的曲线。
根据直线和点的位置关系，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆是一种闭合曲线，它的定义是到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
双曲线是一种开放曲线，它的定义是到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。
而抛物线是一种开放曲线，它的定义是到一个定点的距离等于到一条直线的距离的点的集合。
二、圆锥曲线的光学性质1.焦点和直径椭圆和双曲线都有焦点和直径的概念。
焦点是曲线上所有点到定点的距离之和等于常数的点的集合，而直径则是通过焦点的直线段。
焦点和直径是圆锥曲线的重要特征，它们在光学系统中有着重要的作用。
2.反射性质圆锥曲线具有良好的反射性质，它们可以将光线聚焦或者发散。
椭圆和双曲线可以将平行光线聚焦到焦点上，这种性质被应用在椭圆和双曲线反射镜中。
而抛物线则具有将入射光线聚焦到焦点上的性质，这种性质在抛物面反射镜中有着广泛的应用。
3.折射性质圆锥曲线也具有良好的折射性质，它们可以将光线聚焦或者发散。
这种性质被应用在折射镜和透镜中，可以用来调节光线的聚焦和散射。
4.散焦性质圆锥曲线还具有散焦性质，这种性质在光学系统中有着重要的应用。
椭圆和双曲线反射镜可以将平行光线聚焦到焦点上，这种性质被应用在望远镜和激光器中。
而抛物线反射镜可以将平行光线聚焦到焦点上，并使其散开成平行光线，这种性质被应用在卫星天线和抛物面反射镜中。
三、圆锥曲线在现实生活中的应用1.光学系统圆锥曲线在许多光学系统中有着重要的应用，例如望远镜、显微镜、相机镜头等。
这些光学系统都利用了圆锥曲线的焦距和聚焦性质，来实现光线的聚焦和成像。
2.通讯设备圆锥曲线也被广泛应用在通讯设备中，例如卫星天线和天线反射器。
这些设备利用了抛物线反射镜的散焦性质，来实现对信号的接收和发送。
圆锥曲线的性质与方程
圆锥曲线的性质与方程圆锥曲线是平面几何中重要的一类曲线，包括抛物线、椭圆和双曲线。
它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将介绍圆锥曲线的性质以及它们的方程。
一、抛物线的性质与方程抛物线是最简单的圆锥曲线，其性质和方程如下：1. 对称性：抛物线具有关于焦点对称的性质，即从焦点到抛物线上任意一点的距离与该点在水平直线上的投影之间的距离相等。
2. 焦点与准线：抛物线上的每个点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。
焦点和准线都是抛物线的重要几何特征。
3. 方程形式：一般来说，抛物线的标准方程为y^2=4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，x和y分别表示坐标轴上的点。
二、椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的另一种形式，其性质和方程如下：1. 对称性：椭圆具有关于两个焦点和两条主轴的对称性。
每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。
2. 长轴与短轴：两焦点之间的距离等于椭圆的长轴长度，长轴的中点称为椭圆的中心。
3. 方程形式：一般来说，椭圆的标准方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。
三、双曲线的性质与方程双曲线是另一种重要的圆锥曲线，其性质和方程如下：1. 对称性：双曲线有两个焦点，对于每个点到两个焦点的距离之差是一个常数。
2. 极限性质：双曲线的曲线趋向于两条互相平行的渐近线，与渐近线的距离越远，曲线越陡峭。
双曲线上的点的坐标差的绝对值等于常数。
3. 方程形式：一般来说，双曲线的标准方程为(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是双曲线的焦点到准线距离的一半。
综上所述，圆锥曲线是平面几何中重要且有趣的一类曲线。
抛物线、椭圆和双曲线分别具有自己独特的性质和方程形式。
它们的研究和应用不仅在数学领域有着重要作用，还在物理、工程等领域得到广泛的应用。
对于理解和运用圆锥曲线，掌握其性质与方程是非常关键的。
圆锥曲线的性质及推广运用
圆锥曲线的性质及推广运用翁其明(福建省平潭岚华中学ꎬ福建福州３５０４００)摘㊀要:会运用已知条件求解曲线的标准方程㊁焦点及与直线的位置关系ꎬ培养学生提出问题和解决问题的能力ꎬ增加学生的逻辑思维能力.关键词:圆锥曲线ꎻ性质应用ꎻ标准方程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００３４－０３收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:翁其明(１９６９.１１－)ꎬ男ꎬ福建省平潭人ꎬ本科ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀解析几何的重要内容就是圆锥曲线ꎬ并用代数的方法解决此类问题ꎬ也是高考数学考查的重难点ꎬ本文将从三个方面来阐述圆锥曲线的性质并做到举一反三.１圆锥曲线的性质１.１椭圆(１)概念:平面内的任意一点Ｍ到两个固定的点Ｆ１ꎬＦ２的距离之和等于常数(大于｜Ｆ１Ｆ２｜)的点的运动轨迹ꎬ有｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜＝２ａ.(２)标准方程:(焦点在ｘ轴)ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ(焦点在ｙ轴)ｙ２ａ２＋ｘ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ其中由分子ｘ２ꎬｙ２对应的分母的大小确定焦点的位置.(３)离心率:ｅ＝ｃａ(０<ｅ<１).１.２双曲线(１)概念:平面内的任意一点Ｐ到两个固定的点Ｆ１ꎬＦ２的距离之差等于非零常数(小于｜Ｆ１Ｆ２｜)的点的运动轨迹ꎬ有｜｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜｜＝２ａꎬ其中由分子ｘ２ꎬｙ２对应的分母的正负确定焦点的位置.(２)标准方程:(焦点在ｘ轴)ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)ꎬ(焦点在ｙ轴)ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)(３)离心率:ｅ＝ｃａ(ｅ>１).１.３抛物线(１)概念:平面内到定点Ｆ和定直线ｌ(不经过点Ｆ)的距离相等的点的运动轨迹ꎬ其中焦点的位置由一次项对应的变量决定.(２)标准方程:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)(焦点在ｘ轴正半轴)ꎬｙ２＝－２ｐｘ(ｐ>０)(焦点在ｘ轴负半轴)ꎬｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)(焦点在ｙ轴正半轴)ꎬｘ２＝－２ｐｙ(ｐ>０)(焦点在ｙ轴负半轴).２圆锥曲线的性质应用２.１求解三角形面积问题例１㊀如图１ꎬ已知Ｆ１ꎬＦ２是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的焦点ꎬＰ是椭圆上一点ꎬ且øＦ１ＰＦ２＝αꎬ求әＦ１ＰＦ２的面积.解析㊀设ＰＦ１＝ｒ１ꎬＰＦ２＝ｒ２ꎬ依题意有ｒ１＋ｒ２＝２ａꎬｒ２１＋ｒ２２－２ｒ１ｒ２ ｃｏｓα＝４ｃ２ꎬ{①②①２－②ꎬ得２ｒ１ｒ２(１＋ｃｏｓα)＝４(ａ２－ｃ２).４３图１㊀例１图即ｒ１ｒ＝４ｂ２２(１＋ｃｏｓα).所以ＳәＦ１ＰＦ＝１２ｒ１ｒ２ｓｉｎα＝ｂ２ｓｉｎα１＋ｃｏｓα＝ｂ２ｔａｎα２.例２㊀设Ｐ为双曲线ｘ２－ｙ２１２＝１上的一点ꎬＦ１ꎬＦ２是焦点ꎬ若ＰＦ１ʒＰＦ２＝３ʒ２ꎬ求әＦ１ＰＦ２的面积.解析㊀依据定义有ＰＦ１－ＰＦ２＝２ａ＝２.由ＰＦ１ʒＰＦ２＝３ʒ２ꎬ得ＰＦ１＝６ꎬＰＦ２＝４.又Ｆ１Ｆ２２＝(２ｃ)２＝４ˑ１３＝５２ꎬ所以ＰＦ１２＋ＰＦ２２＝Ｆ１Ｆ２２.所以ｃｏｓøＦ１ＰＦ２＝０.即ＰＦ１ʅＰＦ２.所以ＳәＦ１ＰＦ＝１２ＰＦ１ ＰＦ２＝１２ˑ６ˑ４＝１２.２.２求解离心率问题例３㊀如图２ꎬ椭圆上的点Ｐ和左焦点Ｆ１ꎬ右顶点Ａ和上顶点Ｂꎬ当ＰＦ１ʅＡＦ１ꎬＰＯʊＡＢ时ꎬ求椭圆的离心率.图２㊀例３图解析㊀设椭圆方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ因为Ｆ１(－ｃꎬ０)ꎬｃ２＝ａ２－ｂ２ꎬ则Ｐ(－ｃꎬｂ１－ｃ２ａ２)ꎬ即Ｐ(－ｃꎬｂ２ａ).因为ＰＯʊＡＢꎬ所以ｋＰＯ＝ｋＡＢ.即－ｂａ＝－ｂ２ａｃ.所以ｂ＝ｃ.又因为ａ＝ｃ２＋ｂ２＝２ｂꎬ所以ｅ＝ｃａ＝ｂ２ｂ＝２２.例４㊀如图３ꎬ已知椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ与ｘ轴正半轴相交于点Ａꎬ与ｙ轴正半轴相交于点Ｂꎬ左焦点为Ｆꎬ且ＡＢʅＢＦꎬ求椭圆的离心率.图３㊀例４图解析㊀由题知Ａ(ａꎬ０)ꎬＢ(０ꎬｂ)ꎬＦ(－ｃꎬ０)ꎬ因为ＡＢʅＢＦꎬ所以ｋＡＢ ｋＢＦ＝－１.又ｋＡＢ＝－ｂａꎬｋＢＦ＝ｂｃꎬ代入上式ꎬ得－ｂａ ｂｃ＝－１.利用ｂ２＝ａ２－ｃ２ꎬ代入消掉ｂ２ꎬ得ｃ２＋ａｃ－ａ２＝０.即(ｃａ)２＋ｃａ－１＝０.由ｅ２＋ｅ－１＝０ꎬ解得ｅ＝－１ʃ５２.因为１>ｅ>０ꎬ所以ｅ＝－１＋５２.２.３求解圆锥曲线的最值问题例５㊀如图４ꎬ已知抛物线方程ｙ２＝４ｘꎬ焦点为Ｆꎬ定点Ａ(５ꎬ３)ꎬ若点Ｐ在抛物线上运动ꎬ则ＡＰ＋ＰＦ的最小值为.图４㊀例５图解析㊀点Ｐ在准线上的射影为Ｄꎬ由已知得ＰＦ＝ＰＤ.５３所以ＡＰ＋ＰＦ＝ＡＰ＋ＰＤ.即当ＤꎬＰꎬＡ共线时ꎬＡＰ＋ＰＦ取得最小值.抛物线的准线方程为ｘ＝－１ꎬ所以ＡＰ＋ＰＤ＝ＡＤ＝５－(－１)＝６.所以(ＡＰ＋ＰＦ)ｍｉｎ＝６.例６㊀已知椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬＡＢ为过中心的弦ꎬ焦点Ｆ(ｃꎬ０)(ｃ>０)ꎬ求әＦＡＢ的最大面积[１].解析㊀设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬ则由椭圆的对称性得Ｂ－ｘ１ꎬ－ｙ１().则ＳәＡＢＦ＝ＳәＡＯＦ＋ＳＢＯＦ＝１２ＯＦ ｙ１＋ＯＦ －ｙ１()＝ＯＦ ｙ１.因为ｙ１ɤｂꎬ所以ＳәＡＢＦɤｂｃ.所以(ＳәＦＡＢ)ｍａｘ＝ｂｃ.２.４圆锥曲线光学性质的应用例７㊀如图５ꎬ已知Ｆ１ꎬＦ２是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的焦点ꎬＰ１ꎬＰ２分别是Ｆ１ꎬＦ２在椭圆上任一切线ＣＤ上的射影ꎮ(１)求证:Ｆ１Ｐ Ｆ２Ｐ为定值(２)求Ｐ１ꎬＰ２的轨迹方程图５㊀例７图解析㊀(１)设Ｑ为切点ꎬ由椭圆光学性质得øＦ１ＱＰ１＝øＦ２ＱＰ２ꎬ设为αꎬ则Ｆ１Ｐ１＝Ｆ１ＱｓｉｎαꎬＦ２Ｐ２＝Ｆ２Ｑｓｉｎαꎬ所以Ｆ１Ｐ１ Ｆ２Ｐ２＝Ｆ１Ｑ Ｆ２Ｑｓｉｎ２α.又øＦ１ＱＦ２＝１８０ʎ－２αꎬ则在ΔＦ１ＱＦ２中ꎬＦ１Ｆ２２＝Ｆ１Ｑ２＋Ｆ２Ｑ２－２Ｆ１ＱＦ２Ｑｃｏｓ(１８０ʎ－２α)＝(Ｆ１Ｑ＋Ｆ２Ｑ)２－２Ｆ１Ｑ Ｆ２Ｑ(１－ｃｏｓ２α)＝(２ａ)２－２Ｆ１Ｑ Ｆ２Ｑ[１－(１－２ｓｉｎ２α)]＝４ａ２－４Ｆ１Ｑ Ｆ２Ｑｓｉｎ２α＝４ａ２－４Ｆ１Ｐ１ Ｆ２Ｐ２.则４Ｆ１Ｐ１ Ｆ２Ｐ２＝４ａ２－Ｆ１Ｆ２２＝４ａ２－４ｃ２＝４ｂ２.所以Ｆ１Ｐ Ｆ２Ｐ１＝ｂ２为常数ꎬ即为定值[２].(２)设点Ｏ在ＣＤ上的射影为点Ｍꎬ则ＯＭ是直角梯形Ｆ１Ｆ２Ｐ２Ｐ１的中位线ꎬ于是有ＯＭ＝１２(Ｆ１Ｐ１＋Ｆ２Ｐ２).在ＲｔәＯＰ１Ｍ中ꎬＯＰ１２＝ＭＰ１２＋ＯＭ２＝Ｐ１Ｐ２２æèçöø÷２＋Ｆ１Ｐ１＋Ｆ２Ｐ２２æèçöø÷２＝１４[Ｆ２Ｎ２２＋(Ｆ１Ｐ１２＋Ｆ２Ｐ２２)＝１４[Ｆ１Ｆ２２＋(Ｆ１Ｐ１－Ｆ２Ｐ２)２＋(Ｆ１Ｐ１－Ｆ２Ｐ２)２]＝１４(４ｃ２＋４Ｆ１Ｐ１ Ｆ２Ｐ２)＝１４(４ｃ２＋４ｂ２)＝ａ２.同理ＯＰ２＝ａ２.所以Ｆ１ꎬＦ２的轨迹是以Ｏ为圆心ꎬａ为半径的圆ꎬ方程为ｘ２＋ｙ２＝ａ２.综上ꎬ本文共阐述了四大类解决圆锥曲线的相关问题ꎬ此类解题方法帮助学生加强对圆锥曲线的学习ꎬ并能更加有效地帮助学生打开解决此类问题的思路.参考文献:[１]丁振年ꎬ张传伟.对圆锥曲线两个性质的推广的再推广[Ｊ].昭通师范高等专科学校学报ꎬ２００３(０５):１８－２０.[２]段惠民.一个圆锥曲线性质的推广[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２００６(０７):２２－２３.[责任编辑:李㊀璟]６３。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是数学中的重要概念之一，是一个由一个动点和一个定点之间的线段所确定的曲线。
它包括椭圆、双曲线和抛物线这三种基本形式。
圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域均有广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于深入学习和应用这些领域的知识至关重要。
以下是圆锥曲线的一些常见知识点整理：1. 椭圆：椭圆是一个闭合的曲线，它有两个焦点和一个长轴。
定义椭圆的一个特性是到两个焦点的距离之和等于常数，这个常数被称为椭圆的短轴长度。
椭圆的方程可以表示为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴。
2. 双曲线：双曲线是一个开放的曲线，它有两个分离的分支。
双曲线的定义也与焦点有关，但与椭圆的定义不同，双曲线的焦点之间的距离差等于常数。
双曲线的方程可以表示为(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别代表双曲线的半长轴和半短轴。
3. 抛物线：抛物线是一个开放的曲线，它有一个焦点和一个直线称为准线。
抛物线的定义与焦点和准线之间的距离以及焦点到曲线上任意一点的距离有关。
抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b和c分别代表抛物线的系数。
4. 圆锥曲线的性质：圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点。
例如，椭圆的离心率小于1，而双曲线的离心率大于1。
抛物线的离心率等于1，它在焦点上有对称性。
此外，圆锥曲线还具有切线、法线、渐近线等几何性质，这些性质在解题和实际应用中非常重要。
5. 圆锥曲线的应用：圆锥曲线在许多领域都有广泛的应用。
在天文学中，行星的轨道可以用椭圆来描述；在工程学中，双曲线常用于天线的设计和无线通信的信号传播；在物理学中，抛物线可用于描述物体在重力作。
圆锥曲线的例子鸟巢
圆锥曲线的例子鸟巢摘要：一、圆锥曲线的定义和性质1.圆锥曲线的概念2.圆锥曲线的分类3.圆锥曲线的性质二、鸟巢建筑与圆锥曲线的关系1.鸟巢建筑的设计理念2.鸟巢建筑的结构特点3.圆锥曲线在鸟巢建筑中的应用三、圆锥曲线在现实生活中的应用1.工程设计领域2.自然界中的现象3.其他实际应用案例正文：圆锥曲线是一种数学曲线，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍圆锥曲线的定义和性质，并探讨鸟巢建筑与圆锥曲线的关系，以及圆锥曲线在现实生活中的应用。
一、圆锥曲线的定义和性质1.圆锥曲线的概念圆锥曲线是指在平面上，到定点（圆锥顶点）的距离与到定直线（圆锥轴线）的距离之比为常数的点的轨迹。
根据这个比例系数，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线、抛物线和它们的简化形式：圆和直线。
2.圆锥曲线的分类根据椭圆、双曲线和抛物线的具体形状和参数，圆锥曲线可以进一步细分为多种类型。
3.圆锥曲线的性质圆锥曲线具有很多优美的性质，如焦点、准线、离心率等，这些性质为实际应用提供了理论基础。
二、鸟巢建筑与圆锥曲线的关系1.鸟巢建筑的设计理念鸟巢建筑是中国建筑师隈研吾设计的，它的设计灵感来源于鸟巢的结构。
鸟巢建筑以钢结构和透明材料为主要材料，呈现出一种轻盈、自然的视觉效果。
2.鸟巢建筑的结构特点鸟巢建筑的结构特点是将许多钢柱按照椭圆形状排列，形成一个巨大的鸟巢状结构。
这种结构使得鸟巢建筑具有很好的稳定性和观赏性。
3.圆锥曲线在鸟巢建筑中的应用在鸟巢建筑中，椭圆形状的钢柱构成了建筑的主体结构，这种结构使得鸟巢建筑呈现出一种优美的椭圆曲线。
这种椭圆曲线正是圆锥曲线的一种，它使得鸟巢建筑成为了一个典型的圆锥曲线应用实例。
三、圆锥曲线在现实生活中的应用1.工程设计领域在工程设计领域，圆锥曲线被广泛应用于桥梁、隧道、飞机翼等结构的设计。
通过运用圆锥曲线的优美性质，可以提高这些结构的稳定性和性能。
2.自然界中的现象在自然界中，很多现象都遵循圆锥曲线的规律，如行星的轨道、植物的生长等。
平面几何中的圆锥曲线的性质
平面几何中的圆锥曲线的性质圆锥曲线是平面几何中的重要概念，其性质和特点对于数学研究和实际应用都具有重要意义。
本文将详细介绍圆锥曲线的性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。
一、椭圆的性质椭圆是由平面上一动点到两个不重合定点之间的距离之和等于常数的点构成的轨迹。
椭圆具有以下性质：1. 定义性质：椭圆的定义是由焦点F1、F2和到焦点的距离之和等于常数2a（其中a为焦点到中心的距离）的点P所构成的轨迹。
2. 焦半径性质：椭圆的每个点到两个焦点的距离之和等于定长2a。
3. 切线性质：椭圆上每个点处的切线与从该点到两个焦点的连线垂直。
4. 法线性质：椭圆上每个点处的法线与从该点到两个焦点的连线垂直。
5. 长短轴性质：椭圆的焦半径之和等于两个轴的长度。
6. 推求性质：椭圆的离心率小于1。
二、双曲线的性质双曲线是平面上一动点到两个定点之距离相差等于常数的一点所构成轨迹。
双曲线具有以下性质：1. 定义性质：双曲线的定义是由两个焦点F1、F2和到焦点的距离之差等于定常差2a（其中a为焦点到中心的距离）的点P所构成的轨迹。
2. 焦半径性质：双曲线的每个点到两个焦点的距离之差等于定差2a。
3. 切线性质：双曲线上每个点处的切线与从该点到两个焦点的连线垂直。
4. 法线性质：双曲线上每个点处的法线与从该点到两个焦点的连线垂直。
5. 长短轴性质：双曲线的焦半径之差等于两个轴的长度。
6. 推求性质：双曲线的离心率大于1。
三、抛物线的性质抛物线是平面上到定直线和定点距离相等的点所构成的轨迹。
抛物线具有以下性质：1. 定义性质：抛物线的定义是到定直线和定点的距离相等的点所构成的轨迹。
2. 焦点定理：抛物线上每个点到焦点的距离等于到定点的距离。
3. 切线性质：抛物线上每个点处的切线与定直线垂直。
4. 法线性质：抛物线上每个点处的法线与定直线垂直。
5. 推求性质：抛物线的离心率等于1。
四、应用和拓展圆锥曲线的性质在实际应用中有广泛的用途，例如物体运动的轨迹、通信天线的设计、卫星轨道的计算等。
圆锥曲线性质一览表
圆锥曲线性质一览表圆锥曲线性质一览表：椭圆：定义：点P到两个焦点的距离之和等于常数2a。
简图：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ （a>b>0）范围：$|x|\leq a。
|y|\leq b$性质：对称轴：x轴、y轴中心对称：原点（0,0）焦点：F1(-c,0)、F2(c,0) （c=\sqrt{a^2-b^2}）顶点：A1(-a,0)、A2(a,0)焦半径：p=\frac{b^2}{a}准线：y=\pm\frac{b}{a}x焦参数：e=\frac{c}{a}离心率：e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}渐近线：y=\pm\frac{b}{a}x通径：长度为2b的线段，连接椭圆上相对的两点切线：斜率为$\frac{-b^2x}{a^2y}$的直线弦长：$2\sqrt{a^2-y^2}$双曲线：定义：点P到两个焦点距离之差的绝对值等于常数2a。
简图：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （a>0，b>0）范围：$|y|<\frac{b}{a}|x|$性质：对称轴：x轴、y轴中心对称：原点（0,0）焦点：F1(-c,0)、F2(c,0) （c=\sqrt{a^2+b^2}）顶点：无焦半径：p=\frac{b^2}{a}准线：y=\pm\frac{a}{b}x焦参数：e=\frac{c}{a}离心率：e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}渐近线：y=\pm\frac{b}{a}x通径：长度为2b的线段，连接双曲线上相对的两点切线：斜率为$\frac{b^2x}{a^2y}$的直线弦长：$2\sqrt{a^2+y^2}$抛物线：定义：点P到定点F和定直线d的距离相等。
简图：标准方程：$y^2=2px$ （p>0）范围：$y\geq 0$性质：对称轴：x轴中心对称：焦点F焦点：F(p,0)顶点：A(0,0)焦半径：p准线：y=0焦参数：e=1离心率：e=1渐近线：无切线：斜率为$\frac{y}{2p}$的直线弦长：$2\sqrt{2py}$总结：以上三种圆锥曲线的性质有很多相似之处，但也有一些不同。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是由一个圆锥和一个平面相交而产生的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线在光学中具有重要的应用，因为它们的光学性质可以用于设计光学器件和进行光学测量。
本文将围绕圆锥曲线的光学性质及其应用展开阐述。
1.圆锥曲线的光学性质圆锥曲线在光学中具有许多重要的性质，其中包括反射、折射和像的形成等。
(1)圆锥曲线的反射性质当光线射到圆锥曲线上时，根据光的入射角等于反射角的规律，可以确定光线的反射方向。
圆锥曲线的反射性质在光学器件中有广泛的应用，比如反射镜和光学透镜等。
(2)圆锥曲线的折射性质当光线穿过圆锥曲线的介质边界时，会发生折射现象。
根据斯涅尔定律，可以确定光线的折射角和入射角之间的关系。
圆锥曲线的折射性质在光学器件设计中有着重要的应用，比如透镜、棱镜和光纤等。
(3)圆锥曲线的像的形成根据几何光学原理，当光线经过圆锥曲线反射或折射后，会形成特定位置和大小的像。
这种像的形成原理在光学成像系统中有广泛的应用，比如照相机、望远镜和显微镜等。
2.圆锥曲线的应用圆锥曲线在光学中有着广泛的应用，包括光学器件设计、光学测量和成像系统等。
(1)光学器件设计圆锥曲线的反射和折射性质可以用于设计各种光学器件，比如反射镜、透镜、棱镜、光纤和光栅等。
通过合理设计和加工圆锥曲线表面，可以实现对光线的精确控制和操纵，满足不同应用场景的需求。
(2)光学测量圆锥曲线的像的形成原理可以用于光学测量中。
比如在显微镜中，通过调整镜头的位置和焦距，可以获得清晰的放大像；在激光干涉仪中，利用圆锥曲线的反射和折射性质，可以实现对光程差的测量。
(3)成像系统圆锥曲线在成像系统中有着重要的应用。
通过合理设计和排列圆锥曲线表面，可以实现对光线的收敛和聚焦，从而获得清晰的成像效果。
比如在照相机和望远镜中，利用透镜的折射性质，可以实现对远处景物的清晰成像。
3.圆锥曲线的优化设计圆锥曲线的光学性质可以通过优化设计来满足特定的应用需求。
圆锥曲线的性质
到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线．当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线.统一方程为2222-+-+=(1)20e x y px p一．圆锥曲线的基本性质二．圆锥曲线光学性质定理1 从圆锥曲线的一焦点发出的光，经过圆锥曲线的反射后，得到的反射光线所在的直线相交于圆锥曲线的另一个焦点（抛物线的另一个焦点可看为无穷远点）.证明:这里可以分为三种情况来进行证明，分别是在椭圆、双曲线、抛物线，下面就来对其进行证明，如图所示1． 椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分（图2.1）．即可以转化成以下的数学语言.已知：如图，椭圆C的方程为22221x y a b+=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D 设21,F PD F PD αβ∠=∠=，只需求证αβ=．证明过程如下由椭圆C 的方程为22221x y a b+=且00(,)P x y C ∈，则过点P 的切线方程为：00221x x y ya b+=图1.3图1.2 图1.1'l 是通过点P 且与切线l 垂直的法线，则0000222211':()()()y x l x x y b a b a -=-所以法线'l 与x 轴交于20((),0)cD x a故22102022||,||c c F D x c F D c x a a=+=-故201220||||a cx F D F D a cx +=- 又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-故1122||||||||F D PF F D PF =故PD 是12F PF ∠的平分线 则αβ=又ββαα'+=︒='+90，则可得βαβα'='⇔=2. 双曲线上一个点P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点P 处的切线平分（图2.2）．即可以转化成以下的数学语言.已知：如图，双曲线C 的方程为22221x y a b -=，1F ，2F 分别是其左、右焦点，l 是过双曲线C 上的一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于点D设1F PD α∠=，2F PD β∠=，只需求证αβ=．证明过程如下由双曲线C 的方程为22221x y a b-= 知，双曲线的两焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c )(222b a c +=因为00(,)P x y 在双曲线上 则过点P 的切线00221x x y ya b-= 切线l 与x 轴交于20(,0)a D x ．由双曲线的焦半径公式得1020||||,||||c cPF x a PF x a a a=+=- 双曲线的两焦点坐标为)0,(c F ，)0,(c F -' 故011102000220||||||||||||,||||||,||||||cx a PF DF a c a c a DF x a DF x a c x a x a PF DF x a a+=+=-==- 则切线l 为F FP '∠之角平分线．3 .抛物线上一个点P 的焦半径与过点P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P 处法线平分（图2.3）．可以转化为如下的数学语言已知：如图，抛物线C 的方程为为24y cx =，直线l 是过抛物线上一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于D ，,DPF PDF α∠=∠反射线PQ 与l 所成角记为β，只需求证αβ=抛物线C 的方程为2:4C y cx =，点00(,)P x y 则过点P 的切线为00()y y p x x =+切线l 与x 轴交于0(,0)D x -,焦点为)0,(c F ，γβ= (同位角) 又图2.300||||,||||PF x c DF x c ==+=+故||||PF DF =故γαβα=⇔=综合上面的证明过程，就可以得到我们所要证明的结论．三．由圆的性质推广得到圆锥曲线的几何性质1 蝴蝶定理如图,设AB 是圆的一条弦,过AB 的中点M 作弦,CD EF , 连结 ,CF DE 分别交AB 于点,P Q ,求证: PM MQ =这是在圆中蝴蝶定理的描述，现在可以将其推广到圆锥曲线当中．定理2 （蝴蝶定理）设 AB 是圆锥曲线Γ的一条垂直于其对称轴的弦，过中点M 任作Γ的两条弦 CD ，EF ，直线 CF 、DE 、DF 、CE 分别交 AB 于点P 、Q 、G 、H . 则有,PM MQ GM MH ==证明: 如图所示 ,取AB 重点M 为原点AB 所在直线 为x 轴建立直角坐标系.如果Γ为有心圆锥曲线,则设其中心为0(0,)y .方程为220()ax b y y c +-=又设CD ，EF 方程分别为12,y k x y k x ==则过点,,,C D E F 四点的圆锥曲线系方程为22012[()]()()0m ax b y y c n y k x y k x +--+--= (1)在(1)中取0y =得方程222012()0m ax by c nk k x +-+=不难看出方程的根为一对相反数,因此圆锥曲线(1)与x轴的两交点关于M 点对称.所以CF与DE、DF与CE作为圆锥曲线系(1)中的曲线,与x轴的两个交点P与Q、G与H同样关于点M成中心对称,则==PM MQ GM MH,如果Γ为无心二次曲线,即为抛物线时,设其方程为2=+y ax c下面的证明方法类同于有心圆锥曲线的情况,即给出证明.2 帕斯卡定理如果圆内接六边形的三组对边都不平行,则该三组对边所在直线的交点共线.帕斯卡定理不只是在圆中成立,它在圆锥曲线也照样成立.现在就来看下塔在圆锥曲线中的情况.定理 3 (帕斯卡定理)如果圆锥曲线Γ内接六边形的三组对边都不平行,则这三组对边所在的直线的交点共线.证明；如图所示设简单六点形ABCDEF，其三对对边的交点分别为L M N，则,,===L AB DE M BC EF N CD FA,,以,A C为心，分别连接其他四点，则有A B D E F C B D E F∧(,,,)(,,,)设==,AF DE P EF CD Q则∧C BDEF M Q E F∧且(,,,)(,,,)A B D E F L D E P(,,,)(,,,)所以(,,,)(,,,)∧L D E P M Q E F由于两个点列底的交点E E→故有(,,,)(,,,)L D E P M Q E F ∧所以,,LM DQ PF 三线共点 但DQ PF N =即,,L M N 三点共线四．与焦点弦相关的几条性质定理4 设AB 为离心率是e 的圆锥曲线的焦点弦，且弦长2AB R =，则AB 中点M 到焦点相应准线的距离R d e=证明 不妨以椭圆为例加以证明．（双曲线和抛物线同理可证）设椭圆方程为222222(0)b x a y a b a b +=>>，其右焦点为F ，右准线为l ，AB 为过F 且中点为M 的焦点弦．若分别过,,A M B 作直线l 的垂线段111,,AA MM BB （如图）．由定义4知 11,AF BF e e AA BB ==即11,AF BFAA BB e e== 所以M 到l 的距离为1111()22AB R d MM AA BB e e==+==定理5 设AB 为过圆锥曲线的一个焦点F 的一条弦，p 为F 到其相应准线的距离，e 为圆锥曲线的离心率，则112AF BF ep+= 证明 以双曲线为例进行证明（椭圆和抛物线证明同理）设弦AB 倾斜角为θ，过A 作1AA l ⊥于1A ，过F 作1FD AA ⊥于1FD AA ⊥，过F 作FK l ⊥于K ，则1cos ,DA FA A D KF p θ===由定义４得11cos 1cos FA epAA A D DA p FA FA e e θθ==+=+⇒=- 同理1cos epFB e θ=+所以111cos 1cos 2e e FA FB ep ep epθθ-++=+= 定理6 圆锥曲线C 的离心率为e ，AB 为过焦点F 而不垂直于曲线C 的对称轴的弦，且线段AB 的中垂线交曲线C 的过焦点的对称轴于R ，则2ABFR e= 证明 设圆锥曲线的焦点为F ，AB 的中垂线为MR （如图），过A 作AC 垂直准线于C ，过B 作BD 垂直于准线于D ，作BK 垂直AC 于K ，则Rt MFR Rt KAB于是有AB KA FRFM=而21()FM KA AC BD FA ABC FB e e=-=-=所以2KA FMe=所以2ABFR e =五．圆锥曲线的几何性质的应用㈠圆锥曲线基本性质的应用圆锥曲线的基本性质在高考中是一个重要考点．利用数学结合思想，对圆锥曲线的一些常见问题来进行解决．这类问题比较简单，容易解决．下面就来看下这两个高考题．例1.1.3（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（ ）3B.2 8C 3． 2D 3．分析 根据焦点在x 轴上的椭圆的方程22221x y a b+=，得到20m >>，又根据圆锥曲线的性质222a b c -=和c e a=，可以很容易的建立一个二元方程，解得m ．解 由题意建立方程组22221124m c c e⎧-=⎪⎨==⎪⎩ 解得32m =例1.1.2 (2006全国Ⅱ卷文、理)已知双曲线22221x y a b-的一条渐近线方程为4y=x 3,则双曲线的离心率为( ) A 35． 34Ｂ． C 5．4 D 23．分析 有双曲线的性质，可以知道双曲线渐近线的方程为by x a =±即可知道b a 的值，然后利用利用22222221c a b b e a a a +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭即可解得e 的值．解 由上面的分析即可解得22425139e ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭又0e >所以53e =㈡光学性质的应用⑴解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点. 这虽然还只是一种停留‘经验、感觉’层面上的结论，但却为我们研究一类‘距离之和’ 取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从‘想不到’到‘想得到’的关键问题．如果再辅以严格的数学证明，这种‘经验、感觉’依然是很有价值的、不可替代的”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题．例2.1 已知椭圆C ：221259x y +=，12,F F 为分别是其左右焦点，点(2,2)Q ，P 是C 上的动点，求1MF MQ +的取值范围．分析猜想：经计算，(2,2)Q 点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此1MF MQ +应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值．同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从1F 射出被椭圆反射后经过点Q 的光线所经过的路程往往是最短的．这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2.1，光线从1F →1P →Q ），二是被下半椭圆反射（如图3.2.2，光线从1F →2P →2F →Q ），究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图3.2.1中的1112PF PQ a +< (2a 为椭圆长轴长)，而图3.2.2中的2122P F P Q a +>，可见图3.2.1所示的情况距离之和更小．但是，最大值又是多少呢？图3.2.2所示的光线又有什么特点呢？ 将图3.2.1.和图3.2.2中的光线反射路线合并图3.2.3，由于1112124PF PQ P F P Q a +++= a 为椭圆长半轴长．而111PF PQ +最小，由此猜测212P F P Q +可能就是最大值． 证明|111PF PQ +是最小值． 如图3.2.2，连接2QF ，延长交椭圆于2P ，在椭圆上另取一点2P '，由椭圆定义知1212122PQ QF PF P F P F ''-+=+ 因为2222P F P Q QF ''≥-代入（*）式得222121222P Q QF P F P F P Q P F '''-+≥+-所以，221212P Q P F P F P Q ''+≥+猜想得证． 综上所述，只需求出2||F Q ==22||10a F Q -=-最大值为22||10a F Q +=+例2.2 已知双曲线C ：2213y x -=， F 1、、F 2为分别是其左右焦点，点9(4,)2Q ，M 是C 上的动点，求2MF MQ +的取值范围．分析猜想：经计算，Q 点在双曲线右支开口内部．由于双曲线是不封闭曲线，显然2MF MQ +可以无限大，故要求2MF MQ +的取值范围，关键是求出2MF MQ +的最小值．根据光线的“最近传播”特点，我们猜想：从1F 射出经双曲线反射后经过点Q 的光线所经过的路程往往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点），可作出从1F 射出被双曲线反射后经过点Q 的光线：连接1FQ ，与双曲线的交点即为使得2MF MQ +最小的点，设为P 点，光线从2F →P →Q （见图2）．证明 如图2按猜想作出点P ，由于所求点P 显然不在双曲线的左支上（此时显然距离之和不会最小），故在右支上另取一点P '．由双曲线定义知1212PF PF P F P F ''-=-即1212PF P F P F PF ''+=+因为11PF PQ PQP F ''+≤+ 两边同加2PF 得121212PF PQ PF PQP F PF PQ PF P F ''''++≤++=++ 故22PQ PF PQP F ''+≤+ 猜想得证． 由题意知 因为19(2,0),(4,)2F Q -所以2112112111||||||||||||(||||)||22PQ PF FQ F P PF FQ F P PF FQ A +=-+=--=-= 例2.3 已知抛物线C ：x y 42=，F 是其焦点，点(2,1)Q ，M 是C 上的动点，求MF MQ +的取值范围．分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值．根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过Q 与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点．设为P 点（见图3.2.6）．可由抛物线的定义证明猜想是正确的．且3PF PG +≥⑵圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用光线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角），光线被曲线反射也不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线．可见，曲线的切线和与曲线有关的反射问题有着密切联系．以椭圆为例：如图3.3.1，l 是过椭圆周上一点P 的椭圆的切线，m 是P 点处的法线，光线从12()F F 射出被椭圆反射经过21()F F ，满足12∠=∠，且34∠=∠．2.4 已知l 是过椭圆C ：2211612x y +=上一动点P 的椭圆C 的动切线，过C 的左焦点1F 作l 的垂线，求垂足Q 的轨迹方程．分析 如图3.3.2，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐．由于l 是椭圆的切线，切点为P ，联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：l 是12F PF ∠的外角平分线，1F 关于直线l 的对称点2F '在F 2P 的延长线上．图由于12PF F P '=故121228F F PF PF a '=+==而Q 、O 分别是11F F '1、22F F '的中点 所以4OQ =从而Q 点轨迹是以O 为圆心、以4为半径的圆，即点Q 的方程为 2216x y +=⑶在生产生活中的作用例 2.5 某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图3.4.1，其中F 为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm 为单位的设计尺寸如 图3.4.2．为了达到最佳加热效果，F 应距碟底多少？解 以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x 轴，开口方向为x 轴的正向，建立坐标系如图3.4.2，则内壁抛物线方程为22y px =．据所示尺寸，抛物线过坐标为(40,85)的点 所以28524080p p =*=解得90.3p ≈加热点F 应置于抛物线的焦点．焦点坐标为(,0)(45.2,0)2p= 所以F 应距碟底约45.2cm图3.2.7图3.2.8㈢由圆的性质引出的圆锥曲线的性质的应用 ⑴蝴蝶定理的应用例3.1 （2003年北京市理科数学第18题）如图，椭圆的长轴12A A 与x 轴平行，短轴12B B 在y 轴上，中心为(0,)(0)M r b r >> （1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）直线1y k x =交椭圆于两点11222(,),(,)(0)C x y D x y y >，直线2y k x =交椭圆于两点33444(,),(,)(0)G x y H x y y >求证：2341121234k x x k x x x x x x =++； （3）对于（Ⅱ）中的,,,C D G H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q . 求证：OP OQ =（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形）分析 第（1）问是利用椭圆的基本性质，而第（2）问是利用平面解析几何的知识，这里就不再进行详细的说明．第（3）问细细对其进行分析不难看出，它就是蝴蝶定理的一个特殊情况． 第（3）问证明中用到了三点共线的充要条件和过两点的直线的斜率公式，分别解出,p q 以后，OP OQ =等价转化成了p q =-此时分析前提条件（2）及待证结论p q =-，关键在于沟通2341121234k x x k x x x x x x =++与231412231124x x x x k x k x k x k x -=--的联系．解 （1）略（2）略（3）证明：设点(,0)P p ，点(,0)Q q ，由,,C P H 共线，得111222x p k x x p k x -=- 解得12121122()k k x x p k x k x -=-由,,D Q G 共线，同理可得12231223()k k x x q k x k x -=-由上题可知2341121234k x x k x x x x x x =++ 变形得231412231124x x x x k x k x k x k x -=-- 即1223121412231124()()k k x x k k x x k x k x k x k x ---=-- 所以||||p q =即||||OP OQ =⑵巴斯卡定理的应用巴斯卡定理本是在射影几何中产生和发展,反过来,我们在研究二次曲线的性质时运用巴斯卡定理的特殊性质,就会使问题变得简单扼要．由于椭圆(一般二次曲线)和圆(特殊二次曲线)有共同的仿射变换,于是就产生了巴斯卡定理及其对偶定理在初等几何中的种种应用．关于巴斯卡定理的应用很广泛,在这里将其分为三类,第一类是在高等几何中的应用;第二类是关于几何作图的应用;第三类是在初等几何中的应用．其中在第三类应用中,若一个关于一般图形的命题,仅仅是涉及仿射性质和仿射不变量,则可以用题设图形的特殊仿射来证明．特殊图形具有较多的条件,往往可以借助特殊图形的度量性质来证明．既然一般图形和它的特殊仿射象有相同的仿射性质,那么,一般图形的原命题随着特殊图形的新命题的证明而得到证明.例3.2 二阶曲线上的射影变换由三对对应点唯一决定．证明 (如图),由点列的性质可知(,,,)(,,,)A A B C A A B C ''''∧由透视性质知(,,,)(,,,)A A B C A A B C ''''∧XY 是这个透视线束的透视轴,由巴斯卡定理可得,在,,,A A B B C C '''→→→ ,这个射影变换中,任何一对对应点为线束中心所得到的透视轴都是相同的．注:从这个例题可以看出,运用巴斯卡定理很容易就能证明二次曲线上存在射影变换的必要条件.㈣与焦点弦相关的几条性质的应用例4.1 (1)设AB 为椭圆的焦点弦,则以AB 为直径的圆与相应准线关系____ (2) 设AB 为双曲线的焦点弦,则以AB 为直径的圆与相应准线关系____(3) 设AB 为抛物线的焦点弦,则以AB 为直径的圆与相应准线关系____ 分析 这三个问题时是对定理2.4.1的应用,根据性质我们可以得到以AB 为直径圆的圆心到椭圆、双曲线和抛物线相应准线之间的距离，从而判断出圆与准线之间的位置关系。
圆锥曲线的性质
简介两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
圆锥曲线具有许多优良的性质，并能直接联系实际应用，因此在高中数学中占据重要地位。
在高考中所占分值一般为20分左右，且多与其他知识点相结合、以压轴题的形式出现，综合性强，难度较大。
掌握它的一些重要性质，至关重要。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质）。
圆锥曲线的性质
圆锥曲线的性质
圆锥曲线有以下性质：
1. 椭圆：如果一个圆锥的切平面与圆锥轴的夹角小于圆锥斜面与轴的夹角，那么交线就是一个椭圆。
2. 双曲线：如果一个圆锥的切平面与圆锥轴的夹角大于圆锥斜面与轴的夹角，那么交线就是一个双曲线。
3. 抛物线：如果一个圆锥的切平面平行于圆锥底面，那么交线就是一个抛物线。
4. 所有圆锥曲线都是对称图形。
5. 椭圆和双曲线的离心率（eccentricity）小于1，而抛物线的离心率等于1。
6. 椭圆和双曲线有两个焦点，抛物线有一个焦点。
7. 焦距（focal length）是从焦点到对准点的距离，它是所有圆锥曲线的一个重要参数。
8. 每个圆锥曲线都可以表示为二次方程的形式： Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。
其中 x 和 y 代表直角坐标轴上的坐标。
圆锥曲线性质总结
椭圆的定义、标准方程、图象及几何性质：双曲线的定义、标准方程、图象及几何性质：抛物线的定义、标准方程、图象及几何性质：0>p圆锥曲线的统一定义：若平面内一个动点M 到一个定点F 和一条定直线l 的距离之比等于一个常数)0(>e e ，则动点的轨迹为圆锥曲线。
其中定点F 为焦点，定直线l 为准线，e 为离心率。
当10<<e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1>e 时，轨迹为双曲线。
1.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)23,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。
2、焦点三角形问题（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。
设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，焦点12F PF ∆的面积为S ，（1）在椭圆12222=+b y a x 中， ①θ＝)12arccos(212-r r b ，且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大为θm ax ＝222arccosa cb -；②20tan||2Sb c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；（2）对于双曲线22221x y a b -=的焦点三角形有：①⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21221arccos r r b θ；②2cot sin 21221θθb r r S ==。
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圆锥曲线的性质、基础知识（一）椭圆：1定义和标准方程：（1）平面上到两个定点F U F2的距离和为定值（定值大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆，其中F1, F2称为椭圆的焦点，F1F2称为椭圆的焦距（2）标准方程：①焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F1 -c,0 , F2C,0，设距离和2 2PF i PF2 = 2a，则椭圆的标准方程为：-y2 =1，其中a b 0,b2二a2 - c2a b②焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F10^C ,F20,C，设距离和2 2PFi +|PF2；=2a，则椭圆的标准方程为：专+令二丨，其中（a Ab>0,b2=a2—c2）a b焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2 22、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例：笃•爲=1 a b 0 a b（1）a:与长轴的顶点有关：A - a,0 ,A a,0 ，A A =2a称为长轴长b :与短轴的顶点有关: BdO,-b）,B2（0,b ），IB1B2 =2b称为短轴长C :与焦点有关：斤（—c,O ）F? （c,O ）, F1F2 =2c称为焦距（2）对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设P x O,y O，则-a乞x O空a,-b乞y O乞b（4）通径：焦点弦长的最小值①焦点弦：椭圆中过焦点的弦2b2②过焦点且与长轴垂直的弦，PQ|=——a说明：假设PQ过F r；_c,O ，且与长轴垂直，则P：L c, y O ,Q1. —c, - y O，所以= (|PF i | +IPF 2I ) -2 PF 』PF 2 (1 +COSF 1PF2 ) .4c 2 =4a 2 -2 PF j|PF 2 1 cosFfF 2 PF 」|PF 2 = " _2c1 +cosF 1PF 21 +cosF 1PF 2比2.込各比出n 吐 1 COS RPF 22F 1,F 2距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程:厶 + 卑=1 二 y ； =3，可得 y 。
-。
则 PQ =a ba a2b 2(5) 离心率：e = c，因为c a ，所以e -0,1a(6) 焦半径公式：称 P 到焦点的距离为椭圆的焦半径①设椭圆上一点 P(x 0,y 0 )，则 PR =a+ex), PF 2 ②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为(7)焦点三角形面积： S P FF 2二b 2tan ；(其中n1证明：S PF ^- PF 1 - PF 2 sinRPF 22+ PF且 F 1F 22-2 PF 1H PF 2 cosRPF ?=a - e)(Q (可记为“左加右减”)a c ，最小值为a - c=PF 1F 2)2b 21〈PFf =2PF1' PF2 1sin F ]PF 2:2 1 cosPF F2b 2sin F |PF 21因为 S PF/2 = 2 2c F 1PF 2We%，所以2=c y o ，由此得到的推论:①.F 1PF 2的大小与y 0之间可相互求出②• F 1PF 2的最大值: F 1 PF 2 最大二 S PF 1F 2最大二y o 最大=P 为短轴顶点(二) 双曲线:1、定义：平面上到两个定点F 「F 2距离差的绝对值为一个常数(小于 F 1F 2)的点的轨迹称为双曲线，其中 h,F 2称为椭圆的焦点,F 1F 2称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点(a >0 ,b a 0 b =2 c 卜2 a(a >0 , b > 0 b =2 c 卜2a焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数PF i — PF 2线标准2 x 方程为： 22—1其中b 2②焦点在y 轴：设双曲线上一点F10,- C , F 20,C，设距离差的绝对值 || PF i - PF 2 =2a , 则双线标准2y a2x —=1其中2、双曲线的性质：以焦点在 x 轴的双曲线为例:2x 2 a2y b 2-1 a 0,b(1)a :与实轴的顶点有关： A -a,0 a,0 ， A ]A 2 = 2a 称为实轴长b :与虚轴的顶点有关： B i 0,-b ,B 2 0,b ， B 1B 2 =2b 称为虚轴长c :与焦点有关：R(—c,0 )F2(C ,0 ), F 1F 2 =2c 称为焦距(2) 对称性：双曲线关于 x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称 (3) 双曲线上点坐标的范围：设P x g ,y 0，则有x g _-a 或x 0 _ a , y 0 • R亠亠c (4) 离心率：e ，因为c a ，所以e 二[1, •：：a限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。
①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0,再解2 2x y出y 关于x 的直线即可。
例如在二 2 =1 a 0,b0中，求渐近线即解：y_K二0 ,变形为y 二-x ，所以y a K二—x 即为双曲线的渐近线a② 渐近线的几何特点：直线 x = a,x - -a, y = b, y - -b 所围成的矩形，其对角线即为双 曲线的渐近线③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现 关系。
（6）通径：①内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段（7）焦半径公式：设双曲线上一点 P x o .y o ，左右焦点分别为F I ,F 2，则①PR =|a +ex), PF 2| = a — exo (可记为“左加右减”)②由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为c - a一 2 日（8）焦点二角形面积：设双曲线上一点P x 0, y 0 ，则S P FF - b cot （其中丁 - PRF 2） （三）抛物线：1、 定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线2、 抛物线的标准方程及焦点位置：小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上； 其坐标为一次项系数除以 4，例如：x2=4y ，则焦点在y 轴上，且坐标为 0,12*丄^^1p 3、 焦半径公式：设抛物线 y =2px （pA0 ）的焦点为F , A （x,y ），贝y AF = x +224、 焦点弦长：设过抛物线y=2pxp ・0焦点的直线与抛物线交于②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQ _ x 轴，PQ 二2ba,b,c 的外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段(1) 焦点在 x 轴正半轴:= 2px p 0，焦点坐标 -,012丿(2) 焦点在 x 轴负半轴:=-2px p 0，焦点坐标p,oI 2(3) 焦点在 y 轴正半轴: x 2= 2py p 0，焦点坐标 0,卫I 2丿 焦点在y 轴负半轴: x 2--2 py p 0，焦点坐标 0,-卫I 2丿A",% ）B （X 2,y 2 ），贝U AB =为+ p （ AB = AF 十BF ，再由焦半径公式即可得到） 二、典型例题：2二1的右焦点与抛物线 y= 12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（答案：A 小炼有话说：（1） 一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐 标，进而解出其他圆锥曲线的要素 答案：A例 2 : 2 2已知双曲线 笃-每=1a 0,b0的实轴长为4、、2，虚轴的一个端点与抛物线a b2x = 2 py p 0的焦点重合，直线 y = kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p =（）A. 4B. 3C. 2D. 1思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以p作为核心变量，抛物线x = 2 p y 的焦点为 0,卫，所以可得匕=卫，因为I 2丿 22 2例1:已知双曲线—丄4 b 2A. '.5B. 4、、2C.D. 5思路：先从常系数方程入手，抛物线= 12x 的焦点为 3,0，即双曲线中的 c = 3，所以b2=c 2 -a 2 =5，从而双曲线方程为:x 2匚1，其渐近线方程：y 「込x ，由 5 2 对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择I ： 5x - 2y = 0，右焦点 F 2 3,0，所以d F 22 2山壬亠2迈，所以双曲线方程为令算=1,可求得渐近线方程为py ：-二一P x，不妨设y =kx -1 与y一P x平行, 4返4屈则有k P。
从相切可想到与抛4.2物线联立消元后的方程总=0 : P y x 4/2x2 = 2 py -1 2X2—p_x-2p = 0，所以2,2—8p =0解得p =4答案：A如图，F i,F2是椭2圆G：二•■y2=1m - n- O 与双曲线m n2 C上C2 : 2a2y寸 1 a b率分别记为e\,e＞，点C2的一条渐近线是线段A. B.线共焦点，所c2-a2 b2，所求表达式丄2 2 ei e.2m~2c2旦2c2 2m a2 ，本题与c焦半径相关，所以考虑AF,| +|AF2 =2m, AF, - AF2=2a。
结合AF i的中点与F1F2的中点可得双曲线的渐近线与AF2平行，从而AR丄AF2，所以有AF1 =F1F2 2 24c，联系上面条件可得：4c2二AF i1 1 m2a22 2 2ei e2 c答案：A AF21 — 22J AF^AF2)+(AF1 2m2 +2a2，所以X y2 2 y2例4 :已知椭圆G：二2 =1 a ■ b . 0与双曲线C2：x 1有公共的焦点，C2a b 4的一条渐近线与以C i的长轴为直径的圆相交于代B两点，若C恰好将线段AB三等分，则（）13 2 2 1A. aB. a 13C. bD. b 22 2思路：因为G,C2有公共焦点，所以通过C2可得F1 -'、5,0 ,F2 .5,0 ，从而c»$5，2a圆的直径为2a，所以AB截椭圆的弦长为兰。
由双曲线得AB : y = 2x，进而与椭圆方3程联立，再利用弦长公式即可得到关于 a （或b ）的方程，解方程即可解：通过C2可得R -、、5,0 ,F2、.5,0 ，. c —5例5：2 2x y（2014, 山东，10）已知a b 0，椭圆C1的方程为—2 = 1，双曲线C2的方答案：C2 2程是一2 2 ~ 1，C1与C2的离心率之积为a b ，则C2的渐近线方程为（）「b2x2 +a2v2不妨设AB : y = 2x，则17= 2x2^2 2 2二a b — 2 a b=x 2 2，所以x = _ab一4a2 b2利用弦长公式可得 d = J1 +22 % _x22. 5ab.4a2 b2又因为a2 - b22、、5ab■- 4a2 b2a2 -b2 =52二—a _.3解得：a2b2112乘积为即可得到a,b关系，进而求出渐近线方程解：设曲线G,C2的离心率分别为ei,e?，则G ©a ac _ a2b2a aB. 、_2x 二y=0C. x 二2y=0D. 2x 二y = 0A. x 士：2y=0思路：要想求渐近线方程，关键在a,b的比值，所以将两个离心率均用a,b表示，再利用答案：A小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中c 的求法不同，从而使得两条曲线在 a,b 相同的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出F I ,F 2，P 是两曲线的一个交点，那么PF i PF 2的值是（）思路：所求PR , PF ?既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。