第4章 用微分方程和差分方程描述的系统(TY)
第四章 微分方程与差分方程方法
第四章 微分方程与差分方程方法第一节 微分方程模型我们在数学分析中所研究的函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到的大量实际问题往往不能直接写出量与量之间的关系,却能比较容易地建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分)的关系式称为微分方程.§4.1.1 微分方程简介这一节,我们将介绍关于微分方程的一些基本概念. 一、微分方程的阶数首先我们具体的来看一个微分方程的例子.例4-1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中,在时刻0=t ,测量得它的温度为C u 00150=,10分钟后测量得温度为C u 01100=.我们要求决定此物体的温度u 和时间t 的关系,并计算20分钟后物体的温度.这里我们假定空气的温度保持为C u 024=α. 解:根据物理学中的牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在介质温度的差值成正比.设物体在时刻t 的温度为)(t u u =,则温度的变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化的微分方程)(αu u k dtdu--= (4.1.1) 其中0>k 是比例常数.方程(4.1.1)中含有未知函数u 及它的一阶导数dtdu,这样的方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.方程)(33t f cy dt dyb dty d =++ (4.1.2)中未知函数最高阶导数的阶数是三阶,则方程(4.1.2)称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程;自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程.方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z Ty T x T (4.1.3)就是偏微分方程的例子,其中T 是未知函数,x 、y 、z 都是自变量.而方程(4.1.1)(4.1.2)都是常微分方程的例子. 三、线性与非线性微分方程如果n 阶常微分方程0),,,,(=n n dxyd dx dy y x F (4.1.4)的左端为关于未知函数y 及其各阶导数的线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般的n 阶线性微分方程具有形式)()()()(1111x f y x a dx dyx a dxy d x a dx y d n n n n n n =++++--- (4.1.5)其中)1( )(),(n i x f x a i =是关于x 的已知函数.当()0f x =时,称(4.1.5)为n 阶齐次线性微分方程;当()0f x ≠时,称(4.1.5)为n 阶非齐次线性微分方程.例如,方程(4.1.2)是三阶线性微分方程.而方程20dy dy t y dx dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ (4.1.6)是一阶齐次非线性方程. 四、微分方程初边值问题我们把含有n 个独立的任意常数12,,n c c c 的解12(,,,)n y x c c c ϕ=称为n 阶微分方程(4.1.4)的通解.为了确定微分方程一个特定的解,我们通常给出这个解所必须满足的条件,这就是定解条件.常见的定解条件是初始条件.n 阶微分方程(4.1.4)的初始条件是指如下的n 个条件:1(1)(1)0000001()()(),,n n n dy x d y x y x y y y dx dx---=== 求解微分方程满足初始条件的解,称为初值问题.求解初值问题的过程,就是通过初始条件确定通解中的常数,从而求得满足初始条件的特解的过程.若方程所给出的定解条件,既有自变量初始时刻的值,也有自变量取终值时的值,则称该问题为边值问题.§4.1.2微分方程的求解及Matlab 实现线性微分方程和低阶特殊微分方程往往可以通过解析解的方法求解,但一般的非线性微分方程是没有解析解的,即使可以求得解析解,参数也很难确定,需要用数值解的方式求解.具体的求解方法很多,本节我们主要介绍如何利用matlab 来求解微分方程的解析解和数值解.§4.1.2.1微分方程的解析解一、基本理论有些简单的常微分方程可用一些技巧,如分离变量法、积分因子法、常数变异法、降阶法等,化为可直接积分的方程从而求得显示解.例如,一阶常系数线性常微分方程(0)dyay b a dt=+≠ 可化为dydt ay b=+ 两边积分可得()y t 的通解为 at by Ce a=-.一般的常系数线性微分方程1111()n n n n n n d y d y dya a a y f x dx dx dx---++++= (4.1.7)的解满足叠加原理,即方程(4.1.7)的通解是对应齐次方程11110n n n n n n d y d y dya a a y dx dx dx---++++= (4.1.8)的通解与非齐次方程(4.1.7)的一个特解的和.一阶常系数线性常微分方程总可用这一思路求得显示解.高阶线性常系数微分方程可用特征根法求对应齐次微分方程(4.1.8)的通解.(4.1.8)对应的代数特征方程121210n n n n n s a s a s a s a ---+++++=若方程的特征根i s 均可以求出,且两两相异,则方程(4.1.7)的解可以表示为1212()()n s x s x s x n y x C e C e C e x γ=++++其中,i C 为待定系数,()x γ是满足方程(4.1.8)的一个特解,这个特解可以通过常数变异法,比较系数法得到.i s 有重根的情况也可以写出相应的解析解形式,这里我们不做过多介绍,因为我们下面要介绍一种更简单的计算机求解法. 二、用matlab 求解线性常系数微分方程解析解 dsolve 其中,i f 既可以描述微分方程,也可以描述初边值条件.在描述微分方程时,用字母D 代表微分,后面加数字表示微分的阶数,例如D4y 表示(4)()y t ,也可以用D2y(0)=3 这类记号来表示初值条件 ''(0)3y =.一般而言任何D 后面所跟的字母为因变量,自变量默认为t ,也可以在函数调用时指明.例4-2 求方程2223t d x dxx e dt dt---=的通解.解:输入命令>>syms t,x; %定义符号变量x=dsolve(‘D2x -2*Dx-3*x=exp(-t)’) %求解方程latex(x) %用 LATEX 语句显示结果 运行结果x=exp(-t)*C2+exp(3*t)*C1-1/4*t*exp(-t) ans={e^{3t}}{\it C2}+{e^{-t}}{\it C1}-1/4\,t{e^{-t}} 原方程的通解为31214t t t x C e C e te --=+-其中,i C 为任意常数.若给出初始或边界条件,则可以通过这些条件建立方程,求出i C 的值.仍考虑上面的微分方程,假设已知 (0)3,(0)2dxx dt==,则可以通过下面的命令求满足该方程的特解.>> x=dsolve(‘D2x -2*Dx-3*x=exp(-t)’,’x(0)=3’,’Dx(0)=2’) 运行结果x=27/16*exp(-t)+21/16*exp(3*t)-1/4*t*exp(-t)所以，满足这一初值问题的特解是32127116164t t t x e e te --=+- 对于线性方程组我们可以通过定义多维的因变量同样求解. 例4-3 试求解下面的线性微分方程233453442dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩解:输入命令>>[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z')； x=collect(simple(x)) %化简x 的表达式 y=collect(simple(y)) z=collect(simple(z)) 结果为部分特殊的非线性微分方程也可以用dsolve()函数来求解析解.这样的方程描述方式和前面介绍的线性微分方程是一致的.下面我们通过例子来演示非线性方程的解析解求解问题,同时还将演示不能求解的例子. 例4-4 试求出一阶非线性微分方程2()(1())dxx t x t dt=-的解析解. 解: 输入命令>>x=dsolve('Dx=x*(1-x^2)') 运行结果x =1/(1+exp(-2*t)*C1)^(1/2) -1/(1+exp(-2*t)*C1)^(1/2)即该方程的解析解为()x t =但是如果稍微改变原方程,例如将等号右侧加上1,则可以用下面语句试解方程.我们会发现该方程是没有解析解的.223222312231t tt t t t tx C e C e y C e C e C e z C e C e ----=+=++=+>>x=dsolve('Dx=x*(1-x^2)+1') 运行结果Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned. > In dsolve at 312 x =t+Int(-1/(_a-_a^3+1),_a = .. x)+C1 = 0从上例我们可以看出,可以求得解析解的方程是很有限的,对于一般的非线性方程只能用数值解法去求解.下面我们介绍微分方程数值解的求解方法.§4.1.2.2微分方程的数值解一、基本理论 (一) 数值解的定义考虑一阶常微分方程组初值问题000'(,)()f y f t y t t t y t y =⎧<<⎨=⎩ (4.1.9)其中 12(,,,)m T y y y y = ,12(,,,)m T f f f f = ,120000(,,,)m Ty y y y = ,这里T 表示转置.微分方程的数值解,是指不求出解()y t 的解析表达式,而是寻求()y t 在一系列离散结点01n f t t t t <<<≤ 上的近似值(0,1,,)k y k n = .称1k k k h t t +=-为步长.通常,取为常数0()/n h t t n =-,此时结点变为等距结点,有10k k t t h t kh -=+=+.(二) 求解数值解的方法 1.欧拉法基本思想:在结点处用差商近似替代导数()()'()(,())(,)k k k k k k k y t h y t y t f t y t f t y h+-≈=≈这样导出欧拉格式的计算公式100(,)0,1,1() k k k k y y hf t y k n y y t +=+⎧=-⎨=⎩ (4.1.10)欧拉法可以求解各种形式的微分方程,但是它只有一阶精度,所以实际应用效率比较差.2.改进的欧拉法基本思想: 使用数值积分离散化.对方程'(,)y f t y =,两边由k t 到1k t +积分,得到11()()(,())k kt k k t y t y t f t y t dt ++-=⎰对右端的定积分用数值积分方法做离散化,可得计算公式,如用矩形公式可得欧拉公式,若用梯形公式可得改进的欧拉公式,下面我们用梯度公式来做数值积分11111()()(,())[(,())(,())]2k kt k k k k k k k k t t ty t y t f t y t dt f t y t f t y t +++++--=≈+⎰故有如下迭代计算公式:11100[(,)(,)]2()k kk k k k h y y f t y f t y y y t +++⎧⎪⎨⎪⎩=++= (4.1.11) 实际应用时,与欧拉公式结合使用:(0)1(1)()111(,)[(,)(,)] 0,1,2,2k k k k l l k k k k k k y y hf t y h y y f t y f t y l +++++⎧=+⎪⎨=++=⎪⎩ (4.1.12) 对于已给的精度ε,当满足(1)()11 l l k k y y ε+++-<时,取(1)11l k k y y +++=,然后继续下一步2i y +的计算. 3.Runge-Kutta 方法基本思想:利用Taylor 展式进行离散化.假设(4.1.9)中的(,)f t y 充分光滑,将1()k y t +在k t 点作Taylor 展开:2()1()()'()''()()2!!p p k k k k k h h y t y t hy t y t y t p +=+++++其中()()'()(,())''()[(,())]'()[(,())]t t y p p t y t f t y t y t f t y t f f f y t f t y t ===+⋅=对照标准形式1(,;)k k k k y y h t y h +=+Φ.若取1()(,;)'()''()()2!!p p h h t y h y t y t y t p -Φ=+++并用k y 代替()k y t ,则得到一个p 阶近似公式100(,;)0,1,1()k k k k y y h t y h k n y y t +=+Φ⎧=-⎨=⎩ (4.1.13)显然p=1时,式(4.1.13)就是(4.1.10),即为欧拉方法.但当2p ≥时,如果直接利用公式(4.1.13)求解数值解问题,就需要计算(,)f t y 的高阶微商.这个计算量是很大的.因此,直接利用式(4.1.13)构造高阶公式是不实用的.通常,在求解高阶精度的数值解时,我们并不是直接使用Taylor 级数,而是利用它的思想,即计算(,)f t y 在不同结点的函数值,然后作这些函数值的线性组合,构造近似公式,式中有一些可供选择的参数.将近似公式与Taylor 展开式相比较,使前面的若干项密合,从而使近似公式达到一定的精度.若线性组合选取的函数值个数为n ,计算达到的精度阶数为p ,这样的Runge-Kutta 方法就是我们通常所说的p 阶n 级Runge-Kutta 方法.后来,德国学者Felhberg 对传统的Runge-Kutta 方法进行了改进,使原来的定步长算法变为自动变换步长的Runge-Kutta-Felhberg 方法,保证了更高的精度和数值稳定性,它已经成为求解数值解问题中最常见的方法.具体的算法我们在这里不做介绍,下面我们主要来讨论如何通过matlab 软件来运用这一方法求解微分方程的数值解问题.二、用matlab 求解微分方程数值解 (一) 一阶微分方程组初值问题Matlab 下求解一阶微分方程组初值问题(4.1.9)的数值解的最常见的方法ode45()函数,该函数实现了前面介绍的变步长四阶五级Runge-Kutta-Felhberg 算法,可以采用变步长的算法求解微分方程. [t, y ] 中t 表示自变量,是标量.y 表示函数,可以是标量也可以是向量.0y 表示初值.当 y 为 n 维向量时,表明求解的问题是有n 个未知函数的方程组,则0y 也应为n 维向量.0[,]f t t 表示微分方程的求解区间,即自变量的取值范围.如果只给出一个值 f t 则表示初始时刻为00t =.另外,该函数还允许0f t t >,即可以认为0t 为终值时刻,f t 为初始时刻,则0y 表示状态变量的终值,而该函数可以直接求解这样一个终值问题.odefun 表示待解的微分方程(4.1.9)中(,)f t y 所写成的m-文件的名称,m-文件的编写格式为也可以不把函数单独用m-文件保存,而是直接用inline()函数输入,从而获得函数名,编写格式为其中,t 是自变量,即使所求方程是自治系统,也需要写出t ,否则matlab 在变量传递过程中将出现问题.y 为未知函数,ydot 表示未知函数的导数.如果求解的问题是微分方程组问题,即我们之前讨论过的y 为向量的情况,则在书写上述m-文件或inline()函数时,待解方程(,)f t y 应以ydot 的分量形式写成,或者仍用单个方程的编写格式,多个方程用[ ]括起来,并以;隔开,在后面的例题中我们将具体的看到.options 表示控制选项.在微分方程求解中有时需要对求解算法及控制条件进行进一步设置,这可以通过求解过程中的options 变量来进行修改.初始options 变量可以通过odeset()函数来获取,该变量是一个结构体变量,其中有众多成员变量,表4-1列出了常用的一些成员变量.表4-1 微分方程求解函数的控制参数表修改option 变量有两种方式: ①用odeset()函数设置,其格式为达到的目的是,将相对误差上限设置为较小的710-②直接修改options 的成员变量,也可以达到这样的目的,其格式为 12,,,m p p p 表示附加参数.即在函数表达式中,除了,t y 还有其他的可变的参数,引入这样的附加参数,使得微分方程的某些参数可以选择不同的值,对不同值求解时,考虑附加参数可以避免每次修改模型文件.但是值得注意的是,这种情况下的函数定义格式有特殊要求,格式为或注意,这里的flag 变量不能省略,用于占位. 例4-5 解微分方程组33'' 030(0)1,(0)0.5x x y y x yt x y ⎧=--⎪=-<<⎨⎪==⎩解: 该方程是非线性微分方程,不能用我们之前讨论的求解解析解的方法来处理,只能用数值解法求解.首先,我们将待解方程写成m -文件,用文件名eg1fun.m 保存.我们将2个未知变量x ,y ,以分量的形式写成一个向量变量x . %函数eg1fun.m function f=eg1fun(t,x) f(1)=-x(1)^3-x(2); f(2)=x(1)-x(2)^3;f=f(:); %保证f 为列向量这个m-文件还有另一种等价的书写方式.%函数eg1fun.m的另一种书写方式function f=eg1fun(t,x)f=[-x(1)^3-x(2);x(1)-x(2)^3];这样我们就完成了对待解方程的描述,然后输入命令>>[t,x]=ode45('eg1fun',[0 30],[1;0.5]); %求解方程subplot(1,2,1); %分2部分绘图,编辑第一部分plot(t,x(:,1),t,x(:,2),':'); %在第一个图中绘制x,y的函数图象title('函数曲线图'); %图象名称xlabel('t'); %横轴说明legend('x(t)','y(t)'); %说明图例axis square %显示正方形的坐标系subplot(1,2,2); %编辑第二部分图象plot(x(:,1),x(:,2)); %在第二个图中绘制相平面图title('相平面图'); %图象名称xlabel('x'); %横轴说明ylabel('y'); %纵轴说明axis square %显示正方形的坐标系运行结果:图4-1例4-5函数曲线和相平面图运行程序,得到函数图象和相平面图.根据相平面上的相轨线,可以看出解从初值开始的变化趋势,这对于研究微分方程平衡点的稳定性是很有意义的,在后面的章节中我们将具体讨论. 例4-6 解微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=-==1)0(,1)0(,0)0(51.0'''321213312321y y y y y y y y y y y y 解:此问题仍为非线性微分方程组,我们求它的数值解,不妨将求解区间取为[0,20]t =.下面我们用inline()函数来描述方程组,这样就不用单独编写m -文件来描述方程.输入命令:>>eg2fun=inline('[y(2)*y(3);-y(1)*y(3);-0.51*y(1)*y(2)]','t','y'); tf=20;y0=[0;1;1];[t,y]=ode45(eg2fun,[0,tf],y0);plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'*',t,y(:,3),'+'); %绘出解的图象 legend('y1','y2','y3'); %说明图例 运行得到函数曲线图图4-2 例4-6函数曲线图例4-7 编写带有附加参数的matlab 函数,来描述食饵-捕食者模型111122222112'()()'()()(0)(0)1x t x a b x x t x a b x x x =-⎧⎪=--⎨⎪==⎩并对11223,2, 2.5,1a b a b ====和11222,1,1,0.5a b a b ====分别求解,画出解的曲线图和相轨线图.解:选定附加参数为1122,,,a b a b ,编写如下m -文件来描述题述方程%函数eg3fun.mfunction xdot=eg3fun(t,x,flag,a1,b1,a2,b2) xdot=[x(1)*(a1-b1*x(2));-x(2)*(a2-b2*x(1))];注意,这里的flag 变量不能省略.这样我们就完成了对方程的描述.我们不妨取自变量区间为[0,10],对方程求数值解.输入命令 >>tf=10;x0=[1;1];a1=3;b1=2;a2=2.5;b2=1;[t,x]=ode45(‘eg3fun’,[0,tf],x0,[],a1,b1,a2,b2);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1),t,x(:,2),':');title('函数曲线图'); xlabel('t');legend('x1','x2');axis square;subplot(1,2,2);plot(x(:,1),x(:,2));title('相平面图'); xlabel('x1');ylabel('x2');axis square;运行结果图4-3 11223,2, 2.5,1a b a b ====当11222,1,1,0.5a b a b ====时,只需要修改上述命令中的给a1,b1,a2,b2的赋值语句,就可以得到需要的结果.图4-411222,1,1,0.5a b a b ====(二) 一阶微分方程组边值问题对于一阶常微分方程组的边值问题'(,)((),())0y f t y a t b g y a y b =⎧<<⎨=⎩ (4.1.14)这里y ,f ,g 都可以是向量.用其中odefun 是微分方程组函数,bcfun 为边值条件函数,sinit 是由bvpinit 得到的粗略解网络.求得的边值问题的解sol 是一个结构体变量,sol.x 为求解结点,sol.y 为数计算由bvp4c 得到的解在ti 的值. 例4-8 求解边值问题122111'' ()0,()20y y y y a t b y a y b =⎧⎪=-<<⎨⎪=+=⎩ 解:输入命令>>sinit=bvpinit(0:4,[1;0]);odefun=inline('[y(2);-abs(y(1))]','t','y'); bcfun=inline('[ya(1);yb(1)+2]','ya','yb'); sol=bvp4c(odefun,bcfun,sinit); t=linspace(0,4,101); y=deval(sol,t);plot(t,y(1,:),sol.x,sol.y(1,:),'o',sinit.x,sinit.y(1,:),'x'); legend('解曲线','求解点','粗略解');运行结果图4-5 例4-8函数曲线图(三) 高阶微分方程由于matlab 只能处理一阶微分方程组问题,对于高阶微分方程的初边值问题,我们必须通过变量代换,使它转换为一阶方程组,才能用matlab 求解数值解.我们考虑高阶常微分方程的初值问题()(1)(,,',,)n n y f t y y y -= (4.1.15) 且初始值(1)(0),'(0),(0)n y y y - 为已知.令(1)12,',,n n x y x y x y -=== ,通过这样的变量代换,高阶微分方程(4.1.15)就转化为一阶方程组的形式122312'' '(,,,,)n n x x x x x f t x x x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ (4.1.16) 且初值条件为(1)12(0)(0),(0)'(0),,(0)(0)n n x y x y x y -=== .这样,我们就可以通过之前讨论过的一阶微分方程组的数值解法来研究这一问题.对于高阶微分方程组,只要依次将每个未知变量的各阶导数均单独定义变量,就可以同样的转化为一阶微分方程组. 例4-9 用数值解法求解微分方程2''(1)'0(0)0.2,'(0)0.7y y y y y y ⎧+-+=⎨=-=-⎩ 解:首先我们需要将这个2阶微分方程转化为一阶微分方程组,我们令1x y =,2'x y =,则原方程转换为122212112''(1)(0)0.2,(0)0.7x x x x x x x x =⎧⎪=---⎨⎪=-=-⎩ 对[0,20]区间求数值解,输入命令>>tf=20;x0=[-0.2;-0.7];eg5fun=inline('[x(2);-((x(1))^2-1)*x(2)-x(1)]','t','x'); [t,y]=ode45(eg5fun,[0,tf],x0); plot(t,y);legend('y','y'''); 运行得到函数图象图4-6 例4-9函数曲线图例4-10 求解微分方程组(竖直加热板的自然对流问题)2323222223202.10(0)0,(0)0,(0)0.68,(0)1,(0)0.5d f d fdf f T d d d d T dT f d d df d f dTf T d d d ηηηηηηηη⎧⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=====-⎪⎪⎩解:这是一个高阶方程组问题,我们需要通过变量代换转化为一阶微分方程组,从而寻求数值解.我们令2123452,,,,df d f dTy f y y y T y d d d ηηη===== 原方程转化为如下一阶方程组12232313245451512345,32, 2.1(0)0,(0)0,(0)0.68,(0)1,(0)0.5dy dy y y d d dy y y y y d dydy y y y d d y y y y y ηηηηη⎧==⎪⎪⎪=-+-⎪⎨⎪==-⎪⎪⎪=====-⎩ 输入命令>>y0=[0;0;0.68;1;-0.5];tf=5;eg6fun=inline('[y(2);y(3);-3*y(1)*y(3)+2*y(2)^2-y(4);y(5);-2.1*y(1)*y(5)]','t','y'); [t,y]=ode45(eg6fun,[0,tf],y0); plot(t,y(:,1),t,y(:,4),':'); legend('f','T'); 运行得到函数图象图4-7 例4-10函数曲线图§4.1.3导弹追踪问题一、导弹追击问题一艘敌舰在某海域内沿正北方向航行时,我方战舰恰位于敌舰的正西方向1km 处.我舰向敌舰发射导弹,导弹头始终对准敌舰,敌舰速度为0v =1km/min,导弹速度为敌舰速度的5倍.问需要多长时间,在何处导弹击中敌舰?以我舰位置为坐标原点,正北方向为y 轴方向建立坐标系,设t 时刻导弹所处的位置为((),())P x t y t ,敌舰所处的位置为0(1,)Q v t .图4-8 导弹追击问题由于导弹头始终对准敌舰,因此直线PQ 是导弹运行轨迹OP 在P 点的切线,即01v t y dy dx x-=- 从而0(1)dyv t x y dx=-+ (4.1.17) 又因为导弹速度为敌舰速度的5倍,所以OP 弧的长度为AQ 长度的5倍. 即005v t =⎰(4.1.18) 联立(4.1.17)和(4.1.18)得到5(1)5dy x y dx =-+⎰两边对x 求导,得到微分方程225(1)d yx d x=-(4.1.19) 该问题的初始条件为(0)0,'(0)0y y ==首先,我们将二阶方程化为一阶方程组,令12,dyy y y dx==,(4.1.19)转化为 ()121/22221215(1)(0)0,(0)0dy y dx y dydxx y y ⎧=⎪⎪⎪+⎪=⎨-⎪⎪==⎪⎪⎩ (4.1.20) 对于这一问题,我们可以求得方程的解析解,从而确定导弹击中敌舰位置和时间,也可以通过求数值解的方法得到同样的结论. 1) 解析解.关于2y 的方程()1/2222215(1)(0)0y dy dx x y ⎧+⎪=⎨-⎪=⎩ 分离变量,有()21/2225(1)1dy dxx y =-+两边积分,并代入初始条件,得21ln(ln(1)5y x +=--即152(1)y x -=- (4.1.21) 又因为152(1)y x ==-- (4.1.22)(4.1.21)和(4.1.22)两式相加,得到115521((1)(1))2y x x -=---下面,我们求解关于1y 的方程11155211((1)(1))2(0)0dy y x x dxy -⎧==---⎪⎨⎪=⎩ 直接积分,并代入初始条件得到46551555(1)(1)81224y y x x ==--+-+当1x =时,524y =,即当敌舰航行到点(1,524)处时,被导弹击中.被击中的时间为012.5yt s v ==. 2) 数值解.首先,编写出描述方程(4.1.20)的m-文件 function dy=equ20(x,y)dy=[y(2);1/5*sqrt(1+y(2)^2)/(1-x)];由于方程在1x =处没有定义,我们取求解区间为[0,1-1e-8],输入命令 xf=1-1e-8;[x,y]=ode45('equ20',[0,xf],[0;0]) plot(x,y(:,1));hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,'*');运行结果 y =0 00.0000 0.0001 …… …… 0.2083 16.1097 0.208320.0688图4-9 导弹击中曲线说明当1x =时,0.2083y =,导弹击中敌舰的位置大致在(1,0.2083)处,击中的时间0yt v ==0.2083min=12.498s.这与求解析解得到的结果是一致的. 比较上面2种求解方法,我们发现,解析解可以得到解的真实值,但是方法比较复杂,技巧性强,只能处理比较简单的方程问题;而数值解虽然得到的解与真实值之间会有一些允许范围内的误差,但是方法比较容易掌握,更具一般性. 二、导弹系统的改进现根据情报,这种敌舰能在我舰发射导弹后T 分钟做出反应并摧毁导弹.因此,我们要求改进电子导弹系统,使其根据敌舰与我舰的距离,行使方向和速度,能自动判断出敌舰是否在有效打击范围之内.对于更一般的情况,我们做出如下假设,设敌舰在我舰正东方向d km 处,行驶速度为0v km/min,行驶方向与正东方向的夹角为θ,导弹的飞行速度为v km/min.问题的关键是计算出导弹击中敌舰所需要的时间*t ,并将*t 与T 比较,若*t <T ,则敌舰在打击范围内.我们仍以我舰位置为坐标原点,以正北方向为y 轴建立坐标系,设t 时刻导弹所处的位置为((),())P x t y t ,敌舰所处位置为00(cos ,sin )Q d v t v t θθ+.图4-10 导弹击中问题由于导弹头始终对准敌舰,因此直线PQ 是导弹运行轨迹OP 在P 点的切线,即00sin cos v t y dydx d v t xθθ-=+- (4.1.23) 又因为导弹速度为敌舰速度的0v v 倍,所以OP 弧的长度为AQ 长度的0vv 倍.即v x v t v =⎰(4.1.24) 联立方程(4.1.23)和(4.1.24),消去0v t ,再对方程两边对x 求导,得到微分方程21/22022(1())(s i n c o s )()(s i n c o s )c o s (())v d y d y d y v dx dx dy dy dx d x d x y dx dxθθθθθ+-=--+-+ (4.1.25) 同样,我们令12,dyy y y dx==,(4.1.25)转化为一阶微分方程组1221/22022222112(1())(sin cos )()(sin cos )cos (())(0)0,(0)0dy y dx v y y dy v dx d x y y d x y y y θθθθθ⎧=⎪⎪⎪+-⎪=⎨--+-+⎪⎪==⎪⎪⎩(4.1.26) 从图象上来判断,我们知道,当P 和Q 两点的运动曲线相遇时,导弹击中敌舰.因此我们可以认为,若**,x y 满足方程(4.1.25)且**()tan y x d θ=- (4.1.27) 则点(**,x y )为导弹击中敌舰的击中点.再根据Q 点的表达式00(cos ,sin )Q d v t v t θθ+,可以计算出击中时间**0sin y t v θ=.若*t <T ,则敌舰在打击范围内,可以发射.从上述分析,我们知道,当0v 、v 、d 、θ、T 已知时,根据(4.1.25)和(4.1.27)可以计算出导弹击中敌舰所需要的时间*t ,且当*t <T 时,敌舰在打击范围内.这种对于每组0v 、v 、d 、θ、T 分别计算从而作出判断的方法,称为在线算法.如果在敌舰和我舰的情况已知,即0v 、v 、T 已知,计算出所有在打击范围内的d 和θ,之后要判断敌舰是否在打击范围,只需要在计算结果中查询,这种算法称为离线算法.从原理上来看,我们发现,在线算法灵活,容易调整参数和模型,但是速度比较慢;离线算法事先计算好,实时使用查询方式,不需要计算,速度快. (1)在线算法现已知0v =90km/h,v=450km/h,d=50km,4πθ=,T=0.1h.首先,我们编写带参数的m-文件描述方程(4.1.26).为了使方程始终有意义,我们通常在分母上加上一个无穷小量1e-8.%方程(4.1.26)function dy=equ26(x,y,v0,v,d,theta) dy(1)=y(2);dy(2)=((v0/v)*(1+(y(2))^2)^(1/2)*(sin(theta)-y(2)*cos(theta))^2)/((d-x)*(sin(theta)-y(2)*cos(theta))+cos(theta)*(y(2)*(d-x)+y(1))+1e-8); dy=dy(:);输入命令clear;close;v0=90;v=450;d=50;theta=pi/4;T=0.1;%初始化参数[x,y]=ode45(@equ26,[0,60],[0;0],[],v0,v,d,theta);%计算导弹运行轨迹方程的数值解z=(x-d)*tan(theta);%计算敌舰运行的轨迹n=length(x);for i=1:nif abs(z(i)-y(i,1))<1e-6xk=x(i);yk=y(i,1);break;endendxkyk%求出击中点xk,yk坐标for i=1:nif z(i)>0z1(i)=z(i);elsez1(i)=0;endendplot(x,y(:,1),x,z1(:),xk,yk,'*');legend('导弹运行轨迹','敌舰运行轨迹','击中点');tk=yk/(v0*sin(theta)+1e-8)%计算击中时间if tk<Tdisp(['敌舰在打击范围内，击中地点在',num2str(xk),num2str(yk),'击中时间为', num2str(tk)]);elsedisp(['敌舰不在打击范围内']);end得到结果击中点xk=58.4056,yk=8.4056,击中时间tk =0.1321,所以敌舰不在打击范围内,应等接近一些再发射.图4-11 在线算法(2)离线算法在介绍离线算法之前,我们先来看方程(4.1.26)的另一种表达.因为导弹的线速度v = (4.1.28) 方程(4.1.28)与(4.1.23)联立,可以建立以t 为参数的关于x ,y 的参数方程dxdt dy dt⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎪==⎪⎪⎪⎩ (4.1.29)当()x t 满足0()cos x t d v t θ≥+,则导弹击中了敌舰.由于我们所要求的打击范围是在t T <中讨论的,所以考虑以t 为参数的方程(4.1.29)能使求解过程大大简化.现已知0v =90km/h,v=450km/h,T=0.1h,要计算出所有在打击范围内的d 和θ.依题意,0θπ≤≤.据此,我们可以确定d 的取值范围.当0θ=时,敌舰正好背向行驶,导弹直线运行,击中时间0/()t d v v T =-<求得min 0()36km d T v v =-=.当θπ=时,敌舰迎面驶来,导弹直线运行,击中时间0/()t d v v T =+<则max 0()54km d T v v =+=.所以3654d ≤≤.这样,我们对于所有可能的d 和θ的取值,计算击中所需时间,从而对不同的θ,得到d 的临界值.具体应用时直接查询判断.编写如下m -文件描述方程(4.1.29) %方程(4.1.29)function dy=equ29(t,y,v0,v,d,theta)dydx=(v0*t*sin(theta)-y(2))/(d+v0*t*cos(theta)-y(1)+1e-8); dy(1)=v/(1+dydx^2)^(1/2); dy(2)=v/(1+dydx^(-2))^(1/2); dy=dy(:);输入命令 clear;close;v0=90;v=450;d=50;theta=pi/4;T=0.1; i=1;for d=54:-1:36for theta=0:0.1:pi[t,y]=ode45(@equ29,[0,T],[0;0],[],v0,v,d,theta); if max(y(:,1)-d-v0*t*cos(theta))>0 range(i,:)=[d,theta]; i=i+1; break; end end end figure;plot(range(:,1),range(:,2)); xlabel('d');ylabel('theta');运行得到临界曲线,即在该曲线上方的d 和θ值,所对应的敌舰位置在打击范围内,曲线下方不在打击范围内.图4-12 离线算法因此d=50km,4πθ=,不在打击范围内.§4.1.4微分方程稳定性理论简介在处理实际问题时,对于有些微分方程模型我们不仅要得到问题的解,有时还需要研究解的稳定性,即解对初始值的连续依赖性,如果解在一定范围内是稳定的,那么初始条件发生一些小的扰动(如实验测量误差等),对问题的解不会造成影响.另外,还有一些问题我们并不需要求解,而通过解的变化趋势的研究,并分析一些特殊解的稳定性就可以解决问题.本节仅介绍几类特殊,但常用的常微分方程稳定性分析的基本方法. 一、单个常微分方程的平衡点及稳定性若微分方程)(x f dtdx= (4.1.30) 方程右端不显含自变量t ,称为自治方程.代数方程的实根0x x =称为方程(4.1.30)的平衡点(或奇点).注意到,平衡点也是方程的解(奇解).如果从一定范围内的初始条件出发,方程(4.1.30)的解)(t x 都满足,)(lim 0x t x t =+∞→则称平衡点0x 是稳定的.对于一些不易求解的问题,我们可以不求方程(4.1.30)的解,不用定义来判断平衡点0x 的稳定性,下面我们来介绍这种方法.将)(x f 在0x 点作泰勒(Taylor )展开,只取一次项,得到方程(4.1.30)的近似线性方程),)(('00x x x f dtdx-= (4.1.31) 0x 也是方程(4.1.31)的平衡点,方程(4.1.31)的通解为0|)('|0)(x ce t x t x f +=.关于0x 点稳定性有如下结论:① 若0)('0<x f ,则0x 对于方程(4.1.31)和(4.1.30)都是稳定的; ② 若0)('0>x f ,则0x 对于方程(4.1.31)和(4.1.30)都是不稳定的. 二、二阶常微分方程组的平衡点及稳定性现在讨论二阶微分方程组(;,),(;,).dxf t x y dtdy g t x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (4.1.32)它的解(),()x x t y y t ==在以,,t x y 为坐标的欧氏空间中决定了一条曲线,如果把时间t 看作参数,仅考虑,x y 为坐标的欧氏空间,此空间称为方程(4.1.32)的相平面(若方程组是高阶,则称为相空间).对于右端函数不显含时间t 的自治系统 ⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(y x g dtdyy x f dt dx(4.1.33)代数方程组⎩⎨⎧==.0),(,0),(y x g y x f 的实根00,y y x x ==称为方程(4.1.33)的平衡点,记作),(000y x P .它也是方程(4.1.33)的解.如果从一定的范围内的初始条件出发,方程(4.1.33)的解)(),(t y t x 都满足,)(lim ,)(lim 00y t y x t x t t ==+∞→+∞→则称平衡点0P 是稳定的,否则称0P 是不稳定的.与单个方程的讨论类似,对于不易求解的微分方程组,我们可以通过研究与其对应的近似线性方程组,从而得到平衡点和稳定性.在这里,我们省略证明过程,只给出判别平衡点0P 是否稳定的判别准则.令,)()()()( ,)()(000000yP g xP g yP f x P f q y P g x P f p ∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-= 关于0P 点稳定性有如下结论:① 当0>p 且0>q 时,平衡点0P 是稳定的; ② 当0<p 或0<q 时,平衡点0P 是不稳定的.。
控制系统计算机仿真课后答案
控制系统计算机仿真课后答案参考答案说明:1( 对于可以用文字或数字给出的情况，直接给出参考答案。
2( 对于难以用文字或数字给出的情况，将提供MATLAB程序或Simulink模型。
第 1 章1.1 系统是被研究的对象，模型是对系统的描述，仿真是通过模型研究系统的一种工具或手段。
1.2 数学仿真的基本工具是数字计算机，因此也称为计算机仿真或数字仿真。
将数学模型通过一定的方式转变成能在计算机上实现和运行的数学模型，称之为仿真模型。
1.3 因为仿真是在模型上做试验，是一种广义的试验。
因此，仿真基本上是一种通过试验来研究系统的综合试验技术，具有一般试验的性质。
而进行试验研究通常是需要进行试验设计。
1.4 解析法又称为分析法，它是应用数学推导、演绎去求解数学模型的方法。
仿真法是通过在模型上进行一系列试验来研究问题的方法。
利用解析法求解模型可以得出对问题的一般性答案，而仿真法的每一次运行则只能给出在特定条件下的数值解。
，解析法常常是围绕着使问题易于求解，而不是使研究方法更适合于问题，常常因为存在诸多困难而不能适用。
从原则上讲，仿真法对系统数学模型的形式及复杂程度没有限制，是广泛适用的，但当模型的复杂程度增大时，试验次数就会迅速增加，从而影响使用效率。
1.5 仿真可以应用于系统分析、系统设计、理论验证和训练仿真器等方面。
1.6,8,20,71，，，，,,,,，x,100x，0u,,,, ,,,,0100，，，，y,,,002x注:本题答案是用MATLAB中tf2ss()函数给出的，是所谓“第二能控标准型”(下同)。
11.7,3,3,11，，，，,,,,，x,100x，0u,,,, ,,,,0100，，，，y,,,013x1.82s，3s，3G(s), 32s，4s，5s，21.91.368,0.36801，，，，,,,,x(k，1),100x(k)，0u(k),,,, ,,,,0100，，，，y(k),,,00.3680.264x(k)1.10 仿真模型见praxis1_10_1.mdl;MATLAB程序见praxis1_10_2.m。
差分方程(第四章)
差分方程对连续型变量而言，我们常常回到微分方程的问题。
对离散型变量将导致一类的问题。
一、差分的定义定义：设()t y y t =是一个函数，自变量从t 变化到1t +，这时函数的增量记为(1)()t y y t y t ∇=+-，我们称这个量为()y t 在点t 步长为1的一阶差分，简称为()y t 的一阶差分。
为了方便我们也记1(1),()t t y y t y y t +=+=，即1t t t y y y +∇=-。
称21121()()()2t t t t t t t t y y y y y y y y +++++∇∇=---=-+为()y t 的二阶差分，简记为2t y ∇。
同样记2()t y ∇∇为3t y ∇，并称为三阶差分。
一般记1()n n t t y y -∇=∇∇，称为n 阶差分，且有0(1)nni it n t n i i y Cy +-=∇=-∑。
性质：当,,a b C 是常数，t y 和t z 是函数时， （1）()0C ∇=； （2）()()t t C y C y ∇=∇；（3）()()()t t t t ay bz a y b z ∇±=∇±∇；（4）11()()()()()t t t t t t t t t t y z y z z y y z z y ++∇⋅=∇+∇=∇+∇；（5）1111()()()()t t t t t t t t t t t t t t y z y y z z y y z z z z z z ++++⎛⎫∇-∇∇-∇∇== ⎪⋅⋅⎝⎭，（其中，0t z ≠）。
例1：已知,(0)nt y t t =≠，求()t y ∇。
解：()(1)n n t y t t ∇=+-。
特别，当n 为正整数时，1()ni n i t ni y Ct-=∇=∑，阶数降了一阶。
推论：若,m n 为正整数且m n >时，()P t 为n 次多项式，则()0m P t ∇=。
微分方程和差分方程方法课件
适用范围
01
适用于求解具有特定形式的一阶微分方程组。
解法描述
02 通过引入特征线的概念，将微分方程转化为常微分方
程沿特征线的积分，从而简化求解过程。
实例
03
以一阶微分方程组为例，通过特征线法可以得到通解
表达式。
幂级数法
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分方程，如线性微分方程、常系数 线性微分方程等。
01
数学家贡献
众多数学家如牛顿、莱布尼茨、欧拉、 拉格朗日等都对微分方程的发展做出了 重要贡献。
02
03
现代应用
现代科学技术领域如物理学、生物学 、经济学等广泛使用微分方程来描述 和预测现象。
差分方程的历史与发展
早期起源
差分方程起源于17世纪，主要用于解决与离散序列有关的问题。
数学家贡献
欧拉、高斯等数学家对差分方程的发展做出了重要贡献。
02
微分方程的解法
分离变量法
01
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分 方程，如波动方程、热传导方程 等。
02
03
解法描述
实例
将微分方程中的未知函数分离出 来，转化为几个常微分方程的组 合，然后分别求解。
以一维波动方程为例，通过分离 变量法可以得到波函数的形式为 y(x,t)=f(x)g(t)。
特征线法
化性能。
高性能计算与并行计算
利用高性能计算机和并行计算技术， 加速微分方程和差分方程的求解过程 。
多尺度方法
研究多尺度方法，处理不同尺度的微 分方程和差分方程，适应不同应用场 景的需求。
当前面临的挑战
算法复杂度与计算效率 由于微分方程和差分方程的复杂 性，往往需要设计高效的算法来 降低计算复杂度，提高计算效率 。
第章微分方程和差分方程
第一章 线性微分方程在讲这部分之前，我们先来看一个非常熟悉的物理问题。
一个一维粒子，初始时刻处于点0x x =，初始速度为0v ，受到阻尼作用，求该粒子的运动轨迹。
解：用()x t 表示粒子在任意时刻t 的位置，根据牛顿第二定律F ma =，有mx F =对于阻尼作用F kx =-，于是，粒子的运动方程mx kx =- 这是关于时间t 的常微分方程，非常简单。
求解得12()ek t mx t c c -=+结合初始条件0(0)x x =，0(0)x v =，则010mv c x k =+，02mvc k=- 代入得粒子的运动轨迹0()(1e )kt m mv x t x k-=+-这就是这门课程的第二部分——数学物理方程所要讨论的内容：将物理问题表述成数学方程，然后用各种方法来求解方程。
1.1 常系数齐次线性微分方程方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。
线性方程：微分方程中对于未知函数及其所有导数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上就称为非线性方程。
齐次方程：微分方程不含有不包含未知函数的项。
例如 u = 4 u xx ; 二阶线性，x 2u = u xx ; 二阶线性，(u x )2 + u 2 = 1; 一阶非线性。
一、二阶常系数齐次线性微分方程求解 二阶线性微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++=若()0f x ≡为齐次，()0f x ≠为非齐次。
方程y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数。
能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解。
第四章连续系统的离散化方法
将 K1 K 2 代入式
f f x1 x0 a1hf (t0 , x0 ) a2 h[ f (t0 , x0 ) b1h b2 hK1 ] t t t0 x x x0
a1 a2 1, a2b1 1 1 , a2b2 2 2
比较各项系数得
待定系数个数超过方程个数，必须先设定一个系数，然后即可求得其 参数。一般有以下几种取法： 1、 a1 0, a2 1, b1 b2
1
K 2 变化，而是取两者平均值 K h x1 x0 hK x0 ( K1 K 2 ) 2 h x1 x0 ( f 0 f1 ) 2
f
f0 f1
K1 K 2 2
求得校正点，即：
。
0
t0
t1
t
四阶龙格－库塔法的计算公式为：
K1 f (tk , xk )
h xk 1 xk ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6
x1 x0 hf (t0 , x0 )
其一般公式为
xk 1 xk hf (tk , xk )
f1
f
f0
c
0
t0
t1
t
h2 h3 (2) h k ( k 1) Rn f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) 称为截断误差 2! 3! k! 例4－1 用欧拉法求下述微分方程的数值解。
h h K 2 f (tk , xk K1 ) 2 2 h h K3 f (tk , xk K 2 ) 2 2 K 4 f (tk h, xk hK 3 )
X AX BU
对于用状态方程表示的高阶线性系统 Y CX
第4章 有限差分法
第 4 章
有 限 差 分 法
4.3.2 定解条件的离散化——各类差分计算格式
对于场域边界上给定的三类边界条件（见 1.7 节）， 由于第二类边界条 件可以看作为第三类边界条件的特殊情况，因此，这里只需讨论第一、第三 类边界条件的差分离散化处理。 （1） 第一类边界条件的差分离散化 若如图 4-2 点 M 所示， 划分网格时相应的网格节点恰好落在边界 L 上，则 只要直接把位函数 u| M∈ L = f(rM)的值赋给该对应的边界节点 M 即可。 若划分网格时引入的节点不落在边界 L 上， 则如图 4-3所示， 对于邻近边界的典型节点 o， 由于 h1≠ h2≠ h， 这样， o点及其周围相邻的 1、 2、 3 和 4 点构成一个不对称的星形。此时， 可仿照 4.2 节， 采用泰勒公式进行差分离散化 处理，即能相当精确地导出关于 o 点的差分计 算格式。
截断于 2hf′(x0)项， 略去了 h3项以及更高幂次的项。很明显，三种差商表达 式中以式（4-4）所示的中心差商的截断误差最小，其误差大致和 h 的二次方 成正比。 二阶导数同样可近似为差商的差商，即
这相当于把泰勒公式
截断于 h2f″(x)项， 略去了 h4项以及更高幂次的项，其误差亦大致和 h 的 二次方成正比。
理方法是依据式（4-3）， 这样， 第三类边界条件在此情况下的差分计算 格式为
第 4 章
有 限 差 分 法
当边界 L 在边界节点 o 处的外法向 n 与网格线不重合时，如图 4-5 所 示， 显然有
于是， 关于 o 点的差分计算格式是
第 4 章
有 限 差 分 法
第二种情况是在边界处引入的相应节点不落在边界 L 上， 这时如图 4-6 所示，可在邻近边界的节点 o 上仍按上述方法列出差分计算格式，只是需引 入与节点 o 相关的边界节点 o′，取点 o′处的外法向 n 作为点 o 处的“外法向 n”， 且近似地认为边界条件中给定的函数f1(ro)和 f2(ro)均在点 o′上取值。这 样，将式（4-14）中的 f1(ro)和 f2(ro)改记为 f1(ro′)和f2(ro′)，即得此种情况下关 于 o 点的差分计算格式。
过程控制第4章被控对象数学模型讲解
令T RC、K R
dh T dt h K qi
T
dh dt
h
K
qi
对上式作拉氏变换： TsH (s) H (s) K Qi (s)
H(s) K
一阶对象的传递函数：
Qi (s) Ts 1
该对象的阶跃响应： 如果qi为幅值为a的阶跃响应，则
H
(s)
K Ts 1Qi
qi C
q0
R
单位时间流入水槽的物料 — 单位时间流出水槽的物料 ＝水槽物料储藏量的变化率
qi
qo
dV dt
V Ch
qi
qo
C
dh dt
由于出口流量可以近似地表示为：
qo
h R
R：出口阀门的阻力系数、液阻（与阀门开度有关）
h dh
消去qo： qi
R
C dt
dh RC dt h R qi
根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的： q0 H / R
R：出口阀门的阻力系数、液阻（与阀门开度有关）
因此，qi H qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。 右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如
建模目的：
设计过程控制方案（被控变量及检测点选择，控制 变量的确定，控制结构形式都与对象特性有关） 整定控制器参数（控制规律的选择） 指导设计生产工艺设备 进行仿真试验研究 培训系统运行操作人员
4.2被控对象数学模型的建立
第4章系统建模理论与方法
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4 则最短停车距离的影响D因素有
①车速——车速越大，停车距离越大，则要限制最大时速。 <<中华人民共和国道路交通安全法实施条例>>规定： 高速公路车速：60~120km/h
载客汽车≤120km/h 机动车≤100km/h 摩托车≤80km/h 没有道路中心线道路： 城市道路≤30km/h，公路≤40km/h 同方向只有一条机动车道的： 城市道路≤50km/h，公路≤70km/h
平均致死率：中国27.3%、日本0.9%、美国1.3%，30分钟死 亡占85%。
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10月13日下午5时30分，佛山南海黄岐的广佛五金城里，两岁小女孩悦悦， 在路上被一辆面包车撞倒和碾轧。而之后将近7分钟时间，还有呼吸的悦悦一直 孤零零地躺在路边，18个路人先后经过，但都当没看见，而其间悦悦又被一辆货 车碾轧过去。
事故死亡人数同比上升。
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交通事故特点：
（1）下午至晚间时段交通死亡事故多发 下午至晚间时段（14:00～22:00），共死亡44835人，占总数 的45.4％。
（2）年末年初月份交通事故较多（最多11月） 低驾龄驾驶人员事故多发（三年以下驾龄司机为主）
（3）在中国，交通事故每死亡四个人中有三个是交通弱者 司机13.4%，行人和骑自行车占45%（包括骑电动自行车者）
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2011年7月4日，凌晨4时许，湖北随(州)岳(阳)高速公路229KM附 近，(湖北省仙桃市毛嘴镇珠玑村)，发生一起两车追尾的交通事故导 致翻倒燃烧。事故发生时，该客车搭载52名乘客(其中有5名儿童)，在 事发路段的应急车道内停车下客，被后面一辆满载冬瓜的“鄂FEA30 挂”大型货车追尾相撞，造成两车翻出高速公路护栏外起火燃烧，货 车驾驶员当场死亡。事故造成26人死亡、31人受伤。
《信号与系统》专业术语中英文对照表
《信号与系统》专业术语中英文对照表第 1 章绪论信号（signal）系统（system）电压（voltage）电流（current）信息（information）电路（circuit）网络（network）确定性信号（determinate signal）随机信号（random signal）一维信号（one–dimensional signal）多维信号（multi–dimensional signal）连续时间信号（continuous time signal）离散时间信号（discrete time signal）取样信号（sampling signal）数字信号（digital signal）周期信号（periodic signal）非周期信号（nonperiodic（aperiodic） signal）能量（energy）功率（power）能量信号（energy signal）功率信号（power signal）平均功率（average power）平均能量（average energy）指数信号（exponential signal）时间常数（time constant）正弦信号（sine signal）余弦信号（cosine signal）振幅（amplitude）角频率（angular frequency）初相位（initial phase）周期（period）频率（frequency）欧拉公式（Euler’s formula）复指数信号（complex exponential signal）复频率（complex frequency）实部（real part）虚部（imaginary part）抽样函数 Sa(t)（sampling（Sa） function）偶函数（even function）奇异函数（singularity function）奇异信号（singularity signal）单位斜变信号（unit ramp signal）斜率（slope）单位阶跃信号（unit step signal）符号函数（signum function）单位冲激信号（unit impulse signal）广义函数（generalized function）取样特性（sampling property）冲激偶信号（impulse doublet signal）奇函数（odd function）偶分量（even component）奇分量（odd component）正交函数（orthogonal function）正交函数集（set of orthogonal function）数学模型（mathematics model）电压源（voltage source）基尔霍夫电压定律（Kirchhoff’s voltage law（KVL））电流源（current source）连续时间系统（continuous time system）离散时间系统（discrete time system）微分方程（differential function）差分方程（difference function）线性系统（linear system）非线性系统（nonlinear system）时变系统（time–varying system）时不变系统（time–invariant system）集总参数系统（lumped–parameter system）分布参数系统（distributed–parameter system）偏微分方程（partial differential function）因果系统（causal system）非因果系统（noncausal system）因果信号（causal signal）叠加性（superposition property）均匀性（homogeneity）积分（integral）输入–输出描述法（input–output analysis）状态变量描述法（state variable analysis）单输入单输出系统（single–input and single–output system）状态方程（state equation）输出方程（output equation）多输入多输出系统（multi–input and multi–output system）时域分析法（time domain method）变换域分析法（transform domain method）卷积（convolution）傅里叶变换（Fourier transform）拉普拉斯变换（Laplace transform）第 2 章连续时间系统的时域分析齐次解（homogeneous solution）特解（particular solution）特征方程（characteristic function）特征根（characteristic root）固有（自由）解（natural solution）强迫解（forced solution）起始条件（original condition）初始条件（initial condition）自由响应（natural response）强迫响应（forced response）零输入响应（zero-input response）零状态响应（zero-state response）冲激响应（impulse response）阶跃响应（step response）卷积积分（convolution integral）交换律（exchange law）分配律（distribute law）结合律（combine law）第3 章傅里叶变换频谱（frequency spectrum）频域（frequency domain）三角形式的傅里叶级数（trigonomitric Fourier series）指数形式的傅里叶级数（exponential Fourier series）傅里叶系数（Fourier coefficient）直流分量（direct composition）基波分量（fundamental composition） n 次谐波分量（nth harmonic component）复振幅（complex amplitude）频谱图（spectrum plot（diagram））幅度谱（amplitude spectrum）相位谱（phase spectrum）包络（envelop）离散性（discrete property）谐波性（harmonic property）收敛性（convergence property）奇谐函数（odd harmonic function）吉伯斯现象（Gibbs phenomenon）周期矩形脉冲信号（periodic rectangular pulse signal）周期锯齿脉冲信号（periodic sawtooth pulse signal）周期三角脉冲信号（periodic triangular pulse signal）周期半波余弦信号（periodic half–cosine signal）周期全波余弦信号（periodic full–cosine signal）傅里叶逆变换（inverse Fourier transform）频谱密度函数（spectrum density function）单边指数信号（single–sided exponential signal）双边指数信号（two–sided exponential signal）对称矩形脉冲信号（symmetry rectangular pulse signal）线性（linearity）对称性（symmetry）对偶性（duality）位移特性（shifting）时移特性（time–shifting）频移特性（frequency–shifting）调制定理（modulation theorem）调制（modulation）解调（demodulation）变频（frequency conversion）尺度变换特性（scaling）微分与积分特性（differentiation and integration）时域微分特性（differentiation in the time domain）时域积分特性（integration in the time domain）频域微分特性（differentiation in the frequency domain）频域积分特性（integration in the frequency domain）卷积定理（convolution theorem）时域卷积定理（convolution theorem in the time domain）频域卷积定理（convolution theorem in the frequency domain）取样信号（sampling signal）矩形脉冲取样（rectangular pulse sampling）自然取样（nature sampling）冲激取样（impulse sampling）理想取样（ideal sampling）取样定理（sampling theorem）调制信号（modulation signal）载波信号（carrier signal）已调制信号（modulated signal）模拟调制（analog modulation）数字调制（digital modulation）连续波调制（continuous wave modulation）脉冲调制（pulse modulation）幅度调制（amplitude modulation）频率调制（frequency modulation）相位调制（phase modulation）角度调制（angle modulation）频分多路复用（frequency–division multiplex（FDM））时分多路复用（time–division multiplex （TDM））相干（同步）解调（synchronous detection）本地载波（local carrier）系统函数（system function）网络函数（network function）频响特性（frequency response）幅频特性（amplitude frequency response）相频特性（phase frequency response）无失真传输（distortionless transmission）理想低通滤波器（ideal low–pass filter）截止频率（cutoff frequency）正弦积分（sine integral）上升时间（rise time）窗函数（window function）理想带通滤波器（ideal band–pass filter）第 4 章拉普拉斯变换代数方程（algebraic equation）双边拉普拉斯变换（two-sided Laplace transform）双边拉普拉斯逆变换（inverse two-sided Laplace transform）单边拉普拉斯变换（single-sided Laplace transform）拉普拉斯逆变换（inverse Laplace transform）收敛域（region of convergence（ROC））延时特性（time delay）s 域平移特性（shifting in the s-domain）s 域微分特性（differentiation in the s-domain） s 域积分特性（integration in the s-domain）初值定理（initial-value theorem）终值定理（expiration-value）复频域卷积定理（convolution theorem in the complex frequency domain）部分分式展开法（partial fraction expansion）留数法（residue method）第 5 章策动点函数（driving function）转移函数（transfer function）极点（pole）零点（zero）零极点图（zero-pole plot）暂态响应（transient response）稳态响应（stable response）稳定系统（stable system）一阶系统（first order system）高通滤波网络（high-low filter）低通滤波网络（low-pass filter）二阶系统（second system）最小相移系统（minimum-phase system）维纳滤波器（Winner filter）卡尔曼滤波器（Kalman filter）低通（low-pass）高通（high-pass）带通（band-pass）带阻（band-stop）有源（active）无源（passive）模拟（analog）数字（digital）通带（pass-band）阻带（stop-band）佩利－维纳准则（Paley-Winner criterion）最佳逼近（optimum approximation）过渡带（transition-band）通带公差带（tolerance band）巴特沃兹滤波器（Butterworth filter）切比雪夫滤波器（Chebyshew filter）方框图（block diagram）信号流图（signal flow graph）节点（node）支路（branch）输入节点（source node）输出节点（sink node）混合节点（mix node）通路（path）开通路（open path）闭通路（close path）环路（loop）自环路（self-loop）环路增益（loop gain）不接触环路（disconnect loop）前向通路（forward path）前向通路增益（forward path gain）梅森公式（Mason formula）劳斯准则（Routh criterion）第 6 章数字系统（digital system）数字信号处理（digital signal processing）差分方程（difference equation）单位样值响应（unit sample response）卷积和（convolution sum）Z 变换（Z transform）序列（sequence）样值（sample）单位样值信号（unit sample signal）单位阶跃序列（unit step sequence）矩形序列 (rectangular sequence)单边实指数序列（single sided real exponential sequence）单边正弦序列（single sided exponential sequence）斜边序列（ramp sequence）复指数序列（complex exponential sequence）线性时不变离散系统（linear time-invariant discrete-time system）常系数线性差分方程（linear constant-coefficient difference equation）后向差分方程（backward difference equation）前向差分方程（forward difference equation）海诺塔（Tower of Hanoi）菲波纳西（Fibonacci）冲激函数串（impulse train）第 7 章数字滤波器（digital filter）单边 Z 变换（single-sided Z transform）双边 Z 变换(two-sided (bilateral) Z transform) 幂级数（power series）收敛（convergence）有界序列（limitary-amplitude sequence）正项级数（positive series）有限长序列（limitary-duration sequence）右边序列（right-sided sequence）左边序列（left-sided sequence）双边序列（two-sided sequence） Z 逆变换（inverse Z transform）围线积分法（contour integral method）幂级数展开法（power series expansion） z 域微分（differentiation in the z-domain）序列指数加权（multiplication by an exponential sequence） z 域卷积定理（z-domain convolution theorem）帕斯瓦尔定理（Parseval theorem）传输函数（transfer function）序列的傅里叶变换（discrete-time Fourier transform：DTFT）序列的傅里叶逆变换（inverse discrete-time Fourier transform：IDTFT）幅度响应（magnitude response）相位响应（phase response）量化（quantization）编码（coding）模数变换（A/D 变换：analog-to-digital conversion）数模变换（D/A 变换：digital-to- analog conversion）第 8 章端口分析法（port analysis）状态变量（state variable）无记忆系统（memoryless system）有记忆系统（memory system）矢量矩阵（vector-matrix ）常量矩阵（constant matrix ）输入矢量（input vector）输出矢量（output vector）直接法（direct method）间接法（indirect method）状态转移矩阵（state transition matrix）系统函数矩阵（system function matrix）冲激响应矩阵（impulse response matrix）朱里准则（July criterion）。
赵树嫄微积分第四版微分方程与差分方程简介
两边积分, g(y)d yf(x)d x
设 函 数 G (y )和 F (x )是 依 次 为 g (y )和 f(x )
的 某 个 原 函 数 ,
则 G (y ) F (x ) C 为微分方程的通解。
可分离的微分方程的解法 (1)分离变量 g(y)dyf(x)dx (2)两边同时积分
定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程.
定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数，称为微分方程的阶.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未 知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本书 中只讨论常微分方程，如下例：
yxy, 一阶 dyxd yx
22
2
s d x x i n cx s d x c l|n cx s c cx o | C t
例 求 方 程 y x 1 ( 1 y y x 2 2 )满 足 y ( 1 ) 2 的 特 解 .
解
y
1
分离变量， 1y2dyx(1x2)dx
两边积分
1l
n1(
y2)
1
2
2
x2(11x2)dx2
dx x y2 , dy y
此 即 一 阶 线 性 方 程 , 解 得 通 解 为
将y和y代入原方程 u(x 得 )eP(x)dxQ (x),
积分得 u (x )Q (x )e P (x )d x d x C ,
所以原方程的通解为:
y e P (x ) d x [Q (x )e P (x ) d x d x C ]
y e P (x ) d x [Q (x )e P (x ) d x d x C ]
第4章 用微分方程和差分方程描述的系统(TY)
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
输入信号 x(t) 常数 E
k E t k ， Ek 为常数 k 0 L
相应特解 yP (t ) 的函数形式 常数 P
m 0 m P t m L
e t ， i
Pe t
m0 m t P t m e
e ， i ， i 为 i重根
y (t ) y H ( t ) y P ( t ) 其中，特解 yP (t ) 完全由输入 x(t) 决定，通常称为系统的强迫响应; 齐次解 yH (t ) 的函数形式由表示系统特性的特征方程根 i决定，故 又称为系统的自由响应，特征根则称为系统的固有频率或自然频 率，但在 x(t ) 0时，它的 N 个待定常数 Ai或 Aik 既取决于非零附 加条件(即列矢量 y0 )，又与特解(即列矢量 yP)有关。 如果系统是零输入( x (t ) 0 )，此时 yP (t ) 0，即 yP = 0 ，故
1 0
0.5 0
x1 ( t )
t
y1 (t )
t
0.5(1 e ), t 0 y1 (t ) t0 0 , x1 (t ) 和 y1 (t ) 的波形如右图所示。
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
求解上述矢量方程，得到
a V 1[ y0 yP ] V 1 y0 V 1 yP
由此就可以确定完全解中的 N 个待定常数 Ai，确定特征根有重根 情况下的 N 个待定常数 Aik 的方法相同。
■ 自由响应和强迫响应
线性常系数微分方程和非零附加条件描述的连续时间系统， 在非零输入( x(t ) 0 )激励下，系统的全响应 y(t) 为
而用一般的N 阶线性常系数差分方程描述的离散时间系统为：
第4章 maple方程求解
1
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但是, 大量实验表明, solve 的确是一个实用的方程求解工具, 但是也不可盲目相信 它给出的一切结果, 特别是对于非线性方程而言, 对于给出的结果需要加以验证. 下面通过几个例子说明在 Maple 中非线性方程组的求解问题.
x 2 y 2 25 例：求解方程组： 2 x 9 y
可以看出, 方程解的形式是以集合的序列给出的, 序列中的每一个集合是方程的一 组解, 这样就很利于我们用 subs 把解代入原方程组进行检验： > subs(sols[2],eqns);
{ 1 1 }
> sols2:=allvalues(sols[1]);
பைடு நூலகம்
1 1 sols2 := { x 1 I 2 , y 1 I 2 } 2 2 > simplify(subs(sols2,eqns));
很多情况下, 我们知道一类方程或方程组有解, 但却没有解决这类方程的一般解法, 或者说没有解析解. 比如, 一般的五次或五次以上的多项式, 其解不能写成解析表达式. Maple 具备用所有一般算法尝试所遇到的问题, 在找不到解的时候, Maple 会用 RootOf 给出形式解. > x^7-2*x^6-4*x^5-x^3+x^2+6*x+4;
2 2
> eqns:={x^2+y^2=1,sqrt(x+y)=x-y};
vars:={x,y};
eqns := { x 2 y 2 1, x y x y }
vars := { x, y }
> sols:=solve(eqns,vars);
sols := { y RootOf( 2 _Z 2 4 _Z 3, -1.000000000 .7071067812 I ), x RootOf( 2 _Z 2 4 _Z 3, -1.000000000 .7071067812 I ) 2 }, { x 1, y 0 }
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4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
输入信号 x(t) 常数 E
k E t k ， Ek 为常数 k 0 L
相应特解 yP (t ) 的函数形式 常数 P
m 0 m P t m L
e t ， i
Pe t
m0 m t P t m e
e ， i ， i 为 i重根
●
k a k i 0 k 0 N
它的 N 个特征根通常有两种情况： ▲ N 个互不相同的单根 i ， i 1, 2, , N ▲ r 个 i 重根 i ，i 1, 2, , r ，且 1 2 r N 这两种情况下齐次解的一般函数形式为：
而用一般的N 阶线性常系数差分方程描述的离散时间系统为：
M N a k y[n k ] bk xn k k 0 k 0 附加条件：y[n0 k ] ck ， k 0, 1 N 1
附加条件是方程有唯一解的条件，前者通常是 y(t) 在某个时刻t0 的 0 到( N – 1) 阶导数值，后者则是y[n]的 N 个连贯序列值。 系统可看成两个系统的级联(见下图)，图中左边系统具有显 式的变换关系，由给定输入可以直接求得其输出 v(t) 或 v[n] ，即
v(t ) bk x (t )
(k ) k 0
M
或
v[ n] bk x[ n k ]
k 0
M
4.2 非递归系统和递归系统的级联(续)
x(t )
v(t ) bk x ( k ) (t )
k 0 M
v (t )
(k ) a y k (t ) v(t ) k 0 k
第 4 章 用微分或差分方程描述的系统
4.1 引 言
根据各自的物理原理，不同领域的实际系统的数学描述通常 都是微分或差分方程，且在大多数情况下，可合理地近似为线性 常系数微分方程或差分方程，故方程解法就成为系统的经典分析 方法。尽管这种方法目前已不占统治地位，仍然简要介绍的目的： 了解它与其他系统分析方法之间的关系，促使学生思考和比较， 并从这些不同方法产生、应用和发展的脉络得到有益的启示。 本章主要讲述： ● 微分方程和差分方程的解法。 ● 实际的因果系统及其零状态响应和零输入响应求解方法 ● 用微分方程或差分方程表示的因果 LTI 系统的单位冲激响应 ● 用微分方程或差分方程表示的因果 LTI 系统的直接模拟结构
(k ) y ( k ) (0) Ai ik yP (0) ， k 0, 1 N 1 i 1
N
它们构成确定 N 个未知量 Ai 的如下联立方程：
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
A2 AN y (0) yP (0) A1 A A A (1) (0) y (0) yP 1 1 2 2 N N 2 2 2 (2) (0) A11 A2 2 AN N y (0) yP ( N 1) ( N 1) N 1 N 1 N 1 A A A y (0) y (0) 2 2 P N N 1 1 也可以写成矢量方程形式为： Va y0 yP
N (k ) a y t x (t ) k k 0 (k ) 附加条件 ： y t 0 ck ,
k 0, 1 N 1
其中，x(t) 为系统输入，或其0 到( M – 1) 阶导数的线性组合，是给 定的，或可以直接求出的；y(t) 是要求解的系统输入；附加条件的 时刻 t0 应处在输入 x(t) 作用的区间内； ak 通常为实系数。 显然，它的求解方法，对于这类连续时间系统将不失一般性。
4.3 经典的微分方程和差分方程解法
上节把这类系统看成非递归因果 LTI 系统与递归系统级联的 概念和方法，给系统的分析和求解带来很多方便。例如，这使得 一般的N 阶线性常系数微分方程和差分方程的求解问题，简化为 上述的纯递归微分方程和差分方程的求解问题。
4.3.1 线性常系数微分方程的解法
简化了的N 阶线性常系数微分方程为
1 0
0.5 0
x1 ( t )
t
y1 (t )
t
0.5(1 e ), t 0 y1 (t ) t0 0 , x1 (t ) 和 y1 (t ) 的波形如右图所示。
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
■ 微分方程的解：特解和齐次解
按照微分方程的理论，上述 N 阶微分方程的完全解 y(t) 由齐 次解 yH (t )和特解 yP (t ) 组成，即
y(t ) yH (t ) yP (t )
齐次解 齐次解 yH (t )就是原微分方程所对应齐次方程的解，其函数形 式由 原微分方程之如下特征方程的 N 个特征根 i决定：
4.2 非递归系统和递归系统的级联
用一般的N 阶线性常系数微分方程描述的连续时间系统为：
M N a k y ( k ) (t ) bk x ( k ) (t ) k 0 k 0 (k ) 附加条件：y (t 0 ) ck ， k 0, 1 N 1
y (t ) y H ( t ) y P ( t ) 其中，特解 yP (t ) 完全由输入 x(t) 决定，通常称为系统的强迫响应; 齐次解 yH (t ) 的函数形式由表示系统特性的特征方程根 i决定，故 又称为系统的自由响应，特征根则称为系统的固有频率或自然频 率，但在 x(t ) 0时，它的 N 个待定常数 Ai或 Aik 既取决于非零附 加条件(即列矢量 y0 )，又与特解(即列矢量 yP)有关。 如果系统是零输入( x (t ) 0 )，此时 yP (t ) 0，即 yP = 0 ，故
yH (t ) Ae 2t
0.5, t 0 y1P (t ) 0, t 0
和
Ae 2t 0.5, t 0 y1 (t ) 2 t A t0 e ,
4.3.1 微分方程的解法(续)
再把 t 0 时刻的零附加条件 y1 (0) 0 代入 y1 (t )求得 A 0.5 , 故系统的输出为
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
求解上述矢量方程，得到
a V 1[ y0 yP ] V 1 y0 V 1 yP
由此就可以确定完全解中的 N 个待定常数 Ai，确定特征根有重根 情况下的 N 个待定常数 Aik 的方法相同。
■ 自由响应和强迫响应
线性常系数微分方程和非零附加条件描述的连续时间系统， 在非零输入( x(t ) 0 )激励下，系统的全响应 y(t) 为
0 时刻的零附加条件，试分别求系统在输入为
解： 在两种不同输入下系统的齐次解 yH (t )是一样的，系统的特
征方程为 2 0 ，特征根为 2，故系统的齐次解为 (1) 首先求输入为 x1 (t ) u (t )时系统的输出 y1 (t ) 。 由于在 t 0 和 t 0 时输入信号分别是常数 0 和 1 ，按照输入 P2，分 与对应的特解表，特解在这两个区间是不同的常数 P 1和 别代入原方程求得 P 1 0.5和 P 2 0 。故此时的特解和完全解为：
N
y (t )
y (t0 ) ck , k 0,1 N 1
N
x[n]
v[n ] bk x[n k ]
k 0
M
v[n]
ak y[n k ] v[n]
y[n0 k ] ck , k 0,1 N 1
k 0
y[n]
它是因果 LTI 系统，称为非递归系统；右边第二个系统的输入 v(t) 或 v[n] 和输出 y(t) 或y[n] 满足如下方程: N N (k ) a k y[n k ] v[n] a k y (t ) v(t ) 和 k 0 k 0 附加条件：y[n0 k ] c k 附加条件：y ( k ) (t ) c 0 k 附加条件 ck，k 0, 1 N 1 ，仍是原系统的 N 个附加条件。相 比于原系统，微分或差分方程右边简化了，称为(纯)递归系统。
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
齐次解的 N 个待定常数则完全由非零附加条件(列矢量 y0)决定。 【例 4.2】 已知如下一阶微分方程表示的连续时间系统：
y(t ) 2 y (t ) x (t )
பைடு நூலகம்
并给定 t
x1 (t ) u (t ) 和 x2 (t ) u (t 1) 时系统的输出。
4.3.1 线性常系数微分方程的解法(续)
A e i t , N个互不相同的单根 i i yH (t ) ir1 i Aik t k 1e i t , r个 i 重根 i i 1 k 1 其中，Ai ， i 1, 2 N 和 Aik，i 1, 2 r， k 1, 2 i ，为 N 个 待定常数。确定这 N 个待定常数需要用到系统的 N 个附加条件， 下面会专门讨论。 ● 特解 特解 yP (t ) 就是满足该线性常系数微分方程的一个解，其函数 形式由 x(t) (或方程右边)的函数形式决定。下面表中列出了几种 常见的 x(t) 及其所对应特解的函数形式，表中的 i 是微分方程的 特征根，特解的待定系数 P 或 Pm可以通过将此特解函数形式代入 原方程，并使方程两边相等而获得的、P 或 Pm为未知量的代数方 程或联立方程求解来确定，具体确定方法可见下面的例题。
y (t ) A e i t , N个互不相同的单根 i i P i 1 y(t ) r i yP (t ) Aik t k 1e i t , r个 i 重根 i i 1 k 1
■ 确定待定常数 Ai 或 Aik
(k ) 附加条件 y (0) ck ， k 0, 1 N 1，给出在 x(t) 作用的 区间内某 t0 (这里假设 t0 0 也不失一般性)时刻 y(t) 的 0 到( N – 1) 阶导数值。这里以 N 个单根的情况为例，讨论确定 N 个待定常数 的方法。利用完全解的函数形式可以列出如下 N 个代数方程：