任一个n阶实对称矩阵与对角阵相似证明

定理3 对于任一个n 阶实对称矩阵A , 都存在正交矩阵

Q ,

使得

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛='=-n AQ Q AQ Q λλλ

2

11， 其中n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值。

证 对n 用数学归纳法。 当n=1, 结论显然成立。

假设当1-=k n 时结论成立, 下面证明对k 阶实对称矩阵A 也成立。设1λ是A 的一个特征值,1α是属于1λ的实单位特征向量,则:

111αλα=A

,

根据第三章Schmit 正交化过程可知,必能找到1-k 个k 维实单位向量k ααα,,,32 (未必是特征向量), 使k ααα,,,21 为两两正交的单位向量组, 令1Q =(k ααα,,,21 ), 则1Q 为正交矩阵, 且

),,,(21211111

1k k A AQ Q AQ Q αααααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''='=-=),,,(2121

k k A A A αααααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛'''

=⎪⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛'''''''''k k k k k k A A A A A A A A A αααααααααααααααααα

21

22212

12111

因为

⎩⎨⎧==='='='k

i i A i i i ,,3,20

1)(1

11111 λ

ααλαλααα

0)(1

1111='='=''='j j j j A A A ααλαααααα (k j ,,3,2 =)

记

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛''''=k k k k A A A A B αααααααα 22221 所以,

⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛='=-111111

10

0B AQ Q AQ Q λ 因为1B 是k-1阶实对称矩阵, 所以由归纳法假设,存在k-1阶正交矩阵S , 使得

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛='=-k S B S S B S λλ 2111。

令

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=S Q 0012 显然,

2Q 为正交矩阵,

且

211

2

211

1

2

211

11

20000)(Q B Q Q B Q Q AQ Q Q ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---λλ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛'S B S 0010000111

λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'S B S 11

0λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛k λλλ

2

1

。 令21Q Q Q =, 因为21,Q Q 为正交矩阵, 故Q 为正交矩阵, 且

),,,(211k diag AQ Q AQ Q λλλ ='=-

由归纳法, 定理成立。返课件xdch5-3.ppt - 8