行列式求解

行列式求解方法总结

（一）计算行列式最基本的方法是——按定义展开，即按照某行（列）展开这个方法对于特殊行列式很有用处，例如——上（下）三角行列式，对角行列式等。另外三阶及以下的行列式可以直接展开。但是直接是用定义工作量很大，而且对于一些有规律的字母型行列式该方法容易忽略他们的规律。所以，在使用定义展开的时候：

1，利用行列式性质得到某行（列）仅有一个非零元素再进行展开。

提示：把第3行加到第一行，再把第一列乘以-1加到第三列

2，利用性质，将行列式化成上（下）三角行列式。

提示：对于三阶以上的数字行列式, 一般都是利用性质将其化为上三角行列式求

其值. 化为上三角行列式的步骤是规范化的.首先利用第1 行第1 列的非零元将第1 列其他元素全化为零, 然后利用第2 行第2 列的非零元将第2 列以下元素全化为零, 如此等等, 直到化为上三角行列式. 如果化的过程中出现全零行, 则行列式的值等于零.这里第1 行第1 列的元素为2 , 如果利用它将第1 列其余元素全化为零, 中间就会出现很多分数, 继续算下去就比较麻烦. 所以这里先把第1 行乘- 1 加到第3 行, 再把第1 行与第3 行对换,就使第1 行第1 列元素为1 , 这样再将第1 列其余元素化为零就比较简便。

（二）如果行列式每一行（列）元素之和都相等，则展开的第一步是将各列（行）加到第1列（行），然后提出公因子，再用（一）中方法进行计算。

（三）如果n阶行列式中每个元素均为两数（一般都有字母）之和，则可以利用

线性性质，将其化成2n 个行列式之和，在很多些情况下，这2n 个行列式很多都等于零，那些不等于零的行列式也是很容易展开的。

解法：

= ax y 2 + ax y 2 + ax 2 y + ax 2 y + x 2 y 2 = 2 ax y 2 + 2 ax 2 y + x 2 y 2.

（四） 再如上例题，该类型的行列式出现了很多的相同元素a ，所以义可用“加边法”或者将第一行（列）乘以-1（其他题中此处不一定是“-1”）加到其他各行（列），创造出“爪”（三叉）型行列式，之后再将其化成上（下）三角行列式即可。算例如上题列！

（五）一些n 阶字母型行列式，常需要找到其递推公式，然后利用递推公式推倒出结果。如果递推公式难以直接求出，则需要利用归纳法（就是找规律哈！）得到结果，并且利用数学归纳法证明结论的正确性（必须证明！！！）

证明：n 阶三对角行列式（友情提示：这种证明不要怕，，，都是纸老虎哈！！找到递推公式就一切都很自然了！！！）

11

1

1

1(1),,n n n n D n αβ

αβαβ

αβαβ

αβ

αβαβ

ααββααββα+++++=

++⎧+=⎪

=⎨-≠⎪-⎩

递推公式：

（六）学会识别范德“萌”行列式，然后直接利用公式展开（在这里不要故弄技巧，否则就真的卖萌了！）

1，求解2

2

2

2

444

4

1

111n a b c d

D a

b

c

d a b c d =

2，证明：2223

3

3

2

2

2

111111()x y z xy yz zx x

y z x

y z x y z =++

提示：对于1嘛，真的不要想太多，综合各种方法其实按照最后一行展开应该是最轻松的哈！！！

（七）适当的使用分块的思想来计算行列式。

（PS ：

*0(1)0*

n n n m m

m

A A A B

B B ⋅==-）（注意-1的指数）

（答案：12）

最后,“具体问题具体分析”是唯物主义辩证法的灵魂，各种各样的行列式的展开，既包含着共性，也体现着个性，除了以上七条的总结，考场上要是遇到了没总结到的大家就自求多福吧！！！