《复变与积分变换教案》.
复变函数与积分变换课程教案讲义
《复变与积分变换教案》第一次课1 教学目标： 使学生重温复数概念，熟练掌握复数及共轭下的运算法，了解复平面，学会运用复数的三角表示出理问题。
2 讲课段落：复数产生的背景，特点； 平面向量和复数的关系； 共轭复数的作用； 三角表示； 复方根求法；复数定义与平面向量变换的内在联系。
3 知识要点：22y x z +=||||,z z z z ==2121z z z z +≤+z z z =22Re ,z z z +=z i z z Im 2=-θθθsin cos i ei +=()θθθθθi re i r ir r z =+=+=sin cos sin cosArg arg 2π,z z k θ==+z z y x yz Im )sin(arg 22=+=212121z z r r z z ==121212Arg()Arg Arg arg arg 2π,z z z z z z k k =+=++∈θϕρi n in n rez w e===nr1=ρ，()2π,k k nθϕ+=∈()nk iner w πθ21+=，1,,2,1,0-=n k4. 例：例1-1 设 ii i i z -+-=11，求z z z ,Im ,Re 。
例1-2 设i z i z 21,4321-=+=，求21z z ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛21z z 例1-3 设1z 及2z 为两个复数，试证：2221212122Re()z z z z z z +=++并用此等式证明三角不等式 推导，当0Im =z ,Re 0arg Re 0;z z z π>⎧=⎨<⎩当0Im >z ,Im arcsin Re 0arg Im arcsin Re 0;z z z z z z z π⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩当0Im <z ,Im arcsin Re 0arg Im arcsin Re 0z z z z z z z π⎧≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩例1-4 求)22a r g(i -和A r g (34i -+例1- 6（较难） 设,0≠z 则有1||1arg z z z z-≤-+例1-7 试求ii -+11的模和主幅角● 见解， 2i 相当于将向量｛0，1｝逆时针旋转2π度角，从而得到向量{}0,1-，而此向量对应复数1-，这也可解释i 为012=+z 的根。
复变函数与积分变换Fourier变换学习教案
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第二页，编辑于星期一：十点 四十三分。
7.1Fourier积分 在微积分中已学过Fourier级数，若fT(t)是以T为周期的周期函数，在 Dirichlet条件，则fT(t)可展成Fourier级数
上满足
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第三页，编辑于星期一：十点 四十三分。
在fT(t)的连续点t处有
.
函数弱相等是函数通常意义下相等概念的推广，在上述定义中若φ(t)与ψ(t)
都在(a,b)上连续，则由φ(t)与ψ(t)弱相等可推出φ(t)与ψ(t)在通常意义
下相等.
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第二十一页，编辑于星期一：十点 四十三分。
性质2①δ(t)=δ(－t);②tδ(t)=0;③δ(t－a)f(t)=δ(t－a)f(a). 根据式(7.18)可知，对于(－∞,+∞)上的任意连续函数f(t)有 令－t=u，则
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第十八页，编辑于星期一：十点 四十三分。
定义7.4对于任何一个无穷次可微函数f(t)，如果满足
δε(t－t0)也可取成其他函数序列.
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第十九页，编辑于星期一：十点 四十三分。
(2)δ函数的性质
性质1对于任何一个无穷次可微函数f(t)，有
当t0=0时，即为 证利用定义7.4及积分中值定理，我们有
其反演公式为
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第十五页，编辑于星期一：十点 四十三分。
7.2.2δ函数及其Fourier变换 (1)δ函数的定义 由Fourier变换的定义可知，f(t)要在(－∞,+∞)上绝对可积，才存在Fourier变换， 这样的条件很强，使许多常见的函数如1,t,sint等都不能进行Fourier变换。 例7.3设某一电路中原来的电流为0，某一瞬时（设t=0时）进入一单位电量的 脉冲，求电路上的电流i(t).
《复变函数与积分变换》课程教学大纲
《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。
对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。
教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。
并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。
并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。
本课程的具体教学目标如下：1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。
2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。
3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。
为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。
教学目标与毕业要求的对应关系：二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容。
复变函数与积分变换教案
本次课主体教学方式、方法： 课堂讲授，黑板书写结合电子课件
布置作业 P55：16：1），3），17：1），3），18：C），D）， 教学后记
3
第2周 第一章
课程第 四 讲
日期：2017 年 9 月 21 日 地点：三教 202 复数与复变函数
第 4 节 解析函数 第 5 节 初等解析函数
教学重点: 解析函数的概念，孤立奇点，函数的解析区域；指数函数与三角函数；
布置作业 P124：8：1）；9：1），3），5），9 ）。 教学后记
13
课程第 十四 讲
第 7 周 日期：2017 年 10 月 26 日 地点：三教 202 第 四 章 留数理论及其应用
第一节 孤立奇点的分类及性质； 教学重点: 孤立奇点的分类：可去奇点、m 级极点、本性奇点；
孤立奇点类型的判别； 教学难点: 孤立奇点的分类：可去奇点、m 级极点、本性奇点；
第一节 复数项级数； 第二节 幂级数； 教学重点: 复数项级数的收敛概念；绝对收敛的概念及性质；
复变函数项级数的收敛点及收敛区域，幂级数的收敛半径，收敛圆； 教学难点: 幂级数的收敛半径，收敛圆；幂级数收敛半径的求法， 讲授主要内容:
复数项级数的收敛概念；绝对收敛的概念及性质； 复变函数项级数的收敛点及收敛区域，幂级数的收敛半径，收敛圆；
2 R(sin ,cos )d ；
R(x)dx ；
R(
x)e
iax
dx(a
0)
.
0
教学难点: 留数计算的典型例题；不同的三类实积分的实例计算； 傅氏积分的概念；
讲授主要内容: 孤立奇点的分类；留数定理，留数计算的典型例题； 不同的三类实积分的实例计算；
2 R(sin ,cos )d 型的典型例题； 0
《复变函数与积分变换》教学大纲
《复变函数与积分变换》教学大纲一、课程名称复变函数与积分变换（Functions of Complex Variable and Integral Transforms）二、学时与学分学时：40 学分：2.5三、授课对象理工科本科学生四、先修课程高等数学五、教学目的复变函数与积分变换是理工科相关专业的一门基础课，通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基础理论和方法，掌握傅里叶变换与拉斯变换的性质、方法，为学习有关后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。
六、主要内容、基本要求及学时分配该课程介绍了复变函数与积分变换的一些基本知识，内容包含复变函数、解析函数、解析函数的级数表示、留数定理、保形映射以及工程上常用的傅里叶变换与拉普拉斯变换。
主要内容1．复数与复变函数（1）复数（2）复数的三角表示（3）平面点集的一般概念（4）无穷大与复球面（5）复变函数2．解析函数（1）解析函数的概念（2）解析函数和调和函数的关系（3）初等函数3．复变函数的积分（1）复积分的概念（2）柯西积分定理（3）柯西积分公式（4）解析函数的高阶导数4．解析函数的级数表示（1）复数项级数（2）复变函数项级数（3）泰勒级数（4）洛朗级数5．留数及其应用（1）孤立奇点（2）留数（3）留数在定积分计算中应用6．保形映射（1）保形映射的概念（2）保形映射的基本问题（3）分式线性映射（4）几个初等函数构成的保形映射7．傅里叶变换（1）傅里叶变换的概念（2）单位脉冲函数（δ函数）（3）傅里叶变换的性质8．拉普拉斯变换（1）拉普拉斯变换的概念（2）拉氏变换的性质（3）拉普拉斯逆变换（4）拉氏变换的应用及综合举例基本要求1．熟练掌握复数的各种表示方法及其运算；了解区域的概念；理解复变函数的概念，知道复变函数的极限和连续的概念。
2．理解复变函数的导数概念及解析函数的概念及解析函数与柯西—黎曼方程的联系，了解某些初等解析函数的基本性质；了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实部）的方法。
复变函数与积分变换课程教案讲义
《复变与积分变换教案》第一次课1 教学目标： 使学生重温复数概念，熟练掌握复数及共轭下的运算法，了解复平面，学会运用复数的三角表示出理问题。
2 讲课段落：复数产生的背景，特点； 平面向量和复数的关系； 共轭复数的作用； 三角表示； 复方根求法；复数定义与平面向量变换的内在联系。
3 知识要点：22y x z +=||||,z z z z ==2121z z z z +≤+z z z =22Re ,z z z +=z i z z Im 2=-θθθsin cos i e i +=()θθθθθi re i r ir r z =+=+=sin cos sin cosArg arg 2π,z z k θ==+z z y x y z Im )sin(arg 22=+=212121z z r r z z ==121212Arg()Arg Arg arg arg 2π,z z z z z z k k =+=++∈θϕρi n in n rez w e===nr1=ρ，()2π,k k nθϕ+=∈()nk iner w πθ21+=，1,,2,1,0-=n k4. 例：例1-1 设 iii i z -+-=11，求z z z ,Im ,Re 。
例1-2 设i z i z 21,4321-=+=，求21z z ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛21z z 例1-3 设1z 及2z 为两个复数，试证：2221212122Re()z z z z z z +=++并用此等式证明三角不等式 推导，当0Im =z ,Re 0arg Re 0;z z z π>⎧=⎨<⎩当0Im >z ,Im arcsin Re 0arg Im arcsin Re 0;z z z z z z z π⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩当0Im <z ,Im arcsin Re 0arg Im arcsin Re 0z z z z z z z π⎧≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩例1-4 求)22arg(i -和Arg(34)i -+例1- 6（较难） 设,0≠z 则有1||1arg z z z z-≤-+例1-7 试求ii -+11的模和主幅角● 见解， 2i 相当于将向量｛0，1｝逆时针旋转2π度角，从而得到向量{}0,1-，而此向量对应复数1-，这也可解释i 为012=+z 的根。
复变与积分变换教案
《复变与积分变换教案》
第七次课
1 教学目标：导出解析函数的高阶导数，学会运用高阶导数公式计算复积分。
2 讲课段落：
● Cauchy 积分高阶导数定理的背景；
● 多连通域的Cauchy 积分高阶导数定理
● 运用高阶导数公式计算复积分。
3 知识要点：
● 对每个自然数n ，在D 内定义函数
ςςςd z f z F n
n ⎰Γ-=)
()()( 则对D z ∈∀，有
)()(1z nF z F n n +='
● 对每个自然数n ，)(z f 在D 内处处有n 阶
导数，且对D z ∈∀ 有 ςςςπd z f i n z f n n ⎰Γ+-=1)()
()(2!)( ● 由于y y x x iu v iv u z f -=+=')(，而高阶导数定理认定，一但)(z f 解析 则)(z f '也解析，自然更有)(z f '连续，从而可知y y x x v u v u ,,,都连续。
● 设D 为单连域，)(z f 在D 内连续，若对
任一D 内简单闭曲线C 有 ⎰=C dz z f 0)(，
则)(z f 在D 解析。
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《复变与积分变换教案》
第二次课
1教学目标：使学生熟练二维平面图形的复形式，熟练掌握复变函数的分量处理法，重温二元微积分，并赋以复的外衣而导出复变量，复数列，复变函数增量和复积分等知识。
2讲课段落：
平面曲线(定向)和区域；复变函数的分量处理法；二维平面图形的复形式；复变量，复数列，复变函数的极限和连续性; 复变函数的增量；
复积分定义和计算，复积分的性质。
3知识要点:
无重点的按段光滑闭曲线简称为简单闭曲线。
数学上可证明任
条在平面上有确定的始端和终端的简单曲线是可求长的，特别是
任一条简单闭曲线总是有有限长度的。
对给定点P (x o,y o)和正数0，称
u (P) (X, y)J(x X o)2 (y y。
)2
为P的一个邻域。
平面上的区域D为可用折线连通的开集.
本课程中经常出现的多连域D为有限条简单闭曲线C0,C i,C2, ,C m按以下
方式围成的区域：设D O,D1,D2, , D m分别为C o,C1,C2, ,C m的内部区域,
m
1 j k m, (3) C j C k
满足(1) D j D o, (2) D j D k
j 1
m 称此多连域D为复围线：C o'GG'L ,C m围成的区域,即D D O D j。
j 1
w f (z)
u u(x,y) V v(x,y)
max
max a n max
U x x o , y y o X o , b n
f Z o
X o , y o
iv x Z o
X X o
y o
y o
Z n Z o a n X o b n y o
x o ,y o
U y x o ,y o
iV y X o ,y o
E u iE v
f
1 z
u
x x o ,y
o
iv
x
X o ，y o
U y X o ，y o iV y X o ，y o
C: F(x,y) 0,
经变换
若平面曲线参数方程为
则其复数表示为
z z(t): x(t) iy(t),
所以一个复变函数相当于两个二元函数，即
也称为D 的边界。
而数学上称D 0
m
D j 即D 连同C o ,G,C 2, ,C m 一起的
j 1
集合为多连域D 的闭包，也记为D 。
而复围线 ：C o ,C 1,C 2, ,C m 的正向 定义为，在C o 上取逆时针方向，而在
C 1,C 2,
, C m 上都取顺时针方向。
得到C 的复数表示
z z 2i
X y (t)
(t).
4.例:
例1-11求以z 0 X 0 iy 。
为心，R 为半径的圆周参数方程复 数形式。
例1-12考察平面上的曲线具有下列复数形式：
f
1 z 0
2
2
z 2i
f
1 z
f 2 z 0 —
z ----------- ---------- z o
2 2i
f(z)dz
C
udx C
vdy i
vdx udy
C
f(z)dz
C
f (Z j (t))Z j (t)dt
dz
0,
f(z)dz
C
f (z)dz
f(z)|dz|
C
u(x, y)ds i v(x, y)ds
C
C
f(z)dz
C
f (z) dz ML
arg(z 1)例1-13例1-14
argz -，并给出该曲线实形式的代数方程。
4
关于w z2的映射特征的两种描述方法。
w 1的整体处理。
z
例1-15证明w f(z) argz在复平面上，除去原点和负实轴，
都连
续。
例1-17(重要的常用例子)
dz
n c z a 2 i, n 1
0, n 1的整数
例1-18计算J d i C
Imz
，其中c为中心在实轴上的连接上半平面内两点Z1,Z2的一段圆弧。