量子力学_第一章_周世勋

1864年 光和电磁现象之间的联系 光的波动性
（二）经典物理学的困难

20世纪初 经典理论遇到了一些严重的困难 （1）黑体辐射问题 （2）光电效应 （3）氢原子光谱
黑体辐射
黑体：能完全吸收一切频率入射电磁 波 （广义光波） 的物体
能 量 密 度
黑体辐射：由这样的空腔小孔发 出的辐射就称为黑体辐射。
h 6.62606896 1034 J s
基于上述假定，普朗克得到了与实验符合很好的黑体辐射公式：
能 量 密 度
8hv3 v dv c3 Planck 线
1 e
hv 1 K BT
dv
吸收或发射电磁能量的不连续概念，经典力学是无法理解的 当时并未引起较多人的注意 用量子假设解决经典困难的是A. Einstein
3. v v0
光愈强，单位时间产生的光电子愈多
光的本性认识：1. Maxwell, Hertz等人工作，肯定了光是电磁波 2. 光电效应，黑体辐射，体现了光的粒子性
光是粒子性和波动性的统一体
• 虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量 子概念的极大支持，但是Planck不同意爱因斯坦的 光子假设，这一点流露在Planck推荐爱因斯坦为普 鲁士科学院院士的推荐信中。 “ 总而言之，我们可以说，在近代物理学结出 硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是爱因 斯坦没有做过重要贡献的，在他的各种推测中，他 有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子 假设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪他 的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不 偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念 ”
20 sin
2

2
其中 称为电子的Compton波长。
0
2 2.4 10 10 cm m0 C
该式首先由 Compton 提出，后被 Compton 和吴有训用实验证实， 用量子概念完全解释了Compton 效应。因为式右是一个恒大于或等 于零的数，所以散射波的波长λ '总是比入射波波长长（λ ' >λ ） 且随散射角θ 增大而增大 •式中也包含了 Planck 常数 h，经典物理学无法解释它，Compton 散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力的支持
E ' ' , p '
' c
’
Ee , pe m0 v v2 1 2 c
2 Ee m0 c 4 c 2 p 2 2
根据光量子概念，光入射前能量为
E
碰撞前电子： 电子动量为零 （很小，可近似为零） 静止能量 Ee m0 c 2 m0 v 碰撞后 电子动量为 p m0 c 2 动能 Ee m0 c 2 v2 1 2 v2 c 1 2 c 碰撞前光子： E , p E / c
m0 v 1 v c2
2
cos( ' )
m0 v 1 v c2
2
sin( ' )
(
2 ' ) ( cos( ) c c
m0 v v2 1 2 c
cos( ' )) 2
(
m0 v 2 m0 v 2 ' ' ) sin 2 ( ) ( ) sin 2 ( ' ) ( )(1 cos2 ( )) ( ) (1 sin 2 ( ' )) c c v2 v2 1 2 1 2 c c
定性解释
E hv
E hv h p n n n k c c
普朗克常量
宏观现象中，h与其他物理量比较可忽略，能量连续 h起重要作用的现象称为量子现象
1.3

原
子
结
构
的
玻
尔
理
论
原子光谱，原子结构 氢原子光谱由许多分立谱线组成，这是很早就发 现了的。1885年瑞士巴尔末发现紫外光附近的一 个线系，并得出氢原子谱线的经验公式为：
第一章 量子力学的诞生
• §1 经典物理学的困难 §2 量子论的诞生 §3 实物粒子的波粒二象性
§1 经典物理学的困难

(一）经典物理学的成功

19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展 到相当完善的阶段。主要表现：
(1) 牛顿力学 天体到地上各尺度力学运动 分子运动 气体分子运动论 1897年汤姆森发现了电子，具有粒子行为 (2) 光的波动性 1803年 麦克斯韦 杨式双缝衍射实验
m0 v 1 v c2
2
2
1]
由动量守恒定律：
' cos( ) c c 0 ' sin( ) c
cos( ' )
m0 v 1 v c2
2
sin( ' )
定性解释
由动量守恒定律：
' cos( ) c c 0 ' sin( ) c
（2）光电效应

光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象 光电效应有两个突出的特点：
•1.临界频率v0 光的频率v>v0 时，才有光电子逸出 若v<v0,则不论光强多大，照射时间多长，都无光电子 •2.光电子能量只与光的频率有关，与光强无关 若v>v0，只要光照上，立刻有光电子逸出
与光的经典电磁理论矛盾

加速电子产生的辐射，频率分布是连续的，这与原子光谱是分立 的谱线不符
经典理论遇到了难以克服的困难
（1.3）原子结构的波尔（Bohr）理论

Planck--Einstein 关于辐射的光量子概念 1913年 玻尔（N. Bohr 1885-1962） 将量子概念运用到原子结构问题上 提出原子的量子论 玻尔假定
缺陷：把微观粒子看作经典力学的质点，并应用经典力学规律 波粒二象性提出之后，量子力学逐渐建立，上述问题也相应解决
玻尔量子论的局限性
玻尔量子论首次打开了认识原子结构的大门， 取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的 问题也逐渐为人们所认识


1. 不能证明较复杂的原子光谱，甚至简单程度仅 次于氢的氦原子的光谱都未能解释 2. 不能给出光谱的谱线强度（相对强度） 3. Bohr理论只能处理周期运动，不能处理非束缚 态问题，如散射问题； 4. 从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相 容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。
Wien 线
0
5
(104 cm)
10
维恩（W.Wien）从热力学出发，得到维恩公式
Ev dv C1v3 exp[C2v / T ]dv
维恩公式在短波部分与实验基本符合，长波部 分偏离
能 量 密 度
瑞利-金斯线
Wien 线
(104 cm) 瑞利（J. W.Rayleigh）和金斯（J. H. Jeans）由经典电动力学， 得到Rayleigh- Jeans公式
1 1 2 n' 1,2,3, n 2,3,4, (n n' ) 2 n n' 1.09677576 10 7 m 1是氢的Rydberg 常数, C是光速。
RH C
其中RH
•这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一 系列线系，它们都可以用下面公式表示：
原子一定时，电子只能在一些特定的轨道上运动，不同 轨道具有不同的能量，电子在不同的轨道上跃迁时伴随 着光的吸收和发射 原子在两个能级（Em和En）间跃迁，吸收和发射光的频 率为
v 量子化条件： nh L 角动量必须是 的整数倍 h h 成功说明了氢原子光谱及结构，但对复杂的光谱， 如氦原子光谱，遇到了极大的困难 E n Em
2 2 4 0 2 2 2
2
则光子动量
E pc
2v, h 2
2 k n
光子能量和动量为：
E hv E hv h p n n n k c c

波矢
光电效应解释：
1. 光量子入射，能量可立即被电子吸收 2. 只有光量子能量足够大，电子才有可能克服脱出功A， 即 1 mv 2 hv A 0 2 v v0 A / h 无光电子逸出
碰撞后
' c E ' ' , p ' c
定性解释
E , p E / c c
0
' E ' ' , p ' c
’
m0 v v2 1 2 c
A
Ee , pe
由能量守恒定律：
' m0 c 2 [ 1 v 1 2 c
a)
b)
（1.3）原子结构的波尔（Bohr）理论
玻尔的理论开始只考虑电子的圆周轨道，即电子只具有一个自由度
索末非（Sommerfeld）将玻尔的量子化条件推广
1 pdq (n 2 )h
广义动量 广义坐标 量子数 可用于多自由度情况，不仅能解释氢原子光谱，一个价电子原子光谱 也能很好解释，如（Li, Na,K）等 玻尔-索末非理论遇到了很大困难，该理论连简单程度仅次于 氢原子的氦原子光谱都不能解释
原子光谱问题，经典物理学不能给于解释

经典物理学不能建立一个稳定的原子模型。 根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以 辐射方式发射出能量，电子的能量变得越来越小，因此绕原子核 运动的电子，终究会因大量损失能量而“掉到”原子核中去，原 子就“崩溃”了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。
认为：电磁波由光量子组成，频率为v的光， 光量子能量：
E h
粒子性
光量子能量：
E h
E m0 c 2 v 2 1 ( ) c
由狭义相对论，静止质量为m0,速度为v 的运动粒子能量为