矩阵的秩与向量组的最大无关组
矩阵运算及方程组求解
附录Ⅰ大学数学实验指导书项目五矩阵运算与方程组求解实验1 行列式与矩阵实验目的把握矩阵的输入方式. 把握利用Mathematica 以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.大体命令在Mathematica中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.1. 表在形式上是用花括号括起来的假设干表达式, 表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}那么输入了两个向量.2. 表的生成函数(1)最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m, n]—生成表{m,…,n};Range[m, n, dx]—生成表{m,…,n}, 步长为d x.2. 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]那么输出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]那么输出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3. 表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 能够用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}那么输出 {{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如,输入命令:MatrixForm[A]那么输出 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛5432注:一样情形下,MatrixForm[A]所代表的矩阵A 不能参与运算. 下面是一个生成抽象矩阵的例子. 输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}] MatrixForm[%]那么输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛]3,4[]2,4[]1,4[]3,3[]2,3[]1,3[]3,2[]2,2[]1,2[]3,1[]2,1[]1,1[a a a a a a a a a a a a 注:那个矩阵也能够用命令Array 生成,如输入Array[a,{4,3}]4. 命令IdentityMatrix[n]生成n 阶单位矩阵. 例如,输入IdentityMatrix[5]那么输出一个5阶单位矩阵(输出略).5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n 阶对角矩阵. 例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]那么输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6. 矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵A 与B 的加法;k*A 表示数k 与矩阵A 的乘法; 或 Dot[A,B]表示矩阵A 与矩阵B 的乘法.7. 求矩阵A 的转置的命令:Transpose[A]. 8. 求方阵A 的n 次幂的命令:MatrixPower[A,n]. 9. 求方阵A 的逆的命令:Inverse[A]. 10.求向量a 与b 的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵的运算例 设,421140123,321111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A T输入A={{-1,1,1},{1,-1,1},{1,2,3}} MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{-1,2,-4}} MatrixForm[B]-2A AAB 23-BA T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----334421424141010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10120821444,5123641033252312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A .1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1652116114581081218192829211161121162147.11111111111122222222ddd d c c c c b b b b a a a a D ++++=2222)1)()()()()()((dc b a abcd d c d b d a c b c a b a +--------,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A .),(|,|3A A tr A 3),(|,|AA tr A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12574547726668013841222451984174340410063122181713228151626315018483582949442062726,150421321,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A '2.设,001001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλA 求.10A 一样地?=k A (k 是正整数).3.求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a a a aa1111111111111111111111111的逆.4.设,321011324⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 且,2B A AB +=求.B5.利用逆矩阵解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.353,2522,132321321321x x x x x x x x x实验2 矩阵的秩与向量组的最大无关组实验目的 学习利用Mathematica 以上版本)求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向 量组的秩与最大无关组.大体命令1. 求矩阵M 的所有可能的k 阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].2. 把矩阵A 化作行最简形的命令:RowReduce[A].3. 把数表1,数表2, …,归并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入Join[{{1,0,-1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]那么输出 {{1,0,-1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}实验举例求矩阵的秩例 设,815073*********⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=M 求矩阵M 的秩.输入Clear[M];M={{3,2,-1,-3,-2},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}}; Minors[M,2]那么输出{{-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11},{-14,22,18,-10,10,-2, -16,16,18,22},{7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11}}可见矩阵M 有不为0的二阶子式. 再输入Minors[M,3]那么输出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可见矩阵M 的三阶子式都为0. 因此.2)(=M r例 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3224211631095114047116的行最简形及其秩.输入A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,-9,0},{-1,3,-16,-1},{2,-4,22,3}} MatrixForm[A]RowReduce[A]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000100005100101矩阵的初等行变换例 用初等变换法求矩阵.343122321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的逆矩阵.输入 A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1112/532/3231)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000010010102001向量组的最大无关组 例 求向量组)0,5,1,2(),0,2,1,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα的最大无关组, 并将其它向量用最大无关组线性表示.输入Clear[A,B];A={{1,-1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,-1,2,0},{2,1,5,0}}; B=Transpose[A];RowReduce[B]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000002/51000101102/10301非零行的首元素位于第一、二、四列,因此421,,ααα是向量组的一个最大无关组. 第三列的前两个元素别离是3,1,于是.3213ααα+=第五列的前三个元素别离是,25,1,21-于是.25214215αααα++-=实验习题1.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=12412116030242201211A 的秩.2.求t , 使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.3.求向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩.4.当t 取何值时, 向量组),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα的秩最小?5.向量组)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321-=--=--==αααα是不是线性相关?6.求向量组)6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(321===ααα的最大线性无关组. 并用最大无关 组线性表示其它向量.7.设向量),6,3,3,2(),6,3,0,3(),18,3,3,8(),0,6,3,1(2121=-=-=-=ββαα求证:向量组21,αα 与21,ββ等价.实验3 线性方程组实验目的 熟悉求解线性方程组的经常使用命令,能利用Mathematica 命令各类求线性方程组的解. 明白得运算机求解的有效意义.大体命令1.命令NullSpace []A ,给出齐次方程组0=AX 的解空间的一个基.2.命令LinearSolve []b A ,,给出非齐次线性方程组b AX =的一个特解.3.解一样方程或方程组的命令Solve 见Mathematica 入门.实验举例求齐次线性方程组的解空间设A 为n m ⨯矩阵,X 为n 维列向量,那么齐次线性方程组0=AX 必然有解. 假设矩阵A 的秩等于n ,那么只有零解;假设矩阵A 的秩小于n ,那么有非零解,且所有解组成一贯量空间. 命令NullSpace 给出齐次线性方程组0=AX 的解空间的一个基.例 求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++=+--=--+.0532,0375,023,02432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x输入Clear[A];A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; NullSpace[A]那么输出{{-2,1,-2,3}}说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量(-2,1,-2,3)是解空间的基. 注:若是输出为空集{ },那么说明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.例 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是不是线性相关? 依照概念,若是向量组线性相关,那么齐次线性方程组044332211='+'+'+'ααααx x x x 有非零解.输入Clear[A,B];A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}}; B=Transpose[A]; NullSpace[B]输出为{{-2,-1,0,1}}说明向量组线性相关,且02421=+--ααα非齐次线性方程组的特解例 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=++=+--=--+45322375222342432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的特解.输入Clear[A,b];A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; b={4,2,-2,4} LinearSolve[A,b]输出为{1,1,-1,0}注: 命令LinearSolve 只给出线性方程组的一个特解.例 求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式,2c bx ax ++并画出其图形.依照题设条件有 ,924611700⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅c b a c b a c b a 输入Clear[x];A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}} y={7,6,9}p=LinearSolve[A,y]Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t} f[x_]=p.{x^2,x,1};Plot[f[x],{x,0,2},GridLines ->Automatic,PlotRange ->All];那么输出c b a ,,的值为 {2,-3,7}并画出二次多项式7322+-x x 的图形(略).非齐次线性方程组的通解用命令Solve 求非齐次线性方程组的通解.例当a 为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321ax x x x ax x x x ax 无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有解时,求通解.先计算系数行列式,并求a ,使行列式等于0. 输入Clear[a];Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}]; Solve[%==0,a]那么输出{{a →-2},{a →1},{a →1}} 当a 2-≠,a 1≠时,方程组有唯一解.输入Solve[{a*x +y +z ==1,x +a*y +z ==1,x +y +a*z ==1},{x,y,z}]则输出{{x →,21a + y →,21a+ z →a +21}}当a =-2时,输入Solve[{-2x+y+z==1,x -2y+z==1,x+y -2z==1},{x,y,z}]则输出{ }说明方程组无解. 当a =1时,输入Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]则输出{{x →1-y -z}}}说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解 系为为(-1,1,0)与(-1,0,1).例 求非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534422312432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解法1输入A={{2,1,-1,1},{3,-2,1,-3},{1,4,-3,5}};b={1,4,-2}; particular=LinearSolve[A,b] nullspacebasis=NullSpace[A]generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular]generalsolution 其通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛007/57/6107/97/1017/57/14321t k x x x x (k ,t 为任意常数)实验习题1.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.024,02,032321321321x x x x x x x x x2.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-.0111784,02463,03542432143214321x x x x x x x x x x x x3. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+-.22,3,44324314324321x x x x x x x x x x4.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=-++.254,32,22432143214321x x x x x x x x x x x x5.用三种方式求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+=-+127875329934,8852321321321321x x x x x x x x x x x x 的唯一解.6.当b a ,为何值时,方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解、有无穷多解?对后者求通解.实验4 投入产出模型(综合实验)实验目的 利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,成立在经济 分析中有重要应用的投入产出数学模型. 把握线性代数在经济分析方面的应用.应用举例假设某经济系统只分为五个物质生产部门:农业、轻工业、重工业、运输业和建筑业, 五个部门间某年生产分派关系的统计数据可列成下表1. 在该表的第一象限中,每一个部门都以生产者和消费者的双重身份显现. 从每一行看,该部门作为生产部门以自己的产品分派给各部门;从每一列看,该部门又作为消耗部门在生产进程中消耗各部门的产品. 行与列的交叉点是部门之间的流量,那个量也是以双重身份显现,它是行部门分派给列部门的产品量,也是列部门消耗行部门的产品量.表1投入产出平稳表(单位: 亿元)注: 最终产品舍去了净出口.(修改表:加双线区分为四个象限)在第二象限中,反映了各部门用于最终产品的部份. 从每一行来看,反映了该部门最终产 品的分派情形;从每一列看,反映了用于消费、积存等方面的最终产品别离由各部门提供的数 量情形.在第三象限中,反映了总产品中新制造的价值情形,从每一行来看,反映了各部门新制造 价值的组成情形;从每一列看,反映了该部门新制造的价值情形.采纳与第三章第七节完全相同的记号,可取得关于表1的产品平稳方程组y x A E =-)( (1)其中,A 为直接消耗系数矩阵,依照直接消耗系数的概念),,2,1,(n j i x x a jij ij ==,易求出表1所对应的直接消耗系数矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯0603.00425.00372.00227.00371.00411.00250.00416.00240.00143.03425.02083.05013.01451.00923.00685.00417.00252.01438.00231.00329.00250.00462.02557.01709.01825110120051540620131297135101171825751200305406225312975351045182562512002505406271031294543510324182512512005054061363129450351081182560120030540625031298003510600)(55ij a A 利用Mathematica 软件(以下计算进程均用此软件实现,再也不重述),可计算出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11036.10739105.00982964.00672149.00637761.00884203.005447.1100805.00594445.0035022.0859487.0529259.016653.2495145.032573.0122005.00752055.00006552.020166.10492156.0132248.00874144.015254.0402651.024175.1)(1A E 为方便分析,将上述列昂节夫逆矩阵列成表2.表2下面咱们来分析上表中各列诸元素的经济意义. 以第2列为例,假设轻工业部门提供的 最终产品为一个单位, 其余部门提供的最终产品均为零, 即最终产品的列向量为 ,)0,0,0,1,0(T y =于是,轻工业部门的单位最终产品对5个部门的直接消耗列向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0227.00240.01451.01438.02557.0000100603.00425.00372.00227.00371.00411.00250.00416.00240.00143.03425.02083.05013.01451.00923.00685.00417.00252.01438.00231.00329.00250.00462.02557.01709.0)0(Ay x通过中间产品向量)0(x 产生的间接消耗为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0205373.00146768.0129979.00327974.00885192.0)0()1(Ax x , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0107259.000867109.00881789.00120554.00305619.0)0(2)2(x A x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00570305.000505222.0054254.000575796.00129491.0)0(3)3(x A x , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00318798.000294103.00322339.000309566.000650578.0)0(4)4(x A x于是,轻工业部门的单位最终产品对五个部门总产品的需求量为++++++=)4()3()2()1()0(x x x x x y x.0629.00553.04497.01975.13942.000318798.000294103.00322339.000309566.000650578.000570305.000505222.0054254.000575796.00129491.00107259.000867109.00881789.00120554.00305619.00205733.00146768.0129979.00327974.00885192.000010⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=其中向量x 为列昂惕夫逆矩阵1)(--A E 的第2列, 该列5个元素别离是部门2生产一个单位 最终产品对部门一、二、3、4、5总产品的需求量, 即总产品定额. 同理, 能够说明列昂节夫 逆矩阵中第一、3、4、5列别离是部门一、3、4、5生产一个单位最终产品对部门一、二、3、 4、5的总产品定额.对应于附表1的完全消耗系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=-11036.00739105.00982964.00672149.00637761.00884203.005447.0100805.00594445.0035022.0859487.0529259.016653.1495145.032573.0122005.00752055.00006552.020166.00492156.0132248.00874144.015254.0402651.024175.0)(1EA E B最终产品是外生变量, 即最终产品是由经济系统之外的因素决定的, 而内生变量是由经济系统内的因素决定的. 此刻假定政府部门依照社会进展和人民生活的需要对表1的最终产品作了修改, 最终产品的增加量别离为农业2%, 轻工业7%, 重工业5%, 运输业5%, 建筑业 4%, 写成最终产品增量的列向量为,)51,5.37,15.52,09.160,4.35(T y =∆那么产品的增加量x ∆可由式(8)近似计算到第5项, 得+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+∆+∆+∆+∆+∆=∆515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.375.5209.1604.35432)3()2()1()0(A A A A x x x x y x .)8033.744899.57169.238749.204083.121(T ≈其中,y A x ∆=∆)0(为各部门生产y ∆直接消耗各部门产品数量;而后面各项的和为各部门生 产y ∆的全数间接消耗的和.实验报告下表给出的是某城市某年度的各部门之间产品消耗量和外部需求量(均以产品价值计算, 单位: 万元), 表中每一行的数字是某一个部门提供给各部门和外部的产品价值.(1) 试列出投入—产出简表, 并求出直接消耗矩阵;(2) 依照预测, 从这一年度开始的五年内, 农业的外部需求每一年会下降1%, 轻工业和商业的外部需求每一年会递增6%, 而其它部门的外部需求每一年会递增3%, 试由此预测这五年内该城市和各部门的总产值的平均年增加率;(3) 编制第五年度的打算投入产出表.实验5 交通流模型(综合实验)实验目的利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,成立交通流模型. 把握线性代数在交通计划方面的应用.应用举例假设某城市部份单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)如图5-1所示.300 300 300+-432xxx=300+54xx=500-67xx=200+21xx=800+51xx=800+87xx=10009x=400-910xx=20010x=600++638xxx=1000⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪排版时只保留图,不要方程组图5-1试成立数学模型确信该交通网络未知部份的具体流量.假定上述问题知足以下两个大体假设(1)全数流入网络的流量等于全数流出网络的流量;(2)全数流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.那么依照图5-1及上述大体两个假设,可成立该问题的线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==+-==+=+=+=+-=+=+-1000600200400100080018002005003008631010998751217654432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x , 即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100060020040010008008002005003000010100110000000001100000000010000000000110000000000010001000000001100011000000000011000000000111010987654321x x x x x x x x x x 假设将上述矩阵方程记为b Ax =,那么问题就转化为求b Ax =的全数解. 下面咱们利用 Mathmatica 软件来求解一、输入矩阵A ,并利用RowReduce[A ]命令求得A 的秩为8. 输入RowReduce[A]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000000000000100000000001000000000011000000001010000000000110000000000100000001001000000100010=Ax 输入In[3]:=NullSpace[A]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000110110011100000⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=00000110110011100000212211C C c c ξξη21,C C 3、输入增广阵(A b ),求出其秩为8, 由,108)()(=<==n Ab r A r 知方程组有无穷多个解.输入RowReduce[Ab]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000000000000000006001000000000400010000000010000011000000800001010000050000000110002000000000100000000100108000000010001b Ax =输入 LinearSolve[A,b]Out[9]={{800},{0},{200},{500},{0},{800},{1000},{0},{400},{600}}那么取得所求非齐次线性方程组的一个特解:T )6004000100080005002000800(*=ξ综上所述,咱们就取得了非齐次线性方程组b Ax =的全数解为,*2211*ξξξξη++++=C C x (21,C C 为任意常数).在解的表示式中, x 的每一个分量即为交通网络中未知部份的具体流量, 该问题有无穷 多解(什么缘故? 并试探其实际意义).本模型具有实际应用价值, 求出该模型的解, 能够为交通计划设计部门提供解决交通堵 塞、车流运行不顺畅等问题的方式, 明白在何处应建设立交桥, 那条路应设计多宽等, 为城镇交通计划提供科学的指导意见. 可是,在本模型中,咱们只考虑了单行街道如此一种简单情形, 更复杂的情形留待读者在更高一级的课程中去研究. 另外,本模型还可推行到电路分析中的 网络节点流量等问题中.实验报告请读者应用本模型的思想方式, 为你所在或你熟悉的城镇成立一个区域的交通流量模 型. 并提供一个具体的解决方案, 即从无穷多个解中依照具体限制确信出一个具体的解决方 案.。
1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组
习题4.31.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组： (1)[]12,1,3,1T α=-, []23,1,2,0Tα=-，[]31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1Tα=-．(2)[]11,1,1,1T α=, []21,1,1,1Tα=--， []31,1,1,1Tα=--,[]41,1,1,1Tα=---．(3)[]11,1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14Tα=,[]41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6Tα=．分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组.解 (1) []123423141133113301123241000010210000αααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组.(2) []123411111111111101011111001111110001αααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组.(3) []1234510312103121301101101217250001042140600000ααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组.2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1)[]11,1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13Tα=-，[]31,3,0,3,3T α=----,[]41,9,6,3,6Tα=-.(2)[]11,3,2,1T β=--, []22,1,5,3T β=-，[]34,3,7,1Tβ=-, []41,11,8,3Tβ=---,[]52,12,30,6Tβ=-．解 (1) []123413111311173901122806000039330000413360000αααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以该向量组的秩为2, 小于向量的个数4, 所以线性相关.(2)[]123451241212412313111201548257830001111313600000βββββ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以该向量组的秩为3, 小于向量的个数5, 所以线性相关.3.设[]11,2,1T α=-, []22,4,T αλ=, []31,,1Tαλ=.(1) λ取何值时1α,2α,3α线性相关? λ取何值时1α,2α,3α线性无关? 为什么? (2)λ取何值时3α能经1α,2α线性表示? 且写出表达式.解 (1)[]1231211212402211002αααλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦当2λ≠且2λ≠-时, 矩阵的秩为3与向量个数相同, 所以此时该向量组线性无关.当2λ=或2λ=-时, 矩阵的秩为2小于向量个数, 所以此时向量组线性相关. (1) 当2λ=时, 秩([]12αα)=秩([]123ααα)=2, 此时3α能经1α,2α线性表示.表达式的系数为方程组[]123X ααα=的解, 而此时该方程组的解为120,1.2x x =⎧⎪⎨=⎪⎩所以表达式为3α=212α. 当2λ=-时, 秩([]12αα)=1, 秩([]123ααα)=2, 两者不相等, 所以不能线性表示.当2λ≠且2λ≠-时, 秩([]12αα)=2, 秩([]123ααα)=3, 两者不相等,所以不能线性表示.4.下述结论不正确的是( )，且说明理由．(A) 秩为4的４×５矩阵的行向量组必线性无关. (B) 可逆矩阵的行向量组和列向量组均线性无关. (C) 秩为r(r<n)的m ×n 矩阵的列向量组必线性相关. (D) 凡行向量组线性无关的矩阵必为可逆矩阵.解 (A) 正确. 如果行向量组线性相关则行向量组的秩必小于行向量的个数4, 即矩阵的行秩小于4, 而矩阵的行秩等于矩阵的秩, 因此矩阵的秩小于4, 这与矩阵的秩为4矛盾! 所以行向量组必线性无关.(B) 正确. 可逆矩阵必为满秩矩阵, 即n n ⨯的可逆矩阵的秩为n , 而矩阵的秩等于行秩和列秩, 所以矩阵的行秩=列秩=n , 因此行向量组的秩和所含向量个数相同, 据此可知该行向量组必线性无关; 同理列向量组也必线性无关.(C) 正确. 列向量组含有n 个向量, 又由于列向量组的秩(即列秩)等于矩阵的秩r , 而r<n , 即列向量组的秩小于向量组所含向量的个数, 据此列向量组必线性相关.(D) 设111001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 易知该矩阵的行向量组线性无关, 但是它不是方阵, 所以不是可逆矩阵. 所以该选项不正确.综上所述应选D.。
3.3 向量组的极大无关组与秩
矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt
4.3 向量组的秩和最大无关组
设1, 2, …, n为Rn的一组基，则
Rn = L(1, 2, …, n)
返回
又，
Rn = L(ε1, ε2, …, εn)
Rn 的标准基
Rn, 1, 2, …, n为一组基， = x11+ x22+ …+ xnn 在基1, 2, …, n下的坐标 一个向量在确定基下的坐标是唯一的(坐标的唯一性).
矩阵A的列秩：A的列向量组的秩；
矩阵A的行秩：A的行向量组的秩.
返回
定理2 矩阵的 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩.
证 设 R(A) = r,
A 行初等变换 B(行阶梯形矩阵),
B有 r 个非零行，B的r 个非零行的非零首元素所在 的r 个列向量线性无关， 为什么？ 为B的列向量组的最大无关组. 为什么？
1, 2, …, r 可由1, 2 , …, s线性表出,有
R(B)=R(B, A) 则R( A) ≤ R(B) ≤ s
1, 2, …, r 线性无关，则 R(A)=r
r≤ s
返回
两向量组秩的关系： 若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 组(Ⅰ)的秩 r1≤ 组(Ⅱ)的秩 r2. 证 设 1 ,..., r1 为(Ⅰ) 的最大无关组， 1 ,..., r2 为(Ⅱ) 的最大无关组. 组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出,所以
4.3
向量组的秩与最大无关组
一、向量组的秩与最大无关组的概念
二、Rn 的基、维数与坐标
返回
一、向量组的秩与最大无关组的概念
例1 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) 。
1, 2, 3 线性相关. 1, 2 线性无关； 2 ，3 线性无关，
矩阵秩的研究与应用毕业论文
百度文库-让每个人平等地提升自我3 矩阵秩的研究与应用[摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。
矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。
而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。
它反映矩阵固有特性的一个重要概念。
矩阵一旦确定秩也就确定了。
它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。
本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。
后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。
这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。
[1][2][3][关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。
百度文库-让每个人平等地提升自我4 矩阵秩的研究与应用1 前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。
更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。
矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。
如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。
理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。
第3.3节 向量组的秩
例2 证明
(1) n维基本单位向量组 1 , 2 , , n 是Rn的极大无关组； (2) Rn中任意n个线性无关的向量都是Rn的极大无关组. 证 (1) 1 , 2 , , n 显然线性无关；又 ( a1 , a2 , , an ) R n , 有
( a1 , a2 , , an ) a1 1 a2 2 an n ,
因此，1 , 2 , 4 是向量组A的极大无关组，且
3 1 2 0 4 1 2 .
例7 设向量组 (I) 1 (1, 1, 0, 0)T， 2 (1, 0, 1, 1) T , (II) 1 (2, 1, 3, 3)T， 2 (0, 1, 1, 1) T . 证明向量组(I)与向量组(II)等价. 证 方法1 考虑向量组 (III)
例1 考察下列向量组的极大无关组.
(1) 1 (0, 0, 0);
不存在
(2) 1 (0, 0, 0)， 2 (1, 0, 0)， 3 (0,1, 0); (3) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (0, 0,1); (4) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (1,1, 0).
不难归纳
2 , 3
1,2,3
1,2； 1,3；2,3
(1)只含零向量的向量组不存在极大无关组； (2)含有非零向量的向量组必存在极大无关组； (3)线性无关向量组的极大无关组是其本身； (4)线性相关组的极大无关组所含向量个数少于 原向量组所含向量个数； (5)向量组的极大无关组可能不唯一.
故而r1 r2 .
(2)略.
例4
已知向量组 1 , 2 , , s ( s 1) 的秩为r ，且
3-2 向量组的秩和最大无关组
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),
向量组的极大无关组与秩的求法
4
2 3 5 0 0 0 0
4时，r( A) 3 4, 1,2 ,3,4线性相关。
r(1,2 ,3 ) 3,1,2,3是一个极大无关组。
但，行摆行变换不行！
反例： 1 (1,0,0),2 (1,1,0),3 (1,1,0).
A
12
1 1
3
1
0 1 1
0 0
0 0
BT sn
AT ms
=CT
,
r(C) r(CT ) r(BT AT ) r(BT ) r(B).
r( Ams Bsn ) minr(A), r(B)
设有n两个维向量组1,2,,s与 1, 2 ,, s , 若
1,2 ,,s线性无关且
1
2
a11
a21
a12
a22
a1s 1
,
1 1
B
2
,C
2
.
am1
am2
ams
s
m
1
a11 a12 a1s 1
2
C
AB
a21
a22
a2s
2
m
a m1
am2
ams
s
r(C) r(1,2,,m ) r(1, 2,, s ) r(B).
Ams Bsn=C, r(C) r(AB) r(A).
r1 r3
1 1
1 1 1
0 0
0 0
r2r 1
1 1
1 0 1
0
0
0
0 1 0 0 0 0
r3r2
1 0
0 1
0 0
r1 r3
1 0
0 1
0
3[1].4向量组的极大无关组
![3[1].4向量组的极大无关组](https://img.taocdn.com/s3/m/97dfa6f5fc0a79563c1ec5da50e2524de518d03b.png)
1 0 1 0 4
例如：
0
1
1
0
3
B
0 0 0 1 3
0
0
00
0
注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
0 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
例1 ：对矩阵
A
0
1
1
0
0
1
0 2 2 0 0 1
0
1
1 2 2 2
作行初等变换,使成为行阶梯矩阵.
又等价的向量组有相同的秩，
A 的行秩＝ A2 的行秩， 即A的行秩不变。
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上
1
1
i
i
A
kri
A3
j
j
k i
显然，A3 中的行向量组 可以由 A的行向量组线性表示
m
m 而 A的行向量组可以由
A3 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。
0
0
0
1
1
1
r3r2 0 0 0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
例2：求上三角矩阵的秩
a11 a12 a13 a14 a15
0
a22
a23
a24
a25
A 0
0 0
0 a33 a34 a35 aii 0 i 1, 2, 3
0
0
0
0
0 0 0 0
解：看行秩 1 a11,a12 ,a13 ,a14 ,a15 2 0,a22 ,a23 ,a24 ,a25
第三节 向量组的秩
无关的充要条件是
R(a1 , a2 , · · ·, am) = m.
前面我们建立定理1、2、3时，限制向量组只
含有限个向量，现在我们要去掉这一限制，把定 理1、2、3推广到一般的情形. 推广的方法是利用 向量组的最大无关组作过渡. 如定理 3 可推广为
定理 3 设向量组 B：b1 , b2 , · · ·, bl 能由向
定理 2 向量组 B：b1 , b2 , · · ·, bl 能由向量
组 A：a1 , a2 , · · ·, am 线性表示的充要条件是矩 阵 A = (a1 , a2 , · · ·, am ) 的秩等于矩阵 (A , B) = (a1 , · · ·, am , b1 , · · ·, bl ) 的秩.
引例 求线性方程组
的保留方程组 (所谓保留方程组就是去掉方程组中 多余的方程后，剩下来的方程构成的方程组. 保 留方程组与原方程组同解) .
定义 5 设有向量组 A ,如果在 A 中能选出 r
个向量 a1 , a2 , · · ·, ar , 满足 (i) 向量组 A0 : a1 , a2 , · · ·, ar 线性无关;
的全体解向量构成的向量组为 S，求 S 的秩.
解 先求方程组的通解，为此把系数矩阵
A 化成行最简形
1 2 1 2 A 2 3 0 1 1 1 5 7 1 0 3 4 0 1 2 3 , 0 0 0 0
初等行变换
量组 A：a1 , a2 , · · ·, am 线性表示，则 R(b1 , b2 , · · ·, bl ) ≤ R(a1 , a2 , · · ·, am ) .
定理 3 设向量组 B：b1 , b2 , · · ·, bl 能由向
第3章3.3 向量组的最大线性无关组和的秩
2
r
定义1 定义1 设有两个 n维向量组
A : α 1 , α 2 , ...,α r r r r B : β 1 , β 2 , ..., β s
r
r
r
线性表示 一个向量 如果A 如果A中 每一个向量 都能由 向量组B 线性表示 r r
r 即 α 1 = k11 β 1 + k12 β 2 +... + k1 s β s r r r r α 2 = k21 β 1 + k22 β 2 +... + k2 s β s ... r... ... r r r α r = kr 1 β 1 + kr 2 β 2 +... + krs β s r
它的秩等于 等于它含有的向量个数 性质1 一个向量组线性 性质1 一个向量组线性无关 ⇔ 它的秩等于它含有的向量个数 向量组线性无 一个向量组线性 一个向量组线性相关 ⇔ 它的秩小于它含有的向量个数 7 向量组线性相 它的秩小于 小于它含有的向量个数
性质2 性质2 若向量组 A 能够由 向量组 B 线性表示， 线性表示， 则 A 的秩 ≤ B 的秩
r
r
r
⇔ ⇔
1 1 r 1 r 0 r α 1 = ,α 2 = ,α 3 2 0 1 2 1 1 解 对矩阵 r r r 1 0 A =(α1 α 2 α 3 )= 2 0 1 2
−1 −4 = −8 线性相关, 则 k = 线性相关 相关, k −1 1 1 −1 1 1 −1 3 − 4 0 − 1 − 3 0 1 ~ ~ 0 −8 0 −2 −6 0 0 k 0 1 k + 1 0 0 k − 2 k − 2 = 0, k = 2 10
§3.4 向量组的最大无关组与秩
2 1 1 1 2
A
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
,
a5
)
1 4
1 6
2 2
1 2
4
4
3
6 9
7 9
思考：如何把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合？
思路1：利用P.83 定理1 的结论
向量 b 能由 向量组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
令 A0 = (a1, a2, a4) 求解 A0x = a3
注: 1. 只含零向量的向量组没有最大无关组. 规定它的秩为0.
2. 向量组{1,,m } 线性无关 R(1,,m ) = m . 3. 向量组{1,,m } 线性相关 R(1,,m ) < m .
例： 全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一 个最大无关组及 Rn 的秩．
1 0 L
列向量组的最大无关组具体求法: 将矩阵 A 用
初等行变换化为行阶梯形矩阵 B, 即可找出 B 的最 高阶非零子式所在的列, 其对应于A 所在的列向量 就是A的列向量组的一个最大无关组.
三、向量组秩的一些结论
§3.2的定理3.6中矩阵的秩均可改为向量组的秩.
定理3.14 向量组 1, 2, , s 能由向量组 1, 2, , m 线性表示的充分必要条件是 R(1, 2, , m ) =R(1, 2, , m, 1, 2, , s) .
0
00
0
于是 Ax = 0 与 Bx = 0 ，即 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0
x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0
线性代数11-向量组的秩
1
1 1 1 8 0 4 6 2
因此这就是 A 的一个最高阶非零子式．
结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩
是唯一的．
2 1 1 1 r 1 1 1 0 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 3 6 7 0
具体地说，就是：
若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭） 若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭） 那么就称集合 V 为向量空间．
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
解：
1 0 2 1 0 2 r 1 2 4 ~ 0 2 2 1 5 7 0 0 0
可见 r(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关，
同时， r(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关，
无关组及 Rn 的秩．
1 0 解： n 阶单位矩阵 I e1 , e2 , , en 0 0 0 1 0 的列向 0 1
量组是 Rn 的一个最大无关组，Rn 的秩等于n ．
1 0 思考：上三角形矩阵 A 0 1 1 1 1 的列向量组是 Rn 的 0 1
从而 a1, a2 是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组． 事实上， a1, a3 和 a2, a3 也是最大无关组．
最大无关组的等价定义
结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的． 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 ① 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； ② 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有 r + 1个向量的 话）都线性相关； ② 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组．
线性代数-向量组的秩
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
极大无关组定义：
1 2 0 4 ERT 0 4 9 0
1 2 1 1 1 1 0 0
4 0 0 1 3 0 0 0
定理1 （1）若矩阵A经过有限次初等行变换变成B， 则A的行向量组与B的行向量组等价；而A的任意k 个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相 关性。 显然极大线性无关组为1 , 2 , 4 ,
3. 定理1 （1）若矩阵A经过有限次初等行变 换变成B，则A的行向量组与B的行向量组 等价；而A的任意k个列向量与B中对应的 k个列向量有相同的线性相关性。
, s } r .
设 J 中第 i 个非零行第一个非零元所在列标号为 ji ,
i 1,2,
, r , 则 j1 , j2 ,, jr 就是一个极大无关组.
小结
1. 极大线性无关组、行秩、列秩
1. 任意两个极大无关组所含向量个数相同
2. 向量组等价
1. 三大性质 2. 极大组合向量组等价
附 求向量组1 , 2 ,
, s 的极大无关组的一般步骤： , s )
i 为列向量时 i 为行向量时
第一步：作矩阵 A (1 , 2 ,
, 2 , 或 A (1
) , s
第二步：用初等行变换化矩阵A为阶梯阵 J . 若 J 中有 r 个非零行，则秩 {1 , 2 ,
3 (3,0,7,14), 4 (1, 1,2,0), 5 (2,1,5,6)
的极大无关组. 解： 作矩阵
1 1 A 2 4
0 3 1 2
3 0 7 14
1 1 2 0
2 1 5 6
4.3 向量组的极大无关组与向量组的秩
1 1 2 一次行 B = 2 A= ① r r ③ kr ② k r i j i m m
则显然有
1, 2 ,, m 1 , 2 ,, m
行秩(A)=行秩(B)。
所以，初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩。 类似有： 定理2.12 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理4 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理5 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理6
① 将向量组以列向量构成矩阵
② 对矩阵A 施以初等行变换化为行最简形矩阵;
A = (1, 2 ,, s ) ;
行
A = (1, 2 ,, s ) B = ( 1, 2 ,, s )
③ 所得矩阵的列向量组中基本单位向量对应 位置的向量即为所求 极大无关组，即
1, 2 ,, s 的极大无关组对应
2 n ) 则称向量组 1, 2 ,, m 为矩阵A的行向量组；
则称向量组 1, 2 ,, n 为矩阵A的列向量组。
1．矩阵的行秩与列秩 定义2 矩阵A的行向量组的秩，称为A的行 秩，记为行秩A); 矩阵A的列向量组的秩，称为A的列秩，记 为列秩A)。 例如，矩阵
r ( A) = 2 ,
推论3 向量组中任两个极大无关组等价。 【由等价的传递性】 推论4 向量组的极大线性无关组所含向量的 个数唯一。 【上节定理5？】 【称这个唯一的数为向量组的秩】
【称这个唯一的数为向量组的秩】 3. 向量组的秩 （1）秩的概念 定义2 向量组 1, 2 ,, s 的极大无关组 所含向量的个数称为该向量组的秩, 记为
1 0 1 1 A= 0 1 3 2
行秩A)＝2， 列秩A)＝2
向量组的极大无关组与向量组的秩
若
k 11 2 2 r r
0 ( k 1 1 ) 1 ( k 2 2 ) 2 ( k r r ) r
因 a1,a2,,ar线性无关，
3
k1 k2 k3
1 0 1
所以
4 13
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同理可求得
5123
□
一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯 一呢?我们有下面的命题.
命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.
证 设 a1,a2, ,ar是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意
则必有
k 1 1 k 2 2 k r r 0
即
k 11 ,k 22 , ,k rr
所以，由 a1,a2, ,ar线性表示的表达式唯一.
am1x1 am2x2 amnn 0
上面的齐次线性方程组可写成 1 ,2 , ,n X 0 , ( 这 X x 1 , x 2 里 , x n ')
现设
1 , 2 , , n 经 过 初 1 ,等 2 , 行 , n变换
由命题12.1知
1 ,2 , ,n X 0 与 1 ,2 ,n X 0
同解.所以向量组 a 1 ,a 2 , ,a n 与 1 , 2 , , n的线性相关性相同.
□
由此我们知道,矩阵A的秩就是列向量组T中极大线性无关组所含向量的个数.
又会命题11.11显然下面的命题成立.
11234
00 0 0 0
由命题12.11知,向量组的秩等于3,且 1,2,3 就是一个极大无关组.下面球4 ,5
3-2 向量组的秩和最大无关组
例3 设 ξ1,…, ξn−r [r = R(A)]为 n 元齐次线性方程组 … − 为 Ax = 0 的一个基础解系 S 为方程组 Ax = 0 的解集 的一个基础解系 基础解系, 解集, 则有
S = {x = k1ξ1 +⋯+ kn−rξn−r | k1,⋯ kn−r ∈R} ,
等价. 证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价 证明 记 A = (a1, a2), B = (b1, b2, b3),
1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 r ( A, B ) = −1 1 0 1 −1 0 2 1 1 1 → 1 1 1 0 2 0 0 0 0 0
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1 3 2 1 3 例2 设 a1 = −1 , a2 = 1 , b1 = 0 , b2 = 1 , b3 = −1 1 1 1 0 2
定理4 定理 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 线性关系. 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 • 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩. 定理5 定理 矩阵的秩等于它的(行 列向量组的秩 列向量组的秩. 矩阵的秩等于它的 行)列向量组的秩 证明 由定理 知, 矩阵的列向量组的秩等于它的行最 由定理4 简形的列向量组的秩, 从而等于它的行最简形的秩. 简形的列向量组的秩 从而等于它的行最简形的秩 而 矩阵的秩等于它的行最简形的秩. 因此, 矩阵的秩等于它的行最简形的秩 因此 矩阵的秩等于 它的列向量组的秩. 它的列向量组的秩 考虑转置即知, 矩阵的秩等于它的行向量组的秩. 考虑转置即知 矩阵的秩等于它的行向量组的秩
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12.1.2 用初等行变换求矩阵的行最简形
命令rref(A)返回矩阵A的行最简形。
12.2 实验内容
12.2.1 求矩阵的秩
3 2 1 3 2 M 2 1 3 1 3 【例1】设 , 求矩阵M的秩。 7 0 5 1 8
输入： M=[3,2,-1,-3,-2;2,-1,3,1,-3;7,0,5,-1,-8]; rank(M) 输出为： ans = 2
12.2.3 向量组的秩
矩阵的秩与它的行向量组, 以及列向量组的秩相等, 因此可以 用命令rref求向量组的秩。 【例5】求向量组 1 (1, 2, 1,1) , 2 (0, 4,5, 2), 3 (2, 0,3, 0) 的秩。 将向量写作矩阵的行, 输入： A=[1,2,-1,1;0,-4,5,-2;2,0,3,0]; rref(A) 输出为： ans = 1.0000 0 1.5000 0 0 1.0000 -1.2500 0.5000 0 0 0 0 这里有两个非零行, 因此矩阵的秩等于2, 它的行向量组的秩也 等于2。
【例6】向量组 1 (1,1, 2,3) , 2 (1, 1,1,1) , 3 (1,3, 4,5) , 4 (3,1,5, 7) 是否线性相关? 向量组线性无关的充分必要条件是：它的秩等于其中的向量个数。 输入：
A=[1,1,2,3;1,-1,1,1;1,3,4,5;3,1,5,7]; rref(A)
输出为：
ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 0 0
向量组的秩等于3, 而它包含4个向量, 因此该向量组线性相关。
【例7】向量组 1 (2, 2, 7) , 2 (3, 1, 2) , 3 (1,1,3) 是否线性 相关? 输入： A=[2,2,7;3,-1,2;1,1,3]; rref(A) 输出为： ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 向量组的秩等于3, 而它包含3个向量, 因此该向量组线性无关。
当t=5时, 有一个三阶子式等于0, 但是否所有的三阶子式 都为0呢? 输入： M=[3,2,-1,-3;2,-1,3,1;7,0,5,-1]; rank(M) 输出为： ans = 2 说明此时矩阵的秩等于2.
12.2.2 矩阵的初等行变换
命令rref(A)把矩阵A化作行最简形, 因此可以用初等行变换法求矩阵 的秩和逆。
MATLAB
高等数学实验
实验十二 矩阵的秩与向量组的最大无关组
实验目的 学习利用MATLAB命令求矩阵的秩, 对矩阵 进行初等行变换, 求向量组的秩与最大无 关组。
12.1 学习MATLAB命令
12.1.1 求矩阵的秩
矩阵的秩即矩阵不为零的子式的最高阶数。用命令rank(A) 可以求出矩阵A的秩。
0 0 1 3.000 -2.000 -3.000 2.500 1.000 -1矩阵A的逆已经求出。为了取出A的逆, 输入： ANi=AENi(:,[4,5,6]) %只保留矩阵AENi的第四、五、六列 输出为： ANi = 1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000 或输入： AENi(:,[1,2,3])=[] %删除矩阵AENi的第一、二、三列 输出为： AENi = 1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000
2 3 8 2 【例3】设矩阵 A 2 12 2 12 , 求A的秩。 1 3 1 4
输入： A=[2,-3,8,2;2,12,-2,12;1,3,1,4]; rref(A) 输出为： ans = 1.0000 0 3.0000 0 1.0000 -0.6667 0 0 0 因此A的秩等于2。
2.0000 0.6667 0
1 2 3 【例4】设 A 2 2 1 , 证明矩阵A可逆, 并用初等行变换求A的逆。 3 4 3
输入： A=[1,2,3;2,2,1;3,4,3]; E=eye(3); %生成一个单位矩阵 AE=[A E] AENi=rref(AE) 输出为： AE = 1 2 3 1 0 2 2 1 0 1 3 4 3 0 0 AENi = 1.000 0 0 1.000 0 1.000 0 -1.500 0 0 1.00 1.000
12.2.5 向量组的等价
可以证明两个向量组等价的充分必要条件是：以它们为行 向量构成的矩阵的行最简形具有相同的非零行, 因此, 还 可以用命令rref证明两个向量组等价。 【例9】设 1 (2,1, 1,3) , 2 (3, 2,1, 2) ,1 (5,8, 5,12) , 2 与 1 , 2 等价。 2 (4, 5,3, 7) ,证明向量组1 , 将向量组分别写作矩阵A, B的行向量组, 输入： A=[2,1,-1,3;3,-2,1,-2]; B=[-5,8,-5,12;4,-5,3,-7]; A1=rref(A) B1=rref(B)
12.2.4 向量组的最大无关组
用命令rref可以求向量组的最大无关组, 并用最大无关组线性表 示其他向量。此时, 应将向量写作矩阵的列, 再做行初等变换。 我们仍然将向量写作行, 再用转置运算将行变成列。 【例8】求向量组 1 (1, 1, 2, 4) , 2 (0,3,1, 2) , 3 (3, 0, 7,14) , 4 (1, 1, 2, 0), 5 (2,1,5, 0)的最大无关组, 并将其他向量用最 大无关组线性表示。 输入： A=[1,-1,2,4;0,3,1,2;3,0,7,14;1,-1,2,0;2,1,5,0]; B=A’; rref(B)
3 2 1 3 【例2】已知矩阵 M 2 1 3 1 秩等于2, 求常数t的 7 0 t 1 值。
左上角的二阶子式不等于0。由于矩阵的秩为2, 因此其三 阶子式应该都等于0。 输入： syms t M=[3,2,-1,-3;2,-1,3,1;7,0,t,-1]; det(M(1:3,1:3)) 输出为： ans = 35-7*t
输出为 ans = 1.0000 0 0 0
0 3.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0
0 -0.5000 0 1.0000 1.0000 2.5000 0 0
在行最简形中有3个非零行, 因此向量组的秩等于3。非零 行的首元素分别位于第一、二、四列, 因此 1, 2, 4是向 量组的一个最大无关组。第三列的前两个元素分别是3, 1, 1 5 于是 3 31 2 。第五列的前三个元素分别是 , 1, , 2 2 1 5 于是 5 1 2 4 。 2 2
输出为： A1 = 1.0000 0 -0.1429 0.5714 0 1.0000 -0.7143 1.8571 B1 = 1.0000 0 -0.1429 0.5714 0 1.0000 -0.7143 1.8571 两个向量组的行最简形相同, 因此, 两个向量组等价。