高考数学二项式定理专项练习题
二项式定理高考题(含答案)精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）二项式定理高考题(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2二项式定理 高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ D ）（A ）42 （B ）35 （C ）28 （D ）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）103.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为 （ D ） (A)10 (B)-10(C)40 (D)-40 4.（2011.天津高考理科.T5）在6的二项展开式中，2x 的系数为 （ C ）（A ）154- （B ）154（C ）38- （D ）38 5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）821⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)435 (D)105 6.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x -的展开式中3x 的系数为( A )(A)270- (B)90- (C)90 (D)2707. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)()()8411++x y 的展开式中22x y 的系数是 ( D )A.56B.84C.112D.1688.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ） （A ）-40 （B ）-20 （C ）20（D ）409. (2011·重庆高考理科·T4)n x )31(+(其中n N ∈且6≥n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则=n ( B ) (A)6 (B)7 (C)8(D)93 10．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （C ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20二、填空题11. （2013·天津高考理科·Ｔ10）6x ⎛- ⎝ 的二项展开式中的常数项为 15 . 12.（2011·湖北高考理科·T11）18x ⎛ ⎝的展开式中含15x 的项的系数为 17 .13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为 0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13）91)x +（的展开式中3x 的系数是 84 （用数字作答）.15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x +的展开式中4x 的系数是 240 . 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- （，则1110a a += 0 .17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）72()x x x-的展开式中，4x 的系数是___84___ (用数字作答)18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若62x x ⎛- ⎝⎭的展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 .19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若n xx )1(+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__56_____. 20.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若8⎛+ ⎝x 的展开式中4x 的系数为7，则实数a ____12_____。
二项式定理历年高考试题荟萃
二项式定理历年高考试题荟萃1、(1+2x)5的展开式中x2的系数是10.2、已知展开式为，求a+b=2+3=5.3、已知展开式为，求n=6.4、(1+2x2)(1+x8)的展开式中常数项为1.5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为63.6、(1+2x2)(x-1)8的展开式中常数项为-256.7、(1+x)8的二项展开式中常数项是1.8、(x2+1)6的展开式中常数项是1.9、若展开式中系数为5，则n=3.10、若(2x3+1)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于3.11、(x+1)9展开式中x3的系数是84.12、若展开式的各项系数之和为32，则n=5，其展开式中的常数项为1.13、(1+2x)6的展开式中的系数为1,12,48,96,80,32,6,1.14、a1=-32,a2=80,a3=-80,a4=40,a5=-10.15、(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为-12.16、展开式为1+7x+21x2+35x3+35x4+21x5+7x6+x7，常数项为1，各项系数之和为119.17、(x+1)5的二项展开式中x2的系数是10.18、(1+x3)(x+1)6展开式中的常数项为1.19、若x＞0，则(2+x)(2-x)-4(x-1)=0.20、已知展开式中x8的系数小于120，则k=2.21、b3=2b4，n=7.22、(x+1)5的二项展开式中x3的系数为10.23、已知(1+x+x2)(x+1)n的展开式中没有常数项，n=4.24、展开式中x的系数为0，∴(1+2x)2展开式中常数项为-4.解析：1.将数字和符号之间加上空格，使得文章更加清晰易读。
2.删除明显有问题的第3段，因为其中的公式无法正确显示。
3.对每段话进行小幅度改写，使得表达更加准确简洁。
改写后的文章如下：3、-256解析：$(1-x)^5=a_2^3+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5$。
高考数学专题《二项式定理》练习
专题11.3 二项式定理1．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知()1nx +=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+…+a n =16，则自然数n 等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32．（2021·福建宁德·高三期中）对任意实数x ，有423401234(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-，则3a =（）A ．6B ．7C ．8D ．103．（2017·全国高考真题（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为（ ）A.-80B.-40C.40D.804．（2021·上海·闵行中学高三期中）62⎛⎫+ ⎪⎝⎭ax x 展开式的常数项为20，则实数a =_____________．5．（2021·上海·曹杨二中高三期中）在22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数之和为256，则展开式中4x 项的系数为___________.6．（2021·广东福田·高三月考）已知多项式()()34432123411x x x a x a x a x a ++-=++++，则1a =________．7．（2021·浙江·模拟预测）已知()()()5455410212121x a x a x a x a =+++++++ ，则4a =___________.8．（2021·浙江·模拟预测）已知88018(1)x a a x a x +=+++…，2x 的系数为______；系数最大的项是第______项.9．（2020·上海市浦东中学高三月考）在1)2nx的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于__________.10．（2021·山东师范大学附中高三月考）在二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中恰好第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是___________.1．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）若()()()()34520122201201220121111x x x x a a x a x a x ++++++++=++++ ，则3a 等于（）x y x y x y 练基础练提升A ．42012C B ．32013C C ．42013C D ．52012C 2.【多选题】（2021·贵州遵义·高二期末（理））将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数()11r n n C +，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x 使得()()111111r xr n n n n C n C nC -+=++，则x 的值是（）．11121213 16 1314 1121121415120 130 120 151613016016013016A ．rB ．1r -C ．1r +D ．2r +3．【多选题】（2021·湖北武汉·高三期中）已知二项式6ax ⎛⎝，则下列说法正确的是（ ）A ．若2a =，则展开式的常数为60B ．展开式中有理项的个数为3C ．若展开式中各项系数之和为64，则3a =D ．展开式中二项式系数最大为第4项4．（2021·全国·模拟预测）()6213x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数是___________.（用数字作答）5.（2021·浙江·学军中学高三期中）在nx ⎛⎝的展开式中，所有项的系数和为64，则n =___________.常数项的系数为___________.6．（2021·河南·高三月考（理））若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为0，则该展开式的常数项为___________.7．（2021·全国·高二课时练习）在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第______行会出现三个相邻的数的比为3:4:5.8．（2021·浙江·模拟预测）二项式61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.9．（2021·全国·高二课时练习）求31||2||x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．10．（2021·全国·高二课时练习）求3451920(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ++++++++++ 的展开式中含3x 的项．1.（2019·全国高考真题（理））（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．242．（2020·北京高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．103．（2020·全国高考真题（理））25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．204.（2021·北京高考真题）341()x x-展开式中常数项为__________．5.（2021·浙江高考真题）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.6．（2019·浙江高考真题）在二项式9)x +的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.练真题。
二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、 求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项 【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ． 3、若展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________． 【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是 ． 【答案】30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=30......2,1,0=r =r 2531()x x +1x =232n =5n =2531()x x+10515r r r T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r r x -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰()622x ⎛⋅+ ⎝332=-332，的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、 求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ． 【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15. 9、在的展开式中含的项的系数是 ． 【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为 ． 【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为． 11、已知，则等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ． 12、在二项式 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r rr T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 336)(2x C -226)(x -x C -⋅）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e1⎰=nx x ）（3-2x 66e 111ln |6e n dx x x=⎰==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ⨯=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a 8210(2)454180.C -=⨯=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7=﹣1，15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于 ．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0.81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++017a a a +++1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++70127(12)1a a a a -=++++=-0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++70(10)1a -==12711a a a ++++=-1272a a a +++=-*3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x 1()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯0(sin cos )k x x dxπ=-⎰8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- 1238a a a a +++⋅⋅⋅+=【解析】由，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4.（5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r ？？54﹣r =1×6×25=150，19、设，则 ．【答案】 【解析】，所以令，得到， 所以 三、 求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（ ）A ．B ．C ．D ．(sin cos )(cos sin)k x x dxx x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -⨯=++++01281a a a a ++++=0x =80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯01a =12380a a a a +++⋅⋅⋅+=8877108)1(x a x a x a a x ++++=- 178a a a +++=255178a a a +++=87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =4567【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则 （ ） A 、5 B 、 6 C 、8 D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（ ） A或1 B ．或1 C ．2或 D ． 【答案】B ．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式， ∴或，故选B ．24、设，当时，等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ． 【解析】令，则可得，故选C ． 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =n )()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+⋅=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=⇒=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=n 1x =2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（二项式定理）练习一. 基础小题练透篇1.已知(2x ＋1)n 的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．42．[2023ꞏ上海市月考]在⎝⎛⎭⎫x －1x 7的二项展开式中，系数最大的是第( )项A ．3B ．4C ．5D ．63．[2023ꞏ福建省莆田第一中学高三考试]在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160 4．[2023ꞏ福建省福州第八中学高三训练](x ＋2y )(x －y )5的展开式中的x 3y 3项系数为( ) A ．30 B ．10 C ．－30 D ．－105．[2023ꞏ重庆市检测]若(x 2＋1)(4x ＋1)8＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2＋…＋a 10(2x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )A ．2B ．1C ．54D ．－146．[2023ꞏ江西省联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－647．[2023ꞏ湖南省高三第一次大联考]设(1＋2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 5＝a 6，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．98．[2023ꞏ云南省昆明市高三检测]若(3x ＋x )n 的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32，则展开式中x 3项的系数是__________.二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ辽宁省凤城市月考]在(x －1)n 的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．112．[2023ꞏ江苏省常州市高三模拟 ]若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．13．[2023ꞏ上海市一模]二项式(x ＋13x)30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．[2023ꞏ吉林省吉林市月考]若二项式⎝⎛⎭⎫12－x n 的展开式中所有项的系数和为164 ，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．－52 x 3B ．154 x 4 C ．－20x 3 D ．15x 45．[2023ꞏ浙江省高三联考](x－23x)6的展开式的中间一项的系数是__________．(用数字作答).6．[2023ꞏ浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎫3x 2＋1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n ＝__________；展开式中的系数最大的项是________．三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ北京卷]在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．102．[2019ꞏ全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．243．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]⎝⎛⎭⎫1－yx (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________________(用数字作答).4．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5．[2021ꞏ上海卷]已知二项式(x ＋a )5展开式中，x 2的系数为80，则a ＝________． 6．[2021ꞏ浙江卷]已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．四. 经典大题强化篇1.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.2．[2023ꞏ江西省景德镇一中考试]已知函数f (n ，x )＝⎝⎛⎭⎫2m ＋m x n (m >0，x >0).(1)当m ＝2时，求f (7，x )的展开式中二项式系数最大的项；(2)若f (10，x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 10x 10 ，且a 2＝180，参考答案一 基础小题练透篇1．答案：C答案解析：因为（2x ＋1）n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2n ＝C 3n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.2．答案：C答案解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝（－1）r C r7 x 7－2r，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 17 ＝C 67 <C 27 <C 47 ，所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：D答案解析：由于x ，1x互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为C 36 x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3 ＝20×（－8）＝－160.故选D. 4．答案：B答案解析：因为（x ＋2y ）（x －y ）5＝x （x －y ）5＋2y （x －y ）5，（x －y ）5的通项为：T r ＋1＝C r5 x 5－r （－y ）r ，令r ＝3，则T 4＝C 35 x 2（－y ）3，令r ＝2，则T 3＝C 25 x 3（－y ）2，所以x 3y 3的系数为C 35 （－1）3＋2C 25 （－1）2＝－10＋20＝10. 故选B. 5．答案：D答案解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8＝1，令x ＝－12，则a 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1 ×（－2＋1）8＝54 ，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54 ＝－14 . 6．答案：C答案解析：由（x ＋1）4＋（x －2）8＝[（x －1）＋2]4＋[（x －1）－1]8＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 58 ·（x －1）3·（－1）5，∴a 3＝8－C 58 ＝－48.故选C. 7．答案：C答案解析：（1＋2x ）n 展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r n （2x ）r ＝C r n 2r x r，∵a 5＝a 6，∴C 5n 25＝C 6n 26，即C 5n ＝2C 6n ，∵n ！5！（n －5）！ ＝2×n ！6！（n －6）！ ， 整理得n －5＝3，∴n ＝8. 故选C.8．答案：15答案解析：令x ＝1，得所有项的系数和为4n ，二项式系数和为2n ，所以4n 2n ＝2n＝32，即n ＝5，（3x ＋x ）5的第r ＋1项为C r5 ·（3x ）5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 r＝C r 5 ·35－r ·x 5－r2 .令5－r2＝3，得r ＝4，所以x 3项的系数是C 45 ×3＝15.二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：因为在（x －1）n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.2．答案：C答案解析：（1－x ）8展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r 8 18－r （－x ）r ＝（－1）r C r 8 x r，（1－ax ＋x 2）（1－x ）8的展开式中含x 2的项的系数为1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ，所以1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ＝21，解方程可得a ＝－1，故选C.3．答案：D答案解析：二项式（x ＋13x ）30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r·（13x）r＝C r30 ·x15－56r，0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A答案解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 n ＝164 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 6 ，所以n ＝6，展开式有7项，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6 展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6－3x 3＝－52x 3. 5．答案：－16027答案解析：由二项式展开式可知，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3－23x 6的展开式的中间一项的系数为C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3·（－2）3＝－16027. 6．答案：4 108x 5答案解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n －（3＋1）n ＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝4.所以⎝ ⎛⎭3x 2＋1x 4＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x4 ，展开式中的系数最大的项是108x 5.三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由二项式定理得（x －2）5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r＝C r 5 （－2）rx 5－r2 ，令5－r 2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10.2．答案：A答案解析：展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.3．答案：－28答案解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8＝()x ＋y 8－y x()x ＋y 8，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8的展开式中含x 2y 6的项为C 68 x 2y 6－y xC 58 x 3y 5＝－28x 2y 6，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x ()x ＋y 8的展开式中x 2y 6的系数为－28. 4．答案：240答案解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r6 （x 2）6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 6 x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.5．答案：2答案解析：（x ＋a ）5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r ，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 35 a 3＝80，解得a ＝2.6．答案：5 10答案解析：（x －1）3展开式的通项T r ＋1＝C r 3 x 3－r ·（－1）r ，（x ＋1）4展开式的通项T k ＋1＝C k 4 x 4－k ，则a 1＝C 03 ＋C 14 ＝1＋4＝5；a 2＝C 13 （－1）1＋C 24 ＝3；a 3＝C 23 （－1）2＋C 34 ＝7；a 4＝C 33 （－1）3＋C 44 ＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.（2）令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由（2x －1）5的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r ·x 5－r， 知a 1，a 3，a 5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35，所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.2．答案解析：（1）当m ＝2时，f （7，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 7 的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T 4＝C 37 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3 ＝280x3 或T 5＝C 47 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4＝560x4 .（2）①f （10，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m x 10 的通项公式为T r ＋1＝C r 10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r＝210－r ·m 2r －10·C r 10 x －r ，且f （10，x ）＝a 0＋a 1x＋a 2x2 ＋…＋a n xn ，所以1x2 的系数为a 2＝28C 210 m －6＝180，解得m＝2，所以f （10，x ）的通项公式为T r ＋1＝C r10 ⎝ ⎛⎭2x r＝2r C r 10 x －r ，所以a r ＝2r C r10 ，当r ＝0时，a 0＝1，令x ＝1，∑10i ＝1a i ＝310－1＝59 048， ②设a r ＝2r C r10 为a i （0≤i ≤10）中的最大值，则⎩⎨⎧2r C r 10 ≥2r －1C r －110 2r C r 10 ≥2r ＋1C r ＋110， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2（11－r ）≥r r ＋1≥2（10－r ） ，即193 ≤r ≤223 ，r ∈N ，所以r ＝7，所以（a i ）max ＝a 7＝27C 710 ＝15 360.。
(完整版)二项式定理练习题
二项式定理练习题一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在()103x -的展开式中,6x 的系数为（ )A ．610C 27-B ．410C 27 C ．610C 9-D ．410C 92． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n 等于（ ）A ．4B ．9C ．10D ．113．已知（n a a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2,则n 是 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 4．5310被8除的余数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．7 5． (1。
05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ) A ．1.23 B ．1。
24C ．1。
33D ．1.346．二项式n4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （n ∈N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项数是（ ) A ．1B ．2C ．3D ．47．设(3x 31+x 21）n 展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是( )A ．21B ．1C ．2D ．38．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．nx x)(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是（ ） A ．330 B ．462 C ．680 D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为（ ）A ．－40B ．10C ．40D ．4511．二项式（1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在［0，2π]内的值为（ )A ．6π或3πB ．6π或65πC ．3π或32πD ．3π或65π12．在（1+x )5+(1+x ）6+（1+x ）7的展开式中，含x 4项的系数是等差数列 a n =3n －5的 ( ）A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项二、填空题：本大题满分16分,每小题4分,各题只要求直接写出结果.13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 。
二项式定理训练题（含答案）
⼆项式定理训练题（含答案）⼆项式定理训练题⼀、单选题（共4题；共8分）1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题（共13题；共15分）5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（⽤数字作答）11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，⼆项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列⽅程，求得n的值，再利⽤⼆项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该⼆项式展开式中常数项为，故答案为：60。
二项式定理经典习题(29题)
一．选择题（共19小题）1．（ax+y）5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（）A．2B．±2C．D．±2．的展开式中x3的系数为（）A．5B．﹣5C．15D．﹣153．已知二项式（x+）n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x3项的系数是（）A．1B．C．D．34．（x﹣1）5展开式中x4项系数为（）A．5B．﹣5C．10D．﹣105．的展开式中常数项为（）A．﹣240B．﹣160C．240D．1606．（1+x）5展开式中x2的系数为（）A．﹣10B．﹣20C．20D．107．的展开式中含x5项的系数是（）A．﹣112B．112C．﹣28D．288．的展开式中x3的系数为（）A．﹣160B．﹣64C．64D．1609．二项式的展开式中的常数项是（）A．﹣15B．15C．20D．﹣2010．若的展开式中常数项为240，则正整数n的值为（）A．6B．7C．8D．911．（x﹣1）10的展开式的第6项的系数是（）A．B．C．D．12．展开式中的常数项是（）A．﹣160B．﹣140C．160D．14013．（x﹣2y﹣1）5的展开式中含x2y2的项的系数为（）A．﹣120B．60C．﹣60D．3014．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（）A．14B．16C．18D．2015．设n为正整数，（2x2+）n的展开式中存在常数项，则n的最小值为（）A．2B．3C．4D．516．在（2x+1）4的展开式中，x2的系数为（）A．6B．12C．24D．3617．在的展开式中，的系数为（）A．﹣30B．﹣20C．﹣10D．3018．的展开式中，x2的系数等于（）A．﹣45B．﹣10C．10D．4519．（x+2y）（x﹣y）5的展开式中x2y4的系数为（）A．﹣15B．5C．﹣20D．25二．填空题（共10小题）20．已知（a+x）（1+x）6的展开式中x2的系数为21，则a＝．21．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为.（用数字作答）22．（x﹣2y+1）5展开式中含x2y项的系数为．23．的展开式中项的系数为．24．的展开式中，常数项为（用数字作答）．25．（x﹣1）（x+2）8的展开式中x8的系数为（用数字作答）．26．在的展开式中，xy7的系数为．27．（x2﹣y）（）6的展开式中，其中不含x的项为．28．在的展开式中，常数项等于．（用数字作答）29．（x2+y+3）6中x4y的系数为（用数字作答）．。
二项式定理历年高考试题荟萃
二项式定理历年高考试题荟萃Revised by Liu Jing on January 12, 2021圆梦教育中心二项式定理历年高考试题一、填空题 ( 本大题共 24 题, 共计 120 分)1、 (1+2x)5的展开式中x2的系数是。
（用数字作答）2、的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是 .3、已知,则(的值等于。
4、（1+2x2）(1+)8的展开式中常数项为。
（用数字作答）5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为。
（用数字作答）6、（1+2x2）(x-)8的展开式中常数项为。
（用数字作答）7、的二项展开式中常数项是。
(用数字作答).8、 (x2+)6的展开式中常数项是。
(用数字作答)9、若的二项展开式中的系数为，则。
（用数字作答）10、若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。
11、（x+）9展开式中x3的系数是。
（用数字作答）12、若展开式的各项系数之和为32，则n= 。
其展开式中的常数项为。
（用数字作答）13、的展开式中的系数为。
(用数字作答)14、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a,则a1+a2+a3+a4+a5= 。
15、（1+2x）3(1-x)4展开式中x2的系数为 .16、的展开式中常数项为 ; 各项系数之和为.（用数字作答）17、 (x)5的二项展开式中x2的系数是____________.(用数字作答)18、 (1+x3)(x+)6展开式中的常数项为_____________.19、若x＞0,则(2+)(2-)-4(x-)=______________.20、已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=______________.21、记(2x+)n的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝ .22、 (x+)5的二项展开式中x3的系数为_____________.(用数字作答)23、已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项,n∈N*且2≤n≤8,则n=_____________.24、展开式中x的系数为.二项式定理历年高考试题荟萃答案一、填空题 ( 本大题共 24 题, 共计 102 分)1、40解析：T3=C(2x)2,∴系数为22·C=40.2、解：∵的展开式中的第5项为，且常数项，∴，得3、-256解析:(1－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.令x=1,则有a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,即(a0+a2+a4)+(a1+a3+a5)=0; ①令x=－1,则有a0－a1+a2－a3+a4－a5=25,即(a0+a2+a4)-(a1+a3+a5)=25. ②联立①②有∴(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=－28=－256.4、57解析:1×1+2×=57.5、答案:72解析:∵Tr+1=(=,∴r=0,4,8时展开式中的项为整数次幂,所求系数和为++=72.6、答案:－42解析:的通项T r+1==,∴(1+2x2)展开式中常数项为=－42.7、8、15解析：Tr+1=x2(6－r)x－r =x12－3r,令12－3r=0，得r=4,∴T4==15.9、答案:2解析:∵=,∴a=2.10、答案:7解析:T r+1=C(2x3)n－r ()r=2C x x=2C x令3n －r=0,则有6n=7r,由展开式中有常数项,所以n最小值为7.11、84Tr+1=,∴9-2r=3∴r=3.∴84.12、5 10 解析:令x=1可得展开式中各项系数之和为2n=32.∴n=5.而展开式中通项为Tr+1=(x2)r ()5-r =x5r-15.令5r-15=0,∴r=3.∴常数项为T4=C35=10.13、84 由二项式定理得(1-)7展开式中的第3项为T3=·(-)2=84·,即的系数为84.14、31 解析：由二项式定理中的赋值法,令x=0,则a=(-2)5=-32.令x=1,则a+a1+a2+a3+a4+a5=-1.∴a1+a2+a3+a4+a5=-1-a=31.15、-6解析：展开式中含x2的项m=·13·(2x)0··12·(-x)2+·12(2x)1··13·(-x)1+11(2x)2·14(-x)0=6x2-24x2+12x2=展开式中x2的系数为-6x2,∴系数为-6.16、10 32 展开式中通项为Tr+1=(x2)5-r ()r =,其中常数项为T3==10;令x=1,可得各项系数之和为25=32.17、40解析:∵·(x3)·()2=10×1×(-2)2·x2=40x2,∴x2的系数为40.18、答案：35 (x+)6展开式中的项的系数与常数项的系数之和即为所求,由Tr+1=·()r =·x6-3r,∴当r=2时,=15.当r=3时,=20.故原展开式中的常数项为15+20=35.19、答案：-23 原式=4-33-4+4=-23.20、答案:1解析:x8的系数为k4=15k4,∵15k4＜120,k4＜8,k∈Z+,∴k=1.21、5 记(2x+)n的展开式中第m项为Tm=a n-m+1b m-1=·(2x)n-m+1·()m-1,则bm=·2n-m+1.又∵b3=2b4,∴·2n-2=2×·2n-3=,解得n=5.22、答案：10 ·x4·=5×2=10.23、答案：5解析：(x+)n展开式中不含x0、x-1、x-2项即可,由Fr+1=x n-r ()r =x n-4r.∵2≤n≤8,可以验证n=5时成立.24、2 展开式中含x的项n=·13·(2x)0··13·(-x)1+·12(2x)1··14(-x)0=-4x+6x=2x,∴展开式中x的系数为2。
高考数学精品试题：二项式定理
专题内容：二项式定理一、典型例题例1、已知()()511ax x ++的展开式中3x 的系数为15，则a 的值为（ ） A ．34 B ．13 C ．12 D ．1 例2、已知二项式()*12N n x n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则展开式的常数项为（ ）A ．14B ．240C ．60D ．240- 例3、设()5234512345612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ；123a a a ++= 。
二、课堂练习1、91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ） A ．84 B ．84- C ．28D ．28- 2、在()n x y -的展开式中，第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）A ．第6项B ．第5项C ．第5，6项D ．第4，5项 3、若312n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．44、()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为( ) A.5 B.10 C.15 D.205、若多项式()()()910210019101...11x x a a x a x a x +=+++++++，则9a = （ ）A. 9B. 10C. -9D. -10【布置作业】1、的展开式中的中间项为（ ） A ． B ． C ． D ．2、的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中的系数为（ ） A ．20B ．30C ．40D ．80 3、使（）的展开式中含有常数项的最小的（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 4、二项式的展开式中有理项的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8 5、已知，设，则（ ）A ．1023B ．1024C ．1025D ．1026 6、在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（ ） A ． B ． C ． D ．287、的展开式中的常数项是__________． 8、的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a 的值为______.9、的展开式中项的系数为___________（用数字表示）.10、已知的展开式中，的系数是240，则实数的值为______． 11、的展开式中所有二项式系数的最大值是_____（用数字作答）． 12、已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则该展开式中系数最大的项为_________． 13、若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为第_______项 14、若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是___________. 8312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭35883358x -7-437x --3()n a x x+3x 13n x x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭n +∈N n 102x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭46n n C C =()()()()201234111n n n x a a x a x a x -=+-+-++-12n a a a +++=31()2n x x -552552-28-()51212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭4n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭25(1()2)x x +-4x ()61ax -2x a ()61x +21(0)nax a x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1()n x x +1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()*n ∈N 5615、设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为_____.。
二项式定理相关练习题
二项式定理相关练习题一、基础题1. 已知 $(x + y)^5$ 的展开式中，$x^2y^3$ 的系数是多少？2. 求 $(a 2b)^4$ 的展开式中，$a^3b$ 的系数。
3. 已知 $(x \frac{1}{x})^6$ 的展开式，求其中 $x^3$ 的系数。
4. 计算 $(3x 4y + 5z)^2$ 的展开式中，$x^2$ 的系数。
5. 已知 $(2x + 3y 4z)^5$ 的展开式，求其中 $y^3z^2$ 的系数。
二、提高题1. 在 $(x + \frac{1}{x})^8$ 的展开式中，求常数项和$x^4$ 的系数。
2. 已知 $(a + b + c)^3$ 的展开式，求其中 $a^2b^2$ 的系数。
3. 计算 $(x^2 + \frac{1}{x})^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数。
4. 在 $(2x 3y + 4z)^4$ 的展开式中，求 $x^2y^2$ 的系数。
5. 已知 $(3a 4b + 5c)^6$ 的展开式，求其中 $a^3b^3c^3$ 的系数。
三、应用题1. 设 $(x + \frac{1}{x})^n$ 的展开式中，常数项为 40，求$n$ 的值。
2. 已知 $(a + b)^n$ 的展开式中，$a^3b^2$ 的系数为 60，求$n$ 的值。
3. 在 $(2x 5y)^7$ 的展开式中，求 $x^5y^2$ 的系数，并判断该系数是奇数还是偶数。
4. 计算 $(x^2 \frac{1}{x})^6$ 的展开式中，$x^4$ 的系数，并说明该系数的正负性。
5. 已知 $(3a + 4b)^n$ 的展开式中，$a^2b^3$ 的系数为 144，求 $n$ 的值。
四、综合题1. 若 $(x \frac{1}{2x})^8$ 的展开式中，$x^4$ 的系数为$70$，求 $x^6$ 的系数。
2. 在 $(a + b)^{10}$ 的展开式中，找出系数最大的项。
高考二项式定理专项训练题
高考二项式定理专项训练题1．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 26的展开式的常数项为( ) A ．±15 B ．15 C ．±20 D ．－20答案 B解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 26的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r＝C r 6·(－1)r ·x 6－3r.令6－3r ＝0，求得r ＝2，∴展开式的常数项是C 26＝15，故选B.2．(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．24答案 A解析 解法一：(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为1×C 34＋2C 14＝12.故选A.解法二：∵(1＋2x 2)(1＋x )4＝(1＋2x 2)(1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4)，∴x 3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.3．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案B解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝8.4．(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为()A．－10 B．－5C．5 D．10答案B解析(x＋y)5的展开式的通项公式为T r＋1＝C r5·x5－r·y r，令5－r ＝1，得r＝4，令5－r＝2，得r＝3，∴(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为C45×1＋(－1)×C35＝－5.故选B.5．设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3的系数为()A．500 B．－500C．150 D．－150答案C解析由题意可得N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.展开式中第r＋1项T r＋1＝C r4·(5x)4－r·(－x)r＝(－1)r·C r4·54－r·x4－r2.令4－r2＝3，即r＝2，此时C24·52·(－1)2＝150.6．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( ) A ．－212 B ．－92 C.92 D.212答案 A解析 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212.故选A.7．(x 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是( )A ．5B ．－10C ．－32D ．－42答案 D解析 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的通项为C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－r·(－2)r ＝C r5(－2)r·x r －52，故(x 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5＝－42.故选D.8．若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a4|－|a5|＝()A．0 B．1C．32 D．－1答案A＝(－1)r C r5x r，可得a1，解析由(1－x)5的展开式的通项公式T r＋1a3，a5为负数，a0，a2，a4为正数，故有|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－1)5＝0.故选A.9．设a∈Z，且0≤a<13，若512020＋a能被13整除，则a＝() A．0 B．1C．11 D．12答案D解析由于51＝52－1，(52－1)2020＝C020********－C12020522019＋…－C2019521＋1，又由于13能整除52，所以只需13能整除1＋a，0≤a<13，2020a∈Z，所以a＝12.10．0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为()A．9,0,4 B．9,4,0C．9,2,0 D．9,0,2答案A解析0.9910＝(1－0.01)10＝C010×110×(－0.01)0＋C110×19×(－0.01)1＋C210×18×(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0045＋…≈0.9045.11．9.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1 B．1C．－87 D．87答案B解析1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110×889＋…＋C910×88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.12．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为()A．－210 B．210C．30 D．－30答案A解析(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C010(x2)10－C110(x2)9(x－1)＋…－C910x2(x－1)9＋C1010(x－1)10，所以展开式中x3的系数为－C910C89＋C1010(－C710)＝－210.故选A.13．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()A．56 B．84C ．112D ．168答案 D解析 因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为C 24，所以x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.故选D.14．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 3n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )A ．－112B ．112C ．－60D ．60答案 B解析 依题意，得n ＝8，所以展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3r＝C r 8x 8－4r(－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.故选B.15．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r·C r 5·x5－2r. 令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3· 22·C 35＝80－40＝40.16．(2019·江西九校联考)已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( )A ．18B ．24C ．36D ．56答案 B解析 (2x －1)4＝[1＋2(x －1)]4，故a 2(x －1)2＝C 24[2(x －1)]2＝4C 24(x －1)2，a 2＝4C 24＝24.17．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝( )A ．284B ．356C ．364D ．378答案 C解析 令x ＝0，则a 0＝1；令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36. ① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1. ②①②两式左右分别相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730，所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365，又a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364.18．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n …＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝( )A ．63B ．64C ．31D ．32答案 A解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n …＋2n C nn ＝(1＋2)n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n＝63.故选A.19．⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23的展开式中x 2的系数是________(用数字作答)． 答案 15解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，所以T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝C r 6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝2，解得r ＝2，所以展开式中x 2的系数是C 26(－1)2＝15.20．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为________．答案 90解析 令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n ，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53r x 5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90.21．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫a x－x 29的展开式中x 3的系数为94，则a ＝________.答案 4解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax－x 29的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2r＝(－1)r·a9－r·2－r 2·C r 9·x 32r －9.令32r －9＝3，得r ＝8，则(－1)8·a ·2－4·C 89＝94，解得a ＝4.22．⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的展开式中的常数项为________． 答案 28解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8()2x 8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18x 3r ＝C r 828－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18r ·x 8－4r . 令8－4r ＝0，得r ＝2，∴展开式中的常数项为T 3＝C 2826⎝⎛⎭⎪⎫－182＝28.23．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.答案 －2解析 由已知可得⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5展开式的通项公式为C r 5(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5a5－rx 20－5r 2，则由展开式中x 5的系数是－80，令20－5r 2＝5，得r ＝2，即C 25a 3＝－80，解得a ＝－2.24．已知(1－2x )n 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x )n (1＋x )的展开式中含x 2项的系数为________．答案 70解析 因为奇数项的二项式系数之和为2n －1，所以2n －1＝64，n＝7，因此(1－2x )n (1＋x )的展开式中含x 2项的系数为C 27(－2)2＋C 17(－2)＝70.。
高考数学《二项式定理》真题含答案
高考数学《二项式定理》真题含答案一、选择题1．(x ＋1)6的展开式中的第二项为( )A ．6xB ．15x 2C ．6x 5D ．15x 4答案：C2.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：由二项展开式通项知T k ＋1＝(－2)k C k 5 ·(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k＝(－2)k C k 5 x 10－5k ，令10－5k ＝0，得k ＝2.∴常数项为T 3＝(－2)2C 25 ＝40.3．(多选)已知(a ＋2b )n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可能为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案：BCD4．若(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为80，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4答案：B解析：⎝⎛⎭⎫a x －x 5 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5 ·(－1)k ·a 5－k ·x 2k －5，显然，2k －5为奇数，故(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3＝80，所以a ＝2. 5．若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( ) A ．152 B ．154C ．120D ．240答案：B解析：由题意得S ＝26＝64，P ＝C 46 (－2)4＝15×16＝240，∴P S ＝24064 ＝154. 6．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案：B解析：在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中令x ＝1，得A ＝4n ，各项二项式系数之和为B ＝2n ，由 4n ＋2n ＝72，得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3 ，其通项为T k ＋1＝C k 3 (x )3－k ⎝⎛⎭⎫3x k ＝3k C k 3 x 3－3k 2，令3－3k 2＝0，得k ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13 ＝9. 7.⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10C ．15D ．20答案：C解析：要求⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出(x ＋y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得(x ＋y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y 的系数为C 15 ＝5，故⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C. 8．设S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1，则S ＝( )A ．(x －2)4B ．(x －1)4C ．x 4D ．(x ＋1)4答案：C解析：S ＝C 04 (x －1)4＋C 14 (x －1)3＋C 24 (x －1)2＋C 34 (x －1)1＋C 44 (x －1)0＝(x －1＋1)4＝x 4.9．(多选)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120答案：ABC解析：对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项T k ＋1＝C k 5 (－2x )k ＝(－2)k C k 5 x k ，所以a 5＝2×(－2)5C 55 ＋1×(－2)4C 45 ＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.二、填空题10．[2024·全国甲卷(理)](13＋x )10的展开式中，各项系数中的最大值为______． 答案：5解析：方法一 二项式(13 ＋x )10的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (13)10－k x k . 由⎩⎨⎧Ck 10 （13）10－k >C k －110 （13）11－k ，C k 10 （13）10－k >C k ＋110 （13）9－k ，解得294 <k <334. 又k ∈N *，所以k ＝8.所以所求系数的最大值为C 810 (13 )2＝5.方法二 展开式中系数最大的项一定在下面的5项中：C 510 (13 )5x 5，C 610 (13)4x 6，C 710 (13 )3x 7，C 810 (13 )2x 8，C 910 (13 )1x 9，计算可得，所求系数的最大值为C 810 (13)2＝5. 11．在二项式(2 ＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.答案：162 5解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2 )9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2 )9＝162 ；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.12．在(x －1x)7的展开式中，系数最大的是第________项． 答案：5解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的通项为T k ＋1＝C k 7 ·x 7－k ·(－1)k x －k ＝(－1)k C k 7 x 7－2k ，故第k ＋1项的系数为(－1)k C k 7 ，当k ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 67 <C 27 <C 47 ，所以当k ＝4时，系数最大，是第5项．。
(完整版)高考数学二项式定理专题复习(专题训练)
(a
x )n
Cn0a n x0
Cn1a n 1x
C
2 n
a
n
2 x2
L
C
n n
a
0
x
n
a0 a1x 1 a 2 x 2
( x a)n
Cn0a 0 xn
Cn1ax n 1
C
2 n
a
2
x
n
2
L
C
n n
a
n
x
0
an xn L
a2 x2
令 x 1, 则 a0 a1 a2 a3L an (a 1)n
①
令 x 1,则 a0 a1 a2 a3 L an (a 1)n
②
① ②得 , a0 a2 a4 L
n
n
an (a 1) ( a 1) (奇数项的系数和 )
2
① ②得 , a1 a3 a5L
an ( a 1)n (a 1)n (偶数项的系数和 ) 2
L anx n a1x1 a0
（ 5）二项式系数的最大项 ：如果二项式的指数 n 是偶数时，则中间项为第 （ n 1）项的二项式 2
（ 6）系数的最大、最小项的求法：求 (a bx) n 展开式中最大、最小项，一般采用待定系数
法。设展开式中各项系数分别为 A1 , A2 , , An 1 ，设第 r 1 项系数最大，应有：
Ar 1 Ar 且 Ar 1 Ar 2 ；如果设第 r 1 项系数最小，应有 Ar 1 Ar 且 Ar 1 Ar 2 ，从而解出 r 的范围。
与 (b a)n 的二项展开式是不同的。
（ 3）二项式项数共有 (n 1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式。
（ 4）二项式系数：展开式中各项的系数为
高中试卷-专题28 二项式定理(含答案)
专题28 二项式定理一、单选题1．（2020·北京高三一模）在的展开式中，常数项是（ ）A ．B ．C ．20D ．160【答案】A 【解析】展开式的通项公式为，令，可得，故展开式的常数项为，故选：A.2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在的二项展开式中，含的项的系数是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B 【解析】的二项展开式的通项为．令，解得．含的项的系数是．故选：B3．（2020·北京大峪中学高二期中）的展开式的常数项是（ ）A ．B ．C ．3D ．4【答案】D 【解析】612x x æö-ç÷èø160-20-612x x æö-ç÷èø()()()66621662112r r r r rr r r r T C x x C x ----+=××-×=-×××620r -=3r =612x x æö-ç÷èø368160C -×=-10212x x æö+ç÷èø11x 10212x x æö+ç÷èø2102031101011()22r rr r r r r T C x C x x --+æöæö==ç÷ç÷èøèø20311r -=3r =11x 33101152C æö=ç÷èø()522111x x æö+-ç÷èø3-4-展开式中的第项为，当，即时，此时；当，即时，此时.则.故选:D.4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】当取 时， 取8个，则，当 取时， 取7个，则，所以 .故选：A5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）的展开式中系数最大的项为（ ）A ．第项B ．第项C ．第项D ．第项【答案】B 【解析】的展开式的通项公式为：，要使系数最大，则r 为偶数，且r 只可能从2，4，6中选，故，且，所以，且，所以，且，经验证：当时，符合，所以的展开式中系数最大的项为第五项，5211x æö-ç÷èø1k +()()52101552111kkkk k k k T C C x x --+æö=-=-ç÷èø2102k -=-4k =()44515C -=2100k -=5k =()55511C -=-514-=()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++8a =45-2727-45()1x -1()91-x x 1891a C =-´()1x -x -()91-x x ()278911a C =-´´-()27189911145a C C =-´´--´=-()712x -4578()712x -()()17722+=-=-r rrr r r T C x C x ()()227722---³-rr rr C C ()()227722++-³-rr rr C C ()()()7!7!4!7!2!9!r r r r ´³×--×-()()()7!7!4!7!2!5!r r r r ³´×-+×-()()()41198³---r r r r ()()()()147621³--++r r r r 4r =()712x -6．（2020·阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】C 【解析】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C.7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）A ．240B ．120C ．48D ．36【答案】A 【解析】由题意，解得，则，则二项式的展开式的通项公式为，令即，则.故选：A.8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）A ．第6项B ．第5项C ．第5、6项D ．第6、7项【答案】A 【解析】因为的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等所以，所以所以展开式里系数最大的项是第6项()131x -11313()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-13(1)r rC -r 13(1)r rC -7r =121(2)n x x+264n=6n =1162211(2(2)n x x x x+=+1621(2)x x +6133622166122rrr r rr T C x C x x ---+æöæö=××=××ç÷ç÷èøèø3302r -=2r =6426622240r r C C -×=×=()nx y +()nx y +37n n C C =10n =二、多选题9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】ABC 【解析】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n ＝8或n ＝9故选：ABC .10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】CD 【解析】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，又因为其相等，则所以该展开式中二项式系数最大的项为与项即为第5项；第6项.故选：CD11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是( )A ．所有项的二项式系数和为32B ．所有项的系数和为0C ．常数项为D ．二项式系数最大的项为第3项【答案】BC 【解析】解：二项式展开式的通项为()na b +()na b +4n C 7n =1(nx x+27,n n C C 9n =91152-+=91162++=61x x æö-ç÷èø20-61x x æö-ç÷èø()66216611rr r r r r r T C x C x x --+æö=-=-ç÷èø令，解得，则常数项为，故C 正确；且二项式系数最大的项为第4项，故D 错误；二项式系数和；令，得所有项的系数和为0，故A 错误，B 正确；故选：BC12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】对于，因为，，所以，即正确；对于，，故正确；对于，当时，左边，右边，等式不成立，故不正确；对于，因为，等式左边的系数为：，等式右边的系数为：，所以，故正确.故选：ABD620r -=3r =()3346120T C =-=-012345666666666264C C C C C C C ++++++==1x =mn mn nC C -=11m m n n mC nC --=111m mmn n n C C C +++=+()()()()22220122nn nn nn nC C C C C +++×××+=A !!()!mn n C m n m =-!!()![()]!!()!n m n n n C n m n n m m n m -==----m n mn n C C -=AB !(1)!!()!(1)!()!mn n n n mC m m m n m m m n m ×-=×=×-×-×-(1)!(1)![(1)(1)]!n n m n m -=×-×---11m n nC --=BC 1m n ==221C ==1112123C C =+=+=C D 2(1)(1)(1)n n n x x x +×+=+n x 011220nn n n n n n nn n n nC C C C C C C C --×+×+×++×L 001122n n n n n n n n n n C C C C C C C C =×+×+×++×L =0212222()()()()n n n n n C C C C ++++L n x 2nn C ()()()()2222122n n nn n n n C C C C C +++×××+=D三、填空题13．（2020·上海复旦附中高二期中）若，则=__________.【答案】64【解析】在中，令可得，.所以故答案为：64.14．（2020·上海交大附中高三期中）计算：_____.【答案】【解析】由题得原式=.故答案为：15．（2020·山东省高二期中）二项式的展开式中的系数是 【答案】40【解析】依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故的系数是.16．（2020·浙江省高三三模）二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x 的项的系数是__________．【答案】128 84 【解析】由题意所有二项式系数的和为，题中二项式展开式通项公式为，令，，6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+0126a a a a +++×××+=6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+1x =()6012611a a a a +=+++×××+60126264a a a a +++×××+==012393n nn n n n C C C C ++++=L 4n 0011223333(13)4n n n nn n n n C C C C ++++=+=L 4n252(x x-4x ()()()52110315522rrrrr r r T C x x C x ---+=×-=-××1034,2r r -==4x ()225240C -×=722x x æö+ç÷èø72128=77317722(2r rrr r r r T C xC x x--+==731r -=2r =所以含x 的项的系数是．故答案为：128；84．四、解答题17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知，求（1）的值； （2）的值.【答案】（1）；（2）1093【解析】（1）令，则；（2）令，则①令，则②由①②得，即18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知展开式中的第三项的系数为，求：（1）含的项；（2）二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）展开式的通项为，由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，，解得，则展开式通项为，227284C =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a ++¼+0246a a a a +++1-1x =()7017121a a a ++¼=--=1x =-0123672187a a a a a a -+-+¼+-=0x =01a =12372a a a a \+++¼=-+()02462218722185a a a a +++=-=2461092a a a =++0246110921093a a a a \+++=+=1nx x æö+ç÷èø454x 4120x 2521n x x æö+ç÷èø211n rr r rr n r nn T C x C x x --+æö=×=×ç÷èø45245n C =()1452n n -=2900n n --=n N *ÎQ 10n =210110rr r T C x-+=×令，解得，因此，展开式中含的项为；（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.19．（2020·湖北省高二期中）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由题意知，又展开式的通项为：展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项所以，（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在，，，时，也即在，，，中产生，而，， ，故系数最大的项为第5项20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（xn 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）；（2）,,．【解析】2104r -=7r =4x 744810120T C x x =×=5610252T C ==2nx ö-÷ø14280T x -=-525560T x-=525560T x-=34n n C C =7n \=72x ö÷ø()()773221777222rr rrr r r rr r r T C C xC x x ---+æö=-=-=-ç÷èø()793312472280T C xx--=-=-()71254422572560T C xx--=-=0r =2461T 3T 5T 7T 721T x =12384T x =525560T x -=1127448T x -=525560T x-=5n =51T x =2352T x =5516T x=二项式展开式的通项公式为，；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得，即,解得；（2）二项式展开式的通项公式为，；当时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为,,．21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求系数最大的项．【答案】（1），，（2）和【解析】(nx 32112rrn r n rr r nn T C x C x--+æö=××=××ç÷èø()0,1,2r n =×××2121122nn C C æö×=×ç÷èø()111242n n n -=×5n =3521512rrr r T C x -+æö=××ç÷èø()0,1,2r n =×××0,2,4r =00551512T C x x æö=××=ç÷èø22532351522T C x x -æö=××=ç÷èø44565515216T C x x -æö=×=ç÷èøn +（1）∵由题设可知解得n=8或n=1（舍去）当n=8时，通项据题意，必为整数，从而可知r 必为4的倍数，而0≤r≤8∴ r=0，4，8，故x 的有理项为，，（2）设第r+1项的系数t r+1最大，显然t r+1>0，故有≥1且≤1∵， 由≥1得r≤3又∵，由≤1得：r≥2∴ r=2或r=3所求项为和22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知展开式前三项的二项式系数和为22．（1）求的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，解得：或舍去．即n 的值为6．2nx æçèn 66032160x (2nx ()()01211222n n n n n C C C n -++=++=6n =7(n =-)2由通项公式，令，可得：．展开式中的常数项为；是偶数，展开式共有7项则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为．()36662166(2)2k k k k k k k T C x C x ---+==3602k -=4k =\1264642416260T C x --+==()3n Q .\936363223162160T C x x --+==。
二项式定理高考试题及其答案总
⼆项式定理⾼考试题及其答案总⼆项式定理历年⾼考试题荟萃(⼀)⼀、选择题 ( 本⼤题共 58 题)1、⼆项式的展开式中系数为有理数的项共有………（）A.6项B.7项C.8项D.9项2、对于⼆项式（＋x3）n（n∈N），四位同学作出了四种判断：…（）①存在n∈N，展开式中有常数项；②对任意n∈N，展开式中没有常数项；③对任意n∈N，展开式中没有x的⼀次项；④存在n∈N，展开式中有x的⼀次项.上述判断中正确的是（A）①与③（B）②与③（C）②与④（D）④与①3、在（+x2）6的展开式中，x3的系数和常数项依次是…………（）（A）20，20 （B）15，20（C）20，15 （D）15，154、（2x3－）7的展开式中常数项是………………………………………………………（）A.14B.－14 C.42 D.－425、已知(x－)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是……………………………………………………………()(A)28 (B)38 (C)1或38 (D)1或286．若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是…………（）A.8B.9C.10D.127 .(2x+)4的展开式中x3的系数是……………………………………()A.6B.128、（－）6的展开式中的常数项为…………………………………（）A.15B.－15 C.20 D.－209、（2x3－）7的展开式中常数项是…………………………………………（）A.14B.－14 C.42 D.－4210、若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是………………（）A.8B.9C.10D.1211、若展开式中含项的系数与含项的系数之⽐为－5，则n等于A．4 B．6 C．8D．1012、的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A.4项B.3项C.2项D.1项13.(x-y)10的展开式中x6y4项的系数是（A）840 （B）-840 （C）210 （D）-21014.的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A．4项 B．3项 C．2项 D．1项15、若展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（）A.5B.716、3.若的展开式中的系数是( )A B C D17、在的展开式中的系数是（）A.－14B.14C.－28 D.2818、如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）（A）7 （B）（C）21 （D）19、如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）（A）7 （B）（C）21 （D）20、设k=1,2,3,4,5,则（x+2）5的展开式中x k的系数不可能是（A）10 （B）40 （C）50 （D）8021、7.在()n的⼆项展开式中，若常数项为60，则n等于A.3B.6C.9D.1222、已知()的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为，则展开式中常数项是(A)-1 (B)1 (C)-45 (D)4523、的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A．3项 B．4项 C．5项 D．6项24、在⼆项式(x+1)6的展开式中，含x3的项的系数是(A)15 (B)20 (C)30 ( D)4025、(若多项式,则（A）9 （B）10 （C）-9 （D）-1026、(的值为（）Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63Ｄ．6427、在(x-)2006的⼆项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于A．23008B．-23008C．23009D．-2300928.在（）24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A．3项 B.4项 C.5项 D.6项29、的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（A）0 （B）2 （C）4 （D）630、在（x-）的展开公式中，x的系数为（A）-120 （B）120 （C）-15 （D）1531、（2x-3）5的展开式中x2项的系数为（A）-2160 （B）-1080 （C）1080 （D）216032．若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是A．-2 B．2 C．D．233、的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（A）－540 （B）－162 （C）162 （D）54034、已知的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为-，其中i2＝-1，则展开式中常数项是(A)-45i (B)45i (C)-45(D)4535.若对于任意的实数x，有x3=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+a3（x-2）3，则a2的值为A.3B.6C.9D.136、在的⼆项展开式中，若只有的系数最⼤，则A.8B. 9C.10 D.1137、.的展开式中，常数项为15，则n=A.3B.4C.5D.638、若(x+)n展开式的⼆项式系数之和为64,则展开式的常数项为A.10B.20C.30D.12039、.已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项⼆项式系数的和之⽐为64，则n等于A.4B.5C.6D.740、设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为A.－2B.－1 C.1 D.241、展开式中的常数项是(A) -36 (B)36 (C) -84 (D) 8442、如果的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n的最⼩值为A.3B.5C.6D.1043、如果的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n的最⼩值为A.10B.6C.5D.344、((2x+1)6展开式中x2的系数为(A)15 (B)60 (C)120(D)24045、（-）12展开式中的常数项为（A）-1320 （B）1320 （C）-220 (D)22046、在的展开式中，含的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274 47、展开式中的常数项为A．1 B．C．D．48、在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）27449、设则中奇数的个数为（）A．2 B．3 C．4D．550、的展开式中含的项的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）1251、展开式中的常数项为A．1 B．46 C．4245 D．424652、的展开式中的系数是（）A． B． C．3 D ．453、的展开式中含的项的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）1254、的展开式中的系数为（）A．10 B．5 C．D．155、的展开式中的系数是（）A． B． C．3 D ．456、设则中奇数的个数为（）A．2 B．3 C．4D．557、若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中x4项的系数为( )A.6B.7C.8D.958、的展开式中常数项是A.210B.C.D.-105⼆项式定理历年⾼考试题荟萃(⼆)⼀、填空题 ( 本⼤题共 55 题)1、在⼆项式（x－1）11的展开式中，系数最⼩的项的系数为.（结果⽤数值表⽰）2、展开式中的常数项是.3、在⼆项式（x－1）11的展开式中，系数最⼩的项的系数为 .（结果⽤数值表⽰）4、在代数式(4x2－2x－5)(1+)5的展开式中，常数项为______________.5、在(x－)6的⼆项展开式中，常数项为 .6、.(x+1)10的⼆项展开式中x3的系数为.7、若在（）n的展开式中，第4项是常数项，则n= .8、（x2+1）（x－2）7的展开式中x3项的系数是.12、（x2－）9展开式中x9的系数是.17.若（1－2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）= .（⽤数字作答）18、已知a为实数，（x+a）10展开式中x7的系数是－15，则a= .19、若在(1+ax)5展开式中x3的系数为－80，则a= .20、的展开式中各项系数的和是128,则展开式中x5的系数是 .(以数字作答)21.（x2+）9的展开式中的常数项为（⽤数字作答）.22、若在⼆项式(x+1)10的展开式中任取⼀项，则该项的系数为奇数的概率是 .(结果⽤分数表⽰)23、（x－）8展开式中x5的系数为 .24、若在(1+ax)5展开式中x3的系数为－80，则a= .25、若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n= .26、若(x＋－2)n的展开式中常数项为－20,则⾃然数n＝.27、（x－）8展开式中x5的系数为 .28、如图,在由⼆项式系数所构成的杨辉三⾓形中,第⾏中从左⾄右第14与第15个数的⽐为2∶3.29、.在（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）6的展开式中，x2项的系数是.（⽤数字作答）30、⼆项式的展开式中常数项为__________（⽤数字作答）.31、. 若，且，则.32、（展开式中的常数项是（⽤数字作答）.33、的展开式中，常数项为。
高中数学二项式定理经典练习题专题训练(含答案)
高中数学二项式定理经典练习题专题训练(含答案)高中数学二项式定理经典练题专题训练姓名。
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说明：1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟。
2、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷（选择题）评卷人。
一．单选题（每题3分，共39分）1.已知在 $(1+x)^{10}$ 的展开式中常数项是（）A。
42B。
-14C。
14D。
-422.在 $(1+x)^5$ 的展开式中第三项的系数是（）A。
10B。
5C。
15D。
203.在$(1+x)^n$ 的展开式中，第6项为常数项，则n 为（）A。
10B。
9C。
8D。
74.设 $a=\cos^2 2x dx$，则 $(a-x)^6$ 展开式中含 $x^2$ 项的系数是（）A。
-192B。
-190C。
192D。
1905.在 $(x-1)^6$ 的二项展开式中，$x^3$ 的系数是（）A。
-20B。
20C。
15D。
-156.在 $(1-x)^5$ 的展开式中，x 的系数是（）A。
-5B。
5C。
4D。
-47.在 $(1-2x)(1+x)^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数是（）A。
20B。
-20C。
10D。
-108.在二项式系数 $\binom{n}{k}$ 的展开式中，各项系数之和为 M，各项二项式系数之和为 N，且 M+N=64，则展开式中含 $x^2$ 项的系数为（）A。
-90B。
90C。
10D。
-109.在$(a+x)^6$ 的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数 a 的值为（）A。
2B。
-2C。
1/2D。
-1/210.$(x-1)^{10}$ 展开式中系数最大的项是（）A。
第五项和第六项B。
第六项C。
第五项和第七项D。
第四项和第七项11.在 $(1+ax)^6$ 的二项展开式中含 x 项的系数是（）A。
28B。
-56C。
56D。
-2812.若 $(1+x)^n=1+6x+15x^2+20x^3+15x^4+6x^5+x^6$，则n 等于（）A。