第10章第3讲 二项式定理

系数为有理数时，9－r 为偶数，可得 r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的
个数是 5.
解析
题型二 二项式系数的性质或各项系数的和
1．(2019·东北三校联考)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则
|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
二项式系数 二项展开式中各项的二项式系数 C0n，C1n，…，Cnn
2．二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 01 _C__mn_＝__C__nn_－_m_
增减性
二项式系 数 Ckn
n＋1 当 k＜ 02 ____2___ (n∈N*)时，是递增的
n＋1 当 k＞ 03 ___2____ (n∈N*)时，是递减的
Tr＋1＝Cr8(
1 x)8－r· 4
r＝2－rCr8x4－34r(r＝
2 x
2 x
0,1，…，8)，
要求有理项，则 4－34r必为整数，即 r＝0,4,8，共 3 项，这 3 项分别是
T1＝x4，T5＝385x，T9＝2516x2.
解
(3)设第 r＋1 项的系数为 ar＋1 最大，则 ar＋1＝2－rC8r， 则aar＋r 1＝2－2r－－1rCCr8r8－1＝92－r r≥1， aarr＋＋12＝2－2r＋－1rCCr8r8＋1＝28r－＋r1≥1， 解得 2≤r≤3. 当 r＝2 时，a3＝2－2C28＝7，当 r＝3 时，a4＝2－3C38＝7， 因此，第 3 项和第 4 项的系数最大，
的展开式中含有 t7 项，所以 a7＝C29(－1)2＝36.
解析 答案
2．若(1＋ax)7(a≠0)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 a＝__3______. 解析 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr7(ax)r，因为 x5 与 x6 的系数相等，所以 C57a5＝C67a6，解得 a＝3.
Cr10x5－r.
令 5－r＝2 解得 r＝3.
x＋
1
2
x
5
＝
x＋
1
x
10.Tr
＋
1
＝
C
r 10
(
x
)10
－
r
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1
x
r
＝
T4＝C310x2＝120x2，
所以x＋1x＋25 的展开式中 x2 的系数为 120.
解析 答案
角度 3 已知二项展开式某项的系数求参数
5．(2019·黄山模拟)已知(1＋x)(1－ax)5 的展开式中 x2 的系数为－58，则 a＝( )
解析
3．(2019·浙江高考)在二项式( 2＋x)9 的展开式中，常数项是__1_6__2___， 系数为有理数的项的个数是____5____．
解析
由二项展开式的通项公式可知
Tr
＋
1
＝
C
r 9
·(
2 )9 － r·xr ，
r∈N,0≤r≤9，当为常数项时，r＝0，T1＝C09·( 2)9·x0＝( 2)9＝16 2.当项的
解析 答案
2．(2019·广东省六校第一次联考)若
a＝0π(2sinx－cosx)dx，则ax－
x6
的展开式中常数项是___2_4_0___．
解析
∵a＝0π(2sinx－cosx)dx＝(－2cosx－sinx)|π0＝4，∴4x－
x6 的展开
式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝C6r4x6－r(－ x)r＝46－r·(－1)rCr6x32r－6.令32r－6＝0，得 r
n
的展开式中，前三项的系数成等差数列．
2 x
(1)求 n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
解 (1)由二项展开式，知前三项的系数分别为 C0n，12C1n，14C2n，由已知，
得 2×12C1n＝C0n＋14C2n，解得 n＝8(n＝1 舍去)．
(2)
x＋
1 4
8
的展开式的通项
＝4，∴ax－
x6 的展开式中常数项是 46－4×(－1)4C46＝240.
解析
角度 2 求多项展开式的特定项或系数
3．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为( )
A．12
B．16
C．20
D．24
解析 解法一：(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为 1×C34＋2C14＝12.
3．求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”“二项式系数最大” 两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n 中 n 的奇偶及二 次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下： 思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数 n 的式子，可以看作 关于 n 的数列，通过判断数列增减性的方法从而判断系数的增减性，并根 据系数的增减性求出系数的最值．见举例说明 2.
1．概念辨析 (1)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关．( )
(2)二项式x＋2x6 的展开式的第二项系数是 C16.(
)
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )
(4)若(x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为
解析 答案
结论探究 1 本例中的条件不变，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝ ___3_2____.
解析 因为(1＋x)5 的展开式的各项系数之和为|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4| ＋|a5|，令 x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝25＝32.
0.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
答案
2．小题热身
(1)
x＋21
8
x
的展开式中常数项为(
)
35
35
A.16
B. 8
35 C. 4
D．105
解析 二项展开式的通项为
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·2
1
xk＝12kCk8x4－k，
令 4－k＝0，解得 k＝4，所以 T5＝124C48＝385.
解析
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 二项展开式
角度 1 求二项展开式中的特定项或系数
1．(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5 的展开式中 x4 的系数为(
)
A．10
B．20
C．40
D．80
解析 由题意可得 Tr＋1＝C5r(x2)5－r2xr＝Cr5·2r·x10－3r.令 10－3r＝4，则 r＝ 2，所以 Cr5·2r＝C25×22＝40，故选 C.
故选 A.
解法二：∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3 的系
数为 1×4＋2×4＝12.故选 A.
解析 答案
4．(2019·陕西黄陵中学模拟)x＋1x＋25 的展开式中 x2 的系数为(
)
A．120
B．80
C．20
D．45
解析
x＋1x＋2
5
＝
2．二项展开式的各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 (1)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)的展开式中各项系 数之和为 f(1)． (2)奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1. (3)偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
3．求形如(a＋b＋c)n 的展开式中特定项的四步骤
1．(2019·华中师范大学第一附中模拟 )已知(x＋1)5＋(x－2)9＝a0＋
a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则 a7＝( )
A．9
B．36
C．84
D．243
解析 令 t＝x－1，则(x＋1)5＋(x－2)9＝(t＋2)5＋(t－1)9，只有(t－1)9
当 n 为偶数时，中间的一项 04 ____取得最大值 最大值
当 n 为奇数时，中间的两项 05 ______和 06 _____取得最大值
3．常用结论 (1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. (2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. (3)C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n2n－1. (4)Cmr C0n＋Crm－1C1n＋…＋C0mCrn＝Crm＋n. (5)(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.
5
7
故系数最大的项为 T3＝7x2，T4＝7x4.
解
1．赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的一切值都成立．因此， 可将 a，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令 a，b 等于多少时， 应视具体情况而定，一般取“1，－1 或 0”，有时也取其他值．如： (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系 数之和，只需令 x＝1 即可．见举例说明 1. (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需 令 x＝y＝1 即可．
A．1
B.12
1
1
C.3
D.4
解析 (1＋x)(1－ax)5＝(1＋x)(1－5ax＋10a2x2－10a3x3＋5a4x4－a5x5)的
展开式中 x2 的系数为 10a2－5a＝－58，解得 a＝14.
解析 答案
1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将 Tr＋1 项写出并化简． (2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数 为整数等)，解出 r. (3)代回通项得所求．见举例说明 1,2. 2．求解形如(a＋b)m(c＋d)n 的展开式问题的思路 (1)若 m，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)n＝ (a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并， 如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. (3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n 的通项公式，综合考虑．
解析 答案
(2)若二项式x2－2xn 展开式的二项式系数之和为 8，则该展开式的系数 之和为( )
A．－1
B．1
C．27
D．－27
解析 依题意，得二项式系数的和为 2n＝8，所以 n＝3，故二项式为
x2－2x3，令 x＝1，可求得系数之和为(1－2)3＝－1.
解析 答案
(3)(2－x)5 的展开式中 x 的系数为__－__8_0___． 解析 (2－x)5 的展开式中 x 的系数为 C15×24×(－1)＝－80. (4)已知(1＋3x)n 的展开式中含有 x2 项的系数是 54，则 n＝___4_____. 解析 (1＋3x)n 的展开式的通项为 Tr＋1＝Crn(3x)r，令 r＝2，得 T3＝9C2nx2. 由题意，得 9C2n＝54，解得 n＝4.
第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布
第3讲 二项式定理
[考纲解读] 1.会用计数原理证明二项式定理，并会用二项式定理解决与二 项展开式有关的简单问题．(重点) 2．熟练掌握二项式的展开式、展开式的通项及二项式系数的相关性质．(难 点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为每年高考的常考知识点．预测 2021 年将会考查：①求二项式的特定项或项的系数；②求二项式系数的最 大项或二项式系数的和；③与其他知识进行综合考查．题型以客观题形式 考查，难度不大，属中、低档题型.
结论探究 2 本例中的条件不变，则 a0＋a2＋a4＝___1_6____. 解析 令 x＝1，得 0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，令 x＝－1，得 25＝a0 －a1＋a2－a3＋a4－a5，两式相加，得 32＝2(a0＋a2＋a4)，所以 a0＋a2＋a4 ＝16.
解析
2．已知
x＋
1 4
1
PART ONE
基础知识过关
1.二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝ 01 __C__0na__n＋___C_1n_a_n_－_1_b_1＋___…__＋__C__rn_a_n_－_rb_r_＋__…___＋__C_nn_b_n_____
(n∈N*)
二项展开式 的通项公式
Tr＋1＝ 02 __C_rn_a_n_－_r_b_r__，它表示第 03 __r＋___1__项
A．0
B．1
C．32
D．－1
解析 由(1－x)5 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr5(－x)r＝Cr5(－1)rxr，可知 a1， a3，a5 都小于 0.则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在 原二项展开式中令 x＝1，可得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.