圆锥曲线章节复习与小结

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高考数学知识点圆锥曲线二级结论

圆锥曲线的二级结论一．有关椭圆的经典结论结论1.（1）、与椭圆22221x y a b 共焦点的椭圆的方程可设为 222221,0x y b a b.（2）、与椭圆22221x y a b 有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b , 2222,0x y b a.结论2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:（1）、第一定义：122PF PF a ；（2）、焦半径的最大值与最小值：1a c PF a c ；（3）、2212b PF PF a ；（4）、焦半径公式10||PF a ex ,20||PF a ex (1(,0)F c ,2(,0)F c 00(,)M x y ).结论4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点，记12F PF ，则（1）、2122||||1cos b PF PF；（2）、焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b；（4）、当P 点位于短轴顶点处时, 最大,此时12PF F S 也最大；（5）、.21cos 2e （6）、点M 是21F PF 内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM ||||.结论5.有关22b a的经典结论（1）、AB 是椭圆22221x y a b 的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a .（2）、椭圆的方程为22221x y a b（a ＞b ＞0），12,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a（3）、椭圆的方程为22221x y a b（a ＞b ＞0），12,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a（4）、椭圆的方程为22221x y a b（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B两点的任一点，则有22PA PBb K K a结论6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b 上，则（1）、以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y ；（2）、过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b.结论7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b.结论8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a ,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b.结论9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y （常数）.结论10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F ,21PF F ，则sin sin sin c e a.结论11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF ,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.结论12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ .（1）、22221111||||OP OQ a b；（2）、22||+|OQ|OP 的最大值为22224a b a b ；（3）、OPQ S 的最小值是2222a b a b .结论15.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 22结论16.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.结论17.过椭圆22221(0)x y a b a b左焦点的焦点弦为AB ,则)(221x x e a AB ；过右焦点的弦)(221x x e a AB .结论18.椭圆内接矩形最大面积：2ab .结论19.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b，半焦距为c ，焦点 12,0,,0F c F c ，设(1)、过1F 的直线l 的倾斜角为，交椭圆于A、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c；②2cos ab AB a c２２２２(2)、若椭圆方程为22221(0)x y a b a b，半焦距为c ，焦点 12,0,,0F c F c ，设过F ２的直线l 的倾斜角为，交椭圆于A、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c２２＋－；②22cos ab AB a c２２２结论：椭圆过焦点弦长公式： 222cos 2sin ab x a c AB ab y a c２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上结论20.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ,则2112amnb二．有关双曲线的经典结论结论21.（1）、与22221x y a b 共轭的双曲线方程为22221x y a b，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C 为半径的圆上；③2212111e e 。

圆锥曲线复习小结PPT学习教案

|AB|max = ______;
SA0B的最大值 ___ . 若AB的中点坐标为（-4,1），则b ____.
(3)F1,
F2是椭圆
x2 m
y2 9
1的焦点，满足MF1
MF2 =0的M总在
椭圆内部，则m的取值范围 _____ .
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例2.若双曲线的渐近线为y 4 x, 3
(1)则双曲线的离心率e ____;
MA 1 AF, ∴(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，
∴x1＝12＋λ1λ1，y1＝1＋y0λ1，将 A 点坐标代入到椭圆方程中，
得15(12＋λ1λ1)2＋(1＋y0λ1)2＝1. 去分母整理得 λ21＋10λ1＋5－5y02＝0.
MB 2 BF 可得 λ22＋10λ2＋5－5y02＝0.
段没有公共点，则 a 的取值范围是________
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5.方程 x2 y2 =1表示双曲线，则实数k的取
1 k 1 k
值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞) .
6.若双曲线
x2 a2
y2 b2
=1的两条渐近线互相垂
直，则双曲线的离心率e= 2 .
7.若双曲线C的焦点和椭圆
x2 y2
(2)若双曲线过点A(3 2,4),则双曲线的标准方程为_____; 设F1, F2为双曲线的左右焦点，P在双曲线右支上，且 | PF1 | | PF1 | 32, 则| PF1 | ___,| PF2 | ____,F1PF2 ____.
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基础练习
1.动点P到两定点F1(-3,0)，F2(3,0)的距离之
图形
顶点坐标
（±a,0),(0,±b)

圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结

圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是由平面上直线与一个定点及一定曲线相交而形成的曲线，分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。

在高三数学中，学习圆锥曲线是必不可少的。

以下为圆锥曲线的相关知识点总结。

一、坐标系下的圆锥曲线方程式1.圆的方程所谓圆，是指平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。

设圆心为$O({{x_0},{y_0}})$，半径为 $r$，则圆的方程为$${(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} = {r^2}$$3.双曲线的方程二、圆锥曲线的性质（1）对圆上任意一点，作圆的切线，它垂直于切点与圆心的连线。

（2）两个数轴上投影相等的两点与圆心之间的距离相等（称为圆的两点定理）。

（3）圆心为原点的圆，其半径为 $r$，横轴方程为 $x^2 + y^2 = r^2$，纵轴方程为$x^2 + y^2 = r^2$。

2.椭圆（1）椭圆的两个焦点与中心 $O$ 在一条直线上。

（2）椭圆的上下两支称为上半部和下半部，椭圆与 $x$ 轴的交点称为顶点。

（4）椭圆的到两个焦点分别距离和为定值，等于两倍的圆长轴长。

（2）双曲线的两支曲线称为左半支和右半支，曲线的两个交点称为顶点，与左右两支连接的两条直线称为渐近线。

4.抛物线（1）抛物线是关于顶点对称的曲线。

（2）抛物线与横轴交于顶点 $O$。

（3）抛物线与纵轴垂直。

三、曲线的参数方程如果把圆的中心移到原点，半径为 $r$，则圆的参数方程为$$\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}$$如果双曲线的中心移到原点，且 $a>b$，则双曲线的参数方程为$$\begin{cases}x=c\cosh \theta \\y=b\sinh \theta\end{cases}$$其中，$c=\sqrt{{a^2} + {b^2}}$，$\cosh \theta = \frac{{{e^\theta } + {e^{ - \theta }}}{2}}$，$\sinh \theta = \frac{{{e^\theta } - {e^{ - \theta }}}{2}}$。

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。

一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。

3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。

点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。

（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。

(完整版)圆锥曲线知识点总结(经典版)

圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。

若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。

椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。

注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b ac =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。

例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。

若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。

同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。

选修2-1圆锥曲线全章节

问题1：解析几何与坐标法. 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标
法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
问题2：平面解析几何研究的两个基本问题. （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明. 另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程.
例2.已知一条直线l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2. 一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
x+2y－7=0. ①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐
标都是方程①的解；
（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即 x1+2y1－7=0, x1=7－2y1.
点M1到A，B的距离分别是
所以 | M1A || M1B | 即点M在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知,方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
例3.已知曲线C的方程为 x 4 y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解：由 x 4 y2 ，得x2＋y2＝4，又x≥0，所以方程 x 4 y2 表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆,从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积 S 1 4 2
第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
1.理解曲线与方程的概念、意义.（重点、难点） 2.了解数与形结合的基本思想.（难点）

高中数学第八章圆锥曲线知识点

高中数学第八章圆锥曲线知识点第八章圆锥曲线是高中数学中的一个重要章节，涵盖了圆锥曲线的基本概念、性质以及相关应用等内容。

圆锥曲线是一类特殊的曲线，由一个固定点（称为焦点）和到该点距离与到一条固定直线（称为准线）距离的比值为常数定义。

本文将从椭圆、双曲线和抛物线这三种常见的圆锥曲线开始，介绍它们的定义、性质和公式，并探讨它们在几何和实际问题中的应用。

一、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基本的一种情形。

它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离之比等于一个常数e（离心率）的点的轨迹。

椭圆具有很多重要的性质，如焦点的性质、离心率的性质、对称性和切线的性质等，这些性质对于解题和应用非常重要。

二、双曲线双曲线是圆锥曲线中另一种重要的类型。

与椭圆相比，双曲线的定义稍微有些不同。

它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离之差等于一个常数e （离心率）的点的轨迹。

双曲线的性质也非常丰富，包括焦点和准线的性质、离心率的性质、渐近线、对称性以及切线的性质等。

三、抛物线抛物线是圆锥曲线中最后一种常见的类型。

它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离相等的点的轨迹。

抛物线也具有许多独特的性质，如焦点和准线的性质、对称性、切线的性质、曲率和渐近线等。

这三种圆锥曲线在几何中起到了重要的作用，但在实际问题中的应用更为广泛。

例如，在天文学中，行星运动的轨迹可以用椭圆来描述；在通信中，天线的波束方向可以通过双曲线来确定；在物理学中，抛物线的形状可以用来描述抛射体的运动轨迹等等。

总之，高中数学第八章圆锥曲线是一个非常重要的知识点，涉及到椭圆、双曲线和抛物线三种常见情形的定义、性质和应用。

掌握圆锥曲线的相关知识，不仅对于解决几何问题有很大的帮助，还。

高中数学第八章圆锥曲线知识点

高中数学第八章圆锥曲线知识点第八章圆锥曲线是高中数学的一个重要章节，本章内容涵盖了圆锥曲线的基本定义、性质和相关的解题方法。

在本文档中，我们将详细介绍圆锥曲线的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

一、圆锥曲线的基本定义1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个动点（在直线上移动）确定的几何图形。

根据焦点的位置和直线与曲线的交点情况，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种情况。

2. 椭圆的定义椭圆是平面上与两个固定点的距离之和等于常数的点（焦点），构成的几何图形。

3. 双曲线的定义双曲线是平面上与两个固定点的距离之差等于常数的点（焦点），构成的几何图形。

4. 抛物线的定义抛物线是平面上与一个固定点的距离等于另一个固定点到直线的距离，构成的几何图形。

二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质椭圆的离心率小于1，焦点在椭圆的内部。

椭圆有两个主轴，相互垂直，长度分别为2a和2b，其中2a是椭圆的长轴，2b是椭圆的短轴。

椭圆的面积为πab。

2. 双曲线的性质双曲线的离心率大于1，焦点在双曲线的外部。

双曲线有两个虚轴和两条实轴，相互垂直。

双曲线的面积无限大。

3. 抛物线的性质抛物线的离心率等于1，焦点在抛物线的内部。

抛物线有一个对称轴，与焦点和顶点的距离相等。

抛物线的面积为2/3 × a × h，其中a是焦点到顶点的距离，h是对称轴的长度。

三、圆锥曲线的解题方法1. 椭圆的解题方法（1）求解椭圆的标准方程，确定椭圆的中心、长轴和短轴；（2）求解椭圆的焦点和离心率；（3）利用椭圆的性质解题，例如求点到椭圆的距离或求椭圆上一点的坐标。

2. 双曲线的解题方法（1）求解双曲线的标准方程，确定双曲线的中心、虚轴和实轴；（2）求解双曲线的焦点和离心率；（3）利用双曲线的性质解题，例如求点到双曲线的距离或求双曲线上一点的坐标。

3. 抛物线的解题方法（1）求解抛物线的标准方程，确定抛物线的顶点、对称轴和焦点；（2）利用抛物线的性质解题，例如求点到抛物线的距离或求抛物线上一点的坐标。

圆锥曲线与方程小结与复习

圆锥曲线与方程小结与复习二、复习引入：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：12222=+by ax ，12222=+bx ay （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by ax (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比ac e =⇒2)(1ab e -=10<<e椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例4．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 5．双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx ay (0>a ,0>b )6.c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,7焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上8．双曲线的几何性质：（1）范围、对称性由标准方程12222=-by ax ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心（2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线12222=-by ax 的渐近线x ab y ±=（0=±by ax ）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比ac ac e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac aa c ab k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔9．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e14 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 15．抛物线的准线方程： (1))0(22>=p px y , 焦点:)0,2(p ，准线l ：2p x -= (2))0(22>=p py x , 焦点:)2,0(p ，准线l ：2p y -= (3))0(22>-=p px y , 焦点:)0,2(p -，准线l ：2p x =(4) )0(22>-=p py x , 焦点:)2,0(p -，准线l ：2p y =相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p =不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 16．抛物线的几何性质（1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1． 18．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx CyAx C ，消去y ，得到关于x 的二次方程02=++c bx ax （*）若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxyb kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点（相离）（2）相交弦长：弦长公式：21kad +∆=，（3）焦点弦公式：抛物线)0(22>=p px y ， )(21x x p AB ++= 抛物线)0(22>-=p px y ， )(21x x p AB +-= 抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++= 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-= （4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：p d 2= （5）若已知过焦点的直线倾斜角θ则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p pkp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒（6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421p x x =1.动点A 到定点F 1(0, －2)和F 2(0, 2)的距离的和为4，则动点A 的轨迹为 ( B )A. 椭圆B. 线段C. 无图形D. 两条射线；2.动点P 到定点F 1(1, 0)的距离比它到定点F 2(3, 0)的距离小2，则点P 的轨迹是 ( C ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．一条射线 D ．两条射线。

高三数学第一轮复习圆锥曲线(小结)教案

高三数学第一轮复习圆锥曲线(小结)教案高三数学第一轮复习圆锥曲线(小结)教案圆锥曲线一．课前预习：1．设抛物线y2x，线段AB的两个端点在抛物线上，且|AB|3，那么线段AB的中点M到y轴的最短距离是（B）231(B)1(C)(D)222x2y22．椭圆221(ab0)与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A,B两点，在劣弧abAB上取一点C，则四边形OACB的最大面积为（B(A)）(A)1ab2(B)2ab2(C)3ab2(D)ab111,0)，C(,0)，且满足sinCsinBsinA，则动点A222的轨迹方程是（D）1616(A)16x2y21(y0)(B)16y2x21(x0)33161161(C)16x2y21(x)(D)16x2y21(x)3434224．已知直线yx1与椭圆mxny1(mn0)相交于A,B两点，若弦AB 中点的横3．ABC中，A为动点，B(x2y214坐标为，则双曲线221的两条渐近线夹角的正切值是．mn335．已知A,B,C为抛物线yx1上三点，且A(1,0)，ABBC，当B点在抛物线上移动时，点C的横坐标的取值范围是(,3][1,)．二．例题分析：2x2y2例1．已知双曲线C：221(a0,b0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正ab半轴上，且满足|OA|,|OB|,|OF|成等比数列，过点F作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线l，垂足为P，（1）求证：PAOPPAFB；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围．a（1）证明：设l：y(xc)，bay(xc)a2abb由方程组得P(,)，ccybxaa2∵|OA|,|OB|,|OF|成等比数列，∴A(,0)，ca2abb2abab∴PA(0,)，OP(,)，FP(,)，ccccca2b2a2b2∴PAOP2，PAFP2，∴PAOPPAFB．cc用心爱心专心（2）设D(x1,y1),E(x2,y2)，ay(xc)a422a4ca4c2b222由2得(b2)x2x(2ab)0，2bbbxy1a2b2a4b2(2a2b2)c0，∴b2a2，即c22a2，∴e2．∵x1x20，∴4ab22b所以，离心率的取值范围为(2,)．2例2．如图，过抛物线x4y的对称轴上任一点P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点，（1）设点P分有向线段AB所成的比为，证明：QP(QAQB)；（2）设直线AB的方程是x2y120，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．2解：（1）设直线AB的方程为ykxm，代入抛物线方程x4y得x24kx4m0设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x24m，xx2x∵点P分有向线段AB所成的比为，得10，∴1，1x2又∵点Q是点P关于原点的对称点，∴Q(0,m)，∴QP(0,2m)，y∴QAQB(x1x2,y1y2(1)m)A∴QP(QAQB)2m[y1y2(1)m]Px12x1x22x1B2m[(1)m]4x24x2xOx1x24m4m4m2m(x1x2)2m(x1x2)04x24x2Q∴QP(QAQB)．（2）由2x2y120x4y2得点A(6,9),B(4,4)，121x，∴yx，∴抛物线在点A处切线的斜率为y|x63，42222设圆C的方程是(xa)(yb)r，1b9则a6，3(a6)2(b9)2(a4)2(b4)23232125解得a,b，,r22232312522∴圆C的方程是(x)2(y)2，即xy3x23y720．222由x4y得y三．课后作业：班级学号姓名用心爱心专心x2y2xy1．直线1与抛物线1相交于A,B两点，该椭圆上的点P使ABP 的面16943积等于6，这样的点P共有（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2．设动点P在直线x1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰RtOPQ，则动点Q的轨迹是（）(A)圆(B)两条平行线(C)抛物线(D)双曲线3．设P是直线yx4上一点，过点P的椭圆的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为．x2y24．椭圆1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么123|PF1|是|PF2|的倍．x2y25．已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线的右支上，ab且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为．6．直线l：ykx1与双曲线C：2xy1的右支交于不同的两点A,B，（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．7．22用心爱心专心8．如图，P是抛物线C：y12x上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，2l与抛物线C相交于另一点Q，（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（2）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短用心爱心专心yQMPlOx-4-距离．扩展阅读：高三数学一轮复习精析教案15《圆锥曲线方程及性质》第33讲圆锥曲线方程及性质一．【课标要求】1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质二．【命题走向】本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。

圆锥曲线复习与小结

圆锥曲线复习与小结一、知识回顾1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义 1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹 1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1） 2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 图形方程标准方程 12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-by a x (a>0,b>0) y 2=2px 参数方程⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈Rx ≥0 中心原点O （0，0）原点O （0，0）顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0)(0,0) 对称轴 x 轴，y 轴；长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x 轴焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0) 焦距 2c （c=22b a -）2c （c=22b a +）离心率e=1准线x=ca 2±x=ca 2±渐近线 y=±ab x 焦半径通径 2p 焦参数P2. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.3. 等轴双曲线4.共轭双曲线5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.6.共渐近线的双曲线系方程.二、几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的最小距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．例2设Q是圆x2+y2=4上的动点，另有点(3,0),A线段AQ的垂直平分线l交半径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．3．相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y)的变动而变动，且x、y可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．例4.垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x–1)分别交于点A和点P，点B在y轴上且点A分OB的比为1:2，求线段PB中点的轨迹方程.4．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线y=2x被双曲线截得线段长等于25，求此双曲线方程．三、课堂练习1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．4．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．一、点、直线与圆锥曲线的位置关系1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系有：点P在曲线C上、点P 在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系可分为：相交、相切、相离．这三种位置关系的条件是：设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C：f(x,y)=0 ; 由(,)0Ax By CF x y++=⎧⎨=⎩消去y（或x）得：ax2+bx+c=0 (a≠0) ;令Δ=b2-4ac, 则（1）Δ>0⇔相交；（2）Δ=0⇔相切（3）Δ<0⇔相离.注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．二、例题例1若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆2215x ym+=总有公共点，求m的取值范围．提示：分别从曲线和方程与数形结合思想两个角度分析、解题.例2椭圆C:22143x y+=上有相异两点关系直线l: y=4x+m 对称，求m的取值范围．点拨1：对称点在直线l’：14y x n=-+上，且l’与椭圆C有两个不同的交点，可用“判别式法”.点拨2：两对称点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)连线的中点M(x，y)在椭圆C内，可用“内点法”．说明：判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法例3.已知抛物线C：y=─x2+mx─1,点A(3,0),B(0,3)，若抛物线C与线段AB有两个交点，求m的取值范围.提示：转化为一元二次方程根的分布.例4.过椭圆C ：12222=+b y a x (a>b>0)上一动点P 向圆O ：x 2+y 2=b 2引两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，求△MON 面积的最小值点拨：充分利用平几知识解题. 三、练习1.设抛物线y 2=4x 截直线y =2x +k 所得的弦长为35，求k 的值．2.(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x 只有一个公共点，这样的直线有几条？ (2)过点P(2，0)的直线l 与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？3.求曲线C ∶x2+4y 2=4关于直线y=x-3对称的曲线C ′的方程．一、与圆锥曲线有关的几种典型题 1．圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C ∶f(x ，y)=0与直线l ∶y=kx+b 相交于A(x1，y1)、B(x 2，y2)两点，则弦长|AB|为：(2)若弦AB 过圆锥曲线的焦点F ，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．例1 过抛物线214y x =-的焦点作倾斜角为α的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且|AB |=8，求倾斜角α．2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x ，y )的取值范围．例2 已知x 2+4(y -1)2=4，求： (1)x 2+y 2的最大值与最小值；(2)x +y 的最大值与最小值． 3．与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．例3 在抛物线x 2＝4y 上有两点A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)且满足|AB |=y 1+y 2+2，求证：(1)A 、B 和这抛物线的焦点三点共线； 4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法．例4.已知曲线22212():1:12y a C x C y x -+==+及有公共点，求实数a 的取值范围．二、练习1.求椭圆2214x y +=到点A(1,0)的距离为最小的点P 的坐标.2．已知圆(x-1)2+y 2=1与抛物线y 2=2px 有三个公共点，求P 的取值范围．3.证明：椭圆221205x y +=与双曲线221123x y -=的交点是一个矩形的顶点．CxlyOBA一、例题例1 已知抛物线C :y 2=4x ,若椭圆的左焦点及相应准线与C 的焦点F 和准线l 分别重合（如图所示）.（1）求椭圆短轴端点B 与焦点F 的连线中点P 的轨迹方程.（2）若M (m ,0)是x 轴上一点，Q 是（1）所求曲线上任一点，试问|MQ |有无最小值？若有，求其值，若无，说明其理由. 例2 已知直线l :y =mx -4和抛物线C :y 2=8x ,m 是何实数时，l 与C 有仅有一个公共点？若l 与C 有两个公共点，求l 的倾斜角α的取值范围.例3 如图，已知直线l 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若点A (-1,0)和点B (0,8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程.例 4 已知椭圆2214x y +=的焦点为F 1、F 2，抛物线y 2=px (p >0)与椭圆在第一象限内的交点为Q ，若∠F 1QF 2=60o .（1）求ΔF 1QF 2的面积；（2）求此抛物线的方程.二、练习1．已知曲线C ：y =-x 2+x +2关于点(a ，2a )对称的曲线是C ′，若C 与C ′有两个不同的公共点，求a 的取值范围．(-2＜a ＜1)2.过圆O ：x 2+y 2=4与y 轴正半轴的交点A 作这圆的切线l ，M 为l 上任一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，求点M 在直线l 上移动时，△MAQ 垂心的轨迹方程．1．椭圆12222=+b y a x (a >b >0)的左焦点到左准线的距离是（A ）a －c （B ）a －b （C ）2b c（D ）2c a2．双曲线2214x y k-=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是（A ）(0, 6) （B ）(3, 12) （C ）(1, 3) （D ）(0, 12)xy 2=4xy P OFB3．抛物线y =x 2上的点到直线2x －y =4的最短距离是（A ）53 （B ）535 （C ）525 （D ）53104．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5, 0)的距离是15，则点P 到点(－5, 0)的距离是（A ）7 （B ）23 （C ）5或25 （D ）7或235．椭圆221259x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（A ）4 （B ）2 （C ）8 （D ）23 6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，连接它的四个顶点得到的四边形的面积是42，分别连接椭圆上一点(顶点除外)和椭圆的四个顶点，连得线段所在四条直线的斜率的乘积为41，求这个椭圆的标准方程．7．设抛物线y 2=2px (p >0)上各点到直线3x +4y +12=0的距离的最小值为1，求p 的值． 8．直线y =x +b 与双曲线2x 2－y 2=2相交于A , B 两点，若以AB 为直径的圆过原点，求b 的值．9．已知椭圆的中心在原点，准线为x =±42，若过直线x －2y =0与椭圆的交点在x 轴上的射影恰为椭圆的焦点，（1）求椭圆的方程；（2）求过左焦点F 1且与直线x －2y =0平行的弦的长．。

高三圆锥曲线知识点拓展

高三圆锥曲线知识点拓展圆锥曲线，是数学中的一个重要概念，它包含了三种常见的曲线：椭圆、双曲线和抛物线。

我们在高三学习圆锥曲线时通常会涉及到的知识点有方程的表示、性质以及应用等方面。

在这篇文章中，我们将对这些知识点进行拓展探讨，帮助同学们更好地理解和应用圆锥曲线。

一、方程的表示我们知道，圆锥曲线的方程可以通过不同的方式来表示，例如椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ （1）其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴。

相比椭圆而言，双曲线的方程则有所不同，双曲线的一般方程可以表示为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （2）或者$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$ （3）抛物线的方程为：$y=ax^2+bx+c$ （4）或者$x=ay^2+by+c$ （5）其中，a、b和c代表抛物线的系数。

这些方程是我们在解题过程中常见的表达形式，熟练掌握不同类型曲线的方程表示对于解题来说非常重要。

二、性质圆锥曲线在我们的日常生活中有着广泛的应用，了解其性质可以帮助我们更好地理解曲线的特点和问题的解法。

首先是椭圆，椭圆的中心在原点，两个焦点在x轴上，且距离中心严格相等。

椭圆的离心率小于1，这意味着它更加接近于一个圆形。

椭圆还有一个重要性质是它的主轴和副轴，主轴是通过中心的长轴，副轴是通过中心的短轴。

双曲线与椭圆不同，它的中心仍然在原点，但是其焦点在x轴上的位置不同，且距离中心严格不等。

双曲线的离心率大于1，这意味着它的形状更加扁平。

双曲线也有主轴和副轴，但与椭圆的主轴和副轴不同，它们的定义是与焦点和顶点相关的。

抛物线与椭圆和双曲线也有一些不同之处。

抛物线没有中心和焦点的概念，它是由一个定点（焦点）和一条直线（准线）确定的。

抛物线有两种形式，分别是开口向上和开口向下，具体形状由系数决定。

三、应用圆锥曲线在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结

完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。

三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。

构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。

2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。

椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。

椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。

重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2)；焦=缩1 比为e = c/a，其中c^2 = a^2– b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。

抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。

重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) =。

y4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。

双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。

双曲线的焦缩比为c^2=a^2+ b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2)–(y^2/b^2) =1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。

椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。

抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。

双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。

6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。

对称性：椭圆和双曲线关于x 轴和y 轴都有对称性，抛物线关于y 轴有对称性。

切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。

焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。

此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。

熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。

圆锥曲线复习提纲(全)

圆锥曲线复习提纲椭圆双曲线平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线. 即当2﹤2时，轨迹是双曲线当2＝2时，轨迹是两条射线当2﹥2时，轨迹不存在1.椭圆的性质：椭圆方程（1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。

（2）对称性：图象关于y 轴对称，图象关于x 轴对称，图象关于原点对称。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：，。

叫椭圆的长轴，长为2a ，叫椭圆的短轴，长为2b 。

（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。

（）O 可以刻画椭圆的扁平程度，e 越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆.(5)点P 是椭圆上任一点，F 是椭圆的一个焦点，则max PF a c =+，min PF a c =-.,F F 21,F F 21F F a c a c a c )0(122>>=+b a by a x b y b a,x a ≤≤-≤≤-b y ±=±=a ，x )0,a (A ),0,a (A 21-)b ,0(B ),b ,0(B 21-21A A 21B B ace =⇒2)(1a b e -=10<<e(6)点P 是椭圆上任一点，当点P 在短轴端点位置时，∠F 1PF 2取最大值.S △F 1PF 2=b 2tan θ2(θ=∠F 1PF 2). (7)椭圆的第二定义：当平面内点M 到一个定点F(c,0)(c >0)的距离和它到一条定直线l ：x =a 2c的距离的比是常数e =ca (0<e <1) 时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率. 2、点与椭圆位置关系点P(x 0,y 0)与椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)位置关系：（1）点P(x 0,y 0)在椭圆内⇔x 02a 2+y 02b 2<1 （2）点P(x 0,y 0)在椭圆上⇔x 02a 2+y 02b 2=1 （3）点P(x 0,y 0)在椭圆外⇔x 02a 2+y 02b 2>13、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法（2）弦长公式：设直线y =kx +b 交椭圆于P 111222则|P 1P 2|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 或|P 1P 2|=√1+1k 2|y 1−y 2|=√1+1k 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2(k ≠0).✧ 焦点弦：AB 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的弦，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),弦中点M(x o ,y o ),则有：弦长|AB |=2a ±e (x 1+x 2)=2a ±2ex o ,|AB |min =2b 2a（此时AB 垂直于x 轴，为通径）.（3）弦AB 中点相关：若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的弦AB 的斜率存在且为k, A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),弦中点M(x o ,y o ),则有：➢ k ∙k OM =−b 2a 2=e 2−1, k OM =y ox o .➢ 直线AB 的方程：y − y o =−b 2a 2x oy o(x −x o ).➢ 线段AB 的垂直平分线方程：y − y o =a 2b 2yo x o(x −x o ).4、双曲线的几何性质：（1）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2a ，a 叫做实半轴长。

《圆锥曲线与方程》章节的几点总结

《圆锥曲线与方程》章节的几点总结一、重视课本的例题、习题及其变形，以更好理解知识的本源和问题的本质。

案例1：对此知识点，我们可以将其拟合成一道综合题如下：题目：平面直角坐标系上有两个定点A ，B 和动点P ，如果直线PA 和PB 的为定值m （m ≠0），则点P的轨迹不可能是（） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线例题5、已知圆O 的半径为定长r ，A 是圆所在平面内一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 与直线OP 相交于点Q ，当P 在圆上运动时，点Q 的轨迹可能是下列图形中的：．（填写正确的序号）案例2：（解答见例题5解析）（解答见例题5解析）将以上的相关知识拟合成综合题如下：①点；②直线；③圆；④抛物线；⑤椭圆；⑥双曲线；⑦双曲线的一支．换一种表述，我们又可以得到例题如下：例题6 记点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线解析：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．当点A在圆C外，由QC-R=QA，得QC-QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．圆锥曲线的几何性质一、正确掌握圆锥曲线的几何性质，提高解题效率1、椭圆中一些线段的长度及其关系如：①椭圆上的点到焦点最近的距离为AF a c =-，最近的距离为BF a c =+； ②Rt OFC ∆中，222a b c =+；④△F PQ '的周长与菱形F CFD '的周长相等，为4a .例题1、如下图，椭圆中心为O ，F 是焦点，A 、C ,P Q 在椭圆上且PD l ⊥于D ，QF OA ⊥于F ①PF PD②QF BF③AO BO④AF BA⑤FO AO⑥OF FC能作为椭圆的离心率的是（填正确的序号）F '⑥B ③当PQ x ⊥轴时，22b PQ a=⋅，叫椭圆的通径.2、双曲线中一些线段的长度及其关系如：① 12OB OB b ==；12OA OA a ==. ② 焦点F 向渐近线引垂线，垂足为P ，则bcPF b c===，又因为OF c =，故有OP a = ③ 由②可知2Rt OA Q Rt OPF ∆≅∆.例题2．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于．【解析】双曲线的焦点到其渐近线的距离等于b ，由抛物线方程x y 122=易知其焦点坐标为)0,3(，又根据双曲线的几何性质可知2234=+b ，所以5=b ．【点评】平时如果能理解并记住一些有用的结论，可以在考试中节省许多宝贵的时间．3、抛物线中一些线段的长度及其关系如：① 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段AB 叫做抛物线的通径，且2AB p =.② 2DF p =，几何意义知道吗？ ③ 由①②易知Rt ADF ∆为等腰直角△． ④ 题目中涉及到焦点F ，往往需要考虑定义PF PQ =这个性质．例题 3 已知抛物线2:8C y x =的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且||||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32解法1：边读题边画图．28y x =的焦点(2,0)F ，准线2x =-，(2,0)K -．设(,)A x y ，由AK 2222(2)2[(2)]x y x y ++=-+．化简得：22124y x x =-+-，与28y x =联立求解，解得：2x =，4y =±．1144822AFK A S FK y ∆=⋅⋅=⋅⋅=，解法2：如图，过点A 作AM 垂直于准线于点M ，由抛物线定义得AM AF =，又AK =则AK =，在Rt AMK ∆中，AM MK = 即AF MK =，此时AF 垂直于x 轴，AFK ∆为等腰直角三角形，故面积为22114822KF =⨯= 二、离心率的求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 1、直接求出a 、c ，求解e已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解。

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