北师大版九年级数学下册二次函数的应用1导学案
北师大版九年级数学下册二次函数表达式1导学案
堂
检
测
求下列二次函数的解析式：
1．图象过点（1，0）、（0，-2）和（2，3）。
2．当x=2时，y =3，且过点（1，-3）。
(10分钟)
在规定时间内独立完成
教师公布答案后以分数衡量教学效果
教后
反思
6.已知抛物线经过（－1，0），（3，0），且过（2，6）三点，求二次函数的表达式。
三、反思小结——求二次函数解析式的方法(3分钟)
1．已知三点，求二次函数解析式的步骤是什么？
2．用顶点式求二次函数的解题思路是：已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求解析式比较简单。
(12分钟)
学生自主参与、合作探究、展示交流并予以评价
温故
知新
1.已知一次函数经过点（1，2），（-1，0），则一次函数的解析式为。
2．二次函数的一般式为，二次函数的顶点式，二次函数的两根式（或交点式）为。(3分钟)
教
学
一、方法探究（一）——已知三点，用一般式求函数的表达式。(17分钟)
3．二次函数的图象经过（0，2），（1，1），（3，5）三点，求二次函数的解析式。
4．即时练习已知抛物线经过A（-1，0），B（1，0），C（0，1）三点，求二次函数的解析式。
学生自主参与、合作探究、展示交流并予以评价
根据计算过程总结方法
流
程
二、方法探究（二）已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。
5．已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，7），求函数的解析式。
神木县第五中学导学案
年级
九
班级
学科
数学
课题
求二Байду номын сангаас函数的解析式（一）
数学北师大九年级下册二次函数的应用优秀导学案
二次函数的应用学习主题：二次函数的应用学习课时：1课时课标要求：能够利用二次函数解决以最大利润为代表的实际问题学习目标：1、经历计算最大利润问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值；2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力。
评价任务：完成评价任务一：完成评价任务二：完成达标检测1、2资源与建议：实际问题与二次函数也可以称作二次函数的应用，以二次函数的图象与性质为基础，检验学生应用所学知识解决实际问题的能力。
课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础评价标准：完成评价任务一、二，达标检测1、2学习过程：一、学习准备：1、将二次函数y=−2x2−4x+8化为顶点式其开口向﹑对称轴是﹑顶点是坐标与y轴交点坐标为2、根据二次函数y=−2x2−4x+8的图像回答下列问题(1)若-2≤x ≤3,则函数的最大值是(2)若1≤x ≤3,则函数的最大值是(3)当y≥2时,x的取值范围是3、（1）总价、单价、数量的关系：（2）利润、售价、进价的关系：（3）总利润、单件利润、数量的关系：（4）在商品销售中，可以采用哪些方法增加利润？二、学习新知任务一：例1：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月要少卖10件。
（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每件售价不能高于65元，每个月的销售量为y件，则：y与x的函数关系式为自变量x的取值范围是（2）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每件售价不能高于65元，每个月的销售利润为y元，则：y与x的函数关系式为自变量x的取值范围是每件商品的售价上涨元，即每件商品的售价定为元时可获得最大利润，最大利润是元评价任务一：某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大?最大利润是多少?(1)设销售单价提高x元，半月内的销售量为y件，则：y与x的函数关系式为(2)设销售单价提高x元，半月内的的销售利润为y元，则：y与x的函数关系式为每件商品的单价提高元，即每件商品的单价定为元时可获得最大利润，最大利润是元思考：如果设销售单价为x元，又该如何解答？总结提升：1、变量x,y表示时，所列函数解析式会发生改变。
北师大版九年级数学下册_《二次函数与一元二次方程(1)》导学案
【自我评价】 1．本节课有困惑的题目是：
2．本节课的学习收获是：
3/3
6、从 1 和 2、3 中你能发现二次函数 y ax2 bx c （a≠0）的图象与 x 轴的公 共点个数与一元二次方程 ax2 bx c 0 （a≠0）的根的判别式有什么关系？
7、一元二次方程 ax2 bx c h （h 是实数）的根可以看作是二次函数 y=_____________与直线 y=_____________的交点的横坐标. （二）合作交流 1、自主学习中的内容，主要是 5、6、7 三、知识梳理 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有 一个交点、没有交点．当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴有交点时，交点 的横坐标就是当 y＝0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根． 四、学习评价 （一） 、初步应用 1、不画图象说出下列二次函数与 x 轴的公共点各有几个. （1） y x 2 6x 9 （3） y x 2 2x 5 （2） y 4x 2 9 （4） y ax2 bx c （a>0,c<0）
3、一元二次方程 ax2 bx c 0 （a≠0）的根与其判别式有什么关系？
二、新知学习 （一）自主探究
1、观察图（1） 、 （2） 、 （3）你发现： （1）与 x 轴有_____个公共点，其横坐标分别是_________________ （2）与 x 轴有_____个公共点，其横坐标分别是_________________ （3）与 x 轴有_____（有、无）公共点 2、一元二次方程 x 2 2 x 0 的判别式△ _________________ 一元二次方程 x 2 2 x 1 0 的判别式△ _________________ 一元二次方程 x 2 2 x 2 0 的判别式△
北师大版九年级数学下册2.1二次函数导学案
2.1 二次函数学习目标1、能够表示简单变量之间的二次函数关系2、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题3、体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.一、【学前提示】提示1：函数定义:在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.提示2：一次函数形式为y=ax+b形式的函数.其中a、b为常数，且a≠0.一次函数在直角平面坐标系中图象为一条直线.提示3：正比例函数是一次函数的特殊形式.形式为y=ax.其中a为常数，且a≠0.在直角平面坐标系中图象为一条过原点的直线.提示4：反比例函数形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的图像为双曲线.如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像.当K＞0时，反比例函数图象经过一，三象限，是减函数当K＜0时，反比例函数图象经过二，四象限，是增函数提示5：二次函数的定义：形如cbxaxy++=2（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数.二、【方法点拨】点拨1：本节的重点是：表示简单变量之间的二次函数关系.点拨2：本节的难点是利用尝试求值的方法解决实际问题.点拨3：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意：（1）关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.点拨4：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的.也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的． 本金：存入银行的钱叫做本金.利息：取款时银行多付的钱叫做利息. 利率：；利息与本金的百分比叫做利率.利息计算公式利息＝本金×利率×时间三、【思路拓展】步骤1：迁移导入：1. 已知函数y m x m =-+-()3328是一次函数，求其解析式. 分析： 利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0.如本例中应保证m -≠30解：由一次函数定义知m m 28130-=-≠⎧⎨⎩∴=±≠⎧⎨⎩m m 33 ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 步骤2：本节课知识巩固1、下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21xD.y =a 2x分析：本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数.注意： 关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 所以答案是A.2.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A.a ≠0，b ≠0，c ≠0B.a <0，b ≠0，c ≠0C.a >0，b ≠0，c ≠0D.a ≠0分析：一般地，形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数.注意： 关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.所以答案是D.3．下列函数中，不是二次函数的是（） A ．y=2x 2＋2x B ．y=－x 2+x 3+1C ．y=－x 2+x1+1 D ．y=3－x(2－x) 分析：选项C 中含有x1,所以C 不是二次函数.答案是：C师生互动 共解难题一、【实例讲解】例1某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？（2）假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？（3）如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式. （4）种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？分析：一定要分析好题意，根据实际情况，当果园的种的橙子树多的时候，每颗的产量也相应的减少.设果园共有（100+x ）棵树，这时表示出每棵树能结多少个橙子，然后算出总的产量从而得到解析式；第四个问题由下表可以得到从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大值．x 大于10时，y 的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．解：（1）变量有果园里面的橙子树的棵数，和果园的总产量. （2）果园共有（100+x ）棵树，平均每棵树结（600-5x ）个橙子（3）因此果园橙子的总产量：Y=(100+x)(600-5x)=-5x ²+100x+60000 （4）从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大例2 (1)对于二次函数y=x 2的图象上两点P （x,y ）、Q （m,n ）：如果x ＜m ＜0,则y n; 如果0＜x ＜m,则y n; 如果是仅有x ＜m ，则能确定y 、n 的大小吗？(2)、对于二次函数y=-x 2的图象上两点P （x,y ）、Q （m,n ）： 如果x ＜m ＜0,则y n; 如果0＜x ＜m,则y n;分析：根据函数y=x 2的增减性：当a>0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大.当x=0时函数y 的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧,y 随着x 增大而减小,当x=0时,函数y 的值最大.所以答案是：(1) y > n ， y < n; (2) y < n ，y > n ， 二、【学会总结】总结1：总结2：二次函数y=ax 2的性质1.抛物线y=ax 2的顶点是原点,对称轴是y 轴.2.当a>0时，抛物线y=ax 2在x 轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax 2在x 轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展. 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大.当x=0时函数y 的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧,y 随着x 增大而减小,当x=0时,函数y 的值最大.积累运用 学会创新1.下列不是二次函数的是（ ）当x=0时,最大值为0.当x=0时,最小值为0最值在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而减在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大.增减性向下向上开口方向 在x 轴的下方( 除顶点外) 在x 轴的上方(除顶点外) 位置 y 轴y 轴对称轴 （0，0） （0，0） 顶点坐标 y= -x 2y=x 2抛物线A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52 xD ．y=（x ＋1）（x －2）2.函数y=（m 2-1）·xm2+2m-1是二次函数，m 的值是（ ）A ．m= -3或1B ．m=+1或-1C ．m= -3D ．m=33、.若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k ______.4.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)中，当b =0，c ≠0时，函数表达式为______；当b ≠0，c =0时，函数表达式为______；当b =c =0时，函数表达式为______.5.在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，y 与x 之间的函数关系是______.6.小立存入银行人民币500元，年利率为x %，两年到期，本息和为y 元(不含利息税)，y 与x 之间的函数关系是_______，若年利率为6%，两年到期的本利共______元.7．下列函数不属二次函数的是A.y =(x －1)(x +2)B.y =21(x +1)2C.y =2(x +3)2－2x 2D.y =1－3x 2拓展尝新 突破自我8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？9．如图，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直 的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值 范围.10.正方形的边长为1 cm ，假设边长增加x cm 时，正方形的面积增加y cm 2.(1)请写出y 与x 之间的关系表达式;(2)当正方形边长分别增加1 cm ，3 cm ，2 cm 时，正方形的面积增加多少？参考答案积累运用学会创新1、分析：因为选项C中含有5所以C不是二次函数；故答案是C.2x，2、分析：由题意得m2-1≠0，所以m≠1或m≠-1,由 m2+2m-1=2得m=-3或1故，本题答案是C.3、分析：由题意得k2－4≠0，所以答案是k≠2，k≠-24、y=ax2+c y=ax2+bx y=ax25、大正方形的面积为36，剪掉的部分是x2所以y=36 -x2 (x<6)6、分析：设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是500元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)：y=500（1+x）2=500x2+1000 x+500.所以本题答案是：y=500x2+1000 x+500 、561.87、分析：选项C经过化简以后不含有二次项了，所以答案是C.拓展尝新突破自我8、分析：要是一次函数则使二次项系数等于零，一项系数不能等于零，要使函数是二次函数，则使二次项系数不能等于零就行了.解：(1)∵m2－m=0，∴m=0或m=1.∵m－1≠0，∴当m=0时，这个函数是一次函数.(2)∵m2－m≠0，∴m1=0，m2=1.则当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.9.分析：可以用割补法，草坪的面积可以看成个长方形，这个长方形的长是(80－x)m，,宽是(60－x)m;所以本题的答案是：解：y=(80－x)(60－x)=x2－140x+4800(0≤x＜60).10、解：(1)y=(x+1)2－1,∴y=x2+2x.(2)当x=1时，y=3;当x=3时，y=3+23当x=2时，y=8.。
2020-2021学年北师大版数学九年级下册2.4二次函数的应用 导学案
一、二次函数的应用【学习目标】1. 掌握并理解二次函数在最大面积问题中的应用【重难点】1. 掌握二次函数一般式与顶点式的转化（配方）；2. 掌握二次函数图像平移（上加下减，左加右减）；【课堂学习内容】例1. 已知一个直角三角形两直角边之和为20cm ，则这个直角三角形的最大面积为__________。
例2. 某农场拟建两件矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在下图所示的三处各留1m 宽的门。
已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m ，则能建成的饲养室面积最大为_________。
若建成36m 2，则中间的隔墙（包括门）的长度是___________。
例3. 如图X2-4-1所示的一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m ，已知桥洞的拱形时抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系。
若选取A为坐标原点时，抛物线的解析式4)6(912+--=x y ，则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是_________。
【运用巩固】练习1. 用长为32m 的篱笆围成一个矩形养鸡场，设围成的矩形边长为x m ，面积为y m 2。
（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积是60m2？（3）能否围成面积为70m2的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由。
（4）养鸡场能围成的最大面积是多少？练习2. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式2=，则飞机着陆后滑行至停止需要时间_______s，滑行距离s-t5.160t_______m。
【学习目标】1.掌握并理解二次函数在抛物线型问题中的应用【重难点】1.掌握常见二次函数解析式求解方法。
(1)已知3个点；(2)已知图像与x轴的两个交点及另一个其他条件（一个点；a，b，c中的一个值；图像与y轴的交点；顶点纵坐标等）；(3)对称轴及另外两个条件。
2.掌握建模思想【课堂学习内容】例1.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下面宽度为20m，拱顶距离水面4m。
初中数学北师大九年级下册(2023年新编) 二次函数二次函数导学案
二次函数学习目标1.通过看例题会总结二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.学习重点:1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.学习过程一、自主学习：由实际问题探索二次函数关系某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．二.归纳总结1.二次函数的定义:_____________________________________.2.形如c bx ax y ++=2(c b a ,,为常数的)函数当a ____________时是二次函数.当a ____________,b __________时是一次函数.当a ____________,b __________,c __________时是正比例函数.三、解析与交流例1. 函数()12222-++=-x x m y m 是二次函数，则=m ．例2. 下列函数中是二次函数的有（ ） ①x x y 1+=；②()2132+-=x y ；③()2223x x y -+=；④x xy +=21．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3.正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．例 4.某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．四、交流展示1.谈谈自己判断二次函数的方法.2.如何表示简单变量之间的二次函数五、课堂检测：1.．当m 时，()222--=m x m y 是二次函数．2．下列不是二次函数的是（ ）A ． 432+=x yB ．231x y -= C ．52-=x yD ．()()21-+=x x y3．函数()n mx x n m y ++-=2是二次函数的条件是（ ）A ．n m 、为常数，且0≠mB ．n m 、为常数，且nm ≠ C ．n m 、为常数，且0≠n D ．n m 、可以为任何常数4．半径为3的圆，如果半径增加x 2，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ）A ．()232+=x S πB ．x S +=π9C ．91242++=x x S πD ．ππ91242++=x x S5．已知：如图，在Rt △ABC 中，.8,4,90==︒=∠AC BC C 点D 在斜边AB 上，分别作BC DF AC DE ⊥⊥,，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设y DF x DE ==,． （1）AE 用含y 的代数式表示为：AE = ；（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．。
数学北师大版九年级下册二次函数的图像与性质(第一课时)导学案
二次函数的图像与性质（第一课时）目标导向【学习目标】1.经历探索二次函数2x y =的图像的作法和性质的过程，获得利用图像研究函数性质的经验；2.能够利用描点法作出二次函数2x y =的图像，并能根据图像认识和理解二次函数2x y =的性质；3.能够作出二次函数2x y -=的图像，并能够比较出与2x y =的图像的异同，初步建立二次函数表达式与图像之间的联系. |【重点】二次函数2x y =与2x y -=的图像特点. 【难点】二次函数2x y =图像特点的探索过程.自学导向1．预读教材P32—P34，了解本节课基本内容，并标记知识点. 2．完成练习册《学考精练》P125课前练兵. 3．相关知识链接：⑴二次函数的概念：一般地，若两个变量y x ,之间的对应关系可以表示成_______(c b a ,,是常数，______)的形式，则称y 是x 的二次函数. $⑵画函数图像的一般步骤为：______、______、______.合作导向探究点·一：二次函数2x y =的图像的画法（1）观察2x y =得关系式，选择适当的x 值，并计算出相应的y 值，完成下表：x …… -3 | -2-1 0 1 2 3 ……2x y =）……【……（2）在平面直角坐标系中描点.xy–1–2–3–4–5–6–7–812345678–1–2–3–412345678910O（3）用平滑的曲线连接各点，得二次函数2x y =的图像.【针对练习】作出二次函数2x y -=的图像.xy–1–2–3–4–5–6–7–812345678–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10123O【归纳小结】二次函数2x y =与2x y -=的图像是一条_______.》探究点·二：二次函数2x y =与2x y -=的图像和性质观察思考，认真完成下表： 二次函数2x y =2x y -=大致图像xyO《xyO图像形状 开口方向对称轴 <顶点坐标增减性当0<x 时，y 的值随x 值得增大而____；当0>x 时，y 的值随x值得增大而____当0<x 时，y 的值随x 值得增大而____；当0>x 时，y 的值随x值得增大而____、最值当x =____时，y 有最___值为___ 当x =____时，y 有最___值为___若把二次函数2x y =的图像和二次函数2x y -=的图像画在同一平面直角坐标系中，则两图像既关于_______对称，又关于_______成中心对称. 【针对练习】1．比较二次函数y=x 2与y=﹣x 2的图象，下列结论错误的是（ ） A ．对称轴相同 B ．顶点相同]C ．图象都有最高点D ．开口方向相反2.已知点A （-1，m ），B （-2，n ）在二次函数y=x 2的图像上，则m______n （填“>”“<”或“=”）拓展导向 自测反馈 【基础达标】1.下列点不在二次函数y=x 2图像上的是（ ）A.(-1，1)B.(1，-1)C.(2，4)D.(-2，4)…2．抛物线y=，y=x 2，y=﹣x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.点（x 1,y 1）， (x 2,y 2)都在二次函数y=﹣x 2的图像上，如果x 1< x 2<0,那么y 1与 y 2的大小关系是（ ）A. y 1< y 2<0B. y 2 < y 1<0C. y 1> y 2>0D. y 2> y 1>04. 设正方形的边长为a ，面积为S ，试作出S 随a 的变化而变化的图象．5.若点A （2，m ）在抛物线y=x 2上，求点A 关于y 轴对称点B 的坐标，并判断点B 是否也在抛物线y=x 2上.？【能力提升】1.已知a<-1，点（a-1，y 1）, （a ，y 2）, （a+1，y 3）都在y=x 2的图像上，则（ ） A. y 1< y 2< y 3 B. y 1< y 3 <y 2 C. y 3 < y 2< y 1 D. y 2 < y 1< y 32．如图，⊙O 的半径为2．C 1是函数y=x 2的图象，C 2是函数y=﹣x 2的图象，则阴影部分的面积是 ．课堂总结{通过这节课我学会了____________________________________________________，我还有疑问_________________________________________________________________.课后作业《学考精炼》P125—P126。
2023年北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案一、温故知新——请同学们根据题意写出下列各题的函数关系式。
1.正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式。
2.已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式。
3.已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式。
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?第二段：【白天长课导学】一、学习目标与要求：1. 能根据题意列出函数关系式，并能通过配方求出最值。
二、定向导学、合作交流、教师精讲定向导学、合作交流、教师精讲摘记【合作探究一】一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间1.长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？【合作探究二】某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?课题：第二章§2-6-1 二次函数的应用课型：新授总第9课时－18模块五：当堂训练班级：九（）班姓名：一、解答题。
请根据本节课所学知识解答。
1．如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积。
4、如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质之后，进一步运用二次函数解决实际问题的课程。
本节内容通过现实生活中的实例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。
教材内容主要包括：二次函数在实际问题中的运用，二次函数的综合应用等。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图象与性质，对二次函数有一定的理解。
但学生在解决实际问题时，往往难以将数学知识与实际问题相结合。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将二次函数知识运用到实际问题中，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够理解二次函数在实际问题中的运用，提高学生的数学应用能力。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将数学知识运用到实际中的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的运用。
2.难点：如何将二次函数知识灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过现实生活中的实例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
2.案例教学法：分析典型实例，让学生学会如何将二次函数知识运用到实际问题中。
3.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的数学应用能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数在实际问题中的运用。
2.实例材料：收集一些实际问题，作为教学案例。
3.练习题：准备一些练习题，巩固学生对二次函数应用的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如：抛物线形的跳板、抛物线形的桥梁等，引导学生思考：这些实际问题与二次函数有什么关系？2.呈现（10分钟）呈现一个实际问题：小明家有一个抛物线形的菜园，菜园的顶点在原点，开口向上，对称轴为y轴。
已知菜园的面积为40平方米，问：菜园的最大宽度是多少？引导学生分析问题，明确需要运用二次函数的知识来解决。
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.4节《二次函数的应用》主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，包括二次函数图像的识别和利用二次函数解决实际问题。
这部分内容是学生在学习了二次函数的性质和图像后，对二次函数知识的进一步拓展，使学生能够将所学知识应用到实际生活中，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识和图像，对二次函数有一定的理解。
但学生在解决实际问题时，可能会对将理论知识和实际问题相结合感到困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用；2.学会利用二次函数解决实际问题；3.提高学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.二次函数在实际生活中的应用；2.利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生思考；通过案例分析，使学生理解二次函数在实际生活中的应用；通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的案例和问题；2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出二次函数的应用，例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积为固定的10亩。
如果种植苹果树，每亩收益为2000元；如果种植梨树，每亩收益为3000元。
请问如何分配种植苹果树和梨树的面积，才能使总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现教材中的案例，让学生了解二次函数在实际生活中的应用。
例如，教材中有一个关于抛物线形跳板的问题，通过二次函数来求解跳板的长度。
3.操练（10分钟）让学生根据教材中的案例，尝试解决实际问题。
例如，教材中有一个关于二次函数图像的问题，让学生根据图像信息，求解相关参数。
4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生解决一些实际问题。
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教学设计1
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教学设计1一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版九年级数学下册第2章“函数、方程与不等式”的第4节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握二次函数的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数联系起来，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将现实问题转化为数学问题的能力，提高学生的数学建模能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数的应用。
同时，运用讨论法、案例分析法等教学方法，提高学生的参与度和积极性。
六. 教学准备1.教材：《北师大版九年级数学下册》。
2.教学课件：根据教学内容制作的课件。
3.练习题：针对本节课内容设计的练习题。
4.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，如抛物线形的跳板，引导学生思考如何用数学模型来描述这个问题。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）呈现教材中的例题，讲解二次函数在实际生活中的应用。
通过例题，让学生了解如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。
北师大版数学九年级下册第二章2.4(3)二次函数的应用(导学案)
2.4 （3）二次函数的应用一、教学目标通过建立适当的直角坐标系，让学生体验从实际问题中抽象出函数关系式的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，进一步感受数学建模思想工作数学应用价值二、教学重点和难点重点：能够运用二次函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，进一步提高分析问题解决问题的能力.难点：能够运用二次函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，进一步提高分析问题解决问题的能力.三、教学过程(一)情景导入有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．（1）建立直角坐标系，求点B、D的坐标。
（2）求此抛物线的解析式；C D(二)变式训练1.一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管AB在高出地面5.1米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，求水流落点D到A点的距离.AB 2.如图一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线5.3512+-=x y 运行，已知篮框的中心离地面的距离为3.05米.(1)球在空中运行的最大高度为多少?(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，他距离篮框中心的水平距离是4米，请问能否准确落入篮框内？(二)课下作业1、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.3512+-=x y 的一部分(如图)， 若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是( )A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m2、某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线形组成的，为牢固起见，每段护栏需按0.4m 的间距加装不锈钢管的立柱（如图）．（1）试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线对应的二次函数关系式． （2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．3、某地区建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花型柱子OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图①所示，建立右图②所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间关系式是22y x x=-+(1)柱子OA的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外？4、如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系.①求此桥拱线所在抛物线的解析式.②桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处122m的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下?说明理由.AO图①。
数学北师大版九年级下册《二次函数的应用(第1课时)》教学设计
北师大版数学九年级下册第二章二次函数《二次函数的应用（第1课时）》教学设计太谷县桃园堡学校李志红一、教学目标（一）知识目标：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，增强解决问题的能力。
（二）能力目标：1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．（三）情感态度与价值观：1．经历探究最大面积问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．2．体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．二、教学重点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题，进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．教学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大（小）面积问题．三、教学过程一、温故互查求下列二次函数的顶点坐标,并说明y随x的变化情况：（1）y=-2x2+50x(公式法) （2）S=t2-6t+72(配方法)【设计意图】：梳理旧知，做好铺垫.二、新知探究1、情境导入(1)请用长40米的篱笆设计一个矩形的菜园.(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？【设计意图】：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路.例1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面靠墙,另三面用竹篱笆围成,并且在与墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?若墙的最大可用长度为20米，围成养鸡场的最大面积又是多少?2m【设计意图】：变化问题情境，感受数学的严谨性，通过学生用自己的语言清晰表达解决问题的过程以提高语言表达能力，同时板书解题过程，规范书写过程.2、变式探究一：如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AN=40m，AM=30m，(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ym,当x取何值时,y的最大值是多少?(2).设矩形的面积为2(3).若设AD=xm，解决(1)、(2)的问题变式探究二：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A 和点D 分别在两直角边上,BC 在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？变式探究三：如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使得EF 在BC 上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上.问矩形DEFG 的最大面积是多少?【设计意图】：在合作学习的基础上，学生经历观察、思考、类比、交流、探讨等数学活动，通过三角形相似和函数模型的建立解决最大面积问题，发展学生的形象思维和发散思维能力，提高解决问题的能力 并进一步得出解决最大面积问题的一般思路和方法.三、归纳总结“二次函数应用”的思路：1.阅读题目，理解问题;2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;D A B C M P NA B C D EG3.用数量的关系式表示出它们之间的关系;4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值;5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.四、巩固练习1、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?【设计意图】：巩固知识，进一步经历解决最值问题的过程，明确解决此类问题的一般步骤。
数学北师大九年级下册(2014年新编)《二次函数的应用(1)》教案3
《二次函数的应用（1）》教案3教材分析本节课要经历探索长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．在实际背景中解决最优化问题，不是很容易的一件事．首先，实际问题的叙述往往比较长，使人感到问题很难，其次，分析其中各个量之间的关系也不是—件轻松的事情，要想解决好这类问题，一是不要有畏难情绪，我们都可以学会解决应用问题；二是要读懂问题．明确要解决的问题是什么；三要分析问题中各个员之间的关系，把问题表示为数学的形式．在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步一步地得到问题的解．在教学中应引导学生按照上面的步骤进行．首先要给学生自信心，然后要告诉学生如何去分析已知和未知条件，分析问题中各个量之间的关系，把实际问题抽象为数学问题，即二次函数问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．教学目标(一)教学知识点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．(二)能力训练要求1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．(三)情感与价值观要求1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．教学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．教学方法教师指导学生自学法．教具准备投影片四张第一张：(记作§2.4.1A)第二张：(记作§2.4.1B)第三张：(记作§2.4.1C)第四张：(记作§2.4.1D)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]本节课我们来学习用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题．Ⅱ．新课讲解一、情境引入投影片；(§2.4.1A)如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ．其中AB 和AD 分别在两直角边上．(1)设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示?(2)设长方形的面积为y m 2．当x 取何值时，y 的值最大?最大值是多少?[师]分析：(1)要求AD 边的长度，即求BC 边的长度，而BC 是△EBC 中的一边，因此可以用三角形相似求出BC ．由△EBC∽△EAF ，得304040BC x AF BC EA EB =-=即所以AD=BC=43(40-x). (2)要求面积的最大值．即求函数y=AB·AD=x·43(40-x)的最大值，就转化为数学问题了．下面请大家讨论写出步骤．[生](1)∵BC//AD，∴△EBC∽△EAF． ∴AF BC EA EB =. 又AB ＝x ，BE=40-x ，∴304040BC x =-. ∴BC=43(40-x). ∴AD＝BC=43(40-x)＝30-43x ． (2)y ＝AB·AD=x(30-43x)= -43x 2+30x =-43(x 2-40x+400-400) =-43(x 2-40x+400)+300 =-43(x-20)2+300 当x=20时， y 最大=300. 即当x 取20 m 时，y 的值最大，最大值是300m 2．[师]很好．刚才我们先进行了分析．要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x 的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗?[生]不很难．[师]下面我们换一个条件．看看大家能否解决．设AD 边的长为x m ，则问题会怎样呢?与同伴交流．[生]要求面积需求AB 的边长，而AB ＝DC ，所以需要求DC 的长度，而DC 是△FDC 中的一边，所以可以利用三角形相似来求．解：∵DC//AB，∴△FDC∽△FAE．FAFD AE DC =. ∵AD=x，FD ＝30-x ． ∴303040x DC -=. ∴DC=34(30-x). ∴AB=DC=34(30-x). y=AB·AD=x·34(30-x) =-34x 2+40x =-34(x 2-30x+225-225) =-34(x-15)2+300. 当x=15时，y 最大=300． 即当AD 的长为15 m 时，长方形的面积最大，最大面积是300 m 2二、例题解析投影片：(§2.4.1B)某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m ，当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)?此时，窗户的面积是多少?[师]通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗?[生]可以．分析：x 为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x 与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy+2πx 2最大，而由于4y+4x+3x+πx ＝7x+4y+πx=15，所以y=4715x x π--．面积S=21πx 2+2xy=21πx 2+2x·4715x x π--=21πx 2+2)715(x x x π--=-3.5x 2+7.5x ，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．解：∵7x+4y -πx ＝15， ∴y=4715x x π--. 设窗户的面积是S(m 2)，则 S=21πx 2+2xy =21πx 2+2x·4715x x π-- =21πx 2+2)715(x x x π-- =-3.5x 2+7.5x=-3.5(x 2-715x) =-3.5(x-3921575)14152+). ∴当x ＝1415≈1.07时， S 最大=3921575≈4.02. 即当x≈1.07 m 时，S 最大≈4.02 m 2，此时．窗户通过的光线最多．[师]大家做得非常棒．三、议一议[师)我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢?与同伴进行交流．[生]首先是理解题目，然后是分析已知量与未知量，转化为数学问题．[师]看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题，基本思想如下：投影片：(§2.4.1C)解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等．在总结思路之前，大家已经做得相当出色了，相信以后会更上一层楼的．Ⅲ．课堂练习投影片：(§2.4.1D)1．一养鸡专业户计划用116 m 长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大?最大为多少?解：设AB 长为x m ，则BC 长为(116-2x)m ，长方形面积为Sm 2，根据题意得S ＝x(116-2x)＝-2x 2+116x ＝-2(x 2-58x+292-292)=-2(x-29)2+1682.当x ＝29时，S 有最大值1682，这时116-2x ＝58．即设计成长为58 m ，宽为29 m 的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682 m 2．Ⅳ．课时小结本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值． Ⅴ．课后作业习题2.8 1、2、3Ⅵ．活动与探究已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于21．设梯形的面积为S ，梯形中较短的底边长为x ，试写出梯形面积关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围． 分析：因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于21，但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值，故本题应考虑两种情况，如下图：。
2021年北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》导学案 1.doc
1.已知函数y=ax2 ＋bx＋c（其中a， b，c是常数），当a时，是二次函数；当a，b时，是一次函数；当a，b，c时，是正比例函数．
2．当m时，y=（m－2）x 是二次函数．
3．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（）
AS=2π（x＋3）2BS=9π＋xCS=4πx2＋12x＋9D S=4πx2＋12x＋9π
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》导学案
我的疑问
3.正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．
4.某商场将进价为40元的某种服装按 50元售出时，每天可以售出300套．据市场调 查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如 果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．
4.在物理学内容中，如果某一物体质量为m，它运动时的能量 E与它的运动速度v之间的关系是E= mv2（m为定值）．（1）若物体质量为1， 填表表示物体在v取下列值时，E的取值：
v
1
2
3
4
5
6
7
8
E
（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E 扩大为原来的多少倍？
4．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围．
5.2x－1是二次函数，则m=．
2.下列函数中是二次函数的有（）
①y=x＋ ；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y= ＋x．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【课堂小结】
通过本节课学习，你有哪些收获?
【课后记】
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神木市第五中学导学案年级九班级学科数学课题 2.8二次函数的应
用1
第课时
总课时
编制人审核人使用时间第周
星期
使用者
教学内容
学习目标:1. 经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验。
2.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养分
析判断能力。
学习重难点:会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题 .
学导过程:
一、自主学习
1.二次函数能有几种表达式表示？各需要哪些条件确定相应的函数表达式？
2.求下列函数的最大值或最小值.
（1）y=2x2-3x-5；
（2）y=-x2-3x+4
二、合作探究
3、做一做：（小组讨论，可利用相似三角形的相关知识）
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1) 设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?
三、互动展示
4、议一议：
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边
上,BC在斜边上.
(1)设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?
四、达标测试
5、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
x x
y
五、课堂小结与反思
你通过本节课的探索解决了哪些问题？还有那些困惑？有哪些新的发现、想法？
六、布置作业与预习
1、必做题：课本P47习题2.8第1、
2、3题。
2、选做题：4
教后
反思。