2021届天津市杨村一中高三下学期2月开学考试数学试卷及答案
天津市第三中学2021届高三数学下学期2月月考试题
精品文档 欢迎下载天津市第三中学2021届高三数学下学期2月月考试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和 第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间 90分钟。
第I 卷 选择题一、单选题（共9题，每题4分，共36分）1．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线 :1l y kx =+ 与圆 22:1O x y += 相交于 A ，B 两点，则“1k =”是“||2AB = ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．2π 4．如果()20,X B p ，当12p =且()P X k =取得最大值时， k 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．115．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为（ ） A ．2πB ．23C ．23D 2π6．定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[]1,1x ∈-，都有()()0f x f x -+=；②任意的m ，[]0,1n ∈，当m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-，则不等式()()131f x f x -≤-的解集是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知等差数列{}n a 、等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若21n n S n T n +=+，则68a b 的值是（ ） A ．1316B ．1314 C ．1116 D ．11158．已知点F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个顶点，直线FA 与双曲线的一条渐近线在y 轴左侧的交点为B ，若()31FA AB =-，则此双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．59．已知函数,0()2,0x e a x f x x a x ⎧-≤=⎨->⎩()a R ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．(0,1)D ．(,1]-∞第II 卷 非选择题二、非选择题（共9题，共64分） 10．设0a >，则4a a a++的最小值为__________. 11．在二项式251()x x-的展开式中，二项式系数之和是 ，含4x 的项的系数是 ．12．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率满足：第一小组与第三小组的频率和是第二小组频率的2倍，第二小组的频数为15，则抽取的学生人数为__________. 13．对任意的a R +∈，曲线2()ln 1y x ax x a =+++在点(1,1)P a +处的切线l 与圆22:(2)()1C x y a -+-=的位置关系是__________．14．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1100f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 ______ 15．已知平行四边形ABCD 的面积为93，23BAD π∠=，||6AD =，E 为线段BC 的中点，若F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+，则λ= ；AF AE 的值为 ．16．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，点P 为侧棱1CC 上的一点，且133AA AB ==．（Ⅰ）若点P 为1CC 的中点，求证：1//AC 平面PBD ；（Ⅱ）若113PC CC =，求直线1A P 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角B PD C --的余弦值为23，求PC 的长．17．已知等比数列{}n a 满足3210a a -=，123125a a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，且*32111()23n n b b b b b n N n++++⋯+=-∈，（ⅰ）求{}n b精品文档 欢迎下载的通项公式；（ⅱ）求211ni i i a b -=∑．18．已知函数2()(21)(),x f x x e a x x a R =--+∈ (1)讨论f (x )的单调性(2)设2()g x ax a =--.若对任意的x ∈R ,恒有f (x )≥g (x )求a 的取值范围第三中学2020~2021学年度第二学期高三年级数学阶段性测试 (2021.2)参考答案一．选择题1.C2.A3.B4.C5.C6.B7.A8.B9.A 二．解答题10.5 11.32,10 12.60 13.相离 14.-lg2 15.13916．（Ⅰ）证明：连接AC ，交BD 于O ，连接OP ， 底面ABCD 是正方形，O ∴是AC 的中点， 点P 为1CC 的中点，1//OP AC ∴， 1AC ⊂/平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 1//AC ∴平面PBD ．（Ⅱ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 133AA AB ==，113PC CC =， 1(1A ∴，0，3)，(0P ，1，2)，(1B ，1，0)，(0D ，0，0)， 1(1A P =-，1，1)-，(1DB =，1，0)，(0DP =，1，2)，设平面PBD 的法向量(n x =，y ，)z ，则020n DB x y n DP y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，得(2n =，2-，1)， 设直线1A P 与平面PBD 所成角为θ， 则直线1A P 与平面PBD 所成角的正弦值为：11||sin ||||39A P n A P n θ⋅===⋅⋅（Ⅲ）设PC t =，则(0P ，1，)t ，(0DP =，1，)t ，(1DB =，1，0)， 平面PDC 的法向量(1p =，0，0)， 设平面PBD 的法向量(m a =，b ，)c ，则00m DP b tc m DB a b ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1a =，得(1m =，1-，1)t ，二面角B PD C --的余弦值为23， ||2|cos ,|||||32m p m p m p ⋅∴<>===⋅+， 解得2t =，或2t =-（舍)，PC ∴的长为2．17. （Ⅰ）由等比数列{}n a 满足3210a a -=，123125a a a =，可得23125a =，即25a =，315a =， 则等比数列{}n a 的公比为3，所以253n n a -=⋅，5(13)53(31)136n n n S -==--；（Ⅱ）（ⅰ）由11b =，且*32111()23n n b b b b b n N n++++⋯+=-∈， 可得121b b =-，即22b =， 当2n 时，121121n n b b b b n -++⋯+=--，又1211121n n n b b bb b n n-+++⋯++=--， 两式相减可得11(1)n n n b b b n +=---，化为12112n n b b bn n +==⋯==+， 所以n b n =，对1n =也成立， n b n =，*n N ∈；（ⅱ）21112335211nn i i n n i M a b a b a b a b a b --===+++⋯+∑2515353553(21)3n n -=⨯+⨯+⨯⨯+⋯+⋅⋅-， 221355353553(21)n n M n -=+⨯+⨯⨯+⋯+⋅⋅-，上面两式相减可得2215210(1333)53(21)3n n n M n ---=++++⋯+-⋅⋅-115131053(21)313n n n ---=+⋅-⋅⋅--， 化简可得121155(1)33nn i i i a b n --==+-⋅∑．18. （1）()()()()()212121x xf x x e a x x e a =+-+=+-'.（i ）当0a ≤时， 0xe a ->，当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；所以()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.（ii ）当0a >时，由()0f x '=得12x =-或ln .x a = 12a e -=时，()()12210x f x x e e-⎛⎫=+-≥ ⎪⎭'⎝，所以()f x 在R 上单调递增. 当120a e -<<时, 1ln 2a <-.当()1,ln ,2x a ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>； 当1ln ,2x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<；所以()f x 在()1,ln ,,2a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1ln ,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减. 当12a e ->时, 1ln 2a >-.当()1,ln ,2x a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,ln 2x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<；所以()f x 在()1,,ln ,2a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在 1,ln 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减.（2）由题意，对任意的x R ∈，恒有()()2110xx e a x ---≥，即不等式()()121xa x x e -≤-成立.①当1x =时，显然成立.②当1x >时，不等式化为()21.1x x e a x -≤-令()()()2111x x e hx x x -=>-，有()()()22231xx x e h x x '-=-.当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<,()h x 单调递减； 当3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>,()h x 单调递增，所以当32x =时，()h x 取极小值32342h e ⎛⎫= ⎪⎝⎭.于是324a e ≤. 当1x <时，不等式转化为()21.1x x e a x -≥-令()()()2111x x e x x x ϕ-=<-，有()()()22231xx x e x x ϕ'-=-.当(),0x ∈-∞时，()0x ϕ'>,()x ϕ单调递增；当()0,1x ∈时， ()0x ϕ'<,()x ϕ单调递减，所以当0x =时，()x ϕ取极大值()01ϕ=. 此时1a ≥.综上，a 的取值范围是321,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
2021年高三下学期开学检测数学(理)试卷 含答案
2021年高三下学期开学检测数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1．设为虚数单位，则复数的虚部为A． B． C． D．2．已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中含项的系数为A. B. C. D.3．平面向量，共线的充要条件是A．，的方向相同 B．，中至少有一个为零向量C．， D．存在不全为零的实数，，4．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小正值为A．B．C．D．5．是双曲线（，）的右支上的一点，，分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为A．B．C．D．6．某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A．B．C．D．7. 的外接圆的圆心为，，，则等于A．B．C．D．8．如图，在公路的两侧有四个村镇：，它们通过小路和公路相连，各路口分别是. 某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度最小，调压站应建在A．处B．段公路旁的任一处C．处D．段公路旁的任一处第II卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .10. 如图, 已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点, 且，∶∶∶∶. 若与该圆相切，则线段的长为.11. 右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为；表面积为.12. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是.13．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为.14．已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤.2222俯视图侧视图正视图33B其中正确的命题是（写出你认为正确的所有命题的序号）解：①、②、⑤三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（本小题13分）已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）在中，三内角的对边分别为，已知,成等差数列，且，求及的值.16．（本小题13 分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次. 在A处每投进一球得3分；在B处每投进一球得2分. 如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次. 某同学在A处的投中率为0.25，在B处的投中率为. 该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求随机变量的数学期望E；（Ⅲ）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.17．（本小题14 分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点.(Ⅰ) 求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.18．（本小题13分）已知函数，（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（III）当时，证明：19．（本小题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过点和点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．20．（本小题13分）若有穷数列，，，（）满足：（1）；（2）.则称该数列为“阶非凡数列”.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；（Ⅱ）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（Ⅲ）记“阶非凡数列”的前项的和为（），证明：（1）；（2）.xx学年度第二学期3月月考高三数学（理）试卷答案（考试时间120分钟满分150分）第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1．设为虚数单位，则复数的虚部为A．B．C．D．解：，选B.2．已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中含项的系数为A. B. C. D.解：令，得展开式中各项系数之和为. 解方程，得.故该展开式中含项为，其系数为，选A.3．平面向量，共线的充要条件是A．，的方向相同B．，中至少有一个为零向量C．，D．存在不全为零的实数，，解：D．4．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小正值为A．B．C．D．解：将函数的图象向右平移个单位，得，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得(2)2sin 2(2)2sin 4244f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令，得，（）故的最小正值为，选B ．5．是双曲线（，）的右支上的一点，，分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为 A ． B ． C ． D ． 解法一：设横坐标为，则由，得， ，选A ．解法二：当右顶点时，. 选A ．6．某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类 节目不相邻的排法种数是 A ． B ． C ． D ．解：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空.（1）小品1，相声，小品2.（2）小品1，小品2，相声.（3）相声，小品1，小品2.共有种，选B ．7. 的外接圆的圆心为，，，则等于 A ． B ． C ． D ． 解：C ．8．如图，在公路的两侧有四个村镇：，它们通过小路和公路相连，各路口分别是. 某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度最小，调压站应建在A ．处B ．段公路旁的任一处C ．处D ．段公路旁的任一处解：D ．第II 卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .解：10. 如图, 已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点, 且， ∶∶∶∶. 若与该圆相切，则线段的长为 .解：设， 则，. 则由相交弦定理，得， 即，即. 由切割线定理，得，所以.11. 右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为 ； 表面积为 .解：体积为；表面积为.12. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .解：13．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为 . 解：由，得，， ，.由的面积为，得，. 故，，.当且仅当时，等号成立，的最小值为.14．已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题：① ；② ；③ ；④ 数列中的最大项为；⑤ .其中正确的命题是 （写出你认为正确的所有命题的序号）解：①、②、⑤三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）2222俯视图侧视图正视图33B已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）在中，三内角的对边分别为，已知,成等差数列，且，求 及 的值.解：（Ⅰ）x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π…2分= ………………………3分最小正周期为 ………………………4分由成等差数列得：， ……………………………………9分由，得， ……………………………………10分………………………………………………11分由余弦定理得，，于是，， ………………………………………………13分16．（本小题13 分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次. 在A 处每投进一球得3分；在B 处每投进一球得2分. 如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次. 某 同学在A 处的投中率为0.25，在B 处的投中率为. 该同学选择先在A 处投一球，以后都（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求随机变量的数学期望E ；（Ⅲ）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 解：（Ⅰ）设该同学在A 处投中为事件A, 在B 处投中为事件B.则事件A,B 相互独立，且，，，.根据分布列知：=0时，22()()()()0.75(1)0.03P ABB P A P B P B q ==⨯-=， 所以，. … 2分（Ⅱ） 当=2时，( ). … 4分当=3时， 22()()()()0.25(1)0.01P ABB P A P B P B q == -=. … 6分当= 4时， 22()()()()0.750.48P ABB P A P B P B q ===. … 8分当= 5时，222()()()()()0.25(1)0.250.24P A P B P B P A P B q q q =+=-+=. … 10分∴随机变量的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. … 11分（Ⅲ）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为. … 13分该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为. … 14分由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大. … 14分17．（本小题 14 分）如图，在四棱锥中， 底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点.(Ⅰ) 求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.(Ⅰ) 证明：取中点为，连. ……1分∵是的中点∴是的中位线,∴.∵是中点且是菱形，∴, ∴ . ∴∴四边形是平行四边形. 从而 . …… 3分∵平面 ,平面,∴∥平面………………………………4分………………………………8分∵平面∴平面⊥平面 . ………………………………9分说明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）也可用向量法证.……10分ACDEFM由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一个法向量 …11分 设平面的一个法向量为 由 ,且由在以上二式中令，则得，，∴.……12分设平面与平面所成锐角为故平面与平面所成的锐角为. …………………………………14分18．（本小题13分） 已知函数，（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（III ）当 时，证明：解：（Ⅰ）在上恒成立， … 2分 设 ，令 … 3分得 得 . … 4分 （Ⅱ）（）， .① 当时，因，故在上单调递减， ，（舍去）. … 5分② 当时，即时，因在上，；在上，.故在上单调递减，在上单调递增. ，，满足条件. … 7分③ 当时，即时，因，故在上单调递减， ，（舍去）. … 8分 综上，存在实数，使得当时有最小值.（III ）令，由（Ⅱ）知，. … 9分令，， … 10分B ACDEPFz xy当时，因，故在上单调递增. … 11分∴ … 12分即 … 13分19．（本小题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过点和点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为（）， 将点和点代入，得 ，解得.故椭圆的标准方程为.（Ⅱ）圆的标准方程为， 设，， 则直线的方程为，直线的方程为， 再设直线上的动点（），由点在直线和上，得 ，故直线的方程为. 原点到直线的距离，22222424222244t AB r d t t +=-=-=++，显然.设，，则，.CD==)2248tt+==+.ABCD===.设（），则ABCD===设（），则.设，则，故在上为增函数，于是的值域为，的取值范围是.20．（本小题13分）若有穷数列，，，（）满足：（1）；（2）.则称该数列为“阶非凡数列”.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；（Ⅱ）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（Ⅲ）记“阶非凡数列”的前项的和为（），求证：（1）；（2）.（Ⅰ）解：为一个单调递增的“阶非凡数列”；为一个单调递减的“阶非凡数列”.（Ⅱ）解：设公差为，由，得，，，于是. 由，知.（1）由题设得，，. 代入中，得.故()()()()111111111n n a a n d n k k k k k k=+-=-+-⋅=-+++ （，）（2）由题设得，，. 代入中，得.故()()()()111111111n n a a n d n k k k k k k ⎡⎤=+-=+-⋅-=-+⎢⎥+++⎣⎦ （，）（Ⅲ）（1）证明： 当时，，命题成立； 当时，由，得()1212m m m m n S a a a a a a ++=+++=-+++，于是1212m m m m n S a a a a a a ++=+++=+++，12122m m m m n S a a a a a a ++=+++++++，故.综上，得（）.（2）证明：321211123ni n n i a S S S S S S S in-=---=++++∑()11111111111112122312223122n n n n n⎡⎤⎛⎫≤+++=-+-++-=-⎢⎥ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎣⎦.406859EED 黭<27097 69D9 槙38091 94CB 铋23972 5DA4 嶤25311 62DF 拟22017 5601 嘁37113 90F9 郹m23525 5BE5 寥21293 532D 匭E33626 835A 荚21739 54EB 哫。
2021年天津市武清区杨村一中高考数学热身训练试卷(二)
2021年天津市武清区杨村一中高考数学热身训练试卷（二）一、选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项涂在答题卡上）1．（5分）已知R是实数集，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x||x﹣1|≥2}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣1，2]B．（﹣1，3）C．（﹣2，3]D．（﹣1，2] 2．（5分）已知x∈R，条件p：x2＜x，条件，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．（5分）函数f（x）＝（x3﹣3x）•的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[30，55]内，按通行时间分为[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[30，35）内的车辆有235台，则通行时间在[45，50）内的车辆台数是（）A．450B．325C．470D．5005．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π6．（5分）已知a＝20.1，b＝log0.20.3，c＝ln0.9，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a7．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线经过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1B．x2＝1C．＝1D．＝18．（5分）将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减9．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）关于直线x＝﹣1对称．当x≥0时，f（x）＝，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（2﹣2x）≥f（x+m）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，0）B．[]C．[1，+∞）D．[，+∞）二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，讲答案写在答题纸相应位置上）10．（5分）已知i是虚数单位，复数，则|z|＝．11．（5分）（3x﹣）5的展开式中，x2的系数为．12．（5分）已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（﹣2，﹣1），则圆C的标准方程为．13．（5分）甲、乙两人进行象棋比赛，约定五局三胜制，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；用X表示比赛决出胜负时的总局数，则E（X）＝．14．（5分）已知a＞b＞0，且ab＝4，则的最小值为．15．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，DE＝2EC，M为BC的中点，则＝；若点P在线段BD上运动，则的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝2，c＝，cos A ＝﹣．（1）求sin C和b的值；（2）求cos（2A+）的值．17．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，PD⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；（3）已知点H在棱PD上，且直线CH与平面PBQ所成角的正弦值为，求线段DH 的长．18．（15分）已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1＝1，{b n}为等比数列且各项均为正数，b1＝1，且满足：b2+S2＝7，b3+S3＝22．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记c n＝，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．19．（15分）已知椭圆（a＞b＞0）过点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，且|OA|＝2|OB|．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点A的直线l1与椭圆交于另一点M，过点B的直线l2与椭圆交于另一点N，直线l1与l2的斜率的乘积为，M，N关于y轴对称，求直线l1的斜率．20．（16分）已知函数f（x）＝ax+lnx+1．（1）a＝﹣1，求函数f（x）的最大值；（2）若f（x）﹣f′（x）≤0恒成立，求a的取值集合；（3）令F（x）＝f（x）﹣ax﹣1，过点P（x0，y0）做曲线y＝F（x）的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点P一定在第一象限内．2021年天津市武清区杨村一中高考数学热身训练试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项涂在答题卡上）1．（5分）已知R是实数集，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x||x﹣1|≥2}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣1，2]B．（﹣1，3）C．（﹣2，3]D．（﹣1，2]【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，得﹣1≤x≤2，∴A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，由|x﹣1|≥2，得x﹣1≤﹣2或x﹣1≥2，解得x≤﹣1或x≥3．∴B＝{x||x﹣1|≥2}＝{x|x≤﹣1或x≥3}，则∁R B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩（∁R B）＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，2]．故选：D．2．（5分）已知x∈R，条件p：x2＜x，条件，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：求解二次不等式x2＜x，可得0＜x＜1，则A＝{x|0＜x＜1}，求解分式不等式可得0＜x＜1，则B＝{10＜x＜1}，因为A＝B，所以p是q的充分必要条件．故选：C．3．（5分）函数f（x）＝（x3﹣3x）•的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝（﹣x3+3x）•＝f（x），则函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B；由于f（1）＝（1﹣3）•＜0，故排除C；由于f（2）＝（8﹣6）•＞0，故排除D．故选：A．4．（5分）2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[30，55]内，按通行时间分为[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[30，35）内的车辆有235台，则通行时间在[45，50）内的车辆台数是（）A．450B．325C．470D．500【解答】解：因为[30，35），[35，40），[40，45），[50，55]四组通行时间的频率分别是0.1，0.25，0.4，0.05，所以通行时间在[45，50）内的频率是1﹣0.1﹣0.25﹣0.4﹣0.05＝0.2，通过的车辆台数是235×2＝470．故选：C．5．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC＝＝2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5＝20π，故选：C．6．（5分）已知a＝20.1，b＝log0.20.3，c＝ln0.9，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵a＝20.1＞1，0＜b＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，c＝ln0.9＜0，∴a＞b＞c，故选：A．7．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线经过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1B．x2＝1C．＝1D．＝1【解答】解：抛物线y2＝8x的准线x＝﹣2经过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点（﹣2，0），双曲线的两条渐近线相互垂直，可知a＝b，所以c＝a，所以a＝，所以双曲线的方程为＝1．故选：D．8．（5分）将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减【解答】解：函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，由于为奇函数，故A正确；显然，y＝f（x）的图象关于原点对称，不关于直线x＝π对称，故B错误；f（x）的最小值个周期为2π，故C错误；显然，y＝f（x）在区间上单调递增，故D错误，故选：A．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）关于直线x＝﹣1对称．当x≥0时，f（x）＝，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（2﹣2x）≥f（x+m）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，0）B．[]C．[1，+∞）D．[，+∞）【解答】解：∵f（x+1）关于直线x＝﹣1对称，∴向右平移一个单位得到f（x）关于直线x＝0对称，即f（x）是偶函数，当x≥2时，f（x）＝2﹣log2x为减函数，且f（x）≤2﹣log22＝2﹣1＝1，当0≤x＜2时，由复合函数的单调性知f（x）为减函数，且1＜f（x）≤2，即当x≥0时，f（x）为减函数，对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（2﹣2x）≥f（x+m）恒成立，等价为f（|2﹣2x|）≥f（|x+m|）恒成立，即|2﹣2x|≤|x+m|恒成立，平方得4x2﹣8x+4≤x2+2mx+m2，得3x2﹣（8+2m）x+4﹣m2≤0，设g（x）＝3x2﹣（8+2m）x+4﹣m2，∵任意的x∈[m，m+1]，g（x）≤0，∴，得，得，得m≥，故选：D．二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，讲答案写在答题纸相应位置上）10．（5分）已知i是虚数单位，复数，则|z|＝．【解答】解：∵＝，∴|z|＝||＝．故答案为：．11．（5分）（3x﹣）5的展开式中，x2的系数为．【解答】解：∵（3x﹣）5的展开式的通项公式为T r+1＝••35﹣r•，令5﹣＝3，求得r＝2，可得x2的系数为••27＝，故答案为：．12．（5分）已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（﹣2，﹣1），则圆C的标准方程为x2+（y+2）2＝5．【解答】解：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得m＝﹣2．∴圆心为（0，﹣2），则半径r＝．∴圆C的标准方程为x2+（y+2）2＝5．故答案为：x2+（y+2）2＝5．13．（5分）甲、乙两人进行象棋比赛，约定五局三胜制，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；用X表示比赛决出胜负时的总局数，则E（X）＝．【解答】解：甲4局以内（含4局）赢得比赛，则前三局获胜或前3局有一局输，第四局赢，故所求概率为＝；X的可能取值为3，4，5，所以P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝1﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，所以E（X）＝3×+4×+5×＝．故答案为：；．14．（5分）已知a＞b＞0，且ab＝4，则的最小值为4．【解答】解：由a＞b＞0得a﹣b＞0，∴＝＝（a﹣b）+＝（a﹣b）+≥2＝4，当且仅当a﹣b＝时，取得最小值4．故答案为：4．15．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，DE＝2EC，M为BC的中点，则＝5；若点P在线段BD上运动，则的最小值为．【解答】解：，所以．因为点P在线段BD上运动，设，其中λ∈[0，1]，，，所以＝＝，结合二次函数的图象及性质可得，当时，10λ2﹣12λ+4 取得最小值．故答案为：5；．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝2，c＝，cos A ＝﹣．（1）求sin C和b的值；（2）求cos（2A+）的值．【解答】解：（1）∵cos A＝﹣，A为三角形内角，∴sin A＝＝，∵a＝2，c＝，∴由正弦定理＝得：sin C＝＝＝，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得：4＝b2+2+b，解得：b＝1；（2）cos2A＝﹣，sin2A＝﹣；cos（2A+）＝cos2A cos﹣sin2A sin＝．17．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD ∥QA，PD⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；（3）已知点H在棱PD上，且直线CH与平面PBQ所成角的正弦值为，求线段DH 的长．【解答】（1）证明：由题意得，以点D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正向建立如图空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A（2，0，0），Q（2，0，1），P（0，0，2）依题意易得是平面PDC的一个法向量，又，∴，得，又∵直线QB⊄平面PDC，∴QB∥平面PDC；（2）∵，，，设为平面PBC的一个法向量，则，即，令z1＝1，可得；设为平面PBQ的一个法向量，则，即，令z2＝2，可得．∴，得，设二面角C﹣PB﹣Q的平面角为α，得，即二面角C﹣PB﹣Q的正弦值为；（3）设DH＝m（0≤m≤2），则H（0，0，m），，由（2）知平面PBQ的一个法向量为得．∵直线CH与平面PBQ所成角的正弦值为，∴＝|cos＜＞|＝||＝，整理得：24m2﹣50m+21＝0，解得m＝或．故线段DH的长为或．18．（15分）已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1＝1，{b n}为等比数列且各项均为正数，b1＝1，且满足：b2+S2＝7，b3+S3＝22．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记c n＝，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q＞0，∵a1＝1，b1＝1，且满足：b2+S2＝7，b3+S3＝22．∴q+2+d＝7，q2+3+3d＝22，联立解得q＝4，d＝1．∴a n＝1+（n﹣1）＝n，b n＝4n﹣1．（Ⅱ）c n＝＝＝，∴{c n}的前n项和T n＝1++3×+…+，∴＝+…+（n﹣1）+n，∴＝1+++…+﹣n＝﹣＝2﹣（2+n），∴T n＝4﹣（2+n）．（Ⅲ）不等式（﹣1）n•m﹣T n＜，即（﹣1）n•m﹣4+（2+n）＜，化为：（﹣1）n•m＜4﹣．当n为偶数时，m＜4﹣1＝3．当n为奇数时，﹣m＜4﹣2＝2，解得m＞﹣2．∵（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，∴﹣2＜m＜3∴实数m的取值范围是（﹣2，3）．19．（15分）已知椭圆（a＞b＞0）过点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，且|OA|＝2|OB|．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点A的直线l1与椭圆交于另一点M，过点B的直线l2与椭圆交于另一点N，直线l1与l2的斜率的乘积为，M，N关于y轴对称，求直线l1的斜率．【解答】解：（Ⅰ）因为|OA|＝2|OB|，即a＝2b，又椭圆过点，所以，解得a＝6，b＝3，椭圆方程为．（Ⅱ）设直线l1的方程为y＝k（x﹣6），则得（1+4k2）x2﹣48k2x+144k2﹣36＝0，解得x1＝6，，所以．因为直线l1，l2的斜率乘积为，所以直线l2的方程为，同理可得，因为M，N关于y轴对称，所以，即4k2﹣4k﹣1＝0，解得．所以直线l1的斜率为．20．（16分）已知函数f（x）＝ax+lnx+1．（1）a＝﹣1，求函数f（x）的最大值；（2）若f（x）﹣f′（x）≤0恒成立，求a的取值集合；（3）令F（x）＝f（x）﹣ax﹣1，过点P（x0，y0）做曲线y＝F（x）的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点P一定在第一象限内．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣x+lnx+1的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣1+＝…1分令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1．因此，函数y＝f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），...2分所以f max（x）＝f（1）＝0 (3)（2）令g（x）＝f（x）﹣f′（x）＝ax+lnx+1﹣a﹣（x＞0），g′（x）＝a++＝…4分若a≥0，存在g（e）＝a（e﹣1）+（2﹣）＞0，与g（x）＝f（x）﹣f′（x）≤0恒成立矛盾，所以必有a＜0，…5分ax2+x+1＝0（*），△＞0，x1•x2＝＜0，所以方程必有一正根，记作x2，所以函数g（x）在（0，x2）单调递增，在（x2，+∞）单调递减，若满足条件，必有g （x）max＝g（x2）≤0，注意g（1）＝0…6分则有x2＝1，代入*式，解得a＝﹣2，所以a的取值集合为{﹣2}…7分（3）证明：因为F（x）＝lnx，设两切点为A（t，lnt），B（，﹣lnt），不妨设A在B 的右边，则t＞1，F′（x）＝，…8分所以A，B两点处的切线方程分别为y＝x+lnt﹣1，y＝tx﹣lnt﹣1，令x+lnt﹣1＝tx﹣lnt﹣1，解得x0＝lnt，y0＝﹣1，…10分因为t＞1，所以x0＝lnt＞0，要证明y0＝﹣1＞0，即证明＞1，因为t2＞1，即证lnt＞，设h（t）＝lnt﹣（t＞1），则h′（t）＝＞0（t＞1），所以h（t）在（1，+∞）上是增函数，所以h（t）＞h（1）＝0，则lnt＞， (11)分所以y0＝﹣1＞0，故点P一定在第一象限内…12分。
2021届天津市杨村一中高三下学期2月开学考试理科综合化学试卷及答案
2021届天津市杨村一中高三下学期2月开学考试理科综合化学试卷★祝考试顺利★(含答案)可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Cl 35.5 Fe 56 Co59 Cu 64第I卷（选择题共36分）1．2020年1月以来,我国部分地区的新型冠状病毒肺炎开始肆虐,威胁着人们的身体健康。
以下是人们在面对新型冠状病毒肺炎时的一些认识,其中正确的是A．新型冠状病毒由C、H、O三种元素组成B．84消毒液是以NaClO为主要有效成分的消毒液,为了提升消毒效果,可以用热水配制C．过氧化氢、乙醇、过氧乙酸等消毒液均可以将病毒氧化而达到消毒的目的D．防护服、口罩的成分均含有机高分子材料2.下列化学用语正确的是A．中子数为18的氯原子：1817Cl B．CO2分子的电子式：C．顺-2-丁烯的结构简式：H3CCHCCH3HD．铝离子的结构示意图：3．下列化工生产过程中,未涉及氧化还原反应的是A．海带提碘B．氯碱工业C．海水提溴 D．侯氏制碱4.2019年1月3日,嫦娥四号成功着陆月球背面,搭载砷化镓（GaAs）太阳能电池的玉兔二号月球车开始了月球漫步。
砷化镓为第三代半导体,下列说法不正确的是A.砷化镓太阳能电池能将化学能转化为电能B. 砷和镓都属于p区元素C. 第一电离能：As > GaD. 在元素周期表中金属元素与非金属元素的分界线附近可找到做半导体材料的元素5．下列离子方程式书写正确的是A．用醋酸清洗水垢CaCO3+2H+=Ca2++H2O+CO2↑B．惰性电极电解氯化镁溶液：2Cl-＋2H2O电解2OH-＋H2↑＋Cl2↑C.将过量SO2气体通入NaClO溶液中：SO2＋H2O＋ClO-=SO2-4＋Cl-＋2H＋D．同浓度同体积的NH4HSO4溶液与NaOH溶液混合：NH+4＋OH-=NH3·H2O6．A、B、C、D、E是中学化学中的常见物质,A、B是短周期元素组成的单质。
《精编》天津一中高三数学下学期第二次月考试题 理(含解析)新人教A版.doc
2021-2021学年天津一中高三〔下〕第二次月考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一.选择题：〔共40分，每题5分，每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求〕1．〔5分〕〔2021•蓝山县模拟〕计算复数〔1﹣i〕2﹣等于〔〕A．0B．2C．4i D．﹣4i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的混合运算，吧要求的式子化为﹣2i﹣，进一步化简求得结果．解答：解：复数〔1﹣i〕2 ﹣=﹣2i﹣=﹣2i﹣=﹣4i，应选：D．点评：此题主要考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，属于根底题．2．〔5分〕〔2021•山东〕一空间几何体的三视图如以下列图，那么该几何体的体积为〔〕A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+考由三视图求面积、体积．点：专题：计算题．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加既得组合体的体积．解答：解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+应选C点评：此题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据复原出实物图的数据，再根据相关的公式求外表积与体积，此题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规那么是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等〞．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．3．〔5分〕极坐标方程ρ=cosθ和参数方程〔t为参数〕所表示的图形分别是〔〕A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：极坐标方程ρ=cosθ 化为直角坐标方程为，表示一个圆，参数方程〔t为参数〕，消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，由此得出结论．解答：解：极坐标方程ρ=cosθ 即ρ2=ρcosθ，化为直角坐标方程为 x2+y2=x，即，表示一个圆．参数方程〔t为参数〕，消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，应选A．点评：此题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，直线的方程特征、圆的标准方程，属于根底题．4．〔5分〕假设△ABC的三个内角成等差数列，三边成等比数列，那么△ABC是〔〕A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：先确定三角形必有一内角为60°，再根据对应三边成等比数列，结合余弦定理，即可求得结论．解答：解：由题意不妨设A，B，C成等差数列那么2B=A+C∵A+B+C=π∴B=，A+C=∵a，b，c成等比数列∴b2=ac，∵b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac∴a2+c2﹣ac=ac∴〔a﹣c〕2=0∴a=c∵B=60°，∴三角形为等边三角形，应选C．点评：此题考查等差数列与等比数列，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．5．〔5分〕〔2021•汕头一模〕在△ABC中，tanA是以﹣4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，那么该三角形为〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形考点：等比数列的通项公式；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：首先，由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合可得tanA=2，tanB=3，然后利用两角和的正切公式可求出tan〔A+B〕=﹣1，从而求出∠C，再结合题意确定A、B的范围，从而确定△ABC的形状．解答：解：由题意可得，tanA==2，tanB==3，故tan〔A+B〕==﹣1，∵0＜A+B＜π，∴A+B=，∴∠C=；又∵tanA＞0，tanB＞0，0＜A＜π，0＜B＜π，∴0＜A＜，0＜B＜，故△ABC为锐角三角形．应选A．点评：此题通过解三角形问题，考查了等差数列和等比数列的通项公式，两角和的正切公式，综合性较强，难度中等．6．〔5分〕α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α〞是“m⊆β〞的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β〞⇒“m∥α〞，反之，假设“m∥α〞，那么“m⊆β〞不一定成立．由此能求出结果．解答：解：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β〞⇒“m∥α〞，反之，假设“m∥α〞，那么“m⊆β〞不一定成立．∴“m∥α〞是“m⊆β〞的必要非充分条件．应选B．点评：此题考查平面的性质定理及其推论，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．7．〔5分〕函数f〔x〕=sin2x﹣2sin2x，〔0≤x≤〕那么函数f〔x〕的最小值为〔〕A．1B．﹣2 C．D．﹣考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专计算题；三角函数的图像与性质．题：分析：先利用二倍角公式、辅助角公式对函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求函数的最小值解答：解：∵f〔x〕=sin2x﹣2sin2x，==2sin〔2x+〕﹣1∵0≤x≤∴∴∴﹣2≤f〔x〕≤1那么函数f〔x〕的最小值为﹣2 应选B点评：此题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用及正弦函数性质的简单应用，属于根底试题8．〔5分〕函数，假设方程f〔x〕=x+a恰有两个不等的实根，那么a的取值范围为〔〕A．〔﹣∞，0〕B．[0，1〕C．〔﹣∞，1〕D．[0，+∞〕考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：由题意可得f〔x〕的图象和函数y=x+a 有两个不同的交点，结合图象，求出a的取值范围．解答：解：由题意可得f〔x〕的图象和函数y=x+a 有两个不同的交点，如以下列图：故有a＜1，应选C．点评：此题考查根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．二.填空题：〔共30分，每题5分〕9．〔5分〕〔2021•青浦区二模〕[文科]非负实数x、y满足，那么x+3y的最大值为9 ．考点：简单线性规划；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过点A 〔0，3〕时，z最大值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域∵直线z=x+3y过点A〔0，3〕时，z最小值是9，故答案为9．点评：此题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于根底题．10．〔5分〕A〔，0〕，B〔0，1〕，坐标原点O在直线AB上的射影为点C，那么= ．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由中A〔，0〕，B〔0，1〕可求出直线AB的方程，结合坐标原点O在直线AB上的射影为点C，即OC⊥AB可求出直线OC的方程，进而得到点C即向量的坐标，代入向量数量积公式，可得答案．解答：解：∵坐标原点O在直线AB上的射影点为C∴直线OC⊥AB由A〔，0〕，B〔0，1〕可得，直线AB的斜率k AB=，AB的方程为y﹣1=〔x﹣〕…①∴k AC=∴OC直线方程为：y=x…②由①②和∴x=，y=∴=〔，〕∴=故答案为：点评：此题考查的知识点是平面向量数量积的运算，直线的方程，直线的交点，其中根据，求出点C即向量的坐标，是解答的关键．11．〔5分〕〔2021•佛山二模〕〔几何证明选做题〕如图，圆中两条弦AB与CD相交于点F，E 是AB延长线上一点，且，AF：FB：BE=4：2：1，假设CE与圆相切，那么线段CE的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．解答：解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=．∴AF=2，BF=1，BE=，AE=；由切割定理得CE2=BE•EA=×=．∴CE=．故答案为：．点评：此题是根底题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，根本知识掌握的情况，是常考题型．12．〔5分〕〔2021•长宁区一模〕直线m、n与平面α，β，给出以下三个命题：①假设m∥α，n∥α，那么m∥n；②假设m∥α，n⊥α，那么n⊥m；③假设m⊥α，m∥β，那么α⊥β．其中真命题的个数是2个．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：分别加以判断：假设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，那么m∥α，n∥α，但m不平行于n，故①不正确；假设m∥α，那么在α内可以找到直线m′，使m′∥m，再结合n⊥α，可得n⊥m′，最终得到n⊥m，故②正确；假设m∥β，那么在β内可以找到直线m′，使m′∥m，结合m⊥α，得m′⊥α，β经过α的垂线，所以α⊥β，故③正确．解答：解：对于①：设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，∵β∥α∴m∥α，n∥α，而m不平行于n，故①不正确；对于②：∵m∥α，∴在α内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵n⊥α，m′⊂α∴n⊥m′，结合m′∥m，得到n⊥m，故②正确；对于③：∵m∥β，∴在β内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵m⊥α，得m′⊥α，∵β经过α的垂线，∴α⊥β，故③正确．故答案为：2个点评：此题考查了空间两直线、直线与平面位置关系等知识点，属于中档题．熟练掌握直线与平面平行垂直和平面与平面的平行与垂直的判定与性质，是解好此题的关键．13．〔5分〕等差数列{a n}中，a1=1，a7=4，在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3，那么满足b n a26＜1的最小正整数n是 6 ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：在等差数列{a n}中，由a1=1，a7=4求出a3和a26，在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3求出b n，代入b n a26＜1可求最小正整数n．解答：解：在等差数列{an}中，设其公差为d，由a1=1，a7=4，得，所以，，．又在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3=2，所以其公比q=，所以，，由，得：35﹣n＜1，那么n＞5．所以，满足b n a26＜1的最小正整数n是6．故答案为6．点评：此题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了指数不等式的解法，是根底题．14．〔5分〕设，那么m与n的大小关系为m＞n ．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据 e x，lnx的导数等于e x，，得到原函数是 e x，lnx，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减进而比较即可得到结果．解答：解：∵e x，lnx的导数等于e x，，∴m=e x|=e1﹣e0=e﹣1；n=lnx|=lne﹣ln1=1．而e﹣1＞1∴m＞n．故答案为：m＞n．点评：此题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于根底题．三.解答题：15．〔13分〕〔2021•孝感模拟〕在△ABC中，．〔1〕求的值；〔2〕当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．考点：向量的模；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：〔1〕．变形出的表达式，求值即可．〔2〕由面积公式表示出△ABC的面积，根据其形式用根本不等式求出等号成立的条件，即可．解答：解：〔1〕．得，﹣2•=4，故=2•+4，又•═2所以=8〔2〕由面积公式S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC又•=|AB||AC|cos∠BAC=2∴cos∠BAC=∴sin∠BAC═=∴S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC=≤等号当且仅当|AB|=|AC|时成立，又由〔1〕|AB|=|AC|=2时，三角形面积取到最大值．cos∠BAC=，即∠BAC=60°答：当△ABC的面积最大时，求∠A的大小是600．点评：考查向量的夹角公式、三角形中同角三角函数的根本关系以及根本不等式求最值，综合性与知识性较强．16．〔13分〕某机构向民间招募防爆犬，首先进行入围测试，方案考察三个工程：体能，嗅觉和反响．这三个工程中只要有两个通过测试，就可以入围．某训犬基地有4只优质犬参加测试，它们通过体能测试的概率都是，通过嗅觉测试的概率都是，通过反响测试的概率都是．求：〔1〕每只优质犬能够入围的概率；〔2〕假设每入围1只犬给基地记10分，设基地的得分为随机变量ξ，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：〔1〕利用相互独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出；〔2〕利用〔1〕求出优质犬入围的只数的随机变量的数学期望，进而求出得分ξ的数学期望．解答：解：〔1〕每只优质犬入围概率相等：假设一只优质犬能够入围，那么包括三项测试都通过或其中的任意两项通过两类：因此每只优质犬能够入围的概率：P=++=．〔2〕设随机变量η表示优质犬入围的只数，那么η的取值为0，1，2，3，4．那么服从η～B〔4，〕，ξ=10η．∴Eη=，Eξ=10Eη=点评：熟练掌握相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率公式、离散型随机变量的期望计算公式是解题的关键．17．〔13分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．〔1〕求证：PB⊥DM；〔2〕求CD与平面ADMN所成角的正弦值；〔3〕在棱PD上是否存在点E，PE：ED=λ，使得二面角C﹣AN﹣E的平面角为60°．存在求出λ值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．专空间位置关系与距离；空间角．题：分析：〔1〕建立空间直角坐标系，利用⇔即可证明；〔2〕先求出平面ADMN的法向量，利用斜线段CD的方向向量与平面的法向量的夹角即可得出；〔3〕利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：解：〔1〕如图以A为原点建立空间直角坐标系，不妨设|AB|=2．那么A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔2，1，0〕，D〔0，2，0〕，M〔1，，1〕，N〔1，0，1〕，P〔0，0，2〕，∵=〔2，0，﹣2〕，=〔1，﹣，1〕，∴=0，∴PB⊥DM．〔2〕由〔1〕可得：=〔﹣2，1，0〕，=〔0，2，0〕，=〔1，0，1〕．设平面ADMN法向量=〔x，y，z〕，那么得到，令x=1，那么z=﹣1，y=0，∴=〔1，0，﹣1〕．设CD与平面ADMN所成角α，那么．〔3〕假设在棱PD上存在点E〔0，m，2﹣m〕，满足条件．设平面ACN法向量=〔x，y，z〕，由，，，可得，令x=1，那么y=﹣2，z=﹣1，∴=〔1，﹣2，﹣1〕．设平面AEN的法向量=〔x0，y0，z0〕，由，，，可得，令x0=1，那么z0=﹣1，，∴．∴cos60°=，得，化为，化为23m2﹣52m+20=0，又m∈[0，2]．解得，满足m∈[0，2]．∴λ=PE：ED=：=m：〔2﹣m〕=．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用⇔、斜线的方向向量与平面的法向量的夹角求线面角、利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．18．〔13分〕数列{a n}满足4a1=1，a n﹣1=[〔﹣1〕n a n﹣1﹣2]a n〔n≥2〕，〔1〕试判断数列{+〔﹣1〕n}是否为等比数列，并证明；〔2〕设a n2∙b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系确实定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：〔1〕由a n﹣1=[〔﹣1〕n a n﹣1﹣2]a n〔n≥2〕，两边取倒数，整理即可证明〔2〕由〔1〕及a n2∙b n=1可求b n，结合数列的通项的特点，考虑利用分组求和，结合等比数列与等差数列的求和公式即可求解解答：解：〔1〕数列{+〔﹣1〕n}是等比数列，证明如下由=即∵a1=∴=3另：∴是首项为3公比为﹣2的等比数列那么〔2〕由∴∴+6〔20+2+22+...+2n﹣1〕+〔1+1+ (1)∴=3•4n+6•2n+n﹣9〔n∈N*〕点评：此题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，等比数列的通项公式及求和公式的应用．19．〔13分〕设n∈N*，不等式组所表示的平面区域为D n，把D n内的整点〔横、纵坐标均为整数的点〕按其到原点的距离从近到远排列成点列：〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，…，〔x n，y n〕〔1〕求〔x n，y n〕；〔2〕设数列{a n}满足，求证：n≥2时，；〔3〕在〔2〕的条件下，比较与4的大小．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：〔1〕由﹣nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1，从而x=1与y=﹣nx+2n 的交点为〔1，n〕，即所以D n内的整点〔x n，y n〕为〔1，n〕〔2〕先化简为，两式相减即可证得〔3〕先猜想：n∈N*时，，再利用〔2〕的结论可以证明．解答：解：〔1〕由﹣nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1又x=1与y=﹣nx+2n的交点为〔1，n〕，所以D n内的整点，按由近到远排列为：〔1，1〕，〔1，2〕，…，〔1，n〕﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔4分〕〔2〕证明：n≥2时，所以，两式相减得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔9分〕〔3〕n=1时，，n=2时，可猜想：n∈N*时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔11分〕事实上n≥3时，由〔2〕知所以====﹣﹣﹣﹣﹣〔15分〕点评：此题以线性规划为载体，考查数列、不等式的证明，应注意充分挖掘题目的条件，合理转化20．〔15分〕设函数f〔x〕=ax﹣〔a+1〕ln〔x+1〕，其中a＞0．〔Ⅰ〕求f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕当x＞0时，证明不等式：；〔Ⅲ〕设f〔x〕的最小值为g〔a〕，证明不等式：﹣．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：〔Ⅰ〕由f〔x〕=ax﹣〔a+1〕ln〔x+1〕，其中a＞0，知函数f〔x〕的定义域为〔﹣1，+∞〕，且，由f′〔x〕=0，得x=．列表讨论，能求出f〔x〕的单调区间．〔Ⅱ〕设∅〔x〕=ln〔x+1〕﹣，x∈[0，+∞〕，那么∅′〔x〕==．由此能够证明．〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知，，将代入，得，由此能够证明﹣．解答：〔Ⅰ〕解：∵f〔x〕=ax﹣〔a+1〕ln〔x+1〕，其中a＞0，∴函数f〔x〕的定义域为〔﹣1，+∞〕，且，由f′〔x〕=0，得x=．当x变化时，f′〔x〕，f〔x〕的变化情况如下表：x〔﹣1，〕〔，+∞〕f′〔x〕﹣ 0 +f〔x〕↓极小值↑由上表知，当x∈〔﹣1，〕时，f′〔x〕＜0，函数f〔x〕在〔﹣1，〕内单调递减；当x∈〔〕时，f′〔x〕＞0，函数f〔x〕在〔〕内单调递增．∴函数f〔x〕的增区间是〔〕，减区间是〔﹣1，〕．〔Ⅱ〕证明：设∅〔x〕=ln〔x+1〕﹣，x∈[0，+∞〕，对∅〔x〕求导，得∅′〔x〕==．当x≥0时，∅′〔x〕≥0，所以∅〔x〕在[0，+∞〕内是增函数．∴∅〔x〕＞∅〔0〕=0，即ln〔x+1〕﹣＞0，∴．同理可证ln〔x+1〕＜x，∴．〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知，，将代入，得，即1，∴，故﹣．点评：此题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查推理论证能力，考查运算推导能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的综合应用．。
2021年高三下学期第一次联考(2月)数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期第一次联考（2月）数学（理）试题 含答案一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的. 1.已知集合，，则为A . (0，＋)B . (1，＋)C . [2，＋)D .［1，＋)2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为A .B .C .D .3.已知倾斜角为的直线l 与直线垂直，则的值为A .B .C .D .4.已知是两条不同．．的直线，是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 A . 若 B . 若 C . 若 D . 若5.如图所示，点是函数图象的最 高点，M 、N 是图象与轴的交点，若，则等于6.外接圆圆心O ，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为A .B .C .D .7.若非零向量满足，且，则与的夹角为A .B .C .D .俯视图正视图 侧视图8.不等式组表示的点集记为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为A. B. C. D.9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积是，则这个三棱柱的体积是A. B. C.D.10.已知函数,n∈N*的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标，则＋＋…＋的值为A. 1B. 1－log20132012C.-log xx D. －111.已知函数,若函数有且只有两个零点,则k的取值范围为A. B. C. D.12.已知函数对任意的满足 (其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是A. B. C. D.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列为等差数列，，，则.14.设，若的最小值为 .15.已知数列满足,且，则 .16.有下列4个命题:①若函数定义域为R,则是奇函数;②若函数是定义在R上的奇函数,,,则图像关于x=1对称;③已知x1和x2是函数定义域内的两个值(x1<x2),若,则在定义域内单调递减;④若是定义在R上的奇函数,也是奇函数,则是以4为周期的周期函数.其中,正确命题是（把所有正确结论的序号都填上）.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n–b1=S1•S n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD‖BC，，平面⊥底面，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为，设PM=tMC，试确定t的值．19.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式20.（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，若过点的直线与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）当时，曲线与直线只有一个交点,求x的取值范围.四．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲如图，四边形内接于⊙，过点作⊙的切线EP交CB的延长线于P，已知.证明（Ⅰ）；（Ⅱ）．23.（本小题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为．的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；B CD O（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知关于的不等式，其解集为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.江西五校联考 xx 高三下（2月）数学(理)试题解析版1.已知集合，，则为BA . (0，＋)B . (1，＋)C . [2，＋)D .［1，＋) 2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示， 则它的体积为DA .B .C .D .3.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为BA .B .C .D .4.已知是两条不同．．的直线，是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 C A . 若 B . 若 C . 若 D . 若5.如图所示，点是函数图象的最高点，、是图象与轴的交点，若，则等于C6.的外接圆的圆心为O ，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为 AA .B .C .D .7.若非零向量满足，且，则与的夹角为D8.不等式组表示的点集记为M ，不等式组表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P ∈N 的概率为 BA .B .C .D .9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是DA .B .C .D .10.已知函数,n ∈N *的图象与直线交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为 DA . 1B . 1－log 20132012C . -log xxD . －111.已知函数，若函数有且只有两个零点，则k 的取值范围为C俯视图正视图 侧视图A. B. C. D.12.已知函数对任意的满足 (其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是AA. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届天津市武清区杨村一中高考数学热身训练试卷(二)(含答案解析)
2021届天津市武清区杨村一中高考数学热身训练试卷(二)一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知全集U={1,2，3}，集合M={1,2}，N={1}，则∁U(M∩N)等于()A. {1,2，3}B. {3}C. {1,2}D. {2,3}2.“m>n”是“m2>n2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f(x)=2xx2+1sin(πx2)的图象大致为()A.B.C.D.4.下列说法不正确的是()A. 频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率B. 频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1C. 频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大D. 频率分布折线图是依次连接频率分布直方图的每个小矩形上端中点得到的5. 在棱长为6的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则三棱锥D 1−AEC 的外接球的表面积是( )A. 54πB. 70πC. 108πD. 140π 6. 设a =log 43，b =log 34，c =log 53，则( )A. a >b >cB. b >a >cC. b >c >aD. a >c >b 7. 若直线y =3x 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( ) A. (1,√10)B. (√10,+∞)C. (1,√10]D. [√10 8. 已知函数f(x)=sin(π3x +φ)(|φ|<π2)的图象关于直线x =1对称，把f(x)的图象向右平移3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为( )A. y =sin(π3x +π6)B. y =sin(π3x −π6)C. y =cos(π3x +π6)D. y =sin(π3x −5π6) 9. 已知函数f(x)={log 2(2−x),x <2x 23,x ≥2，则不等式f(3x +1)<4的解集为( ) A. {x|−5<x <13}B. {x|−3<x <53} C. {x|−5<x <73}D. {x|13<x <2} 二、单空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. 已知复数z 满足(1+i)z =|√3+i|，i 为虚数单位，则z 等于______．11.已知(1−x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，若5a1+2a2=0，则a0−a1+a2−a3+⋯+(−1)n a n=______ ．12.14.设圆C的圆心是抛物线的焦点，且与直线相切．圆C的方程是_____13.某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.5，至少应射击次.14.设x、y满足约束条件{x−y+2≥04x−y−4≤0x≥0y≥0，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6，则log 3(1a +2b)的最小值为______ ．15.已知||=6，||=2，与的夹角为60°，若λ−与垂直，则λ=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足2√3absinC=a2+b2−c2．(1)求C;(2)若asinB=bcosA，且a=2，求ΔABC的面积．17. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．(1)求证：CF⊥B1E；(2)求二面角F−B1C−B平面角的余弦值；(3)求点E到平面B1CF的距离．18. 已知数列为等差数列，为其前项和，且(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列是等比数列；19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，△AF2B的周长为8，(1)求该椭圆C的方程．(2)设P为椭圆C的右顶点，Q为椭圆C与y轴正半轴的交点，若直线l：y=12x+m，(−1<m<1)与圆C交于M，N两点，求P、M、Q、N四点组成的四边形面积S的取值范围．20. 已知函数f(x)=e x−x2+2a+b(x∈R)的图象在x=0处的切线为y=bx.(e为自然对数的底数)．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)当x∈R时，求证：f(x)≥−x2+x；(Ⅲ)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵全集U={1,2，3}，集合M={1,2}，N={1}，∴由集合的交集得M∩N={1}，再由补集的运算可知G U(M∩N)={2,3}．故选：D．由集合的交集求出M∩N，再由补集的运算可求出G U(M∩N)．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式之间的关系是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当m=1，n=−1时，满足m>n，但m2>n2不成立，即充分性不成立，当m=−2，n=0时，满足m2>n2，但m>n不成立，即必要性不成立，即“m>n”是“m2>n2”的既不充分也不必要条件，故选：D．3.答案：B解析：解：根据题意，f(x)=2xx2+1sin(πx2)，其定义域为R，有f(−x)=2xx2+1sin(πx2)=f(x)，则函数f(x)为偶函数，排除C，D；在区间(0,2)上，sin(πx2)>0，2xx2+1>0，则有f(x)>0，排除A，故选：B．根据题意，利用排除法分析，先分析f(x)的奇偶性，再分析区间(0,2)上，f(x)的符号，综合可得答案。
2021年高三第二学期月考试题(数学文)
2021年高三第二学期月考试题（数学文）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
参考公式随机变量的观察值第一部分选择题(共50 分)一、选择题1．设集合,，则（）A．B． C．D．2．已知复数，其中是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（）A． B． C． D．3．已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．5.在边长为的正方形内随机取一点，则点到点的距离大于的概率为（ ）A. B. C. D.6．等差数列的前项之和为，已知，则 （ ）A. B. C. D.7．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是 （ ）A ．B ．C ．D ．8. 在△中，，，，则此三角形的最大边长为（ ）A. B. C. D.9．已知函数若实数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．10. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数：①； ② ③ ④，其中是一阶整点函数的是( )A.①②③④B.①③④C.①④D.④第二部分非选择题(共100 分)二、填空题11、已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点在所给平面区域内，则的最大值为 .12．已知双曲线：的离心率，且它的一个顶点到较近焦点的距离为，则双曲线的方程为 ．13. 右面框图表示的程序所输出的结果是_______ .14. （坐标系与参数方程选做题）若直线与曲线（参数R ）有唯一的公共点，则实数 ．15. （几何证明选做题）如图,已知:△内接于圆， 点在的延长线上，是圆的切线，若,,则的长为 . 三、解答题 16. 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示(1)求的最小正周期及解析式；(2)设求函数在区间 上的最大值和最小值.17．（本小题满分12分）某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查,得到的统计数据如下表所示:(1)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?(2)学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系?说明理由.18．（本小题满分14分）右图为一简单组合体， 其底面ABCD 为正方形，平面，，且， （1）求证：//平面； （2）若N 为线段的中点，求证：平面；19．（本小题满分14分）已知圆的圆心为，半径为，圆与椭圆： 有一个公共点(3,1)，分别是椭圆的左、右焦点．（1）求圆的标准方程；（2）若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线与圆能否相切，若能，求出椭圆和直线的方程;若不能，请说明理由．20、（本小题满分14分）已知等差数列的公差为, 且,（1）求数列的通项公式与前项和；（2）将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项,记的前项和为, 若存在, 使对任意总有恒成立, 求实数的取值范围.K21．（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．_ B_ A高三级数学科（文科）期期末试题答案一．选择题1.D2.C3.A4.B5.B6.A7.B8.C9.D 10. C二、填空题11.6 12. 13. 1320 14. 15.4∵，∴当，即时，有最大值，最大值为，当，即时，有最小值，最小值为…………………12分17解:(1) ……………………………………6分N E DC BA P F (2)根据828.10538.1125252624)761918(50))()()(()(222>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n χ 所以,我们有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系.……………………………………12分18.解：（1）证明：∵，平面，平面 ∴EC//平面,同理可得BC//平面∵EC 平面EBC,BC 平面EBC 且∴平面//平面又∵BE 平面EBC ∴BE//平面PDA---------------6分 （2）证法1：连结AC 与BD 交于点F, 连结NF ，∵F 为BD 的中点，∴且,又且∴且∴四边形NFCE 为平行四边形∴∵,平面,面 ∴，又∴面 ∴面----------------------14分19. 解：（1）由已知可设圆C 的方程为将点A 的坐标代入圆C 的方程，得即，解得∵ ∴∴圆C 的方程为 ……………………….6分 （2）直线能与圆C 相切 依题意设直线的方程为，即若直线与圆C 相切，则∴，解得 当时，直线与x 轴的交点横坐标为，不合题意，舍去 当时，直线与x 轴的交点横坐标为， ∴∴由椭圆的定义得： 262251)43(1)43(2222221=+=+-+++=+=AF AF a∴，即， ∴直线能与圆C 相切，直线的方程为，椭圆E 的方程为 ……….14分20、 解：(1) 由得，所以， 从而 ----------------------------6分(2)由题意知设等比数列的公比为，则，随递减，为递增数列，得 又22(9)11981(9)()22224n n n S n n n -⎡⎤==--=---⎢⎥⎣⎦， 故，若存在, 使对任意总有则，得------------------------14分21．解：（Ⅰ）由，解得或，∴ 函数的定义域为当时，[来11111()ln ln ln()ln ()1111x x x x f x f x x x x x --+-++-====-=---+-- ∴ 在定义域上是奇函数。
2021年高考天津卷数学真题含答案解析
2021年高考天津卷数学真题含答案解析一、选择题（共9题）1、设集合，则（）A ．B ．C ．D ．2、已知，则“ ” 是“ ” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不允分也不必要条件3、函数的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4、从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（）A ．B ．C ．D ．5、设，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．6、两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（）A ．B ．C ．D ．7、若，则（）A ．B ．C ． 1D ．8、已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若．则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ． 2D ． 39、设，函数，若在区间内恰有 6 个零点，则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）1、甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ____________ ，3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为______________ ．2、在边长为 1 的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，且交AB 于点E ．且交AC 于点F , 则的值为 ____________ ；的最小值为 ____________ ．3、是虚数单位，复数_____________ ．4、在的展开式中，的系数是 __________ ．5、若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________ ．6、若，则的最小值为 ____________ ．三、解答题（共5题）1、在，角所对的边分别为，已知，．（ I ）求a 的值；（ II ）求的值；（ III ）求的值．2、如图，在棱长为 2 的正方体中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（ I ）求证：平面；（ II ）求直线与平面所成角的正弦值．（ III ）求二面角的正弦值．3、已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．（ 1 ）求椭圆的方程；（ 2 ）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．4、已知是公差为 2 的等差数列，其前8 项和为64 ．是公比大于 0 的等比数列，．（ I ）求和的通项公式；（ II ）记，（ i ）证明是等比数列；（ ii ）证明5、已知，函数．（ I ）求曲线在点处的切线方程：（ II ）证明存在唯一的极值点（ III ）若存在a ，使得对任意成立，求实数b 的取值范围．============参考答案============一、选择题1、 C【分析】根据交集并集的定义即可求出 .【详解】，，.故选： C.2、 A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解 .【详解】由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“ ” 是“ ” 的充分不必要条件.故选： A.3、 B【分析】由函数为偶函数可排除 AC ，再由当时，，排除 D ，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除 AC ；当时，，所以，排除 D.故选： B.4、 D【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的影视作品数量 .【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.故选： D.5、 D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解 .【详解】，，，，，，.故选： D.6、 B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果 .【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，设球的半径为，则，可得，所以，，所以，，，，则，所以，，又因为，所以，，所以，，，因此，这两个圆锥的体积之和为.故选： B.7、 C【分析】由已知表示出，再由换底公式可求 .【详解】，，.故选： C.8、 A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解 .【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选： A.9、 A【分析】由最多有 2 个根，可得至少有 4 个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出 .【详解】最多有 2 个根，所以至少有 4 个根，由可得，由可得，（ 1 ）时，当时，有 4 个零点，即；当，有 5 个零点，即；当，有 6 个零点，即；（ 2 ）当时，，，当时，，无零点；当时，，有 1 个零点；当时，令，则，此时有 2 个零点；所以若时，有 1 个零点.综上，要使在区间内恰有 6 个零点，则应满足或或，则可解得a 的取值范围是.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况 .二、填空题1、【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在 3 次活动中，甲至少获胜 2 次分为甲获胜 2 次和 3 次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；则在 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为.故答案为：；.2、 1【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值 .【详解】设，，为边长为 1 的等边三角形，，，，为边长为的等边三角形，，，，，所以当时，的最小值为.故答案为： 1 ；.3、【分析】利用复数的除法化简可得结果 .【详解】.故答案为：.4、 160【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为 6 即可求出.【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.故答案为： 160.5、【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【详解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.6、【分析】两次利用基本不等式即可求出 .【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.三、解答题1、（ I ）；（ II ）；（ III ）【分析】（ I ）由正弦定理可得，即可求出；（ II ）由余弦定理即可计算；（ III ）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出 . 【详解】（ I ）因为，由正弦定理可得，，；（ II ）由余弦定理可得；（ III ），，，，所以.2、（ I ）证明见解析；（II ）；（ III ）.【分析】（ I ）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证；（ II ）求出，由运算即可得解；（ III ）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解 .【详解】（ I ）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则, , , , , , ，因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以，，所以, , ,设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，因为平面，所以平面；（ II ）由（1 ）得，，设直线与平面所成角为，则；（ III ）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值为.3、（ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；（ 2 ）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程 .【详解】（ 1 ）易知点、，故，因为椭圆的离心率为，故，，因此，椭圆的方程为；（ 2 ）设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，联立，消去并整理得，，因此，椭圆在点处的切线方程为.在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，因为，则，即，整理可得，所以，，因为，，故，，所以，直线的方程为，即.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（ 1 ）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；（ 2 ）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切 .4、（ I ），；（ II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（ I ）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；（ II ）（i ）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；（ ii ）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证 .【详解】（ I ）因为是公差为 2 的等差数列，其前8 项和为64 ．所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（ II ）（i ）由题意，，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ ii ）由题意知，，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证 .5、（ I ）；（ II ）证明见解析；（III ）【分析】（ I ）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；（ II ）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；（ III ）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值 .【详解】（ I ），则，又，则切线方程为；（ II ）令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，，当时，，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；（ III ）由（II ）知，此时，所以，令，若存在a ，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故，所以实数b 的取值范围.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.。
天津高三高中数学月考试卷带答案解析
天津高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数（）．A．B．C．D．2.实数，满足不等式组,则有（）．A．B．C．D．3.对任意非零实数，，若的运算原理如图示，则的值为（）．A．B．C．D．4.设则（）．A．B．C．D．5.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）．A．B．C．D．6.对于任意实数,<>表示不小于的最小整数，例如<1．1>=2,<>= ,那么“”是“<>=<>”（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）．A．B．C．D．8.平面直角坐标系内，已知点，点在函数的图象上，的平分线与的图象恰交于点，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．二、填空题1.已知三元实数集，且,则的值为．2.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是．3.已知各项为正数的数列满足()，且是的等差中项，则数列的通项公式是．4.设、为的两点，且满足=+,则_______．5.如图，已知⊙的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，于点，交⊙于点，则的长为．6.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是．三、解答题1.在中，分别为内角的对边，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求边的长．2.如图，底面△为正三角形的直三棱柱中，，，是的中点，点在平面内，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求二面角的大小．3.已知数列是等差数列，且满足：，；数列满足 ．（1）求和；（2）记数列，若的前项和为，求证．4.已知函数． （Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增； （Ⅱ）若函数有三个零点，求的值．5.已知椭圆:的一个焦点为且过点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为A 1，A 2，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，直线PA 1，PA 2分别交轴于点N ，M ，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T ． 证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值．天津高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.复数（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，∴选A【考点】本题考查了复数的运算点评：熟练掌握复数的运算法则是解决此类问题的关键，属基础题2.实数，满足不等式组,则有（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】约束条件对应的平面区域如下图示：ω=表示可行域内的点（x，y）（0，0）与A（3，3）与点（-1，1）连线的斜率，由图可知ω=的取值范围是[-1，]，故选D．【考点】本题考查了点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．3.对任意非零实数，，若的运算原理如图示，则的值为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，由框图可知，输出的数为，故选C【考点】本题考查了程序框图的运用点评：正确理解框图的含义是解决此类问题的关键，属基础题4.设则（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，故选C【考点】本题考查了指数、对数、幂函数的单调性点评：熟练掌握指数、对数、幂函数的单调性是解决此类问题的关键，属基础题5.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|，∵|AF|=，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a2+ac-c2＞0，两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2），故选B【考点】本题考查了双曲线离心率的求法点评：双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题6.对于任意实数,<>表示不小于的最小整数，例如<1．1>=2,<>= ,那么“”是“<>=<>”（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若|x-y|＜1．取x=3.6，y=4.1，则＜x＞=4，＜y＞=5，＜x＞≠＜y＞，所以“|x-y|＜1”成立推不出“＜x＞=＜y＞”成立，若＜x＞=＜y＞，因为＜x＞表示不小于x的最小整数，所以x≤＜x＞＜x+1，所以可设＜x＞=x+m，＜y＞=y+n，mn∈[0，1]，由x+m=y+n得|x-y|=|m-n|＜1，所以“＜x＞=＜y＞”⇒“|x-y|＜1”故“|x-y|＜1”是“＜x＞=＜y＞”的必要不充分条件，故选B【考点】本题考查了充要条件的判断点评：说明一个命题不成立常用举反例的方法、考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．7.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故选C【考点】本题考查了正弦函数的有界性及单调性.点评：熟练掌握三角函数单调性及有界性是解决此类问题的关键，属基础题8.平面直角坐标系内，已知点，点在函数的图象上，的平分线与的图象恰交于点，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】A 【解析】∵点，∴直线OB ：dx-by=0，由题意点C （1，m ）到x 轴的距离等于到直线OB 的距离，∴m=，又，两式消d 得，∵，∴，∴，故选A【考点】本题考查了点到直线距离的应用点评：熟练运用平分线的性质及点到直线的距离公式是解决此类问题的关键，属基础题二、填空题1.已知三元实数集，且,则的值为 ．【答案】2 【解析】∵，∴，∴，∴x-y=2【考点】本题考查了集合的概念点评：解决此类问题需注意集合元素的互异性，属基础题2.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 ．【答案】【解析】由三视图可知该几何体为圆柱与棱柱的组合体，其体积为【考点】本题考查了三视图的运用点评：正确根据三视图的概念换元几何体的图形，是解决此类问题的关键，属基础题3.已知各项为正数的数列满足()，且是的等差中项，则数列的通项公式是 ． 【答案】【解析】∵a n+12-a n+1a n -2a n 2=0，∴（a n+1+a n ）（a n+1-2a n ）=0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n+1+a n ＞0，∴a n+1-2a n =0，即a n+1=2a n ，所以数列{a n }是以2为公比的等比数列．∵a 3+2是a 2，a 4的等差中项，∴a 2+a 4=2a 3+4， ∴2a 1+8a 1=8a 1+4，∴a 1=2，∴数列{a n }的通项公式a n =2n ． 【考点】本题考查了数量的递推关系点评：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏，属于中档题 4.设、为的两点，且满足=+,则_______．【答案】【解析】设BC 的中点为M ，∵=，∴D 为中线AM 的中点，又+，∴，∴，∴【考点】本题考查了向量的运算及面积的求解点评：熟练掌握向量的运算及几何意义是解决此类问题的关键，属基础题5.如图，已知⊙的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，于点，交⊙于点，则的长为．【答案】【解析】连接OC，则OC=OA=3，在中，AB=6，BC=3，，又CD为圆O的切线，∴OC∥AD，∴在中，，又，∴【考点】本题考查了圆的性质及切割线定理点评：有关切线的长度计算问题，除了要利用三角形中的长度计算外，还常常用到切割线定理6.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是．【答案】（-4，2）【解析】∵，∴x+2y=（x+2y）（）=4+，又x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得-4＜m＜2【考点】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．点评：此类问题常常利用恒成立问题转化为最值问题，主要考查了学生分析问题和解决问题的能力．三、解答题1.在中，分别为内角的对边，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求边的长．【答案】（I）A=60°（II）=【解析】（I）∵cosBcosC+sinBsinC-2sinBsinC=-，即cosBcosC-sinBsinC=-，∴cos(B+C)=-，∵0°<B+C<180°, ∴B+C=120°∵A+B+C=180°, ∴A=60°（II）∵sin=, ∴cos=∴sinB=2sin cos=由得b=【考点】本题考查了两角和差公式及正弦定理的运用点评：此类问题比较综合，不仅考查了学生对两角和差公式的变形及运用，还考查了正余弦定理的运用，考查了学生的综合分析能力及解题能力2.如图，底面△为正三角形的直三棱柱中，，，是的中点，点在平面内，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求二面角的大小．【答案】（Ⅰ）利用线面垂直证明线线垂直．（Ⅱ）线线平行证明线面平行．（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，，∴，．又，，，∴平面．又，∴．∵，∴．（Ⅱ）连结，在中，，，为中点，∴，．∴，∴四边形为平行四边形．∴．又，∴．又∵面，∴平面．（Ⅲ）二面角的大小为．【考点】本题考查了空间中的线面关系点评：高考中常考查空间中平行关系与垂直关系的证明以及几何体体积的计算，这是高考的重点内容.证明的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理3.已知数列是等差数列，且满足：，；数列满足．（1）求和；（2）记数列，若的前项和为，求证．【答案】（1）；。
天津市2021届高三下学期高考模拟数学试题(含答案解析)
天津市2021届高三下学期高考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目.设集合U ={甲班全体同学}，集合A ={参加跳高的甲班同学}，集合B ={参加跳远的甲班同学}，则()U C A B 表示的是（ ）A ．既参加跳高又参加跳远的甲班同学B ．既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C ．参加跳高或跳远的甲班同学D ．不同时参加跳高和跳远的甲班同学 2．“函数ky x=在(0,)+∞上是减函数”是“函数y kx =在R 上是增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()()cos ln 2x xf x x e e π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新､旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量单位：百千克)，其频率分布直方图如图，据此以下判断错误的选项是（ ）A ．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化B ．采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高C ．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了D ．新､旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大5．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．283π B C D6．已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（ ）A ．1BC ．14D 7．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数，则下列判断正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间3[,]4ππ上单调递增 C ．函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 D ．函数()f x 的图象关于点7(,0)12π对称 8．已知函数2226,(),x mx x mf x x x m ⎧-+<=⎨≥⎩，其中0m <，若存在实数k ，使得关于x 的方程()0f x k -=恰有三个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．(,-∞C ．[)3,0-D ．()9．已知实数0.20.720.7,log 0.7,2a b c ===，则实数,,a b c 的大小是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．a c b <<二、填空题 10．已知复数()i1i i 1z a =+-+的虚部为零，i 为虚数单位，则实数a =________.11．二项式82)x的展开式中的常数项为______________．12．已知圆22:(1)(2)9C x y -+-=，圆C 以(1,3)-为中点的弦所在直线的斜率k =__________.13．由1， 2， 3， …，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则13a b >的概率为______．14．已知正实数m ，n 满足119222m n m n +++=，则2m n +的最小值是_______． 15．设向量a ，b 不平行，若向量a b λ+与2a b -平行，则实数λ的值为___________.三、解答题16．在ABC 中，AC=6，4cos .54B C π==，（1）求AB 的长；（2）求()6cos A π-的值.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且2PA PB ==，若点E ,F 分别为AB 和CD 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面PEF ；（2）若二面角P AB C 求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为0)，四条直线x a =±，y b =±所围成的区域面积为（1）求C 的方程；（2）设过(0,3)D 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，设弦AB 的中点为M ，且1||||2OM AB =（O 为原点），求直线l 的方程. 19．已知数列{}n a 的各项均不为零，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且()2*340n n n S S T n N -+=∈.（1）求1a ，2a 的值；（2）设()212nn b n =-，求数列{}n b 前n 项和n B ；（3）证明：数列{}n a 是等比数列.20．已知函数32()()f x x x ax a R =+-∈，()ln g x x x =. （1）求曲线()g x 在1x =处的切线方程；（2）对任意(]0,x a ∈，()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当(]0,x a ∈时，试求方程()()f x g x =的根的个数.参考答案1．D 【分析】利用集合的交、补运算的概念即可求解. 【详解】易知A B 表示的是同时参加跳高和跳远的同学，则()U C A B 表示的是甲班不同时参加跳高和跳远的同学， 故选：D . 【点睛】本题考查了集合的交、补运算，利用集合的交、并、补运算的概念是解题的关键，属于基础题. 2．C 【分析】 由函数ky x=在(0,)+∞上是减函数，得0k >；函数y kx =在R 上是增函数，则0k >，即可得结果． 【详解】 函数ky x=在(0,)+∞上是减函数，则0k >；函数y kx =在R 上是增函数，则0k >，故“函数ky x=在(0,)+∞上是减函数”是“函数y kx =在R 上是增函数"的充分必要条件． 3．C 【分析】先将原函数的解析式化简，可判断原函数的奇函数，排除D 选项，再判断原函数在()0,π及(),2ππ上的正负即可确定答案.【详解】因为()()()πcos ln sin ln 2x x x xf x x e e x e e --⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，所以()()()()()sin ln sin ln x x x xf x x x e e x e e f x ---=-+=-+=-，即函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D ，又因为2x x y e e -=+≥=，当且仅当0x =时取等号，所以()ln ln2ln10x xe e -+≥>=，当[)0,πx ∈时，sin 0x ≥，当[)π,2πx ∈时，sin 0x ≤，所以，当[)0,πx ∈时，()0f x >，当[)π,2πx ∈时，()0f x ≤，故排除A 、B ， 故选：C ． 【点睛】根据函数的解析式选择函数的图象时，可从选项出发，观察函数图象之间的异同，结合函数的性质判断即可，其一般方法如下： （1）先确定函数的定义域；（2）确定函数的奇偶性，根据函数图象的对称性；（3）确定某些特殊点的函数值的正负，或确定局部区间上函数值的正负; （4）确定局部区间上的单调性. 4．D 【分析】根据频率直方图逐一判断可得选项． 【详解】解：由频率分布直方图得：在A 中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化，故A 正确； 在B 中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高，故B 正确； 在C 中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了，故C 正确； 在D 中，新､旧培育方法对大棚西红柿的产量影响较大，故D 错误. 故选：D. 5．A 【分析】由题知此直棱柱为正三棱柱111ABC A B C -，设其上下底面中心为1,O O '，则外接球的球心O 为线段1O O '的中点，通过计算求出球半径即可. 【详解】由题知此直棱柱为正三棱柱111ABC A B C -，设其上下底面中心为1,O O '，则外接球的球心O 为线段1O O '的中点，112,12AB O A OO O O '''=∴====，OA ∴=O 的表面积为283π. 故选：A 【点睛】本题主要考查了直棱柱的外接球的表面积计算，解题的关键是找出直棱柱的外接球的球心，计算出球半径，考查了学生的空间想象能力. 6．A 【分析】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，由椭圆与双曲线的定义用,a a '表示出,x y ，然后用余弦定理得出,,a a c '的关系即12,e e 的关系式，然后由基本不等式求得最小值．【详解】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，则22x y ax y a '+=⎧⎨-=⎩，解得x a a y a a =+⎧⎨='-'⎩，在12PF F △中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠， ∴22222114242c x y xy x y xy =+-⨯=+-，1c e a=，2c e a ='，222221354()()()()222c a a a a a a a a a a '''''=++--+-=+， ∴2212358e e +=，∴()22222212121222221221531351888e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1188188⎛≥+=+= ⎝2212222153e e e e =时等号成立．所以2212e e +的最小值为1故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义，考查它们的离心率，解题关键是利用定义表示出焦半径12,PF PF ，然后用余弦定理求得12,e e 的关系式，用基本不等式求得最小值． 7．B 【详解】图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，即三角函数的周期为22,,22ππππωω⨯=∴==,所以sin 2sin 212126f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,又12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，,62k k Z ππϕπ∴+=+∈,即,3k k Z πϕπ=+∈,又2πϕ<,解得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A项,最小正周期T π=,错误;B 项, 由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,解得单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣∈⎦,k=1时成立,故正确;;C 项, 2,32x k k Z πππ+=+∈,解得对称轴是,212k x k Z ππ=+∈,错误;D 项, 由2,3x k k Z ππ+=∈,解得对称中心是,0,26⎛⎫-∈⎪⎝⎭k k Z ππ,错误;综上所述,应选B. 8．B 【分析】在平面直角坐标系内画出图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】解：当0m <时，作出函数2226,(),x mx x m f x x x m ⎧-+<=⎨≥⎩的图象如下图所示，当x m <时，2222()26()66f x x mx x m m m =-+=-+-≥-，所以若要存在实数k ，使得关于x 的方程()0f x k -=恰有三个不同的实数根， 则必须226(0)m m m -<<，解得m <，所以m 的取值范围是(,-∞. 故选：B. 9．B 【分析】判断a 、b 、c 与0、1的大小关系进行大小比较. 【详解】 因为0.20.7200.7,log 0.70,21 1.a b c <<==>=<所以b a c <<. 故选：B 【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小； （2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较. 10．12 【分析】先对复数化简，再由复数的虚部为零，列方程可求得结果 【详解】解：()i 111i i i 122z a a ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，因为其虚部为零，所以102a -=，12a =. 故答案为：12. 【点睛】此题考查复数的除法运算，考查复数的有关概念，属于基础题 11．112 【详解】试题分析：由二项式通项可得，（r=0,1,…,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.考点：二项式通项． 12．2 【分析】圆心与(1,3)-连线与弦所在直线垂直，斜率相乘为1- 【详解】圆心()1,2C ，圆心与(1,3)-所在直线的斜率为321112k -==--- 故弦所在直线的斜率为2 故答案为：2 13．16672000【分析】根据题意，{}11000A x N x *=∈≤≤，且,a b A ∈，要使得13a b >，即：13a b >，分类讨论当1,2,3a =时，对应的b 的值，得出所有取法，即可求出13a b >的概率. 【详解】解：由题可知，{}11000A x N x *=∈≤≤，且,a b A ∈，要使得13a b >，即：13a b >，则有： 当1a =时，1b =或2，有2种取法；当2a =时，b 的取值增加3、4、5，有2+3种取法； 当3a =时，b 的取值增加6、7、8，有223+⨯种取法；当333a =时，b 有23323+⨯种取法； 当3341000a ≤≤时，b 都有1000种取法.故()()()2223223233236671000131000a P b ++++⨯+++⨯+⨯⎛⎫>=⎪⎝⎭()2333216636671000166710002000⨯+⨯+⨯==. 故答案为：16672000. 【点睛】本题考查古典概型求概率，考查分类讨论思想和计算能力.14．32【分析】()1112222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭，利用基本不等式，可求得()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再结合()119222m n m n +=-+，可得()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的取值范围，即可得到2m n +的最小值. 【详解】由题意，()11155922222222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭，当且仅当n m m n =时，等号成立，又()119222m n m n +=-+，所以()()()1199222222m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤++=+-+≥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2m n t +=，则9922t t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得332t ≤≤，所以32,32m n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即2m n +的最小值是32.故答案为：32.【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出()119222m n m n ⎛⎫++≥⎪⎝⎭，再根据()119222m n m n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，可得到只包含2m n +的关系式()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.15．12-【分析】向量a b λ+与2a b -平行，存在实数k 使得()2a b k a b λ+=-，再利用平面向量基本定理列方程组即可得出结果. 【详解】∵向量a b λ+与2a b -平行， ∴存在实数k 使得()2a b k a b λ+=-， 化为()()120k a k b λ-++=，∵向量a ，b 不平行，∴0120k k λ-=⎧⎨+=⎩，解得12λ=-.故答案为：12-.【点睛】本题考查了向量共线定理与平面向量基本定理,考查了推理能力与计算能力,若,a b 为非零向量，则,a b 共线的充要条件是存在实数λ使得λa b . 16．（1）2【详解】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ， 再利用正弦定理求AB 的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-试题解析：解（1）因为4cos B=5，0B π<<，所以3sin ,5B == 由正弦定理知sin sin AC AB B C =，所以6sin 23sin 5AC CAB B⋅===（2）在ABC 中，A B C π++=，所以，于是cos cos()cos()cos cos sin sin ,444A B C B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==故43cos 55A =-=因为0A π<<，所以sin A =因此1cos()cos cos sin sin 6662A A A πππ-=+==【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.17．（1）见解析（2）6【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面PEF ，再由面面垂直的判定定理证得平面ABCD ⊥平面PEF ；（2）由二面角的定义及题意可知，cos PEF ∠=建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n ，PC ，利用sin cos ,n PC n PC n PCθ⋅=〈〉=⋅即可得解.【详解】 （1）PA PB =，E 为AB 中点，∴AB PE ⊥，又AB EF ⊥，PE ⊂平面PEF ，EF ⊂平面PEF ，PE EF E ⋂=， ∴AB ⊥平面PEF ，又AB 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PEF .（2）PE AB ⊥，EF AB ⊥，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，∴PEF ∠就是二面角PAB C 的平面角，所以cos PEF ∠=如图作PO EF ⊥，垂足为O ，则OE PE ==，所以12OE =，32OF =，则OP =如图，建立空间直角坐标系，则P ，3(1,,0)2C ，1(1,,0)2A --，1(1,,0)2B -，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则00PB n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即10220x y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩， 令1z =，则01x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩则(0,11,1)n =-是平面PAB的一个法向量，3(1,,2PC =，则2sin cos ,612n PCn PC n PCθ⋅=〈〉===⋅. 所以PC 与平面PAB6. 【点睛】本题考查了线面垂直和面面垂直的判定定理以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的推理与运算能力，建立恰当的空间直角坐标系是解题的关键，属于中档题. 18．（1）2213x y +=（2）3y =+【分析】（1）由题意,结合椭圆的性质可得,,a b c 的方程组,解方程组即可求得椭圆的标准方程. （2）因为直线过定点,设出直线方程,并联立椭圆方程.化简后利用判别式求得斜率的取值范围.由三角形几何性质可知OA OB ⊥,结合平面向量数量积定义及韦达定理求得斜率的方程,解方程即可求得斜率,进而可得直线l 的方程. 【详解】（1）依题意得22222223222c a b a b a b a b c ⎧=⎪⎧=⎪⨯=⇒⎨⎨-=⎩⎪-=⎪⎩,解得223,1a b == ∴椭圆C 的方程为2213x y +=． （2）易知直线l 的斜率存在,并设直线方程为3y kx =+, 联立椭圆,22133x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,化简得()221318240k x kx +++=, 设()11,A x y 、()22,B x y ,()2228(18)961303k k k ∴∆=-⨯+>⇒>,且1212221824,1313k x x x x k k +=-=++, 由三角形几何性质可知OA OB ⊥ 0OA OB ∴⋅=,即()()121212120330x x y y x x kx kx +=⇒+++=, ()()212121390k x x k x x ∴++++=．将1212221824,1313k x x x x k k +=-=++ 代入上式得()222224154901313k k k k+-+=++ 化简得2333k =,所以k =故所求的直线方程为3y =+ 【点睛】本题考查了由,,a b c 关系求椭圆标准方程的求法,直线过定点时与椭圆的位置关系,平面向量与解析几何的综合应用,韦达定理在用坐标研究向量关系中的应用,属于中档题. 19．（1）11a =，212a =-；（2）1(23)26n n B n +=-⋅+；（3）证明见解析.【分析】（1）代入1n =，2n =可得求12,a a ；（2）利用错位相减法可求和n B .（3）并构造211134+0n n n S S T +++-=，和已知两式相减，变形，化简为112n n a a +=-()2n ≥，并求21a a 可得证； 【详解】解（1）：∵2340n n n S S T -+=，令1n =，得22111340a a a -+=，∵10a ≠，∴11a =.令2n =，得()()()22222214110a a a +-+++=，即22220a a +=，∵20a ≠，∴212a =-；（2）∵(21)2nn b n =-，∴23123252(21)2n n B n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，① 23412123252(21)2n n B n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，②①﹣②，得()232122222(21)2n n B n +-=+++⋅⋅⋅+--⋅()112141222(21)262(21)212n n n n n n -+++-=+⋅--⋅=-+--⋅-16(23)2n n +=---⋅，∴1(23)26n n B n +=-⋅+.（3）∵2340n n n S S T -+=，①∴2111340n n n S S T +++-+=，②②﹣①得：()21111340n n n n n S S a a a +++++-+=，∵10n a +≠，∴()11340n n n S S a +++-+=③，()1340n n n S S a -+-+=④， 当2n ≥时，③﹣④得：()1130n n n n a a a a ++++-=，即112n n a a +=-，∵0n a ≠，∴112n n a a +=-.又由（1）知，11a =，212a =-，∴2112a a =-. ∴数列{}n a 是以1为首项，以12-为公比的等比数列.【点睛】方法点睛：本题考查已知数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求和，意在考查转化与化归和计算能力，属于难题，一般数列求和的方法包含1.公式法求和；2.错位相减法求和；3.裂项相消法求和；4.分组转化法求和；5.倒序相加法求和.20．（1）1y x =-；（2）30,ln 24⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）当30ln 24a <<+时，根的个数为0；当3ln 24a =+时，根的个数为1；当3ln 24a >+时，根的个数为2【分析】（1）直接求导得()()ln 10g x x x '=+>，利用导数的几何意义即可求出()g x 在1x =处的切线方程；（2）对任意(]0,x a ∈，()()f x g x >恒成立，转化为对任意(]0,x a ∈，2ln 0x x x a +-->恒成立，构造函数2()ln x x x x a ϕ=+--，(]0,x a ∈，分类讨论102a <≤和12a >的情况，利用导数研究函数的单调性、最值和解决恒成立问题，即可求出实数a 的取值范围； （3）分类讨论a 的取值范围，由（2）得，当30ln 24a <<+时，方程()()f x g x =的根的个数为0，当3ln 24a =+时，当12x =时，()()0f x g x -=，得方程()()f x g x =的根的个数为1；当3ln 24a >+时，根据零点存在性定理，即可判断出方程()()f x g x =的根的个数，综合即可得出结论. 【详解】解：（1）∵()ln g x x x =，则()g x 的定义域为()0,∞+， ∴()ln 1g x x '=+，∴(1)1g '=， ∵(1)0g =，则切点为()1,0，∴曲线()g x 在1x =处的切线方程是：1y x =-， （2）∵对任意(]0,x a ∈，()()f x g x >恒成立， ∴对任意(]0,x a ∈，2ln x x a x +->恒成立， 即2ln 0x x x a +-->恒成立， 令2()ln x x x x a ϕ=+--，(]0,x a ∈，则1(1)(21)()21x x x x x xϕ+-'=+-=， ①当102a <≤时，当(]0,x a ∈时，()0x ϕ'<，∴()ϕx 在(]0,a 上单调递减，∴211111()ln ()ln ln 2024224a a a a ϕϕ=-≥=+--≥+>，∴102a <≤，②当12a >时，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0x ϕ'<，∴()ϕx 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， 当1,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0x ϕ'>，∴()ϕx 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，∴11113()ln ln 2024224a a ϕ=+--=+->，∴13ln 224a <<+， 综上，实数a 的取值范围是30,ln 24⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（3）当30ln 24a <<+时，由（2）得，方程()()f x g x =的根的个数为0，当3ln 24a =+时，由（2）得，当12x =时，()()0f x g x -=，∴方程()()f x g x =的根的个数为1，当3ln 24a >+时，13()ln 2024a ϕ=+-<，3ln 2ln 2412ae e e ----<<=，2()0a a a e e e ϕ---=+>，根据零点存在性定理，()ϕx 在1,2a e -⎛⎫⎪⎝⎭上至少存在1个零点，又在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴在()ϕx 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有1个零点，22()ln 0a a a a a ϕ=->->，同理，()ϕx 在1,2a ⎛⎤⎥⎝⎦上只有1个零点，∴方程()()f x g x =的根的个数为2， 综上，当30ln 24a <<+时，方程()()f x g x =的根的个数为0； 当3ln 24a =+ 时，方程()()f x g x =的根的个数为1； 当3ln 24a >+时，方程()()f x g x =的根的个数为2. 【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数解决恒成立问题和零点个数问题，还涉及构造函数和零点存在性定理，考查转化思想和分类讨论思想.。
杨村第一中学高三数学下学期开学考试试题
天津市杨村第一中学2021届高三数学下学期开学考试试题一、选择题（本大题9小题，每小题5分,共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项涂在答题卡上)1。
已知集合{}35M x x =-<≤，{5N x x =<-或}5x >，则M N ⋃=（ ） A. {5x x <-或}3x >- B 。
{}55x x -<< C. {}35x x -<< D. {3x x <-或}5x > 2。
设R x ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的A. 充分而不必要条件 B 。
必要而不充分条件 C. 充要条件 D 。
既不充分也不必要条件3.某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组：[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100，绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于60分的人数是18，则该班的学生人数是( ）A 。
50B 。
54C 。
60 D. 644。
我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”函数()()2cos x x x e e f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A 。
B 。
C. D.5. 在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43，则正方体外接球的体积为（ ) A 。
43πB.6πC.323πD.86π6。
已知函数2()ln(1)f x x =+，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a、b 、c的大小关系为（ ） A. a b c>>B.c a b <<C 。
c b a >>D 。
b c a >>7. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5,双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A 5，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则双曲线的方程为（ ） A.2214y x -= B 。
天津市武清区杨村第一中学2023届高三下学期开学摸底测试数学试题
天津市武清区杨村第一中学2023届高三下学期开学摸底测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．已知 1.232a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 10b =，7log 14c =，b ，c 的大小关系是（）．a b c <<B ．a c b <<b c a <<D ．c b a<<．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如图所示，根据该图可得这100名学生中体]56.5,64.5的学生人数是（）A ．20B ．30C ．40D ．506．从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则不同安排方式的种数可表示为（A ．4373C A B ．1376C A C ．2275C CD ．C 7．双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上一点，若点P 的纵坐标为1，13PA =，2PB =，则C 的离心率为（）A ．305B ．426C ．537D ．8．将函数()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度得到如图所示的奇函数()g x 的图象，且()g x 的图象关于直线π4x =-对称，则下列选项不正确的是A ．()f x 在区间2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数B ．π322f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()()100f f -+<9．已知函数()1,1ln ,01x x f x k x x ->⎧=⎨<≤⎩，若存在实数t （0t >且1t ≠），使得f 立，则实数k 的取值范围是（）A ．(),0∞-B ．(],0-∞C ．(),1-∞-D ．(二、填空题三、双空题四、填空题五、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()cos 2cos 0c B b a C +-=．(1)求C ；(2)若3b a =，求cos B ．17．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB ⊥AD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ．BC ＝3AB ＝3AD ，M 为线段BD 的中点．(1)求证：BD ⊥平面AFM ；(2)求平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值．参考答案：则直线被球截得的线段为所以在QPO中，QR=故答案为：2a14．73043【分析】由题可知红球首先被全部取完分两种情况，典概型概率公式即得；由题可知望公式即得.【详解】由题可知红球设DF k DE = ，=AF AD DF AD k DE ∴=++ DC AB= ，12CE DA = ，则1+2AF AD k AB k DA =+ ，所以12AF k AB AD k AD =+- 又56AF AB AD λ=+ ，设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,3,0)，所以()1,1,0BD =- ，()0,1,1AE = ，(1,3,0AC =设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0,AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即300x y y z +=⎧⎨+=⎩，令y ＝1，则3,1x z =-=-，则()3,1,1n =--．由（1）知，()1,1,0BD =- 为平面AFM 的一个法向量．设平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角为θ则()(()223cos cos ,31BD n BD n BD n θ⋅-⨯-===-++ 所以平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值为18．(1)()*144144,25525nn S n n N ⎛⎫=-++-∈ ⎪⎝⎭(2)见详解【分析】第（1）问先根据条件得出n a ，代入后通过错位相减法求得法求得n T 分析n T 的最大值和最小值即可证明不等式【详解】（1）由已知{}n a 中的前三项满足22a 故12a =-，28a =，332a =-解得4q =-.则a。
天津高三高中数学月考试卷带答案解析
天津高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，且为纯虚数，则a等于（）A．B．C．1D．-12.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）A．5B．-6C．10D．-103.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4.下列说法错误的是（）A．命题“若”的逆否命题为：“若”B．若是“”的充要条件C．若“”为假命题，则p、q至少有一个为假命题D．命题，则5.设则（）A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．a<c<b 6.设函数，则的值为（）A．B．C．D．7.已知函数，给出下列四个命题：①若②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称；⑤当时，的值域为其中正确的命题为（）A．①②④B．③④⑤C．②③D．③④8.如果圆上总存在两个点到原点的距离为则实数a的取值范围是（）A．B．C．[-1，1]D．9.定义两种运算：则函数的解析式为（）A．B．C．D．10.已知数列满足若则数列的前2010项的和为（）A．1340B．1338C．670D．669二、填空题1.如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知，圆O的半径r=AB=4，则圆心O到AC的距离为 .2.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .3.阅读右面的程序框图，则输出的S=4.为了保护环境，发展低碳经济，2010年全国“两会”使用的记录纸、笔记本、环保袋、手提袋等均是以石灰石为原料生产的石头纸用品，已知某单位每月石头纸用品的产量最少为300吨，最多为500吨，每月成本y（元）与每月产量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：若要使每吨的平均成本最低，则该单位每月产量应为吨.5.设点P为的重心，若AB=2，AC=4，则= .6.若不等式的解集为，且，则a的取值集合为 .三、解答题1.（本小题满分12分）在（1）求角C的大小；（2）若AB边的长为，求BC边的长.2.（本小题满分12分）设O为坐标原点，点P的坐标（I）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；（II）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率.3.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，二面角S—CD—A的平面角为，M为AB中点，N为SC中点.（1）证明：MN//平面SAD；（2）证明：平面SMC⊥平面SCD；（3）若，求实数的值，使得直线SM与平面SCD所成角为4.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且满足（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若的前n项和为求满足不等式的最小n值.5.（本小题满分14分）设函数（1）若函数在x=1处与直线相切①求实数a，b的值；②求函数上的最大值.（2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，求实数m的取值范围.6.（本小题满分14分）已知椭圆过点，长轴长为，过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B.（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB中点的横坐标是求直线l的斜率；（3）在x轴上是否存在点M，使是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.天津高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知，且为纯虚数，则a等于（）A．B．C．1D．-1【答案】D【解析】本题考查复数的运算及概念由得因为为纯虚数所以解得故正确答案为2.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）A．5B．-6C．10D．-10【答案】B【解析】解：作出不等式组，所表示的平面区域作出直线2x+4y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点（3，-3）时Z取得最小值-6；故答案为：-6．3.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线焦点坐标为(3,0),因为双曲线与抛物线焦点重合,所以双曲线的焦点坐标也为(3,0).所以,所以4.下列说法错误的是（）A．命题“若”的逆否命题为：“若”B．若是“”的充要条件C．若“”为假命题，则p、q至少有一个为假命题D．命题，则【答案】B【解析】A选项符合逆否命题的定义，即将原命题的结论否定作为新命题的条件，将原命题的条件否定作为新命题的结论。
天津高三高中数学月考试卷带答案解析
天津高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.i是虚数单位，复数的实部为（）A．2B．－2C．1D．－1x的零点所在的一个区间是2.函数f（x）=2x﹣1+log2A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）3.下列有关命题的叙述，错误的个数为（）①若p q为真命题，则p q为真命题。
②“”是“”的充分不必要条件。
③命题P：x∈Ｒ，使得x＋x-1<0，则p :x∈Ｒ，使得x＋x-1≥0。
④命题“若，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则”。
A．1B．2C．3D．44.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则5.定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．6.设,,,则的大小关系是（）A．B．C．D．7.已知等差数列的公差,且成等比数列,若是数列的前项的和,则的最小值为（）A．4B．3C．D．8.定义一种运算,令（为常数）,且,则使函数最大值为4的值是（）A．或B．或C．或D．或二、填空题1.若某几何的三视图（单位:）如下图所示,此几何体的体积是_____________2.设函数集合则为_________________.3.执行如图所示的程序框图,则输出的的值是_____________4.若的最小值是_____________5.已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若，则的值为_____________6.若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是 ____三、解答题1.家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类,其中A类服务员12名,B类服务员名（1）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训,抽取到B类服务员的人数是16, 求的值（2）某客户来公司聘请2名家政服务员,但是由于公司人员安排已经接近饱和,只有3名A类家政服务员和2名B 类家政服务员可供选择①请列出该客户的所有可能选择的情况②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率2.已知函数（1）求的最小正周期（2）在中，分别是A、B、C的对边，若，，的面积为，求的值3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2， AD=CD=，PA=，∠ABC=120°,G为线段PC上的点（1）证明：BD⊥面PAC（2）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值（3）若G满足PC⊥面BGD，求的值．4.已知数列中,数列中，其中（1）求证:数列是等差数列（2）设是数列的前n项和,求（3）设是数列的前n 项和,求证:5.设函数,（1）讨论函数的单调性（2）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数（3）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围6.已知数集，其中，且，若对（），与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质（1）分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由（2）已知数集具有性质，判断数列是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由天津高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.i是虚数单位，复数的实部为（）A．2B．－2C．1D．－1【答案】C【解析】由=，．【考点】复数的概念及其运算点评：将复数化为a+bi形式，根据纯虚数定义确定a的值．2.函数f（x）=2x﹣1+logx的零点所在的一个区间是2A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）【答案】C【解析】∵函数f（x）=2x﹣1+logx，在（0，+∞）单调递增．2∴f（1）=1，f（）=﹣1，∴根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是（）．【考点】函数零点点评：本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法．3.下列有关命题的叙述，错误的个数为（）①若p q为真命题，则p q为真命题。
2021年高三下学期开学联考 数学 Word版含答案
2021年高三下学期开学联考数学 Word版含答案考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：样本数据的方差，其中；棱锥的体积公式：，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高.一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）1．设集合，，且，则实数的值为▲．2．设是虚数单位，则复数的模为▲．．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为▲.5．已知，则的值为▲.6．以双曲线的中心为顶点，右准线为准线的抛物线方程为▲.7．右图是函数图像的一部分，则的值为▲.8．若一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为3cm，则它的体积为▲ cm3.9．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为x的点数、分别作为点的横、纵坐标，则点不．在．直线下方的概率为 ▲ .10．已知圆C 的圆心C 在直线上，且圆C 经过两点A （0,4），B （2,2），则圆C 的方程为 ▲ . 11．已知函数是奇函数，当时，，则满足不等式的x 的取值范围是 ▲ . 12.已知数列，的通项公式分别为，，若 ，则数列的通项公式为 ▲ .13．已知函数图像上有两点，若曲线分别在点A 、B 处的切线互相垂直，则的最大值是 ▲ .14.设函数，当时，恒成立，则的最小值是 ▲ . 二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（14分）如图，在△ABC 中，.（1）若（为实数），求的值；（2）若AB=3，AC=4，∠BAC=60°，求的值.16.（14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.（1）若CF ⊥AE ，AB ⊥AE ，求证：平面ABFE ⊥平面CDEF ； （2）求证：EF//平面ABCD.17.（14分）如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC 的长为a 米（a 为常数），现在斜边AB 上选一点D ，将△ACD 沿CD 折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD 的面积为S ，点A 到直线CD 的距离为d. 实践证明，遮阳效果y 与S 、d 的乘积Sd 成正比，比例系数为k （k 为常数，且k >0）. （1）设∠ACD=，试将S 表示为的函数；（2）当点D 在何处时，遮阳效果最佳（即y 取得最大值）？18.（16分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：相切于点M. （1）求椭圆C 的方程；（2）求PM ·PF 的取值范围；A B C D E F A BCD 图（1） A B C D 图（2）（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.19.（16分）已知是实数，函数，，其中是自然对数的底数．（1）设时，求的单调区间；（2）设a=0时，试比较与的大小，并给出证明；（3）若关于x的不等式有解，求实数的取值范围.20.（16分）设数列的前n项和为，且，.（1）若数列是等差数列，求数列的通项公式；（2）设，求证：数列是等差数列.xx 届高三调研测试数学试题 xx.03.02数学Ⅱ(附加题)注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.A.选修4-1【几何证明选讲】（10分）如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于点D . 求证：AC 平分∠BAD.21.B.选修4-2【矩阵与变换】（10分）二阶矩阵A 1,2）变换成点（8,4），求矩阵A.21.C.选修4-4【坐标系与参数方程】（10分）已知直线的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为，直线与圆C 相交于点A 、B. （1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求线段AB 的长度.21.D.选修4-5【不等式选讲】（10分）设a 、b 、c>0，求证：.22.（10分）已知抛物线上有四点、，点M （3,0），直线AB 、CD 都过点M ，且都不垂直于x 轴，直线PQ 过点M 且垂直于x 轴，交AC 于点P ，交BD 于点Q. （1）求的值； （2）求证：MP=MQ.23.（10分）设，，，（1）当时，试指出．．与的大小关系；（2）当时，试比较与的大小，并证明你的结论.xx届高三调研测试数学参考答案与评分标准1、32、3、44、205、36、7、68、9、10、11、12、13、14、15.（1）∵，∴，∴……3分又∵∴………………5分∵与不共线，∴，∴………………7分（2）………………10分……………………12分=………………14分注：也可建立直角坐标系，用坐标运算求解本题.16. （1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD，又∵AB⊥AE，∴AE⊥CD……4分又∵AE⊥CF，CD∩CF=C，CD、CF平面CDEF，∴AE⊥平面CDEF…………6分又∵AE平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF………………7分（2）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD又∵AB平面CDEF，CD平面CDEF，∴AB//平面CDEF…………10分又∵AB 平面ABFE ，平面ABFE ∩平面CDEF=EF ，∴AB//EF ………12分 又∵EF 平面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴EF//平面ABCD.…………14分 17.（1）△BCD 中， ∴，∴…………4分∴ ，……6分（其中范围1分） （2）…………8分 ………………10分 令，则，∴在区间上单调递增，…………12分 ∴当时取得最大值，此时，即D 在AB 的中点时，遮阳效果最佳.………………14分 18.（1）…………2分∴c =1，a =2，∴，∴椭圆方程为…………4分 （2）设，则PM=0202020202134333x x x y x =--+=-+，………………6分 PF=…………8分∴PM ·PF=，∵，∴|PM|·|PF|的取值范围是（0,1）.…………10分 （3）法一：①当PM ⊥x 轴时，P ，Q 或， 由解得……………………12分②当PM 不垂直于x 轴时，设，PQ 方程为，即 ∵PQ 与圆O 相切，∴，∴ ∴………………13分又，所以由得…………14分 ∴ =33)433)(1()1()33(220222220---++++k x k x k k x =12，∴……16分法二：设，则直线OQ ：，∴，∵OP ⊥OQ ，∴OP ·OQ=OM ·PQ ∴202002220202020)()(3t y t x y x t t x y y x -++⋅=+⋅+…………12分 ∴)(33)(22022202202220202020222020t x x y x t y t x y x y x x t y x ++⋅=+++⋅=+⋅+∴，∴………………14分∵，∴，∴，∴……………16分 19.（1）的定义域为，. 当时，，在单调递增；………………2分 当时，令，解得，则当时，，单调递增， 当时，，单调递减.综上：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.…………5分 （2）法一：令，， 在单调递增，，∴=0在有且只有一解t ，且 ………………7分 ∴在单调递减，在单调递增 ∴的最小值为 ∵，∴，∴，∴的最小值，且其在上单调递增 ∴的最小值∴>0，∴……………………10分 法二：（1）令，，∴在单调递增，∴，即…………7分 令，，∴在单调递减，在单调递增，∴，即 ∴，即………………10分（3）由题意：有解，即有解， 因此，有解………………12分 设，，………………14分 ∵，且时，∴，即，故在单调递减， ，故.………………16分 20.（1）∵ ∴又∵是等差数列，设公差为d ，则1])1([21)(2)1(2111--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+d n a nd a n d n n na∴1)(21)2()2(11212----+=-+d a n d a dn n d a dn …………4分 ∴ ∴ ………………6分∴…………8分注：由解得，但没有证明原式成立，只给4分. （2）∵①∴②①—②得……………………10分∴)1(0)52()22(12≥=++-+++n a a n a n n n n两式相减得)2(0)42()54()22(112≥=-+++-+-++n a a n a n a n n n n n …………12分 ∴)2(02)22()44()22(1112≥=-+-+++-+-+++n a a a a n a n a n n n n n n n ∴)2(2]2)[22(1112≥+-=+-+-+++n a a a a a a n n n n n n n …………14分 ∵ ∴可得 ∴∴ ∴是等差数列………………16分注：先猜，后用第二数学归纳法证明，只给5分.数学Ⅱ 附加题部分21.A.连接OC∵CD 与圆O 相切于点C ，∴OC ⊥CD ……3分 又∵AD ⊥CD ，∴OC//AD ……………………6分∴∠OCA=∠DAC ……………………………8分又∠OAC =∠OCA ，∴∠BAC =∠DAC 即AC 平分∠BAD (10)21.B.设所求二阶矩阵A=，则………………4分∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++482266d c b a d c b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+428266d c b a d c b a ……8分解方程组得A=………………10分21.C.（1）…………4分（2）直线的普通方程为………………6分 又圆心C （0,2），半径，∴C 到的距离为， ∴AB=4.……………10分21.D.∵ a 、b 、c>0， ∴………………3分（当a=b=c 时取“=”）…………6分∴36272193111332=≥+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++abc abc c b ac b a …………9分 （当，即时，取“=”）…………10分22.（1）设直线AB 的方程为，与抛物线联立得：……2分 ∴…………4分（2） 直线AC 的斜率为∴直线AC 的方程为 ∴点P 的纵坐标为…………6分 …………7分同理：点Q 的纵坐标为…………9分∴，又PQ ⊥x 轴∴MP=MQ.………………10分 23.（1）n =1时，； 时，当时，；当时，；当时，……3分 （2）时，①x =0时，………………4分 ②x ≠0时，令 则 =当x >0时，，单调递减；当x <0时，，单调递增 ∴，∴单调递减………………7分 当x >0时，，当x <0时， ∴当x >0时，；当x <0时，………………10分 法二：可用数学归纳法证明当x <0时，，如下：①当n =3时，0]415]25[()1051()1(232533>+--=+---=-x x x x x Q P 成立……5分 ②假设时有， 则当时，22)12)(1()12(1[)1(x k k x k x --+--->又222)12)(1()12(1[)1()12()12(1x k k x k x x k k x k --+----++>+- ……………………6分 ∴时也成立∴当x <0时，………………7分当x >0时，用法一证明…………10分 法三：用二项式定理证明当x <0时，，如下：时，1212121244123312)1(-------+-+-=n n n n n n n n xC x C x C Q P ∴当x <0时，………………7分当x >0时，用法一证明…………10分 37679 932F 錯28833 70A1 炡23029 59F5 姵]35893 8C35 谵33660 837C 荼K834107 853B 蔻32936 80A8 肨403589DA6鶦;>。
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2021届天津市杨村一中高三下学期2月开学考试
数学试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
一、选择题（本大题9小题,每小题5分,共45分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的,请将选项涂在答题卡上）
1. 已知集合{}35M
x x =-<≤,{5N x x =<-或}5x >,则M N ⋃=（ ）
A. {5x x <-或}3x >-
B. {}55x x -<<
C. {}35x x -<<
D. {3x x <-或}5x >
2. 设R x ∈,则“11||22
x -<”是“31x <”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.某班全体学生参加一次测试,将所得分数依次分组：[)20,40,[)40,60,[)60,80,[]80,100,绘制出如图所示的成绩频率分布直方图,若低于60分的人数是18,则该班的学生人数是（ ）
A. 50
B. 54
C. 60
D. 64
4. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”函数()()
2cos x x x e e f x x -+=+的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
5. 在正方体1111ABCD A B C D -中,三棱锥11A B CD -的表面积为43则正方体外接球的体积为
（ ） A. 43π B. 6π C. 323π D. 86π
6. 已知函数2()ln(1)f x x =+,且()0.20.2a f =,()3log 4b f =,13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A. a b c >>
B. c a b <<
C. c b a >>
D. b c a >>
7. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5,双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左顶点为A 5,若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直,则双曲线的方程为（ ）
A. 2
214y x -= B. 2
214x y -= C. 2221x y -= D. 2241x y -=
8.已知函数()()sin 3033f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调,且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2,则ω的取值范围是（ ）
A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
9.已知函数()2,143,13
x e x f x x x x ⎧≤⎪=-+-<<,若函数()()2g x f x k x =-+有三个零点,则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1510,,153e e ⎛⎛⎤⋃ ⎥ ⎝⎦⎝⎭
B ．1510,,15e ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．150,15⎛ ⎝⎭
D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 二、填空题（本大题6小题,每题5分,共30分,将答案写在答题纸相应位置上）
10. 已知a R ∈,且复数21a i i
++是纯虚数,则a =________. 11. 二项式62x x ⎛ ⎝
的展开式中常数项为_________. 12. 已知直线:l y x m =+被圆22:4210C x y x y +---=截得的弦长等于该圆的半径,则实数m =_____.。