第06练-平面向量与复数(解析版)

第06练-平面向量与复数

一、单选题 1．已知复数2a i

i

+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．1

2

D ．-1

【答案】C 【解析】

2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以2121

0,0552

a a a -+=≠∴=，选C. 2．设i 为虚数单位，复数z 满足21i

i z

=-，则复数z 的共轭复数等于（ ）

A ．1-i

B ．-1-i

C ．1+i

D ．-1+i 【答案】B 【解析】 【分析】

利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足

21i

i z

=-，∴

()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，y

x

取值范围为（ ）

A ．⎡⎢⎣⎦

B ．⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦

U

C ．⎡⎣

D ．)(

⎡⋃⎣

【答案】B 【解析】 【分析】

虚数()2++x yi ，得0y ≠，根据模长公式可得2

2

(2)1,0x y y ++=≠，

y

x

表示圆上点（去掉与x 轴交

点）与坐标原点的连线的斜率，当连线为圆的切线时为最大和最小值，即可求出结论. 【详解】

虚数()2++x yi ，得0y ≠， 虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1，

2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠，

y

x ∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0y

x ∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， y

x

取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ， 3tan tan 3

BOC AOC ∠=∠=

， 切线,OA OB 的斜率分别为33

,33

-

， 所以30y

x

-

≤<或30y x <≤

. 故选:B.

【点睛】

本题以虚数的模的背景，考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系，要注意虚数条件，不要忽略，属于中档题.

4．设复数11i

z i

=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．1

2

-

B ．0

C ．

12 D

．2

【答案】B 【解析】 【分析】

化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

u u u r u u u r ，，，，再计算OP OQ ⋅u u u r u u u r

得到答案. 【详解】

121i 1i 1i

1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

u u u r u u u r u u u r u u u r ，，，，，，

故选：B 【点睛】

本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.

5．已知向量a r ，b r 满足||3a =r ，||2b =r

，|2|+=r r a b a r 与b r

的夹角为（ ）

A ．

6π

B ．4

π C ．2 3π D ．3π 【答案】D 【解析】 【分析】

转化|2|+=r r a b 222(2)4()4()a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，可得3a b ⋅=r r ，由cos ,||||

a b

a b a b ⋅<>=r r

r r r r 即得解.

【详解】

222

|2|(2)4()4()52a b a b a a b b +=+=+⋅+=r r r r r r r r Q

又22()||9,a a ==r r 22

()||4b b r r ==

3a b ∴⋅=r r

1

cos ,2

||||a b a b a b ⋅∴<>==r r

r r r r

,3

a b π∴<>=r r

故选：D 【点睛】

本题考查了向量的数量积，模长和夹角运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6．如图，在△

中，点

是线段

上两个动点，且

，则

的最小值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意求出x,y 满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值

【详解】

如图可知x ，y 均为正，设

，

共线，

，

，

则

，

，

则的最小值为，故选D.