矩阵的秩与向量组的最大无关组

12.2.4 向量组的最大无关组

用命令rref可以求向量组的最大无关组, 并用最大无关组线性表 示其他向量。此时, 应将向量写作矩阵的列, 再做行初等变换。 我们仍然将向量写作行, 再用转置运算将行变成列。 【例8】求向量组 1 (1, 1, 2, 4) , 2 (0,3,1, 2) , 3 (3, 0, 7,14) , 4 (1, 1, 2, 0), 5 (2,1,5, 0)的最大无关组, 并将其他向量用最 大无关组线性表示。 输入： A=[1,-1,2,4;0,3,1,2;3,0,7,14;1,-1,2,0;2,1,5,0]; B=A’; rref(B)
12.1.2 用初等行变换求矩阵的行最简形

命令rref(A)返回矩阵A的行最简形。
12.2 实验内容
12.2.1 求矩阵的秩

3 2 1 3 2 M 2 1 3 1 3 【例1】设 , 求矩阵M的秩。 7 0 5 1 8
输入： M=[3,2,-1,-3,-2;2,-1,3,1,-3;7,0,5,-1,-8]; rank(M) 输出为： ans = 2



输出为 ans = 1.0000 0 0 0
0 3.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0
0 -0.5000 0 1.0000 1.0000 2.5000 0 0

在行最简形中有3个非零行, 因此向量组的秩等于3。非零 行的首元素分别位于第一、二、四列, 因此 1, 2, 4是向 量组的一个最大无关组。第三列的前两个元素分别是3, 1, 1 5 于是 3 31 2 。第五列的前三个元素分别是 , 1, , 2 2 1 5 于是 5 1 2 4 。 2 2




输出为： A1 = 1.0000 0 -0.1429 0.5714 0 1.0000 -0.7143 1.8571 B1 = 1.0000 0 -0.1429 0.5714 0 1.0000 -0.7143 1.8571 两个向量组的行最简形相同, 因此, 两个向量组等价。
12.2.3 向量组的秩




矩阵的秩与它的行向量组, 以及列向量组的秩相等, 因此可以 用命令rref求向量组的秩。 【例5】求向量组 1 (1, 2, 1,1) , 2 (0, 4,5, 2), 3 (2, 0,3, 0) 的秩。 将向量写作矩阵的行, 输入： A=[1,2,-1,1;0,-4,5,-2;2,0,3,0]; rref(A) 输出为： ans = 1.0000 0 1.5000 0 0 1.0000 -1.2500 0.5000 0 0 0 0 这里有两个非零行, 因此矩阵的秩等于2, 它的行向量组的秩也 等于2。


输出为：
ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 0 0

向量组的秩等于3, 而它包含4个向量, 因此该向量组线性相关。

【例7】向量组 1 (2, 2, 7) , 2 (3, 1, 2) , 3 (1,1,3) 是否线性 相关? 输入： A=[2,2,7;3,-1,2;1,1,3]; rref(A) 输出为： ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 向量组的秩等于3, 而它包含3个向量, 因此该向量组线性无关。


2.0000 0.6667 0


1 2 3 【例4】设 A 2 2 1 , 证明矩阵A可逆, 并用初等行变换求A的逆。 3 4 3
输入： A=[1,2,3;2,2,1;3,4,3]; E=eye(3); %生成一个单位矩阵 AE=[A E] AENi=rref(AE) 输出为： AE = 1 2 3 1 0 2 2 1 0 1 3 4 3 0 0 AENi = 1.000 0 0 1.000 0 1.000 0 -1.500 0 0 1.00 1.000

【例6】向量组 1 (1,1, 2,3) , 2 (1, 1,1,1) , 3 (1,3, 4,5) , 4 (3,1,5, 7) 是否线性相关? 向量组线性无关的充分必要条件是：它的秩等于其中的向量个数。 输入：
A=[1,1,2,3;1,-1,1,1;1,3,4,5;3,1,5,7]; rref(A)
12.2.5 向量组的等价

可以证明两个向量组等价的充分必要条件是：以它们为行 向量构成的矩阵的行最简形具有相同的非零行, 因此, 还 可以用命令rref证明两个向量组等价。 【例9】设 1 (2,1, 1,3) , 2 (3, 2,1, 2) ,1 (5,8, 5,12) , 2 与 1 , 2 等价。 2 (4, 5,3, 7) ,证明向量组1 , 将向量组分别写作矩阵A, B的行向量组, 输入： A=[2,1,-1,3;3,-2,1,-2]; B=[-5,8,-5,12;4,-5,3,-7]; A1=rref(A) B1=rref(B)

2 3 8 2 【例3】设矩阵 A 2 12 2 12 , 求A的秩。 1 3 1 4
输入： A=[2,-3,8,2;2,12,-2,12;1,3,1,4]; rref(A) 输出为： ans = 1.0000 0 3.0000 0 1.0000 -0.6667 0 0 0 因此A的秩等于2。


0 0 1 3.000 -2.000 -3.000 2.500 1.000 -1.000




可以看到矩阵A的逆已经求出。为了取出A的逆, 输入： ANi=AENi(:,[4,5,6]) %只保留矩阵AENi的第四、五、六列 输出为： ANi = 1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000 或输入： AENi(:,[1,2,3])=[] %删除矩阵AENi的第一、二、三列 输出为： AENi = 1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000



3 2 1 3 【例2】已知矩阵 M 2 1 3 1 秩等于2, 求常数t的 7 0 t 1 值。



左上角的二阶子式不等于0。由于矩阵的秩为2, 因此其三 阶子式应该都等于0。 输入： syms t M=[3,2,-1,-3;2,-1,3,1;7,0,t,-1]; det(M(1:3,1:3)) 输出为： ans = 35-7*t
MATLAB
高等数学实验
实验十二 矩阵的秩与向量组的最大无关组

实验目的 学习利用MATLAB命令求矩阵的秩, 对矩阵 进行初等行变换, 求向量组的秩与最大无 关组。
12.1 学习MATLAB命令
12.1.1 求矩阵的秩

矩阵的秩即矩阵不为零的子式的最高阶数。用命令rank(A) 可以求出矩阵A的秩。
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当t=5时, 有一个三阶子式等于0, 但是否所有的三阶子式 都为0呢? 输入： M=[3,2,-1,-3;2,-1,3,1;7,0,5,-1]; rank(M) 输出为： ans = 2 说明此时矩阵的秩等于2.
12.2.2 矩阵的初等行变换

命令rref(A)把矩阵A化作行最简形, 因此可以用初等行变换法求矩阵 的秩和逆。