行列式求解
求解行列式的若干方法
求解行列式的若干方法一、矩阵的行列式的基本定义行列式是以n阶方阵A=[a1,a2,a3,…an] 为参数，为定义a1,a2,a3,…an 线性相关性的函数。
它称为行列式又称为阵列式，记作|A|或det A。
二、行列式的四则运算法以n阶方阵A，B为例，记|A|=a，|B|=b，行列式满足下面的法则：（1）交换行（列）：|A|= -|A'| ；（4）把存在因子分解：|A|= |A'| * |A''|。
三、行列式解法法（1）基本思想：用行列式的四则运算法把行列式分割成较小的子矩阵，最终分解成只有一项的1x1的方阵，此时，行列式的值就求得了。
（2）实施步骤：1. 找出行列式某行（列）的第一项不为零的行列(r,s)，将这两项的所在的行（列）和其余的行（列）外的元素全部给"抹去"成新的矩阵；2. 令，行列式的记号变成，其中，为原行列式A中第r行（列）抹去后元素组成的矩阵，为原行列式A第r行（列）第s个元素；3. 如果新行列式A1的阶数>1，则重复第一步，令A1的矩阵的行列式变成。
令A1的第一行（列）第一个非零元素的行（列）及其余列（行）外的元素成新的矩阵，及抹去后原矩阵A1的第一行（列）第一个非零元素；4. 如此反复，最终，A1,A2,A3,…,An可以减少到一项元素，行列式的值就可求出；设有A为3阶方阵：[1,2,-3;2,1,3;3,2,1]步骤1：A的第一列第一个非零元素为1，第一行第一个非零元素的行=1，把第一行与第一列的行和元素外的元素抹去，有：A1=|-3|= -3步骤2：A1的值令为A[1]=-3，则A的值：四、Gauss-Jordan 消去法将一个n阶方阵A，转换为 n阶单位方阵1. 首先将一个方阵A与单位方阵合并成一个新的方阵H；2. 使用行列式的基本四则运算法，把H分解成上三角A1和下三角A2矩阵的叠加；3. 把A1及A2的元素分别乘以一个常数因子，使得所有非零元素都变成1；4. 将A1和A2叠加起来，即可得到一个n阶单位方阵，此时的A的行列式的值就求出来了。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。
一、按定义式计算行列式：按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。
按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。
我们通常会采用其他方法来计算行列式。
计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。
行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。
利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。
对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。
具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。
三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。
即M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。
矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法
空格
行列式是线性代数的基本概念，它具有重要的应用价值。
它的计算方法也有很多，下面主要介绍几种行列式计算的方法。
一、展开式法
把行列式的每一行的元素乘以其所在的代数余子式的值，再将所有的积相加，得到的结果就是行列式的值。
这种方法理论上可以计算任何n阶的行列式，但当n阶较大时，展开比较繁琐，耗时也较长。
二、余子式法
计算第i行列式的方法是：取行列式的第i行，取其余行，去掉第i列，再找出这些行的代数余子式，再将每一行所对应的代数余子式乘以该行第i位置上的元素，再将所有的乘积之和，得到的结果就是行列式的值。
三、乘法法
若用行列式的乘法法来计算三阶行列式，则将行列式的三行分别乘以它们的代数余子式，将结果相加。
其中要用到符号乘，只要熟悉符号乘的规则，就可以简单地进行计算。
四、分块法
分块法是将行列式分解成几个临时的小行列式，再用余子式或展开式算出小行列式的值，再将小行列式的值按一定的规则组合起来，就得到原行列式的值了。
分块法优点是计算过程不复杂，缺点是分解成的小行列式的值计算比较复杂。
五、行变换法
用行变换法计算行列式的方法是：先将行列式的几行或几列进行线性变换，使行列式某一行或某一列为0，再将变换后的行列式化简为方阵或三角阵，再求解，之后再换回原行列式，则可以得出原行列式的值。
以上就是常用的几种行列式计算方法，不同的方法各有优劣，使用者可根据具体情况选择合适的方法用于行列式计算。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解向量空间的性质和线性变换的特征。
在实际应用中，计算行列式有多种方法，包括拉普拉斯展开、按行（列）展开、特征多项式等。
本文将详细介绍行列式的几种常见计算方法，并举例说明其应用。
拉普拉斯展开法是计算行列式最常用的方法之一。
在计算n阶行列式时，通过选取任意一行或者一列，我们可以将行列式展开为n个n-1阶的代数余子式的和。
具体步骤如下：以一个具体例子来说明，计算3阶行列式：|A| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9|选择第一行展开，展开过程为：|A| = 1*|5 6| - 2*|4 6| + 3*|4 5|4*|8 9| 5*|7 9| 6*|7 8|= 1*(5*9-6*8) - 2*(4*9-6*7) + 3*(4*8-5*7)= 1*(45-48) - 2*(36-42) + 3*(32-35)= 1*(-3) - 2*(-6) + 3*(-3)= -3 + 12 - 9= 0行列式的值为0。
特征多项式是计算行列式的另一种方法。
如果A是一个n阶矩阵，那么它的特征多项式定义为p(λ) = |A-λI|其中I是单位矩阵，λ是一个标量。
行列式的值等于特征多项式在λ=0处的值p(0)。
特征多项式的计算可以借助行列式的展开法来进行，通过计算A-λI的行列式，展开得到一个n次多项式，然后求解该多项式在λ=0处的值即可得到行列式的值。
下面举一个具体的例子来说明特征多项式的计算方法。
考虑一个2阶矩阵A的特征多项式：A = |a b||c d|则特征多项式为p(λ) = |A-λI|= |a-λ b||c d-λ|展开得到p(λ) = (a-λ)(d-λ) - bc= λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc)= λ^2 - tr(A)λ + det(A)其中tr(A)是A的迹，det(A)是A的行列式。
行列式的值等于特征多项式在λ=0处的值，即为det(A)。
八大类型行列式及其解法
八大类型行列式及其解法一、行列式的定义行列式是一个重要的线性代数概念，用于刻画矩阵的性质和求解线性方程组。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：对于2阶方阵A = [a11 a12] ，其行列式定义为det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
对于3阶及以上的方阵，行列式的定义并不直观，可以通过划线法、拉普拉斯展开等方法进行计算。
接下来，我们将介绍八大类型的行列式及其解法。
二、二阶行列式二阶行列式的计算非常简单，直接应用行列式的定义即可。
对于2阶方阵A =[a11 a12；a21 a22] ，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
三、对角行列式对角行列式是指所有非对角元素都为0的行列式。
对于n阶对角行列式A =diag(a1, a2, …, an)，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
四、三角行列式三角行列式是指所有主对角线以下元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：de t(A) = a11 * a22 * … * ann。
五、上三角行列式上三角行列式是指所有主对角线及以上元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
六、下三角行列式下三角行列式是指所有主对角线及以下元素为0的行列式。
对于n阶下三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
七、轮换行列式轮换行列式的计算是一种常用的方法，可以通过对行列式中元素的位置进行变换，从而简化计算过程。
对于n阶轮换行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
八、范德蒙行列式范德蒙行列式是一类特殊的行列式，可以应用于插值、多项式拟合等问题中。
对于n阶范德蒙行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = Π i<j (xi - xj)。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
行列式的值计算方法
行列式的值计算方法一、求行列式的值的方法：就是右斜的乘积之和减去左斜乘积之和其结果就是要求的结果。
也可以利用行列式定义直接计算，利用行列式的七大性质计算，化为三角形行列式：若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
二、行列式运算法则：三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。
计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角形或下三角形。
交换行列式中的两行（列），行列式变号。
行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外。
若行列式中，两行（列）完全一样，则行列式为0；可以推论，如果两行（列）成比例，行列式为0。
三、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程，令系数行列式为D，Di为将等式右侧的值替换到行列式的第i列，则行列式的i个解为：四、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。
齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。
当D=0时，有非零解；当D!=0时，方程组无非零解。
五、行列式的基本性质：性质1：单位矩阵的行列式为1，与之对应的是单位立方体的体积是1。
性质2：当两行进行交换的时候行列式改变符号。
由这个性质，我们可以很容易得到所有置换矩阵的行列式，置换矩阵都是由单位矩阵演化而来。
性质3：当矩阵中有两行一样的话，我们对这两行进行行交换，矩阵仍然保持不变，但其行列式需要变号，那么行列式只能为零。
性质5：用矩阵的一行减去另一行的倍数，行列式不变。
在消元的过程中，行列式不会改变，如果有行交换的话，符号不同。
性质6：当矩阵的某一行全为零的时候，行列式为零。
性质7：如果矩阵是三角形的，那么行列式等于对角线上元素的乘积。
行列式计算方法
行列式计算方法行列式的计算是线性代数中的重要内容，有以下几种常用的方法：1. 代数余子式法：给定一个n阶矩阵A，取A的第i行第j列元素a_ij为基准，计算它的代数余子式A_ij的值。
代数余子式的定义是，在A中划去第i行和第j列后，剩余元素构成的(n-1)阶子矩阵的行列式。
然后，根据代数余子式的符号规律，求得A_ij*(-1)^(i+j)，再将所有的代数余子式乘以对应位置的元素，再求和即可得到行列式的值。
2. 拉普拉斯展开法：选择A的任意一行或一列，例如第i行，根据拉普拉斯展开定理，将行列式的计算转化为n个(n-1)阶行列式的计算，然后依次递归地计算(n-1)阶行列式，最后累加得到行列式的值。
3. 对角线法则：对于一个n×n的矩阵A，按照对角线上的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加，再减去按照对角线下方的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加。
这个过程可以用一个式子来表示：det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_21 * a_32 * ... * a_n1。
4. 公式法：对于一个3阶矩阵A，可以利用公式来计算行列式的值。
行列式的计算可以表示为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33+ a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32 - a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_12。
对于4阶及以上的矩阵，复杂度较高，通常情况下不会直接使用公式法计算，而是选择其他方法。
以上是几种常用的求行列式的方法，不同的方法适用于不同的情况，在实际计算中可以根据需要选择合适的方法来求解。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要知识点，它广泛应用于数学、物理等领域。
行列式的计算有多种方法，每种方法都有其特点和适用的场合。
下面我们就来介绍一下几种行列式的计算方法。
一、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种矩阵求解行列式的方法，通过选取某一行或某一列的元素展开，将行列式转化为较小规模的行列式相乘的和的形式。
具体步骤如下：1. 选择任意一行或一列，假设选择第i行，i列的元素进行展开。
2. 对于第i行第j列的元素A[i,j]，计算其代数余子式M[i,j]。
这种方法的优点是可以将较大的行列式转化为多个规模较小的行列式相乘的形式，简化了计算的难度。
但是这种方法并不适合于计算较大规模的行列式，因为会产生大量的中间结果需要计算。
二、按行（列）展开法按行（列）展开法的计算比较直观，适合用于小规模行列式的计算。
但是对于较大规模的行列式，计算量会相当大，不够高效。
三、三角形式计算法1. 利用初等变换将方阵化为上三角形或下三角形形式。
2. 上三角形形式的行列式等于对角线元素的乘积。
比较适用于计算较大规模行列式，但是需要进行大量的初等变换操作，计算复杂度较高。
四、行列式性质法行列式性质法是一种基于行列式性质推导的计算方法，通过运用多项式代数的性质，将行列式转化为一些易于计算的形式。
行列式性质包括奇偶性、行列式的性质、对称性质等。
具体步骤如下：1. 利用行列式性质将行列式进行转化，使其具有更加易于计算的形式。
2. 依次计算每一项的值，得出行列式的结果。
行列式性质法适用于各种规模的行列式，但需要熟练掌握行列式的性质和多项式代数的运算规则。
行列式的计算有多种方法，每种方法都有其适用的场合。
选择合适的计算方法可以提高计算效率，简化计算流程。
在实际运用中，根据行列式的规模和具体情况选择合适的计算方法是非常重要的。
希望本文介绍的几种行列式的计算方法能够帮助大家更好地理解和运用行列式知识。
行列式的计算方法和技巧大总结
行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。
在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。
以下是行列式计算方法和技巧的大总结。
1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。
2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。
3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。
行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。
当进行行变换时，行列式的值保持不变。
4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。
5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。
展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。
6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。
这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。
7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。
克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。
具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。
8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。
具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是矩阵的一个重要性质，通常用来表示线性方程组的解的情况。
行列式的计算方法有多种，下面将介绍几种常见的计算方法。
1. 代数余子式法：代数余子式法是一种常用的计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A=[a_{ij}]，可以通过以下步骤计算行列式的值：1) 对于矩阵A的任意元素a_{ij}，求出它的代数余子式M_{ij}，即将第i行和第j列的元素划去，剩下的元素按原来的顺序排列成一个(n-1)阶矩阵，然后计算这个矩阵的行列式。
2) 根据代数余子式的符号规律，得到每个代数余子式的符号。
即当i+j为偶数时，代数余子式的符号为正；当i+j为奇数时，代数余子式的符号为负。
3) 将每个代数余子式与对应的元素相乘，得到n个乘积，并将这些乘积相加，即可得到行列式的值。
3. 克拉默法则：克拉默法则是一种特殊的行列式计算方法，适用于线性方程组的求解。
对于一个n阶矩阵A=[a_{ij}]和一个n维向量B=[b_1，b_2，...，b_n]，假设该线性方程组的解存在且唯一，可以通过以下步骤计算行列式的值：1) 对于矩阵A，计算它的行列式D。
2) 对于矩阵A的每一列，将向量B替换到对应的列下，形成一个新的矩阵A'。
然后计算新矩阵A'的行列式D'。
3) 行列式D'除以行列式D，即可得到线性方程组的解。
4. 特殊矩阵的行列式计算方法：对于一些特殊的矩阵，可以使用特定的计算方法来求解行列式。
常见的特殊矩阵包括对称矩阵、三角矩阵、反对称矩阵等。
对于对称矩阵，可以通过正交相似变换将其对角化，然后计算对角矩阵的行列式。
对于三角矩阵，行列式的值等于对角线上元素的乘积。
对于反对称矩阵，行列式的值等于0。
行列式的计算方法包括代数余子式法、拉普拉斯展开法、克拉默法则和特殊矩阵的行列式计算方法。
不同的方法适用于不同的情况，根据具体的矩阵形式选择合适的计算方法，可以有效地计算行列式的值。
一般技巧求解行列式
一般技巧求解行列式要解行列式，可以使用多种一般技巧。
本文将介绍其中一些常用的方法。
1. 展开法：行列式可以通过展开法进行求解。
展开法可以根据行列式的定义，将行列式展开为一系列的代数式相加。
例如，对于一个3阶行列式:| a b c || d e f || g h i |我们可以选择第一行展开：| a b c | = a * | e f | - b * | d f | + c * | d e || h i | | g i | | g h |然后可以通过继续展开这些子行列式，直到得到一个只有一个元素的行列式为止。
最终相加这些代数式就可以得到行列式的值。
2. 初等行变换：行列式的值不受初等行变换的影响，因此可以通过进行初等行变换简化行列式的计算。
初等行变换包括以下三种操作：(1) 交换两行的位置。
(2) 用一个非零常数乘某一行。
(3) 用一个行乘另一行再加到第三行上。
利用初等行变换，可以将行列式变为上三角形行列式或者对角行列式的形式，从而简化计算。
3. 行列式的性质：行列式具有一些性质，利用这些性质可以更方便地进行计算。
(1) 行列式与其转置行列式相等。
(2) 如果行列式有两行(列)完全相同，则行列式的值为0。
(3) 如果行列式的某一行(列)有一个元素等于0，那么行列式的值为0。
(4) 行列式的某一行(列)乘以一个非零常数，行列式的值等于原行列式的值乘以这个常数。
(5) 行列式的某一行(列)的元素乘以一个非零常数再加到另一行(列)对应元素上去，行列式的值不变。
利用这些性质，可以通过简化行列式的形式，减少计算量。
4. 克拉默法则：对于n阶方阵A的系数矩阵A和常数矩阵b，如果A的行列式不为0，则该方程组有唯一解，并且解为x = (Dx/D, Dy/D, Dz/D, ......, Dn/D)，其中Dx表示把矩阵A 的第x列用向量b替换掉后，求得的行列式。
例如，对于二阶方阵：| a b || c d |方程组ax + by = e, cx + dy = f可以通过克拉默法则求解。
行列式的求解方法
行列式的求解方法行列式是矩阵所具备的的一个重要的数学性质，它可以为我们解决很多的线性代数问题。
在数学和工程的应用中，行列式常常应用于解决线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、线性变换、矩阵的可逆性等问题上。
本文将对行列式的定义、基本性质、计算方法以及相关的应用等方面进行详细的讲解。
一、行列式的定义行列式是由数学家Cramer所发明的。
行列式又叫矩阵行列式，是由一个n*n的方阵中所计算出来的一个标量值。
对于二阶方阵$\bold A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$，其行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$对于更高阶的n阶矩阵，则可以采用逐步消元的方法来进行求解。
对于一般的n*n阶矩阵A的行列式，我们可以采用下面的定义进行计算：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n} (-1)^{N(i_1,i_2,\cdots,i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n} $$其中，$N(i_1,i_2,\cdots,i_n)$表示将$i_1,i_2,\cdots,i_n$从小到大排列时所需的逆序对个数，$a_{1i_1}a_{2i_2}\cdotsa_{ni_n}$为行列式的元素积。
行列式的几种求法
行列式的求法有多种，以下简单进行总结。
一、逆序定义法行列式的逆序法定义如下：1212121112121222(,,......,)12,,......,12(1)......n nnn nj j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑这里，为的任一排列，为该排列的逆序数，求12,,......,n j j j 1,2,...,n 12(,,......,)n j j j τ和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有项，每项都是个数相乘，并得计算!n n 逆序数，计算量巨大。
因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少用于求行列式。
但是，如果行列式的项中有大量的0，那么用逆序法计算可能会很简单。
以下举例如下：例1：求。
1122nna a a 解答：1212121122(,,......,)12,,......,(1)......n nnj j j j j nj j j j nn a a a a a a τ=-∑只当，，……，，其项才可能非零。
因此，11j =22j =n j n =1122(1,2,......,)01,12,2,1,12,2,1,12,2,(1)......(1)............n n n n n n nnn a a a a a a a a a a a a τ=-=-= 例2、求。
12nd d d解答：12121212(,,......,)12,,......,(1)......n nnj j j j j nj j j j n d d a a a d τ=-∑只当，，……，，其项才可能非零。
因此，1j n =21j n =-1n j =。
1(1)2(,1, (1)21,2,1,112(1) (1)......n n n n n n n n nd d a a a d d d d τ---=-=-例3、求。
求解行列式的几种特殊方法
求解行列式的几种特殊方法
1.滚动消去法当行列式每两行的之比较接近时，可采用让临近的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法可称之为滚动消去法。
例1：
2.加边法将n阶行列式补上一行和一列变为n+1阶行列式，再利用有关性质求取结果。
例2：
3.递推降级法 如果一个行列式在元素分布上比较有规律，可设法找出n 阶行列式n D 与与较低阶行列式的关系。
a ）如果n 阶行列式满足关系式：10n n aD bD c -++=，一般通过寻找n D 与1n D -的关系，形成以n D 、1n D -为未知量的二元一次方程组，求得n D 。
b ）如果n 阶行列式满足关系式：120n n n aD bD cD --++=，则作特征方程20ax bx
c ++=。
i ）若特征方程的判别式∆≠0，则特征方程有两个不相等的根： 1x ，2x ，则
1
1
1
2
n n n D A x B x --=+。
其中A ，B 为待定系数，令n=1,2，求出A,B 。
ii ）若特征方程的判别式∆=0，则特征方程有两个相等的根1x ，2x ，则1
1
()n n D A nB x -=+其中A ，B 为待定系数，令n=1,2，求出A,B 。
例3：。
行列式的计算方法
行列式的计算方法1 引言行列式的计算是《线性代数》和《高等代数》的一个重要内容．同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法．2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积．例 1 计算行列式12311212332125113311231 ------=n n n n n nn n n n D对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,n 行，得0001002000200010001231 ---=n n n n D再将其第1,2,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列，则得102001321)1(2)1(--=-n n D n n=)!1()1(2)1(---n n n2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法．它的一般方法是：nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 321333323122322211131211==nnn n n n na a ab a a a b a a a b 212222121121110001(n b b b ,,21任意数)例如下面的例题： 例2 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321现将行列式n D 加边升阶，得na a a D +++=111011101110111121第1行乘以(-1)加到第1,3,2+n 行，得na a a D10001001001111121----=第2列乘以11a 加到第1列，第3列乘以21a 加到第1列，依次下去直到第1+n 列乘以n a 1加到第1列，得)11(00011111121211∑∑==+=+=ni in nni ia a a a a a a a D2.3 降阶法利用按一行(列)展开定理或Laplace 展开定理将n 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法． 例 3 计算nD 222232222222221=解 首先我们应考虑D 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第n ,3,2 行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将D 的第一行乘以(-1)加到第第n ,3,2 行，得2001010100012221-=n D这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：201222)1(21--=+n D)!2(2--=n2.4 对于所谓二条线的行列式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算. 例4 计算行列式nnn n n a b b a b a b a D 112211--=解 按第1列展开，得11221111221)1(--+---+=n n n n nn n n b a b ab b a b a b a a Dn n n b b b a a a 21121)1(+-+=2.5 递推法通过降阶等途径，建立所求n 阶行列式n D 和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得n D 的方法叫递推法．当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用递推法．例 5 计算n 级行列式 2112000002100012100012------=n D 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n 行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解．解 按第1行展开，得210120000012000011)1)(1(2211-------+=+-n n D D212---=n n D D 直接递推不易得到结果，变形得1221121232211=---=-==-=-=------D D D D D D D D n n n n n n于是 1)1(2)1(21121+=-+=-+==+=+=--n n n D D D D n n n例6 计算n 2级行列式nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式． 解 按第1行展开，得)1(1111111121111111112nn n n n nn n n n n nn c d c d c b a b a b d c d c b a b a a D ----+-----+=1111111111111111---------=n n n n nn n n n n nn d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a)1(2)(--=n n n n n D c b d a)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D)2(21111))((-------=n n n n n n n n n D c b d a c b d a)())((11111111c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ---=----2.6 连加法 例 7 计算mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121这种行列式的特点是：各行元素之和都相等.先把第2列到第n 列元素同时加到第1列，并提出公因式，得mx x x m x x x m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)(然后将第1行乘以(-1)加到第n ,3,2行，得mm x x m x D n ni i n ---=∑=001)(21)()(11m x m ni i n --=∑=-2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下：nnn nnn n n nn n n c c c c b b b b a a a a 111111111111=⋅ (其中tj ni it ij b a c ∑==1)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了．这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法．例 8 计算行列式 ab c db a dc cd a bd c b aD =解 取行列式 1111111111111111------=H显然 0≠H ,由行列式的乘法规则：=DH ⋅ab c d ba d c c d a bd c b a 1111111111111111------ H d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a ))()()()((+---+--++--++++=等式两边消去,H 得=D ))()()()((d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a +---+--++--++++2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法． 例 9 计算n 阶行列式βαβααββααββα++++=1010001000 n D解 按第1行展开，得21)(---+=n n n D D D αββα即 )(211----=-n n n n D D D D αβα由此递推，即得 nn n D D βα=--1因为n D 中αβ与对称，又有 nn n D D αβ=--1当 βα≠ 时，从上两式中消去1-n D ，得 11n n n D αβαβ++-=-当 βα= 时，1-+=n nn D D ββ)(21--++=n n n D ββββ 222-+=n n D ββ11)1(D n n n-+-=ββ )()1(1βαββ++-=-n n nnn β)1(+= 2.9 数学归纳法当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用数学归纳法． 例 10 计算n 级行列式ααααcos 2100cos 210001cos 210001cos =n D解 当2=n 时，ααcos 211cos 2=D αα2cos 1cos 22=-=结论成立，假设对级数小于n 的行列式结论成立，则n D 按第n 行展开，得21cos 2---=n n n D D D α由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n代入前一式，得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D nαααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---=故对一切自然数n ，结论成立．2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法．一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例 11 在平面上，以点),(),(),(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------，，为顶点的三角形面积D S =，其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= )1()1()1()1()1()1(11121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x )1()1()1()1()1()1()1()1()1(21323222121332211332211------+--+--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 第1行拆为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D32112132332121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x +-------=232221321111x x x x x x )]1)(1)(1([))()((21321321121323----⋅---=x x x x x x x x x x x x 3 分块矩阵行列式的计算方法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A 0，那么行列式B A B C A B A ⋅==000，其中B A ，分别是r s ，阶可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，0是n s ⨯阶矩阵．可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B C D A b b c c b b c c d d a a d d a a G rr r rsr r s sr s ss s r s 1111111111111111其中B A ，分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，D 是r s ⨯阶矩阵，则有下面公式成立． C DB A B BCD A G 1--⋅==或C DA B A BCD A G 1--⋅==下面推导公式，事实上，当0≠A 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D BCA D A B C D A E CA E 1100 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---B C C DB A B C D A E DB E 0011 上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式．例 12 计算 8710650143102101=D这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果．令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8765B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001C ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321D 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001'A ，由公式(1) 知原行列式D CA B A BCD A 1--⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=43211001100187651001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=432187651 4444==0这个题还有个特点，那就是C A =，如果我们把公式变形，即D CA B A BCD A 1--⋅=D ACA AB D CA B A 11)(---=-=当C A =时，D ACA AB 1--CD AB D CAA AB -=-=-1，所以当C A =时，我们有CD AB BCD A -=，这样例题就可以直接写出答案了．参考文献:[1] 北京大学数学系，高等代数[M] (第三版)．北京：高等教育出版社，2003，9．[2] 张禾瑞，高等代数[M] (第四版)．北京：高等教育出版社，1997．[3] 丘维生，高等代数[M]．北京:高等教育出版社，1996，12．[4] 杨子胥，高等代数[M]．山东：山东科学技术出版社，2001，9．[5] 王萼芳，高等代数题解[M]．北京：北京大学出版社，1983，10．[6] Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. Discriminaants, redultants,and multidimensional determinants[M].Mathematics: Theory&Applications,Birkhauser Verlag,1994.[7] 徐仲，陆全等．高等代数导教·导学·导考.西安:：西北工业大学出版社,2004．[8] 陈黎钦．福建：福建商业高等专科学校学报，2007年2月第1期．11。
行列式计算方法
行列式计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中都有着重要的应用。
本文将介绍行列式的计算方法，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来了解一下行列式的定义。
行列式是一个数学对象，它是一个关于矩阵的函数，可以用来描述矩阵的某些性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，它是一个确定的数值。
行列式的计算方法有多种，接下来我们将介绍其中的两种常用方法。
一、按定义展开法。
按定义展开法是行列式计算的最基本方法，也是最容易理解和掌握的方法。
对于一个3阶方阵A，其行列式计算方法如下：|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32。
其中a11、a12、a13分别为A的第一行元素，a21、a22、a23分别为A的第二行元素，a31、a32、a33分别为A的第三行元素。
上式中的加减号交替出现，这是根据行列式的定义展开式中的符号规律确定的。
二、拉普拉斯展开法。
拉普拉斯展开法是另一种常用的行列式计算方法，它通过逐步化简矩阵为小一阶行列式的方式来计算行列式的值。
对于一个n阶方阵A，其行列式计算方法如下：|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中Aij为A的余子式，它是将A中第i行和第j列划去后得到的n-1阶方阵的行列式。
通过逐步计算A的余子式，最终可以得到行列式的值。
在实际应用中，我们可以根据具体的矩阵大小和特点选择合适的行列式计算方法。
除了上述两种方法外，还有克拉默法则、三角形行列式等其他计算方法，读者可以根据实际情况选择合适的方法进行计算。
总结起来，行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中有着重要的应用。
行列式的计算方法有多种，包括按定义展开法和拉普拉斯展开法等。
通过掌握这些计算方法，我们可以更好地理解和运用行列式的概念，为解决实际问题提供有力的数学工具。
求解行列式的方法
求解行列式的方法
求解行列式的方法
矩阵的计算是一种非常有效的数学处理方法，其中行列式的计算是矩阵处理里
的一项重要技术。
那么，求解行列式的方法有哪些呢？
首先，我们介绍展开式的求解行列式的方法，它是一种简单的解行列式的方法，其步骤如下：
（1）根据规定，以某个字母为准，把这几个字母当做行列式的行列标号。
（2）将行列式按照要求分解称两部分，即第一行列式和其他行列式。
（3）分别使用各行列式的相应元素，按照必要的算术运算规律求解，得出行列式
的解。
其次，我们介绍代数余项定理，也叫行列式缩减法，它是最常用的行列式求解
方法，它的步骤如下：
（1）分别把行列式的每一行称之为一项；
（2）乘以行列式第一行中各元素的代数余子式，即各元素相应的展开式的每一项
的符号与行号对调的展开式，称这些代数余子式的乘积为最终的代数余项。
（3）计算各行的代数余项之和作为行列式的值，从而求出行列式的解。
最后，我们要介绍副行列式法求解行列式，它是根据行列式的定义，通过计算
行列式副元素来求出行列式的解。
其步骤如下：
（1）对于行列式的每一行，先辅以一个元素，再计算出行列式的每一行元素；（2）再用行列式的副行列式表示式来表示展开式；
（3）计算出所有行列式副元素的和，作为行列式的解。
以上为求解行列式的方法，总的来说，求解行列式是可以应用展开式、代数余
项定理、副行列式法等方法进行求解的，值得熟练掌握。
行列式的求解方法
行列式的求解方法
行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述一个矩阵的特征，包括矩阵是否可逆、矩阵的秩等。
行列式的求解方法主要有以下几种：
1.定义法：对于2*2和3*3矩阵，可以通过行列式的定义直接求解。
例如，对于2*2矩阵A=[a1,a2;b1,b2]，其行列式为det(A) =a1*b2-a2*b1。
2.初等变换法：通过初等行变换和初等列变换，可以将一个矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，从而简化行列式的计算。
例如，对于矩阵A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]，先将第二行减去4倍的第一行，再将第三行减去7倍的第一行，可以化为A'=[1,2,3;0,-3, -6;0,-6,-12]，其行列式为det(A)=-3*(-12)-(-6)*(-6) =0。
3.拆分法：对于高维矩阵，可以通过拆分成若干子矩阵的乘积的方式，将行列式的计算转化为子矩阵行列式的计算。
例如，对于3*3矩阵A=[a1,a2,a3;b1,b2,b3;c1,c2,c3]，可以通过拆分成两个2*2矩阵的乘积求解，即det(A)=a1*det([b2,b3;c2,c3]) -a2*det([b1,b3;c1,c3])+a3*det([b1,b2;c1,c2])。
以上是行列式的三种求解方法，不同的情况下可采用不同的方法进行计算。
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行列式求解方法总结
（一）计算行列式最基本的方法是——按定义展开，即按照某行（列）展开这个方法对于特殊行列式很有用处，例如——上（下）三角行列式，对角行列式等。
另外三阶及以下的行列式可以直接展开。
但是直接是用定义工作量很大，而且对于一些有规律的字母型行列式该方法容易忽略他们的规律。
所以，在使用定义展开的时候：
1，利用行列式性质得到某行（列）仅有一个非零元素再进行展开。
提示：把第3行加到第一行，再把第一列乘以-1加到第三列
2，利用性质，将行列式化成上（下）三角行列式。
提示：对于三阶以上的数字行列式, 一般都是利用性质将其化为上三角行列式求
其值. 化为上三角行列式的步骤是规范化的.首先利用第1 行第1 列的非零元将第1 列其他元素全化为零, 然后利用第2 行第2 列的非零元将第2 列以下元素全化为零, 如此等等, 直到化为上三角行列式. 如果化的过程中出现全零行, 则行列式的值等于零.这里第1 行第1 列的元素为2 , 如果利用它将第1 列其余元素全化为零, 中间就会出现很多分数, 继续算下去就比较麻烦. 所以这里先把第1 行乘- 1 加到第3 行, 再把第1 行与第3 行对换,就使第1 行第1 列元素为1 , 这样再将第1 列其余元素化为零就比较简便。
（二）如果行列式每一行（列）元素之和都相等，则展开的第一步是将各列（行）加到第1列（行），然后提出公因子，再用（一）中方法进行计算。
（三）如果n阶行列式中每个元素均为两数（一般都有字母）之和，则可以利用
线性性质，将其化成2n 个行列式之和，在很多些情况下，这2n 个行列式很多都等于零，那些不等于零的行列式也是很容易展开的。
解法：
= ax y 2 + ax y 2 + ax 2 y + ax 2 y + x 2 y 2 = 2 ax y 2 + 2 ax 2 y + x 2 y 2.
（四） 再如上例题，该类型的行列式出现了很多的相同元素a ，所以义可用“加边法”或者将第一行（列）乘以-1（其他题中此处不一定是“-1”）加到其他各行（列），创造出“爪”（三叉）型行列式，之后再将其化成上（下）三角行列式即可。
算例如上题列！
（五）一些n 阶字母型行列式，常需要找到其递推公式，然后利用递推公式推倒出结果。
如果递推公式难以直接求出，则需要利用归纳法（就是找规律哈！）得到结果，并且利用数学归纳法证明结论的正确性（必须证明！！！）
证明：n 阶三对角行列式（友情提示：这种证明不要怕，，，都是纸老虎哈！！找到递推公式就一切都很自然了！！！）
11
1
1
1(1),,n n n n D n αβ
αβαβ
αβαβ
αβ
αβαβ
ααββααββα+++++=
++⎧+=⎪
=⎨-≠⎪-⎩
递推公式：
（六）学会识别范德“萌”行列式，然后直接利用公式展开（在这里不要故弄技巧，否则就真的卖萌了！）
1，求解2
2
2
2
444
4
1
111n a b c d
D a
b
c
d a b c d =
2，证明：2223
3
3
2
2
2
111111()x y z xy yz zx x
y z x
y z x y z =++
提示：对于1嘛，真的不要想太多，综合各种方法其实按照最后一行展开应该是最轻松的哈！！！
（七）适当的使用分块的思想来计算行列式。
（PS ：
*0(1)0*
n n n m m
m
A A A B
B B ⋅==-）（注意-1的指数）
（答案：12）
最后,“具体问题具体分析”是唯物主义辩证法的灵魂，各种各样的行列式的展开，既包含着共性，也体现着个性，除了以上七条的总结，考场上要是遇到了没总结到的大家就自求多福吧！！！。