八年级数学二次根式的混合运算

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北师大版八年级数学上册第2章实数二次根式的混合运算

(2)（2022 3）0 + 3 12 - 6 . 2
解：(1) 原式 6 33 3 3 6 3 3 .
(2) 原式 1+2 3 3 3 3 2 .
归纳有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
例2 计算：
(1) 3 2 ； (2) 18 8 1 ； (3)( 24 1 ) 3.
(2)已知 x 5 1，y 5 1，求 x2 xy y2的值.
2
2
解： x y 5 1 5 1 5，xy 5 1 5 1 1，
2
2
2
2
x2 xy y2 x y2 xy
2
5 1 4.
能力提升： 6. 阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 2 的运算时，通常有如下
a2 b2 2 (a b)2 2ab 2
(2 5)2 2 2 20 2 5.
练一练已知 10 的整数部分是 a，小数部分是 b，求 a2 - b2 的值.
解： 3 10 4，
a 3，b 10 3. a2 b2 32 ( 10 3)2
3 10 3 3 10 3 10 6 10
如图所示.
S梯形ABCD 1 (CD AB) DE
2
E
16 23 2
2
1 ( 2 5 2)3 2 18.
2
归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．
例4 教师节就要到了，小欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为 288 平方厘米，另一张面积为 338 平方厘米. 如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有 1.5 米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用.
1. 下列计算中正确的是（ B ）

人教版初中数学八年级下册16.3.2《二次根式的混合运算》教案

在教学方法上，我也要不断尝试创新。例如，利用多媒体教学手段，以动画或图像的形式展示二次根式的混合运算过程，让学生更加直观地理解。同时，引入一些趣味性的数学游戏，让学习变得更加轻松愉快。
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

【初中数学】人教版八年级下册第2课时二次根式的混合运算(练习题)

人教版八年级下册第2课时二次根式的混合运算(146)1.先化简，再求值:1−a 2+4ab+4b 2a 2−ab ÷a+2b a−b，其中a,b 满足(a −√2)2+√b +1=0. 2.进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： √3=√3√3×√3=5√33；(一) √23=√2×33×3=√63；(二) √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1.(三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．我们还可以用以下方法化简： √3+1=√3)22√3+1=√3−1)(√3+1)√3+1=√3−1.(四)(1)请用不同的方法化简√5+√3：参照(三)式得√5+√3= ；参照(四)式得√5+√3= ．(2)化简√3+1√5+√3√7+√5+…√2017+√2015．3.①计算√12+√6×√12时，先算法，再算法，过程如下：原式= + = ．②计算(√18−√8)×√2时，先算里面的，再算法；也可利用律，先算法，再算法，结果是．4.下列计算错误的是（） A.√2×√3=√6B.√2+√3=√5C.√12÷√3=2D.√8−√2=√25.计算（5√15−2√45）÷(−√5)的结果为（） A.5 B.−5 C.7 D.−76.化简√3−√3(1−√3)的结果是（）A.3B.−3C.√3D.−√37.计算：(1)√20+√5(2+√5);(2)√48÷√3+√12×√12−√24．8.下列各数中，与2−√3的积不含二次根式的是（）A.2+√3B.2−√3C.√3−2D.√39.计算：(√2+1)(√2−1)=．10.计算:(2+√3)2−(2−√3)2=．11.已知长方形的长为(2√5+3√2)cm，宽为(2√5−3√2)cm，则长方形的面积为cm2.12.计算：(1)(√5+2)2；(2)(2√3−√2)2.13.已知x=√3+√2，y=√3−√2，求x3y−xy3的值．14.若(2√3−3√2)2=m−√6n(m，n为有理数)，则m，n的值分别为（）A.m=30，n=6B.m=30，n=12C.m=30，n=−12D.m=12，n=−1215.如果5+√7，5−√7的小数部分分别为a,b，那么a+b的值为（）A.0B.−1C.1D.±116.若a=5+2√6，b=2√6−5，则a，b的关系为（）A.互为相反数B.互为倒数C.积为−1D.绝对值相等17.计算：(1)(3√12−2√13+√48)÷2√3；(2)(2√32−√12)(12√8+√23)；(3)(1+√2)2×(1+√3)2×(1−√2)2×(1−√3)2;(4)(2+√3)2017×(2−√3)2018.参考答案1.【答案】:1−a2+4ab+4b2a2−ab ÷a+2ba−b=1−(a+2b)2a(a−b)·a−ba+2b=1−a+2ba=a−a−2ba=−2ba．∵a,b满足(a−√2)2+√b+1=0，∴a−√2=0，b+1=0，∴a=√2，b=−1. 当a=√2，b=−1时，原式=√2=√2【解析】:先将原式化简成最简形式，再根据题意求出a、b的值，最后将其代入求出原式的值.2(1)【答案】√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3；√5)2√3)2√5+√3=√5+√3)(√5−√3)√5+√3=√5−√3【解析】:利用平方差公式分母有理化(2)【答案】原式=√3−1(√3+1)(√3−1)√5−√3(√5+√3)(√5−√3)√7−√5(√7+√5)(√7−√5)+…√2017−√2015(√2017+√2015)(√2017−√2015)=√3−1 2+√5−√32+√7−√52+…+√2017−√20152=√2017−12【解析】:通过分母有理化列项相消即可3.【答案】:乘；加；2√3；√3；3√3；括号；乘；分配；乘；减；2【解析】:考察二次根式的混合运算方法4.【答案】:B【解析】:因为√2与√3的被开方数不相同，不能合并，所以√2+√3=√5错误5.【答案】:A【解析】:(5√15−2√45)÷(−√5)=−5√15÷5+2√45÷5=−5×15+6=56.【答案】:A【解析】:√3−√3(1−√3)=√3−√3+3=3.故选 A.7(1)【答案】原式=2√5+2√5+5=4√5+5【解析】:考察二次根式的混合运算(2)【答案】原式=√48÷3+√1×12−2√62=4+√6−2√6=4−√6【解析】:考察二次根式的混合运算8.【答案】:A【解析】:考察平方差公式的运用9.【答案】:1【解析】:利用平方差公式计算：(√2+1)(√2−1)=(√2)2−1=110.【答案】:8√3【解析】:方法一：(2+√3)2−(2−√3)2=[(2+√3)+(2−√3)][(2+√3)−(2−√3)]= 4×2√3=8√3．方法二：(2+√3)2−(2−√3)2=4+4√3+3−(4−4√3+3)=4√3+4√3=8√311.【答案】:2【解析】:(2√5+3√2)(2√5−3√2)=(2√5)2−(3√2)2=20−18=2(cm2)12(1)【答案】原式=5+4√5+4=9+4√5【解析】:本题考察二次根式的混合运算(2)【答案】原式=12−4√6+2=14−4√6【解析】:本题考察了二次根式的混合运算13.【答案】:x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y)．把x=√3+√2，y=√3−√2代入上式，得原式=(√3+√2)(√3−√2)［(√3+√2)+(√3−√2)］×［(√3+√2)−(√3−√2)］=2√3×2√2=4√6【解析】:先对原式进行因式分解，再代入求值14.【答案】:B【解析】:因为(2√3−3√2)2=(2√3)2−2×2√3×3√2+(3√2)2=30−12√6，所以m=30，n=1215.【答案】:C【解析】:因为5+√7，5−√7的小数部分分别为√7−2,3−√7，故a+b=(√7−2)+(3−√7)=116.【答案】:C【解析】:因为ab=(5+2√6)(2√6−5)=−1，所以a，b的积为−117(1)【答案】原式=(6√3−23√3+4√3)÷2√3=283√3÷2√3=143【解析】:本题考察二次根式的混合运算(2)【答案】原式=(√6−12√2)(√2+13√6)=√6×√2+√6×13√6−1 2√2×√2−12√2×13√6=2√3+2−1−13√3=1+53√3【解析】:本题考察了二次根式的混和运算(3)【答案】原式=[(1+√2)×(1−√2)]2×[(1+√3)×(1−√3)]2 =(1−2)2×(1−3)2=4【解析】:本题考察了二次根式的混和运算(4)【答案】(2+√3)2017×(2−√3)2018=[(2+√3)×(2−√3)]2017×(2−√3)=2−√3【解析】:本题考察了二次根式的混和运算。

部编数学八年级下册专题02二次根式的混合运算(解析版)(重点突围)含答案

专题02二次根式的混合运算
【考点导航】
目录
【典型例题】 (1)
【考点一二次根式的乘除运算】 (1)
【考点二最简二次根式的判断】 (2)
【考点三同类二次根式】 (3)
【考点四已知同类二次根式求参数】 (5)
【考点五二次根式混合运算】 (6)
【考点六二次根式的分母有理化】 (7)
【考点七已知字母的值，化简求值】 (9)
【考点八比较二次根式的大小】 (10)
【过关检测】 (12)
【典型例题】
【考点一二次根式的乘除运算】
【考点二最简二次根式的判断】
【变式训练】
【考点三同类二次根式】
【考点四已知同类二次根式求参数】
【考点五二次根式混合运算】
【考点六二次根式的分母有理化】
【考点七已知字母的值，化简求值】
【变式训练】
【考点八比较二次根式的大小】
【过关检测】。

初二数学二次根式混合运算

初二数学二次根式混合运算一、二次根式的概念回顾形如√(a)（a≥0）的式子叫做二次根式。

其中，被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的条件。

例如，√(4)，√(x + 1)（其中x≥ - 1）都是二次根式。

二、二次根式的性质1. (√(a))^2=a（a≥0），例如(√(5))^2 = 5。

2. √(a^2)=| a|=cases(a, & a≥0 -a, & a<0)，例如√(3^2)=3，而√((-2)^2)=2。

三、二次根式的乘除法法则1. 乘法法则- √(a)·√(b)=√(ab)（a≥0,b≥0）。

例如：√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)。

2. 除法法则- (√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}（a≥0,b > 0）。

例如：(√(8))/(√(2))=√(frac{8){2}}=√(4) = 2。

四、二次根式的加减法1. 先将二次根式化为最简二次根式。

最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例如，√(12)不是最简二次根式，因为12 = 4×3，所以√(12)=√(4×3)=2√(3)，2√(3)是最简二次根式。

2. 然后合并同类二次根式。

同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

例如，3√(2)和5√(2)是同类二次根式，可以合并，3√(2)+5√(2)=(3 + 5)√(2)=8√(2)。

五、二次根式混合运算的顺序1. 先算乘方（开方）。

例如计算(√(3))^2+√(8)div√(2)，先算(√(3))^2 = 3。

2. 再算乘除，后算加减。

接着上面的式子，再算√(8)div√(2)=√(4)=2。

3. 有括号的先算括号里面的。

例如计算(2+√(3))(2-√(3))，这里先利用平方差公式(a + b)(a - b)=a^2 - b^2，得到2^2-(√(3))^2=4 - 3 = 1。

八年级数学上册《二次根式的混合运算》教案、教学设计

（2）二次根式混合运算中，合理运用运算法则，进行简便计算；
（3）将实际问题转化为二次根式混合运算问题，并解决实际问题。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，创设生活情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式混合运算问题；
（2）运用启发式教学法，引导学生通过自主探究、合作交流，发现并总结二次根式的性质和运算法则；
（3）布置课后作业，巩固所学知识。
3.情感教育：鼓励学生在课后继续探索二次根式的奥秘，培养他们热爱数学、主动学习的情感态度。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，检验学生的学习效果，特布置以下作业：
1.基础题：完成课本第chapter页练习题1、2、3，直接运用二次根式的运算法则进行计算。
2.提高题：完成课本第chapter页练习题4、5，涉及混合运算，需要运用二次根式的性质进行简化。
（2）关注学生的学习情感，营造轻松愉快的学习氛围，减轻学生的心理压力；
（3）关注学生的学习方法，引导学生运用合理的学习策略，提高学习效率。
四、教学内容与过生活中的问题作为导入，如“某学校举办运动会，跳远比赛的成绩为4.8米和6.4米，试比较两个成绩的大小。”引导学生思考如何进行比较。
4.在解决问题的过程中，体验数学的简洁美、逻辑美，培养良好的审美情趣。
在教学过程中，教师应关注学生的学习情况，及时调整教学方法，使学生在掌握知识的同时，提高思维能力，培养良好的情感态度与价值观。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式的概念和简单运算有初步的了解。在此基础上，他们对本章节的二次根式混合运算学习有以下特点：
3.示例：通过具体的例题，示范如何运用性质和运算法则进行二次根式的混合运算。

八年级下册数学教案《二次根式的混合运算》

八年级下册数学教案《二次根式的混合运算》学情分析本节课是在学生已经学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。

教学目的1、掌握二次根式的混合运算的运算法则。

2、会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算。

教学重点二次根式的混合运算的运算法则。

教学难点运用法则进行计算。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、复习引入1、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么？m（a+b+c）= ma + mb + mc（m+n）（a+b）= ma + mb + na + nb2、多项式与单项式的除法法则是什么？（ma+mb+mc）÷m = a+b+c思考：若把字母a,b,c,m都用二次根式代替（每个同学任选一组），然后对比归纳，你们发现了什么？二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用。

二、讲授新课1、二次根式的混合运算及应用计算：（1）（√8 + √3）×√6 = 2√2 ×√6 + √18= 2√12 + 3√2= 2 × 2√3 + 3√2= 4√3 + 3√2（2）（4√2 - 3√6）÷ 2√2 = 4√2 ÷ 2√2 - 3√6÷2√2= 2 - 3/2√32、利用乘法公式进行二次根式的运算（1）整式乘法运算中的乘法公式有哪些？平方差公式：（a+b）（a-b）= a2 - b2完全平方公式：（a+b）2 = a2 + 2ab + b2（2）整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗？二次根式运算类比整式运算同样适用。

3、计算：（1）（√2 + 3）（√2 - 5 ）解：原式 = （√2）2+ 3√2 - 5√2 - 15= 2 - 2√2 - 15= -13 - 2√2（2）（√5 + √3）（√5 - √3 ）解：原式 = （√5）2 - （√3）2= 5 - 3= 24、求代数式的值。

冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》教学设计

冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》是学生在学习了二次根式的性质和运算法则的基础上进行学习的。

这一节内容主要让学生掌握二次根式的混合运算方法，提高学生解决实际问题的能力。

教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的混合运算方法，培养学生的运算能力和思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。

但部分学生在进行混合运算时，容易混淆运算法则，对于复杂的二次根式混合运算，可能会出现错误。

因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，进行针对性的指导和训练。

三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的混合运算方法。

2.提高学生解决实际问题的能力。

3.培养学生的运算能力和思维能力。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的混合运算方法。

2.难点：对于复杂二次根式混合运算的计算方法和思路。

五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法、分组讨论法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握二次根式的混合运算方法。

六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔等。

2.学生准备：教材、笔记本、文具等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引入二次根式的混合运算。

例如：一个正方体的体积是8立方厘米，求这个正方体的棱长。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的混合运算的例题和练习题，让学生观察和分析，引导学生发现二次根式混合运算的规律和方法。

3.操练（10分钟）教师引导学生进行二次根式的混合运算的练习，让学生在实践中掌握运算方法。

教师可适时给予提示和指导，帮助学生克服困难。

4.巩固（10分钟）教师通过一些具有代表性的题目，让学生进行二次根式的混合运算，巩固所学知识。

教师可学生进行交流和讨论，分享各自的解题思路和方法。

5.拓展（10分钟）教师给出一些综合性的题目，让学生进行二次根式的混合运算，提高学生的解决问题的能力。

人教版八年级数学下册教案16.3.2二次根式的混合运算

-举例：计算(√3 + √2) × (√3 - √2)，学生应得出答案1。
2.教学难点
-难点内容：在混合运算中正确应用二次根式的乘除法则，并简化表达式。
-难点一：在乘除混合运算中，正确识别并应用乘除法则，特别是当根号内含有变量或未知数时。
-举例：计算√(x^2) ÷ √x，学生需要理解x必须为正数，得出答案|x|。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的混合运算》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算长方形对角线或面积的情况？”（如地图上的距离估算）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式混合运算的奥秘。
2.能够解决二次根式与其他类型运算（如加减、乘方等）混合的问题，提高解题能力。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过掌握二次根式的乘除法则，使学生能够运用逻辑推理进行混合运算，提高解题过程的条理性和准确性。
2.提升数学运算能力：让学生在解决二次根式混合运算问题时，熟练运用乘法、除法法则，增强数学运算的速度和准确性。
人教版八年级数学下册教案16.3.2二次根式的混合运算
一、教学内容
人教版八年级数学下册教案16.3.2二次根式的混合运算。本节内容主要包括以下两个方面：
1.掌握二次根式的乘法、除法法则，能够熟练地进行二次根式的乘除运算。
-乘法法则：√a × √b = √(a × b)（a ≥ 0，b ≥ 0）
-除法法则：√a ÷ √b = √(a ÷ b)（a ≥ 0，b > 0）
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

八年级上册数学二次根式混合运算

《八年级上册数学二次根式混合运算》同学们，咱们今天来聊聊八年级上册数学里的二次根式混合运算。

先来说说什么是二次根式。

比如说，根号 2 、根号 5 ，这就是二次根式。

那二次根式的混合运算呢，就是把二次根式和加减乘除这些运算放在一起。

咱们来看个例子，比如根号 3 加上 2 倍的根号 3 ，这就等于 3 倍的根号3 。

再比如，根号 5 乘以根号 2 ，就等于根号10 。

给大家讲个小故事。

小明在做数学作业，遇到了一道二次根式混合运算题：（根号2 + 根号3）乘以（根号 2 -根号3）。

小明一开始有点懵，后来他想到了平方差公式，就把它变成了（根号2）的平方减去（根号3）的平方，也就是2 - 3 = -1 。

咱们再看这道题，根号8 除以根号 2 ，先把根号8 化简成 2 倍的根号 2 ，然后2 倍的根号 2 除以根号 2 ，就等于 2 。

还有像 3 倍的根号 5 减去根号20 ，要先把根号20 化简成 2 倍的根号
5 ，然后3 倍的根号5 减去2 倍的根号5 ，结果就是根号5 。

老师在课堂上会给咱们出很多这样的题目练习。

大家做的时候别着急，一步一步来，先化简，再计算。

多做几道题，咱们就能越来越熟练啦。

相信同学们通过努力，都能把二次根式混合运算掌握好！。

人教版数学八年级下册第十六章16.3.2二次根式的混合运算课件

二次根式的乘法法则是什么？
＋二次根＝式的混合运算顺序＝与实x数y类[(似x，＋即先y乘)方2－， 2xy]
将所求对称式进行适当变形，使之成为只含有x＋y，
＝1×[(2 3 ) －2×1]＝10. (2)(中考·包头)计算：
－＋( －1)0＝2
同学们，今天这节课，我们就一起来学习关于二次根式的混合运算的相关知识。
号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，
则 x 不可能是( C )
A. 3＋1
B. 3－1
C. 2 3
D. 1－ 3
【点拨】A.( 3＋1)－( 3＋1)＝0，故本选项不合题意；B.( 3＋
1)×( 3－1)＝2，故本选项不合题意；C.( 3＋1)与 2 3无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
C. 6 到 7 之间
D. 7 到 8 之间
5. (2020·荆门)下列等式中成立的是( D )
A. (－3x2y)3＝－9x6y3
B. x2＝x＋2 12－x－2 12
C.
2÷
1＋ 2
13＝2＋
6
D. （x＋1）1（x＋2）＝x＋1 1－x＋1 2
6. 计算：
(1)(2019·泰州) 8－
1 2×
人教版数学八年级下册
第十六章
16.3.2 二次根式的混合运算
复习旧知
1.二次根式的乘法法则是什么？ 2.二次根式的除法法则是什么？ 3.怎样进行二次根式的加减运算？
导入新知
同学们，今天这节课，我们就一起来学习关于二次根式的混合运算的相关知识。
二次根式的混合运算
学习目标
1.含有二次根式的式子实行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

初中数学八年级二次根式的加减乘除混合运算

二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。

二次根式：一般地，形如√ā(a≥0，a是被开方数)的代数式叫做二次根式，a≥0，√ā≥0 (双重非负性)。

二次根式的加减乘除混合运算实际上就是进行不断地化简的过程，因此突破难点的关键不但是要熟练掌握相关的运算法则，还要搞清楚化简的最后方向是最简二次根式的形式，因此判断是否是最简二次根式应是本节教学另一个关注的内容。

二次根式的加减法法则1、同类二次根式。

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2、合并同类二次根式。

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

二次根式的乘除法法则1、积的算数平方根的性质，列如：√ab=√a·√b(a≥0，b≥0)2、乘法法则，列如：√a·√b=√ab(a≥0，b≥0)，二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3、除法法则，√a÷√b=√a÷b(a≥0，b>0)，二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。

4、有理化根式。

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。

二次根式混合运算解题步骤1、确定运算顺序。

2、灵活运用运算定律。

3、正确使用乘法公式。

4、大多数分母有理化要及时。

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。

6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。

7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。

二次根式化简方法二次根式是中学代数的重要内容之一，而二次根式的化简是二次根式运算的基础，学好二次根式的化简是学好二次根式的关键。

人教版八年级数学下册《二次根式的混合运算(分母有理化)》教学设计

16.3.3 二次根式的混合运算(分母有理化)教学设计教学目标：1．理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化2．能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式.3．在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。

教学重点：有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。

教学难点：运用分母有理化熟练进行二次根式的计算教学过程：一．复习引入：1分母有理化回顾如何将x二．新课探索：1分母有理化。

1．学生尝试将x+y（学生可能出现几种目前做不出的情况，有针对性的分析引导学生思考）2．上述两题的分母有理化中，分母x x=x(yx+)(x- y)=x-y提问：等号左边两个含有二次根式代数式相乘，它们的积有什么特征？3．两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式.如x与x互为有理化因式，(yx+)与(x- y)互为有理化因式4．提问：-2x可以是x的有理化因式吗？为什么？填空：x的有理化因式可以是x+的有理化因式可以是y小结：一个含有二次根式的代数式的有理化因式不唯一。

5．想一想：a x+b y的有理化因式是什么？（填一个答案即可）6．说出下列各式的有理化因式：12-a 472- x ++11三．巩固运用：1．（口答）说出下列各式的一个有理化因式： 35+ b a -2 1-x 1-x 21x x ++ 21x x +-2．把下列各式分母有理化（集体练习，个别演示）（1）133+ （2）23341+ （3）)(n m n m nm ≠+-（提醒此题也可以约分做）3．计算：（集体练习，个别演示）（1）154510-- （2） 221111x x x x +-+++4．（备用）已知2231+=x ，求31-x 的值 5．（备用）解不等式：（１）（21-）x ﹥1（2）x x 332>-四、总结交流：这节课你有什么收获？五、作业布置：练习册习题。

人教版八年级数学下册《二次根式的混合运算》评课稿

人教版八年级数学下册《二次根式的混合运算》评课稿一、引言本评课稿以人教版八年级数学下册《二次根式的混合运算》为对象，对教材内容、教学目标、教学方法、评价方式等进行细化分析和评价。

通过评课，可以更好地了解该章节教学的特点和问题，提供与教师、教学内容和教学方法相关的反馈和建议。

二、教材内容分析该章节主要涉及二次根式的混合运算，并提供了一些解题技巧。

其中内容包括： - 二次根式的加减与乘除 - 含有二次根式的分数的加减 - 二次根式的约分 - 二次根式的化简与提取公因式 - 含有二次根式的方程三、教学目标设定根据教材内容的分析，本节课的教学目标可以设定如下：1. 了解二次根式的混合运算方法2. 能够对含有二次根式的表达式进行加减乘除运算 3. 能够将含有二次根式的分数进行加减运算，掌握约分方法 4. 能够化简和提取含有二次根式的式子 5. 能够解决含有二次根式的方程四、教学方法与策略本章节的教学可以采用多种教学方法和策略，包括： 1.教师讲解法：通过讲解基本原理和方法来引导学生理解与掌握2. 示范演示法：通过展示具体例题，让学生跟随教师一起完成演示运算 3. 合作学习法：将学生分成小组合作，共同解决问题和讨论 4. 情境教学法：通过设置实际问题和情境，提高学生的兴趣和参与度五、教学过程安排1.导入：通过提出一个生活中的问题，引起学生对二次根式的兴趣，如：小明将一面大片的草坪分成两块，其中一块的面积是另一块的三倍，可以用二次根式来表示吗？2.概念讲解：对二次根式的概念进行详细解释和讲解，引导学生正确理解。

3.基本运算讲解：教师通过讲解加减乘除的运算规则和技巧，引导学生掌握运算方法。

4.练习与讲解：教师提供一些例题，学生在老师的指导下完成运算，并进行相关讲解。

5.小组合作：将学生分成小组，通过合作学习解决一些综合运算题目。

6.拓展练习：提供一些较难的练习题，让学生进行思考和独立解决。

7.指导解析：教师对拓展练习题进行解析和讲解，引导学生发现问题和解决方法。

初二数学二次根式的混合运算及根号下a平方的化简

(5) 运算结果可能是有理式，也可能是根式，如果是根式形式的，一定要化成最简
二次根式.
初二数学第八讲二次根式的混合运算
四、练习
1、x为何值时，下列各式在实数范围内有意义：
x2 (1)
x2 2x 3
x 2 0, x2 +2x-3 0.
x -2, x 1 , x 3.
x -2且x 1
并化简；
= a( a b) - a b - a b(a-b) ( a b)2 b
=
a - 1 -a
b( a - b) a - b b
= a-b - a b( a - b) b
= a b- a
bห้องสมุดไป่ตู้
b
=b b
初二数学第八讲二次根式的混合运算
例4、（1）当x= 1 , y 1时，求代数式 x y 的值；
a b
ab
= -b b a b a b
= a 1 b
a b
a b
= b- b 0 a b
= a b 1=11=0 a b
初二数学第八讲二次根式的混合运算
b a b
解： Q a= 1 2 3 1 2+ 3
原式（a 1)2 1 a 1 2 3 a(a 1) a(a 1) a
= 1 x
初二数学第八讲二次根式的混合运算
技巧 : 若a 0, b 0时,
例3、
a a a b - a- b - a ab-b2 a-2 ab+b b
a 2 ab b ( a b)2, a b ( a b)( a b).
分式形式的根式计算问题，可以由三个途径来进行：（1）可以先通分再化简；（2）可以先有理化分母、再通分、后化简；（3）可以先约分，再有理化分母，然后通分,

八年级数学上册2.7二次根式第3课时二次根式的混合运算说课稿(新版北师大版)

八年级数学上册2.7二次根式第3课时二次根式的混合运算说课稿（新版北师大版）一. 教材分析本次说课的内容是北师大版八年级数学上册第2.7节二次根式的混合运算。

这一节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行学习的，是进一步培养学生解决实际问题能力的重要环节。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次根式的概念和性质有一定的了解。

但是，学生在进行混合运算时，可能会对运算顺序和运算法则掌握不牢固，导致运算错误。

因此，在教学过程中，需要引导学生理清运算思路，巩固运算法则。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的混合运算方法，能够正确地进行计算。

2.过程与方法目标：通过实例分析，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的混合运算方法。

2.教学难点：运算顺序和运算法则的掌握。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次根式的混合运算。

2.知识讲解：讲解二次根式的混合运算方法，引导学生掌握运算顺序和运算法则。

3.实例分析：分析几个典型的二次根式混合运算题目，让学生明白如何运用所学知识解决实际问题。

4.课堂练习：布置一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

5.小组讨论：让学生分组讨论，分享解题心得，培养团队合作意识。

6.总结提升：对本节课的内容进行总结，强调运算顺序和运算法则的重要性。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。

主要包括以下内容：1.二次根式的混合运算方法2.运算顺序和运算法则3.典型题目分析八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：1.学生课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

八年级二次根式的混合运算

八年级二次根式的混合运算咱们先说说什么是二次根式吧。

其实简单来说，就是那些带有“√”的数字。

比如说√4、√9，甚至√2。

它们就像是隐藏的宝藏，等着你去挖掘。

你要是问我，为什么要学这些东西，我会说，生活中处处都是数学的影子，越早认识，越能应对各种“数学怪兽”。

说到混合运算，大家应该都听说过，加减乘除。

想象一下，把这些运算像调料一样混在一起，做成一锅美味的数学汤。

可是，先别急，咱得先理清楚步骤。

没错，先把根式里的东西搞清楚。

比如，√16就是4，√25就是5。

这些都是基础，学好基础就像打好地基，后面的高楼大厦才能稳稳当当。

咱们再看点复杂的，比如说√(9 + 16)。

先算里面的部分，9 + 16得25，然后再求根，就是√25，结果还是5。

你看，多简单！这就像是在玩拼图，把每块都放对了，最后的图案自然美丽。

可别小看这一步，里面的奥秘可多了。

要是你在加减的时候搞混了，最后的答案就可能和你预想的差天共地。

然后我们再来聊聊那些带有系数的根式，比如说2√9。

简单来说，2就是系数，√9是3，那结果就变成了2 × 3，等于6。

这就像在做一份大餐，主料和辅料都得搭配好，才能做出让人垂涎欲滴的美味。

也许你会觉得这个过程枯燥，没关系，想象一下每一步都是在给你的数学技能加分，升级打怪那种感觉，心里是不是美滋滋的？哦对了，混合运算还有个特别的地方，就是要注意优先级。

比如说，你碰到一个式子，像3 + √(4 + 5) × 2。

这里你得先算根式里的内容，也就是4 + 5，结果是9。

然后再求√9，得3，最后乘以2，这样就得到了6。

算完之后再加3，结果就是9。

就像在打游戏一样，得先完成某个任务，才能解锁下一个关卡。

在这一过程中，很多同学可能会犯一些小错误。

没关系，谁没有过小失误呢？重要的是你得从中吸取教训。

就像生活中一样，失败并不可怕，关键是你要站起来，拍拍灰尘，继续前行。

每道题目都是一次新冒险，遇到困难的时候，可以对自己说：“我能行！”这样一来，运算的时候心里就更有底气。