第五章 晶体的点阵结构和晶体的性质2

例6：有一AB型晶体，属于正交底心格子，每个晶胞 中有2个A和2个B原子，已知一个B原子的坐标为 (1/4,1/4,1/2). 求另外一个B原子和2个A原子的坐标。 A: (0,0,0) (1/2,1/2,0)
(1/4,1/4,1/2)
B
(3/4,3/4,1/2)
A
例5：有一AB4型晶体，属立方晶系，每个晶胞中有一个A和 4个B， A的坐标为（1/2,1/2,1/2），B的坐标为 (0,0,0), (1/2,1/2,0), (1/2,0/,1/2), (0,1/2,1/2), 则此晶体的晶格型式是（选择一个最合适的答案） 1）简单立方；2）体心立方； 3）面心立方；4）底心立方；
3/4 3/4 3/4 3/4
结构基元: A-2B
(晶胞中有4个结构基元)
5.3 晶体结构的对称性
晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称性称为 晶体的宏观对称性 晶体的宏观对称性与分子的对称性比较： 相同点：点对称 晶体的对称性定律 区别：源于晶体具有空间点阵结构 晶体的微观对称性
晶体的对称性定律 晶体中对称轴的轴次n不是任意的，只可能是n=1,2,3,4,6。 （证明见课本235页）
5.2 晶体结构的周期性和点阵
一、点阵与结构基元 二、点阵参数、晶胞参数与晶胞
点阵参数
1. 直线点阵
a= a
2. 平面点阵
——点阵参数
a= a, b= b
a、b及其夹角γ ——点阵参数
平面正当格子（4种形状，5种型式）
正方格子 a=b ab = 90
∧
六方格子 a=b ab = 120
∧
矩形格子 a≠b ab = 90
=
a=b=c
a : b : c = 1:1: 2 2
“立方底心”
四方简单格子
例3. 某一立方晶系晶体，晶胞的顶点位置全为 A占 据，面心为 B占据，体心为 C占据， （1）写出此晶体的化学组成 （2）写出 A,B,C的分数坐标 （3）给出晶体的点阵型式 （4）给出其结构基元 1）AB3C 2）A（0，0，0） B C 3）点阵型式： 4）AB3C
原子的分数坐标 A： 0 2/3 B: 0 2/3 0 1/3 0 1/3 0 1/2 5/8 1/8
(坐标与原点选择有关)
结构基元:
2(A-B)
(每个晶胞中有1个结构基元)
金刚石型晶体
原子的分数坐标：
顶点原子： 面心原子： 0 0 1/2 0 0 1/2 1/2 0 1/2 0
1/2 1/2
晶胞内原子： 1/4 1/4 3/4 1/4 3/4 1/4 3/4 1/4 1/4 3/4 3/4 3/4 结构基元: 2A
四方简单（tP）
14种布拉维格子之六: 四方体心（tI）
14种布拉维格子之七：三方晶系的六方R 心(hR)
R－Rhombohedron菱面体
三方晶系的六方简单 (hP)
六方简单 (hP)格子已用于六方晶系, 现在又可用于三方晶系, 所以只算一种格子. 尽管三方晶系的两种格子------六方简单(hP)和六方R 心(hR)------形状都与六方 晶系的六方简单 (hP)格子相同, 但真实的三方晶体中只有三次对称轴而没有六次对 称轴, 六方晶体才有六次对称轴.
例如：4mm，
4 mm 等 m
国 际 符 号 中 三 个 位 代 表 的 方 向
例：Td点群，国际符号：
例：D2h点群，国际符号：
5.3.6 晶体的微观对称元素和230种空间群
微观对称元素: (1)平移操作对应的点阵. (2)螺旋旋转操作对应的螺旋轴. (3)反映滑移操作对应的滑移面. 旋转2π/n再沿轴向平移 m(t/n), 叫作螺旋旋转操作, 相应的 微观对称元素是螺旋轴nm . 其中, t 是平移周期, n=2、3、4、6, m是 小于n的(正)整数.
在七大晶系基础上, 如果进一步考虑到简单格子和带 心格子, 就会产生14种空间点阵型式, 也叫做14种布拉维格 子, 由布拉维（O.Bravais）1895年确定. 空间点阵型式属于 微观对称性.
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
例1：如图所示，以顶点和4个面心上 各有一个结点的平行六面体为单位在 空间重复所形成的点的集合是否为一 点阵？为什么？该组点是否构成一点 阵结构？画出能够概括这一组点的周 期性的点阵素单位。
A
C
B
三套等同点 简单立方点阵（立方P) 结构基元：ABC
例2：一组无穷多个点，可划分出如下平行六面体单位 a=b=c,α=β=γ=90°,该平行六面体中有2个结点，坐标为 （0,0,0）,(1/2,1/2,0),该组点是否为一点阵？是否 为一点阵结构？属于什么点阵类型？a,b,c之比？
例4. 有一AB2型立方面心晶体，问一个晶 胞中可能含有多少个A和B？ AB2型化学式: AmB2m 化学基元不能确定！
CaF2
若A属于同一套等同点(m=1) ，一个晶胞有4个A，8个B； 若A有2套等同点(m=2) ，一个晶胞有4×2个A， 8×2个B； 若A有n套等同点，一个晶胞有4n个A，8n个B。 n=1,2, …,m
(每个晶胞中有4个结构基元)
(晶胞内原子坐标与原点选择有关)
CaF2型晶体
A: 0 0 0 1/2 1/2 0 1/2 1/2 B: 1/4 3/4 1/4 3/4 0 1/2 1/2 0
1/4 1/4 3/4 3/4
1/4 1/4 1/4 1/4
1/4 3/4 1/4 3/4
1/4 1/4 3/4 3/4
空间正当格子
晶胞
按照晶体结构的周期性划分所得的平行六面体称 为晶胞。
CsCl晶胞
空间点阵型式——立方P
晶 胞 两 要 素
（1）晶胞的大小、形状 即晶胞参数a、b、c、α、β、γ （2）晶胞的内容 晶胞中原子的种类和位置. 表示原子位 置要用分数坐标.
分数ห้องสมุดไป่ตู้标
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表. x、y、z 就是分数坐标，它们永远不会大于1.
立方面心晶胞净含4个原子，所以写出4组坐标即可:
所有顶点原子：
0，0，0
(前)后面心原子： 0，1/2，1/2 左(右)面心原子： 1/2，0，1/2 (上)下面心原子： 1/2，1/2，0
下面一些晶胞作为观察和练习晶胞两要素的材料(以下各图 中A与B代表两种异号离子,而不必特指具体的元素) ：
∧
（一般）平行 带心矩形格子 四边形格子
a≠b
∧
ab = 90
a≠b ab ≠ 90
∧
3. 空间点阵
a = a ,b = b , c = c
α = bc, β = ac, γ = ab
a、b、c及夹角α、β、γ ——点阵参数（晶胞参数）
∧
∧
∧
空间正当格子（7种形状，14种型式）
空间正当格子
空间正当格子
CsCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0
B: 1/2 1/2 1/2
结构基元: A-B
（每个晶胞中有1个结构基元）
NaCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 1/2 0 1/2 0 0 1/2 1/2 0 0 0 1/2
1/2 1/2 B: 1/2 0 0 0 1/2 0
1/2 1/2 1/2 结构基元: A-B （每个晶胞中有4个结构基元）
立方ZnS型晶体
原子的分数坐标 A： 0 0 1/2 1/2 B: 1/4 1/4 3/4 3/4 0 1/2 0 1/2 1/4 3/4 1/4 3/4 0 1/2 1/2 0 3/4 1/4 1/4 3/4 结构基元:A-B (每个晶胞中有4个结构基元)
(注意: 坐标与原点选择有关)
六方ZnS型晶体
晶体的微观对称性 晶体的微观对称性就是晶体内部点阵结构的对称性
5.3.1 晶体的宏观对称元素
5.3.2 晶体的32个点群
1, 2，，，， m，i 3 4 6 4，
晶体中可能的8个宏观对称元素 按一切可能的组合只有32 种，构成晶体学的32个点群。 Cn: C1, C2, C3, C4, C6 五个点群； Cnv: C2v, C3v, C4v, C6v 四个点群； Cnh: C1h＝Cs, C2h, C3h, C4h, C6h 五个点群； Sn: S2=i, S4, S6三个点群； Dn：D2, D3, D4, D6 四个点群； Dnh: D2h, D3h, D4h, D5h四个点群； Dnd：D2d, D3d 两个点群； T, Td,Th, O, Oh 五个高阶群
5.3.3 7大晶系
晶系 立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系 特征对称元素 4个按立方体对角线取向的3次轴 6重对称轴 4重对称轴 3重对称轴 2个互相垂直的对称面 或3个互相垂直的2重对称轴 2重对称轴或对称面 无或对称中心
5.3.4 空间点阵型式——14种布拉维格子
滑移面有几种类 型. 其中, a滑移面的 基本操作是对于该面 (假象镜面)反映后,再 沿平行于此面的x轴 方向平移ta/2. ta是a 轴方向的平移周期. 有时将平移直接写成 a/2.
a b
c b
a
晶体的230种空间群
晶体的微观对称元素是在宏观对称操作基础上增加 了点阵结构特有的平移操作， 微观对称元素组合得到 230种空间群。
附：三方晶系的晶胞的两种取法
菱面体晶胞
晶系：三方晶系 特征对称元素：三重对称轴 晶胞参数：a=b=c α=β=γ≠90°
六方晶胞: 按六方晶胞取时可得六方简单（hP）和 六方R心（hR）。
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
o⎯orthorhombic
14种布拉维格子之九：正交体心（oI)
14种布拉维格子之十：正交C心 oC(或 oA, oB）
=
c b a
=
下图是立方面心失去相对两个面心的结果. 试看： （1）沿体对角线的4个三重对称轴还存在吗？ （2）按图中箭头方向平移时还能复原吗？
5.3.5 点群的符号表示
一、点群通常采用圣弗里斯符号(Schönflies)，见P240表. 二、 点群的国际符号
由三个位构成，每个位代表一个与特征对称元素取向有一定联 系的方向。 若有与某个位平行的对称轴或反轴， 记为:n 或 n ； 若有与某个位垂直的对称面，记为m； 若二者皆有，记为： n 或 n m m
14种布拉维格子之十一：正交面心（oF)
14种布拉维格子之十二：单斜简单（mP)
m⎯monoclinic
14种布拉维格子之十三：单斜C心（mC)
14种布拉维格子之十四：三斜简单 (aP)
a⎯anorthic
能否发明更多的点阵型式？
例如： 四方面心、四方底心？ 立方底心？ 将立方面心除去相对两个面心？ ………
14种布拉维格子之一：立方简单（cP） c⎯cubic
14种布拉维格子二：立方体心（cI）
14种布拉维格子三：立方面心（cF）
14种布拉维格子之四：六方简单（hP)
黑色与灰白色点 都是点阵点.黑点 与蓝线表示一个 正当格子
h⎯hexagonal
14种布拉维格子之五: t⎯tetragonal