《复变与积分变换教案》.

《复变与积分变换教案》

第二次课

1教学目标：使学生熟练二维平面图形的复形式，熟练掌握复变函数的分量处理法，重温二元微积分，并赋以复的外衣而导出复变量，复数列，复变函数增量和复积分等知识。

2讲课段落：

平面曲线(定向)和区域；复变函数的分量处理法；二维平面图形的复形式；复变量，复数列，复变函数的极限和连续性; 复变函数的增量；

复积分定义和计算，复积分的性质。

3知识要点:

无重点的按段光滑闭曲线简称为简单闭曲线。数学上可证明任

条在平面上有确定的始端和终端的简单曲线是可求长的，特别是

任一条简单闭曲线总是有有限长度的。

对给定点P (x o,y o)和正数0，称

u (P) (X, y)J(x X o)2 (y y。)2

为P的一个邻域。

平面上的区域D为可用折线连通的开集.

本课程中经常出现的多连域D为有限条简单闭曲线C0,C i,C2, ,C m按以下

方式围成的区域：设D O,D1,D2, , D m分别为C o,C1,C2, ,C m的内部区域,

m

1 j k m, (3) C j C k

满足(1) D j D o, (2) D j D k

j 1

m 称此多连域D为复围线：C o'GG'L ,C m围成的区域,即D D O D j。

j 1

w f (z)

u u(x,y) V v(x,y)

max

max a n max

U x x o , y y o X o , b n

f Z o

X o , y o

iv x Z o

X X o

y o

y o

Z n Z o a n X o b n y o

x o ,y o

U y x o ,y o

iV y X o ,y o

E u iE v

f

1 z

u

x x o ,y

o

iv

x

X o ，y o

U y X o ，y o iV y X o ，y o

C: F(x,y) 0,

经变换

若平面曲线参数方程为

则其复数表示为

z z(t): x(t) iy(t),

所以一个复变函数相当于两个二元函数，即

也称为D 的边界。而数学上称D 0

m

D j 即D 连同C o ,G,C 2, ,C m 一起的

j 1

集合为多连域D 的闭包，也记为D 。 而复围线 ：C o ,C 1,C 2, ,C m 的正向 定义为，在C o 上取逆时针方向，而在

C 1,C 2,

, C m 上都取顺时针方向。

得到C 的复数表示

z z 2i

X y (t)

(t).

4.例:

例1-11求以z 0 X 0 iy 。为心，R 为半径的圆周参数方程复 数形式。

例1-12考察平面上的曲线具有下列复数形式：

f

1 z 0

2

2

z 2i

f

1 z

f 2 z 0 —

z ----------- ---------- z o

2 2i

f(z)dz

C

udx C

vdy i

vdx udy

C

f(z)dz

C

f (Z j (t))Z j (t)dt

dz

0,

f(z)dz

C

f (z)dz

f(z)|dz|

C

u(x, y)ds i v(x, y)ds

C

C

f(z)dz

C

f (z) dz ML

arg(z 1)例1-13例1-14

argz -，并给出该曲线实形式的代数方程。

4

关于w z2的映射特征的两种描述方法。

w 1的整体处理。

z

例1-15证明w f(z) argz在复平面上，除去原点和负实轴，

都连

续。

例1-17(重要的常用例子)

dz

n c z a 2 i, n 1

0, n 1的整数

例1-18计算J d i C

Imz

，其中c为中心在实轴上的连接上半平面内两点Z1,Z2的一段圆弧。