插值与多项式逼近的数组计算方法实验讲解

插值与多项式逼近的数组计算方法实验

郑发进 2012042020022

【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如）

cos，x e，它们

（x

（x

sin，）

是用多项式逼近来计算的。虽然目前最先进的逼近方法是有理函数（即多项式的商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。在已知数据具有高精度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的方分和系数表。

关键字泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近

一、实验目的

1.通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编程技巧。

2.比较各插值方法的优劣并掌握。

二、实验原理

1.泰勒级数

在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

具有任意阶导数，则幂级数

如果在点x=x

处的泰勒级数。

称为在点x

=0，得到的级数

在泰勒公式中，取x

称为麦克劳林级数。函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开

是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。

2.拉格朗日插值法

如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。

在平面上有(x 1,y 1)(x 2,y 2)...(x n ,y n )共n 个点，现作一条函数f （x ）使其图像经过这n 个点。

作n 个多项式p i (x),i=1,2,3...,n,使得

最后可得

3.牛顿插值法

插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：

10121()()()()()

()N N N N P x P x a x x x x x x x x --=+----

牛顿插值与拉格朗日插值具有唯一性。

4.帕德逼近

它不仅与逼近论中其他许多方法有着密切的关系，而且在实际问题特别是许多物理问题中有着广泛的应用。设是在原点某邻域内收敛的、具有复系数的麦克劳林级数。欲确定一个有理函数，式中,使得前次方的系数为0，即使得 此处约定qk ＝0（k>n ）。虽然所求得的Pm(z)和Qn(z)不惟一，但是比式却总是惟一的。有理函数称为F(z)的(m,n)级帕德逼近,记为(m/n)。由(m/n)所形成的阵列称为帕德表。

三、实验内容

1.P154.1:

用plot 命令，在同一幅图中绘制区间-1≤x ≤1上的sin(x)，以及P 5(x),P 7(x)和P 9(x)。 其中：

2.P171.2:

3.P178.1:

用牛顿插值多项式计算实验P171.2的内容。

4.P194.1:

比较对于函数()x f x e =的逼近：

帕德逼近：

（a）在同一坐标系中画出f(x)，T

4(x)，R

2,2

(x)的曲线。

（b）分别求出在区间[-1，1]上用T

4(x)和R

2,2

(x)逼近f(x)的最大误差。

5.P194.3:

比较对于函数f(x)=tan(x)的逼近：

泰勒多项式逼近：

帕德逼近：

（a）在同一坐标系中画出f(x)，T

9(x)，R

5,4

(x)的曲线。

（b）分别求出在区间[-1，1]上用T

9(x)和R

5,4

(x)逼近f(x)的最大误差。

四、实验结果及分析

1.P154.1：

实验描述：

（1）plot绘图的原理为连续点绘图，只需输入一组等间距的坐标点即可完成；

(2)坐标点的计算使用C++完成，计算完成后输入文件中；

(3)绘图使用matlab的plot函数完成，具体方法为从文件中读取出坐标点，之后使用plot函数绘图。

实验结果：

表2 x及sin(x)及5,7,9阶泰勒展开公式计算结果

x y=sin(x) y= P5(x) y= P7(x) y= P9(x)

-100000000 -0.84147098 -0.84166667 -0.84146825 -0.84147101 -0.90000000 -0.78332691 -0.78342075 -0.78332585 -0.78332692 -0.80000000 -0.71735609 -0.71739733 -0.71735572 -0.71735609 -0.70000000 -0.64421769 -0.64423392 -0.64421758 -0.64421769 -0.60000000 -0.56464247 -0.56464800 -0.56464245 -0.56464247 -0.50000000 -0.47942554 -0.47942708 -0.47942553 -0.47942554 -0.40000000 -0.38941834 -0.38941867 -0.38941834 -0.38941834 -0.30000000 -0.29552021 -0.29552025 -0.29552021 -0.29552021 -0.20000000 -0.19866933 -0.19866933 -0.19866933 -0.19866933 -0.10000000 -0.09983342 -0.09983342 -0.09983342 -0.09983342 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.10000000 0.09983342 0.09983342 0.09983342 0.09983342 0.20000000 0.19866933 0.19866933 0.19866933 0.19866933 0.30000000 0.29552021 0.29552025 0.29552021 0.29552021 0.40000000 0.38941834 0.38941867 0.38941834 0.38941834 0.50000000 0.47942554 0.47942708 0.47942553 0.47942554 0.60000000 0.56464247 0.56464800 0.56464245 0.56464247 0.70000000 0.64421769 0.64423392 0.64421758 0.64421769 0.80000000 0.71735609 0.71739733 0.71735572 0.71735609

0.90000000 0.78332691 0.78342075 0.78332585 0.78332692

1.00000000 0.84147098 0.84166667 0.84146825 0.84147101

图1 y=sin(x)及其5,7,9阶泰勒展开函数