编号6 山西大学附中高三年级 函数及其表示
山西大学附中2020—2021学年第一学期高三年级第四次模块文科数学答案
山西大学附中2020—2021学年第一学期高三年级第四次模块诊断数学(文)试题评分细则 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）二. 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．20.5 14. > 15. ① ②③ 三．解答题 17．（满分12分）解：（1）可得：cos sin sin )cos 0B C B C --=………1分 即：sin cos 0A C =．………2分 由正弦定理可知：sin sin a c AC =，∴sin 3cos 0a CC c-=，………4分sin cos 0a C C ∴=，1c =，可得tan C =，………5分C 是三角形内角，3C π∴=．………6分（2）3C π=，3a b =，∴由正弦定理可得32sin sin sin()3b a bB A B π==-，………7分可得2sin()3sin 3B B π-=1sin 3sin 2B B B +=，可得tan B ，………8分 222222111cos2114cos B sin B tan B B cos B sin B tan B --∴===++，2222sin cos 2tan sin 21B B B B sin B cos B tan B ==++，………10分 11113cos(2)cos(2)cos2cos sin 2sin 33321414B C B B B πππ∴-=-=+=⨯=．………12分 18．（满分12分）解：（1）因为100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占25， 所以50岁以下的确诊人数为4，50岁及以上的确诊人数为6． 因为50岁及以上的共有40人，即50岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率为640； 列联表补充如下，50岁以下 4 56 60 合计 1090100………2分则22100(656434)501.852 3.8411090406027K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，………5分所以没有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关．………6分（2）现从已确诊的病人中分层抽样抽出5人观察恢复情况，则抽取的5人中，有3人50岁及以上，分别记作,,a b c ；2人50岁以下，记作,d e .………7分 从中任取3人,可能的不同结果有:,,,;;,;;abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde ；,共10种不同的情形，………9分恰有两人50岁及以上的情况有,abd abe ，,acd ace ，,bcd bce 共6种不同的情况，………11分 由于每种情况都是等可能的，∴恰有2人为50岁及以上的概率为63105=.………12分 19．（满分12分）解：（Ⅰ）由,DE EC PD PC ==可知E 为等腰PDC △中DC 边的中点，故PE AC ⊥，………1分 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC = ,PE ⊂平面PAC ，PE AC ⊥，………2分PE ∴⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC PE AB ∴⊥，,………4分 又AB BC ⊥，EF // BC ，所以,AB EF PE EF E AB ⊥⋂=∴⊥，平面PEF .………6分 （Ⅱ）设BC x =，在直角三角形ABC 中，236AB x =-，12ABCSAB BC =⋅⋅，即21362ABCS x x =- ………7分EF // BC 知AEF 相似于ABC ，所以49AEF ABCSS=， 由12AD AE =，得21369AFDS x x =-，………8分 从而四边形DFBC 的面积为273618x x -，………9分 由（Ⅰ）可知PE 是四棱锥P DFBC -的高，23PE =， 所以21736237318P DFBC V x x -=⨯-⨯=，………10分所以42362430x x -+=，所以3x =或x = 所以3BC =或BC =………12分 20．（满分12分）解：（1）依题意227a b a b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，………1分 解得224,3a b ==，………3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，直线AM ，BM 的倾斜角互补，所以120k k +=.………5分当直线l 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =-， 代入椭圆C 的方程，整理得()22223484120kxk x k +-+-=，………7分设()()1122,,,A x y B x y ，则221212228412,3434k k x x x x k k-+==++，………8分 ()()()()122112121221444444y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----， ()()()()()()122121141444k x x x x x x --+--⎡⎤⎣⎦=--，………9分因为()()()()()122112121414258x x x x x x x x --+--=-++，()2222223224412825880343434k k k k k k -+-=⨯-⨯+=+=+++，………11分所以120k k +=.………12分21．（满分12分）解：（1）232()3(3)x x x f x x e x e x e x '=+=+，………2分令()0f x '，得3x -，则()f x 的单调递增区间为[3-，)+∞；………3分 令()0f x '<，得3x <-，则()f x 的单调递减区间为(,3)-∞-；………4分 （2）当0x =时，不等式2()f x mx ，即00，显然成立，………6分当0x ≠时，不等式2()f x mx 对x R ∈恒成立，等价于x m xe 对x R ∈恒成立，………7分设()(0)x g x xe x =≠，()(1)x g x x e '=+，………8分 令()0g x '<，得1x <-，………9分令()0g x '>，得1x >-，且0x ≠，………10分 所以1()(1)min g x g e=-=-，………11分所以1m e -，即m 的取值范围为(-∞，1]e-．………12分22．（满分10分）解：（1）曲线1C 的参数方程为22211(21t x t t ty t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩为参数），由于22221()1t x t +=-①，2222()1t y t =-，②， ① -②得：221x y -=．根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩整理得21cos2ρθ=．………3分 曲线2C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），转换为普通方程为224x y x +=．转换为极坐标方程为4cos ρθ=．………5分（2）射线6πθ=与曲线1C 和曲线2C 分别交于A ，B，所以A ρ=………7分4cos6B πρ==，………9分所以||||A B AB ρρ=-=PAB ∆的面积为………10分 23．（满分10分）解：（1）当2a =时，()(1)|2|2|2|f x x x x =---- 2256,2(3)|2|56,2x x x x x x x x ⎧-+=--=⎨-+-<⎩．………2分()0f x <，∴22560x x x ⎧⎨-+<⎩或22560x x x <⎧⎨-+-<⎩， 23x ∴<<或2x <，………4分∴不等式的解集为{|232}x x <<或x<．………5分（2）f （2）f +（3）|2|2|3|2a a =-+-- 310,3|2|2|3|22,2336,2a a a a a a a a ->⎧⎪=-+--=-+⎨⎪-+<⎩，………7分∴关于a 的函数f （2）f +（3）在(,3)-∞上单的递减，在(3,)+∞上单的递增，………9分 ∴当3a =时，f （2）f +（3）的最小值为1-．………10分。
山西大学附属中学2019高三年中考试试题--数学(理)
山西大学附属中学2019高三年中考试试题--数学（理）高三年级数学〔理科〕试卷一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的.1. 设全集R ，假设集合}1|12|{},3|2||{>-=≤-=x x B x x A ，那么)(B A C R为〔 〕A 、}51|{≤<x xB 、}51|{>-≤x x x 或C 、}51|{>≤x x x 或D 、}51|{≤≤-x x1|1|->-x x x x 的解集为}10|{<<x x ，那么〔〕 A 、“p 或q ”为假命题B.“p 且q ”为真命题C.“┒p 或q ”为假命题D.“┒p 且q ”为真命题 3.{}n a 为等比数列，假设1064=+a a ，那么9373712a a a a a a ++的值为〔〕A.10B.20C.60D.1004.直线a 和平面,αβ,,,l a a αβαβ⋂=⊄⊄,且a 在,αβ内的射影分别为直线b 和c ,那么b 和c 的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交﹑平行或异面 5.,2tan =θ那么)sin()2sin()cos()2sin(θπθπθπθπ-----+等于〔〕A.2B.-2C.0D.326.一个几何体的三视图如下图,且其侧视图是一个等边三角形,那么那个几何体的体积为() A.()334π+ B.()34π+C.()238π+D.()638π+7.函数)1,0(23≠>-=+a a a y x 的图像恒过定点A ，假设点A 在直线1-=+nym x上，且0,>nm ，那么n m +3的最小值为〔〕A.13B.16C.2611+.D.28. 8、假设函数21()log ()2a f x x ax =-+有最小值，那么实数a 的取值范围是〔〕A 、〔0，1〕B 、(0，1)∪(1，2)C 、(1，2)D 、[2，+∞)9.在△ABC 中，∠C=900，∠B=300，AC=1，M 为AB 中点，将△ACM 沿CM使A 、B 间的距离为2，那么M 到面ABC 的距离为〔〕A..21 B..23 C.1.D..2310.假设函数,,cos 3sin )(R x x x x f ∈+=ωω又,0)(,2)(=-=βαf f 值为,43π那么正数ω的值为〔〕A.31B.32C.34D.23.11.A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足111(2)322OP OA OB OC →→→→=++，那么点P 一定为三角形的〔〕 A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点〔非重心〕 C.重心D.AB 边的中点 12.函数⎩⎨⎧>+-≤+=0,120,1)(2x x x x x x f ，假设关于x 的方程0)()(2=-x af x f 恰有5个不同的实数解，那么a 的取值范围是〔〕A.〔0,1〕B.〔0,2〕C.〔1,2〕D.〔0,3〕二.填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分 13.假设点P 〔x ，y 〕满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-002303y y x y x ，点A 〔3，3〕，O 为坐标原点，那么→→⋅OPOA 的最大值________.14.如图，四边形ABCD 为菱形，四边形CEFB 为正方形，平面ABCD ⊥平面CEFB ，CE=1，∠AED=300，那么异面直线BC 与AE 所成角的大小_________. 15.数列{}n a 满足*1331(,2)n n n a a n N n -=+-∈≥，且,51=a 假设*1()()3n n n b a t n N =+∈且{}n b 为等差数列,那么t=________。
高二语文测试卷：山西大学附中高三数学上册9月抽考试卷
高二语文测试卷：山西大学附中高三数学上册9月抽考试卷(含解析)山西大学附中高三九月月考试题(文科)一.选择题：1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设集合, , 则A∩B=A. B. C. D.3.设全集U=R，A= ，则右图中阴影部分表示的集合为A. B. C. D.4. 若是正数，且，则有A.最大值16B.最小值C.最小值16D.最大值5.函数的单调递增区间为()A. B. C. D.6.已知方程有一负根且无正根，则实数的取值范畴是A. B. C. D.7.命题“存在R，0”的否定是A. 不存在R, 0B. 存在R, 0C. 对任意的R, 0D. 对任意的R, 08.若不等式的解集为,则实数的取值范畴是A B C D9.已知命题，命题恒成立。
若为假命题，则实数的取值范畴为(A、B、C、D、10.已知平面平面, =c，直线直线不垂直，且交于同一点，则“”是“”的A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充要条件11. 函数的图像能够是A B C DA B C D12.设函数，若时，恒成立，则实数的取值范畴为A. B. C. )D.二.填空题：13.已知，则=_________________14. 满足约束条件，则的最大值是_____最小值是_______15.已知函数满足，则=_______16.关于函数，有下列命题：①其图象关于轴对称;②当时，是增函数;当时，是减函数;③的最小值是;④在区间(-1，0)、(2,+∞)上是增函数;⑤无最大值，也无最小值.其中所有正确结论的序号是山西大学附中高三九月月考(文科)答题纸一.选择题题号12345678[ 9101112答案二.填空题13_____________14_____,_________15________________16_________ ______三.解答题：17. 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中，是的中点.侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.(1)求出该几何体的体积;(2)求证：EM∥平面ABC;18.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球(I)试问：一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;(Ⅱ)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。
山西省山西大学附属中学2019届高三数学上学期11月月考试题 理
2018~2019学年高三第一学期11月模块诊断数学试题（理科）考试时间：110分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(1)0}A x x x =-≤，{|1}x B x e =>，则()R A B =（ ）A 。
[1,)+∞ B.(1,)+∞ C 。
(0,1) D.[0,1]2．下列判断错误．．的是（ ） A ．“22bm am <"是“b a <”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x "C ．若,p q 均为假命题，则q p ∧为假命题D ．命题“若21x =，则1x =或1x =-”的逆否命题为“若1x ≠或1x ≠-，则21x ≠"3．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象对应的函数解析式是( )A.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B 。
cos2y x = C 。
sin2y x = D.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式(1)(22)0f x f x ++->的解集是（ ) A 。
1(,)3-∞- B.1(,)3-+∞ C.(,3)-∞ D.(3,)+∞5.设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6。
已知函数()lg ,010,16,02x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-+⎪⎩＜＞1若c b a ,,互不相等，且()()()f a f b f c ==,则abc 的取值范围是（ )A 。
山西大学附中高三数学高三年级8月(总第一次)考数学试题理(1)
山西大学附中2020—2021学年第一学期高三年级8月（总第一次）模块诊断数学 试 题（理）考查时间： 120分钟 满分： 150 分 考查内容：高中全部一、选择题（每小题5分，共计60分）1．己知集合{}223A x x x =-≥，{}04B x x =<<，则AB =（ ） A ．()1,4-B ．(]0,3C ．[)3,4D ．()3,4 2．已知复数z =，则||z =（ ） A ．1 B ．2 CD3．在等比数列{}n a 中，,64,261==a a 则数列{n a 前7项的和=7S （ ） A ．253B ．254C ．255D ．256 4．函数ln ||cos ()sin x x f x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比12m =的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin18︒,则22cos 271=︒-( ). A ．4 B1 C ．2 D16．若非零向量、=且⊥+（2，则与的夹角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π67．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法，某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（ ）A ．455314105322C C C A A B ．455214105233C C C A A C ．4551410522C C C A D ．45514105C C C8．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的一条渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为A ．B．3 C．5 D ．62 9．设0sin a xdx π=⎰，则二项式6(展开式的常数项是（ ） A ．160 B ．20 C ．-20 D ．-16010．将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．函数()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上最大值是1 11.如图，过抛物线x y 32=的焦点F 的直线交抛物线于点、A B ，交其准线l 于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则=AB （ ）A ．4B ．6C ．8D ．1012．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足()()1ln 20f x f x x x x++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[),e +∞B ．()2,2e -C ．(),2e -D ．[),e -+∞二、填空题（每小题5分，共计20分）13．函数()2ln f x x x =-在点()1,1处的切线方程为______________.14.若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≤--0303403y x y x y x ，则y x z 2-=的最大值为_____．15．()()202022020012202012x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈ ，则1352019a a a a +++⋅⋅⋅+的值为_____.16．已知三棱锥P ABC -，面PAB ⊥面ABC ，4PA PB ==，AB =90ACB ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_____.三、解答题（17-21题每题12分，18题10分，共计70分）17．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.18．在数列{}n a 中，112a =，1(42)(21)n n n a n a +-=+. （1）设21n n a b n =-，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：3n S <.19．在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形，60,BAD PA PD ∠==.(1)证明: BC PB ⊥；(2)若,PA PD PB AB ⊥=,求二面角A PB C --的余弦值.20．已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点，点1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，且12PF F △的面积为2. （1）求椭圆C 的方程； （2）设过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22F A F B ⋅的取值范围.21．已知函数()cos x f x x=，()sin cos g x x x x =+. （1）判断函数()g x 在区间()0,2π上的零点的个数；（2）记函数()f x 在区间()0,2π上的两个极值点分别为1x 、2x ，求证：()()12 0f x f x +<.22．在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为12sin 4cos 42=-+θρθρρ，直线l 的参数方程为)(sin 2cos 1为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=+-=αα.点P 为曲线E 上的动点，点Q 为线段OP 的中点. （1）求点Q 的轨迹(曲线C )的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于B A ,两点，点)2,1(-M 恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程.。
山西省山大附中2022届高三数学10月月考试题 文
山西大学附中202X~202X 学年第一学期高三（10月）月考数学试题（文） （考查时间：120分钟）一．选择题（每小题5分，共60分）1 已知全集{}{}2,|20,|220,x U R A x x x B x ==-<=-≥则()U A C B =（）A ．{}|02x x <<B ．{}|01x x <<C ．{}|01x x <≤D ．{}|02x x <≤ 2复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（）A ．(1,1)(1,1)-(1,1)--(1,1)-老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算S ＝1＋＋＋＋”．发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是4对任意x R ∈，2|2||3|4x x a a -++≥-恒成立，则a 的取值范围是（）[1,5]-(1,5]-[1,5)-(1,5)-在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若CB CA CD DB AD λ+==31,2，则λ=A ．32B ．31C ．31-D ．32-6设0＜a ＜1，函数2()log (22)x x a f x a a =--，则使()0f x <的的取值范围是A ．(,0)-∞(0,)+∞(,log 3)a -∞(log 3,)a +∞已知为等比数列，n s 是它的前n 项和。
若2312a a a ⋅=，且与72a 的等差中项为54，则=（）A ．35333129设)(x f 为偶函数，对于任意的0>x 的数，都有)2(2)2(x f x f --=+，已知4)1(=-f ，那么)3(-f 等于（）22-88-设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围是（）A ]6,3[ ]34,3[+]6,34[-]34,34[+-双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率等于（）A ．25B ．5C ．6D ．26 11．已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，则)2(f 等于1118111817181111ABCD A BC D -2,长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动,另一端点N 在正方形ABCD 内运动,则MN 的中点的轨迹的面积（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π二、填空题：（每小题5分，共20分）13．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况， 抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)60,50元的同学有30人，则n 的值为____． 14．幂函数3222)14(--+-=m m x m m y 的图像过原点，则实数m 的值等于15设A B C D 、、、是半径为的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△、△ACD 、△的面积，则123S S S ++的最大值是16．给出以下四个命题：①已知命题:p 2tan ,=∈∃x R x ；命题01,:2≥+-∈∀x x R x q 则命题q p 且是真命题；②过点)2,1(-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是01=-+y x ；③函数()223x f x x =+-在定义域内有且只有一个零点； ④若直线01cos sin =++ααy x 和直线1cos 102x y α--=垂直，则角2().26k k k ππαπαπ=+=+∈Z 或其中正确命题的序号为．（把你认为正确的命题序号都填上）山西大学附中10月月考数学（文科）答卷纸一．选择题（每小题5分，共60分）1二．填空题：（每小题5分，共20分）三、解答题：（本大题共70分）17（本小题10分）已知A ,B ,C 为锐角的三个内角，向量m (22sin ,cos sin )A A A =-+,n (1sin ,cos sin )A A A =+-，且n m ⊥．（I ）求A 的大小；（II ）求222sin cos(2)3y B B π=+-取最大值时角B 的大小．18（本小题12分）已知各项都不相等的等差数列的前6项和为60，且为和的等比中项（I）求数列的通项公式；前项和。
山西山西大学附属中学校导数及其应用多选题试题含答案
山西山西大学附属中学校导数及其应用多选题试题含答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=， 因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111lnln1f x f x x x fx x x xx⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x fx=，因为()f x在(0,)+∞单调递减，所以121xx=，即121=x x，同理可知，若120,0x x<<时，可得121=x x，所以D正确.故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.3．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点()00,P x y处与曲线C相切；（ii）曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是（）A．直线:0l y=在点()0,0P处“切过”曲线3:C y x=B．直线:1l x=-在点()1,0P-处“切过”曲线()2:1C y x=+C．直线:l y x=在点()0,0P处“切过”曲线:sinC y x=D．直线:l y x=在点()0,0P处“切过”曲线:tanC y x=【答案】ACD【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C对应函数的导数，求出曲线C在点P处的切线方程，再由曲线C在点P处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'， 所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.4．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数． 当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥． 故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．5．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+- C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； 对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③； 对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）6．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e >B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.7．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.8．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。
山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -2．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．315．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．A B C D 6．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．36以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 9．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+10．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届山西省山西大学附属中学高三下学期3月模块诊断数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届山西省山西大学附属中学高三下学期3月模块诊断数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B ⋂=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C先求出A B ⋂，再结合题意即可求出结果. 解：()1,8A =-Q ，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5,82A B ⎛⎫∴⋂= ⎪⎝⎭，()5Z A B ∴⋂=.故选C点评：本题考查集合的交集，考查运算求解能力与新定义的理解能力，属于基础题型. 2．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i + D ．12i -答案：B根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可. 解：由()1243i z i +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2z i =+． 故选：B 点评：本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题. 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<答案：C利用指数函数和对数函数单调性可得到0.632log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可得大小关系. 解：()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.故选：C . 点评：本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ） A ．25B ．425C ．25π D ．1625π答案：D根据几何概型面积型计算公式直接求解即可. 解：由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆． 故选：D 点评：本题考查了几何概型面积型计算公式，属于基础题.5．命题p ：,x y R ∈，222x y +<，命题q ：,x y R ∈，2x y +<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：A222x y +< 表示的范围，用图像来表示就是以(0,0) 为半径的圆内；q ：,x y R ∈，2x y +< 表示以()()()()0,2,0,2,2,0,2,0-- 为顶点的菱形；画出图像知道菱形包含了圆形；故p 范围比q 范围小，根据小范围推大范围，得p 是q 的充分非必要条件； 故选A点睛：充分必要条件中，小范围推大范围，大范围推不出小范围；这是这道题的跟本； 再者，根据图像判断范围大小很直观，快捷，而不是去解不等式；6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ）A ．2018?n „B ．2019?n „C ．2020?n „D ．2021?n „答案：B执行程序框图，从1n =开始运行，当运行求出2020a 的值，然后对判断框进行判断即可. 解：由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+，211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ， 则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时，则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =． 故选：B 点评：本题考查了对程序框图中的判断框的判断，属于基础题. 7．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．答案：D利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。
山西大学附属中学2019届高三上学期11月月考数学理科试题
绝密★启用前山西大学附属中学2019届高三上学期11月月考诊断理科数学试题考试时间：110分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|(1)0}A x x x =-≤，{|1}x B x e =>，则()R A B =ð( ) A.[1,)+∞ B.(1,)+∞ C.(0,1) D.[0,1]2．下列判断错误．．的是（ ） A ．“22bm am <”是“b a <”的充分不必要条件 B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若,p q 均为假命题,则q p ∧为假命题D ．命题“若21x =,则1x =或1x =-”的逆否命题为“若1x ≠或1x ≠-,则21x ≠” 3．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象对应的函数解析式是( ) A.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.cos2y x = C. sin2y x = D.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式(1)(22)0f x f x ++->的解集是( ) A.1(,)3-∞- B.1(,)3-+∞ C.(,3)-∞ D.(3,)+∞ 5.设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b <<6.已知函数()lg ,010,16,02x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-+⎪⎩＜＞1若c b a ,,互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A.()1,10B.()5,6C.()10,12D.()20,24 7．已知ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，若 4,2AB AC ==，2APQ S ∆=,则2AB ACBC ⋅+的值为( )A.20±8±12± D. ±8.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．89.,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，下列命题正确的个数是（ ）①如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥.②如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥.③如果//,m αβα⊂，那么//m β.④如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.A.1个B. 2个C.3个D.4个10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( )11．函数()cos 0)3(f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π内的值域为1,21⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是( ) A.35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 23,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 23,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A. 1[,1]1e e e --- B. 1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D.1(1,)1e e e-- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省山西大学附属中学校2022届高三三模(总第七次模块)理科数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 已知向量，若，则实数（ ）A ．1B．C．D ．22. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点（其中点在第一象限），点，分别为，的内心，为坐标原点，则的面积的取值范围是（ ）A．B ．[，）C ．（，1）D ．[1，）3. 复数（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A ．iB ．-iC ．1D ．-14. 设m ，n 是不同的直线，是平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5. 已知集合，集合中元素的个数为A ．4B ．3C ．2D ．16.已知曲线在处的切线为，则的斜率为（ ）A．B．C ．1D．7.已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）A．B．C．D．8.如图，在正四面体（所有棱长均相等）中，平面分别交于点，其中分别为棱的中点，不是棱的中点，则A．B．C．D ．以上都有可能9. 已知函数是的两个极值点，且，下列说法正确的是（ ）A．B ．在上的单调递增区间为C ．在上存在两个不相等的根D ．若在上恒成立，则实数的取值范围是10.已知为双曲线（，）右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，是的内心，双曲线的离心率为，，，的面积分别为，，，且，下列结论正确的为（ ）A．B．山西省山西大学附属中学校2022届高三三模（总第七次模块）理科数学试题 (2)山西省山西大学附属中学校2022届高三三模（总第七次模块）理科数学试题 (2)三、填空题四、解答题C ．在定直线上D ．若，则或11. 记考试成绩的均值为，方差为，若满足，则认为考试试卷设置合理．在某次考试后，从20000名考生中随机抽取1000名考生的成绩进行统计，得到成绩的均值为63.5，方差为169，将数据分成7组，得到如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，则（）A ．本次考试成绩不低于80分的考生约为5000人B．C ．本次考试成绩的中位数约为70D ．本次考试试卷设置合理12. 口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（ ）A．与互为对立B．与互斥C．与相互独立D．与相互独立13.已知向量，，则＝________．14. 饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子3个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取3个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为___________.15. 已知两点，，若向量与垂直，则__________．16. 《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面，为的中点.(1)求证：平面；(2)若，求证：.17. 近年来，网络电商已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的消费方式为了更好地服务民众，某电商在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对商品状况和优惠活动的评价现从评价系统中随机抽出200条较为详细的评价信息进行统计，商品状况和优惠活动评价的2×2列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对商品状况好评10020120对商品状况不满意503080合计15050200（I）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系？（Ⅱ）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种优惠券用户每次使用APP购物后，都可获得一张优惠券，且购物一次获得1元优惠券，2元优惠券的概率分别是，，各次获取优惠券的结果相互独立若某用户一天使用了APP购物两次，记该用户当天获得的优惠券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K2，其中n＝a+b+c+d18. 在平面图形中，四边形是边长为2的正方形，，将沿直线折起，使得平面垂直于平面，是的重心，是的中点，直线与平面所成角的正切值为.（1）求棱锥的体积；（2）求平面与平面所成的角.19. 为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，去年七月某医院从在本院体检中心体检的成年人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：，，，，，其频率分布直方图如图1所示．今年某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果．经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示．（1）设去年七月该医院体检中心共接待5000名成年人体检，试估计这些体检人群中免疫力指标不低于30的人数，并说明理由；（2）求体检中心抽取的100个人的免疫力指标平均值；（3）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍．以体检中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计，疫苗注射量不应超过多少个单位？附：对于一组样本数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．20. 已知是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)折线与相交于，两点，若以为直径的圆经过原点，求的值.21. 记为数列的前项和，已知，．(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；(2)若，数列的最大项为，求的值．。
2023届山西省太原市山西大学附属中学校高三下学期5月月考数学答案
数学答案一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（5分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若3a ii -+为实数，则(a = )A ．3-B ．13C ．3D ．13-【分析】求出()(3)31(3)3(3)(3)10a i a i i a a i i i i -----+==++-，再由3a ii-+为实数，能求出a ．【解答】解：()(3)31(3)3(3)(3)10a i a i i a a ii i i -----+==++-，由于3a ii-+为实数，则30a +=，所以3a =-，故选：A ．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．2．（5分）如图所示的Venn 图中，A 、B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若{|21A x x n ==+，n N ∈，4}n …，{2B =，3，4，5，6，7}，则(A B =⊗ )A ．{2，4，6，1}B ．{2，4，6，9}C ．{2，3，4，5，6，7}D ．{1，2，4，6，9}【分析】分析可知{|()A B x x A B =∈⊗ ，()}x A B ∉ ，求出集合A 、A B 、A B ，即可得集合A B ⊗．【解答】解：由Venn 图可知，{|()A B x x A B =∈⊗ ，()}x A B ∉ ，因为{|21A x x n ==+，n N ∈，4}{1n =…，3，5，7，9}，{2B =，3，4，5，6，7}，则{1A B = ，2，3，4，5，6，7，9}，{3A B = ，5，7}，因此，{1A B =⊗，2，4，6，9}．故选：D ．3．已知函数()f x 同时满足性质：①()()f x f x -=；②当1x ∀，2(0,1)x ∈时，1212()()0f x f x x x -<-，则函数()f x 可能为( )A ．2()f x x =B ．1()()2x f x =C ．()cos 4f x x = D ．()(1||)f x ln x =-【分析】①()()f x f x -=说明()f x 为偶函数，②121212()(),(0,1),0f x f x x x x x -∀∈<-，说明函数在(0,1)上单调递减，再逐项分析即可．【解答】解：①()()f x f x -=说明()f x 为偶函数，②121212()(),(0,1),0f x f x x x x x -∀∈<-，说明函数在(0,1)上单调递减．A 不满足②，B 不满足①，C 不满足②，因为()cos 4f x x =在(0,4π单调递减，在(,1)4π单调递增．对于D ，满足①，当(0,1)x ∈，()(1)f x ln x =-，单调递减，也满足②．故选：D ．4. （5分）我国古代数学家赵爽所使用的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与①，是一个“勾股圆方图”，设DG a =，DH b =，GH c =；在正方形EFGH 中再作四个全等的直角三角形和一个小正方形IJKL ，且//KE AD ，如图②．若3a b =，且HF HE HJ λμ=+，则(λμ+= )A ．74B ．169C ．1912D ．2916【分析】根据向量的加减法运算法则，13HF HE EL LF HE EK HJ =++=++，13EK HK HE HJ HE =-=- ，化简得到21039HF HE HJ =+ ．【解答】解：因为13HF HE EL LF HE EK HJ =++=++，13EK HK HE HJ HE =-=- ，所以111210()33339HF HE EK HJ HE HJ HE HJ HE HJ =++=+-+=+ ，所以21016399λμ+=+=，故选：B ．5.某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆22221y x a b +=的离心率e …的概率是( )A ．536B ．16C ．14D ．13【分析】由e …得222314b e a =-…，从而12b a …，掷两颗骰子得到点数(,)a b 共有36个基本事件，利用列举法求出其中满足12b a …的基本事件有9个，由此能求出椭圆22221y x a b +=的离心率e …的概率．【解答】解：由e …得222314b e a =-…，所以12b a …，掷两颗骰子得到点数(,)a b 共有36个基本事件，其中满足12b a …的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共9个，故椭圆22221y x a b +=的离心率e …的概率为91364p ==．故选：C ．6. 2021年春节联欢晚会以“共圆小康梦，欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样，某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票、乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票分配到家庭的不同方法种数为( )A ．48B ．72C ．120D ．240【分析】这8张连号的门票不妨设为1，2，3，4，5，6，7，8，先考虑3张连号的门票的选法共有6种情况，再考虑2张连号的门票的选法．最后考虑剩余的3张随机分到剩余的3个家庭的选法共有33A 种．利用加法与乘法原理可得这8张门票不同的分配方法的种数．【解答】解：这8张连号的门票不妨设为1，2，3，4，5，6，7，8，先考虑3张连号的门票的选法共有6种情况：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，(4，5，6)，(5，6，7)，(6，7，8)，再考虑2张连号的门票的选法：对于：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，分别有4，3，3种选法；利用对称性可得：对于(4，5，6)，(5，6，7)，(6，7，8)分别有3，3，4种选法．最后考虑剩余的3张随机分到剩余的3个家庭的选法共有33A 种．利用加法与乘法原理可得这8张门票分配到家庭的不同方法种数33(433)2120A =++⨯⨯=种．故选：C ．7．若31(626ln a a ln a =->，271(727ln ln b b ln b -=>，141(2)2()8cc c -=>，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b<<【分析】运用对数运算将a 、b 、c 化简，构造函数()2f x xln x =，运用导数研究函数的单调性比较大小，进而求得结果．【解答】解：由362ln a ln a =-，得112(2)66aln a ln =⨯，由2772ln ln b ln b -=．得112(2)77bln b ln =⨯，由14(2)2cc -=，得112(2)88cln c ln =⨯．设函数()2f x xln x =，则2()2212f x ln x x ln x x'=+⨯=+，令()0f x '=，则12x e=，当1(0,)2x e∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1(,)2x e∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，又因为111108762e<<<<，所以111()((678f f f <<，又因为1()(6f a f =，1()(7f b f =，1()()8f c f =，所以f （a ）f <（b ）f <（c ），又因为16a >，17b >，18c >，所以a ，b ，c 均大于12e，又因为()f x 在1(,)2e+∞上单调递增，所以a b c <<．故选：A ．8．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长AB =，其外接球的表面积为20π，D 是11B C 的中点，点P 是线段1A D 上的动点，过BC 且与AP 垂直的截面α与AP 交于点E ，则三棱锥A BCE -的体积的最大值为( )A B C D ．32【分析】根据外接球的表面积求解球半径，利用正三棱柱的外接球球心位置结合勾股定理可得棱柱的高，进而根据点E 的轨迹在以AF 为直径的圆上，即可确定点E 到底面ABC 距离的最大值，最后利用体积公式求解即可．【解答】解：外接球的表面积为20π．因为正三棱柱柱111ABC A B C -的底面边长AB =，所以1113A D A B AB ===，所以△111A B C 的外接圆半径为12r D ==，设三棱柱的侧棱长为h ，则有22()52hr +=，解得2h =，即侧棱12AA h ==，设BC 的中点为F ，作出截面如图所示，当点E 在弧AF 的中点时，此时点E 到底面ABC 距离的最大，且最大值为113222AF ==，因为DF AF <，所以此时点P 在线段1A D 上，符合条件，所以三棱锥A BCE -的体积的最大值为211133232ABC AF S ∆⨯⨯=⨯=．故选：A ．二．选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分。
山西省山西大学附属中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案
山西省山西大学附属中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数221,0()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说法中，正确的是（ ）A ．当1k >，有1个零点B ．当2k =-时，有3个零点C ．当10k >>，有4个零点D ．当4k =-时，有7个零点【答案】ABD 【分析】令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-， 函数21y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2kx =对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 只有一解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确； 对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 有3个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误； 对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由()12f x =可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正确； 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．2．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．112a b+> C ．11a b a b+<+ D ．b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=， 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11a b a b+>+，故选项C 不正确； 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．3．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2ab +=C ．223a b +>D ．01ab <<【答案】ABD 【分析】在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，函数2xy =与2log y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),2aA a ，()2,log B b b .由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，则2a b +=，22log 2ab +=.因为0a >，0b >，且ab ，所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(1)10f =>，所以112a <<. 因为222221(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.4．已知函数1(),f x x x =+221()g x x x=+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4D ．()()f x g x ⋅的最小值为2【答案】BC 【分析】利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】2211()()f x g x x x x x+=+++ ()22221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-++-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭()()22221111()()f x x x x xg x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝∴-⋅-=⎭()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；2211()()224f x g x x x x x +=+++≥+=，当且仅当1x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭令1t x x=+()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->，得t >t <2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错故选：BC. 【点睛】本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.5．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立,设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.6．下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的定义域为[]1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数()1f x +的值域为[]2,3C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是()0,3D ．已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.【详解】对于A, ()y f x =的定义域为[]1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为[]0,1，故正确；对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相同，故错误；对于C, 函数2()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需(2)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()23f x x x=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.7．若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，当0x <时，23()22f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（ ）A ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，1(1)2(1)a x x =-+++-+，0x >时，4242a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程()2af x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】 因为()()0f x f x 所以()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =， 当0x >时，0x -<，23()22f x x ax a -=-+， 所以23()()22f x f x x ax a =--=-+-， 综上2232,02()0,032,02x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪-+->⎩，若0x =是方程()2af x ax =+的一个根， 则0a =，此时()2af x ax =+，即()0f x =， 而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，在R 上单调递减，当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，23222a x ax a ax ++=+， 所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，所以21(1)21(1)x a x x x =-=-++++-+， 当0x >时，23222ax ax a ax -+-=+， 所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，所以242422x a x x x ==-++--，如图：若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根， 则0a <或48a <<；若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a >. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程()2af x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.8．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅ B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+ C ．1212()()f x f x x x --＞0D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ． 【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误； 对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确； 对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()12120f x f x x x -∴->，故C 正确；对于D ，()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知111222lg 22x x x x x x f +⎛⎫> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()()221121lg lg lg 222f x f x x x x x +===+()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误； 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即21lg lg 2x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．二、导数及其应用多选题9．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.10．某同学对函数()sin e e x xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 【答案】BD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1x xx f x e e -=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e e x xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误； 对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，，()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.。
山西山西大学附属中学校三角函数与解三角形多选题试题含答案
山西山西大学附属中学校三角函数与解三角形多选题试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立．现将函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数066g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()g x 相邻的对称轴距离为πC ．函数23g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】ABCD 【分析】先利用已知条件求出()f x 的周期T π=，即可得2ω=，再利三角函数图象的平移伸缩变换得()g x 的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】因为对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立 所以()12f x f x π=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()12f x f x ππ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭， 所以()()()11f x f x f x ππ=-=+-+对于R x ∀∈都成立， 可得()f x 的周期T π=，所以22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得 2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于选项A:()2sin 2sin 2sin 2sin 0666666g x g x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：函数()g x 周期为221T ππ==，所以相邻的对称轴距离为2Tπ=，故选项B正确；对于选项C ：222sin 2sin 2cos 3362g x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是偶函数，故选项C 正确； 对于选项D ：当63x ππ≤≤，066x ππ≤-≤，所以函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 正确， 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭恒成立得出 ()()f x f x π=+可得ω的值，求出()f x 的解析式.2．已知2π-＜θ2π＜，且sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（ ） A ．﹣3 B ．13C ．13-D ．12-【答案】CD 【分析】先由已知条件判断cos 0θ>，sin 0θ<，得到sin 1tan 0cos θθθ-<=<，对照四个选项得到正确答案. 【详解】∵sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），∴两边平方得：1+22sin cos =a θθ，∴21sin cos =02a θθ-<，∵22ππθ-<＜，∴可得cos 0θ>，sin 0θ<，∴sin tan 0cos θθθ=<，又sin θ+cos θ＝a 0>，所以cos θ＞﹣sin θ，所以sin tan 1cos θθθ=>- 所以sin 1tan 0cos θθθ-<=<， 所以tan θ的值可能是13-，12-．故选：CD 【点睛】关键点点睛：求出tan θ的取值范围是本题解题关键．3．下列结论正确的是（ ）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确； 在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.4．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin 3ϕ=3sin ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.5．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2πϕ≤）的图象与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，,||23OCB OA π∠==，221||AD =.则下列说法正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增【答案】ACD 【分析】3sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据221||AD =，可得方程22228(1)243A sin πϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ．判断出结论． 【详解】由题意可得：||3|OB OC =，3sin 2πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=， (2,0)A ，(2B πω+，0)，(0,sin )C A ϕ，sin 1,22A D πϕω⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭， 213AD =，222sin 281243A πϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把|sin |)3A πϕω=+代入上式可得：2()2240ππωω-⨯-=，0>ω.解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ωπ==，sin()03πϕ∴+=，||2πϕ≤，解得3πϕ=-.可知：B 不对，3sin 263π⎛⎫∴-=+ ⎪⎝⎭，0A >，解得163A =，函数16()sin()363f x x ππ=-，可知C 正确. ()14,17x ∈ 时，52,632x ππππ⎛⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得：函数()f x 在()14,17x ∈单调递增. 综上可得：ACD 正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点,,B C D 的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.6．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，3)M ，23()3N ， ∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径221331()()326r =+=，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.7．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan 3ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 【答案】ABC 【分析】首先得到()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可. 【详解】解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2)sin(2)cos 2224223F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ； 对于A，tan tan63πϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC . 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.二、数列多选题9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a = B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn + 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++-⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ） A ．2n S n = B ．122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-【答案】ACD 【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】 依题意，95981S a ==，解得59a =；而713a =，故75275a a d -==-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2n S n =，故D 、A 正确：因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，故()223171617k S S S S a =-=， 则22933k =，解得11k =，故C 正确； 而122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ．【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和；（2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值； （3）利用裂项相消法，对12231011111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和； （4）对选项逐个判断正误，得到结果.。
山西省山大附中高三年级10月月考数学试卷及答案解析(原始打印版)
山大附中高三年级10月月考数学试卷(考试时间:100分钟 )一．选择题:(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，将正确答案的序号填入答题纸的表格中) 1．M ＝{}4|2<x x ，N ＝{}032|2<--x x x ，则集合Ｍ Ｎ＝A {2|-<x x }B {3|>x x }C {21|<<-x x }D {32|<<x x } 2.函数y =:A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1]D 23(,1]3．已知等差数列{a n }中，a 7+a 9=16,a 4=1，则a 12的值是A 15B 30C 31D 644．已知a >0且a ≠1, 函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象只能是:A B C D5．若1，1a ，2a ，4成等差数列；1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则221b a a -的值等于( ) A 21-B 21C 21± D 41 6．为了得到函数321x y -=-的图象，只需把函数2x y =的图象上所有点( )A 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 7．已知p:,0)3(:,1|32|<-<-x x q x 则p 是q 的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件8．已知奇函数f (x)的定义域为R, 且对于任意实数x 都有f(x+4)=f(x) 成立, 又f (1)＝4, 那么f [f ( 7 ) ]等于( )A 5B 4C 0D －49．等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1+a 2+a 3+…+a n =2n －1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2=A (2n －1)2 B31(2n －1) C 31(4n －1) D 4n －11 2 5 10 17 4 — 3 6 11 18 9 — 8— 7 12 19 16—15—14—13 20 25—24—23—22—2110．已知{}n a 满足*)(1,2,1221N n a a a a nn ∈-=-==+，则数列前26项的和为:( )A 0B －1C －8D －1011．有两个等差数列{a n } {b n }，它们的前n 项和分别为S n 和T n ，若325++=n n T S n n ，则55b a 等于( )A827 B 1247C 1352D 145712．自然数按右表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数为( )A 20062B 20052C 2005×2004D 2006×2005二．填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填入答题纸) 13．定义运算法则如下:1112322181,lg lg ,2,,412525a b a b a b a b M N -⊕=+⊗=-=⊕=则M+N= .14．已知函数f(x)=1－x 2 (x<0)，则f -1(-3)=______________15．函数()212log 2y x x =-的单调递减区间是16．关于函数)0(||1lg )(2≠+=x x x x f ，有下列命题:①其图象关于y 轴对称；②当0>x 时，)(x f 是增函数；当0<x 时，)(x f 是减函数； ③)(x f 的最小值是2lg ；④当01<<-x 时，)(x f 是增函数； ⑤)(x f 无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是山西大学附中2009--2010学年高三十月考试数学答案纸一．选择题(每小题5分，共60分)二．填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13． 14. 15． 16. 三．解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分14分)已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为076=+-y x 。
山西省山大附中2022届高三数学3月月考试题 理
山西大学附中202X ——202X 第二学期高三3月月考数学试题（理）考试时间：120分钟满分：150分一选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分） 1．设集合Rx x x ∈≤,24)11(i +i 4i4),2(ππα∈53sin =α)4tan(πα+n S }{n a n3163=S S 126S S )0(02≥=+-a a y ax 922=+y x c b a ,,B A <B A 2cos 2cos >a b b a log log +[)+∞,2),2(+∞)2,(--∞(]2,-∞-0,0>>m ω2cos2sin)(x xm x f ωω=||)1ln(2x x y ++=)1()12(+-x f x f ＞x )0,(),2(-∞+∞ )1,(),2(-∞+∞ ),3()1,(+∞-∞ )1,(),2(--∞+∞ 2212516x y +=12,F F AB 1F 2ABF ∆π,A B 1122(,),(,)x y x y 12y y -35310320352121+≤<-m x m 为整数），则m 叫做离实数最近的整数，记作{}x =m 在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题：①函数=)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数=)(x f 的图像关于直线2kx =（Z k ∈）对称；③函数=)(x f 是周期函数，最小正周期为1；④函数=)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数。
其中正确的命题的序号是）A ①B ②③C ①②③D ①④ 二填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．观察下列等式：1554321104321632132111=++++=+++=++=+=可以推测：3333321n ++++ ＝________+∈N n ，用含有n 的代数式表示． 14．已知0||2||≠=b a ，且关于x 的函数x b a x a x x f ⋅++=23||2131)(在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为____15已知121(0,0),m n m n+=>>当mn取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 16．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,,R b a ∈，满足)()()(a bf b af b a f +=⋅，)(2)2(),()2(,2)2(**∈=∈==N n f b N n n f a f nn n n n ， 考查下列结论：①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列。
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山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号6
函数及其表示
【学习目标】 1.会函数的表示；2、熟练求解函数的定义域
【学习重点】 求解函数的定义域
【学习难点】 求解函数的定义域
【学习过程】
（一）.基础梳理
1.映射的概念：设A B 、是两个 的集合，如果按照某种对应关系f ，使得对于集合A 中的 元素x ，在集合B 中都有____________的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个映射．
2.函数的概念：设A B 、是两个非空的______，如果按照某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的______一个数x ，在集合B 中都有_______的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：(),y f x x A =∈．
注1：函数的定义域、值域：在函数(),y f x x A =∈中，x 叫做________，x 的取值范围A
叫做函数的________；与x 的值对应的y 的值叫做________，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的_____．
注2：函数的三要素：_______、_______和_______．
注3：相等函数：若两个函数的_______和_______完全一致，则称这两个函数________． 注4：函数的表示法：_________、_________和_________．
注5: 分段函数:若函数在其定义域的不同子集上，因________不同而分别用几个不同的式
子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的____，其值域等于各段函数的值域____，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
（二）.巩固练习
一.选择题
1.下列各组函数中，表示同一函数的是 ( ) A.255x y x y =
=与 B.x x e y e y ln ln ==与
C.31)3)(1(+=-+-=x y x x x y 与
D.001x
y x y ==与 2.设集合}20|{≤≤=x x M ，}20|{≤≤=y y N ，那么下面的4个图形中，能表示集合M
(
A ．○
1○2○
3○4 B ．○1○2○3 C ．○2○3
D ．○2 3.若)
12(log 1)(2
1+=x x f ，则)(x f 的定义域为( )
A.)0,2
1(- B. ),21(+∞- C. ),0()0,21(+∞- D.)2,2
1(- 4.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时， x x x f -=22)(，则=)1(f ( )
A.3-
B.1-
C.1
D.3
5. 设⎩⎨⎧>≤+=)
1(,lg )1(,1)(2x x x x x f 则=))10((f f ( )
A.lg101
B.2
C.1
D.0 二.填空题
6
．函数y =的定义域为_____________
7．定义在R 上的函数)(x f 满足：1
()()(),(1)f x f x f x f x -=-+=，当()1,0x ∈-时，
()21x f x =-，则2(log 20)f =______________
8.已知函数(){}3,2,1,22
-∈+=x x x x f ，则()x f 的值域是________ 9.已知函数()f x 满足()12f =，()()()
111f x f x f x ++=-，则()3f 的值为_________ 10.如果)()()(b f a f b a f =+，且2)1(=f ，则
=++++++)
2011()2012()2009()2010()2007()2008()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f f f f f ________. 11.若一系列函数的解析式相同、值域相同但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，
则函数解析式为2
x y =，值域为{}4,1的“同族函数”共有________个 12.已知{}{},,,1,0,1A a b c B ==-，映射:f A B →满足)()()(c f b f a f =+，则映射
:f A B →的个数
三.解答题
13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤+<<+=-1
,120,1)(2x c c x cx x f x 满足89)(2=c f . (1)求常数c 的值；(2)解不等式18
2)(+>x f。