直线的极坐标方程

M
线上取一点M， 线上取一点 ，使OM= ρ
2、负极径的实例 、 在极坐标系中画出点 M（－ ，π/4）的位置 （－3， ） （－
[1]作射线 ，使∠XOP= π/4 作射线OP， 作射线 [2]在OP的反向延长 在 的反向延长 线上取一点M， 线上取一点 ，使 OM= 3 O M P θ= π/4 X
练习： 练习：写出点 6， ） （ ， 的负极径的极坐标
：（－6， 答：（－ ， +π） ） 6
π
π
6
11 π （－6，－ +π） 或（－ ，－ ） 6
负极径小结：极径变为负， 负极径小结：极径变为负，极角增加 π 。
Hale Waihona Puke Baidu
特别强调：一般情况下（ 特别强调：一般情况下（若不作特别 说明时），认为ρ ），认为 说明时），认为ρ ≥ 0 。因为负极径只 在极少数情况用。 在极少数情况用。
∠OMP = α θ , ∠OPM = π (α θ1 )
ρ1 ρ = sin[π (α θ1 )] sin(α θ )
由正弦定理 得
显然点P的坐标 显然点 的坐标 ρ sin(α θ ) = ρ1 sin(α θ1 ) 也是它的解。 也是它的解。
小结：直线的几种极坐标方程 小结： 1、过极点 、 2、过某个定点，且垂直于极轴 、过某个定点， 3、过某个定点，且与极轴成一定 、过某个定点， 的角度
练习：设点 的极坐标为 练习：设点A的极坐标为 ( a , 0) ，直线l过 点A且与极轴所成的角为 α ,求直线 l 的 且与极轴所成的角为 求直线 极坐标方程。 极坐标方程。 M ρ 如图， 解：如图，设点 M ( ρ , θ ) α θ ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 连接 ， 在
1、负极径的定义 、 说明：一般情况下，极径都是正值； 说明：一般情况下，极径都是正值； 在某些必要情况下， 在某些必要情况下，极径也可以取 负值。（？） 负值。（？）
对于点M（ρ，θ）负极径时的规定： 对于点 （ 负极径时的规定： P X
[1]作射线 ，使∠XOP= θ 作射线OP， 作射线
O
θ
[2]在OP的反向延长 在 的反向延长
ρ a = sin(π α ) sin(α θ ) 即
ρ sin(α θ ) = a sin α
显然A点也满 显然 点也满 足上方程。 足上方程。
例题3设点 的极坐标为 例题 设点P的极坐标为( ρ1 ,θ1 ) ，直线 l 设点 过点P且与极轴所成的角为 求直线 过点 且与极轴所成的角为 α ,求直线l 的极坐标方程。 的极坐标方程。
新课讲授 π 例题1：求过极点， 例题 ：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 的极坐标方程。 M 分析： 分析： 如图， 如图，所求的射线 π 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 π / 4，其 极径可以取任意的非负数。 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 θ = π ( ρ ≥ 0 )
4
思考： 思考： 5π 1、求过极点，倾角为 的射线的极 、求过极点， 4 坐标方程。 坐标方程。
5 易得 θ = π ( ρ ≥ 0) 4 π 2、求过极点，倾角为 的直线的极 、求过极点， 4
坐标方程。 坐标方程。
5 θ = 或θ = π 4 4
π
和前面的直角坐标系里直线方程 的表示形式比较起来， 的表示形式比较起来，极坐标系里的 直线表示起来很不方便， 直线表示起来很不方便，要用两条射 线组合而成。原因在哪？ 线组合而成。原因在哪？ 为了弥补这个不足， 为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
OM cos ∠MOA = OA
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 、根据题意画出草图； 2、设点 M ( ρ , θ ) 是直线上任意一点； 是直线上任意一点； 、 3、连接MO； 、连接 ； 4、根据几何条件建立关于 ρ ,θ 的方 、 并化简； 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。 、检验并确认所得的方程即为所求。
ρ
M
o
θ α ﹚ ﹚
1
ρ1 P
x
解：如图，设点 M ( ρ , θ ) 为直线上除 如图， 外的任意一点， 点P外的任意一点，连接 外的任意一点 连接OM 由点P的极坐标知 则 OM = ρ , ∠xOM = θ 由点 的极坐标知 OP = ρ1 ∠xOP = θ1 设直线L与极轴交于点 。则在MOP 设直线 与极轴交于点A。 与极轴交于点
θ= π
4 ( ρ ∈ R)
ρ≥0
或
5 θ = π ( ρ ∈ R) 4
新课引入： 新课引入： 思考： 思考：在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与 轴垂直的直线方程 、过点 且与x轴垂直的直线方程 且与 过点(3,3)且与 轴垂直的直 且与x轴垂直的直 为 x=3 ;过点 过点 且与 线方程为 x=3 2、过点（a,b）且垂直于 轴的直线 、过点（ ）且垂直于x轴的直线 方程为_______ 方程为 x=a 特点：所有点的横坐标都是一样， 特点：所有点的横坐标都是一样， 纵坐标可以取任意值。 纵坐标可以取任意值。
例题2、求过点 例题 、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 ， 于极轴的直线L的极坐标方程 的极坐标方程。 于极轴的直线 的极坐标方程。 如图， 解：如图，设点 M ( ρ , θ ) M ρ 为直线L上除点 上除点A外的任 为直线 上除点 外的任 意一点，连接OM 意一点，连接 ﹚θ o A x 在 Rt MOA 中有 即 ρ cos θ = a 可以验证，点A的坐标也满足上式。 可以验证， 的坐标也满足上式。 的坐标也满足上式