第三章流体动力学基础

选定某一空 间固定点
记录其位 移、速度、 加速度等随 时间的变 化情况
综合流场中 许多空间点 随时间的变 化情况
3. 研究对象
流场
4、欧拉变数：空间坐标（x，y，z）称为欧拉变数 流场分布
3.1 流场及其描述方法
二、欧拉法（续）
4.运动描述
二、欧拉法（续）
4.加速度及其他物理量的时间变化率
（1）流体质点运动的加速度
三、流管 流束和总流 1. 流管 流束
流动的分类
一、定常流动和非定常流动（续）
流动参量随时间变化的流动。
v = v ( x, y , z , t ) p = p ( x, y , z , t )
= ( x, y , z , t )
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数， 而且与时间有关。 （） 即： 0 t
3.2
u x u u u + u x x + u y x + u z x = 2 + 7.4 3 + 2.3 1 + 3.3 0 = 26.5 t x y z u y u y u y u y ay = + ux + uy + uz = 1 + 0 7.4 + 2.3 (−1) + 3.3 2 = 5.3 t x y z u u u v az = z + u x z + u y z + u z = 1 + 7.4 2 + 2.3 0 + 3.3 (−1) = 12.5 t x y z
电话号码
3.1 流场及其描述方法
一、拉格朗日法（续）
5、优缺点： √ 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程 × 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用 (流体的 振动和波动问题)
欧拉法
通过描述物理 量在空间的分 布来研究流体 运动的方法。
站岗、流场法
着眼于研究空间 固定点的情况
要点：1、分析某固定位置处，流体运动要素随时间的变化规律； 2、分析由某一位置转移到另一位置时，运动要素随位置变化的 规律。
ax =
例题
已知流速场u x = 2t + 3x + y；u y = t − y + 2 z；u z = t + 2 x − z。 试求当t = 2时，某空间点（0.9,0.7,0.5）上质点的加速度a。
解：将t = 2，x = 0.9, y = 0.7, z = 0.5代入上述流场各方程式。
u x = 2t + 3 x + y = 2 2 + 3 0.9 + 0.5 = 7.4； u y = t − y + 2 z = 2 - 0.7 + 2 0.5 = 2.3 u z = t + 2 x − z = 2 + 2 0.9 - 0.5 = 3.3。
v2
dx dy dz = = ux u y uz
s
迹线、流线区别：
迹线
定义
质点的运动轨迹
流线
某一瞬时，速度方向线 欧拉法
❖ 驻点速度为0。如图 A点。
❖ 奇点(源点、汇点） 速度无穷大。如图 B点。
研究方法
拉格朗日法
微分方程
在驻点和奇点处，流线可以相交
dx dy dz = = = dt ux u y uz
1
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3.1 流场及其描述方法
x = x (a，b，c，t ) y = y(a，b，c，t ) z = z (a，b，c，t )
4、几点说明：
A、对于某个确定的流体质点，（a，b，c）为常数，t为变量——轨迹 B、t为常数，（a，b，c）为变量——某一时刻不同流体质点的位置分布 C、a，b，c为Lagrange变量，不是空间坐标函数，是流体质点的标号
dx dy dz = = ux u y uz
5
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例题
已知流场中质点的速度为
u x = kx u y = − ky( y 0) uz = 0
试求流场中质点流线方程和迹线方程
求流线方程
❖ 求迹线方程
dx dy dx dy = = ux u y kx − ky 消去k，积分得 ln x = − ln y + ln c xy = c
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3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
流场及其描述方法 流动的分类 流体流动的基本术语和概念 系统与控制体 一维流动的连续方程 理想流体一维稳定流动伯努利能量方程 沿流线主法线方向的压力和速度变化 粘性流体总流的伯努利方程 伯努利方程的应用 动量方程和动量矩方程
第三章 流体动力学基础
3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
主要内容
❖ ������ 基本概念 ❖ ������ 欧拉运动微分方程（欧拉方程） ❖ ������ 连续性方程——质量守恒* ❖ ������ 伯努利方程——能量守恒** 重点 ❖ ������ 动量方程——动量守恒** 难点 ❖ ������ 方程的应用
3.1 流场及其描述方法
描述流体运动的方法 流体只能在固体壁面所限制的空间内外进行运动；
流场 —— 充满运动流体的空间称为流场
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数 个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据 的空间。 流场中流体质点的连续性决定表征流体质点运动和物性 的参数（速度、加速度、压强、密度等）在流场中也是连续 的。并且随时间和空间而变化。
5、欧拉法的优越性： A、利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工 具来研究。
B、采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二 阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微 分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。 C、在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点 原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。 拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便。
2 2 a = ax + ay + az2 = 29.78
3.2
流动的分类
3.2
1. 定常流动
流动的分类
❖ 按照流体性质分： ➢ 理想流体的流动和粘性流体的流动 ➢ 可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动 ❖ 按照流动状态分： ➢ 定常流动和非定常流动 ➢ 有旋流动和无旋流动 ➢ 层流流动和紊流流动 ❖ 按照流动空间的坐标数目分： ➢ 一维流动、二维流动和三维流动
dx dy = u x = kx, = u y = −ky dt dt 分离变量并积分 ln x = kt + ln c1 ln y = −kt + ln c2 其中，c1 , c2是积分常数。从两式消 去参数t得迹线方程 xy = c1c2
3.3
流体流动的基本术语和概念
3.3
流体流动的基本术语和概念
矢量形式
或
a=
v + (v )v t
2
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二、欧拉法（续）
质点加速度：
a=
当地加速度
3.1 流场及其描述方法
二、欧拉法（续）
4.加速度及其他物理量的时间变化率（续）
（2）其他物理量的时间变化率
d = + (v ) dt t
dv v = + ( v ) v dt t
)
4
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3.3
曲线AB就是质点M的迹线。
dl u= dt
流体流动的基本术语和概念
二、流线 1. 定义
在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此 线在该点的切线重合，则这条线称为流线。适于欧拉方法。
u6 u1 u2 3
流线
迹线微分方程
u3 4
dx dy dz = = = dt ux u y uz
1. 定义
一维流动 二维流动 三维流动
流动的分类
v = v( x) v = v( x, y) v = v( x, y, z )
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体 情况加以简化。
二、一维流动、二维流动和三维流动 流动参量是几个坐标变量的函数，即 为几维流动。
三维流动: 速度场必须表示为三个方向坐标的函数
迁移加速度
质点全导数：
全导数
d = + ( v ) dt t
迁移导数 当地导数
压强的质点导数
dp p = + (v ) p dt t
密度：
dρ ρ = + v ρ dt t
dρ ρ ρ ρ ρ = + ux + uy + uy dt t x y z
3.1 流场及其描述方法
❖ 解这个方程并消去参 数t，可得到迹线方程
1
2
5
6 u 5
u4
不同边界的流线图
3.3
流体流动的基本术语和概念
3.3
流体流动的基本术语和概念
v1
交点
二、流线（续）
二、流线（续）
ds dx = u ux ds dy = u uy ds dz = u uz
2. 流线微分方程
u = u( x, y, z, t )
u x = u x ( x, y, z , t ) u y = u y ( x, y, z , t ) u = u ( x, y, z , t ) z z
ax =
dux u x u x dx u x dy u x dz = + + + dt t x dt y dt z dt
3. 流线的性质
（1）流线彼此不能相交。 （2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点。 （3）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化。 （4）流线簇（谱）的疏密反应了流速的大小 （流线密集，流速大。流线稀疏，流速小）
v2
s1
s2
v1
折点
u dx cos(u , x) = x = u ds u y dy cos(u , y ) = = u ds u dz cos(u , z ) = z = u ds
一、定常流动和非定常流动
流动参量不随时间变化的流动。
v = v ( x, y , z ) p = p ( x, y , z )
= ( x, y , z )
特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数， 而与时间无关。 即：
（） ＝0 t
3
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3.2
2. 非定常流动
ux = dx dy dz , u y = , uz = dt dt dt
流速场：
压强场： 密度场：
p = p ( x, y , z , t )
= ( x, y, z, t )

其他物理量（N）场：
N = N( x, y, z, t )
u x u u u + ux x + u y x + uz x t x y z u y u y u y u y ay = + ux + uy + uz t x y z u u u u az = z + u x z + u y z + u z z t x y z ax =
u = u (a，b，c，t )＝ x(a，b，c，t ) t y (a，b，c，t ) v = v(a，b，c，t ) = t z (a，b，c，t ) w = w(a，b，c，t ) = t
着眼于流体质点
2. 研究对象 流体质点
流场分布
流体质点的加速度：
3.1 流场及其描述方法
拉格朗日法
1.定义 跟踪个别 流体质点 研究其位 移、速度、 加速度等随 时间的变 化情况 综合流场中 所有流体质 点的运动
又称随体法
3.1 流场及其描述方法
一、拉格朗日法（续）
3.方程
流体质点的位置坐标： 速度：
x = x (a，b，c，t ) y = y(a，b，c，t ) z = z (a，b，c，t )
u(a，b，c，t ) 2 x (a，b，c，t ) = t t 2 v (a，b，c，t ) 2 y(a，b，c，t ) a y = a y (a，b，c，t ) = = 2 t t w (a，b，c，t ) 2 z (a，b，c，t ) a y = a y (a，b，c，t ) = = 2 t t a x = a x (a，b，c，t )＝
3.3
一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ迹线
1. 定义
流体流动的基本术语和概念
拉格朗日方法
v=v ( x, y, z, t)
二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数 v=v ( x, y, t) 或 v=v (
流体质点在一段时间内运动所经过的路线
r, z, t)
一维流动: 速度场可表示为一个方向坐标的函数 v=v( x ) 或 v=v ( s