第06练-平面向量与复数(解析版)
浙江省2021届高考数学一轮复习第六章平面向量复数加强练六平面向量复数含解析
加强练(六) 平面向量、复数一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2020·温州适应性考试)已知i 是虚数单位，则2i1＋i ＝( )A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i解析2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝1＋i ，故选B. 答案 B2.(2020·北京东城区一模)设E 为△ABC 的边AC 的中点，BE →＝mAB →＋nAC →，则m ，n 的值分别为( ) A.－1，12B.12，－1 C.－12，1D.1，12解析 ∵BE →＝12(BA →＋BC →)＝BA →＋BA →＋AC →2＝－AB →＋12AC →，∴m ＝－1，n ＝12.答案 A3.(2019·诸暨期末)已知a ，b ，c ∈R ，i 是虚数单位，若1＋a ib ＋i ＝c i ，则( )A.a ＝bB.a ＝1bC.a ＝－bD.a ＝－1b解析 由题意得1＋a i ＝c i(b ＋i)＝－c ＋bc i ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝－c ，a ＝bc ，则a ＝－b ，故选C.答案 C4.(2019·浙江十校联盟适考)若复数z ＝1－b i2＋i (b ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则b的值为( ) A.3 B.±3 C.－3D.± 3解析 由复数z ＝1－b i 2＋i ＝（1－b i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝2－b －（2b ＋1）i 5的实部和虚部相等得2－b5＝－2b ＋15，解得b ＝－3，故选C.答案 C5.(2020·北京石景山区期末)已知平面向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，则下列关系正确的是( ) A.(a ＋b )⊥b B.(a ＋b )⊥a C.(a ＋b )⊥(a －b ) D.(a ＋b )∥(a －b )解析 a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－12，3－12，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋32，3＋12，∵(a ＋b )·(a －b )＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b ).答案 C6.(2020·北京西城区二模)设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则|a ＋t b |的取值范围是( ) A.[2，＋∞) B.[3，＋∞) C.[2，6]D.[3，6]解析 |a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋2a ·b t ＋t 2b 2＝4＋2t ＋t 2＝（t ＋1）2＋3≥3，当t ＝－1时取等号. 答案 B7.(2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2.∵|a |＝2|b |，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为π3.故选B.答案 B8.(2020·北京大兴区期末)已知i ，j ，k 为共面的三个单位向量，且i ⊥j ，则(i ＋k )·(j ＋k )的取值范围是( )A.[－3，3]B.[－2，2]C.[2－1，2＋1]D.[1－2，1＋2]解析 由i ⊥j ，则i ·j ＝0，又i ，j 为单位向量，则|i ＋j |＝i 2＋j 2＋2i ·j ＝2， 则(i ＋k )·(j ＋k )＝i ·j ＋(i ＋j )·k ＋k 2＝(i ＋j )·k ＋1＝|i ＋j |cos 〈i ＋j ，k 〉＋1＝2cos 〈i ＋j ，k 〉＋1， 由－1≤cos〈i ＋j ，k 〉≤1，由(i ＋k )·(j ＋k )的取值范围是[1－2，1＋2]. 答案 D9.(2019·郑州二预)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝7，若对于任意实数k ，不等式|k a ＋t b |＞1恒成立，则实数t 的取值范围是( )A.(－∞，－3)∪(3，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ C.(3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 由题意可得|a |2－2a ·b ＋|b |2＝7，又|a |＝1，|b |＝2，所以1－2a ·b ＋4＝7，即a ·b ＝－1.|k a ＋t b |＞1恒成立，即k 2|a |2＋2kt a ·b ＋t 2|b |2＞1恒成立，即k 2－2kt ＋4t 2－1＞0恒成立，则关于k 的方程k 2－2tk ＋4t 2－1＝0的判别式Δ＝4t 2－4(4t 2－1)＜0，所以t 2＞13，解得t ＞33或t ＜－33，故选B. 答案 B10.(2020·嘉、丽、衢模拟)已知a ，b ，c 是平面内的三个单位向量，若a ⊥b ，则|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |的最小值为( ) A.29 B.29－3 2 C.19－2 3D.5解析 因为a ，b ，c 为平面内三个单位向量，且a ⊥b ，则不妨设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，且x 2＋y 2＝1，则|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |＝（2x ＋1）2＋（2y ）2＋（x －3）2＋（y －2）2＝3（x 2＋y 2）＋x 2＋y 2＋4x ＋1＋（x －3）2＋（y －2）2＝（x ＋2）2＋y 2＋（x －3）2＋（y －2）2，其表示圆心在原点的单位圆上的点到点A (－2，0)，B (3，2)的距离之和，因为直线AB 与单位圆有交点，所以|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |＝（x ＋2）2＋y 2＋（x －3）2＋（y －2）2≥（3＋2）2＋（2－0）2＝29，当且仅当点(x ，y )为圆心在原点的单位圆与直线AB 的交点时，等号成立，所以|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |的最小值为29，故选A. 答案 A二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11.(2019·天津卷)i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________.解析 ∵5－i 1＋i ＝（5－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－3i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.答案1312.(2020·北京朝阳区一模)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.解析 由向量平行的充要条件可得2×x －1×(－1)＝0，解得x ＝－12；由向量垂直的充要条件得2×1＋(－1)x ＝0，解得x ＝2. 答案 －12213.(2020·嘉、丽、衢模拟)设i 为虚数单位，给定复数z ＝（1－i ）41＋i ，则z 的虚部为________，|z |＝________.解析 复数z ＝（1－i ）41＋i ＝－41＋i ＝－4（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－2＋2i ，则复数z 的虚部为2，|z |＝（－2）2＋22＝2 2. 答案 2 2 214.(2019·北京东城区二模)如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点.当点P 在BC 边上时，AB →·OP →的值为________；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB →·OP →的最小值为________.解析 以A 为原点建立平面直角坐标系， 则A (0，0)，O (1，0)，B (2，0)，(1)设P (2，b )，AB →·OP →＝(2，0)·(1，b )＝2； (2)当点P 在BC 上时，AB →·OP →＝2；当点P 在AD 上时，设P (0，b )，AB →·OP →＝(2，0)·(－1，b )＝－2； 当点P 在CD 上时，设点P (a ，1)(0＜a ＜2)， AB →·OP →＝(2，0)·(a －1，1)＝2a －2，因为0＜a ＜2，所以，－2＜2a －2＜2，即AB →·OP →∈(－2，2)，综上可知，AB →·OP →的最小值为－2.答案 (1)2 (2)－215.(2020·成都一诊)已知G 为△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ，若AP →＝λAB →，则△ABC 与△APQ 的面积之比为________.解析 设|AQ →||AC →|＝μ，AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1λAP →＋1μAQ →＝13λAP →＋13μAQ →，由于P ，G ，Q 三点共线，故13λ＋13μ＝1，μ＝λ3λ－1.由于△ABC 与△APQ 有公共角A ，由三角形面积公式得S △ABCS △APQ ＝|AB →|·|AC →|·sin A |AP →|·|AQ →|·sin A ＝1λμ＝3λ－1λ2. 答案3λ－1λ216.(2020·北京朝阳区一模)在平面内，点A 是定点，动点B ，C 满足|AB →|＝|AC →|＝1，AB →·AC →＝0，则集合{P |AP →＝λAB →＋AC →，1≤λ≤2}所表示的区域的面积是________.解析 以A 为原点建立平面直角坐标系，由于|AB →|＝|AC →|＝1，AB →·AC →＝0，即AB →⊥AC →，故设B (cos α，sin α)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2，即C (－sin α，cos α)，设P (x ，y )，由AP →＝λAB →＋AC →得(x ，y )＝(λcos α－sin α，λsin α＋cos α)，即x ＝λcos α－sin α，y ＝λsin α＋cos α，则x 2＋y 2＝λ2＋1，故P 表示的是原点在圆心，半径为λ2＋1的圆，由于1≤λ≤2，故P 点所表示的区域是圆心在原点，半径为2，5的两个圆之间的扇环，故面积为π×5－π×2＝3π. 答案 3π17.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|2a ＋b |＋|b |＝4，则|a ＋b |的最大值为________，|a ＋b |的最小值为________.解析 |a |＝1，不妨设a ＝(1，0)，由|2a ＋b |＋|b |＝4，得|a ＋b ＋a |＋|a ＋b －a |＝4，令z＝a ＋b ＝OZ →(O 为坐标原点)，点Z 的轨迹是以(－1，0)，(1，0)为焦点的椭圆，方程为x 24＋y 23＝1，长半轴为2，短半轴为3，∴|a ＋b |＝|z |∈[3，2]. 答案 23。
高考数学一轮复习第六章 平面向量与复数答案
第六章 平面向量与复数 第29讲 平面向量的概念与线性运算链教材·夯基固本 激活思维 1.ABD【解析】对于A ，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故A 不正确；对于B ，由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，并不能判断方向，故B 不正确；对于C ，因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件可得a ＝b ，故C 正确；对于D ，若向量a 与向量b 中有一个是零向量，则其方向不确定，故D 不正确．故选ABD.2. ACD 【解析】 对于A ，AB→＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0，故A 正确；对于B ，OA →＋OC→＋BO →＋CO →＝(CO →＋OA →)＋(BO →＋OC →)＝CA →＋BC →＝CA →－CB →＝BA→，故B 错误；对于C ，AB →－AC →＋BD →－CD →＝CB →＋BC →＝0，故C 正确；对于D ，NQ →＋QP→＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0，故D 正确．故选ACD. 3. C 【解析】 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB→.故选C.4.B【解析】由于c 与d 反向共线，则存在实数k ，使得c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.5. 12 【解析】 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝23－16＝12.(第5题)知识聚焦3. b ＝λa4. 12(OA →＋OB →)研题型·融会贯通 分类解析【答案】 BC 【解析】 A 错误，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．B 正确，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→.又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此AB→＝DC→.C 正确，因为a ＝b ，所以a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，所以b ，c 的长度相等且方向相同，所以a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .D 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件．故选BC.【答案】 CD 【解析】因为向量AB→与BA →互为相反向量，所以它们的长度相等，所以A 正确；由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，所以B 正确；由共线向量定义知C 错误；因为零向量不能看作是有向线段，所以D 错误．故选CD.(1) 【答案】 A【解析】 在平行四边形ABCD 中，若CE →＝4ED →，则CE →＝45CD →，则BE→＝BC →＋CE →＝AD →＋45CD →＝－45AB →＋AD →.(2) 【答案】 B【解析】 因为DE →＝AE →－AD →＝23AC →－AB →－BD →＝23AC →－AB →－12BC →＝23AC →－AB →－12(AC →－AB →)＝－12AB →＋16AC →，又DE →＝x AB →＋y AC →，所以x ＝－12，y ＝16，所以x ＋y ＝－12＋16＝－13.(1) 【答案】 C【解析】 在△CEF 中，EF →＝EC →＋CF →.因为E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为CF→＝2FB →，所以CF →＝23CB →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD→，故选C.(2) 【答案】 C【解析】 如图，BP→＝BD →＋DP →＝BD →－PD →，AB→＝AD →＋DB →＝－BD →＋2PD →， AC→＝AD →＋DC →＝BD →＋2PD →， 则BP →＝λAB →＋μAC →＝(μ－λ)BD →＋(2λ＋2μ)PD →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝1，2λ＋2μ＝－1，则λ＋μ＝－12.(变式(2))(1) 【答案】 AD 【解析】(1)若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，可得λa ＝b (λ∈R )，即2λ＝k ，－λ＝1，解得k ＝－2，所以A 正确，B 错误．若e 1与e 2共线，则e 1＝m e 2(m∈R )，a ＝2e 1－e 2＝(2m －1)e 2，b ＝k e 1＋e 2＝(km ＋1)e 2，可得a 与b 共线，所以C 错误，D 正确．(2) 【答案】 43【解析】 由题知AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2，因为A ，C ，D 三点共线，所以AC →与CD →共线，从而存在实数λ，使得AC→＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得k ＝43.【解答】(1)AE→＝AB→＋BE→＝2e 1＋e 2＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2，因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE→＝k EC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)， 得(1＋2k )e 1＋(1＋λ－k )e 2＝0.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，1＋λ－k ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2) 因为A ，B ，C ，D 四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD→＝(2－x,4－y )，因为BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(6,3)＋(1，－1)＝(7,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝7，4－y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝2，所以点A 的坐标为(－5,2)． 课堂评价 1. C 2. ACD 3. BCD【解析】 分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA→是相反向量的共有18个，故A 错误；由|OA→－OB →|＝10，即|BA→|＝10，知格点B 共有3个，故B 正确；因为存在格点B ，C ，使得四边形OBAC 是以OA 为对角线的平行四边形，故存在格点B ，C ，使得OA→＝OB →＋OC →；不妨设O (0,0)，则A (1,2)，设B (x 0，y 0)，由OA→·OB →＝1，即x 0＋2y 0＝1，格点B (x 0，y 0)在一次函数y ＝－12x ＋12上，该直线正好经过图中4个格点，故选项D 正确．4. 13【解析】 设线段BC 的中点为M ，则OB→＋OC →＝2OM →.因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋1t AD →＝14AB →＋14t AD →.由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.5.54【解析】 如图，取AB 的中点F ，连接CF ，则四边形AFCD 是平行四边形，所以CF∥AD ，且CF ＝AD .因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝⎛⎭⎪⎪⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →，所以λ＝34，μ＝12，所以λ＋μ＝54.(第5题)第30讲 平面向量的基本定理及坐标表示链教材·夯基固本 激活思维1. A 【解析】 由题意知PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB→＋13AC →＝13a ＋13b .故选A. 2. B【解析】 －3a －2b ＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－9,3)＋(2，－4)＝(－7，－1)．故选B. 3.D【解析】由a∥b ，知1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，即b ＝(－2，－4)，所以|b |＝(－2)2＋(－4)2＝25，故选D.4.C【解析】以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设AD ＝2，则B (4,0)，D (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，23，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，23，AB →＝(4,0)，AD →＝(0,2)，所以BF →＝－12AB →＋13AD →.(第4题)知识聚焦1. a ＝λ1e 1＋λ2e 22. (1) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) (2) ②(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)23. x 1y 2＝x 2y 1 研题型·融会贯通分类解析【解答】 (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC→＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2) 由题意，设EC→＝x DC →，因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，所以(2－λ)a －b ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a －53b . 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45.【题组·高频强化】1. A 【解析】 依题意得AE→＝AB →＋BE →，AE →＝AD →＋DC →＋CE →，所以2AE →＝AB →＋AD →＋DC →＝AB →＋AD →＋12AB →＝32AB →＋AD →，所以AE →＝34AB →＋12AD →.2.A【解析】由OC→＝2OP→，AB→＝2AC →，知C 是AB 的中点，P 是OC 的中点，所以OC →＝12(OA →＋OB →)，则OP →＝14(OA→＋OB →)．又OM →＝38OB →，ON →＝n OA →，所以MN →＝ON →－OM →＝n OA →－38OB →，MP→＝OP →－OM→＝14(OA→＋OB→)－38OB→＝14OA→－18OB →.又M ，P ，N 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λMP →成立，即n OA →－38OB→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14OA →－18OB →.又OA →，OB →不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧n ＝14λ，－38＝－18λ，解得n ＝34.3. B 【解析】 如图，设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →，又DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12a ，DH→＝μDE→＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －12b ，所以μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12a .由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ，解得λ＝45，μ＝25，故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .(第3题)4. 【解答】 设BC →＝x ，CD →＝y ，则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB→＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →，得⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e1，①x －12y ＝e2，②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，所以x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，即BC →＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝CD →＝－43e 1＋23e 2.【解答】(1)假设存在常数t 使得OA→＋tOB→＝OC →，则(3t －1,4t ＋2)＝(2,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧3t －1＝2，4t ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，t ＝－14，因此，不存在实数t ，使得OA →＋t OB →＝OC →.(2) 设点D (x ，y )，由题意得AB→＝2DC→，即(4,2)＝2(2－x,1－y )，可得⎩⎪⎨⎪⎧2×(2－x )＝4，2×(1－y )＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，因此点D 的坐标为(0,0)．(3) 设点E 的坐标为(a ，b )，BC→＝(－1，－3)，AE →＝(a ＋1，b －2)，由⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪AE →＝1，AE→·BC →＝1，可得⎩⎨⎧(a ＋1)2＋(b －2)2＝1，－(a ＋1)－3(b －2)＝1，整理得⎩⎨⎧(a ＋1)2＋(b －2)2＝1，a ＋3b －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝75，因此，点E 的坐标为(－2,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－15，75.【解答】 (1) AB→＝(－4,2)，AC →＝(2，－3)，由AB →＋AC →＝(－2，－1)，得⎪⎪⎪⎪AB →＋AC →＝5， 由AB→－AC →＝(－6,5)，得|AB →－AC →|＝61. 故以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为5，61. (2) 假设存在实数t 满足条件．因为OB →＝(－5,4)，由向量AC →－t OB →与向量OB →垂直，得(AC →－t OB →)·OB →＝0， 又因为AC→－t OB →＝(2，－3)－t (－5,4)＝(2＋5t ，－3－4t )， 所以(2＋5t )×(－5)＋(－3－4t )×4＝0，解得t ＝－2241.所以存在t ＝－2241，使得向量AC→－t OB →与向量OB →垂直．【解答】(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．又因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，所以k ＝－12.(2)由题知AB→＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB→∥BC →，所以8m －3(2m ＋1)＝0，所以m ＝32.(1) 【答案】 C (2) 【答案】 C 【解析】由题意知a －λb ＝(1＋λ，1－3λ)，因为(a －λb )∥c ，所以2(1－3λ)＝1＋λ，解得λ＝17.课堂评价 1.CD【解析】对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝k －2<0，－k ≠2，解得k <2且k ≠－2，A 选项中的命题正确；对于B 选项，|a |＝k2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时，等号成立，B 选项中的命题正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b|，即与b 共线的单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，22，C 选项中的命题错误； 对于D 选项，因为|a |＝2|b |＝22，即k2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项中的命题错误．2. B3. D 【解析】 因为AB→＋AC →＝2AD →，所以D 是BC 的中点．又因为AE →＋DE →＝0，所以E 是AD 的中点，所以BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋12AD →＝－AB →＋12×12(AB→＋AC →)＝－34AB →＋14AC →，因此x ＝－34，y ＝14，即x ＝－3y .故选D.4. A5. A 【解析】 因为DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB→－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A. 第31讲 平面向量数量积的应用链教材·夯基固本 激活思维 1.ABD【解析】对于A 选项，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a|·|b |cosθ＝|a |·|b |，则cos θ＝1，所以θ＝0，则a 与b 同向，所以a ∥b ，A 选项正确；对于B 选项，由于a ，b ，c 是三个非零向量，且a ∥b ，b∥c ，则存在非零实数λ，μ，使得a ＝λb ，b ＝μc ，所以a ＝λb ＝λ(μc )＝(λμ)c ，所以a∥c ，B 选项正确；对于C 选项，若a ·c ＝b ·c ，则a ·c －b ·c ＝(a －b )·c ＝0，即(a －b )⊥c ，所以a 与b 在c 方向上的投影相等，C 选项错误；对于D 选项，在等式|a ＋b|＝|a －b|两边平方得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，整理得a ·b ＝0，则a ⊥b ，D 选项正确．2. D 【解析】 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，则|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a2＋6a ·b ＋b2＝18＋12＋4＝34. 3.D【解析】因为a ＋b ＝(x －3，－3)，(a ＋b )⊥a ，所以－3(x －3)＋1×(－3)＝0，解得x ＝2.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b|＝－22，又θ∈[0，π]，所以θ＝3π4.4. B 【解析】 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，且BD ＝2DC ，所以BD →＝23BC →，所以AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋23AB →·BC →＝1＋23×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝23.故选B.5. A【解析】 如图，AN →·MN →＝(AB →＋BN →)·⎝⎛⎭⎪⎪⎫12DC →＋13CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →－13BC →＝12AB →2－29BC →2＝12×2－29×3＝13.(第5题)知识聚焦1. [0，π] 3. (3) －|a ||b | (5) |a ||b | 5. (1) x 1x 2＋y 1y 2 (2) x 1x 2＋y 1y 2＝0 (3) x21＋y21 (4) x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 24【解析】 (1) 因为a －λb 与b 垂直，所以(a －λb )·b ＝0， 所以a ·b －λb 2＝0，所以1×2×cos π4－4λ＝0，所以λ＝24.(2) 【答案】 A 【解析】因为|a |＝3|b |，cos 〈a ，b 〉＝13，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝9|b |2－|b |2＝8|b |2＝16，所以|b |＝2.【解案】 (1) a ·b ＝|a||b |cos 120°＝3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－6.(2) |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a2＋2a ·b ＋b2＝13. (3) 因为(2a －b )⊥(a ＋k b )，所以(2a －b )·(a ＋k b )＝0， 即2a 2＋2k a ·b －a ·b －k b 2＝0，18－6(2k －1)－16k ＝24－28k ＝0，解得k ＝67.(1) 【答案】 π3【解析】 因为向量a ，b 的夹角是2π3，a 是单位向量，|b |＝2，所以a ·b ＝|a |·|b |cos 2π3＝1×2×cos 2π3＝－1.因为c ＝2a ＋b ，所以|c |＝(2a ＋b )2＝4a2＋4a ·b ＋b2＝4－4＋4＝2，所以c ·b ＝(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝－2＋4＝2.设向量c 与b 的夹角为θ，其中θ∈[0，π]， 则cos θ＝c ·b|c|·|b|＝22×2＝12，得θ＝π3.(2) 【答案】 23 【解析】因为|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1，则|a ＋2b |＝4＋4＋4＝23.(1) 【答案】 C 【解析】由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，由|a ＋b |＝2|a |，得|b |＝3|a |.设a ＋b 与a 的夹角为θ(θ∈[0，π])，则cos θ＝(a ＋b )·a |a ＋b |·|a |＝12，所以θ＝π3.(2) 【答案】 6 【解析】由题意知，向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，所以(3a －2b )2＝9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9×22－12×2×3cos 60°＋4×32＝36，所以|3a －2b |＝6.【解答】 (1) 因为DB →＝2AD →，所以AD →＝13AB →，所以CD →＝AD →－AC →＝13AB→－AC →，因为AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，所以AB →·AC →＝⎪⎪⎪⎪AB →·⎪⎪⎪⎪AC →cos60°＝2×3×12＝3.所以CD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →－AC →2＝19AB →2－23AB →·AC →＋AC →2＝19×22－23×3＋32＝679，故CD ＝673.(2) 因为CE →＝2EB →，所以BE →＝13BC →，所以DE →＝DB →＋BE →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC→－AB →)＝13AB →＋13AC →，所以AB →·DE →＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋13AC →＝13AB →2＋13AB →·AC →＝13×22＋13×3＝73.【题组·高频强化】1. D 【解析】 由已知得AM →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，所以AM →·BC →＝12(AB→＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝72.2. B 【解析】 由AD →＝2DC →，得BD →＝23BC →＋13BA →，CA →＝BA →－BC →，所以BD →·CA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23BC →＋13BA →·(BA →－BC →)＝－6. 3. B 【解析】 根据题意，AB ＝3，BD ＝2AD ，则AD ＝1.在△ADC 中，又AC ＝2，∠BAC ＝60°，则DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠BAC ＝3，即DC ＝3，则CD ⊥AB ，BE →·AB →＝(BD →＋DE →)·AB →＝BD →·AB →＋DE →·AB →＝BD →·AB →＝－23AB →2＝－6.4.A【解析】 以BD 的中点O 为坐标原点，以BD 所在的直线为x 轴，以CA 所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1，0)，C (0，－3)，所以直线BC 的方程为y ＝－3x －3.设点M (x ，－3x －3)(－1≤x ≤0)，则OM →＝(x ，－3x －3)，CM→＝(x ，－3x )，所以OM →·CM →＝x 2＋3x 2＋3x ＝4x 2＋3x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋382－916，当x ＝－38时，OM →·CM →取到最小值－916.(第4题)课堂评价 1. A【解析】根据题意，|a －b |＝3＋2＝5，则(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝5－2a·b ＝5，得a·b ＝0，所以(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a·b ＝4＋4＝8，则|2a －b |＝22，故选A.2. B3.D【解析】 因为向量a ＝(1，k )，|b |＝2，a 与b 的夹角为5π6，所以a ·b ＝|a |·|b |cos5π6＝－3·1＋k2.又(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝1＋k 2－3·1＋k2＝0，所以1＋k2·(1＋k2－3)＝0，由1＋k2＞0，解得k ＝±2.4.22【解析】 因为AE→＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCD →，所以AE →·BF →＝(AB →＋λBC →)·(BC →＋λCD →)＝AB →·BC →＋λAB →·CD →＋λBC →2＋λ2BC →·CD →＝|AB→||BC→|cos 120°－λAB→2＋λBC→2＋λ2|BC→||CD→|cos60°＝2λ2－2＝－1，解得λ＝±22.因为点E ，F 分别在边BC ，DC 上，所以λ>0，所以λ＝22.5. 13【解析】如图，以B 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0,0)，A (1,0)，C (0，2)，所以AC→＝(－1,2)．因为D 为BC 的中点，所以D (0,1)，因为AE →＝2EC →，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，43，所以DE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13·(－1,2)＝－13＋23＝13.(第5题) 第32讲 复 数链教材·夯基固本 激活思维1. B 【解析】 由z ＝1＋i ，得z －＝1－i ，则z z －－z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.故选B.2. D 【解析】 由已知得(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i.故选D.3.D【解析】由题意可得z 2＝(1＋i)2＝2i ，则z 2－2z ＝2i －2(1＋i)＝－2，故|z 2－2z |＝|－2|＝2.4. D5.B【解析】因为z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，所以z 2＝1－i ，所以z 1z 2＝(1＋i)·(1－i)＝2.故选B.知识聚焦1. (1) a b (2) a ＝c 且b ＝d 3. (3) a2＋b2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 C (2) 【答案】 C【解析】 由z (1＋i )i 32－i ＝1－i ，得z ＝(1－i )(2－i )(1＋i )i 3＝1－3i －i (1＋i )＝1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－i ，所以z －＝2＋i ，所以复数z －的虚部为1.(3) 【答案】 C【解析】 由题意得z ＝－3i 1＋3i＝－3i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝－3－3i4＝－34－34i ，所以z －＝－34＋34i ，所以|z －|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－342＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342＝32. (1) 【答案】 3 (2) 【答案】 A 【解析】i(x ＋y i)＝－y ＋x i ，5i 2－i＝5i (2＋i )5＝－1＋2i ，根据两复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，即x ＋y i ＝2＋i ，其共轭复数为x －y i ＝2－i.(1) 【答案】 D【解析】因为z －＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，所以z ＝i.(2) 【答案】 D(1) 【答案】 C 【解析】由题得1＋i (1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ＝a ＋b i ，所以a ＝12，b ＝12，所以a b＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1212＝22.(2) 【答案】 A 【解析】因为z ·i 3＋2i＝1－i ，所以z ·i ＝(1－i)·(3＋2i)＝5－i ，所以z ＝－1－5i ，所以z ＋3＝2－5i ，所以|z ＋3|＝29.(1) 【答案】 B【解析】z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，由题知3m －2＜0且m －1＜0，解得m ＜23.故选B.(2) 【答案】 4【解析】 若复数z 满足条件|z |＝1，则z 所对应的点的轨迹是单位圆．因为|z ＋22＋i|表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离，所以|z ＋22＋i|的最大值是4.【答案】 C 【解析】由已知条件，可设z ＝x ＋y i(x ，y∈R )．因为|z －i|＝1，所以|x ＋y i －i|＝1，所以x 2＋(y －1)2＝1.故选C.课堂评价1. C 【解析】 由题知z ＝－i (a ＋i )－i·2i ＝1－ai2，所以a ＝－1.2. A 【解析】 由题知z ＝4i1＋i ＝4i (1－i )1－i 2＝2＋2i ，对应的点为(2,2)，在第一象限．3. B 【解析】 由题得z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以|z |＝12＋(－1)2＝2，故选B.4.BC【解析】复数不能比较大小，故A 错误；若a 2－4＋(a ＋2)i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a2－4＝0，a ＋2≠0，解得a ＝2，故B 正确；z ＝(1＋i)2(1＋2i)＝－4＋2i ，所以z－＝－4－2i ，为第三象限内的点，故C 正确；z ＝1＋i 2＋i＝(1＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝3＋i 5，其虚部为15，故D 错误．故选BC.5. 5【解析】 由题意可得z ＝1＋3i 1＋i ＝(1＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4＋2i 2＝2＋i ，所以z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝9＋16＝5.。
专题2 平面向量与复数(解析版)-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析
专题2平面向量与复数一、单选题1．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．5 BC ．D ．5i【答案】B 【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】(2)21z i i i =+=-，所以|z |=故选：B2．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得()()()()312317171+21+212555i i i i z i i i i ----====--， 所以复数z 在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限， 故选：D.3．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1C ．－iD ．i【答案】B 【分析】1iz i-+=，然后算出即可. 【详解】由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B4．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+iC ．76i -D ．76i +【答案】D 【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D . 5．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z ==故选：B.6．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④zz，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③【答案】D 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abiz a bi a b+-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.7．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B 【分析】设AB a AD b ，==，由12BE BC =，13DF DC =，得到1123AE a b AF a b =+=+，，结合平面向量的基本定理，化简得到1132a b a b λμλμ⎛⎫⎛⎫-+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解. 【详解】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-， 所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。
高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第1节 平面向量的概念及线性运算练习-人教版高三全册数学试
第1节 平面向量的概念及线性运算[A 级 基础巩固]1．(多选题)已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的是()A ．①B ．②C ．③D ．④解析：由题知结果为零向量的是①④. 答案：AD2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是()A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．观察选项，C 项中a ，b 共线且方向相反． 答案：C3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是() A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．答案：B4．在△ABC 中，G 为重心，记AB →＝a ，AC →＝b ，则CG →＝() A.13a －23b B.13a ＋23b C.23a －13b D.23a ＋13b 解析：因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .答案：A5．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是() A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．答案：B6．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则() A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上． 答案：B7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.答案：B8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 答案：D9.如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个．答案：310．(2020·武邑中学质检)在锐角△ABC 中，CM →＝3 MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R)，则xy＝________．解析：由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.答案：311．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1212．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， 所以λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案：12[B 级 能力提升]13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.58B.14 C ．1 D.516解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.答案：A14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值X 围是()A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(－1，0) 解析：设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1. 答案：B15．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，所以OB →＝－OD →，所以O 是AC 边上的中线BD 的中点， 所以S △ABC ＝2S △OAC ，所以△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1. 答案：2∶1[C 级 素养升华]16．(多选题)(2020·某某四校联考)如图所示，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，点E 在边AD 上，且AD ＝3AE ，则()A.CE →＝29AB →＋89AC →B.CE →＝29AB →－89AC →C.CE →＝13AD →＋AC →D.CE →＝13AD →－AC →解析：因为CE →＝CA →＋AE →，AE →＝13AD →，AD →＝AB →＋BD →，BD →＝13BC →，BC →＝BA →＋AC →，所以CE →＝13AD →－AC →，BD →＝13(BA →＋AC →)，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BA →＋13AC →， 所以AE →＝13(AB →＋13BA →＋13AC →)，所以CE →＝CA →＋13AB →＋19BA →＋19AC →＝13AB →＋19BA →＋CA →＋19AC →＝29AB →－89AC →. 答案：BD素养培育直观想象——共线向量定理的推广(自主阅读)共线定理：已知PA →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xPA →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1.推广形式：如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)．当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相似，知必存在一个常数m ∈R ，使得PC →＝mPF →，则PC →＝mPF →＝mλPA →＋mμPB →.又PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)， 所以x ＋y ＝mλ＋mμ＝m . 以上过程可逆．因此得到结论：PC →＝xPA →＋yPB →， 则x ＋y ＝m (定值)，反之亦成立．[典例1] 如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值X 围是________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4][典例2] 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值X 围是________．解析：由点D 是圆O 外的一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋BD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.因为C 、O 、D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)．所以OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)．因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，所以m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0)。
2020届高考数学一轮复习第六篇平面向量与复数专题练习含解析
专题6.1 平面向量的概念及线性运算【考试要求】1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示和基本要素；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.【知识梳理】1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【微点提醒】1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →).【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 【解析】(2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上. 【教材衍化】2.(必修4P78A6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( ) A.① B.③C.①③D.①②【答案】 A【解析】 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误.3.(必修4P92A12改编)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B.2OM → C.3OM →D.4OM →【答案】 D【解析】 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →. 【真题体验】4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A.c ＝32b －12aB.c ＝2b －aC.c ＝2a －bD.c ＝32a －12b【答案】 A【解析】 因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB →－OA →)＝32OB→－12OA →＝32b －12a . 5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD 满足AD →＝12BC →且|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 的形状是( ) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形D.菱形【答案】 A【解析】 因为AD →＝12BC →，所以AD →∥BC →，且|AD →|＝12|BC →|，所以四边形ABCD 为以AD 为上底，BC 为下底的梯形.又|AB →|＝|DC →|，所以梯形ABCD 的两腰相等.因此四边形ABCD 是等腰梯形.6.(2019·菏泽调研)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________. 【答案】 －12【解析】 依题意知向量a ＋λb 与2a －b 共线，设a ＋λb ＝k (2a －b )，则有(1－2k )a ＋(k＋λ)b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2k ＝0，k ＋λ＝0，解得k ＝12，λ＝－12.【考点聚焦】考点一 平面向量的概念【例1】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b |b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B.a ∥b C.a ＝－13bD.a ⊥b(2)给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③B.①②C.③④D.②④【答案】 (1)C (2)A【解析】 (1)由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立.对照各个选项可知，选项A 中a 与b 的方向相同；选项B 中a 与b 共线，方向相同或相反；选项C 中a与b 的方向相反；选项D 中a 与b 互相垂直.(2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③.【规律方法】 对于向量的有关概念应注意以下几点：(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性. (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量.【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →(2)给出下列说法：①非零向量a 与b 同向是a ＝b 的必要不充分条件；②若AB →与BC →共线，则A ，B ，C 三点在同一条直线上； ③a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向； ④设λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误说法的序号是________. 【答案】 (1)D (2)④【解析】 (1)根据相等向量的定义，分析可得AD →与BC →不平行，AC →与BD →不平行，所以AD →＝BC →，AC →＝BD →均错误，PE →与PF →平行，但方向相反也不相等，只有EP →与PF →方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，所以EP →＝PF →.(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，④错误. 考点二 平面向量的线性运算 角度1 向量的线性运算【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 【答案】 A【解析】 ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB →＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →，又知D 是BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，因此EB →＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →.角度2 利用向量线性运算求参数【例2－2】 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12(2)在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x y＝________.【答案】 (1)B (2)3【解析】 (1)∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)由题设可得AM →＝CM →－CA →＝34CB →＋AC →＝34(AB →－A C →)＋AC →＝34AB →＋14AC →， 则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.【规律方法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【训练2】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 【答案】 (1)D (2)12【解析】 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点， 得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →， ∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线. 【答案】见解析【解析】(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.【规律方法】1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.2.向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立.【训练3】 (1)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A.λ＋μ＝2B.λ－μ＝1C.λμ＝－1D.λμ＝1(2)(一题多解)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( )A.{0}B.∅C.{－1}D.{0，－1}【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝m μ，所以λμ＝1.(2)法一 若要x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立，BC →必须与x 2OA →＋xOB →共线，由于OA →－OB →＝BA →与BC →共线，所以OA →和OB →的系数必须互为相反数，则x 2＝－x ，解得x ＝0或x ＝－1，而当x ＝0时，BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1.法二 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0， 即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1. 【反思与感悟】 1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”. 2.三个常用结论(1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB →＋DC →＝2EF →；(3)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.注意向量共线与三点共线的区别. 【易错防范】1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的个数为( ) A.1 B.2C.3D.4【答案】 B【解析】 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →【答案】 D【解析】 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 3.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a【答案】 B【解析】 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小. 4.已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A.A ，B ，C B.A ，B ，D C.B ，C ，DD.A ，C ，D【答案】 B【解析】 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线.5.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.BC → B.12AD →C.AD →D.12BC → 【答案】 C【解析】 如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.6.(2019·唐山二模)已知O 是正方形ABCD 的中心.若DO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ＝( ) A.－2 B.－12C.－ 2D. 2【答案】 A【解析】 DO →＝DA →＋AO →＝CB →＋AO →＝AB →－AC →＋12AC →＝AB →－12AC →，∴λ＝1，μ＝－12，因此λμ＝－2.7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A.1B.2C.3D.4【答案】 B【解析】 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.8.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 【答案】 D【解析】 设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 二、填空题9.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个.【答案】 3【解析】 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个.10.设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 【答案】 12【解析】 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 11.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝________. 【答案】 13【解析】 由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →， 所以x ＝12，y ＝－16，因此x ＋y ＝12－16＝13.12.(2019·清华大学自主招生能力测试)设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________. 【答案】 4【解析】 ∵D 为AB 的中点， 则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点. 又∵D 为AB 的中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上 【答案】 B【解析】 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.14.(2019·青岛二模)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( ) A.12AD → B.32AD → C.12AC →D.32AC → 【答案】 D【解析】 因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，所以DA →＋2EB →＋3FC →＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12×(AC →＋BC →)＝12BA →＋AB →＋CB →＋32BC →＋32AC →＋12CA →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝12AC →＋AC →＝32AC →.15.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 【答案】 3【解析】 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.同理E ，F 分别是AC ，AB 的中点，因此点M 是△ABC 的重心， ∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，则m ＝3.16.(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________. 【答案】 －94【解析】 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2， 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2， 又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ（3－k ），2＝－λ（2k ＋1），解得k ＝－94.【新高考创新预测】17.(多填题)在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心. 若aMA →＋bMB →＋33cMC →＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________. 【答案】π6 934【解析】 由aMA →＋bMB →＋33cMC →＝aMA →＋bMB →＋33c(－MA →－MB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －33c MA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －33c MB→＝0，且MA →与MB →不共线，∴a－33c ＝b －33c ＝0，∴a＝b ＝33c.△ABC 中，由余弦定理可求得cos A ＝32，∴A＝π6.若a ＝3，则b ＝3，c ＝33，S △ABC ＝12bcsin A ＝12×3×33×12＝934.专题6.2 平面向量基本定理及坐标表示【考试要求】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【知识梳理】 1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【微点提醒】1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× 【解析】(1)共线向量不可以作为基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义. 【教材衍化】2.(必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34【答案】 B【解析】 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.3.(必修4P99例8改编)设P 是线段P 1P 2上的一点，若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( ) A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)【答案】 A【解析】 由题意得P 1P →＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3).设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)， ∴x ＝2，y ＝2，则点P (2，2). 【真题体验】4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)【答案】 A【解析】 根据题意得AB →＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.5.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 【答案】 －3【解析】 ∵a ∥b ，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3.6.(2019·苏州月考)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________. 【答案】 (1，5)【解析】 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.【考点聚焦】考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( ) A.－12B.1C.32D.－3(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →.延长AD 交BC 于E ，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是________. 【答案】 (1)A (2)－15【解析】 (1)AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →) ＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →.因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1， 即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12.(2)设AE →＝xAD →，∵AD →＝13AB →＋12AC →，∴AE →＝x 3AB →＋x 2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，∴x 3＋x 2＝1，x ＝65.根据平面向量基本定理，得λ＝x 3，μ＝x2.因此λ－μ＝x 3－x 2＝－x 6＝－15.【规律方法】 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)(2019·济南质检)在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP→＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A.－4B.－1C.1D.4(2)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.【答案】 (1)B (2)13【解析】 (1)根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →.又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1.(2)因为OC →＝23OA →＋13OB →，所以OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，所以AC →＝13AB →，所以|AC →||AB →|＝13.考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB →＋AC →等于( ) A.－2AD →B.2AD →C.－3AD →D.3AD →(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)由题意得AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3AD →.(2)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)， ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴，λμ＝－2－12＝4.【规律方法】1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【训练2】 (1)已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________.(2)(2019·天津和平区一模)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85C.2D.83【答案】 (1)(4，7) (2)B【解析】 (1)由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →. 设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2).则⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7. 所以向量OB →的坐标是(4，7).(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)， ∴CA →＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.考点三 平面向量共线的坐标表示多维探究角度1 利用向量共线求向量或点的坐标【例3－1】 (一题多解)已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________. 【答案】 (3，3)【解析】 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ).又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3).法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3，3).角度2 利用向量共线求参数【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则m n＝________. 【答案】 (1)12 (2)－13【解析】 (1)由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，即λ＝12.(2)由2－1≠32，所以a 与b 不共线，又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0. 那么当m a ＋n b 与a －3b 共线时，有m 1＝n －3，即得m n ＝－13.【规律方法】1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】 (1)(2019·北师大附中检测)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB →∥a ，则点B 的坐标为________.(2)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( )A.－3B.－2C.2D.3【答案】 (1)(－3，－6) (2)A【解析】 (1)由题意设B (x ，2x )，则AB →＝(x －3，2x )， ∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6).(2)由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n－1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n＝1.2m ＋1＋2n ≥22m ＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3.【反思与感悟】1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式. 【易错防范】1.注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0.2.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A.(－3，4) B.(3，4) C.(3，－4)D.(－3，－4)【答案】 A【解析】 由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)， 得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴b ＝12(－6，8)＝(－3，4).2.已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 【答案】 A【解析】 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.3.已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，4)，c ＝(1，m )，若实数λ满足a ＋b ＝λc ，则λ＋m 等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8【答案】 B【解析】 由平面向量的坐标运算法则可得a ＋b ＝(5，5)，λc ＝(λ，λm )，据此有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，λm ＝5，解得λ＝5，m ＝1，∴λ＋m ＝6.4.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件.5.已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn＝( ) A.－12B.12C.－2D.2【答案】 C【解析】 因为a ∥b ，所以a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，得mn ＝－2.6.已知点A (2，3)，B (4，5)，C (7，10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为( ) A.23 B.－23C.32D.－32【答案】 B【解析】 设P (x ，y )，则由AP →＝AB →＋λAC →，得(x －2，y －3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ). 所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5. 又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.7.(2019·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.233B.33C.3D.2 3【答案】 A【解析】 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)，因为∠DAB ＝60°，所以设D 点的坐标为(m ，3m )(m ≠0). AD →＝(m ，3m )＝λAB →＋μAC →＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m ，且μ＝32m ， 所以λμ＝233.8.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A.25a －45bB.25a ＋45bC.－25a ＋45bD.－25a －45b【答案】 B【解析】 设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →.而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ，DH →＝μDE →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因此，μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a .由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ.解之得λ＝45，μ＝25.故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .二、填空题9.(2019·安徽江南十校联考)已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2，5)，c ＝(m ，3)，且(a ＋c )∥(a －b )，则m ＝________.【答案】3±172【解析】 a ＝(1，m )，b ＝(2，5)，c ＝(m ，3)， ∴a ＋c ＝(m ＋1，m ＋3)，a －b ＝(－1，m －5)， 又(a ＋c )∥(a －b )，∴(m ＋1)(m －5)＋m ＋3＝0，即m 2－3m －2＝0， 解之得m ＝3±172.10.已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________.【答案】 (8，－15)【解析】 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15).11.已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________. 【答案】 a ＋b ＝2【解析】 由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →. ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝________.【答案】π3【解析】 因为p ∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以a 2＋b 2－c 22ab ＝12，由余弦定理知，cos C ＝12，又因为0<C <π，所以C ＝π3.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.89 B.49C.83D.43【答案】 A【解析】 AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13(AD →－AB →)＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →.因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89.14.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.2【答案】 B【解析】 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上， 所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1. 又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2，故x ＋y 的最大值为 2.15.已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为________.【答案】 3【解析】 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →， 以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系， OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ).∵tan 30°＝3nm＝33， ∴m ＝3n ，即mn＝3.16.在△ABC 中，点D 满足BD →＝DC →，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________. 【答案】 12【解析】 因为BD →＝DC →，所以AD →＝12AB →＋12AC →.又AE →＝λAB →＋μAC →，点E 在线段AD 上移动， 所以AE →∥AD →，则12λ＝12μ，即λ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤λ≤12.所以t ＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋12. 当λ＝12时，t 的最小值是12.【新高考创新预测】17.(多填题)直角△ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且AD DB＝2，则CD →·CA →＝________；若CD →＝xCA →＋yCB →，则xy ＝________. 【答案】 4 29【解析】 以A 为原点，分别以AB →，AC →的方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，则CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2，CA →＝(0，－2)，CB →＝(2，－2)，则CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2·(0，－2)＝43×0＋(－2)×(－2)＝4.由CD →＝xCA →＋yCB →＝x (0，－2)＋y (2，－2)＝(2y ，－2x －2y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝43，－2x －2y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，则xy ＝29.专题6.3 平面向量的数量积及其应用【考试要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 【知识梳理】1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21. (3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤·.3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).【微点提醒】1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b>0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b<0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 【解析】 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等. 【教材衍化】2.(必修4P108A10改编)设a ，b 是非零向量.“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°， 所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.3.(必修4P108A2改编)在圆O 中，长度为2的弦AB 不经过圆心，则AO →·AB →的值为________. 【答案】 1【解析】 设向量AO →，AB →的夹角为θ，则AO →·AB →＝|AO →||AB →|·cos θ＝|AO →|cos θ·|AB →|＝12|AB →|·|AB →|＝12×(2)2＝1. 【真题体验】4.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4 B.3 C.2 D.0【答案】 B【解析】 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A.13＋6 2B.2 5C.30D.34【答案】 D【解析】 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34.6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 【答案】 7【解析】 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 【考点聚焦】考点一 平面向量数量积的运算【例1】 (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( ) A.0B.4C.－92D.－172(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A.－15B.－9C.－6D.0【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12， 所以m ·n ＝－2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＝－172.(2)连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.【规律方法】 1.数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】 (1)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( )A.16B.12C.8D.－4(2)(2019·皖南八校三模)已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________.。
2021新高考数学二轮总复习学案：1.3平面向量与复数组合练含解析
2021新⾼考数学⼆轮总复习学案：1.3平⾯向量与复数组合练含解析1.3平⾯向量与复数组合练必备知识精要梳理1.复数的加、减、乘的运算法则与实数运算法则相同,除法的运算就是分母实数化.2.复数z=a+b i(a,b∈R)与复平⾯内的点Z(a,b)及平⾯向量⼀⼀对应,|z-(a+b i)|=r(r,a,b∈R)表⽰复平⾯内以(a,b)为圆⼼,r为半径的圆.3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)为⾮零向量,夹⾓为θ,则a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0;a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.5.平⾯内三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线??(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0.考向训练限时通关考向⼀复数的运算及复数的⼏何意义1.(2020⼭东,2)=()A.1B.-1C.iD.-i2.(2020全国Ⅰ,理1)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.D.23.(多选)若复数z=在复平⾯内对应的点在第⼆象限内,则实数a的值可以是()A.1B.0C.-1D.-24.(2020全国Ⅱ,理15)设复数z1,z2满⾜|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=.考向⼆平⾯向量的概念及线性运算5.(多选)关于平⾯向量a,b,c,下列说法中不正确的是()A.若a∥b且b∥c,则a∥cB.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,则b=cD.(a·b)·c=a·(b·c)6.(2020⼭东泰安⼀模,6)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m=n,则m+n=()A.1B.C.2D.37.(多选)如图所⽰,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是()A. B.C. D.8.(2020全国Ⅰ,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.考向三平⾯向量基本定理及坐标表⽰9.(2020⼭东,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的⼀点,则的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)10.(2020全国Ⅲ,⽂6)在平⾯内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线11.(2020安徽合肥⼀中模拟,10)如图,已知矩形LMNK,LM=6,sin∠MLN=,圆E半径为1,且E为线段NK的中点,P为圆E上的动点,设=λ+µ,则λ+µ的最⼩值是()A.1B.C. D.512.(2020北京,13)已知正⽅形ABCD的边长为2,点P满⾜),则=.考向四平⾯向量的数量积13.(2020全国Ⅲ,理6)已知向量a,b满⾜|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos=()A.-B.-C. D.14.(2020⼭东济南⼀模,3)体育锻炼是青少年学习⽣活中⾮常重要的组成部分.某学⽣做引体向上运动,处于如图所⽰的平衡状态时,若两只胳膊的夹⾓为60°,每只胳膊的拉⼒⼤⼩均为400 N,则该学⽣的体重(单位:kg)约为()(参考数据:取重⼒加速度⼤⼩为g=10 m/s2,≈1.732)A.63B.69C.75D.8115.(多选)(2020海南天⼀⼤联考模拟三,10)已知向量a=(,1),b=(cos α,sin α),α∈,则下列结论正确的有()A.|b|=1B.若a∥b,则tan α=C.a·b的最⼤值为2D.|a-b|的最⼤值为316.(2020全国Ⅱ,理13)已知单位向量a,b的夹⾓为45°,k a-b与a垂直,则k=.1.3平⾯向量与复数组合练考向训练·限时通关1.D解析=-i,故选D.2.D解析由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.3.ABC解析因为复数z=(a-2)+(a+2)i,由复数z在复平⾯内对应的点在第⼆象限内,所以即-24.2解析设z1=a+b i,z2=c+d i,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.⼜z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,∴a+c=,b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.∴|z1-z2|==25.ACD解析对于A,若b=0,因为0与任意向量平⾏,所以a不⼀定与c平⾏,故A 不正确;对于B,向量数量积满⾜分配律,故B正确;对于C,若a⊥b,a⊥c,则b与c不⼀定相等,故C不正确;对于D,(a·b)·c是与c共线的向量,a·(b·c)是与a共线的向量,故D不正确.故选ACD. 6.C解析连接AO,由O为BC的中点可得,)=,因为M,O,N三点共线,所以=1,所以m+n=2.故选C.7.ABD解析,故A正确;)+,故B正确;=-,故C错误;=-,故D正确.故选ABD.8解析∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,∴a·b=-,∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=9.A解析如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建⽴平⾯直⾓坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,),C(3,).设P(x,y),则=(x,y),=(2,0),=2x+0×y=2x.∵-110.A解析以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建⽴平⾯直⾓坐标系.设C(x,y),A(-a,0),则B(a,0),则=(x+a,y),=(x-a,y),由=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.11.B解析由已知建⽴如图所⽰的平⾯直⾓坐标系,由LM=6,sin∠MLN=,解得MN=,则M,N(3,0),L-3,-.设P(cosθ,sinθ).因为=+=cosθ-3,sinθ+,=(-6,0),=0,.所以=cosθ-3,sinθ+=λ(-6,0)+µ0,,即解得所以λ+µ=sinθ-cosθ=sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时,λ+µ的最⼩值是故选B.12.-1解析以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建⽴如图所⽰的平⾯直⾓坐标系,则点A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2))=(2,0)+(2,2)=(2,1 ),则点P(2,1).=(-2,1),=(0,-1),=0×(-2)+1×(-1)=-1.13.D解析∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,∴cos=14.B解析由题意知,两只胳膊的拉⼒F1=F2=400,夹⾓θ=60°,所以体重G=-(F1+F2).所以G2=(F1+F2)2=4002+2×400×400×cos60°+4002=3×4002.所以|G|=400(N),则该学⽣的体重约为40=40×1.732≈69(kg).故选B.15.AC解析对于A,|b|==1,故A正确;对于B,若a∥b,则sinα-cosα=0,∴tanα=,故B错误;对于C,a·b=cosα+sinα=2sin,最⼤值为2,故C正确;对于D,作图可知,当α=,即b=(0,1)时,|a-b|取得最⼤值,故D错误. 16解析由题意可知,a·b=|a||b|cos45°=∵k a-b与a垂直,∴(k a-b)·a=k|a|2-a·b=k-=0,∴k=。
高考数学一轮复习第六章 平面向量与复数答案 (2)
第六章 平面向量与复数 第29讲 平面向量的概念与线性运算1. B【解析】 由A ，B ，C 三点共线，得OA→＝t OB →＋(1－t )OC →＝(1＋t )a ＋(t －2)b ，因为a ，b 是不共线的向量，所以λ＝t ＋1，μ＝t －2，所以λ＝μ＋3，故选B.2.C【解析】由已知可得点M 是靠近点B 的三等分点，且点N 是AC 的中点，所以MN →＝MC →＋CN →＝23BC →＋12CA →＝23(AC →－AB →)－12AC →＝16AC →－23AB →.故选C.3. B 【解析】 如图，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC→.故选B.(第3题)4. A【解析】 如图，由题意可得DE →＝23DC →＝23×12AB →＝13a ，由向量加法的三角形法则可得BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－a ＋b ＋13a ＝－23a ＋b .(第4题)5.C【解析】如图，已知D ，P 分别为BC ，AD 的中点，由向量的加减法运算，得BP→＝BD →＋DP →＝BD →－PD→，AB →＝AD →＋DB →＝－BD →＋2PD →，AC →＝AD →＋DC →＝BD →＋2PD →，又因为BP →＝λAB →＋μAC→＝(μ－λ)BD →＋(2λ＋2μ)PD →，则⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝1，2λ＋2μ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－34，μ＝14，故λ＋μ＝－12.(第5题)6. AB7. ABD8. ACD 【解析】 根据平面向量共线的知识可知A 选项正确；对于B 选项，若a 与b 共线，可能a ＝0，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得b ＝λa ，所以B 选项错误；根据平面向量的基本定理可知C 、D 选项正确．9. ABD 【解析】 对于A ，因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB→＋AD→，所以A 正确；对于B ，因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC →，而BC →＝－12AB→＋AD →，代入可得，AF →＝13AB →＋13AD →，所以B 正确；对于C ，因为BF →＝AF →－AB →，而AF →＝13AB →＋13AD →，所以BF →＝－23AB →＋13AD→，所以C 不正确；对于D ，因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得，CF →＝－16AB →－23AD →，所以D 正确．10. －23【解析】 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB→＝k AC→，所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ，即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，t ＝－23.11. 1 【解析】 由平面向量的运算可知BD→＝AD →－AB →，而AD →＝2AE →，AB →＝AH →＋HB→＝2AF →－AE →，所以BD →＝AD →－AB →＝2AE →－(2AF →－AE →)＝3AE →－2AF→.由题图知AE →，AF →不共线，且BD →＝x AE →＋y AF →，所以x ＝3，y ＝－2，所以x ＋y ＝1. 12. 43 【解析】 因为E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，所以AE →＝12(AD →＋AC →)，AF→＝12(AB →＋AC →)，两式相加得2AE →＋2AF →＝AB →＋AD →＋2AC →＝3AC →，所以AC →＝23AE →＋23AF →，即λ＝μ＝23，λ＋μ＝43.13. 【解答】 (1) 因为AB→＝OB →－OA →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ，BC →＝OC →－OB →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB→，所以AB →与BC →共线．因为AB →与BC →有公共端点B ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，所以存在实数λ，使得8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )＝λk a ＋2λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝8，k ＝2λ，解得λ＝±2，故k ＝2λ＝±4.14. 【解答】 (1) 因为BC →＝3CD →，所以CD →＝13BC →，因为E 为线段AD 的中点，所以AE →＝12AD →＝12(AC →＋CD →)＝12AC →＋16BC →.因为BC →＝AC →－AB →，所以AE →＝12AC →＋16(AC →－AB →)＝23AC →－16AB →.因为AE →＝x AB →＋y AC →，所以y ＝23，x ＝－16，所以x ＋y ＝－16＋23＝12.(2) 由题图可知x ，y 均为正数，设AD→＝m AB →＋n AC →，AE →＝λAB →＋μAC →，因为B ，D ，E ，C 四点共线，所以m ＋n ＝1，λ＋μ＝1. 因为AD→＋AE →＝x AB →＋y AC →＝(m ＋λ)AB →＋(n ＋μ)AC →， 所以x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，所以1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92， 故1x ＋4y 的最小值为92. 15. 【解答】 (1) 因为AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋14BC →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →，所以x ＝34，y ＝14，因此，x －y ＝34－14＝12.(2) 设AP →＝λAM →＝34λAB →＋14λAC →，再设NP→＝k NC →，则AP →－AN →＝k (AC →－AN →)，即AP →＝(1－k )AN →＋k AC →＝1－k 2AB →＋k AC→，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 34λ＝1－k 2，14λ＝k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝47，k ＝17，所以AP →＝37AB →＋17AC →，因此，AP →·BC →＝17(3AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝17(AC →2＋2AB →·AC →－3AB →2)＝17×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＋2×4×3×12－3×42＝－277. 第30讲 平面向量的基本定理及坐标表示1. D2. D3.B【解析】以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意可得e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)．设a ＝x e 1＋y e 2＝x (1,0)＋y (－1,1)＝(x －y ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.4. A 【解析】 因为向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，a －λb ＝(3－λ，1－3λ)，所以|a －λb|＝(a －λb )2＝(3－λ)2＋(1－3λ)2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ－322＋14≥1.当且仅当λ＝32时，|a －λb |有最小值1.5. C 【解析】 因为AC→＝AB →＋AD →，所以AM →＝2λAB →－3μAC →＝2λAB →－3μ(AB →＋AD→)＝(2λ－3μ)AB →－3μAD →.因为BE →＝4EA →，AF →＝3FD →，所以AM →＝5(2λ－3μ)AE →－4μAF →.因为E ，F ，M 三点共线，所以5(2λ－3μ)－4μ＝1,10λ－19μ＝1，所以5λ－192μ＝12. 6. D 【解析】 由题可得A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，－332.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－32μ＝－32，μ2＝－332，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝－33，所以μλ＝3.7.ABC【解析】 设A (5,7)，B (－3,5)，C (3,4)，第四个顶点坐标为D (x ，y )，分以下三种情况讨论：①若四边形ABDC 为平行四边形，则AC→＝BD→，即(－2，－3)＝(x ＋3，y －5)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝－2，y －5＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝2，此时点D 的坐标为(－5,2)．②若四边形ABCD 是平行四边形，则AD→＝BC→，则(x －5，y －7)＝(6，－1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝6，y －7＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝11，y ＝6，此时点D 的坐标为(11,6)．③若四边形ACBD 为平行四边形，则AD→＝CB→，即(x －5，y －7)＝(－6,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－6，y －7＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8，此时点D 的坐标为(－1,8)．综上所述，第四个顶点的坐标为(11,6)或(－5,2)或(－1,8)．8. ACD 【解析】 A 中，AM →＝12AB →＋12AC →⇒12AM →－12AB →＝12AC →－12AM →，即BM →＝MC →，则M 是BC 的中点，A 正确． B 中，AM→＝2AB →－AC →⇒AM →－AB →＝AB →－AC →，即BM →＝CB→，则点M 在边CB 的延长线上，所以B 错误． C 中，如图，设BC 中点为D ，则AM →＝－BM →－CM →＝MB →＋MC →＝2MD→，由重心性质可知C 正确． D 中，AM →＝x AB →＋y AC →且x ＋y ＝12⇒2AM→＝2x AB →＋2y AC →，2x ＋2y ＝1.设AD →＝2AM→，所以AD →＝2x AB →＋2y AC →，2x ＋2y ＝1，可知B ，C ，D 三点共线，所以△MBC 的面积是△ABC 面积的12，D 正确．(第8题)9.AB【解析】 设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ，则存在实数t∈(0,1)，使得(1)ON→＝t OA →＋(1－t )OB →，且存在实数r >1，使得OM →＝r ON →，从而OM →＝rt OA →＋r (1－t )OB →，且rt ＋r (1－t )＝r ＞1.又由于0<t <1，故r (1－t )>0.对于A ，rt ＝1，r (1－t )＝2，解得r ＝3，t ＝13，满足r >1，也满足r (1－t )>0，故A 满足条件；对于B ，rt ＝34，r (1－t )＝13，解得r ＝1312，t ＝913，满足r >1，也满足r (1－t )>0，故B满足条件；对于C ，rt ＝12，r (1－t )＝13，解得r ＝56，t ＝35，不满足r >1，故C 不满足条件；对于D ，rt ＝34，r (1－t )＝15，解得r ＝1920，t ＝1519，不满足r >1，故D 不满足条件．10. 35 11.23(2d －c )23(2c －d )【解析】设AB→＝a ，AD→＝b .因为M ，N 分别为DC ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a .又⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ，所以⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．12.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，322 (1,3]【解析】过点D 作x ，y 轴的垂线，垂足分别为E ，F ，过点C 作x ，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，如图所示，则∠OBA ＝∠DAE ＝∠BCN ＝θ，设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＝CN ＝cos θ，y 1＝OB ＋BN ＝2cos θ＋sin θ，x 2＝OA ＋AE ＝2sin θ＋cos θ，y 2＝DE ＝sin θ.当θ＝π4时，x 1＝cos π4＝22，y 1＝2cos π4＋sin π4＝322，所以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，322. 当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2时，C (cos θ，2cos θ＋sin θ)，D (2sin θ＋cos θ，sin θ)， 则OC →·OD →＝cos θ(2sin θ＋cos θ)＋(2cos θ＋sin θ)sin θ＝1＋4sin θcos θ＝1＋2sin 2θ∈(1,3]，因此，OC →·OD→的取值范围是(1,3]．(第12题)13. 【解答】 (1) 因为3a ＋b －c ＝(9,6)＋(－1,2)－(4,1)＝(4,7)， 所以|3a ＋b －c |＝16＋49＝65.(2) 因为m b ＋n c ＝(－m,2m )＋(4n ，n )＝(4n －m,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4n －m ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3) 因为a ＋b ＝(2,4)且(d －c )∥(a ＋b )， 所以d －c ＝λ(a ＋b )＝(2λ，4λ)，λ∈R ， 所以|d －c |＝4λ2＋16λ2＝1，解得λ＝±510.当λ＝510时，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55，255＋(4,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4＋55，255＋1； 当λ＝－510时，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－55，－255＋(4,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－55，1－255. 14. 【解答】 (1) 因为A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，所以AB→＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)，2AB →＋AC →＝(－1,7)，因此，|2AB→＋AC →|＝(－1)2＋72＝52.(2) 由(1)知，AB→＝(－1,1)，AC →＝(1,5)，所以cos θ＝AB→·AC →|AB →|·|AC →|＝(－1，1)·(1，5)(－1)2＋12×12＋52＝42×26＝21313.15. 【解答】 (1) 由A ，M ，D 三点共线，可设OM→＝m OA →＋(1－m )OD →＝m a ＋1－m2b .由B ，M ，C 三点共线，可设OM →＝n OC →＋(1－n )OB → ＝n4a ＋(1－n )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14n ，1－m2＝1－n ，解得m ＝17，n ＝47，所以OM →＝17a ＋37b .(2) 因为E ，M ，F 三点共线，所以设OM →＝k OE →＋(1－k )·OF → ＝kλa ＋(1－k )μb ，由(1)知kλ＝17，(1－k )μ＝37，所以1λ＝7k ，3μ＝7－7k ，所以1λ＋3μ＝7，为定值．第31讲 平面向量数量积的应用1.D【解析】由|a|＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，得⎩⎨⎧(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝1＋a ·b ＝0，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2a ·b ＋b 2＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝－1，b2＝2.所以|a －b|＝(a －b )2＝a2－2a ·b ＋b2＝1＋2＋2＝5.2. C 【解析】 因为OA→＋OB →＋OC →＝0，所以O 为△ABC 的重心，所以△OBC 的面积是△ABC 面积的13.因为AB →·AC →＝23，所以|AB →|·|AC→|cos ∠BAC ＝23.因为∠BAC ＝60°，所以|AB →|·|AC →|＝43，所以S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，所以△OBC 的面积为1.故选C.3. D 【解析】 因为|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，所以a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝52－6＝19.又|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a2＋2a ·b ＋b2＝25－2×6＋36＝7，所以cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝195×7＝1935. 4. A【解析】 如图，根据正六边形的特征，可以得到AP→在AB →方向上的投影的取值范围是(－1,3)，结合向量数量积的定义，可知AP →·AB →等于AB →的模与AP→在AB →方向上的投影的乘积，所以AP →·AB→的取值范围是(－2,6)．(第4题)5. C 【解析】 由题得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，BF →＝BC →＋CF →＝AD→＋23CD →＝AD →－23AB →，则AE →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →·AD →－23AB →2＋12AD →2. 因为AB ＝2AD ＝23，所以AD ＝3，所以AE →·BF →＝23×23×3×cos ∠DAB －23×(23)2＋12×(3)2＝－172，解得cos ∠DAB ＝－12，所以∠DAB ＝120°.6. B 【解析】 依题意可知AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos 135°＝－2，MC →＝AC →－AM →＝AB →＋AD →－12(AE →＋AF→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12λAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12μAD →，所以|MC →|＝MC→2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12λ2－4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12μ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12μ2.因为4λ＋μ＝1，μ＝1－4λ，所以|MC→|＝412λ2－λ＋1，根据二次函数的性质可知，Δ<0，当λ＝－－12×412＝141时，|MC →|取得最小值，此时μ＝1－4λ＝3741，所以μλ＝37.7.BC【解析】如图，连接AB ，过点C 作CD⊥AB 交AB 于点D ，则D 是AB 的中点，故AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠CAD ＝|AB →|·|AD →|＝12|AB→|2，故AB →·AC→的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关，故选BC.(第7题)8.ABC【解析】设BC＝DE ＝m ，因为∠A ＝30°，且B ，C ，D 三点共线，则CD ＝AB ＝3m ，AC ＝EC ＝2m ，所以∠ACB ＝∠CED ＝60°，∠ACE ＝90°，所以CD→＝3 BC→，CA →·CE →＝0，AB →∥DE →，故A ，B ，C 成立；而CA →·CB →＝2m ·m ·cos 60°＝m 2，CE →·CD →＝2m ·3m ·cos 30°＝3m 2，即CA →·CB →＝CE →·CD→不成立． 9.AD【解析】 当a ，b 共线时，ab ＝|a －b|＝|b －a|＝ba ，当a ，b 不共线时，ab ＝a·b ＝b·a ＝ba，故A 正确．当λ＝0，b ≠0时，λ(a b )＝0，(λa )b ＝|0－b |≠0，故B 错误．当a ＋b 与c共线时，存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )c ＝|a ＋b －c|，ac ＋bc ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c|≠a·c ＋b·c ，故C 错误．当e 与a 不共线时，|ae|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1；当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|ae|＝|a －e|＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1＝|a |＋1，故D 正确．10. 511. 18 【解析】 由图可知，∠FAD ＝30°，∠FCA ＝60°，所以AF→⊥FC →.又FC →∥GD →∥HI →，AF →⊥IH →，即AF →·IH→＝0， 又AC →＋CF →＝AF →，AF →·AP1→＝AF →·(AI →＋IP1→)＝AF →·AI →＝|AF →|·|AI →|cos 30°＝3×4×32＝6.同理，AF →·AP2→＝AF →·AP3→＝6， 所以(AC →＋CF →)·(AP1→＋AP2→＋AP3→)＝AF →·AP1→＋AF →·AP2→＋AF →·AP3→＝18. 12. 16132【解析】 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，所以∠BAD ＝180°－∠B ＝120°，所以AB →·AD →＝λBC →·AB →＝λ|BC →|·|AB →|cos 120°＝λ×6×3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－9λ＝－32，解得λ＝16.以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C (6,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，332. 因为AD →＝16BC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，332. 设M (x,0)，则N (x ＋1,0)(其中0≤x ≤5)，DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －52，－332，DN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －32，－332，所以DM →·DN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －52⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －32＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3322＝x 2－4x ＋212＝(x －2)2＋132，所以当x ＝2时，DM →·DN →取得最小值132.(第12题)13. 【解答】 (1) 因为m ＝3，n ＝－1，所以a ＝(1,3)，b ＝(2，－1)， 所以a ＋λb ＝(1＋2λ，3－λ)．又a ⊥(a ＋λb )，所以1＋2λ＋3(3－λ)＝0，解得λ＝10.(2) 因为a ＝(1，m )，b ＝(2，n )，所以a ＋b ＝(3，m ＋n )． 又|a ＋b |＝5，所以9＋(m ＋n )2＝25，即(m ＋n )2＝16，所以a·b ＝2＋mn ≤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 22＝2＋4＝6，当且仅当m ＝n 时取等号， 即a·b 的最大值为6.14. 【解答】 (1) 由于D 是BC 的中点，所以AD →＝12(AB →＋AC →)，由于AE→＝2EB →，AF →＝12FC →，所以AE →＝23AB →，AF →＝13AC →，所以AD →·EF →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AC →－23AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23AB →2－13AB →·AC →＋13AC →2＝－13AB →2－16AB →·AC →＋16AC →2＝－13×62－16×6×3×12＋16×32＝－12.(2) 因为DE →＝AE →－AD →＝23AB →－12(AB →＋AC →)＝16AB →－12AC →，DF →＝AF →－AD →＝13AC→－12(AB →＋AC →)＝－12AB →－16AC →， 所以DE →·DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16AB →－12AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12AB →－16AC →＝－112AB →2＋112AC →2＋29AB →·AC →＝－3＋34＋29AB →·AC →＝0，解得AB →·AC →＝818.15. 【解答】 (1) 在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AB ＝ 2CD ，所以AO ＝2OC ， 所以AM →·BD →＝(AO →＋OM →)·BD →＝AO →·BD →＋OM →·BD →＝AO →·BD →＝23AC →·BD →＝23(AD→＋DC →)·(AD →－AB →)＝23(AD →2－DC →·AB →)＝23(4－2×4)＝－83.(2) 令AM →＝λAB →， AM →·BD →＝λAB →·BD →＝λAB →·(AD→－AB →)＝－λAB →2＝－16λ＝－83，则λ＝16，即AM →＝16AB →，所以AN →·MN →＝AN →·(AN →－AM →)＝AN →2－AN →·AM→＝AN →2－|AN →|×|AM →|×cos45°＝AN →2－16×|AN →|×|AB →|×cos 45°＝|AN →|2－23|AN →|.令|AN →|＝t ，则 0≤t ≤22 ，AN →·MN→＝t 2－23t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －262－118，所以当|AN →|＝26时， AN →·MN →取最小值－118.第32讲 复 数1. C2. A3. A4. A【解析】因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1－2i ，所以z 2＝－1－2i ，所以z1z2＝1－2i－1－2i ＝－(1－2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝4i ＋35＝35＋45i.5. A 【解析】 若复数z 满足z (1－i)＝|2＋2i|，则z ＝|2＋2i|1－i ＝22(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋2i ，即复数z 的虚部为2.6. D【解析】 因为1＋i1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ，又i 4＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 2020＝i 2020＝(i 4)505＝1. 7.ABC【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b∈R )，因为z ＋1z＝i ，所以a ＋b i ＋1＝(a ＋b i)i ＝a i ＋b i 2＝－b ＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－b ，b ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－12，所以z ＝－12－12i ，所以|z |＝22.故选ABC.8. AD 【解析】 因为z ＝3＋2i 2－i ＝(3＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝45＋75i ，所以z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，75，在第一象限，故A 正确；z 的虚部是75，故B 不正确；|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫752＝655，故C 不正确；设z 1＝x ＋y i ，x ，y∈R ，由|z 1－z |＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －752＝1，即点(x ，y )在以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，75为圆心，以1为半径的圆上，则(x ，y )到(0,0)的距离的最大值为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫752＝1＋655，即|z 1|的最大值为1＋655，故D 正确．9. ABC10. 3－2i 11. －7 12.y24＋x23＝1【解析】设复数z 对应的点为Z ，则|z －i|表示点Z 到点A (0,1)的距离，|z ＋i|表示点Z 到点B (0，－1)的距离，又AB ＝2，由|z ＋i|＋|z －i|＝4知点Z 到点A ，B 的距离和大于AB ，知z 在复平面内对应点的轨迹为椭圆，所以a ＝2，c ＝1，则b ＝3，椭圆的焦点就是A ，B ，所以z 在复平面内对应的点的轨迹方程是y24＋x23＝1.13. 【解答】 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )5＝1－i.因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.14.【解答】 (1)设向量OB→对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．因为A (2,1)，所以由对称性可知a ＝2，b ＝－1，所以OB →对应的复数为z 1＝2－i. (2) 设点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则点C 对应的坐标为(c ，d )．由(1)知B (2，－1)，则由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1， 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.15. 【解答】 (1) 设z 1＝c ＋d i(c ，d ∈R )， 则c2＋d2＝1＋i ＋c ＋d i ＝(1＋c )＋(1＋d )i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝0，c2＋d2＝1＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，d ＝－1，所以z 1＝－i.(2) 由(1)得z 2＝a 2－1－(a －1)i(a ∈R )， 由z 2是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a2－1＝0，a －1≠0，所以a ＝－1.。
第06讲-平面向量与复数(解析版)
第06讲-平面向量与复数(解析版)第06讲-平面向量与复数(解析版)平面向量与复数是数学中的两个重要概念，它们在解析几何和复数运算中起着重要的作用。
平面向量用来描述平面上的位移和方向，而复数则是由实部和虚部构成的数，可以表示平面上的点与向量。
平面向量的定义与性质平面向量可以理解为带有方向的位移量，它由两个点确定，可以用向量箭头表示。
一个平面向量可以表示为AB(向量上面带有箭头)，其中A和B为向量的起点和终点，也可以使用向量的分量形式表示为向量的横坐标和纵坐标。
平面向量有一些重要的性质，首先，向量的大小用向量的模表示，表示为|AB|，即向量的长度。
其次，向量可以进行加法和乘法运算，向量的加法是指向量与向量相加的运算，向量的乘法是指向量与标量相乘的运算。
向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
向量的乘法也满足一些性质，标量与向量相乘，可以改变向量的大小和方向，但是不改变其方向。
平面向量可以表示为有向线段，即从起点指向终点的线段。
向量的方向可以用角度来表示，称为向量的方向角。
向量的方向角可以通过三角函数来计算，其中正弦和余弦分别表示向量的纵坐标和横坐标与向量模的比值。
复数的定义与性质复数是由实部和虚部构成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数在解析几何和电路等领域有广泛应用。
复数有一些重要的性质，首先，复数可以进行加法和乘法运算。
复数的加法满足交换律和结合律，即a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i。
复数的乘法满足交换律、结合律和分配律，即(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2。
复数可以表示为平面上的点，其中实部对应点的横坐标，虚部对应点的纵坐标。
复数的大小用模表示，表示为|a + bi|，即复数的距离原点的距离。
平面向量和复数的习题
平面向量题型1. 概念判析[例1]判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若b a b a ==则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a=；(7)若b a r r //，c b//，则c a // (8)若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A(9) b a =的充要条件是||||b a=且b a //；[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。
解析：解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若0=b ，则不共线的向量c a ,也有0//a，c //0。
(8) 不正确, 如图DA BC CD B ≠=,A （9）不正确，当b a //，且方向相反时，即使||||b a=，也不能得到b a =；1． 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D③任一向④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC⑤模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的BACPNM概念特征及相互关系必须把握好.2．下列命题正确的是（A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c B. C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.3.已知a 、b 是两个不共线的向量，若它们起点相同，a 、21b 、t （a +b ）三向量的终点在一直线上，则实数t=_________. 【解析】如图, ∵a 、21b 、t （a +b ）三向量的终点在一直线上, ∴存在实数λ使:t （a +b ）—21b =λ（a —21b ）得（t —λ）a =（21—21λ—t ）b又∵a 、b 不共线，∴t —λ=0且21—21λ—t=0解得t=314．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e 答案：D考点二: 平面向量的坐标表示与运算 题型1: 向量加、减、数乘的坐标运算[例3] 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且CA CM 3=,CB CN 2=,求点M 、N 的坐标及向量MN 的坐标.[解题思路]： 利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。
专题6 平面向量及其应用,复数(解析版)
专题6 平面向量及其应用,复数1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.3.考查复数的概念、几何意义、复数的运算.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的模、共轭复数等概念.预测2021年将作为必考内容，侧重平面向量的运算、复数的概念、几何意义及复数的运算考查，.第一部分 平面向量及其应用一、单选题1．（2020届山东省青岛市高三上期末）向量,a b 满足1a =，2b =，()(2)a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】C 【解析】设向量a 与b 的夹角为θ．∵()(2)a b a b +⊥-，∴2222()(2)221(2)1cos 0a b a b a b a b θ+⋅-=-+⋅=⨯-+=，化为cos 0θ=， ∵[0,]θπ∈，∴090θ=．故选C ．2．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ）A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B 【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.3．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（ ） A ．31- B ．31+C ．2D ．23-【答案】A 【解析】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===， 则由π,3a e =得22π1cos ,,332a x e e x x y y a ⋅=⋅=+∴=±， 由2430b e b -⋅+=得()2222430,21,m n m m n +-+=-+= 因此，a b -的最小值为圆心()2,0到直线3y x =±的距离23=32减去半径1，为3 1.-选A. 4．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知3()|sin |f x x π=，123,,A A A 为图象的顶点，O ，B ，C ，D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q ．记2(1,2,,5)i i n OA OQ i =⋅=，则15n n ++的值为（ ）A 1532B ．45C ．452D 1534【答案】C 【解析】解：由图中几何关系可知，32OE =,232A E =,23OA =,21A C =230A OC ︒∠=∴ 260A O C ︒∠=，32//A D A C ,∴23OA DA ⊥，即23OA DA ⊥．则2222()cos6i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD OA OD π=⋅=⋅+=⋅=⋅，1534533522n n ++=⨯⨯⨯=答案选C5．（2020届山东省青岛市高三上期末）在ABC ∆中,2AB AC AD +=,20AE DE +=,若EB xAB y AC =+,则( ) A ．2y x = B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-【答案】D 【解析】如图所示：∵2AB AC AD +=， ∴点D 为边BC 的中点，∵20AE DE +=，∴2AE DE =-，∴11()36DE AD AB AC =-=-+，又11()22DB CB AB AC ==-， ∴1121()()2633EB DB DE AB AC AB AC AB AC =-=-++=-．又EB xAB y AC =+， ∴21,33x y ==-，即2x y =-． 故选：D ．6．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=（ ） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】D 【解析】由题意得：1121()3333CP CA AP CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+ 22218443333CP CA CP CB CA CB ⋅+⋅=+=+=,故选：D.7．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）在ABC ∆中,2AB AC AD +=,20AE DE +=,若EB xAB y AC =+,则( )A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-【答案】D 【解析】如图所示：∵2AB AC AD +=， ∴点D 为边BC 的中点，∵20AE DE +=，∴2AE DE =-，∴11()36DE AD AB AC =-=-+， 又11()22DB CB AB AC ==-， ∴1121()()2633EB DB DE AB AC AB AC AB AC =-=-++=-．又EB xAB y AC =+， ∴21,33x y ==-，即2x y =-． 故选：D ．8．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）如图，在ABC ∆中，3BAC π∠=，2AD DB =，P 为CD上一点，且满足12AP mAC AB =+，若ABC ∆的面积为23，则AP 的最小值为( )A 2B ．43C ．3D 3【答案】D 【解析】()AP AC CP AC kCD AC k AD AC =+=+=+- 23AC k AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()21132k AB k AC mAC AB =+-=+，得到211,32k k m -==，所以14m =，结合 ABC ∆的面积为2313322AC AB ⋅⋅=得到8AC AB ⋅=，所以 222211111613164816AP AC AB AC AB AC AC=++⋅⋅=++≥，故选D ． 二、多选题9．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知向量()()2sin 3,cos ,cos m x n x x =-=，，函数()231f x m n =⋅++，下列命题，说法正确的选项是（ ）A ．2()6f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭B ．6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的图像关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,,32x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则123()()()f x f x f x +>【答案】BD 【解析】函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，A ：当0x =时，166f x f ππ⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2201f x f -=-=+A 错； B ：()2sin 216f x x π⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，当4x π=时，对应的函数值取得最小值为1-，所以B 正确；C ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，23x π-2,33ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故C 错；D ：因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以23x π-()2,1,333f x ππ⎡⎤⎤∈∴∈⎢⎥⎦⎣⎦，，又)213>，即2()()min max f x f x >()()()123123,,,32x x x f x f x f x ππ⎡⎤∈+>⎢⎥⎣⎦，恒成立，故D 对；故选：BD. 三、填空题【答案】8. 【解析】向量4,36,a b m a b =-=⊥（），（），， 则•046308a b m m =-⨯+==，，.11．（2020届山东省高考模拟）已知两个单位向量a b ，的夹角为30，(1),0c ma m b b c =+-⋅=，则m =______．【答案】423+ 【解析】223[(1)](1)()||||cos30(1)||102b c b ma m b ma b m b m a b m b m m ︒⋅=⋅+-=⋅+-=+-=+-=， 所以423m =+， 故答案为423+．12．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图，在边长为2的菱形ABCD 中60BAD ∠=，E 为CD 中点，则AE BD ⋅= 、【答案】1 【解析】 将表示为，然后利用向量的运算法则及数量积的定义即可求解．在菱形ABCD 中，60BAD ∠=，所以三角形ABD 是正三角形，从而()AE BD AD DE BD ∴⋅=+⋅=AD BD ⋅+DE BD ⋅故答案为1．13．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是________． 【答案】1 【解析】 ∵a b ⊥；∴220a b m ⋅=-=； ∴m ＝1． 故答案为：1．14．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知向量a =（1，1），b =（﹣1，3），c =（2，1），且（a b λ-）∥c ，则λ＝_____. 【答案】17- 【解析】向量a =（1，1），b =（﹣1，3），c =（2，1）， 所以a b λ-=（1+λ，1﹣3λ），又（a b λ-）∥c ，所以，2×（﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λ17=-. 故答案为：17-. 15．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知向量(1,1)a x =+，(,2)b x =，若满足a b ，且方向相同，则x =__________． 【答案】1 【解析】∵a b ，∴(1)20x x +-=，解得1x =或2x =-，1x =时，(1,2),(1,2)a b ==满足题意，2x =-时，(1,1),(2,2)a b =-=-，方向相反，不合题意，舍去．∴1x =． 故答案为：1．【解析】依题意[]0,πθ∈，所以cos 55||||5a b a b θθ⋅==-=-==⨯.故答案为：55【答案】32【解析】 由题可知1,b = 故，a 在b 方向上的投影为即答案为32. 18．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知ABC ∆的顶点A ∈平面α,点B ,C 在平面α异侧,且2AB =,3AC =,若AB ,AC 与α所成的角分别为3π,6π,则线段BC 长度的取值范围为______. 【答案】7,13⎡⎤⎣⎦【解析】如图所示：分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ． 由已知可得，13BB =13CC =11AB =，132AC =． ∵1111BC BB BC C C=++， ()22222221111111111111132723344BC BB B C C CBB B C C C BB C C B C B C =++=+++⋅=+++=+而111111AB AC B C AB AC -≤≤+，∴当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点同侧时，BC 长度最小，此时111131122B C AB AC =-=-=，BC =； 当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点异侧时，BC 长度最大，此时111135122B C AB AC =+=+=，BC =．∴线段BC 长度的取值范围为．故答案为：．【答案】1 【解析】∵a b ，∴(1)20x x +-=，解得1x =或2x =-，1x =时，(1,2),(1,2)a b ==满足题意，2x =-时，(1,1),(2,2)a b =-=-，方向相反，不合题意，舍去．∴1x =． 故答案为：1．【解析】由(3,1)a =-可得2||(3)2a ==， 则||||cos 13a b a b π⋅=⋅=，所以222|2|(2)4413a b a b a a b b -=-=-⋅+=.故答案为21．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，在半径为r 的定圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若AB AC AD +=，且点D 在圆C 上，则AB AC ⋅=_____．【答案】22r【解析】∵AB AC AD +=，∴四边形ABCD 为平行四边形， 又∵AC CD CB r ===，∴60CAB ∠=，∴2cos 602r AB AC r r ⋅=⨯⨯=，故答案为：22r .四、解答题第二部分 复数一、单选题1．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D 2【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模.详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.A ．1B ．2C D ．【答案】C 【解析】由22(1)1,||1i i z i z i+==-+=-. 故选:C.3．（2020届山东省淄博市高三二模）已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】B 【解析】由()1243i z i +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2z i =+． 故选：B4．（2020届山东省高考模拟）若1iz i =+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】分析：变形1iz i =-+，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+， 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-，1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，故选D. A ．3- B ．3 C ．1D ．1-【答案】D 【解析】 由题,()()()()5252112222i i ia a a i a i i i i -+=+=++=++++-,因为纯虚数,所以10a +=,则1a =-, 故选:DA ．1z +是实数B ．1z +是纯虚数C ．z i +是实数D ．z i +是纯虚数【答案】B 【解析】因为复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，所以复数1z i =-+ 因为111z i i +=-++=是纯虚数，所以A 不正确，B 正确；因为112z i i i i +=-++=-+不是实数，也不是纯虚数，所以C,D 都不正确， 故选：BA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】根据题意cos sin ixe x i x =+，故31cossin 332πππ=+=+i e i ，表示的复数在第一象限. 故选：A .8．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设复数z 满足||2z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ）A ．22(1)2x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y +-=D ．22(1)2x y ++=【答案】C 【解析】∵z 在复平面内对应的点为(,)x y ， ∴z x yi =+，||2z i -=，2=，即22(1)4x y +-=.故选：C .9．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C 【解析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-22(1)1,z i x y -=+-=则22(1)1y x +-=．故选C ．10．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，则 ( ) A ．1z +是实数 B ．1z +是纯虚数 C ．z i +是实数 D ．z i +是纯虚数【答案】B 【解析】由题意，1z i =-+则1z i +=，为纯虚数，故A 错误，B 正确；12z i i +=-+，故C,D 错误，故选：B11．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知复数在复平面内对应的点分别为，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵复数在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴＝1+i ，＝i ． ∴．故选：D ．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，若12z zz =，则z 的共复数z =（ ）A ．1322i + B ．1322i - C ．1322i -+ D ．1322i -- 【答案】A 【解析】由图可知：1212,1z i z i =+=-+，所以()()()()1212112131112i i z i i z z i i i +--+-====-+-+--， 所以1322z i =+. 故选：A.13．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）在复平面上，复数241ii++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】24(24)(1)6231(1)(1)2i i i ii i i i ++-+===+++-，对应点为(3,1)在第一象限. 故答案选A14．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ），若12z i i i =+-，则z ＝（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i --【答案】C 【解析】 ∵12z i i i=+-， ∴()()()112312555i i i i z i i+-++===-+-，∴z 3155i =-+. 故选：C.15（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）设()()()2i 3i 35i x y +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则i x y +等于( )A ．5BC ．D ．2【答案】A 【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ．16．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ．17．（2020届山东省2月模拟）若1iz i =+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】分析：变形1iz i =-+，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+， 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-，1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，故选D.A B ．C ．D ．【答案】B 【解析】55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==故选：B。
第六章 平面向量和复数第五节复数的三角形式及乘除运算
r
r
a
的象限就是复数相对应的点Z a,b所在象限.
复数的三角形式中,辐角 可以用弧度表示,也可以用角 度表示,可以写主值,也可以在主值上加2k 或k 360 (k Z ), 为简便起见, 在复数的代数形式化为三角形式时, 一般 只取主
值.(!复数的三角形式不惟一,若辐角取主值,则惟一.)
例1 把以下复数化成三角形式.
2
四象限,所以arg 1-i 7 ,于是1-i=
4
2
cos
7
4
,isin
7
4
;
(3) r = 1 0 1,因为与 1对应的点在x轴的负半轴上,
所以arg 1 ,于是, 1 cos isin ;
(4) r 0 32 3,因为和3i对应的点在y轴的正半轴上,
所以arg 3i
2
2 2
2 2
i
1-i.
例3 求复数Z = r cos +isin 的共扼复数的三角形式.
解 Z = r cos -isin r cos isin .
在这里要注意r cos -isin 并不是复数的三角形式.
二、复数三角形式的乘法和除法
1.乘法 设复数Z1, Z2的三角形式分别是 :
Z1 r1 cos1 isin1 , Z2 r2 cos2 isin2 , 则Z1Z2 r1 cos1 isin1 r2 cos2 isin2 r1r2 cos1 cos2 sin1 sin2 isin1 cos2 cos1 sin2 r1r2 cos 1 2 isin 1 2 ,
O
1
2
3x
的辐角.1+i2+i3+i =10i.
图6 20 例7图形
《平面向量与复数》测试卷及答案解析
2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》测试卷及答案解析一、选择题1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a答案 B解析 对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．2．(2020·联考)已知向量a ＝(0,1)，b ＝(2,1)，且(b ＋λa )⊥a ，则实数λ的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析 已知向量a ＝(0,1)，b ＝(2,1)，b ＋λa ＝(2,1＋λ)，(b ＋λa )⊥a ，即(b ＋λa )·a ＝1＋λ＝0⇒λ＝－1. 故选D.3．(2020·诊断)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，m )，且a －b 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－∞ ,2)C ．(－2,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案 D解析 a －b ＝(0,2－m )，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得(a －b )·b |a －b ||b |＝2m －m 2|2－m |·1＋m 2<0，即2m －m 2<0，解得m <0或m >2.故选D.4．(2020·诊断)已知向量a ＝(4，－7)，b ＝(3，－4)，则a －2b 在b 方向上的投影为( )A ．2B ．－2C ．－2 5D ．2 5答案 B解析 向量a ＝(4，－7)，b ＝(3，－4)，∴a －2b ＝(－2,1)，∴(a －2b )·b ＝(－2,1)·(3，－4)＝－10，|b |＝32＋(－4)2＝5，∴向量a －2b 在向量b 方向上的投影为|a －2b |cos 〈(a －2b )，b 〉＝(a －2b )·b |b |＝－105＝－2. 故选B. 5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵O 为BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →) ＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1， ∴m ＋n ＝2.6．已知△ABC 为等腰三角形，满足AB ＝AC ＝3，BC ＝2，若P 为底边BC 上的动点，则AP →·(AB→＋AC →)( )A ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4 答案 D解析 如图，设AD 是等腰三角形底边BC 上的高，长度为3－1＝ 2.故AP →·(AB →＋AC →)＝(AD→＋DP →)·2AD →＝2AD →2＋2DP →·AD →＝2AD →2＝2×(2)2＝4.故选D.7．(2019·福建闽侯五校期中联考)设单位向量e 1，e 2对于任意实数λ，都有⎪⎪⎪⎪e 1＋12e 2≤|e 1－λe 2|成立，则向量e 1，e 2的夹角为( )。
第06讲-平面向量与复数(解析版)
第06讲-平面向量与复数一、高考热点牢记概念公式，避免卡壳1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念(1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数.(2)z 的共轭复数z －＝a －b i.(3)z 的模|z |＝a 2＋b 2.2.复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ；(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bdc 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0).3.平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb .两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |.(2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.活用结论规律，快速抢分1.复数的几个常用结论(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算.3.z ·z －＝|z |2＝|z －|2.4.三点共线的判定三个点A ，B ，C 共线⇔AB→，AC →共线； 向量P A →，PB →，PC →中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得P A →＝αPB→＋βPC →，且α＋β＝1. 5.向量的几个常用结论(1)在△ABC 中，P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心.(2)在△ABC 中，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心.(3)在△ABC 中，向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心.(4)在△ABC 中，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心.二、真题再现1．设3i12i z -=+，则z =A ．2BCD ．1【答案】C【解析】【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2．设z=i(2+i)，则z =A ．1+2iB ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i【答案】D【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ．【详解】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+， 所以12z i =--，选D ．【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．3．设z=-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．4．若(1i)2i z +=，则z =（ ）A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】()(2i2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ．【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．5．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且ba b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r ，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 6．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rAB ．2C ．D ．50【答案】A【解析】【分析】 本题先计算a b -r r ，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r ，所以||a b -==r r故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．7．已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t)，BC u u u v =1，则AB BC ⋅u u u v u u u v =A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r，1BC ==u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u r g g ．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．8．已知向量(2,2),(8,6)a b ==-v v ，则cos ,a b =v v ___________.【答案】10-【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】2826cos ,10a b a b a b ⨯-+⨯<>===-r rr r g r r g ．【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．9．已知向量a v =（－4，3），b v =（6，m ），且a b ⊥v v ，则m=__________.【答案】8.【分析】利用a b ⊥r r 转化得到0a b •=r r 加以计算，得到m .【详解】向量4,36,a b m a b =-=⊥r r r r （），（），，则•046308a b m m =-⨯+==r r，，.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题. 10．已知,a b r r 为单位向量，且a b ⋅r r =0，若2c a =r r ，则cos ,a c <>=r r ___________. 【答案】23. 【解析】【分析】根据2||c v 结合向量夹角公式求出||c v，进一步求出结果.【详解】因为2c a =v v ，0a b ⋅=v v ，所以22a c a b vv v v ⋅=⋅2=，222||4||5||9c a b b =-⋅+=v v v v ，所以||3c =r ，所以cos ,a c <>=r r 22133a c a c ⋅==⨯⋅v v v v ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．三、名校精选1．复数421i z i -=+的虚部为( ) A ．1- B ．3- C ．1 D ．2【解析】【分析】利用复数的商的运算进行化简，然后由虚部的概念可得答案.【详解】()()()()42142426131112i i i iz i i i i -----====-++-,则复数z 的虚部为-3，故选B【点睛】本题考查复数的商的运算及有关概念，需要注意a+bi 的虚部为b ，不要误写为bi.2．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2z z +=（ ）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】A【解析】【分析】由1z i =+可求出1z i =-,22(1)2z i i =+=代入原式计算即可.【详解】Q 复数1z i =+，∴1z i =-，22(1)2z i i =+=，则2121z z i i i +=-+=+.故选A ．【点睛】本题主要考查复数的基本运算,难度容易.3．在复平面内，复数z 满足(1)4z i -=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】对条件中的式子进行计算化简，得到复数z ，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案.【详解】由(1)4z i -=，得4221z i i ==+-所以z 在复平面对应的点为()2,2，所以对应的点在第一象限.故选A 项.【点睛】本题考查复数的计算，复平面的相关概念，属于简单题.4．已知i 是虚数单位，若32i az i +=+是纯虚数，则实数a =（ ）A ．1B ．12 C ．12- D ．2-【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法和除法运算，化简z ，再令实部为0，即得解.【详解】 由于3()(2)(21)(2)22(2)(2)5i a a i a i i a aiz i i i i +-----+====+++- 若为纯虚数，则12102a a -=∴=故选：B【点睛】本题考查了复数的基本概念和四则运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5．设i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=，则||(z = )A ．1BC ．2D ．【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．【详解】由(1)2z i i -=，得22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====-+--+， ||2z ∴=，故选B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算．6．如图，在ABC ∆中，12AN AC P =u u u v u u u v ，是BN 的中点，若14AP mAB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数m 的值是（ ）A ．14 B ．1 C ．12 D ．32 【答案】C【解析】【分析】以,AB AC u u u v u u u v 作为基底表示出AP u u u v ，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵P N ，分别是BN AC ，的中点，∴()111222AP AB BP AB BN AB AN AB AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v 111224AN AB AC +=+u u u r u u u r u u u r.又14AP mAB AC =+u u u r u u u r u uu r，∴12m =.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．7．已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，||2b =r ，()23a b +=r r ，则||a b -=r r （ ）A 3B 7C ．3D ．7【答案】B【解析】【分析】由()222()2()a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，求解a b ⋅r r ，再根据22||()2()a b a a b b -=-⋅+r r r r r r .【详解】由于()222()2()3a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r1a b ⋅∴-=r r||a b ∴-===r r 故选：B【点睛】本题考查了向量数量积在模长求解中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．45C ．35- D ．45- 【答案】B【解析】【分析】 由向量的模的坐标计算公式求出,a b r r ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅r r ，再根据向量的夹角公式即可求出．【详解】由()()2,1,2,4a b ==r r ，得a b ==r r 设向量a r 与b r 的夹角为θ，则84105cos θ===． 故选：B ．【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．9．已知向量()()1,,,2,a k b k ==r r 若a r 与b r 方向相同，则k 等于( )A ．1B ．C ． D【答案】D【解析】【分析】依题a r //b r ，且a r 与b r 符号相同，运用坐标运算即可得到答案.【详解】因为a r 与b r 方向相同，则存在实数λ使(0)a b λλ=>r r， 因为()()1,,,2a k b k ==r r ，所以(,2)b k λλλ=r ，所以12k kλλ=⎧⎨=⎩，解之得22k =，因为0λ>，所以0k >， 所以2k =. 故答案选：D 【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.10．如图，在ABC ∆中，3BAC π∠=，2AD DB =u u u v u u u v ，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+u u u v u u u v u u u v ，若ABC ∆的面积为23，则AP u u u v 的最小值为( )A 2B ．43 C ．3 D 3【答案】D【解析】【分析】 运用平面向量基本定理，得到m 的值，结合向量模长计算方法，建立等式，计算最值，即可．【详解】()AP AC CP AC kCD AC k AD AC =+=+=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 23AC k AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v ()21132k AB k AC mAC AB =+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v ，得到211,32k k m -==，所以14m =，结合 ABC ∆的面积为231332AC AB u u u v u u u v ⋅=得到8AC AB ⋅=u u u v u u u v ，所以AP ==≥u u u v D ． 【点睛】考查了平面向量基本定理，考查了基本不等式的运用，难度偏难．11．已知向量(1,2)m =-v ，(1,)n λ=v ．若m n ⊥u v v ，则2m n +v v 与m u v 的夹角为_________． 【答案】4π 【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合m n ⊥u r r ，可以求出λ的值，再根据平面向量夹角公式求出2m n +u r r 与m u r的夹角.【详解】 因为m n ⊥u r r ，所以1011202m n λλ⋅=⇒-⨯+=⇒=u r r ，即(12)1,n =r ， 因此2(1,3)m n +=u r r ，设2m n +u r r 与m u r 的夹角为θ，因此有(2)cos 22m m n m m n θ+⋅===+⋅u r r u u r r r u r ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=. 【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.12．已知1e r ，2e r 是夹角为120°的两个单位向量，则122a e e =+r r r 和212b e e =-r r r 的夹角的余弦值为_________．【答案】7【解析】【分析】 首先利用数量积公式求得3a b ⋅=r r,a =r b =r 利用夹角公式代入即可.【详解】设a r 与b r的夹角为θ，因为()()221221122243a b e e e e e e ⋅=+⋅-=-+=u u r u u r r r u r u u r u u r u r ，a ===rb ==r ，所以cos a b a b θ⋅===r r ．故答案为:. 【点睛】 本题考查单位向量的概念,向量数量积的计算公式及运算,向量的数乘运算.较易.13．已知a v 、b v 为单位向量，,3a b π=v v ，则2a b +=v v____________. 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算2a b +=r r .【详解】 由于a r 、b r 为单位向量，,3a b π<>=r r ，则1a b ==r r ，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=r r r r r r ， 因此，2a b +====r r ，【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．已知向量()4,2a =v ，(),1b λ=v ，若2a b +v v 与a b -v v 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______．【答案】()(12,1+U【解析】【分析】先求出2a b +r r 与a b -r r 的坐标，再根据2a b +r r 与a b -rr 夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数λ的取值范围，．【详解】Q 向量(4,2)a =r ，(,1)b λ=r ，∴2(42,4)a b λ+=+r r ，(4,1)a b λ-=-r r ，若2a b +r r 与a b -r r 的夹角是锐角，则2a b +r r 与a b -r r 不共线，且它们乘积为正值， 即42441λλ+≠-，且()()2(42,4)(4,1)a b a b λλ+⋅-=+⋅-r r r r 220420λλ=+->，求得11λ<<2λ≠．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．15．在等腰ABC ∆中，已知底边2BC =，点D 为边AC 的中点，点E 为边AB 上一点且满足2EB AE =，若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r ，则EC AB ⋅=u u u r u u u r _____． 【答案】43【解析】【分析】根据已知条件求出BA BC ⋅u u u r u u u r 和BA u u u r 的值，然后以BC uuu r 、BA u u u r 为基底表示向量EC uuu r ，利用平面向量数量积的运算律可计算出EC AB ⋅u u u r u u u r 的值.【详解】D Q 为AC 的中点，()()111222BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC ∴=+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u u u u u r u u u r u u u u r u u r u u u r r u ur ， AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ，()()()22111222BD AC BC BA BC BA BC BA ∴⋅=+⋅-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即2221BA -=-u u u r，可得BA =u u u r ， ()22222AC BC BA BC BA BC BA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，2122BA BC BC ∴⋅==u u u r u u u r u u u r ， ()22224523333EC AB BC BE AB BA BC BA BA BC BA ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：43．【点睛】本题考查了向量的线性运算、数量积运算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中档题．。
平面向量、复数(解析版)
平面向量、复数【命题趋势】复数及其运算时高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算.一般出现在选择题的第一或者是第二题.平面向量也是高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算.1+1模式.两者结合的综合性题目也是高考填空第三题的一个重要方向.本专题也是学生必回的知识点.通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量.【知识点分析以及满分技巧】复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目.牵涉到知识点也是比较少.主要注重基本运算.特别会求复数类题目可采取答案带入式运算.平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可.平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可.平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合.此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解.【考查题型】选择题，填空【限时检测】（建议用时：45分钟）1．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知i是虚数单位，则复数37izi+=的实部和虚部分别为A．7，3i-B．7-，3C．7-，3i D．7，3-【答案】D【解析】先化简复数z,再确定复数z的实部和虚部.【详解】 由题得2373737731i i i z i i i +--====--，所以复数z 的实部和虚部分别为7和-3. 故答案为：D【名师点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 注意复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部是“i”的系数b ，不包含“i”,不能写成bi.2．（2019·河北衡水中学高考模拟（理））已知i 为虚数单位，若复数11ti z i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞ 【答案】B【解析】 由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+t z===-i 1+i 1+i 1-i 22．又对应复平面的点在第四象限，可知110022t t 且-+>-<，解得11t -<<．故本题答案选B ． 3．（2019·河南高三月考（理））若1312i i -+与1()2i a ai -的虚部互为相反数，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．1 【答案】D【解析】分别对两个复数进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于0，从而求得a 的值.【详解】因为13(13)(12)5511255i i i i i i -----===--+，所以虚部为1-， 因为1122i a ai a ai ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以虚部为a ， 所以10a -=，即1a =.故答案为：D.【名师点睛】本题考查复数的四则运算，考查对复数概念的理解，考查基本运算求解能力.4．（2018·全国郑州外国语学校高考模拟（理））设复数1z =（i 是虚数单位），则z z z ⋅+的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】 分析：根据共轭复数的定义求得z ，利用复数乘法的运算法则求得212i 3z z ⋅=-=，根据复数模的公式可得结果.详解：因为11z z ==+Q ， 212i 3z z ∴⋅=-=，4z z z ∴⋅+=+，4∴+== A.【名师点睛】：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．（2019·河北高考模拟（理））已知平面向量a r 与b r 的夹角为23π，且1,22b a b =+=r r r ，则a =r （）A ．2B ．1CD ．【答案】A【解析】 根据平面向量数量积的运算法则，将22a b r r +=平方运算可得结果． 【详解】 ∵22a b r r +=，∴2222444a b a b a b +=++⋅=u u r r r r r r （）， ∴244a a b ++r r r cos 23π=4，∴2a =r ， 故选A.【名师点睛】本题考查了利用平面向量的数量积求模的应用问题，考查了数量积与模之间的转化，是基础题目．6．（2019·山西高考模拟（理））在边长为1的正三角形ABC 中,,,0,0BD xBA CE yCA x y ==>>u u u r u u u r u u u r u u u r ,且1x y += ,则CD BE •u u u r u u u r 的最大值为( ) A ．58-B ．38-C ．32-D ．34- 【答案】B【解析】如图所示，建立直角坐标系，则12211(,0),(,0),(0,(,0),(,),222A B C D x E x y -设1111,(,00)(1,0),;22BD xBA x x x x =∴--=-∴=-+u u u r u u u r Q222211,(,(,,;22CE yCA x y y x y y y =∴-=-∴=-=u u u r u u Q u r211(,(1)(1)222x CD BE x x x x ⋅=-+⋅-+=--+u u u r u u u r ，因101,2x x <<∴=当时 函数取得最大值3.8-故答案为C. 7．（2019·福建厦门一中高考模拟（理））已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ） A ．1 BC．2 D ．2【答案】C【解析】 根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果.【详解】 i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112i a bi i +==+- 根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.121()22b a == 故答案为：C.【名师点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．8．（2019·安徽高考模拟（理））已知复数z 满足(1i)2i z -=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而得答案．【详解】 ()()12i z i -=-Q ,()()()()22122311122i i i i i i z i i i -+-+-+∴====--+, 则在复平面内对应的点的坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，位于第一象限．故选A ． 【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．（2019·河北辛集中学高三期中（理））已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“a ＝1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】把复数的表示形式写成标准形式，根据复数在第四象限，得到复数的坐标所满足的条件，横标大于零，纵标小于零，得到a 的取值范围，得到结果．【详解】解：∵复数z ＝（a ﹣2i ）（1+i ）＝a +2+（a ﹣2）i ，∴在复平面内对应的点M 的坐标是（a +2，a ﹣2），若点在第四象限则a +2＞0，a ﹣2＜0，∴﹣2＜a ＜2，∴“点M 在第四象限”是“a ＝1”的必要而不充分条件，故选：B ．【名师点睛】本题考查充要条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．10．（2019·广东高考模拟（理））在ABC △中，1CA =，2CB =，23ACB π∠=，点M 满足2CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MA MB ⋅=u u u r u u u rA ．0B ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】首先根据已知取基底CA u u u r ，CB →，然后用基底表示MA u u u r 和MB u u u r ，最后代入进行数量积运算即可.【详解】由题可得：=(2)MA CA CM CA CB CA CB CA -=-+=--u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，=(2)2MB CB CM CB CB CA CA -=-+=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2()(2)2+2MA MB CB CA CA CB CA CA ⋅=---=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 由于1CA =，2CB =，23ACB π∠=， 则2=cos ,12cos 13CB CA CB CA CB CA π⋅=⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，22==1CA CA u u u r u u u r ， 所以2=2+2=2+2=0MA MB CB CA CA ⋅⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故答案选A【名师点睛】本题以三角形为背景，把平面向量的线性运算以及数量积运算巧妙的结合在一起，属于中档题.11．（2019·山东高考模拟（理））已知复数(i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．13- 【答案】D【解析】 根据复数的乘法运算，计算z ，根据对应点在在直线上可得出a .【详解】因为(i)(1i)1(1)z a a a i =+-=++-，对应的点为(1,1)a a +-，因为点在直线2y x=上，所以12(1)a a -=+，解得13a =-. 故选D. 【名师点睛】本题主要考查了复数的运算，复数对应的点，属于中档题.12．（2019·河南高考模拟（理））已知复数1221i z iz i+=++，则z =（ ）A ．2BCD 【答案】A【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】由题()()()()()()123121217z 11233310i i i i i i i i i i +++++====+---+故z =2故选：A【名师点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（2019·河南省实验中学高考模拟（理））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．,p p 24D ．,p p 34【答案】C 【解析】因为i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212，所以2=z ，i i z 2)1(22=--=，共轭复数为i z +-=1，z 的虚部为1-，所以真命题为42,p p 选C.14．（2019·广东高考模拟（理））复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则b 的值为（ ）A B ．13 C D ．5【答案】B【解析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解．【详解】∵132z i =+是方程z 2﹣6z +b ＝0（b ∈R ）的根， 由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，232z i =-为方程另一根，则b ＝（3+2i ）（3﹣2i ）＝13．故选：B ．【名师点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．15．（2019·山东高考模拟（理））已知i 为虚数单位，且复数z 满足1z 2i 1i-=- ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ）A ．132BCD ．52【答案】B【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标，则答案可求．【详解】由121z i i-=-，得1115221(1)(1)22i z i i i i i i +=+=+=+--+，∴复数z 在复平面内的点的坐标为15,22⎛⎫⎪⎝⎭2=． 故选：B ． 【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．16．（2019·黑龙江铁人中学高三期中（理））在ABC ∆中，0,2,AB BC AB BC •===u u u r u u u r u u u r u u u rD 为AC 的中点，则BD DA •u u u r u u u r=( )A ．2B ．-2C ．D ．-【答案】B 【解析】∵D 为AC 的中点∴1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，11()22DA CA CB BA u u u v u u u v u u u v u u u v ==+∵•0,2,AB BC AB BC ===u u u v u u u v u u u v u u u v∴221111()()()(412)22244BD DA BA BC CB BA BA BC ⋅=+⋅+=-=-=-u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选B.17．（2019·天津一中高考模拟（理））如图，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD yAE x y R =+∈u u u r u u u r u u u r、，则x y +的取值范围是（ ）A．1,4⎡+⎣ B．4⎡-+⎣C．1,2⎡+⎣D．2⎡⎣【答案】B 【解析】连接AM 并延长分别交圆M 于Q T 、，连接DE ，DE 与AM 交于R ，显然1122AR AD AE u u u r u u u r u u u r=+，此时1x y +=，分别过Q T 、作DE 的平行线，由于01,120AD AE BAC ==∠=，则2,AM DM ==，则2AQ =，12AR =，(4(2(22AQ AR AD AEu u u r u u u r u u u r u u u r ==-=+-，此时4x y +=- ，同理可得：(2(2AT AD AE u u u r u u u r u u u r=++，4x y +=+，选B .【名师点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P 在等和线DE 上1x y +=去求x y +的取值范围，由于点P 是圆M 及其内部任意一点，所以分别过Q T 、作圆的切线，求出两条等和线的x y +值，就可得出x y +的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.18．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知向量(3,1)OA =u u u r ，(1,3)OB =-u u u r，(0,0)OC mOA nOB m n =->>u u u r u u u r u u u r ，若[1,2]m n +∈，则||OC u u u r的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】(3,3)OC m n m n =+-u u u r,所以||,(,)OC P m n ===u u u r为可行域12,0m n m n ⎧≤+≤⎩>⎨内一点,可行域为一个梯形ABCD (去掉线段,BC AD )及其内部(1,0),(0,1),(0,2),(2,0)A B C D ,所以,22O AB OP d OP OD -≥=<= ,从而2)OC ∈=选B. 【名师点睛】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值 取法的值域范围. 二、填空题19．（2019·天津市武清区杨村第一中学高考模拟（理））在四边形ABCD 中，已知M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，若点N 在线段CD 上，则NA NB ⋅u u u r u u u r的取值范围是______.【答案】3[,0]4-【解析】根据平面向量的加法的几何意义, 可得,,NA NM MA NB NM MB =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r计算出NA NB ⋅u u u r u u u r 的表达式,最后根据NM u u u u r 的大小,可以求出NA NB ⋅u u u r u u u r 的取值范围.【详解】2()()NA NB NM MA NM MB NM NM MB MA NM MA MB ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，2()NA NB NM NM MB MA MA MB ⇒⋅=+⋅++⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，M Q 是AB 边上的点，1MA MB ==，所以0,1MB MA MA MB +=⋅=-u u u r u u u r r u u u r u u u r，因此21NA NB NM ⋅=-u u u r u u u r u u u u r ， °120,1MC C D D M M =∠==∴Q 在等腰CMD ∆中,点M 到线段CD 上的一点N的距离最大值为1,取最小值时,N 为CD 的中点,此时°1cos cos602MN CMN CM CM =∠⋅=⋅=, 所以21NA NB NM ⋅=-u u u r u u u r u u u u r 的取值范围为: 3[,0]4-.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的取值问题,利用平面向量的加法的几何意义是解题的关键.20．（2019·福建三明一中高三期中（理））已知平面内三个不共线向量,,a b c r r r两两夹角相等，且13a b c r r r ＝＝，＝，则a b c ++r r r＝_______. 【答案】2【解析】先得到夹角均为23π，再计算24a b c ++=r r r ，得到答案.【详解】由平面内三个不共线向量,,a b c r r r两两夹角相等，可得夹角均为23π所以2222222a b c a b b c a b c a c ++=⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r ＋＋＋＋＋＝1＋1＋9＋2×1×1×2cos 3π＋2×1×3×2cos 3π＋2×1×3×2cos 3π＝4，所以2a b c ++=r r r故答案为：2【名师点睛】本题考查了向量的模，平方所求值再计算是解题的关键，意在考查学生的计算能力.21．（2019·甘肃兰州一中高三期中（理））已知向量,,a b c r r r 满足4,,,4a b a b π==〈〉=r rr r ()()·1c a c b --=-rr r r ，则c a -r r 的最大值为_______.1 【解析】设,,OA a OB b OC c ===u u u ru u ur u u ur r r r，以OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系4,a b a b ==Q r r r r 与的夹角为π4，则()()()4,0,2,2,,A B C x y 设，()()2216290c a c b x y x y -⋅-=-∴+--+=r r r r Q ，即()()22311x y -+-=表示以()3,1为圆心，1为半径的圆，c a -r r表示点A ，C 的距离，即圆上的点与A ()4,0的距离，因为圆心到A ，所以c a -r r1．22．（2019·上海复旦附中高三）已知点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==u u u r u u u r ，则·AO BC =u u u r u u u r ．【答案】6【解析】试题分析：由题点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==u u u r u u u r，则()cos ,cos ,AO BC AO AC AB AO AC AO AB AO AC AO AC AO AB AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=⋅〈〉-⋅〈〉u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()11144226222AC AC AB AB =⋅⋅-⋅⋅=⨯-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r 考点：平面向量数量积的运算23．（2019·北京清华附中高三月考）在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 ．【答案】2918【解析】在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积.24．（2019·江苏高考真题）如图，在V ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是_____.【解析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ， 得2213,22AB AC =u u u r u u u r即,AB =u u u r u u r故ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.24．（2019·浙江高考真题）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】0【解析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r，AB u u u r •AD =u u u r0，()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB ADλ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v()()2212345613562456AB BC CD DA AC BD AB ADλλλλλλλλλλλλλλ+++++=-+-+-++ ()()2213562456λλλλλλλλ=-+-+-++()()2213562456λλλλλλλλ≤++-++++()()22565622λλλλ=+-+++()()()225656565684λλλλλλλλ=+-+++-++()225682λλ=++12=+1220=+=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正.比如1234561,1,,1,1,11λλλ=-λλ=-=λ===则123456maxAB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 【名师点睛】：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.。
浙江省2021届高考数学一轮复习第六章平面向量复数补上一课平面向量中的极化恒等式及有关最值范围问题含解析
平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题知识拓展1.极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2].几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.2.平行四边形PMQN ，O 是对角线交点.则：(1)PM →·PN →＝14[PQ 2－NM 2](平行四边形模式)；(2)PM →·PN →＝PO 2－14NM 2(三角形模式).3.平面向量中的最值(范围)问题(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).题型突破题型一 极化恒等式的应用【例1】 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.(2)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA →·PB →的取值范围是________.解析 (1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得AB →·AC →＝AM 2－14BC 2＝9－14×100＝－16.(2)取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3.又由极化恒等式得PA →·PB →＝PD 2－14AB 2＝PD 2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，PD max ＝3， 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，PD min ＝1， 所以PA →·PB →∈[－2，6]. 答案 (1)－16 (2)[－2，6]【训练1】 (1)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________. (2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A.2 B.3 C.6D.8解析 (1)取AE 中点O ，设AE ＝x (0≤x ≤1)，则AO ＝12x ，∴DE →·DA →＝DO 2－14AE 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1.(2)如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得 OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max ＝254，∴OP →·FP →的最大值为6.答案 (1)1 (2)C题型二 平面向量中的最值(范围)问题类型1 利用函数型【例2－1】 (1)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b －t a |的最小值为1，则( )A.若θ确定，则|a |唯一确定B.若θ确定，则|b |唯一确定C.若|a |确定，则θ唯一确定D.若|b |确定，则θ唯一确定(2)已知m ，n 是两个非零向量，且|m |＝1，|m ＋2n |＝3，则|m ＋n|＋|n|的最大值为( )A. 5B.10C.4D.5解析 (1)由|b －t a |的最小值为1知(b －t a )2的最小值为1，令f (t )＝(b －t a )2，即f (t )＝b2－2t a ·b ＋t 2a 2，则对于任意实数t ，f (t )的最小值为4a 2·b 2－（2a ·b ）24a 2＝4a 2b 2－（2|a ||b |cos θ）24a 2＝1，化简得b 2(1－cos 2θ)＝1，观察此式可知，当θ确定时，|b |唯一确定，选B.(2)因为(m ＋2n )2＝4n 2＋4m ·n ＋1＝9，所以n 2＋m ·n ＝2，所以(m ＋n )2＝m 2＋2m ·n ＋n 2＝5－n 2，所以|m ＋n |＋|n |＝5－|n |2＋|n |.令|n |＝x (0<x ≤5)，f (x )＝5－x 2＋x ，则f ′(x )＝－2x 25－x2＋1.由f ′(x )＝0，得x ＝102，所以当0<x <102时，f ′(x )>0时，当102<x ≤5时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，102上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤102，5上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫102＝10，故选B. 答案 (1)B (2)B【训练2－1】 (1)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.(2)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则AP →·BP →的取值范围是________；若向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的最小值为________.解析 (1)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20]. 由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.(2)以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则易得A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，P (cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则AP →·BP →＝(cos θ，sin θ)·(cos θ－1，sin θ)＝cos 2θ－cos θ＋sin 2θ＝1－cos θ，又因为0≤θ≤π2，所以AP →·BP →＝1－cos θ∈[0，1].由AC →＝λDE →＋μAP →得(1，1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1＋μ(cos θ，sinθ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μcos θ，－λ＋μsin θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，则λ＋μ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＋32cos θ＋sin θ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ，当θ＝π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝5，当θ≠π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ，设f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x (x ≥0)，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋3x x 2＋1（2＋x ）－（2x －2＋3x 2＋1）（2＋x ）2＝6x 2＋1＋6x －3（2＋x ）2x 2＋1>0(x ≥0)，所以函数f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x 在[0，＋∞)上单调递增，则当tan θ＝0时，λ＋μ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ取得最小值12.综上所述，λ＋μ的最小值为12.答案 (1)4 2 5 (2)[0，1] 12类型2 利用不等式型【例2－2】 (1)(2020·浙江名校新高考研究联盟三联)已知边长为1的正方形ABCD ，E ，F 分别是边BC ，DC 上的两个动点，AE →＋AF →＝xAB →＋yAD →，若x ＋y ＝3，则|EF →|的最小值为________.(2)(一题多解)(2019·七彩阳光联盟三联)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b＝0，则|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b 的最小值为( )A.172B.2C.52D. 5(3)(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.解析 (1)因为四边形ABCD 是正方形，以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (1，1)，B (1，0)，C (0，0).设E (a ，0)，F (0，b )，则0≤a ，b ≤1.所以AE →＝(a －1，－1)，AF →＝(－1，b －1)，因为AE →＋AF →＝xAB →＋yAD →，所以有y ＝2－a ，x ＝2－b .因为x ＋y ＝3，所以a ＋b ＝1.所以|EF →|＝a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝22，所以|EF →|min ＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取到最小值. (2)法一 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b .所以通过计算有|2c －a |＝|c －2a |，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝|c －2a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12b ＝172，故选A.法二 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b ，所以可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝1，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝（2x －1）2＋4y 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －12＝4x 2－4x ＋1＋4y2＋14x 2＋14y 2－y ＋1＝x 2－4x ＋4＋y 2＋x 2＋y 2－y ＋14＝（x －2）2＋y 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≥22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝172，故选A. (3)由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立. ∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.答案 (1)22 (2)A (3)12【训练2－2】 (1)(2020·杭州四中仿真)若非零向量a ，b 满足a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________.(2)(2019·浙江名师预测卷一)已知向量a ，b 满足|b |＝1，|a ＋b |＝2|a －b |，则|a |2－|b |2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，19 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，19 (3)(2020·温州适应性测试)已知平面向量a ，b ，c 满足：a ·b ＝0，|c |＝1，|a －c |＝|b －c |＝5，则|a －b |的最小值为( )A.5B.6C.7D.8解析 (1)由a 2＝(5a －4b )·b 得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)≥15×2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，则cos〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |时等号成立，所以cos 〈a ，b 〉的最小值为45.(2)因为|b |＝1，所以|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＝2.两边平方得|a ＋b |2＋|a －b |2－2(|a |2－|b |2)＝4，又|a ＋b |＝2|a －b |，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42，又因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a＋b )－(a －b )|≤|a ＋b |＋|a －b |，即|a －b |≤2≤3|a －b |，故23≤|a －b |≤2，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8，故选A.(3)|a －b |2＝|(a －c )－(b －c )|2＝(a －c )2－2(a －c )(b －c )＋(b －c )2＝50－2(a ·b －a ·c －b ·c ＋1)＝48＋2(a ＋b )·c ＝48＋2|a ＋b |cos θ(其中θ为a ＋b 与c 的夹角)，因为|a －b |＝|a ＋b |，所以|a －b |2＝48＋2|a －b |cos θ，则由cos θ∈[－1，1]，得48－2|a －b |≤|a －b |2≤48＋2|a －b |，解得6≤|a －b |≤8，即|a －b |的最小值为6，此时向量a －b 的方向与向量c 的方向相反，故选B. 答案 (1)45(2)A (3)B类型3 利用向量平行(垂直)、向量的投影型【例2－3】 (1)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”.若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置如图所示，则AB →·CD →的最大值为________.(2)已知|a |＝2，|b |＝|c |＝1，则(a －b )·(c －b )的最大值为________，最小值为________. 解析 (1)先建立平面直角坐标系如图，因为正六边形的边长均为1，所以B (0，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，92，当CD →在AB →方向上的投影最大时，AB →·CD →最大，此时取C (0，5)，D (－3，0)，即(AB →·CD →)max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－92·(－3，－5)＝32＋452＝24.(2)设M ＝a ·c －a ·b －b ·c ，则(a －b )(c －b )＝a ·c －a ·b －b ·c ＋b 2＝1＋a ·c －a ·b －b ·c ＝1＋M .而(b －a －c )2＝6＋2M ，M ＝－3＋12(b －a －c )2，∴当(b －a －c )2＝0时，M min ＝－3，∴[(a －b )(c －b )]min ＝1－3＝－2；当b ，－a ，－c 共线且同向时，M max ＝－3＋12(1＋2＋1)2＝5，∴[(a －b )·(c －b )]max ＝1＋5＝6. 答案 (1)24 (2)6 －2【训练2－3】 (1)已知向量a ，b ，c 满足|b |＝|c |＝2|a |＝1，则(c －a )·(c －b )的最大值是________，最小值是________.(2)已知|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，|OP →|＝1，且OA →＝BO →，记PA →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·PA →的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A.6B.4C.－2D.－4解析 (1)由题意得|a |＝12，|b |＝|c |＝1，则(c －a )·(c －b )＝|c |2－c ·b －c ·a ＋a ·b ＝|c |2＋12(－a －b ＋c )2－12(|a |2＋|b |2＋|c |2)＝－18＋12(－a －b ＋c )2，则当向量－a ，－b ，c 同向共线时，(c －a )·(c －b )取得最大值－18＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋12＝3，当－a －b ＋c ＝0时，(c －a )·(c－b )取得最小值－18.(2)因为PA →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·PA →＝(OA →－OP →)·(OB →－OP →)＋(OB →－OP →)·(OC →－OP →)＋(OC →－OP →)·(OA →－OP →)＝3OP →2－2OP →·OC →－4，令3OP →＝OQ →，2OC →＝OM →，PA →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·PA →＝OP →·MQ→－4，如图，设OC →与OP →夹角为θ(θ∈[0，π]).因为MQ →＝OQ →－OM →.所以MQ →·OP →|OP →|＝OP →(3OP →－2OC →)＝3－4cos θ，又因为cos θ∈[－1，1]，所以MQ →在OP →方向上的投影d ∈[－1，7]，即M ＝3，m ＝－5，所以M ＋m ＝－2，故选C.答案 (1)3 －18(2)C类型4 利用轨迹图形性质(数形结合)型【例2－4】 (1)(一题多解)(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1C.2D.2－ 3(2)已知向量|a |＝3，|b |＝6，a ·b ＝9，则|a ＋t (b －a )|＋|(1－t )(b －a )－13b |(其中t ∈[0，1])的最小值是________.解析 (1)法一 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二 由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a－b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.(2)由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12得a ，b 的夹角为60°，又因为|a |＝3，|b |＝6，所以△OAB 为直角三角形，B ＝30°.如图，令a ＝OA →，b ＝OB →，∠BOA ＝60°，AC →＝tAB →，DB →＝13OB →，则|OA →＋tAB →|＝|OC →|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1－t )AB →－13OB →＝|CD →|，问题转化为当点C 在线段AB 上运动时，求|OC →|＋|CD →|的最小值.作点D 关于线段AB 对称的点G ，连接OG ，则OG 即为所求的最小值.在Rt△BDE 中，∠BED ＝90°，BD ＝2，B ＝30°，则DE ＝1，DG ＝2DE ＝2，在△ODG 中，OD ＝4，∠ODG ＝120°，DG ＝2，由余弦定理得OG ＝OD 2＋DG 2－2OD ·DG cos∠ODG ＝27. 答案 (1)A (2)27【训练2－4】 (1)已知|a |＝|b |＝1，向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值为________.(2)(一题多解)(2019·宁波模拟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －b |＝1，则|a ＋c |的取值范围为________.解析 (1)由|c －(a ＋b )|＝|a －b |得向量c 的终点的轨迹为以向量a ＋b 的终点为圆心，|a －b |为半径的圆，则|c |的最大值为|a ＋b |＋|a －b |，又因为|a ＋b |＋|a －b |≤2[（a ＋b ）2＋（a －b ）2] ＝2（|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|a |2－2a ·b ＋|b |2）＝22，当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2.(2)法一 令m ＝a ＋c ，则问题转化为|m |的取值范围.由三角不等式有||m |－|a ＋b ||≤|m －(a ＋b )|，则|a ＋b |－1≤|m |≤1＋|a ＋b |，又||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，即1≤|a ＋b |≤3，故0≤|m |≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].法二 如图，由已知，作OB →＝b ，分别以点O ，B 为圆心作单位圆，则－a 的终点A 在圆O 上，c 的终点C 在圆B 上，则AC →＝c －(－a )＝c ＋a ，故|a ＋c |＝|AC →|表示两圆上两点连线的长，因此，由圆的性质得0≤|AC →|≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].答案 (1)2 2 (2)[0，4]补偿训练 一、选择题1.(2013·浙江卷)在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A.∠ABC ＝90° B.∠BAC ＝90° C.AB ＝ACD.AC ＝BC解析 取BC 边中点D ，由极化恒等式得PB →·PC →＝PD →2－14BC →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－14BC →2，由PB →·PC→≥P 0B →·P 0C →，得PD →2≥P 0D →2，即|PD →|≥|P 0D →|，D 到AB 的最短距离为P 0D ，∴DP 0→⊥AB →，设AB 的中点为P ′，又P 0B ＝14AB ，∴DP ∥CP ，∴CP ⊥AB ，故AB ＝AC .答案 C2.(2020·诸暨适应性考试)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为( )A.－14B.－13C.－12D.－1解析 PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得PO →·PC →＝PD 2－14OC 2＝PD 2－14，又PD 2min ＝0，∴(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－12. 答案 C3.(一题多解)如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →＝( )A.－34B.－89C.－14D.－49解析 法一 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.法二 OF ＝13，由极化恒等式得FD →·FE →＝OF 2－14DE 2＝19－1＝－89.答案 B4.如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A.32B.2C.52D.92解析 由图可设AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →，AE →＝μAB →＋(1－μ)AC →，其中λ，μ∈(0，1)，则AD →＋AE →＝(λ＋μ)AB →＋(2－λ－μ)AC →.由题知，x ＝λ＋μ，y ＝2－λ－μ，所以有x ＋y ＝2，所以1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ×4x y ＝92，当且仅当y ＝2x ，即x ＝23，y＝43时，取等号，故选D. 答案 D5.在△ABC 中，BC ＝2，A ＝45°，B 为锐角，点O 是△ABC 外接圆的圆心，则OA →·BC →的取值范围是( ) A.(]－2，22 B.(]－22，2 C.[]－22，22D.()－2，2解析 依题意得△ABC 的外接圆半径R ＝12·BC sin 45°＝2，|OA →|＝2，如图所示，A 在弧A 1C 上(端点除外)，OA 2→与BC →同向，此时OA →·BC →有最大值22，又OA 1→·BC →＝－2，故OA →·BC →∈(]－2，22.故选A. 答案 A6.记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .在△AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为斜边AB 上一动点.设M ＝max{OP →·OA →，OP →·OB →}，则当M 取最小值时，AP PB＝( )A.OA OBB.OA OBC.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 3解析 M 取最小值时，OP →·OA →＝OP →·OB →，即OP →·AB →＝0，亦即OP ⊥AB .根据直角三角形的射影定理可得|AP ||PB |＝AP ·PB PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OP PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2，故选C.答案 C7.(2019·浙江名师预测卷四)已知a ，b 是单位向量，向量c 满足|c －b ＋a |＝|a ＋b |，则|c |的最大值为( )A.2B.2 2C.3D.3 2解析 由|c －(b －a )|＝|a ＋b |得向量c 的终点的轨迹为以向量b －a 的终点为圆心，|a ＋b |为半径的圆，则|c |的最大值为|a ＋b |＋|b －a |. 又因为|a ＋b |＋|b －a |≤2[（a ＋b ）2＋（b －a ）2]＝2（|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|b |2－2a ·b ＋|a |2）＝2 2.当且仅当|a ＋b |＝|b －a |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2. 答案 B8.(2020·浙江教育绿色评价联盟适考)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，若BP →＝λBA →＋μBC →，设λ＋2μ的最大值为M ，最小值为N ，则M －N 的值为( )A.2105 B.3105C.4105D.10解析 如图，以C 为坐标原点，分别以直线BC ，CD 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则B (－2，0)，A (－2，1)，由已知，圆C 的方程为x 2＋y 2＝45，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ，又BP →＝λBA→＋μBC →，则⎩⎪⎨⎪⎧ 25cos θ＋2＝2μ， 25sin θ＝λ，即λ＋2μ＝25(sin θ＋cos θ)＋2＝225sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2，故M －N ＝⎝⎛⎭⎪⎫225＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－225＋2＝4105，故选C.答案 C9.(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32，AD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，则32×(－12)＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3).因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y1－x ＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫538 2－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，故选A. 答案 A 二、填空题10.在△ABC 中，BC ＝3，AB →·AC →＝4，则BC 边上的中线AM 的长是________. 解析 因为AB →·AC →＝14[(2AM →)2－BC →2]，AM →2＝14(4AB →·AC →＋BC →2)＝254，即|AM →|＝52，所以BC 边上的中线AM 的长为52.答案 5211.在面积S ＝2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________.解析 取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC →2＝PD →2＋34BC →2≥h 24＋34BC →2(其中h 为A 点向BC 边作的高)，当且仅当PD →⊥BC →时取等号. 由上可知PC →·PB →＋BC →2≥h 24＋34BC →2≥2h 24·34BC →2≥3S ＝2 3.答案 2 312.在Rt△ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是________.解析 取MN 的中点为P ，由极化恒等式得CM →·CN →＝14[(2CP →)2－MN →2]＝CP →2－12.问题转化为求|CP→|的取值范围，当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM →·CN →的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP →|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM →·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，213.(2020·浙江新高考仿真卷二)在△ABC 中，A ＝120°，BC ＝213，AC ＝2，则AB ＝________；当|CB →＋λCA →|取到最小值时，则λ＝________.解析 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，即(213)2＝22＋AB 2－2×2AB cos 120°，解得AB ＝6，则cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝（213）2＋22－622×213×2＝51326，则|CB→＋λCA →|2＝|CB →|2＋λ2|CA →|2＋2λCB →·CA →＝(213)2＋λ2×22＋2λ×213×2×51326＝4λ2＋20λ＋52，则当λ＝－202×4＝－52时，|CB →＋λCA →|取得最小值.答案 6 －5214.若非零向量a 和b 满足|a ＋b |＝|b |＝2，则|a |的取值范围是________，|a －b |的取值范围是________.解析 因为||a ＋b |－|b ||≤|a |＝|a ＋b －b |≤|a ＋b |＋|b |＝4，又a 是非零向量，所以|a |的取值范围是(0，4]，因为|a －b |＋|a ＋b |≥2|b |＝|(a ＋b )－(a －b )|≥||a －b |－|a ＋b ||，所以－4≤|a －b |－|a ＋b |≤4，|a －b |＋|a ＋b |≥4，又|a ＋b |＝2，解得|a －b |的取值范围是[2，6].答案 (0，4) [2，6]15.(2020·杭州三校三联)如图，圆O 是半径为1的圆，OA ＝12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC →·BC →的取值范围是________.解析 设a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，则有|a |＝12，|b |＝|c |＝1，则AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≤|c－a |·|c －b |≤(|c |＋|a |)·(|c |＋|b |)＝32×2＝3，当且仅当a ，b 同向共线，且与c 反向共线时，等号成立，所以AC →·BC →的最大值为 3.AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )＝1－c ·(a ＋b )＋a ·b ≥1－|c |·|a ＋b |＋a ·b ＝1－|a ＋b |＋a ·b ＝1－54＋2a ·b ＋a ·b ，令a ·b ＝t ，则易得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≥1－54＋2t ＋t ，设f (t )＝1－54＋2t ＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤t ≤12，则f ′(t )＝1－154＋2t .易得当t ＝－18时，f (t )＝1－54＋2t ＋t 取得最小值－18.综上所述，AC →·BC →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 16.已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －a |＝|c －b |，则|c |的最小值为________，此时a ·b ＝________.解析 由|c －a |＝|c －b |，得c 2－2a ·c ＋a 2＝c 2－2b ·c ＋b 2，即2b ·c －2a ·c ＝b 2－a 2＝3，则(b －a )·c＝32≤|b －a |·|c |≤(|b |＋|a |)·|c |＝3|c |，所以|c |≥12，当且仅当a 与b 方向相反且a ，b ，c 共线时等号成立，所以|c |的最小值为12，此时a ·b ＝|a ||b |cos π＝－2.答案 12－217.已知正三角形ABC 的边长为4，O 是平面ABC 内的动点，且∠AOB ＝π3，则OC →·AB →的最大值为________.解析 如图，圆E 2为△ABC 的外接圆，圆E 1与圆E 2关于直线AB 对称，由题意知O 在圆E 1，E 2的优弧AB ︵上(圆E 1，E 2半径相等)，设AB 的中点为D ，OC →·AB →＝(DC →－DO →)·AB →＝BA →·DO →＝|BA →|·|DO →|·cos∠ADO ，易知当∠ADO 为锐角，且DO →在BA →方向上的射影最大时，OC →·AB →取得最大值，易知DO →在BA →方向上射影的最大值为△ABO 外接圆的半径，故所求最大值为4×42sinπ3＝1633.答案163318.(2019·浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________.解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则AB →＝(1，0)，AD →＝(0，1).设a ＝λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5(AB →＋AD →)＋λ6(AD →－AB →) ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6).故|a|＝（λ1－λ3＋λ5－λ6）2＋（λ2－λ4＋λ5＋λ6）2. ∵λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0.考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4时可取到最大值，∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最大值为4＋16＝2 5. 答案 0 2 5。
专题06 平面向量和复数(解析版)-备战2024年高中学业水平考试数学真题分类汇编
平面向量和复数∴12DA DB BA BC AB =+=-- 又∵AB a=，AC b = ，∴1122DA a b =-- .3．（2021秋·青海）化简A ．0【答案】B【详解】AB BD CD AD DC AC +-=+=故选：B4．（2022·北京）如图，已知四边形ABCD 为矩形，则AB AD +=（）A ．BDB ．DBC ．ACD ．CA【答案】C【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知AB AD AC +=.故选：C5．（2022春·广西）如图，在正六边形ABCDEF 中，与向量AB相等的向量是（）A ．BCB ．EDC ．AFD ．CD【答案】B【详解】由图可知六边形ABCDEF 是正六边形，所以ED =AB ，与AB 方向相同的只有ED；而BC ,AF ,CD 与AB长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；故选：B6．（2022春·贵州）如图，在平行四边形ABCD 中，AB AD +=（）A ．AB B ．AC C ．AD D ．BD【答案】B【详解】由题意得，AB AD += AC.故选：B.7．（2021·北京）如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，下列结论中正确的是（）A．AB AC=C．AB AC AD+=【答案】DA．a b-B．a 【答案】B【详解】在平行四边形ABCDA ．12a b+C ．12a b+r r 【答案】BA ．a b +B ．b -A．a b+C．11 22 a b+【答案】C18．（2022·湖南）已知(2,1),0a a b =+= ，则A ．()1,2--B ．()1,2-A ．BDB ．AC 【答案】B【详解】由平行四边形法则知，AB23．（2023春·浙江）在矩形ABCD 中，AB =1344AE AN AM =+ ，则AM AE ⋅=【答案】14【详解】13114443AE AN AM AD AB ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 23AM AB = ,所以2134AM AE AB AD ⎛⎫⎛⋅=⋅+ ⎪ ⎝⎭⎝ 24．（2023·云南）AB = 【答案】(1,1)-【详解】因为(0,2AB =- 所以AC的坐标为(1,1)-.（【详解】建立平面直角坐标系xOy ，设,,a OA b OB c OC === ，由a 3π=，不妨设C 在直线()30y x x =>上，又24b - 241a += ，)21a=，设()2,0D ，则22OD OA a ==，则(OB OD- 为半径的圆上；O C OB CB =-= ，则b c -的最小值等价于CB 的最小值，即以\A ．[]2,4B ．[]2,3【答案】B【详解】以A 为坐标原点，,AB AD正方向为，由题意可知(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C (1,0)AB =，(1,1)AC = ·11011AC AB ∴=⨯+⨯=故选：B考点四：平面向量的夹角1．（2022秋·福建）已知向量a 与b 满足a 【答案】3π/60︒kA．12B 【答案】D是钝角，三角形为钝角三角形．故选：【答案】406【详解】在ABC 中，CAB ∠则60ACB ∠=︒，因为sin sin AB BCACB BAC=∠∠，故答案为：423+27．（2021春·天津）已知a 、b 、c 则c =．【答案】23【详解】因为4a =，2b =，π3C =，由余弦定理可得222cos c a b ab =+-（1）求△CBD的面积；（2）求边AC的长.【答案】（1）1534；（2）53i．第四象限。
2023年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数1平面向量的概念及线性运算练习含解析
平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB →＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合 D ．海拔、温度、角度都不是向量 答案 CD解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D 正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC → B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM → C.AB →＋BC →－AC →＝0 D.AB →－AD →－DC →＝BC →3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －13解析 由题意知存在k ∈R ， 使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.题型一 向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线 答案 ACD解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． (2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件 答案 ACD思维升华 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)a|a |是与a 同方向的单位向量． 跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 BCD解析 A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误； B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 项，因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 是反向共线时才成立，故C 正确；D 项，由向量相等的定义知D 正确．(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立，即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量加、减法的几何意义例 2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最大值是________，最小值是________． 答案 2023 0解析 当单位向量e 1，e 2，…，e 2023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2023|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2023|＝2023； 当单位向量e 1，e 2，…，e 2023首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最小值为0. 命题点2 向量的线性运算例3 (多选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－13AB →＋23AD →D.CF →＝－16AB →－23AD →答案 ABD解析 因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，所以选项A 正确； 因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →，而BC →＝－12AB →＋AD →，代入可得AF →＝13AB →＋13AD →，所以选项B 正确； 因为BF →＝AF →－AB →， 而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得BF →＝－23AB →＋13AD →，所以选项C 不正确； 因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得CF →＝－16AB →－23AD →，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD →＝14BC →，平面内点E 满足BE →＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 等于( ) A.52 B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析 如图所示，易知BC ＝4AD ，CE ＝2AD ，BM →＝AM →－AB → ＝13AE →－AB →＝13(AB →＋BE →)－AB → ＝13(AB →＋6AD →)－AB → ＝－23AB →＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO →＝2OD →，则OC →等于( ) A.－13AB →＋23AC →B.23AB →－13AC →C.13AB →－23AC →D.－23AB →＋13AC →答案 A解析 如图所示，∵D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →＝2OD →，∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋13AC →＝－13AB →＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13B.12 C ．－12D ．－13答案 A解析 由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于( ) A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析 如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →， 故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1B.23C.32D ．2答案 B解析 如图所示，由题意知， AE →＝23AC →，AD →＝23AB →，设DP →＝xDE →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋xDE → ＝AD →＋x (AE →－AD →) ＝xAE →＋(1－x )AD → ＝23xAC →＋23(1－x )AB →， 所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三 共线定理及其应用 例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 A解析 ∵PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－PA →)， ∴3PA →＝PB →－PC →＝CB →，∴PA →∥CB →，且两向量方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3， 又S △ABC ＝6，∴S △PAB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________． 答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，又a ，b 为两个不共线的非零向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝23λ，t ＝13λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1B ．1C.32D ．2答案 B解析 由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ， 使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 因为线段CO 与线段AB 交于点D ， 所以O ，C ，D 三点共线， 所以OC →与OD →共线， 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 可得OD →＝λm OA →＋μmOB →，因为A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，可得λ＋μ＝m >1， 所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( ) A.AB →＋BC →＋CA → B.AB →＋MB →＋BO →＋OM → C.OA →＋OB →＋BO →＋CO → D.AB →－AC →＋BD →－CD → 答案 AD解析 利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量． 2．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b |b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a|a |，b|b |是相等向量或相反向量，所以“a|a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析 由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |， 所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λbB ．若a∥b ，b∥c ，则a∥cC ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案 D解析 若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误； 若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0， 则a ，c 不一定平行，故B 错误； 若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知， |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确．5．在平行四边形ABCD 中，AC →与BD →交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析 如图所示，∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12a ＋12b ， ∴AE →＝AD →－ED →＝12a ＋12b －14b ＝12a ＋14b .6．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数 答案 A解析 A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于( )A.34B.23C.12D.14答案 C解析 连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点， 所以AF →＝12(AD →＋AE →)，而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋AB →＋12AD →＝12AB →＋34AD →， 又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.8．(多选)已知4AB →－3AD →＝AC →，则下列结论正确的是( ) A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．C ，B ，D 三点共线 C ．|AC →|＝|DB →| D ．|BC →|＝3|DB →| 答案 BD解析 因为4AB →－3AD →＝AC →，所以3DB →＝BC →，因为DB →，BC →有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC →|＝3|DB →|， 所以B ，D 正确，A 错误； 由4AB →－3AD →＝AC →，得AC →＝3AB →－3AD →＋AB →＝3DB →＋AB →， 所以|AC →|≠|DB →|，所以C 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案 －23解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →， 所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ， 即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，t ＝－23.10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案 3解析 如图，设F 为BC 的中点，则AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，λμ∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线， ∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案 2 3解析 正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →， 在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2， ∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos120°＝23， 即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________. 答案 53解析 AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →)＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又因为AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.13．(多选)点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 AD解析 因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0， 所以|CB →|－|(PB →－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0， 即|CB →|＝|AB →＋AC →|， 所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|， 等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________． 答案 343 3解析 ∵B ，D ，C 三点共线， ∴14＋λ＝1，解得λ＝34. 如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ， 则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ， ∴四边形AMDN 是菱形， ∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3， ∴AD ＝3 3.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3答案 B解析 设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →. 由AB →＋PB →＋PC →＝0， 得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点， 所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点， 又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形． 又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2， 所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4， 且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°， 则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________. 答案 1∶6解析 若2OA →＋OB →＋3OC →＝0， 设OA ′——→＝2OA →，OC ′——→＝3OC →， 可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ， 则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ， 由2x ＝3y ＝6z ，可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.。
2020届高考数学一轮复习第六篇平面向量与复数专题6.4复数练习(含解析)
专题6.4 复 数【考试要求】1.通过方程的解，认识复数；2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 【知识梳理】 1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3.复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i≠0).【微点提醒】 1.i 的乘方具有周期性 i n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系z ·z －＝|z |2＝|z －|2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 【教材衍化】2.(选修2－2P106A2改编)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1【答案】 B【解析】 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.3.(选修2－2P116A1改编)复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i【答案】 C【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i.【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i【答案】 D 【解析】3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 D 【解析】11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i 的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 【答案】 －1【解析】 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ， ∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 【考点聚焦】考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( )A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( )A.2－iB.2＋iC.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A.1B.0C.－12D.－1【答案】 (1)D (2)D (3)D【解析】 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 【规律方法】1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.2.解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i (2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B.(2)∵1－i ＝2＋a i1＋i ，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2，解得a ＝0.故选C. 考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i【答案】 (1)D (2)D 【解析】 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限. (2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D.【规律方法】1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )Z (a ，b ) OZ →＝(a ，b ).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i【答案】 (1)D (2)D【解析】 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D. 考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D. 2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 【答案】 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【解析】 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i2i＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.【规律方法】 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答.【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i5B.2＋i5C.1－2i5D.1＋2i5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z＝( )A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i【答案】 (1)D (2)D (3)C【解析】 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i 5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C. 【反思与感悟】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 【易错防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.注意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟) 一、选择题1.已知复数(1＋2i)i ＝a ＋b i ，a ∈R ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3【答案】 B【解析】 因为(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以a ＝－2，b ＝1，则a ＋b ＝－1，选B. 2.(2018·浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i【答案】 B【解析】 因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i.故选B. 3.设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C.1D.－1－2i【答案】 A【解析】 复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i ，故选A. 4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1＋i)2B.i 2(1－i) C.(1＋i)2D.i(1＋i)【答案】 C【解析】 i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数.故选C. 5.设z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.2【答案】 B【解析】 因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 6.若a 为实数，且1＋2ia ＋i 为实数，则a ＝( )A.1B.12C.－13D.－2【答案】 B【解析】 因为1＋2i a ＋i ＝（1＋2i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＝a ＋2＋（2a －1）i a 2＋1是一个实数，所以2a －1＝0，∴a ＝12.故选B.7.(2019·豫南九校质量考评)已知复数a ＋i2＋i＝x ＋y i(a ，x ，y ∈R ，i 是虚数单位)，则x ＋2y ＝( )A.1B.35C.－35D.－1【答案】 A【解析】 由题意得a ＋i ＝(x ＋y i)(2＋i)＝2x －y ＋(x ＋2y )i ，∴x ＋2y ＝1，故选A.8.(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z －对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】 A【解析】 由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z －＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A. 二、填空题9.(2018·天津卷)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________.【答案】 4－i 【解析】6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝20－5i5＝4－i. 10.复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 【答案】 5【解析】 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5. 11.(2019·西安八校联考)若a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________.【答案】 －7 【解析】 ∵a ＋b i i＝（a ＋b i ）（－i ）－i2＝b －a i ，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，∴b ＝3，a ＝－4，则a －b ＝－7，故答案为－7.12.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________.【答案】 －2＋i【解析】 因为A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i (i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2【答案】 A【解析】 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i 13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A.14.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【解析】 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B.15.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2【答案】 B【解析】 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i 2＝i ，1－i1＋i＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.16.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i ，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85C.|z |＝311 D.z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】 D【解析】 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i 5，∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D.。
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第06练-平面向量与复数一、单选题 1．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．12D ．-1【答案】C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 2．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足21ii z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，yx取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦UC ．⎡⎣D ．)(⎡⋃⎣【答案】B 【解析】 【分析】虚数()2++x yi ，得0y ≠，根据模长公式可得22(2)1,0x y y ++=≠，yx表示圆上点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线的斜率，当连线为圆的切线时为最大和最小值，即可求出结论. 【详解】虚数()2++x yi ，得0y ≠， 虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1，2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠，yx ∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0yx ∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， yx取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ， 3tan tan 3BOC AOC ∠=∠=， 切线,OA OB 的斜率分别为33,33-， 所以30yx-≤<或30y x <≤. 故选:B.【点睛】本题以虚数的模的背景，考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系，要注意虚数条件，不要忽略，属于中档题.4．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．12-B ．0C ．12 D．2【答案】B 【解析】 【分析】化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，，，，再计算OP OQ ⋅u u u r u u u r得到答案. 【详解】121i 1i 1i1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，，，，，，故选：B 【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.5．已知向量a r ，b r 满足||3a =r ，||2b =r，|2|+=r r a b a r 与b r的夹角为（ ）A ．6πB ．4π C ．2 3π D ．3π 【答案】D 【解析】 【分析】转化|2|+=r r a b 222(2)4()4()a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，可得3a b ⋅=r r ，由cos ,||||a ba b a b ⋅<>=r rr r r r 即得解.【详解】222|2|(2)4()4()52a b a b a a b b +=+=+⋅+=r r r r r r r r Q又22()||9,a a ==r r 22()||4b b r r ==3a b ∴⋅=r r1cos ,2||||a b a b a b ⋅∴<>==r rr r r r,3a b π∴<>=r r故选：D 【点睛】本题考查了向量的数量积，模长和夹角运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6．如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出x,y 满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值【详解】如图可知x ，y 均为正，设，共线，，，则，，则的最小值为，故选D.平面向量与基本不等式的综合题目，考察基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题7．如图，在ABC ∆中，12AN AC P =u u u v u u u v ，是BN 的中点，若14AP mAB AC =+u u u v u u u v u u u v，则实数m 的值是（ ）A ．14B ．1C ．12 D ．32【答案】C 【解析】 【分析】以,AB AC u u u v u u u v 作为基底表示出AP u u u v，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵P N ，分别是BN AC ，的中点，∴()111222AP AB BP AB BN AB AN AB AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u v 111224AN AB AC +=+u u u r u u u r u u u r .又14AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴12m =.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．8．已知E 为ABC V 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ma =u u u r r ，AQ nb =u u u r r ，则11m n+=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．13【答案】A 【解析】 【分析】由E 为ABC V 的重心可得，()13AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，结合已知可用,AP AQ u u u r u u u r 表示AE u u u r，然后由,,P E Q 共线可求.解：由E 为ABC V 的重心可得，()13AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r， ∵AP ma =u u u r r ，AQ nb =u u ur r ，()111133AE AB AC AP AQ m n ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∵,,P E Q 共线，11113m n ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 则113m n+=， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量共线基本定理及三角形的重心性质的综合应用，属于中等试题.二、多选题9．下面四个命题中的真命题为( ) A ．若复数z 满足1R z∈，则z ∈R B ．若复数z 满足z2∈R ，则z ∈RC ．若复数z1，z2满足12z z R ∈，则12z z =D ．若复数z ∈R ，则z R ∈ 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的基本概念，结合举例说明，逐项判定，即可求解. 【详解】 若复数z 满足1R z∈，则z R ∈，故命题A 为真命题； 复数z i =满足21z R =-∈，则z R ∉，故命题B 为假命题；若复数12,2z i z i ==满足12z z R ∈，但12z z ≠，故命题C 为假命题； 若复数z ∈R ，则z z R =∈，故命题D 为真命题. 故选：AD . 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的运算，其中解答中熟记复数的基本概念，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与判断能力，属于基础题.10．设向量(),2a k =v，()1,1b =-v ，则下列叙述错误的是( )A ．若2k <-时，则a v 与b v的夹角为钝角B ．a v的最小值为2C ．与b v共线的单位向量只有一个为⎝⎭D ．若2a b =v v，则k =-【答案】CD 【解析】 【分析】根据a r 与b r 的夹角为钝角，得出0a b ⋅<r r 且a r 与b r不共线，求出k 的取值范围，可判断A 选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B 选项的正误；根据与b r共线的单位向量为b b±r r 可判断C 选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若a r 与b r 的夹角为钝角，则0a b ⋅<r r 且a r 与b r不共线，则202a b k k ⎧⋅=-<⎨-≠⎩vv ，解得2k <且2k ≠-，A 选项中的命题正确；对于B选项，2a =≥=r ，当且仅当0k =时，等号成立，B 选项中的命题正确；对于C选项，b =r b r 共线的单位向量为b b ±rr ，即与b r共线的单位向量为,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项中的命题错误； 对于D 选项，222a b ==r rQ ，即2422k +=，解得2k =±，D 选项中的命题错误.故选：CD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及向量的夹角、模长以及单位向量等相关知识，考查推理能力，属于中等题.11．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =u u u r u u u r，2AD DC =u u u r u u u r，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CE ⋅=-u u u r u u u r B ．0OE OC +=u u u r u u u r rC ．32OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r D ．ED u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为76【答案】BCD 【解析】 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),(3E A B C D -，设123(0,),3),(1,),(,)3O y y BO y DO y ∈==-u u u r u u u r ，BO uuu r ∥DO u u u r ，所以133y y -=-，解得：2y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=u u u r u u u r r，所以选项B 正确；22OA OB OC OE OC OE ++=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=u u u r u u u r，所以选项A 错误；1(,33ED =u u u r ，BC =u u u r ，ED u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==u u u u u u r u u u r r ，所以选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.12．有下列说法其中正确的说法为（ ）A ．若a b v v P ，b c v P v ，则a c v P v：B ．若230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v，AOC S ∆，ABC S ∆分别表示AOC ∆，ABC ∆的面积，则:1:6AOC ABC S S ∆∆=；C ．两个非零向量a v ，b v ，若a b a b -=+v vv v ，则a v 与b v 共线且反向；D ．若a b v v P ，则存在唯一实数λ使得a b =λv v【答案】BC 【解析】 【分析】A 选项错误，例如0b =r r，推不出a c r r ∥，B 选项利用向量可确定O 点位置，可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16,故正确，C 选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =r r. 【详解】A 选项错误，例如0b =r r ，推不出a c r r∥，B 选项,设AC 的中点为M, BC 的中点为D, 因为230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v，所以2220OM OD ⨯+=u u u u r u u u r r ,即2OM OD =-u u u u r u u u r ,所以O 是MD 的三等分点，可知O 到AC 的距离等于D 到AC 距离的13,而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍，故可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16，根据三角形面积公式可知正确，C 选项两边平方可得22||||a b a b -⋅=r r r r ，所以cos ,1a b <>=-r r ，即夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =r r. 故选B C.【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.三、解答题13．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅u u u u v u u u u v；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u u v u u u u v ，并指出向量1OZ u u u u v 、2OZ u u u u v满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-u u u u v u u u u v；（2）证明详见解析，当ab cd =时. 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =u u u u r ，()23,4OZ =-u u u u r，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ u u u u r 、2OZ u u u u r计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅u u u u r u u u u r 的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =u u u u r ，()23,4OZ =-u u u u r所以125OZ OZ ⋅=-u u u u r u u u u r证明（2）1z a bi =+Q ，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++ ()1,OZ a b =u u u u r Q ，()2,OZ c d =u u u u r12OZ OZ ac bd ∴⋅=+u u u u r u u u u r ，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+u u u u r u u u u r()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++u u u u r u u u u r()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥ 所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u r u u u r ，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ u u u u r u u u u r P .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．14．在平面直角坐标系xOy 中，设向量(1,2sin )a θ=r ，(sin(),1)3b πθ=+r ，R θ∈. （1）若a b ⊥r r，求tan 2θ的值； （2）若a r //b r ，且(0,)2πθ∈，求θ的值.【答案】（1）14-；（2）6πθ=. 【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标关系，建立方程，结合正切的倍角公式进行计算即可；（2）根据向量平行的坐标公式，建立方程进行求解，即可得答案．【详解】 （1）若a b ⊥r r ，则sin()2sin 03πθθ++=，即1sin 2sin 02θθθ+=，即5sin cos 22θθ=-，则tan 5θ=-，则22tan 5tan 2312814125tan θθθ==-=-=-++． （2）若//a b r r ，则2sin sin()103πθθ+-=，即1(sin )2sin 1022θθθ+⋅-=，得2sin sin 10θθθ+-=2sin cos 0θθθ-=，即cos cos )0θθθ-=， Q (0,)2πθ∈，cos 0θ∴≠，cos 0θθ-=cos θθ=，即tan θ=， 即6πθ=．【点睛】本题主要考查向量的应用，结合向量垂直，向量平行的坐标公式，建立方程关系，结合三角函数的倍角公式进行转化是解决本题的关键，难度不大．15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =v ，(2,)n a c b =+v ，且m n ⊥u v v .（1）求角B 的大小；（2）若b =4a c +=，求ABC V 的面积.【答案】(1) 23B π=(2) 【解析】【分析】（1）由m n ⊥u r r ，得0m n ⋅=u r r，由正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦公式变形，结合诱导公式可求得cos B ，从而得B 角．（2）由余弦定理可求得ac ，从而可求得面积．【详解】 （1）∵m n ⊥u r r ，∴(2)cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=u r r ，即2cos cos cos 0a B c B b C ++=由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=即2sin cos sin()2sin cos sin sin (2cos 1)0A B B C A B A A B ++=+=+=∵,(0,)A B π∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B +=，即1cos 2B =-，∴23B π= （2）由余弦定理，22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+ ∵13b =，4a c +=，∴1316ac =-，∴3ac =则ABC V 的面积133sin 24S ac B == 【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及诱导公式．掌握公式会使用即可．考查的知识点较多，本题属于中档题．16．在中，满足，是中点. （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值. 【答案】(1)；(2).【解析】试题分析： （1）由向量的夹角公式可求；（2），则，，由此可用表示出，从而可得最小值．试题解析：（1）设向量与向量的夹角为,,令，.（2）∵，∴，设，则.而，所以.当且仅当时，的最小值是.。