第4章 用微分方程和差分方程描述的系统(TY)

其中：V 为范德蒙特矩阵， a 为待定常数矢量， y0为附加条件矢 量，yP 是特解在 t 0 时刻 0 到( N – 1)阶导数值构成的矢量，即 y(0) yP 0 1 1 1 A1 (1) y(1) (0) y 0 2 N P 1 A2 (2) V 2 2 2 ， a A ， y y(2) (0) ， y yP 0 P 0 N 1 2 3 ( N 1) (N1) N 1 N 1 N 1 y 0 y (0) A P N 2 1 N
●
k a k i 0 k 0 N
它的 N 个特征根通常有两种情况： ▲ N 个互不相同的单根 i ， i 1, 2, , N ▲ r 个 i 重根 i ，i 1, 2, , r ，且 1 2 r N 这两种情况下齐次解的一般函数形式为：
4.3 经典的微分方程和差分方程解法
上节把这类系统看成非递归因果 LTI 系统与递归系统级联的 概念和方法，给系统的分析和求解带来很多方便。例如，这使得 一般的N 阶线性常系数微分方程和差分方程的求解问题，简化为 上述的纯递归微分方程和差分方程的求解问题。
4.3.1 线性常系数微分方程的解法
简化了的N 阶线性常系数微分方程为
N
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
输入信号 x(t) 常数 E
k E t k ， Ek 为常数 k 0 L
相应特解 yP (t ) 的函数形式 常数 P
m 0 m P t m L
e t ， i
Pe t
m0 m t P t m e
e ， i ， i 为 i重根
v(t ) bk x (t )
(k ) k 0
M
或
v[ n] bk x[ n k ]
k 0
M
4.2 非递归系统和递归系统的级联(续)
x(t )
v(t ) bk x ( k ) (t )
k 0 M
v (t )
(k ) a y k (t ) v(t ) k 来自百度文库0 k
N
y (t )
y (t0 ) ck , k 0,1 N 1
N
x[n]
v[n ] bk x[n k ]
k 0
M
v[n]
ak y[n k ] v[n]
y[n0 k ] ck , k 0,1 N 1
k 0
y[n]
它是因果 LTI 系统，称为非递归系统；右边第二个系统的输入 v(t) 或 v[n] 和输出 y(t) 或y[n] 满足如下方程: N N (k ) a k y[n k ] v[n] a k y (t ) v(t ) 和 k 0 k 0 附加条件：y[n0 k ] c k 附加条件：y ( k ) (t ) c 0 k 附加条件 ck，k 0, 1 N 1 ，仍是原系统的 N 个附加条件。相 比于原系统，微分或差分方程右边简化了，称为(纯)递归系统。
y (t ) y H ( t ) y P ( t ) 其中，特解 yP (t ) 完全由输入 x(t) 决定，通常称为系统的强迫响应; 齐次解 yH (t ) 的函数形式由表示系统特性的特征方程根 i决定，故 又称为系统的自由响应，特征根则称为系统的固有频率或自然频 率，但在 x(t ) 0时，它的 N 个待定常数 Ai或 Aik 既取决于非零附 加条件(即列矢量 y0 )，又与特解(即列矢量 yP)有关。 如果系统是零输入( x (t ) 0 )，此时 yP (t ) 0，即 yP = 0 ，故
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
A e i t , N个互不相同的单根 i i yH (t ) ir1 i Aik t k 1e i t , r个 i 重根 i i 1 k 1 其中，Ai ， i 1, 2 N 和 Aik，i 1, 2 r， k 1, 2 i ，为 N 个 待定常数。确定这 N 个待定常数需要用到系统的 N 个附加条件， 下面会专门讨论。 ● 特解 特解 yP (t ) 就是满足该线性常系数微分方程的一个解，其函数 形式由 x(t) (或方程右边)的函数形式决定。下面表中列出了几种 常见的 x(t) 及其所对应特解的函数形式，表中的 i 是微分方程的 特征根，特解的待定系数 P 或 Pm可以通过将此特解函数形式代入 原方程，并使方程两边相等而获得的、P 或 Pm为未知量的代数方 程或联立方程求解来确定，具体确定方法可见下面的例题。
而用一般的N 阶线性常系数差分方程描述的离散时间系统为：
M N a k y[n k ] bk xn k k 0 k 0 附加条件：y[n0 k ] ck ， k 0, 1 N 1
附加条件是方程有唯一解的条件，前者通常是 y(t) 在某个时刻t0 的 0 到( N – 1) 阶导数值，后者则是y[n]的 N 个连贯序列值。 系统可看成两个系统的级联(见下图)，图中左边系统具有显 式的变换关系，由给定输入可以直接求得其输出 v(t) 或 v[n] ，即
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
求解上述矢量方程，得到
a V 1[ y0 yP ] V 1 y0 V 1 yP
由此就可以确定完全解中的 N 个待定常数 Ai，确定特征根有重根 情况下的 N 个待定常数 Aik 的方法相同。
■ 自由响应和强迫响应
线性常系数微分方程和非零附加条件描述的连续时间系统， 在非零输入( x(t ) 0 )激励下，系统的全响应 y(t) 为
y (t ) A e i t , N个互不相同的单根 i i P i 1 y(t ) r i yP (t ) Aik t k 1e i t , r个 i 重根 i i 1 k 1
■ 确定待定常数 Ai 或 Aik
(k ) 附加条件 y (0) ck ， k 0, 1 N 1，给出在 x(t) 作用的 区间内某 t0 (这里假设 t0 0 也不失一般性)时刻 y(t) 的 0 到( N – 1) 阶导数值。这里以 N 个单根的情况为例，讨论确定 N 个待定常数 的方法。利用完全解的函数形式可以列出如下 N 个代数方程：
4.2 非递归系统和递归系统的级联
用一般的N 阶线性常系数微分方程描述的连续时间系统为：
M N a k y ( k ) (t ) bk x ( k ) (t ) k 0 k 0 (k ) 附加条件：y (t 0 ) ck ， k 0, 1 N 1
第 4 章 用微分或差分方程描述的系统
4.1 引 言
根据各自的物理原理，不同领域的实际系统的数学描述通常 都是微分或差分方程，且在大多数情况下，可合理地近似为线性 常系数微分方程或差分方程，故方程解法就成为系统的经典分析 方法。尽管这种方法目前已不占统治地位，仍然简要介绍的目的： 了解它与其他系统分析方法之间的关系，促使学生思考和比较， 并从这些不同方法产生、应用和发展的脉络得到有益的启示。 本章主要讲述： ● 微分方程和差分方程的解法。 ● 实际的因果系统及其零状态响应和零输入响应求解方法 ● 用微分方程或差分方程表示的因果 LTI 系统的单位冲激响应 ● 用微分方程或差分方程表示的因果 LTI 系统的直接模拟结构
yH (t ) Ae 2t
0.5, t 0 y1P (t ) 0, t 0
和
Ae 2t 0.5, t 0 y1 (t ) 2 t A t0 e ,
4.3.1 微分方程的解法(续)
再把 t 0 时刻的零附加条件 y1 (0) 0 代入 y1 (t )求得 A 0.5 , 故系统的输出为
(k ) y ( k ) (0) Ai ik yP (0) ， k 0, 1 N 1 i 1
N
它们构成确定 N 个未知量 Ai 的如下联立方程：
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
A2 AN y (0) yP (0) A1 A A A (1) (0) y (0) yP 1 1 2 2 N N 2 2 2 (2) (0) A11 A2 2 AN N y (0) yP ( N 1) ( N 1) N 1 N 1 N 1 A A A y (0) y (0) 2 2 P N N 1 1 也可以写成矢量方程形式为： Va y0 yP
t
i
E t e
k 0 k
L
k t
， i
m0
m t P t m e
L
E t e
k 0 k
L
k t
L i m0
， i ， i为 i重根
m t P t m e
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
一旦确定了特解 yP (t )，连同上面齐次解 yH (t ) 的函数形式， 则系统的完全解为 N
N (k ) a y t x (t ) k k 0 (k ) 附加条件 ： y t 0 ck ,
k 0, 1 N 1
其中，x(t) 为系统输入，或其0 到( M – 1) 阶导数的线性组合，是给 定的，或可以直接求出的；y(t) 是要求解的系统输入；附加条件的 时刻 t0 应处在输入 x(t) 作用的区间内； ak 通常为实系数。 显然，它的求解方法，对于这类连续时间系统将不失一般性。
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
■ 微分方程的解：特解和齐次解
按照微分方程的理论，上述 N 阶微分方程的完全解 y(t) 由齐 次解 yH (t )和特解 yP (t ) 组成，即
y(t ) yH (t ) yP (t )
齐次解 齐次解 yH (t )就是原微分方程所对应齐次方程的解，其函数形 式由 原微分方程之如下特征方程的 N 个特征根 i决定：
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
齐次解的 N 个待定常数则完全由非零附加条件(列矢量 y0)决定。 【例 4.2】 已知如下一阶微分方程表示的连续时间系统：
y(t ) 2 y (t ) x (t )
并给定 t
x1 (t ) u (t ) 和 x2 (t ) u (t 1) 时系统的输出。
0 时刻的零附加条件，试分别求系统在输入为
解： 在两种不同输入下系统的齐次解 yH (t )是一样的，系统的特
征方程为 2 0 ，特征根为 2，故系统的齐次解为 (1) 首先求输入为 x1 (t ) u (t )时系统的输出 y1 (t ) 。 由于在 t 0 和 t 0 时输入信号分别是常数 0 和 1 ，按照输入 P2，分 与对应的特解表，特解在这两个区间是不同的常数 P 1和 别代入原方程求得 P 1 0.5和 P 2 0 。故此时的特解和完全解为：
1 0
0.5 0
x1 ( t )
t
y1 (t )
t
0.5(1 e ), t 0 y1 (t ) t0 0 , x1 (t ) 和 y1 (t ) 的波形如右图所示。