2016初等数论教学大纲

黔南民族幼儿师范高等专科学校数学教育专业

《初等数论》课程

教

学

大

纲

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批准人：

基教系

2016年7月

《初等数论》课程教学大纲

一、课程简介

课程定位与目标：初等数论是研究整数最基本性质的课程，数学教育专业一门十分重要的专业课，它与小学数学有着十分紧密的联系，通过本门课程的学习，使学生系统掌握整数的基本性质，掌握研究整数的一些初等方法，并将这些知识应用到小学数学中去。

先修课程：高等代数

选用的教材版本：闵嗣鹤，严士健主编，初等数论第三版，高等教育出版社，2003，7.

课程主要内容：整数的可除性、不定方程、同余、同余式、二次同余式与平方剩余

课程教学方法：讲授法为主，注意联系初等数学中数论部分竞赛知识。

考核方案：闭卷:采用百分制,33分及以上为合格。采用平时考查与期末闭卷书面考核相结合的方式进行，平时成绩占40分，期末闭卷书面考试占60分。

二、理论课程教学大纲

（一）课程的性质、目的和任务

1．课程的性质：专业课。

2．课程的目的和任务

目的：通过本门课程的学习，使学生系统掌握整数的基本性质，掌握研究整数的一些初等方法，并将这些知识应用到小学数学中去。

任务：使学生掌握整数最基本的性质、算数基本定理、同余的概念与性质；掌握n元一次不定方程与商高不定方程的求解方法与公式；掌握欧氏定理与费马小定理的应用及欧拉函数的计算、掌握一次同余方程组的求法及孙子定理，（二）总学时与学分数

总学时数：54 学分数：3

（三）课程基本内容、要求、重难点、建议

第一章：整数的可除性

1.1 整除的概念、整除的性质、带余数除法；

1.2 最大公因数、辗转相除法；

1．3整数的进一步性质及最小公倍数；

1. 4 质数、算数基本定理及其应用；

1. 5 函数[X]、{X}}及其在数论中中的应用

教学要求：通过本章的学习，使学生掌握带余除法，最小公因数与最大公倍数的概念及其求法；掌握质数的概念及其性质；能熟练应用算数基本定理解决整数中的有关问题；理解函数[X]、{X}的概念

本章重点：整除的基本性质、最大公因数与最小公倍数的性质及其应用、质数的性质及算数基本定理的应用；

本章难点：质数的性质及算数基本定理的应用

教学建议：联系高等代数多项式理论中的一些理论进行讲授

第二章不定方程

2.1 二元一次不定方程

二元一次不定方程的判定条件及其求解公式

2.2 多元一次不定方程

多元一次不定方程判定条件及其求解公式

2.3 勾股数

商高不定方程及其求解公式、性质

2.4 费马大定理的介绍

教学要求：要求学生掌握求解n元一次不定方程及n元一次不定方程组；掌握商高不定方程的求解公式；理解商高不定方程求解公式的指导思想教学重点：求解n元一次不定方程及n元一次不定方程组、商高不定方程的求解方法

教学难点：商高不定方程的求解公式的指导思想

教学建议：联系中小学数学中不定方程的问题进行教学

第三章同余

3.1 同余的概念及性质

同余的概念、性质、简单应用

3.2 剩余类与完全剩余系

剩余类与完全剩余系的概念及其性质

3. 3 简化剩余系与欧拉函数

简化剩余系及其性质、欧拉函数及其性质、计算

3.4 欧拉定理、费马定理及其应用

教学要求:要求学生掌握同余的概念及其性质、理解完全剩余系与简化剩余系的概念、掌握欧拉函数的计算。

教学重点：同余的概念及其性质、欧拉函数的计算、欧拉定理的应用

教学难点：欧拉定理与费马定理的应用

教学建议：结合实际问题讲授同余的概念与性质

第四章同余式

4.1 基本概念及一次同余式

同余式基本概念、一次同余式有解的充要条件、求解方法

4.2 孙子定理

孙子定理及其应用

4.3 高次同余式的解数与解法

4.4 质数模的同余式

质数模的同余式的简化与解法

教学要求：通过本章的学习，使学生掌握一次同余式的求解方法与求解公式，掌握孙子定理及其应用，理解高次同余式的解法

教学重点：一次同余式的解法与孙子定理的应用

教学难点：孙子定理的应用与高次同余式的解法

教学建议：结合中小学数论问题，讲授孙子定理的应用

第五章二次同余式与平方剩余

5.1 一般二次同余式

一般二次同余式的概念与简化

5.2 单质数的平方剩余与平方非剩余

概念、欧拉判别法、性质

5.3 勒朗得符号

概念、性质、计算

5.4 质数模的二次同余式

同余式的性质、质数模的二次同余式的解法

5.5 雅克比符号

5.6 合数模的性质

教学要求：掌握平方剩余的概念与性质，掌握勒朗得符号的计算，了解二次同余式的解法。

教学重点：平方剩余的概念与性质、勒朗得符号的计算

教学难点：计算勒朗得符号公式的证明、二次同余式的解法

教学建议：结合前几章的知识、方法，讲授本章内容

（四）学时分配表

（五）参考书目

[1] 潘承洞、潘承彪主编，初等数论第二版，北京大学出版社，2003年1月

[2 ]柯召，孙琦主编，数论讲义第二版，高等教育出版社，2001年1月

三、考试大纲

考试目的：检验学生所学知识，查漏补缺

考核方法：闭卷考试:采用百分制,33分及以上为合格。采用平时考查与期末闭卷书面考核相结合的方式进行，平时成绩占40分，期末闭卷书面考试占60分。

主要考试内容：不定方程的解法、整数的性质、同余方程、同余式

考试分数分配：考题包括填空题、计算题、解答题、证明题，其中填空题约占10分；计算题占40分；解答题占30分；证明题占20分。

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