含参不等式恒成立问题资料
含参不等式恒成立问题
一、 判别式法:1.R x c bx ax ∈>++对02恒成立⎩⎨⎧<∆>⎩⎨⎧>==⇔000a c b a 或;R x c bx ax ∈<++对02恒成立⇔*R x c bx ax ∈≥++对02恒成立⇔;R x c bx ax ∈≤++对02恒成立⇔2. 02>++c bx ax 有解⇔；*02<++c bx ax 有解⇔3. 02>++c bx ax 无解⇔；*02<++c bx ax 无解⇔例1：关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围．解:(1)当0=a 时，原不等式化为01<--x ,不符合题意，∴0≠a .(2)当0≠a 时,则⎩⎨⎧>--<⇒⎩⎨⎧<---=∆<012300)1(4)1(022a a a a a a a 310)1)(13(0-<⇒⎩⎨⎧>-+<⇒a a a a ∴a 的取值范围为)31,(--∞练习：1.若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值范围.2. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围.3. 若不等式210ax ax --<的解集为R ,求实数a 的取值范围.4.已知关于x 的不等式01)3()32(22<-----x m x m m 的解集为R ,求实数m 的取值范围.〖练习答案〗：1.解：由题意得：0)8(62≥++-k kx kx 对R x ∈恒成立， (1)当0=k 时，8)(=x f 满足条件.(2) 当0≠k 时,则102)8(43602≤<⇒⎩⎨⎧≤+-=∆>k k k k k . 综合(1)(2)得：k 的取值范围是]1,0[ 2.解：由题意得：不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a ，解得311>-<a a 或. 所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞3.解: (1)当0=a 时,原不等式可化为10-<,显然成立(2)当0a ≠,则240a a a <⎧⎨∆=+<⎩,得04<<-a 综上(1)(2)得：a 的取值范围]0,4(-. 4.解:(1)若0322=--m m ,则13-==m m 或, 当3=m 时，原不等式可化为10-<,显然成立; 当1-=m 时，原不等式可化为014<-x ,显然不成立.3=∴m（2）若0322≠--m m ,则⎪⎩⎪⎨⎧<+=∆<03-2m -m 43)-(m 03-2m -m 222, 解得：得351<<-m 综上(1)(2)得：m 的取值范围]3,51(-二、最值法：将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：(1)a x f >)(恒成立a x f >⇔min )((或)(x f 的下界a ≥);a x f <)(恒成立⇔(或)(x f 的上界a ) (2)a x f ≥)(恒成立⇔(或)(x f 的下界a );a x f ≤)(恒成立⇔(或)(x f 的上界a )注:(1)上界的定义：M x f <)(恒成立， 且当a x →（∞±也可以是a ）时，M x f →)(，则)(x f M 为的上界.(2)下界的定义：m x f >)(恒成立，且当a x →（∞±也可以是a ）时，m x f →)(，则)(x f m 为的下界.（m x f →)(读作m x f 趋向于)(）(1) a x f >)(有解a x f >⇔max )((或)(x f 的上界a >);a x f <)(有解⇔(或)(x f 的下界a ) (2) a x f ≥)(有解⇔(或)(x f 的上界a );a x f ≤)(有解⇔(或)(x f 的下界a例2：若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围.解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，)(x f 的最小值非负。
含参不等式恒成立问题
不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x的范围。
含参数的不等式的恒成立
例 12．已知 f x x2 2x a 当 x 1, , f x 的值域是0, ，试求实数 a 的值．
x
思考与运用
1．设 a 0 ， 3x2 a 2x b 0 在 a,b 上恒成立，则 b a 的最大值为
2.设集合 A= x x2 2x 3 0 ，集合 B= x x2 2ax 1 0, a 0 .若 A B 中恰含有一个整数，则实
min
注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式 f x k
f
x k 在区间 D 上恒成立 D x
f
x k
f
x max
k
D x
f
x k
f
x min
k
，而含
参不等式 f x k f x k 在区间 D 上能成立 至少存在一个实数 x 使不等式 f x k
0 时，
f
(x)
0在x [, ]
上恒成立
f f
0, 0.
f
(x)
0在x
[,
]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
,
f ( ) 0 0
f ( ) 0.
例 2．已知不等式 mx2 4mx 4 0 对任意实数 x 恒成立．则 m 取值范围是
取值范围的基本步骤：
（1）将参数与变量分离，即化为 g f x （或 g f x ）恒成立的形式；
含参不等式恒成立问题—任意性与存在性
１、f(x)=ax+b,x ∈ [α,β]，则：
f(x)>0恒成立＜
＞
f()>0
f()>0
f(x)<0恒成立＜
＞
f()<0
f()<0
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
y
α
o
β
x
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0
a >0
或
C>0
Δ=b2-4ac<0
例：已知函数 f ( x) 8 x 2 16 x k ，g ( x) 2 x3 5 x 2 4 x ，其中 k 为实数 .
3] ，使 f ( x) g ( x) 恒成立，
（3） 若对 x [3，
求k的取值范围；
3] ，使 f ( x0 ) g ( x0 ) 能成立，
3] ，使 f ( x) g ( x) 恒成立，
（3） 若对 x [3，
求k的取值范围；
3] ，使 f ( x1 ) g ( x若 x1，x2 [3，
例：已知函数 f ( x) 8 x 2 16 x k ，g ( x) 2 x3 5 x 2 4 x ，其中 k 为实数 .
（4） 若 x0 [3，
求k的取值范围；
x D ：
x0 D ：
f ( x) g ( x)]min 0 f ( x ) g ( x ) [____________
f ( x) g ( x)]max 0
f ( x) g ( x) [____________
f min ( x) 0
“含参数不等式的恒成立”问题及其解法
“含参数不等式的恒成立”问题及其解法“含参数不等式的恒成立”问题，是近几年高中数学以及高考的常见问题，它一般以函数、数列、三角函数、解析几何为载体，具有一定的综合性。
解决这类问题的主要方法是最值法：若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一 已知函数()()1112>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x f .①求()x f 的反函数()x f 1-;②若不等式()()()x a a x f x ->--11对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立,求实数a 的取值范围.分析：本题的第二问将不等式()()()x a a x f x ->--11转化成为关于t 的一次函数()()211a t a t g -++=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立的问题. 那么，怎样完成这个转化呢？转化之后又应当如何处理呢？ 【解析】 ①略解()()10111<<-+=-x xx x f②由题设有()()x a a xx x->-+-111,∴x a a x ->+21,即()0112>-++a x a 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立. 显然,a ≠-1令x t =,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t则()()0112>-++=a t a t g 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立.由于()()211a t a t g -++=是关于t 的一次函数.（在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 的条件下()()211a t a t g -++=表示一条线段，只要线段的两个端点在x 轴上方就可以保证()()0112>-++=a t a t g 恒成立）∴()()451011210114102104122<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-++>-++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a g g例二 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。
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令t=2/x， t的范围则为（1/2，2） 则 2/x-2/x^2 = 2t-t^2/2 = -1/2(t-2)^2 + 2
这便是两次函数求最值 当t=2时 2t-2t^2 的最大值 为 2(但取不到) 所以a的范围是 [2, 正无穷﹚
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恒成立 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
m242mm5(m4m5)2
4 2 52
521(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 2*
1
即a
≥
5 1 2
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b
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(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
(
bx-
1 x
)max ≤a ≤(bx+
)1xmin
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx +
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
27用含参不等式恒成立问题的解法
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0
................
(*)
（1）当| x | ≤2，不等式恒成立，求实数m的取值范围 ；
求谁,谁就是参数; 另一个是自变量
（2）当| m | ≤2，不等式恒成立，求实数x的取值范围 .
变更“主元” 解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m∈[-2,2]）法
（Ⅱ）{a|a≥-4}
练 习
设f（x）=x2-2ax+2（a∈R），g（x）=lgf（x） （1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围； （2）若g（x）的值域为R，求a的取值范围； （3）当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
（1）{a|-2≤a≤1}； （2）{a|a≥ 或a≤2 }2
例1：已知关于x的不等式： (a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立， 试求a的取值范围.
解：由题意知： ①当a -2=0，即a =2时，不等式化为 1 ≥ 0，它恒成立，满足条件. ②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于
a 2 0 2 ( a 2) 4( a 2) 0
练 已知不等式x2+mx＞4x+m-4． 习 （1）若对于0≤m≤4的所有实数m，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
（2）若对于x≤1的所有实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围． （1）实数x的取值范围为：（-∞，0）∪（0，2）∪（2，+∞）； （2）实数m的取值范围是：{m|m＜4}． 求谁,谁就是参数; 另一个是自变量
f 0 ＞0 则 f 4 ＞0
[数学]含参不等式恒成立问题
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一、 判别式法:若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有（1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔0a ;（2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a注:①R x c bx ax ∈>++对02恒成立⎩⎨⎧<∆>⎩⎨⎧>==⇔0000a c b a 或;②R x c bx ax ∈<++对02恒成立⎩⎨⎧<∆<⎩⎨⎧<==⇔0000a c b a 或 例：关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围． 解:(1)当0=a 时，原不等式化为01<--x ,不符合题意，∴0≠a .(2)当0≠a 时,则⎩⎨⎧>--<⇒⎩⎨⎧<---=∆<012300)1(4)1(022a a a a a a a 310)1)(13(0-<⇒⎩⎨⎧>-+<⇒a a a a ∴a 的取值范围为)31,(--∞ 例：若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值范围解：(1)当0=k 时，8)(=x f 满足条件.(2) 当0≠k 时,则102)8(43602≤<⇒⎩⎨⎧≤+-=∆>k k k k k . 综合(1)(2)得：k 的取值范围是]1,0[ 例:已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题意得：不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a ，解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞例：若不等式210ax ax --<的解集为R ,求实数a 的取值范围. 解: (1)当0=a 时,原不等式可化为10-<,显然成立(2)当0a ≠,则240a a a <⎧⎨∆=+<⎩,得04<<-a 综上(1)(2)得：a 的取值范围]0,4(-. 例：已知关于x 的不等式01)3()32(22<-----x m x m m 的解集为R ,求实数m 的取值范围.解:(1)若0322=--m m ,则13-==m m 或, 当3=m 时，原不等式可化为10-<,显然成立; 当1-=m 时，原不等式可化为014<-x ,显然不成立.3=∴m(2) 若0322≠--m m ,则⎪⎩⎪⎨⎧<+=∆<03-2m -m 43)-(m 03-2m -m 222, 综上(1)(2)得：m 的取值范围]3,51(-例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m 的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x 的取值范围 解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m [-2,2]） 则 g(m)>0恒成立⇔g(-2)=3x2-3x+3>0g(2)=-x2+x+3>0*若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
不等式含参解法恒成立
设f ( x) x 2 2 x ( x 1) 2 1, x [1,1]，只需f ( x) min a即可， 构造函数不等式放缩
则f ( x)min =f (1) 1 a. a 1.
求最值
体现了“转化与化归思想”
练习
解法1：
x 2 2ax 2 函数f ( x) , 对任意x [1, )，f ( x) 0恒成立， x 求a的范围
X=-a 1
小结 方法总结
1.函数 不等式中的恒成立问题 2.分离参数后用最值 3.用图象
二次不等式a x2 +bx +c > 0在R上恒成立 二次不等式a x2 +bx +c > 0的解集为R 二次不等式a x2 +bx +c > 0
△=0
y
△<0
y
有两相等实根 b x1=x2= 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
b {x|x≠ } 2a
R Φ
Φ
含参不等式恒成立的问题
知识概要
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
第三章 不等式
§3.3 一元二次不等式及其 解法（二）
一元二次不等式的解法 二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x
含参不等式的恒成立问题
含参不等式的恒成立问题含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，因为新课标高考对导数应用的增强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式，其破解方法主要有：分离参数法、主参换位法、数形结合法、函数性质法、导数分析法、最值定位法、、构造函数法等.
一、分离参数法
分离参数法是解决含参问题的基本思想之一，对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，能够根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性质就能够解决问题．
二、数形结合法
数形结合是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”以达到解决问题的目的，数形结合是破解含参不等式恒成立问题的又一主要方法．
三、构造函数法
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巧解：基本不等式中含参数不等式恒成立问题
巧解：基本不等式中含参数不等式恒成立问题一、温故知新如果a , b ∈R +，那么 （当且仅当a =b 时，式中等号成立） 二、 典例精讲典例1、正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)解：a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab≥16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝12时取“＝”，故只需－x 2＋4x ＋18－m ≤16，得x 2－4x ＋m －2≥0恒成立，即Δ＝16－4(m －2)≤0，解得m ≥6.故选D.典例2、已知a >b >c ，若1a －b ＋1b －c ≥n a －c ，求n 的最大值．解法一：∵1a －b ＋1b －c ≥na －c ，且a >b >c ，∴n ≤a －ca －b ＋a －c b －c ＝(a －c )2(a －b )(b －c ).ab b a ≥+2∵对a 、b 、c 上式都成立，∴n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －c )2(a －b )(b －c )min(a －c )2(a －b )(b －c )≥(a －c )2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(a －b )＋(b －c )22＝4. ∴n 的最大值为4.解法二：∵a >b >c ，∴a －ca －b ＋a －cb －c＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c＝2＋b －c a －b＋a －b b －c≥2＋2＝4.∴n ≤4，∴n 的最大值为4. 三、 归纳总结基本不等式中含参数恒成立问题：利用基本不等式性质先求出最值，然后分离参数即可得出参数的范围。
四、 迎接挑战1、若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 2、已知实数a >0，b >0，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m ，对任意的正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)答案：1、解析：∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1＝1x ＋3＋1x≤12＋3＝15 ∴a ≥15.2、解：因为a ，b ，x ，y为正实数，所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ayx ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．故选D.。
含参不等式恒成立
“含参不等式恒成立问题”一般求解策略：一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; 2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
一般地有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔四、数形结合法1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。
五、变换主元法例1．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
高中含参不等式的恒成立问题整理版
三在x [句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
，
f 心理 三 三
f 心 理 三
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
（2）当
a
三 时，
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
f
心x理
三在x
[句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象
位置关系通过特指求解 a的取值范围。
解：设 T:f (x) =(x 1)2 ,T:g(x) log x ,则 T的图象为右图所示的抛物线，要使对一切 x (1,2f)(x,) <g(x)
1
2
a
1
恒成立即 T的图象一定要在 T的图象所的下方，显然 a>1并,且必须也只需 g(2) f (2)
解：要使 (a 2)x 2 2(a 2)x 4 0 对于 x Ｒ恒成立，则只须满足：
a 2 0 （1） 4(a 2)2 16(a 2) 0 或
a 2 0 （2） 2(a 2) 0
4 0
a 2 解（1）得 2 a 2
，解（2） a ＝２
∴参数 a 的取值范围是－２＜ a ２．
的最值问题：
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
；
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
.
例
1．已知函数
f
含参不等式恒成立问题
含参不等式中恒成立问题在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
高中含参不等式的恒成立问题整理版
高中数学不等式的恒成立问题?一、用一元二次方程根的判别式????有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
基本结论总结例1??对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。
例2：已知不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：（1）⎩⎨⎧<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=-040)2(202a aR ，求实数a 的取值范围。
2.，不等式恒成立，求实数3.若不等式的解集是4.例3．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二分布解决问题。
解：m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
例4。
已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。
解法1：数形结合结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立⇔25a 0a 25)2(f 0a 2)1(f >⎩⎨⎧<-=<-=得。
所以a 的取值范围是),25(+∞。
解法2：转化为最值研究1.若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25≤<所以。
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不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。
三、利用函数的最值（或值域）（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。
简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。
由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例3：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B BB B f 且π恒成立，求实数m 的范围。
解析：由]1,0(sin ,0,1sin 22cos )24(sin sin 4)(2∈∴<<+=++=B B B B BB B f ππΘ，]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f Θ恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，即⎩⎨⎧+<->2)(2)(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
解析：由于函]43,4[4),4sin(2cos sin ππππ-∈--=->x x x x a ，显然函数有最大值2，2>∴a 。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2,0(4,cos sin ππ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得x x y cos sin -=的最大值取不到2，即a 取2也满足条件，所以2≥a 。
所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。
利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。
四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。
例5：已知恒成立有时当21)(,)1,1(,)(,1,02<-∈-=≠>x f x a x x f a a x ，求实数a 的取值范围。
解析：由x x a x a x x f <-<-=2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由12221)1(211-=--=-a a 及得到a 分别等于2和0.5，并作出函数x x y y )21(2==及的图象，所以，要想使函数x a x <-212在区间)1,1(-∈x 中恒成立，只须x y 2=在区间)1,1(-∈x 对应的图象在212-=x y 在区间)1,1(-∈x 对应图象的上面即可。
当2,1≤>a a 只有时才能保证，而2110≥<<a a 时，只有才可以，所以]2,1()1,21[Y ∈a 。
由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。
利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。
例6：若当P(m,n)为圆1)1(22=-+y x 上任意一点时，不等式0≥++c n m 恒成立，则c 的取值范围是（ ）A 、1221-≤≤--cB 、1212+≤≤-cC 、12--≤cD 、12-≥c解析：由0≥++c n m ，可以看作是点P(m,n)在直线0=++c y x 的右侧，而点P(m,n)在圆1)1(22=-+y x 上，实质相当于是1)1(22=-+y x 在直线的右侧并与它相离或相切。
12111|10|01022-≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+++>++∴c c c ，故选D 。
其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。
以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。
其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。
下面，给出一些练习题，供同学们练习。
练习题：1、对任意实数x ，不等式),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++恒成立的充要条件是_______。
][22b a c +>2、设]1,(7932lg lg -∞++=在a y x x x 上有意义，求实数a 的取值范围.),95[+∞。
3、当1||)3,31(<∈x Log x a 时，恒成立，则实数a 的范围是____。
)],3[]31,0[(+∞Y4、已知不等式：32)1(1211......2111+->++++++a Log n n n n a 对一切大于1的自然数n 恒成立，求实数a 的范围。
)]251,1([+∈a含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ;2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞Y 。
若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23， 则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立令01266)(2'=++-=x x x F ，得21=-=x x 或而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=- ∴045)(max ≤-=a x F∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。