任一个n阶实对称矩阵与对角阵相似证明
实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6
4.4 实对称矩阵的对角化
便有P1APPTAP
注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应
上页 下页 返回
习题4-3, P154
5 1 2 4 相似 4 设矩阵 A 2 x 2 与 y 4 2 1 4 求x y 并求一个正交阵P 使P1AP
上页 下页 返回
2 1 求An 例4.2设 A 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23
对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
上页 下页 返回
小结 :实对称矩阵的性质
定理4.1 实对称阵的特征值为实数
定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交. 设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量 若12 则p1与p2正交 定理4.3 设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量 定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵
上页 下页 返回
0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0 解 由|AE|(1)2(2) 得特征值12 231
对应12 解方程(A2E)x0 得基础解系1(1 1 1)T 将1单位化 得 p1 1 ( 1, 1, 1)T 3 对应231 解方程 (AE)x0 即 x1 +x2－x30 2(1 1 0)T 3(1 0 1)T 得基础解系 将2 3正交化、单位化得
上页 下页 返回
0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0
相似及相似对角化
p11 p12 L p21 p22 L
p1r1 p2r2
r1 个 r2 个
线性无关 线性无关
M M M MM M M
M
{m
r{ m 重
1pm41
4p4m22
L 4
4pm43rm
r{ m 个
线性无关 1 42 43
互异 和为n
共n个
共n个 合之仍线性无关
称为代数维数； 的维数称为的几何重数。
1、相似对角化条件
1、相似对角化条件
问题：方阵A 与对角阵相似的条件？
定义：
1
若n阶方阵A :
2
O
diag(1, 2,L
, n )，
n
则称A可对角化。
对角化条件：
n 阶方阵 A 与对角阵相似 A 有 n 个线性
无关的特征向量.
1、相似对角化条件
说明 (1)若 A～Λ diag(1, 2,L , n ),则A与Λ的特征值
2、实对称矩阵的特征值和特征向量 定理： 设实对称阵A的两个特征值1, 2互异，p1, p2
是对应特征向量，则 p1 p2. 即：实对称阵的不同特征值所对应的特征向量互相正交.
证毕
3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理：设A是n阶实对称阵,1, 2,L , n是A的特征值
则有正交矩阵 Q, 使
1
O
1
r1个
A ~ 对角阵Λ
2 O
2
r2个
O
m
O
m rm个
注
1、相似对角化条件
推论3 如果 n 阶方阵 A 可对角化，则 rank(A)=
A的非零特征值的个数。 证明 若 A 可以对角化，设与其相似的对角阵为 即存在可逆矩阵P，使得 P1AP 。
n阶矩阵相似对角矩阵的充要条件的证明
矩阵相似对角化是线性代数中重要的概念，它在矩阵的理论和应用中扮演着重要的角色。
在矩阵相似对角化的过程中，我们常常会遇到矩阵相似对角化的充要条件问题，即何时一个n阶矩阵能够相似对角化成对角矩阵。
本文将对这一问题进行详细的证明，帮助读者更好地理解矩阵相似对角化的条件和过程。
一、n阶矩阵相似对角化的定义n阶矩阵A经过相似对角化可以转化为对角矩阵D的形式，即存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D。
其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵。
这个过程称为矩阵的相似对角化。
那么，n阶矩阵相似对角化的充要条件是什么呢？二、矩阵相似对角化的充要条件1. 必要条件若矩阵A能相似对角化成对角矩阵D，则A和D有相同的特征值。
假设A经过相似对角化得到对角矩阵D，即存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D，那么A和D具有相同的特征值。
2. 充分条件若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可以相似对角化成对角矩阵D。
特征向量组成的矩阵P的逆矩阵P^-1是A的特征向量，对角矩阵D的对角元是A的特征值。
三、n阶矩阵相似对角化的充要条件的证明1. 必要条件的证明假设A能相似对角化成对角矩阵D，即存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D。
由特征值的定义可知，对角矩阵D的对角元就是A的特征值。
所以A和D具有相同的特征值。
2. 充分条件的证明假设n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们知道对角化矩阵P的逆矩阵P^-1是A的特征向量，对角矩阵D的对角元是A的特征值。
那么矩阵P的逆矩阵存在，即P是可逆矩阵。
所以A可以相似对角化成对角矩阵D。
四、总结通过以上的证明，我们可以得出n阶矩阵相似对角化的充要条件是：A和D有相同的特征值，并且n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。
这一定理为矩阵相似对角化提供了明确的条件，对于理解和应用矩阵相似对角化具有重要的意义。
五、矩阵相似对角化的应用矩阵相似对角化在科学和工程领域有着广泛的应用，特别是在求解线性代数方程、矩阵的对角化、微分方程的求解等方面。
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
高等数学 5-4实对称矩阵的相似对角形
1
1
2 2
0
1
3
2 2
注：P仅是可逆矩阵，而不是正交矩阵.
三、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的
特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，
且对角矩阵对角元素即为特征值．
两式相减，得 ( )xx 0.
但因为 x 0,
n
n
所以 xx xi xi xi 2 0, ( ) 0,
i 1
i 1
即 , 由此可得是实数.
由定理5.4.1可推出：
由于对称矩阵A的特征值i为实数, 所以齐次
线性方程组
(A i E )x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解
恰有r个线性无关的特征向量.
定理5.4.1 设A为n阶实对称矩阵,则有正交矩阵P, 使P1 AP ,其中是以A的n个特征值为对角元 素的对角矩阵. 证明 设A的的互不相等的特征值为1, 2 , , s ,
它们的重数依次为r1, r2 , , rs (r1 r2 rs n).
以它们为列向量构成正交矩阵P，则 P1AP P1P
其中对角矩阵的对角元素含 r1 个1,
是A的n个特征值.
二、实对称矩阵对角化的方法
, rs 个s , 恰
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1.求A的特征值
2.由( A i E)x 0,求出A的特征向量;
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
5.3 实对称矩阵的正交相似对角化
得 1 2 2(二重), 3 7.
第二步 由 A i E x 0, 求出A的特征向量
将 1 2 2代入 A 2E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
1 2 4 1 2 0 2
2
0
得 1 4, 2 1, 3 2.
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
对 1 4,由 A 4 E x 0, 得 2 x1 2 x2 0 2 2 x1 3 x2 2 x3 0 解之得基础解系 1 2 . 1 2x 4x 0 2 3 对 2 1,由 A E x 0, 得
值为 6 , 3 , 3, 且特征值 6 对应的一个特征向量为
p1 (1,1,1) .
T
解 设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵的不同的特征
值所对应的特征向量正交, 故
[ p1,x] x1 x2 x3 0,
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
二、实对称矩阵的性质
性质 1 对称矩阵的特征值为实数.
性质 2 设 1 , 2 是对称矩阵 A 的两个特征值
p1 , p2 是对应的特征向量, 若 1 2 , 则 p1 , p2
正交.
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
性质 3 设 A 为 n 阶对称矩阵, 是 A 的特征方
1 2 s
且 Q-1AQ = 其中
Λ diag( λ1,, λ1, λ2 ,, λ2 ,, λs ,, λs ).
6-3实对称矩阵的相似对角化
0 3
0 1
2 4 ,
2
0 1 3 得特征值 1 2, 2 3 4.
0 对 1 2,由 A 2 E x 0, 得基础解系 1 1 1 对 2 3 4,由 A 4 E x 0, 得基础解系 1 0 与 恰好正交 , 3 2 0 , 3 1 . 2 0 1 所以 1 , 2 , 3两两正交.
于是得正交阵
0 P 1 , 2 , 3 1 2 1 2 2 0 1 则 P AP 0 4 0 0
0 0 1 2 0 1 2 0 0 . 4 1
§6.3
实对称矩阵的 相似对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 实对称矩阵的特征值为实数.
定理2
实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
是正交的.
设1 , 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是 对应的特征向量, 若1 2 , 则 p1与 p2正交 .
推论 实对称矩阵属于不同特征值的特征 向量是线性无关的.
对 2 1,由 A E x 0, 得
x1 2 x2 0 2 x1 2 x3 0 2x x 0 2 3
2 解之得特征向量 2 1 . -2
对 3 2,由 A 2 E x 0, 得
2 2 k 1 满足
即 1 , 2 k 1 , 1 0 从而求出
1 , 2 k 1 , 1
再令 3 3 k1 1 k2 2 及 1 , 3 2 , 3 0 2 , 3 1 , 3 k2 可求出 k1 2 , 2 1 , 1 一般地,由 1 , 2 , , s 求出 1， 2 , , s 的公式为
16实对称矩阵的相似对角化-线性代数重点
实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：,),,,(,)(21T n n n ij a a a a A ==⨯αTA A A A ==为实对称阵，故由于性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
,的特征值阶实对称矩阵是设A n λ（1）两端取转置，得：T T T A αλα =α两端同时右乘ααλααλT T =⇒ λλααα=∴≠=02T 性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。
对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。
T n a a a ),,,(21 =α，即是对应的特征向量αλα =A ,两边取共轭，得：)1(αλα =A T T A αλα =⇒ααλααT T A =⇒0)(=-⇒ααλλT的特征向量。
的属于特征值征向量，求的特的属于特征值是），，（），，（个特征值，的是三阶实对称方阵，，例：设11122,111311121-==-A A A TT αα,13213T x x x A ），，（的特征向量为的属于特征值设=-α正交，与213,ααα ⎩⎨⎧=++=++⇒0220321321x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→100111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→100011⎩⎨⎧=-=⇒0312x x x T ），，（0113-=⇒α0,,2313==∴）（）（αααα性质3：实对称矩阵A 的k 重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k 个。
由此推出：实对称矩阵A 一定与对角矩阵相似。
二、实对称矩阵的相似对角化：定理1：实对称矩阵A 一定与对角矩阵相似。
为对角阵。
，使求正交阵为对角阵。
，使求可逆阵，：设例AQ Q Q AP P P A 11)2()1(2424222211--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=λλλλ-------=-242422221E A 2)2)(7(-+-=λλ定理2：实对称矩阵A 一定与对角矩阵正交相似。
实对称阵可对角化的几种证明及其推广
实对称阵可对⾓化的⼏种证明及其推⼴实对称阵是⼀类常见的矩阵, 它与实⼆次型和实内积空间上的⾃伴随算⼦有着密切的联系. 任⼀实对称阵 A 均正交相似于对⾓阵, 即存在正交阵 P , 使得P ′AP =diag{λ1,λ2,⋯,λn }.实对称阵的这条重要性质, 通常在内积空间的框架中加以证明 (参考复旦⾼代教材第 9.5 节). 事实上, 这⼀性质既可以在引⼊矩阵可对⾓化的定义和判定准则后直接加以证明, 也可以利⽤ Jordan 标准型理论加以证明. 下⾯我们将给出实对称阵可对⾓化的⼏种证明, 为此先来证明三个简单的引理.引理 1 实对称阵的特征值都是实数.证明 设 A 为 n 阶实对称阵, λ0∈C 是 A 的任⼀特征值, α=(a 1,a 2,⋯,a n )′∈C n 是对应的特征向量, 即 A α=λ0α. 上式两边同时左乘 ¯α′, 则有 ¯α′A α=λ0¯α′α. 注意到 α 是⾮零向量, 故 ¯α′α=n∑i =1|a i |2>0. 注意到 A 为实对称阵, 故 ¯(¯α′A α)′=¯α′A α, 即 ¯α′A α 是⼀个实数, 从⽽λ0=¯α′A α¯α′α也是实数. ◻引理 2 设 A 为 n 阶实对称阵, 则 r (A )=r (A 2)=r (A 3)=⋯.证明 由⾼代⽩⽪书的例 3.72 可知 r (A )=r (A ′A )=r (A 2), 从⽽ r (A )=r (A 2m) (m ≥1). 再由矩阵相乘秩相等或变⼩的性质以及夹逼法可知 r (A )=r (A k )(k ≥1). ◻引理 3 设 A 为 n 阶实对称阵, 则 Ker A ∩Im A =0 并且 Ker A =Ker A 2=Ker A 3=⋯.证明 由引理 2 以及线性映射的维数公式即得. ◻定理 1 实对称阵可实对⾓化.证法 1 (有完全的特征向量系) 由引理 1 可设 A 的全体实特征值为 λ1,λ2,⋯,λn , 我们对特征值 λ1 来证明其代数重数等于其⼏何重数. 不失⼀般性, 可设 λ1=⋯=λm , 但 λj ≠λ1(m <j ≤n ), 即 λ1 的代数重数为 m . 由复旦⾼代教材的定理 6.1.2 及其后的注可知, 存在⾮异实矩阵 P , 使得 P −1AP =B C 0D, 其中 B 是主对⾓元为 λ1 的 m 阶上三⾓阵, D 是主对⾓元分别为 λm +1,⋯,λn 的上三⾓阵, 于是P −1(A−λ1I n )P =B −λ1I mC 0D −λ1I n −m.注意到 B −λ1I m 是主对⾓元全为零的上三⾓阵, 这是⼀个幂零阵, 故 (B −λ1I m )m =0, 从⽽P −1(A−λ1I n )m P=B −λ1I mC 0D −λ1I n −mm=0∗0(D −λ1I n −m )m.注意到 (D −λ1I n −m )m 是⼀个主对⾓元全不为零的上三⾓阵, 从⽽是⾮异阵, 于是 r ((A −λ1I n )m )=n −m . 注意到 A −λ1I n 为实对称阵, 再由引理2 可知, λ1 的⼏何重数为n −r (A −λ1I n )=n −r ((A −λ1I n )m )=n −(n −m )=m ,即⼏何重数等于代数重数.证法 2 (全空间等于特征⼦空间的直和) 任取 A 的实特征值 λ0, 由引理 3 可知Ker(A −λ0I n )=Ker(A −λ0I n )2=⋯,再由⾼代⽩⽪书的例 7.13 的证法 1 完全相同的讨论即得结论. 另外, 由 Ker(A −λ0I n )=Ker(A −λ0I n )n 可知, λ0 的⼏何重数 dimKer(A −λ0I n )等于其代数重数 dimKer(A −λ0I n )n , 即 A 有完全的特征向量系, 这⼀⽅法⽐证法 1 更加简洁.证法 3 (极⼩多项式⽆重根) 任取 A 的实特征值 λ0, 由引理 3 可知Ker(A −λ0I n )=Ker(A −λ0I n )2=⋯,()()()()再由⾼代⽩⽪书的例 7.13 的证法 2 完全相同的讨论即得结论.证法 4 (Jordan 标准型之⼀) 任取A的实特征值λ0, 由引理 3 可知Ker(A−λ0I n)∩Im(A−λ0I n)=0,再由⾼代⽩⽪书的例 7.13 的证法 3 完全相同的讨论即得结论.证法 5 (Jordan 标准型之⼆) 任取A的实特征值λ0, 由引理 2 可知r(A−λ0I n)=r((A−λ0)2), 再由⾼代⽩⽪书的例 7.14 的证法 2 完全相同的讨论即得结论.证法 6 (Jordan 标准型之三) 设P为⾮异实矩阵, 使得P−1AP=J=diag{J r1(λ1),⋯,J rk(λk)}.⽤反证法, 若A不可对⾓化, 则不妨设r1>1. 设P′P=(b ij), 则b12=b21并且b11是P的第⼀列元素的平⽅和, 由P的⾮异性可知b11>0. 注意到P′AP=P′PJ为对称阵, 但P′PJ的第 (1,2) 元为b11+λ1b12, 第 (2,1) 元为λ1b21, 这两者不相等, ⽭盾.证法 7 (内积空间理论) 参考复旦⾼代教材的定理 9.5.2 和推论 9.5.2. ◻事实上, 我们也可以这样来看. 由上⾯的讨论可知, 对任⼀n阶实对称阵A, 全空间 R n等于A的所有特征⼦空间的直和. 容易证明: 在 R n的标准内积下, A的属于不同特征值的特征向量必正交, 属于同⼀特征值的特征向量可以利⽤ Gram-Schmidt 正交化⽅法化成两两正交的单位特征向量. 因此我们可以找到A的n个两两正交的单位特征向量, 将这些向量拼成矩阵P, 则P是⼀个n阶正交阵, 使得P′AP=diag{λ1,λ2,⋯,λn}.这就是A的正交相似标准型, 它对于深⼊探讨实对称阵的正定性和半正定性有着重要的作⽤.注 1 本题是 15 级⾼代 II 每周⼀题第 10 题第 1 ⼩问以及 16 级⾼代 II 每周⼀题第 6 题. 给出上述证法的复旦数学学院学⽣为: 章俊鑫 (证法 1),何陶然 (类似证法 1), 徐钰伦 (证法 2), 杨锦⽂ (证法 2), 杨钊杰 (证法 2), 蒋亦凡 (证法 3), 胡晓波 (证法 5), 杨彦婷 (证法 5), 沈伊南 (类似证法 6).下⾯将实对称阵可对⾓化的⼏种证法进⾏适当地推⼴, 从⽽不利⽤⾣相似标准型理论也可以直接证明: 实反对称阵, Hermite 阵, 斜 Hermite 阵,正交阵, ⾣阵, 以及更⼀般的复正规阵均可复对⾓化. 这是 15 级⾼代 II 每周⼀题第 10 题第 2 ⼩问以及 17 级⾼代 II 每周⼀题第 7 题第 2 ⼩问.我们先给出前三个引理的推⼴.引理 4 Hermite 阵的特征值都是实数. 特别地, 斜 Hermite 阵 (实反对称阵) 的特征值都是 0 或纯虚数.证明 Hermite 阵情形的证明完全类似于实对称阵情形的证明 (参考引理 1). 设A为斜 Hermite 阵, 则 i A为 Hermite 阵, 从⽽ i A的特征值都是实数, 于是A的特征值都是 0 或纯虚数. 实反对称阵是⼀种特殊的斜 Hermite 阵, 故结论也成⽴. ◻引理 5 设A为n阶复正规阵, 则r(A)=r(A2)=r(A3)=⋯.证明由⾼代⽩⽪书的例 3.72 对应的复版本可知: 对任意的m×n阶复矩阵A, 有r(A)=r(¯A ′A)=r(A¯A′).特别地, 若A是 Hermite 阵, 则r(A)=r(A2), 再仿照引理 2 的证明即得结论. 若A是复正规阵, 即A ¯A′=¯A′A, 注意到A¯A′是 Hermite 阵, 故有r(A2)=r(A2¯A2′)=r(AA¯A′¯A′)=r(A¯A′A¯A′)=r((A¯A′)2)=r(A¯A′)=r(A),再仿照引理 2 的证明即得结论. ◻引理 6 设A为n阶复正规阵, 则 Ker A∩Im A=0 并且 Ker A=Ker A2=Ker A3=⋯.证明由引理 5 以及线性映射的维数公式即得. ◻定理 2 复正规阵可对⾓化. 特别地, 实反对称阵, Hermite 阵, 斜 Hermite 阵, 正交阵, ⾣阵均可复对⾓化.证明定理 1 的证法 1--证法 5 可完全平⾏地改写⽤于证明定理 2; 定理 1 的证法 6 适当地修改之后可以证明: 实反对称阵, Hermite 阵,斜 Hermite 阵均可复对⾓化; 我们把具体的证明过程留给感兴趣的读者⾃⾏完成. 证法 7 可参考复旦⾼代教材的定理 9.6.2 和定理 9.6.3. ◻注 2 本⽂中的相关思想可推⼴为⼀般的可对⾓化判定准则, 具体的内容请参考教学博⽂ [3].参考⽂献[1] ⾼代教材: 姚慕⽣, 吴泉⽔, 谢启鸿编著, ⾼等代数学 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2014.[2] ⾼代⽩⽪书: 姚慕⽣, 谢启鸿编著, 学习⽅法指导书: ⾼等代数 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2015.Processing math: 100%。
第二节实对称矩阵的相似对角化（精品）
−3 1
1 −3
⎥ ⎥ ⎦
⎢ ⎢ ⎣
x x
3 4
⎥ ⎥ ⎦
⎢0⎥
⎢⎣0
⎥ ⎦
解得基础解系
ζ1 = [1 −1 −1 1]′
当λ2 = λ3 = λ4 = 1时，有
⎡ 1 1 1 −1⎤⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ ⎢
1
1 −1
1⎥⎥
⎢⎢x
2
⎥ ⎥
=
⎢⎢0⎥⎥
⎢ 1 −1 ⎢⎣−1 1
1 1
1⎥ ⎥
⎢ ⎢
x
⎡ 2⎤
p2 =
ζ2 ζ2
⎢⎥
=
⎢ ⎢
⎢
2⎥
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡ 1⎤
p3 =
ζ3 ζ3
=
1 6
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥
,
⎢⎥
⎣ 0⎦
⎡− 1⎤
p4 =
ζ4 ζ4
=
1
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
2 3⎢1⎥
⎢⎥
⎣3⎦
令
P = [p1 p2 p3 p4 ]
则P是正交阵，且满足
⎡− 3
⎤
⎢ P−1AP = Λ = ⎢
ζ3
=
ξ2
−
[ξ2 , ζ2 [ζ 2 , ζ2
] ]ζ2
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢1⎥ ⎢⎥
−
1 2
⎢⎢1⎥⎥ ⎢0⎥ ⎢⎥
=
1 2
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎥
⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣ 0⎦
ζ4
=
ξ3
−
[ξ3 [ζ 3
, ,
ζ ζ
3 3
] ]
ζ
3
实对称矩阵和对角矩阵的关系
实对称矩阵和对角矩阵的关系1. 实对称矩阵的定义实对称矩阵是指矩阵的转置与其本身相等的矩阵。
也就是说，对于一个n × n 的实对称矩阵 A，满足 A^T = A，其中 A^T 表示 A 的转置。
2. 对角矩阵的定义对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
对于一个n × n 的对角矩阵 D，满足 D[i][j] = 0，当i ≠ j，其中 D[i][j] 表示 D 在第 i 行、第 j 列的元素。
3. 实对称矩阵与对角矩阵的关系实对称矩阵和对角矩阵之间存在一种特殊的关系。
这种关系体现在实对称矩阵必然可以通过正交矩阵相似变换成对角矩阵，即 A = P^T · D · P，其中 P 是正交矩阵，D 是对角矩阵。
证明这一关系可以分为两个方面：一是对于实对称矩阵 A，存在正交矩阵 P，使得A = P^T · D · P；二是对于任意满足 A = P^T · D · P 的实对称矩阵 A，P 是正交矩阵。
3.1 实对称矩阵通过正交矩阵相似变换成对角矩阵假设 A 是一个n × n 的实对称矩阵，那么根据线性代数的一般理论，可以推导出存在正交矩阵 P 和对角矩阵 D，使得 A = P^T · D · P。
首先，由于 P 是一个正交矩阵，因此满足P^T · P = I，其中 I 是单位矩阵。
所以，P 的每一列都是一个单位向量，并且 P 的列向量两两正交。
其次，我们定义一个矩阵 B = P^T · A · P，其中 B 是一个n × n 的矩阵。
我们观察 B 的对角线元素，即 B[i][i]，可以得出以下结论：•当i ≠ j 时，B[i][j] = (P^T · A · P)[i][j] =(P^T)[i][k] · A[k][l] · (P)[l][j] (其中，k 和 l 是由矩阵 A 定义的，可以是任意值)。
用相似变换将实对称阵的对角化
上页
下页
返回
对应特征值λ 根据定理 5 及定理 7 知，对应特征值 i ( i = 1, 2, …, s ) , 恰有 ri 个线性无关的实特征向量，把它们 个线性无关的实特征向量， 正交并单位化， 个单位正交的特征向量， 正交并单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量，由 ( r1+ r2 + … + rs = n ) , 知这样的特征向量共可得 n 个。 按定理 6 知，对应于不同的特征值的特征向量正 个单位特征向量两两正交。 交，故这 n 个单位特征向量两两正交。于是以它们为 是正交阵， 列向量构成的矩阵 P 是正交阵，并有
1 r r p 单位化后可得 2 = 0, p3 = 0 0 1 . 2 1 2
上页
下页
返回
1 0 r r r 1 于是得正交阵 P = ( p1 , p2 , p3 ) = 0 2 − 1 0 2
0 0 r r 1 p ξ 得基础解系 1 = 1 , 单位化后可得 1 = . − 1 2 − 1 2
上页 下页 返回
r r 当λ2 = λ3 = 4时, 解方程组 A − 4E) x = 0,由 ( 0 0 1 − 1 0 0 A − 4E = 0 − 1 1 ~ 0 0 0 , 0 1 − 1 0 0 0 1 0 r r r r , ξ ξ 得基础解系 2 = 0,ξ3 = 1, 此时 2与ξ3正好正交 0 1
上页 下页 返回
= λ3 (λ − 4a) = 0,
故得特征值 λ1 = 4a, λ2 = λ3 = λ4 = 0.
14实对称矩阵的相似对角化
再单位化，得：
1 2 2 T 将 ξ1 = (1， − 2 ) 单位化，得： η1 = ， ， ） . 2， （ − 3 3 3 T T 将ξ 2 = ( −2,1,0) , ξ 3 = ( 2,0,1) 正交化，得： （ξ 3，β 2） 1 T β 2 = ξ 2 = ( −2,1,0) ，β 3 = ξ 3 − β 2 = ( 2,4,5)T （β 2，β 2） 5
性质3： 性质 ：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。
由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
二、实对称矩阵的相似对角化： 实对称矩阵的相似对角化： 定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似 一定与对角矩阵相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵相似。 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似 一定与对角矩阵正交相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵正交相似。
∵ A = 0,∴ k = l . ∵ A − E = 0,∴ k = l = 0. 1 1 1 0 1 0 2 ∴ A = 0 1 0 . 2 Q= 0 1 0 1 0 1 − 1 0 1 2 2
A, P或Q及Λ三者的互求
且与对角阵相似。 1 1 2 − 2 Λ= 2 P = (α1 , α 2 , α 3 ) = 2 − 2 − 1 2 1 3 2 0 − 2 7 2 2 1 1 −1 A = PΛ P = 0 5 − 2 P −1 = 1 2 − 2 1 3 9 −2 −2 6 − 2 − 1 2
性质2： 性质 ：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 对一般矩阵，只能保证相异特征 量必定正交。
值所对应的特征向量线性无关。
实对称矩阵的相似对角化
1
1
,
2
13 2 4
所以
A
U
1
U
1
1
1
9
2 4
10
2
.
2 13
基本概念 实对称矩阵 基本理论 ① 实对称矩阵有n个实特征值 ② k重特征值有k个线性无关的特征向量 ③ 不同特征值下特征向量正交
基本方法 ① 求正交阵使实对称阵相似对角化
② 由一组特征值下的特征向量， 求另外一个特征值下的特征向量， 进而求得未知矩阵
1/ 2
1/ 6
1/ 3
1
1
/ 0
2
，
2
1/ 2 /
6 6
，
3
1/ 1 /
3 3
第四步 令Q (1 2 3 ), 写出结果, 即
1/ 2 Q 1/ 2 0
1/ 6 1/ 6 2 / 6
1/ 1/ 1/
3
3 3
0
则 Q 1
AQ
0
0
0 0 0
0
0
3
归纳步骤
(1) 求全部特征值及所属的无关特征向量； (2) 将同一特征值下的无关特征向量正交化； (3) 将正交化后的特征向量单位化； (4) 构造Q，则 Q1 AQ ，注意特征向量与
Q-1 AQ= .
二、对于实对称矩阵A ，求正交矩阵Q，使得A相似对 角化 （ 即 Q1 AQ ） 的方法
1 1 1
例1
设
A
1
1
1 求正交阵Q，使 Q1 AQ 为对角阵.
1 1 1
解 第一步 求A的特征值与所属的无关特征向量
1 1 1
E A 1 1 1 2( 3) 0, Q 1 0(二重), 2 3 1 1 1
线性代数上23实对称矩阵的对角化
一、相似矩阵 定义1 设 A, B 是两个 n 阶方阵, 如果存在一个 n 阶可逆矩阵 P, 使得 P-1AP = B, 则称矩阵 B 相似于矩阵 A, 记作 A ~ B. 相似作为 n 阶方阵之间的一种关系, 满足以下三条性质: (1) 自反性: A~A; (2) 对称性: 若A~B, 则B~A; (3) 传递性: 若A~B, B~C, 则A~C. 由于矩阵的相似关系有对称性, 如果 A 相似于 B, 则 B 也 相似于 A, 以后就简单称作 A 与 B 相似或 A, B 是相似矩阵. 下面我们介绍一下相似矩阵的性质： (1) 相似矩阵有相同特征多项式. 证明 如果 A ~ B, 那么存在可逆矩阵 P 使得 PAP-1 = B, 故 fB (λ) = | λI – PAP-1| = |P||λI – A||P-1| = |λI – A| = fA(λ). 1
( = (1,
−2
)
)
T
, 故 AX1 = 1 + −2 X1 ,
2
T
, 故 AX 2
( = (1 −
) −2 ) X ,
⎡1 + −2 ∴ A ( X1 , X 2 ) = ( X1 , X 2 ) ⎢ ⎢ ⎣ 1 ⎤ ⎡ 1 (3) 令P = ( X1 , X 2 ) = ⎢ ⎥ , 则有 −2 ⎦ ⎣ − −2 ⎡1 ⎢ ⎡1 + −2 ⎤ −1 2 −1 A= P⎢ P , 这里 P = ⎢ ⎥ ⎢1 1 − −2 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ − ⎢ ⎣2
5
⎡1 −1⎤ 例2 设 A = ⎢ , 求 An. 2 1⎥ ⎣ ⎦ 解 (1) 求A的特征值 λ I − A = λ − 1 − −2 λ − 1 + −2 , 所以 A 的特征值为 λ1,2 = 1 ± −2
Ch5.4实对称矩阵的相似对角化
在物理和工程中的应用
量子力学中的哈密顿算子
在量子力学中，哈密顿算子是一个实对称矩阵，其相似对角 化在求解薛定谔方程等量子力学问题中具有重要作用。
结构动力学分析
在工程中，结构动力学分析需要考虑结构的振动和响应，通 过将质量矩阵和刚度矩阵相似对角化，可以简化计算过程并 提高计算精度。
04 实对称矩阵的相似对角化 方法
ch5.4实对称矩阵的相似对角化
目 录
• 引言 • 实对称矩阵的相似对角化 • 实对称矩阵相似对角化的应用 • 实对称矩阵的相似对角化方法 • 实对称矩阵的相似对角化实例
01 引言
实对称矩阵的定义
实对称矩阵
如果一个矩阵A的所有元素都是实数，且A的转置矩阵A'等于其本身，即$A'=A$，则称A为实对称矩阵。
三阶实对称矩阵的相似对角化实例
总结词
三阶实对称矩阵可以通过相似变换化为对角矩阵，需要找到三个线性无关的特征向量。
详细描述
对于三阶实对称矩阵，需要找到三个线性无关的特征向量，并构造一个可逆矩阵，使得 该矩阵与原矩阵相似。通过求解特征值和特征向量，可以找到这三个特征向量，并利用
它们构造可逆矩阵。
n阶实对称矩阵的相似对角化实例
实对称矩阵的相似对角化可以用于矩阵分解，如QR分解、SVD分解等，这些分 解在解决线性代数问题中具有广泛应用。
在微分方程中的应用
线性常微分方程组的求解
通过将微分方程组的系数矩阵相似对角化，可以将问题转化为求解一系列一阶常 微分方程组，简化求解过程。
稳定性分析
通过将线性时变微分方程组的系数矩阵相似对角化，可以分析系统的稳定性和动 态行为。
定义
如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{1}AP=B$，则称矩阵A与B相似。
实对称矩阵与相似对角阵
此定理不予证明
二、实对称矩阵的正交相似对角化
复习：
1。定义(107页) 如果n阶实方阵A满足ATA= E，
AAT= E则称 A为 正交矩阵.
A的行（列）向量组都是单位向量且两两正交.
2、 将线性无关的向量组1，2，…，r化为 2. 正交矩阵的性 一组两两正交的单位向量组的方法。 施密特(Schmidt) 质 方法 （108页 ） (1) 将线性无关的向量组1，2，…，r正交化. 令 1=1， = - 2 , 1 ， 2 2 1 1 , 1 3, 2 3 , 1 3 = 31 2， 2, 2 1 , 1 … … … … … … … ， r , 2 r , r 1 r , 1 r = r1 - , 2 - …- , r-1. 1 , 1 2 2 r 1 r 1 (2) 将1，2，…，r单位化，令
1
1
4
1、P中特征向量与对角阵中特征值的顺序要一致
2、实对称阵的重特征值对应的特征向量有多种取法， 故这里的正交矩阵P不唯一。
3、实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交， 可检验计算的正确性
【定理6.4 】设A为 n 阶实对称矩阵， 使得 则必存在 n 阶正交矩阵P，
P AP
P AP
1
Λ
2
例题分析
例2
2 1 1 1 2 1 A 设 1 1 2
求一个正交矩阵P
1 使 P AP 为对角阵.
解
(1)求特征值
A E
2 1 1
1
1
2 1 1 2
( 4)( 1)2
故得特征值
1 2 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理3 对于任一个n 阶实对称矩阵A , 都存在正交矩阵
Q ,
使得
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛='=-n AQ Q AQ Q λλλ
2
11， 其中n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值。
证 对n 用数学归纳法。
当n=1, 结论显然成立。
假设当1-=k n 时结论成立, 下面证明对k 阶实对称矩阵A 也成立。
设1λ是A 的一个特征值,1α是属于1λ的实单位特征向量,则:
111αλα=A
,
根据第三章Schmit 正交化过程可知,必能找到1-k 个k 维实单位向量k ααα,,,32 (未必是特征向量), 使k ααα,,,21 为两两正交的单位向量组, 令1Q =(k ααα,,,21 ), 则1Q 为正交矩阵, 且
),,,(21211111
1k k A AQ Q AQ Q αααααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''='=-=),,,(2121
k k A A A αααααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'''
=⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛'''''''''k k k k k k A A A A A A A A A αααααααααααααααααα
21
22212
12111
因为
⎩⎨⎧==='='='k
i i A i i i ,,3,20
1)(1
11111 λ
ααλαλααα
0)(1
1111='='=''='j j j j A A A ααλαααααα (k j ,,3,2 =)
记
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛''''=k k k k A A A A B αααααααα 22221 所以,
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛='=-111111
10
0B AQ Q AQ Q λ 因为1B 是k-1阶实对称矩阵, 所以由归纳法假设,存在k-1阶正交矩阵S , 使得
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛='=-k S B S S B S λλ 2111。
令
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=S Q 0012 显然,
2Q 为正交矩阵,
且
211
2
211
1
2
211
11
20000)(Q B Q Q B Q Q AQ Q Q ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---λλ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛'S B S 0010000111
λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'S B S 11
0λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛k λλλ
2
1。
令21Q Q Q =, 因为21,Q Q 为正交矩阵, 故Q 为正交矩阵, 且
),,,(211k diag AQ Q AQ Q λλλ ='=-
由归纳法, 定理成立。
返课件xdch5-3.ppt - 8。